1 Conceptos estadísticos

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Chapter 2 Conceptos Estadísticos 2.1 Funciones Aleatorias Uno de los elementos más importantes de la econometría y estadística se reere al concepto de función o variable aleatoria. En esta sección se desar- rollan los conceptos necesarios para entender a profundidad en qué consiste una función o variable aleatoria, ilustrada con una serie de ejemplos. Denición. Sea S un conjunto y sea S una familia de subconjuntos de S. S se denomina σ-algebra si se dan tres condiciones. 1. ,S S 2. A S A c = S ÂA S 3. A n S ,n =1, 2, 3...., ⇒∪ n=1 A n S Ejercicio. S = {1, 2, 3, 4}. Evaluar si S = {, {1, 2, 3, 4}} es σ-algebra. Este ejemplo muestra que la condición (1) se cumple. Además si A = {} entonces vemos que su complemento A c = {{1, 2, 3, 4}} también pertenece a S (condición 2). Por último, vericando la condición (3), si A 1 = ,A 2 = {1, 2, 3, 4} entonces la unión de ambos conjuntos también pertenece al σ- algebra: 2 n=1 A n S .¥ Ejercicio. S = {1, 2, 3, 4}. Evaluar si el conjunto S es σ-algebra: S = {, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4}} 3
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Chapter 2Conceptos Estadsticos2.1 Funciones AleatoriasUno de los elementos ms importantes de la econometra y estadstica sereere al concepto de funcin o variable aleatoria. En esta seccin se desar-rollan los conceptos necesarios para entender a profundidad en qu consisteuna funcin o variable aleatoria, ilustrada con una serie de ejemplos.Denicin. Sea S un conjunto y sea S una familia de subconjuntos de S.S se denomina -algebra si se dan tres condiciones.1. , S S2. A S Ac= SA S3. An S, n = 1, 2, 3...., n=1An SEjercicio. S = {1, 2, 3, 4}. Evaluar si S = {, {1, 2, 3, 4}} es -algebra.Este ejemplo muestra que la condicin (1) se cumple. Adems si A = {}entonces vemos que su complemento Ac= {{1, 2, 3, 4}} tambin pertenece aS (condicin 2).Por ltimo, vericando la condicin (3), si A1 = , A2 ={1, 2, 3, 4} entonces la unin de ambos conjuntos tambin pertenece al -algebra: 2n=1An S.Ejercicio. S = {1, 2, 3, 4}. Evaluar si el conjunto S es -algebra: S ={, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4}}34 CHAPTER 2 CONCEPTOS ESTADSTICOSAqu se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen f-cilmente. Para el caso de la segunda condicin, si por ejemplo se deneA = {2}, entonces su complemento Acest en el conjunto S y esto se d paratodo conjunto potencial A. Cada uno de los ocho elementos que pertenecen aS pueden ser operados con el operador Uni on para todo n, y siempre es posi-ble vericar que dicha unin pertenece al conjunto S, el conjunto -algebra.Ejercicio. S = {1, 2, 3, 4}. Evaluar si el conjunto S es -algebra: S ={, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}Aqu se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen f-cilmente. Para el caso de la segunda condicin, si por ejemplo se deneA = {2, 3, 4}, entonces su complemento Acest en el conjunto S y esto sed para todo conjunto potencial A. Cada uno de los seis elementos quepertenecen a S pueden ser operados con el operador Uni on para todo n. Eneste caso es posible vericar que dicha unin no siempre pertenece al conjuntoS, por ejemplo {1, 2} / S. Luego, el conjunto S no es -algebra.Denicin. Un par (S, S), conformado por un conjunto S y su -algebraS de sus subconjuntos se denomina espacio medible. Cualquier conjuntoA S se denomina conjunto medible.Denicin. Sea A el conjunto de intervalos abiertos en < :(, b), (a, b), (a, +), (, +)Cada -algebra que contenga A debe tambin contener todos los inter-valos cerrados (complementos). La menor -algebra que contenga todos losconjuntos o intervalos abiertos se denomina Borel-algebra, y se denota porB. Cualquier conjunto que pertenezca a B se denomina conjunto de Borel.Denicin.Sea (S, S) un espacio medible. Una medida es una funcinreal extendida : S