1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN...

TEMA 6 Continuidad, Cálculo Diferencial

pág. 80 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

1.- CONTINUIDAD

1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO

Decimos que f es continua en a si:

Lim f x f ax a

( ) ( )

Para que una función sea continua en un punto se ha de cumplir:

)()(º3

),lim()(º2

)(º1

afxfLim

noperoigulesserquetienenlateralesiteslosxfLim

Daaf

ax

ax

f

Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable

fDa punto desplazado

Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad de salto finito

)(lim xfax

ax

xfNo

)(lim

1.2 - FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO

Una función es continua en un intervalo abierto, si lo es en todos los puntos de ese intervalo

Una función es continua en el intervalo [a,b], si lo es en (a,b), en a por la derecha y en b por la

izquierda1

Cualquier función (polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, irracionales…) es continua en

su dominio; por tanto, para estudiar la continuidad de una función es suficiente con calcular

su dominio.

El estudio de la continuidad de una función a trozos requiere:

o El estudio de la continuidad de cada función en su recinto de definición

o El estudio de la continuidad en los puntos de empalme de los intervalos de definición

EJERCICIOS:

1.- Estudia la continuidad de la función:

1Si en la definición de continuidad se sustituye x a porx a + tendremos la definición de continuidad

por la dech. Igualmente si se cambia por x a - dará lugar a la definición de continuidad por la izqui.

a

a

a

a



2xx

2xx2xy

2

23

2.- Estudia la continuidad de estas funciones:

0xsi2

0xsix1)x(f)b

1xsixln

1xsie)x(f)a

1x

2x

3.- Calcula el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua:

2xsixk

2xsi1x)x(f

4.- Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua:

5.- Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los distintos valores del

parámetro a:

Selectividad nº 27

1.3 -TEOREMA DE LOS CEROS DE BOLZANO

HIPOTESIS TESIS

fcont en a b

signo f a signof bal menosc a b f c

1

20

º . ,

º . ( ) ( )( , ) ( )

Si una función es continua en [a,b] y toma valores

de signo contrario en los extremos del intervalo, la

función se anula al menos en un punto del intervalo

(a,b)

EJERCICIOS:

1.- Probar que la ecuación x3 – 3x+40 = 0 tiene alguna solución real. Aproximar su valor hasta las

décimas

2.- Observamos que f está definida en [0, 1] y que verifica f (0) = –1 < 0 y f (1) = e-1

> 0, pero no existe

ningún c (0, 1) tal que f (c) = 0. ¿Contradice el teorema de Bolzano? Razona la respuesta.

a b

f(a)

f(b)

c



1x

2

1sie

2

1x0si

4x

4x

f(x)2x

3.- Demuestra que la ecuación x5 + x + 1 = 0 tiene, al menos, una solución real.

1.4 -TEOREMA DE LOS EXTREMOS ABSOLUTOS DE WEIERSTRASS

Si una función es continua en [a,b] alcanza al menos

una vez el máximo y el mínimo absoluto en dicho

intervalo

Si se trata de una función lineal alcanza el max. min.

en los extremos del intervalo.

HIPÓTESIS TESIS

EJERCICIOS:

1.- Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máximo y mínimo absoluto en el intervalo

correspondiente:

a) x2 – 1 en [–1, 1] b) x

2 en [–3, 4]

b) 1/(x – 1) en [2, 5] d) 1/(x – 1) en [0, 2]

c) 1/(1 + x2) en [–5, 10]

a bc d

f(a)

f(b)



EJERCICIO2

1.-Selectividad nº 21

2.- Calcular las siguientes derivadas y simplifica el resultado

a) y (x 3)

b) y 3x

c) y lnx

(3x 4)

d) y lnx 1

x 1

e) y ln(x 3)

f) y x lnx x

g) y ln(x 1 x )

h) y arcsen(x x)

i) y arctg1 x

1 x

j) y lne 1

2e

k) y 2

l) y 2

2 4

23

4

2

2

2

2

3

x

x

x 3x 1

senx

2

m) y e

n) y sen x

o) y arcsen(lnx)

p) y arctg1 cosx

1 cosx

q) y ln(cos x )

r) y ln arctg lnx

s) y sen x 1

t) y x x 1 x

u) y arctg1

1 x

v) y arcsen1

x

x) y x sen1

x

tg x

3 2

2 5

2 2

2

2

2

SOLUCIONES

a) y ´= 8x (x2-3)

3 m) y´=

b) y ´=

n) y´=

c) y ´=

o) y´=

d) y ´=

p) y´=

e) y ´=

q) y´=

f) y ´=2x ln x + x – 1 r)

g) y ´=

s)

2 Hacerlos antes de límites



h) y ´=

t)

i) y´= ) u)

j) y´= 1/(ex - 1)

k) 13xx2

2 v)

l) y´= x) y´=2xsen(1/x)-cos(1/x)



TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS



2.-DERIVABILIDAD

2.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La derivada de una función f(x) en el punto x= a es un número que se representa por f ' (a), y que se

define como:

f a Limf a h f a

hLim

f x f a

x ah x a' ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 Cuando existe es la pendiente de la recta tangente3 a la gráfica en el punto

Ejercicios: Calcula, aplicando la definición, la derivada de las siguientes funciones en los puntos que

se indican:

a) f(x)=x2 en x= - 1

b) f(x)= 3 x en x0 =0

c) f(x)= 2

1

xen x0 =2

Selectividad: Resolución de Problemas nº 2, 6, 17,18,20, 31

2.2 DERIVADAS LATERALES

Como la derivada es un límite, se dice que f es derivable en a, cuando existe ese límite por la

izquierda, por la derecha, y ambos son iguales (no infinitos).

Correspondiéndose con el concepto de límites laterales, están las derivadas laterales, por la izquierda y

por la derecha. Y, de la misma manera, aparecen los conceptos de semitangentes en los puntos en los que

las derivadas laterales existen (una o ambas).

En la gráfica de la figura existen las derivadas laterales en a, pero no

coinciden las semitangentes laterales en x=a, por tanto, diremos que la

función no es derivable en x=a. Esto sucederá siempre en los puntos

angulosos de las funciones.

2.3 FUNCIÓN DERIVADA

Diremos que f es derivable en (a,b) si lo es x0(a,b)

Se llama función derivada f ' de la función f, en (a,b)Dom f, a una función que hace corresponder a

cada punto x0(a,b) el número real f ' (x0)

2.4 DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD

Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua es dicho punto

De esta afirmación podemos extraer las siguientes consecuencias:

3 Definida como posición límite de las rectas secantes

a



1) Si una función no es continua en x=a, entonces no es derivable en dicho punto.

2) Si f(x) es continua en x=a puede ser derivable en x=a o no derivable en x=a

3) Si f(x) es no derivable en x=a puede ser continua en x=a o no continua.

2.5. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD

Distinguimos entre funciones simples y a trozos.

SIMPLES (dadas por una sola expresión): polinómicas, racionales logarítmicas,

exponenciales, seno, coseno…Todas ellas son derivables en su dominio, luego el estudio

de la derivabilidad queda reducido al cálculo del dominio. En la función irracional xy

es distinto, pues Dom= [0,+∞) y es derivable en (0, +∞)

Ante la duda siempre se puede derivar y estudiar el dominio de la función derivada.

A TROZOS. Se procede del siguiente modo:

1.- Se estudia la continuidad de cada función, por separado, en su recinto de definición

2.- Se estudia la continuidad en los puntos de empalme (si en alguno de ellos no es

continua, tampoco será derivable. Si es continua hay que seguir con el estudio

3.- Se halla la función derivada sin poner el signo igual en los intervalos de definición

4.- Se estudian las derivadas laterales en los puntos de empalme.

EJERCICIOS

1.- Estudia la derivabilidad de la función f. Dibuja su gráfica y la de f ´

284

224

2842

xsix

xsix

xsix

y

2.- a) Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f ' (0), f ' (3) y f ' (1):

b) ¿Cuál es su función derivada?

c) ¿En qué punto se cumple f ' (x) = 5?

3.- Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2:

4.- Estudia la continuidad y derivabilidad de esta función:

5.- Esta es la gráfica de una función y = f (x). Calcula, observándola:

f ' (–1), f ' (1) y f ' (3)

¿En qué puntos no es derivable?

6.- Comprueba que la función y = 2x no es derivable en x=2



7.- ¿Cuántos puntos hay en esta función que no tengan derivada? Y= 862 xx

8.- Considera la función

a) Calcula m y n para que f sea derivable en todo R.

b) ¿En qué puntos es f ' (x) = 0?

9.- Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R:

10.- Sea la función f = x x

a) Halla f' (x).

b) Halla f'' (x).

c) Representa f' y f''.

11.- Estudia la derivabilidad de la función: f(x)=3 21 x y calcula f ´(1).

12.- a) Representa la función siguiente: f (x) = 31 xx . Observando la gráfica, di en qué puntos

no es derivable.

b) Representa f' (x).

13.- Observa las gráficas de las siguientes funciones

e indica en qué puntos no son derivables.

¿Alguna de ellas es derivable en todo R?

14.- Halla a y b para que la función f (x) sea continua:

Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.

15.- Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f sea derivable en todo su

dominio de definición:

16.- Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones:

17.- Halla la función derivada de 3 xy



18.- Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función: 1 xxy no es derivable en

x=1

Selectividad nº 6, 19

2.6. TEOREMA DE ROLLE

Si una función es continua en [a,b], derivable en (a,b),y f(a)=f(b) existe al menos un c perteneciente al

intervalo (a,b) en el que f ' (c)=0

EJERCICIOS

1.- ¿Es aplicable el teorema de Rolle a las funciones siguientes en los intervalos que se indican?. En

caso afirmativo calcular el valor/es de "c"

2.- Sea f (x) = 1 – x2/3

. Prueba que f (1) = f (–1) = 0, pero que f ' (x) no es nunca cero en el intervalo [–1,

1]. Explica por qué este resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle.

3.- Calcula a, b y c para que la función:

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. ¿En qué punto se cumple la tesis?

4.-Enuncia el teorema de Rolle. ¿Es posible asegurar, utilizando dicho teorema, que la función f (x) =

sen (x2) + x

2 es tal que su derivada se anula en algún punto del intervalo [–1, 1]? Justifica la

respuesta.

HIPOTESIS TESIS

1º .- f continua en [a,b]

2º .- f derivable en (a,b)

3º .- f(a) = f(b)

al menosunc a b f c, / '( ) 0

a b

f(a)=f(b)

1 1 0 2

2 1

3 1 0 0 1

23

3

. ( ) ( ) ,

. ( ) sen ,

. ( ) , ,

f x x en

f x x en

f x x x en y en



5.- En cada uno de los ejemplos que se dan a continuación, es f (a) = f (b) y, sin embargo, no hay ningún

número z ∈(a, b) para el que sea f ' (z) = 0. Explica, en cada caso, por qué el ejemplo no va en contra

del teorema de Rolle.

a) f(x)=

b)

6.- Calcula b para que f (x) = x3 – 4x + 3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b].

¿Dónde cumple la tesis?

7.- Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable, ¿puede haber dos

números distintos, a y b, tales que f (a) = f (b)? Razónalo.

2.7 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE. TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS

Sea f una función continua y definida en [a,b] y derivable en (a,b). Existe, al menos, un c(a,b) tal

que: f(b)-f(a)=f ' (c)(b-a)

HIPOTESIS TESIS

f continuaen a b

f derivableen a bal menos c a b

f b f a

b af c

1

2

ª. ,

ª. ,( ) , /

( ) ( )'( )

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Pendiente de la recta secante AB

f b f a

b a

( ) ( )

Pend. de la recta tangente t

f ' (c)

Como

f b f a

b af c

( ) ( )'( )

Ambas rectas son paralelas

El teorema expresa que existe, al menos, un punto

c(a,b), en el que la recta tangente es paralela a la

recta secante que pasa por los extremos del intervalo.

EJERCICIOS.

1.- Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función: f (x) = x2 – 3x + 2 en [–2, –1] Calcula

el valor correspondiente a c.

2.- Demuestra que f (x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿En qué

punto cumple la tesis?

3.- Se tiene la función f (x) Prueba que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [–2, 0] y

calcula el o los puntos en los que se cumple el teorema.

f(b)-f(a)

a bc

A

B

b-a

t

D



4.- Calcula a y b para que:

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis?

Selectividad nº 30, 33, 28

2.8 NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

2.8.1 Derivación Implícita

Una función implícita es aquella en la que es difícil o imposible despejar la y. Para obtener

y ´ procederemos de la siguiente manera:

1) (Primer miembro) ´ = (Segundo miembro) ´4

2) Despejamos y ´en la igualdad anterior. El valor de y ´ se obtiene en función de x e y

EJERCICIOS:

1.- Calcula la derivada de estas funciones implícitas:

a) x2+y

2 = 9 b) x

2+y

2 – 4x – 6y+ 9 =0

c)

d)

e) x3+y

3+2xy = 0 f)

2.- Usando la derivación implícita, hallar la ecuación de la recta tangente a la

circunferencia: x2 + y2 - 2x + 3y - 17 = 0 , en el punto de abscisa 1 y ordenada

positiva.

3.- Comprueba que sen (x2 y) – y

2 + x = 2 –

16

2 pasa por el punto (2,

4

) y halla la ecuación

de la recta tangente en ese punto.

2.8.2 Derivación Logarítmica.

Se utiliza en las funciones exponencial-potencial y= [f(x)]g(x)

, aunque

en ocasiones, y en otro tipo de funciones tomando logaritmos y aprovechando sus

propiedades, se simplifica el cálculo de la derivada de una función. Consiste en:

1) Aplicar logarítmos a ambos lados de la igualdad (Ln y =Ln [f(x)]g(x)

)

4 ATENCIÓN, la derivada de x es 1, pero la derivada de y es y ´



2) Utilizar todas las propiedades de logarítmos que se pueda

Ln y =g(x)·Ln (f(x))

3) Derivando de forma implícita la función obtenida, se obtiene:

yxf

xfxgxfxgy ·

)(

)()·()()·ln(

4) Sustituir el valor de y por [f(x)]g(x)

EJERCICIOS

1.- Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f (x) = (sen x)x

g (x) = x sen x

2.- Aplica la derivación logarítmica para derivar:

a) y= x3x

b) y= xx+1

c) y=

d) y=(ln x)x+1

e )

f) y= xtgx

3.- Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se

indican:

en x= /6

x2+y

2 – 2x - 8y+15=0 en x=2

4.- Halla un punto de la gráfica y = x2 + x + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a

y = 3x + 8.

5.- Halla una recta que sea tangente a la curva: y = x2 – 2x + 3 y que forme un ángulo de

45° con el eje de abscisas. ¿Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea

horizontal?

6.- Escribe las ecuaciones de las tangentes en los puntos que se indican:

, en x=0 y en x=

7.- Dada la parábola: y = x2 – 2x – 2, se traza la cuerda que une los puntos de la parábola

de abscisas x=1 y x=3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es

paralela a esa cuerda.

8.- Halla los puntos de la gráfica de y= x3 – 3x

2+x en los que la recta tangente forma un

ángulo de π/4 radianes con el eje de abscisas.

9.- Halla los puntos de la gráfica de la función f(x)= x2-5x+6, tales que sus rectas

tangentes se cortan en (1 , 1).

10.- Halla los puntos de la gráfica de la función f(x)=

, de modo que su recta tangente

pase por (0,1)



Selectividad nº 38, 45, 50b



EXERCICIS DE DERIVADES

FUNCIONS DERIVADES 1.- y = sin2x y'= 2 cos2x

2.- y = cos 5 3 2

2

2x x

x

y'= -

5 2

2

5 3 2

2

2

2

2x

xsin

x x

x

3.- y = sin2x y' = 2 sinx cosx

4.- y = sin x2 y' = 2x cosx

2

5.- y = sin2 x

2 y' = 4x sinx

2cosx

2

6.- y = 2 sinx cos x y' = 2( cos2x -sin

2x)

7.- y = sin(sinx) y' = cos(sinx) cosx

8.- y = 1/3 cos32x y' = -2 cos

2 2x sin 2x

9.- y = sin2(cos7x) y' = -14sin(cos7x)cos(cos7x)sin7x

10.- y = ( )2 3 7x y' = 7 2 3 2 32( )x x

11.- y = ( )5 32 23 x y' =23

20

3 (5 3)

x

x

12.- y = (x- 1 2 x )3 y' = 3(x- 1 2 x )

2(1+

1

1 2 x)

13.- y = 1

1

cos

cos

x

x y' =

2

1 2

sinx

x( cos )

14.- y = tan(x+1

x) y' =

x

x xx

2

2 2

1

1

cos ( )

15.- y = ln(x2+3x+1)

y' =2 3

3 12

x

x x

16.- y = ln2x +lnx2-(lnx)

2

y' =1 2 2ln 3 2lnx x

x x x x

17.- y = ln1

1

sinx

sinx

y' = sec x

18.- y = ln[(x+1). x2 1 ] y' =2

2 1

1

x

x

19.- y = lnx

x

2 y' =

2

2x x( )

20.- y = e3x

+ 4x y' =3 e

3x + 4

x ln4

21.- y = 3sinx

y' = 3sinx

cosx ln3

22.- y = ln(cosx2)

y' =

2

22

2

2x sinx

xx x

costg

23.- y = ln cos2 x y' = -2tgx

24.- y = e3x

cos(x2+1) y' = 3 e

3xcos(x

2+1) - 2x e

3xsin(x

2+1)

25.- y = arctg (x+1) y'

32xx

12



FUNCIONS DERIVADES

26 y x x ln( 2 1 ) y'=1

12x

27 y=arc tag

1

1

x

x y'=

1

1 2 x

28 y=2arc tag

1

1

cos

cos

x

x

y'=1

29 y=arc sen(cosax) y'=-a

30 y=ln

1

1

x

x y'=

1

1 2 x

31 y=

1

1

x

x y'=

1

1 2x x( )

32 y=

12

xx

x

x ln

ln y'=

2 22 2x

x

x x

ln

33 y=

1

3

13cos cosx x

y'=sen

cos

3

4

x

x

34 y=

3 2

5

sen cosx x y'=

3 2

2 15 10

cos sen

sen cos

x x

x x

35 y= sen

cos

23

2

1x

x y'=

2

3

23 4

cos

sen

sen

cos

x

x

x

x

36 y= eax y'=a

eax

2

37 y= e xsen2

y'=sen 2x e xsen2

38 y=

12ln x

y'=2

3x xln

39 y= lncos

x

x

1 y'=-

1 12x

tagx

x

40 y= x

x

x

22

11 1

ln y'=1 2 x

x

41 y=

1

3

2 1

1

2

2ln

x x

x x

y'=

x

x

1

13

42 y = x tgx

y´=tgx. xtgx-1

+ xtgx

.lnx.sec2x

43 y=sinxcosx

y'=sinxcosx-1

cos2x - sinx

cosx +1

lnsinx

44 y= arcsin(2x 1 2 x ) y'=2/ 1 2 x

45 y= ln(x+1+ x x2 2 1 ) y'= 1/(x+1)

46 y=(x+1)x+1

y=(x+1)x+1

(ln((x+1)e)

47 y=arctg

1

1

x

x- arctgx

y'=0

1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN...

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