1 Ecuación de Onda. Profesor Civil Rodrigo Vergara 2003.
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1
Ecuación de Onda.
Profesor Civil Rodrigo Vergara
2003
2
IndiceEspectro de FrecuenciasLínea de Transmisión Ecuación de OndaSolución Ecuación de OndaRelación entre Voltaje y Corriente.Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.Fin
3
Espectro de Frecuencias
Las aplicaciones de telecomunicaciones se dan a partir de la banda MF
Radio AM: 0,53-1,7 MHz (MF) Radio FM: 88-108 MHz (VHF) Telefonía Celular: 900 y 1800 MHz (UHF) Telecomunicaciones satelitales: 20 GHz (SHF)
Banda Frecuencia Long. De Onda DenominaciónELF < 3 kHz > 100 km Extremely Low FrequencyVLF 3-30 kHz 100-10 km Very Low FrequencyLF 30-300 kHz 10-1 km Low FrequencyMF 0.3-3 MHz 1000-100 m Medium FrequencyHF 3-30 MHz 100-10 m High Frequency
VHF 30-300 MHz 10-1 m Very High FrequencyUHF 0.3-3 GHz 100-10 cm Ultra High FrequencySHF 3-30 GHz 10-1 cm Super High FrequencyEHF 30-300 GHz 10-1 mm Extremely High Frequency
Banda Frecuencia Long. De Onda DenominaciónELF < 3 kHz > 100 km Extremely Low FrequencyVLF 3-30 kHz 100-10 km Very Low FrequencyLF 30-300 kHz 10-1 km Low FrequencyMF 0.3-3 MHz 1000-100 m Medium FrequencyHF 3-30 MHz 100-10 m High Frequency
VHF 30-300 MHz 10-1 m Very High FrequencyUHF 0.3-3 GHz 100-10 cm Ultra High FrequencySHF 3-30 GHz 10-1 cm Super High FrequencyEHF 30-300 GHz 10-1 mm Extremely High Frequency
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Alta FrecuenciaCrece uso del espectro electromagnético Crecen requerimientos de BW para telecomunicaciones Equipos y sistemas diseñados para frecuencias cada vez más alta. Crece frecuencia Cambian valores y comportamiento de
componentes (Electrónica III) Los componentes usados a bajas frecuencias no
sirven. Hay que buscar otras formas de transportar señales
de alta frecuencia y de generar circuitos resonantes.
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Transporte de señales de Alta Frecuencia
Si el de las señales a transportar es comparable con el tamaño físico del sistema de transmisión, se debe usar la teoría de Líneas de Transmisión para analizar su comportamiento.Las líneas de transmisión son usadas en muchas aplicaciones de alta frecuencia para el transporte de señales.
6
Líneas de Transmisión (L de T)
Definición Medio de propagación de ondas
electromagnéticas confinadas entre dos estructuras conductoras que forman un camino continuo desde un lugar a otro.
Ejemplos: Cables Coaxiales Cables Trenzados Guias de Ondas Strip Lines Fibra Óptica
7
Líneas de Transmisión Paralelas
8
Líneas de Transmisión Coaxiales
9
Líneas de Transmisión de Cinta (Strip Line)
10
Líneas de Transmisión Uniforme
Es aquella que tiene geometría de sección transversal constante (sin cambios) a lo largo del camino de propagación.En caso de que haya un cambio de geometría en cualquier punto, será considerada una “discontinuidad” en la línea.
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Modelos de Línea de Transmisión
Resolución de las Ecuaciones de Maxwell con las condiciones de borde impuestas por la línea.Enfoque más riguroso
Modela la línea como circuitos con resistencias, inductancias y capacitancias distribuidas a lo largo de ella.Es fácil de visualizar.
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Modelo Circuital
La figura representa el modelo circuital para un trozo incremental de largo x de una L de T.Componentes R: resistencia distribuida (por unidad de largo) [Ω/m] C: capacitancia distribuida (por unidad de largo) [F/m] L: inductancia distribuida (por unidad de largo) [Hy/m] G: conductancia distribuida (por unidad de largo)
[Siemens/m]
13
Variaciones en la línea
V=V(x,t): diferencia de potencial entre conductores.i=i(x,t): corriente por los conductoresV/x: variación de V a lo largo de la líneai/x: variación de i a lo largo de la línea
V
i
xxV
V
xxi
i
14
Planteo Ecuación de Onda
Tomando los dos circuitos podemos anotar: Por LVK
Por LCK
ti
LRixV
ti
xLxiRxxV
VV
ti
LRixV
ti
xLxiRxxV
VV
tV
CGVxi
tV
xCxVGxxi
ii
tV
CGVxi
tV
xCxVGxxi
ii
[1]
[2]
15
Planteo Ecuación de Onda
Haciendo /x en [1]:
Haciendo /t en [2]:
xti
Lxi
RxV 2
2
2
xti
Lxi
RxV 2
2
2
[3]
[4]2
22
tV
CtV
Gxti
2
22
tV
CtV
Gxti
16
Planteo Ecuación de OndaSustituyendo [4] y [2] en [3]:
Esta expresión corresponde a la ecuación diferencial de la L de T para el voltaje a lo largo de la línea.
RGVtV
LGRCtV
LCxV
tV
CtV
GLtV
CGVRxV
2
2
2
2
2
2
2
2
RGVtV
LGRCtV
LCxV
tV
CtV
GLtV
CGVRxV
2
2
2
2
2
2
2
2
[5]
17
Línea sin PérdidasLínea sin pérdidas G=0 y R=0 y
donde
Es la velocidad de propagación de la L de T.
2
2
22
2
tV
v1
xV
2
2
22
2
tV
v1
xV
[6]
LC
1v
LC
1v [7]
18
Solución General Ecuación L de T sin pérdidas
2
2
22
2
tV
v1
xV
2
2
22
2
tV
v1
xV
[8]
vx
tFvx
tFtx,V 21
vx
tFvx
tFtx,V 21
[6]
19
Relación entre Voltaje y Corriente.
Para una línea sin pérdidas, [1] se transforma en
Reemplazando [8] en [9]
ti
LxV
ti
LxV
[9]
vx
tFv1
vx
tFv1
ti
L 21
vx
tFv1
vx
tFv1
ti
L 21[10]
20
Relación entre Voltaje y Corriente.
Integrando parcialmente [10] con respecto a t
La expresión f(z) no depende del tiempo. Como nos interesa concentrarnos en las funciones variantes en el tiempo, la podemos ignorar. Luego
donde
es la impedancia característica de la L de T.
[11] zfvx
tFvx
tFLv1
tx,i 21
zf
vx
tFvx
tFLv1
tx,i 21
[12]
vx
tFvx
tFZ1
tx,i 210
vx
tFvx
tFZ1
tx,i 210
CL
Lv1
Z0 CL
Lv1
Z0 [13]
21
Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.
La mayoría de los problemas en L de Ts se refieren a uniones entre una L de T con: Otra L de T de diferente Z0. Una impedancia de carga. Algún otro elemento que introduzca una
discontinuidad.
Por LVK y LCK la corriente y el voltaje deben ser continuos en el punto de discontinuidad.
22
Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.
V+: Voltaje Incidente
V-: Voltaje Reflejado
VL: Voltaje en la carga
I+: Corriente IncidenteI-: Corriente ReflejadoIL:Corriente en la carga
23
Reflexión y Transmisión en una discontinuidad.
0ZV
I
0ZV
I
0ZV
I
0ZV
I
LZV
I LL
LZV
I LL
LVVV LVVV
LIII LIII
24
Coeficientes de Reflexión y Transmisión
LVVV LVVV L00 Z
VZV
ZV L
L00 ZV
ZV
ZV L
0L
0L
ZZZZ
VV
0L
0L
ZZZZ
VV
0L
L
ZZ2Z
VV
LT0L
L
ZZ2Z
VV
LT
25
Ecuación de Onda.
Profesor Civil Rodrigo Vergara
2003