1 Guia 00 Semestre 1 Repaso Terceros Medios

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemtica Puerto Montt Curso: 3 Medio

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Gua de ejercicios N0, Primer Semestre

Tema: Reactualizacin de contenidos para Unidad 1. Conjuntos numricos y sus

propiedades.

Esta gua es una revisin de contenidos previos relativos a conjuntos vistos en niveles anteriores. Esta

gua, adems, se complementa con las clases, por lo que es importante tener al da el material entregado

por el profesor.

En niveles anteriores te has relacionado con los conjuntos numricos

de los naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos,

tanto en forma aritmtica como algebraica. La relacin general entre

estos conjuntos se presenta en el siguiente diagrama.

En lenguaje de conjuntos la relacin que se cumple entre estos conjuntos es .

Adems y . Donde : Conjunto de los nmeros irracionales.

A continuacin se presentarn, en forma sucinta, las definiciones, caractersticas y propiedades de los

conjuntos de nmeros naturales, enteros y racionales.

I. El conjunto de los nmeros Naturales

Este conjunto se simboliza por , y se define por 1 2 3 4 5 6...

A. Todo nmero natural tiene un sucesor, que se obtiene de sumar 1 al nmero anterior. De esta

manera, si n , entonces el sucesor de n , es 1n .

B. Todo nmero natural, excepto el 1, tiene un antecesor que se obtiene de restar 1 a un nmero. De

esta manera, si n entonces el antecesor de n , ser 1n .

Ejercicios

1. El nmero n es un natural, tal que el doble de su cuadrado es 32. Entonces el cudruplo de n es:

a. 4 b. 8 c. 16 d. 32 e. 64

2. En la serie: 3, 7, 12, 18, 25, , Cul es el noveno trmino?

a. 50 b. 63 c. 75 d. 86 e. 88


2

3. Si n es un nmero natural, entonces el sucesor del sucesor de n est representado por:

a. 2n + 1 b. n + 1 c. n + 2 d. 2n + 2 e. n + 4

4. Claudia tena en el banco $ 4p. Retir la mitad y horas ms tarde deposit el triple de lo que tena al comienzo. Cunto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

a. $ 8p b. $ 10p c. $ 12p d. $ 16p e. $ 14p

5. m y n son dos nmeros naturales tales que m n es par. Entonces, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdaderas:

I . m es par II. 2n es par III. 3 m n es par

a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. Solo I y II e. I, II y III

6. Observa la siguiente serie de nmeros 1, 3, 6, 10, 15, ; los dos nmeros siguientes son:

a. 20 y 25 b. 21 y 26 c. 21 y 28 d. 20 y 26 e. 20 y 28

7. Si m es un nmero impar y n es un nmero par. Cul de los siguientes nmeros es impar?

a. 2 5m n b. 4 3m n c. 3 4m n d. 4 2m n e. 6 m n

II. El conjunto de los nmeros Enteros

El conjunto de los nmeros enteros se designa por y se define como

... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4...

Observacin:

a. 0

b.

Observacin: Este conjunto da solucin a ecuaciones de la forma x a b

Las propiedades en el conjunto de los nmeros enteros son las siguientes

A. Se incorpora en los enteros el concepto de valor absoluto, que se define como la distancia entre un

entero cualquiera a a , y el cero. El valor absoluto de a se escribe a

Ejemplo

Los nmeros 20 y 20 se encuentran a la misma distancia del cero, es decir 20 20 20


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B. es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay nmeros enteros mayores o menores que otros.

1. Dados dos nmeros enteros cualesquiera, es mayor el que est ubicado ms a la derecha en la recta numrica.

Las operaciones y los nmeros Enteros

A. Suma La suma en los enteros, se realiza considerando lo siguiente:

1. Para sumar nmeros enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y conservamos el signo.

2. Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del nmero de mayor valor absoluto.

Ejemplo

a. 3 5 8

b. 6 9 3

B. Resta La resta en los enteros, se realiza considerando lo siguiente:

1. Para restar dos nmeros enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. ES decir,

para todo ,a b , se tiene que a b a b

Ejemplo

a. 15 10 15 10 25

b. 18 22 18 22 40

C. Multiplicacin

Para multiplicar enteros debemos considerar:

1. Para cualquier nmero entero a, se tiene que 0 0 0a a .

2. Se deben multiplicar sus valores absolutos y al resultado anteponer el signo + si los factores tienen

el mismo signo, o el signo si tienen distinto signo. 3. La tabla que se muestra a continuacin te permite

recordar la regla de los signos.

D. Divisin 1. La regla de los signos es igual a la de la multiplicacin.

Signo 1er

Factor

Signo 2do

Factor

Signo del

producto

+ + +

- - +

+ - -

- + -


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Operaciones combinadas

Para realizar operaciones combinadas, recuerda que existe una prioridad en las operaciones:

-Parntesis Potencias Multiplicacin Divisin Adicin y sustraccin de izquierda a derecha

Tambin debes recordar que para eliminar parntesis se opera de adentro hacia afuera y cuando hay

un signo negativo delante de un parntesis, el parntesis se elimina cambiando los signos interiores.

Ejercicios

1. El valor de la expresin 4 -5 + 2 es:

a. 5 b. 1 c. -1 d. 11 e. 3

2. Si al entero ( 1) le restamos el entero ( 3), resulta:

a. 2 b. 2 c. 4 d. 4 e. N. A

3. Si n = 2 y m = -3, cul es el valor de nm (n + m)?

a. -11 b. -5 c. 5 d. 7 e. -7

4. El precio de los artculos M, N y T son $(n - 1), $(n - 2) y $(n - 3), respectivamente. Cuntos pesos se deben pagar por un artculo M, dos artculos N y tres artculos T?

a. 6n 14 b. 6n 6 c. 5n 14 d. 3n 14 e. 3n - 6

5. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

a. 8 b. 6 c. 9 d. 10 e. N. A.

6. Si 16 8 16n , entonces 5n es igual a:

a. -12 b. -7 c. -2 d. 4 e. 12

7. Si al triple de un nmero se le agregan tres unidades resulta 12 . Entonces el nmero es:

a. 2 b. 3 c. 3 d. 2 e. 4


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III. El conjunto de los nmeros Racionales

Este conjunto se simboliza por , y se define como / , , 0p

p q qq

Esto indica que este conjunto est compuesto por todos los nmeros que tienen la forma p

q, es decir,

una fraccin, donde los valores p y q deben ser enteros y el valor q no puede ser cero.

Este conjunto da solucin a ecuaciones del tipo ax b c , es decir c b

xa

Ejemplo

4 3 1x , implica que 1

2x

donde

1

2

pero

1

2

Un nmero racional tiene una representacin fraccionaria y una representacin decimal

Expresin Decimal

Expresin Fraccionaria

pp q

q

A. Representacin fraccionaria

Los nmeros racionales y las operaciones.

I. Suma

La relacin fundamental en la suma de fracciones es que:a c a c

b b b

En general, la suma se define como a c ad bc

b d bd

II. Resta

La resta de fracciones se define como a c ad bd

b d bd

III. Multiplicacin

Para multiplicar dos fracciones se opera como sigue: a c a c ac

b d b d bd


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Ejemplo

Obtener el resultado de 3 5

4 8

se tiene

3 53 5 154 8 4 8 32

IV. Divisin

Para dividir dos fracciones se opera como sigue:

a

a c a d a d adbcb d b c b c bc

d

Operaciones combinadas

Como lo viste en la gua anterior, para realizar operaciones combinadas, recuerda que existe una

prioridad en las operaciones y adems un orden para eliminar parntesis.

Ejemplo

Determinar el resultado de 5 6 3 7 4 1 1

4 7 4 3 5 2 4

5 6 3 7 4 1 1 35 3 28 2 1 35 3 28 1 35 3 7

4 7 4 3 5 2 4 24 4 15 4 24 4 15 4 24 4 15

35 3 7 35 45 28 35 73 350 292 58 29

24 4 15 24 60 24 60 240 240 120

Fracciones compuestas

El determinar el valor de una fraccin compuesta, significa aplicar las operaciones necesarias para

que esta fraccin se convierta en una fraccin simple.

Ejemplo

21 5 21 26 26 261 111 5 1 5

265 5 5 5 54 41 1 1 1 1 2 3 1 5

2 2 2 22 2 3 2 1 121 1

13 3 3 33


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B. Representacin decimal.

Dados dos enteros p y q ,p q , la expresin p q corresponde a la representacin decimal del

racional p

q .

Al realizar la operacin p q se identifica la parte entera y la parte decimal.

Ahora si la parte decimal es distinta de 0, entonces se presentan 3 tipos de decimales:

A. Decimal finito: Es el decimal que posee una cantidad finita de decimales

B. Decimal Infinito peridico: Es el decimal cuya parte decimal se compone por uno ms valores que se repiten indefinidamente. Este nmero que se repite se llama perodo.

C. Decimal infinito semiperidico: Es el decimal que presenta uno ms valores entre la parte entera y el perodo. A este nmero se le llama anteperodo.

Teniendo en cuenta la definicin de un racional p

p qq , se desprende que dada la representacin

fraccionaria obtenemos su representacin decimal y viceversa.

De fraccin a decimal

Para transformar una fraccin en decimal basta con dividir el numerador por el denominador. Pero,

apoyado de la descomposicin prima, es posible determinar el tipo de decimal que le corresponde a

una fraccin determinada.

1. Cuando el denominador est compuesto por factores primos de 2 5 el decimal a obtener es finito.

2. Cuando el denominador est compuesto por factores primos distintos de 2 5 el decimal a obtener es peridico

3. Cuando el denominador est compuesto por factores primos como el 2 el 5 y cualquier otro, el decimal a obtener es semiperidico.

De decimal a fraccin

Todo nmero decimal se puede escribir en forma fraccionaria.

1. En general para transformar un decimal finito a fraccin bastara con considerar la cifra como numerador y una potencia de 10 con tantos ceros como decimales tenga la cifra.

Por ejemplo: 3,24 = 324

100


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2. En general, para transformar un decimal peridico a fraccin se considera como numerador la diferencia entre el nmero formado por la parte entera junto con el perodo y la parte entera.

Como denominador una cifra con tantos 9 como decimales tenga el nmero.

Por ejemplo: 2,15= 215 2

99

3. En general, para transformar un decimal semiperidico a fraccin el se considera como numerador a la diferencia entre el nmero formado por la parte entera, anteperodo y el

perodo y el nmero formado por la parte entera y el anteperodo. Como denominador el

nmero formado por tantos 9 como decimales peridicos tenga el nmero y tantos ceros como

cifras tenga el anteperodo.

Por ejemplo: 5,3 4 = 534 53

90

Orden en los decimales

Si se tienen dos racionales en su forma decimal, podemos transformarlos a fraccin y proceder como

se indic o tambin se puede proceder como sigue:

Los decimales finitos o infinitos peridicos o semiperidicos, se comparan primero por su parte entera,

en caso que estas sean iguales, se compara su parte decimal cifra a cifra comenzando por las dcimas,

centsimas, milsimas hasta comparar cifras diferentes.

Ejemplo

Completa con el smbolo > o < para indicar la relacin entre los nmeros 24,81______ 24,815

24,81818181....______ 24,815151515....

=

=

=

=

8>5 luego 24,81 24,815

Ubicacin de nmeros decimales en la recta numrica.

Para ubicar nmeros decimales en la recta numrica es conveniente transformarlos a fraccin y luego

ubicarlos.

Operaciones con nmeros decimales

Para sumar y restar nmeros racionales se puede utilizar su representacin fraccionaria o decimal. Sin

embargo, debes transformar los nmeros decimales infinitos peridicos o semiperidicos a fraccin

para operarlos con otro nmero racional.

Para multiplicar y dividir nmeros racionales se puede utilizar su representacin fraccionaria o

decimal. Sin embargo, debes transformar los nmeros decimales infinitos peridicos o semiperidicos

a fraccin para operarlos con otro nmero racional.


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APROXIMACIONES

Frecuentemente conviene redondear o truncar un nmero, dejando una aproximacin con menos

cifras significativas, de las que tiene originalmente.

REDONDEO

Para redondear un nmero decimal finito o infinito se agrega 1 al ltimo dgito que se conserva

(redondeo por exceso), si el primero de los dgitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra

a eliminar es menor que 5, el ltimo dgito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por

lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centsima los nmeros 4,748 y

9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.

TRUNCAMIENTO

Para truncar un nmero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha dela ltima

cifra a considerar.

De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centsimas el nmero 2,5698 resulta 2,56.

ESTIMACIONES

Realizar un clculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las

dadas, reemplazando dgitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas

que se indique (lo que habitualmente es una cifra).

Propiedades de los racionales

Los Racionales y la operacin suma ,

El conjunto de los nmeros racionales con la suma cumple las siguientes propiedades:

1. Clausura o ley de cerradura: Para todo ,s , se tiene que r+sr

2. Conmutatividad: Para todo , , se tiene que r s r s s r .

3. Asociatividad: Para todo , , , se tiene que r s t r s t r s t 4. Existencia del neutro aditivo: Para cada nmero racional r el cero es el neutro aditivo y se

tiene que 0 0r r r

5. Existencia del inverso aditivo: Para cada racional r existe su inverso aditivo r tal que

0r r r r

Los Racionales y la operacin multiplicacin ,

El conjunto de los nmeros racionales con la multiplicacin cumple las siguientes propiedades:

1. Clausura o ley de cerradura: Para todo , , se tiene que r s r s

2. Conmutatividad: Para todo , , se tiene que r s r s s r .

3. Asociatividad: Para todo ,s, , se tiene que r t r s t r s t


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4. Elemento Neutro: En los racionales existe el neutro para la multiplicacin. El neutro es el nmero 1 y se cumple que para todo , se tiene que 1 1r r r r

5. Existencia del inverso multiplicativo: Para cada racional r existe su inverso multiplicativo 1r tal que

1 1 1r r r r

Observacin: Dado el racional a

b, su inverso multiplicativo es

1a b

b a

Propiedad distributiva

Los nmeros racionales junto con la suma y la multiplicacin , , , cumplen la propiedad distributiva, la que indica que para cada racional , , r s t se cumple:

1. r s t rs rt

2. s t r rs rt

Ejercicios

1. El valor de 1 1 1

32 4 2

es igual a:

a. 1

2 b. 1 c.

9

4 d. 3 e.

13

4

2. Al resolver

3 3

4 53 3

4 5

el resultado es:

a. 1

5 b.

2

5 c.

3

5 d. 1 e.

1

3

3. Cul de las siguientes fracciones al dividirlas dan como resultado un decimal infinito semiperidico?

a. 3

10 . b.

1

3 c.

2

5 d.

1

30 e.

0

4

4. Si 1

34

x e 3

58

y , entonces x y

a. 49

8 b.

21

8 c.

173

40 d.

69

8 e.

99

12

5. La fraccin 8/12 al ser transformada en nmero decimal se obtiene

a. 0,75 b. 0,6 c. -0,6 d. 0,6 e. 0,67


11

6. Se define 1

11

a b a

b

, entonces 2 3

a. 5 b. 4

7 c.

7

4 d.

11

4 e.

5

4

7. El orden de los nmeros 2

3a ,

5

6b y

3

8c de menor a mayor es

a. a b c b. b c a c. b a c d. c a b e. c b a

8. Si a y 1a , cul es la relacin correcta entre las fracciones 3

pa

, 3

1t

a

y

3

1r

a

a. p t r b. r p t c. t r p d. r t p e. p r t

9. Las tres quintas partes del cudruplo de 2,6 es:

a. 6,4 b. 6,24 c. 6,3 d. 31

5 e. 17,7

10. Se repartir un premio de $ 624.000 entre Ingrid, Gerardo y Jaime. Ingrid recibe 0,375 del

total, Gerardo recibe 0,6 de lo que quedar y Jaime el resto. Cunto reciben Gerardo y

Jaime, respectivamente?

a. $ 234.000 y $ 260.000 b. $ 156.000 y $ 134.000 c. $ 260.000 y $ 364.000 d. $ 260.000 y $ 130.000 e. $ 416.000 y $ 208.000

IV. El conjunto de los nmeros Irracionales

Los nmeros racionales se pueden escribir como una fraccin. Los nmeros naturales y enteros son

tambin nmeros racionales. Los nmeros decimales finitos tambin, ya que son equivalentes a una

fraccin decimal. En el caso de los decimales infinitos, solo si son peridicos o semiperidicos

corresponden a nmeros racionales y, de hecho, ms arriba se indican procedimientos para escribir

como fraccin estos nmeros.

Pero existen otros nmeros decimales infinitos. Observa.

0,1436487965798085312346574568 0,0011122223333344444455556789 1,4142135623730950488016887242 0,2463547680987540000876432456 3,1415926535897932384626433832


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Un nmero irracional es un nmero que no puede representarse como una fraccin. Es un nmero

decimal infinito que no tiene perodo.

Algunos nmeros irracionales destacados son , el nmero e y el nmero de oro, .

Observacin: Al realizar operaciones entre nmeros racionales e irracionales podemos obtener

distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su naturaleza y en otros casos depende de cules

son los nmeros que se estn operando. En general, se tiene que:

Siempre es irracional Puede ser racional o irracional

racional + irracional irracional + irracional

racional irracional irracional irracional

irracional + racional irracional irracional

irracional racional irracional : irracional

racional ( 0) irracional

racional ( 0) : irracional

irracional : racional ( 0)

Es importante indicar, de acuerdo a soluciones de ecuaciones, que este conjunto da solucin, por

ejemplo, a ecuaciones de la forma nx a , con 0a . Consideremos, en particular la ecuacin 2 2x .

V. El conjunto de los nmeros Reales

Se define el conjunto de los nmeros reales ( ) como aquel que incluye a los nmeros irracionales y

a los racionales. Geomtricamente, el conjunto de los nmeros reales se representa por una recta.

Ejercicios

1. Cuntos octavos se necesitan para llegar a tener un nmero cuyo cudruple es 16?

a. 8 b. 16 c. 28 d. 32 e. Otro valor

2. Un sexto del nmero de alumnos de un curso tiene nota roja, y de stos la mitad ha rendido un excelente examen, entonces la fraccin del curso que representa a los que se salvaron en el examen es:

a. 1

12 b.

1

8 c.

1

3 d.

1

4 e.

8

12

3. Un cuarto del tercio del quntuple de un nmero es igual al cuadrado de la doceava parte del mismo nmero, entonces el nmero es:

a. 12 b. 5/12 c. 60 d. 144 e. Otro valor


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4. Si el cuadrado de un nmero positivo se le resta 20 se obtiene al cudruple del nmero ms uno. Entonces el doble del nmero es:

a. 0 b. 7 c. 14 d. 16 e.29

5. Si se requiere evaluar la siguiente expresin:12 , siendo 3

2 2 2

aa

aa a a

. El resultado es:

a. 94

a b. 2a c. 1 d. 23a e. 23a

6. Cul es el resultado de la siguiente operacin?

2 3

5 5 16 1

10 5

a. 3

22 b.

25

3 c.

26

3 d.

3

26 e.

22

3

7. Si al sucesor de 2 3a , le restamos el antecesor de 4 2a , resulta el nmero:

a. 2 1a b. 6 5a c. 1 2a d. 5 6a e. N. A.

8. Dados los siguientes nmeros racionales, tres quintos y siete novenos, ordenados de menor a

mayor, cul de los siguientes racionales puede intercalarse entre ellos?

a. 26/45 b. 3/2 c. 4/5 d. 5/4 e. 2/3

9. Si la suma de 3 nmeros impares consecutivos da como resultado 21, entonces el nmero impar

mayor es:

a. 7 b. 5 c. 11 d. 13 e. 9

10. Se debe cumplir una tarea en tres horas. Qu parte se logra efectuar entre las 8.55 y las 9.15

horas?

a. 1/6 b. 2/3 c. 3/2 d. 1/5 e. 1/9

11. Dividiendo por 0,2 la mitad de un nmero resulta 1,2; entonces el nmero es:

a. 0,12 b. 0,24 c. 0,48 d. 2,4 e. 4,8

12. Si el cubo de un nmero se divide por el cuadrado de la mitad del mismo nmero, se obtiene: a. el nmero b. el doble del nmero c. el cuadrado del nmero d. el cudruplo del nmero e. la mitad del nmero


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13. Si 4x , Cul(es) de las siguientes expresiones representa(n) un nmero real?

I. 1

2 x

II. 1

22 x

III. 1

32 x

a. slo I b. slo II c. slo I y III d. slo II y III e. Todas

14. Se tiene que el triple de 1 5 1 1 1

1 29 9 3 3 3

es igual a:

a. 6 b. 3 c. 3/2 d. 2/3 e. 1/3

15. Si 3,14a ; 2b , 22

7c . Se tiene que es(son) nmero(s) irracionales.

a. Slo a b. Slo b c. Slo c d. Slo a y b e. Los tres

16. El conjunto de los nmeros reales menos los racionales es igual a: a. Los naturales b. Los enteros c. Los irracionales d. Los enteros y los irracionales e. Los complejos

17. En la sucesin 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,.....de mantenerse la formacin, el siguiente trmino ser:

a. 8 b. 9 c. 11 d. 12 e. 13

18. Si 0 entonces:

I. 3 0 II. 2 0 III. 0 k < 0

De stas, es(son) verdadera(s):

a. slo I b. slo II c. slo III d. slo II y III e. slo I y II

19. Al iniciarse un concierto musical, la cuarta parte de los asientos se encuentran ocupados. Posteriormente ingresan 1500 personas que ocupan la mitad de los asientos que quedaban

desocupados, entonces Cul es la capacidad total del teatro?

a. 8000 personas b. 6000 personas c. 5000 personas d. 4000 personas e. 3500 personas

20. Si tomo cuatro nmeros impares consecutivos y los ordeno en forma creciente, la diferencia entre la suma de los dos menores y el tercero es igual a la diferencia entre el mayor y la suma

de los dos nmeros centrales. Entonces Cules son los nmeros?

a. 3, 5, 7 y 9 b. 5, 7, 9 y 11 c. 1, 3, 5 y 7 d. 7, 9, 11 y 13 e. N.A.

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