1 Capacitación La historia de las matemáticas como recurso didactico

7/22/2019 1 Capacitacin La historia de las matemticas como recurso didactico

1/12

17

Con argumentos apoyados en numerosos textos de ilustres matemticos, pedagogos, historiadores y profesores, se reclama una fun-

cin didctica para la Historia de las Matemticas como instrumento de comprensin de sus fundamentos y de las dificultades

de sus conceptos para as responder a los retos de su aprendizaje. La Historia es fuente de inspiracin, autoformacin y orienta-

cin en la actividad docente y al revelar la dimensin cultural de la Matemtica, el legado histrico permite enriquecer su ense-

anza y su integracin en el conjunto de los saberes cientficos, artsticos y humansticos que constituyen la Cultura.

The author claims the didactic utility of the History of Mathematics, as a tool to understand its foundations and the difficulties

of its concepts and, hence, to ease the learning. This idea is held in numerous writings from illustrious mathematicians, educa-

tors, historians and teachers. History is a source of inspiration, self-learning and orientation in the teaching activity; as it reve-als the cultural dimension of Mathematics, this legacy allows to enrich its teaching and its integration in the set of humanistic,

artistic and scientific knowledge that constitute the Culture.

sumimos como axioma el aforismo tradicional que reza:hay que conocer el pasado para comprender el presente delque resulta por permutacin de los verbos una mxima demuchos historiadores: hay que comprender el pasado paraconocer el presente. Si el conocer y el comprender el pasadocomponen el saber, ellos debieran ser la brjula que orientenuestra manera de actuar y transformar la realidad.

Llevando estos pensamientos a nuestro mbito de la Ense-anza de la Matemtica, suscribimos sin ms ambages la alu-dida cita de Bell (1985, p.54):Ningn tema pierde tanto cuan-

do se le divorcia de su historia como las Matemticas.

Son mltiples y de muy diversa tipologa las razones que sepueden aducir para justificar o al menos aconsejar que laHistoria de la Matemtica debe ser un elemento importante aconsiderar en la Didctica de la Matemtica. Sern argu-mentos que iremos desplegando a lo largo de este artculo,tomando como lnea programtica algunos textos de impor-tantes matemticos, pedagogos e historiadores del ltimo

Pedro Miguel Gonzlez UrbanejaI.E.S Sant Josep de Calassan de BarcelonaAssociaci de Barcelona per a lestudi i aprenentatge de lesMatemtiques

La historia de las matemticas como recurso

didctico e instrumento para enriquecer

culturalmente su enseanza

A siglo: Poincar, Klein, Toeplitz, Kthe, Bell, Courant, PuigAdam, Lakatos, Kline, Santal... y las reflexiones de otros pro-fesores que han ido aportando, en los ltimos tiempos,numerosas ideas al respecto.

45

Febrero 2004, pp.17-28

Si el conocer y el comprender elpasado componen el saber,ellos debieran ser la brjulaque oriente nuestra manera de

actuar y transformar larealidad.

Ningn tema pierde tanto cuando se le divorcia de su historia como las Matemticas.E.T. Bell (1985).

No olvidar el origen concreto de la Matemtica ni los procesos histricos de su evolucin.P.Puig Adam (1951).


2/12

La Historia de la Matemtica permite conocer las cuestionesque dieron lugar a los diversos conceptos, las intuiciones e ideasde donde surgieron, el origen de los trminos, lenguajes y nota-ciones singulares en que se expresaban, las dificultades queinvolucraban, los problemas que resolvan, el mbito en que seaplicaban, los mtodos y tcnicas que desarrollaban, cmo fra-guaban definiciones, teoremas y demostraciones, la ilacin

entre ellos para forjar teoras, los fenmenos fsicos o socialesque explicaban, el marco espacial y temporal en qu aparecan,cmo fueron evolucionando hasta su estado actual, con qutemas culturales se vinculaban, las necesidades cotidianas quesolventaban. En suma, conocer, en sentido kantiano, el trnsitode las intuiciones a las ideas y de stas a los conceptos.

Para Nolla (2001, p.1):

Los conceptos y las ideas matemticas que se tratan en laEnseanza Secundaria, son presentados a los alumnos deuna forma cerrada y acabada. Se olvida que han surgido des-pus de un largo proceso de gestacin, en las que las intui-ciones ms fecundas con otras estriles, han configurado suspresentaciones sucesivas. A lo largo de la Historia, estasideas han sido generadas por diversos tipos de problemas,prcticos o tericos, pertenecientes a la propia matemticao a otras disciplinas. El conocimiento de estos problemas, y

el estudio de la evolucin de su tratamiento y de los nuevosproblemas que han generado, proporciona los fundamentospara la comprensin de las ideas y conceptos que de elloshan resultado.

Segn Guzmn (1992, IV, p.16):

la historia nos proporciona una magnfica gua para enmar-car los diferentes temas, los problemas de los que han surgi-do los conceptos importantes de la materia, nos da lucespara entender la razn que ha conducido al hombre paraocuparse de ellos con inters. Si conocemos la evolucin delas ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos per-fectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuen-cias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido sur-gir, la situacin reciente de las teoras que de ellas han deri-

vado, etc.

Bajo el punto de vista de la eficacia pedaggica, no slo acorto, sino a medio y largo plazo, adems de transmitir unelenco de conocimientos, resultados estereotipados de lasexposiciones cerradas y acabadas de la ciencia esttica de losmanuales que ocultan el zigzagueante camino de la creacincientfica, se debera despertar en el estudiante, futuro profe-sional, cientfico o tcnico, unas actitudes y unos hbitos

metodolgicos acordes con el mtodo cientfico. Como sea-la Kline (1978, p.49), en su popular obra El fracaso de la

Matemtica moderna (citando a Klein, 1927):

Ensear cientficamente slo quiere decir inducir a pensarcientficamente, de ningn modo enfrentar al alumno, desdeel principio, con fros sistemas cientficamente pulidos.

En parecido sentido vuelve a reflexionar Kline (1992, p.16) ensu excelente texto de Historia de las Matemticas:

Las cuidadas y ordenadas exposiciones que se hacen en loscursos habituales no muestran en absoluto los conflictos delproceso creativo, las frustraciones, y el largo y arduo cami-no que los matemticos han tenido que recorrer para llegara construir una estructura importante. [...], el conocimientode cmo han avanzado los matemticos dando traspis, aveces en la oscuridad ms absoluta, hasta llegar a reunir laspiezas individuales de sus resultados, debera animar a cual-quier principiante en la investigacin.

La Historia de la Ciencia con sus grandezas y miserias, susmomentos estelares y sus pocas oscuras, pone de manifiestoel proceso dinmico de la actividad cientfica como desarrolloa veces penoso y sinuoso, pero siempre abierto y vivo, en pro-ceso permanente de cambio, y cuyo conocimiento, adems deestimular los valores cientficos y el espritu crtico, puedepropiciar en el estudiante el desarrollo de la creatividad poremulacin, es decir, un impulso hacia la intervencin en eldevenir de la ciencia mediante la investigacin, como hemosvisto que insina Kline.

Sin embargo, a pesar de que gran parte del profesorado asumede forma terica estos planteamientos, en la prctica docentey como consecuencia de la formacin universitaria recibidapor los profesores, la Matemtica llega a los alumnos como un

producto dogmtico, cerrado y acabado. En la enseanzasuperior esta situacin tiene su explicacin en la propia natu-raleza de las Matemticas, ya que como explica Poincar(1963) mucha investigacin consiste a menudo en retomarteoras anteriores y refundirlas en un marco nuevo, bajo unenfoque ms potente y general que explica mejor (como casosparticulares) los resultados ya conocidos y que propicia eldescubrimiento de otros nuevos, en la lnea de la clebre frasedel artfice de la Geometra Algebraica moderna A. Grothen-

18

SUMA 45Febrero 2004

Ningn tema pierde tantocuando se le divorcia de su

historia como lasMatemticas.

Bell (1985, p.54)

Sabios que han sido excelentespedagogos [Poincar, Klein,Toeplitz, Kthe, Bell, Courant,Puig Adam, Lakatos, Kline,Santal...] han ponderado laimportancia que tiene laHistoria de la Matemticas enla calidad de su enseanza.


3/12

dieck, simplificar generalizando, de modo que como sealaMaza (1994): [...], se impone la lgica de la generalizacinmatemtica y un estilo deductivista que oculta el proceso deconstruccin original de la Matemtica. As ha sucedido, porejemplo, con la tendencia hacia la algebrizacin de laGeometra, que ha reconvertido las diversas GeometrasClsicas en meros casos particulares o ejemplos concretos del

Algebra Lineal (Dieudonn, 1971 p. 7; Piaget, 1978, p. 275).

Como escribe Houzel (1977, p.VI.3):Las reelaboraciones sucesi-vas que la Matemtica hace de las teoras precedentes, atenan

su historia, y aqu hay que buscar una de las principales razonesque provocan el que las Matemticas sean, en un alto grado,negadoras de su propia historia. Cohen (1968, p.159) apunta lamisma idea basndose en el carcter acumulativo de la ciencia,que supone que todo el trabajo til del pasado est incorporadoa cualquier tratado actual, de modo que se puede prescindir dela obra original. Navarro (1980, p.12) va ms all al referirse a laactitud de muchos cientficos hacia su ciencia, sealando que

situados en la frontera del conocimiento, orgullosos del carcterinnovador de su tarea, muchos sabios ven la reflexin sobre el

pasado como una tarea intil y entorpecedora.

Por fortuna, sabios que han sido excelentes pedagogos hanponderado en sus escritos y manifestaciones la importanciaque tiene la Historia de las Matemticas para mejorar la cali-dad de la transmisin del conocimiento matemtico. Mencio-nemos en primer lugar al profesor L. Santal, un eminentematemtico contemporneo muy preocupado por la educa-cin matemtica. En su obra La matemtica: una filosof a iuna tcnica (Santal, 1993) aplica su erudito conocimiento dela Historia de las Matemticas a la encomiable tarea de des-entraar de una forma fascinante la esencia de la Matemtica,y no slo como ciencia sino tambin como arte y como tcni-ca. Con anterioridad, en su obra La Educacin matemtica

hoy (Santal, 1975), se apoya en la Historia de las Matem-ticas para facilitar la comprensin de la evolucin dinmica delas ideas que han llevado a los conceptos y tcnicas que con-forman el contenido de la educacin matemtica actual. Se-gn Santal (1975), la Matemtica ha formado parte siemprede todo sistema educativo, y remontndose al mundo helni-co enfatiza que en la antigua Grecia los primeros pilares de laEducacin eran la Aritmtica y la Geometra, como describePlatn enLa Repblica.

Asimismo, a ttulo de ejemplo, citemos varios textos deR.Courant, colaborador de Klein y de Hilbert, y coautor de laobra Qu es la Matemtica?, una de las exposiciones msatractivas de las ideas y mtodos de la Matemtica elemental(se recomienda la recensin de Sancho (1998) en el n 29 deSUMA). En el prlogo de la primera edicin, Courant (1971,p. IX) escribe en la primera frase de la obra: Desde hace ms

de dos milenios, una cierta familiaridad con la Matemticaha sido considerada como parte indispensable de la formacinintelectual de toda persona cultivada. Ms adelante, en elmismo prlogo, Courant afirma que: un contacto real con elcontenido de la Matemtica viva es necesarioy se puede expe-rimentar en algunos libros esplndidos de historia y biogra-

f a... En la introduccin de la obra, el autor alude a la Historiade las Matemticas como instrumento para comprender Ques la Matemtica?, frase que da el ttulo a esta magnfica obraen la que los conceptos y problemas aparecen de forma viva ynatural, y muchas veces en su contexto histrico que se con-fronta con la forma actual, y explicados con rigor pero trata-dos de forma heurstica y apelando a la intuicin.

Tambin en el prefacio de un texto de Anlisis Matemtico,redactado en un claro estilo heurstico, Courant (1974) insis-te nuevamente sobre las ideas apuntadas ms arriba:

La Matemtica presentada como un sistema de verdades,acabado y ordenado, sin referencia al origen y propsito desus conceptos y teoras tiene su encanto y satisface unanecesidad filosfica. Pero esta actitud introvertida en elcampo de la Ciencia, no es adecuada para los estudiantesque buscan independencia intelectual ms que adoctrina-miento. Menospreciar las aplicaciones y la intuicin lleva alaislamiento y a la atrofia de la Matemtica.

En el prlogo de la interesante obra de Carl B.Boyer TheHistory of the Calculus and its conceptual development, Cou-rant es todava ms categrico en torno a la necesidad de con-jurar el purismo abstractivo mediante la bsqueda de las ra-ces histricas de la Matemtica (Boyer, 1949):

Los maestros, estudiantes, y los amantes del estudio engeneral, que quieran comprender realmente las fuerzas y lasformas de la Ciencia, han de tener alguna comprensin delestado presente del conocimiento como un resultado de laevolucin histrica. De hecho la reaccin contra el dogma-tismo en la enseanza cientfica ha despertado un interscreciente hacia la Historia de la Ciencia. Durante las dca-das recientes se han hecho grandes progresos en la investi-gacin de las races histricas de la Ciencia en general y de

la Matemtica en particular.Otros matemticos interesados por los problemas de laEnseanza de las Matemticas y preocupados por la oculta-cin del proceso histrico lanzaron tambin sus avisos.Lakatos (1978) escribe:

Las Matemticas se presentan como un conjunto siemprecreciente de verdades eternas e inmutables, en el que nopueden entrar los contraejemplos, las refutaciones o la crti-ca. El tema de estudio se recubre de un aire autoritario.[...]

19

SUMA 45Febrero 2004

Profesores de formacincientfica con vocacin

humanista, se interesan por lahistoria de la disciplina que

imparten y ha empezado unainstitucionalizacin de losestudios de Historia de la

Matemtica.


4/12

El estilo deductivista esconde la lucha y oculta la aventura.Toda la historia se desvanece, las sucesivas formulacionestentativas del teorema a lo largo del procedimiento probato-rio se condenan al olvido mientras que el resultado final seexalta al estado de infalibilidad sagrada.

Tambin Kline (1978, p.47) basndose en el devenir histrico,abunda en incisivos y claros argumentos contra una ensean-za de las Matemticas elementales puramente deductiva:

[...] Durante los siglos en los que se edificaron las ramas msimportantes de las Matemticas no haba un desarrollo lgi-co para la mayor parte de ellas. Aparentemente la intuicinde los grandes hombres es ms poderosa que su lgica. [...].Parece claro que primeramente se aceptaron y utilizaron losconceptos que tenan mayor significado intuitivo [...]. Losmenos intuitivos [...] necesitaron de muchos siglos para sucreacin o para su aceptacin. Adems cuando fueron acep-tados no fue la lgica lo que indujo a ello a los matemticos,sino los argumentos por analoga, el significado fsico dealgunos conceptos, [...] y la evidencia intuitiva.

El estilo que refleja gran parte de la literatura matemtica y loslibros de texto, donde se escamotea el proceso histrico escensurado por Kline (1978, p.52), que cita a Poincar, al plan-tear la siguiente pregunta: Es posible entender una teora sidesde el primer momento se le da la forma definitiva queimpone una lgica rigurosa, sin mencionar para nada el cami-no por el que ha llegado a adoptar esta forma?. La contesta-cin es categrica: No, realmente no es posible entenderla;incluso resulta imposible retenerla si no es de memoria.

La exclusiva exposicin deductiva tiene negativas consecuen-cias sobre los estudiantes que se sienten engaados al hacerles

creer que las Matemticas han sido creadas por grandes geniosque a partir de unos principios y por va exclusivamente lgicaobtenan los teoremas y su demostracin impecable. El estu-diante, que naturalmente no puede funcionar de esta manera sellega a sentir humillado, acomplejado y desconcertado. ParaKline (1987, pags.54,59,60):

Es intelectualmente deshonesto ensear la interpretacindeductiva como si se llegara a los resultados por pura lgica[...] Esa interpretacin destruye la vida y el espritu de las

Matemticas [...], y aunque tenga un atractivo esttico parael matemtico sirve de anestsico para el estudiante.

Tambin para Droeven (1980, p.53):

El esquema de exposicin de la enseanza: definiciones, teo-remas, pruebas, sufre de una amnesia histrica, pues alignorar las gnesis histricas de los conceptos matemticosque involucra, induce a una amnesia conceptual en el alum-

no, el cual no puede reencontrar los obstculos del conoci-miento matemtico que han tenido que vencer esos concep-tos para presentarse de una manera tan racional y asptica.

Todava es frecuente presumir de una ideologa que concibelas ciencias (y sobre todo la Matemtica) como cuerpos dedoctrina universales e intemporales de verdades perpetuas, demodo que por su carcter eterno, las ciencias escaparan a lahistoria. La Historia de la Matemtica subvierte esta creencia,como ilustra Del Ro (1993, p.37) con numerosos casos deproblemas histricos: [...].Estos ejemplos nos muestran que laimportancia de un concepto o de un teorema es algo contex-tual, relativo al estado de la ciencia en ese momento y, portanto, la eternidad de las verdades matemticas es una cuali-dad relativa. En sentido parecido, tras una larga argumenta-cin, escribe Can (1993, p.402): Los resultados de la

Matemtica son produccin cultural, [...], son relativos a uncontexto socio-histrico. Spengler (1998, p.144) va mucho msall cuando escribe:

No hay una Matemtica, hay muchas Matemticas. [...] Elespritu antiguo cre su Matemtica casi de la nada. El esp-ritu occidental, histrico, haba aprendido la Matemticaantigua, y la posea, aunque slo exteriormente y sin incor-porarla a su intimidad; hubo, pues, de crear la suya modifi-cando y mejorando, al parecer, pero en realidad aniquilandola matemtica euclidiana, que no le era adecuada. Pitgorasllev acabo lo primero; Descartes lo segundo.

Para Spengler no hay una Matemtica que se desarrolle lineal-mente y cuyo contenido vaya acumulndose a travs de lossiglos, sino que hay tantas Matemticas como culturas.

Por fortuna, en la actualidad, muchos profesores de forma-cin cientfica con vocacin humanista, se interesan por lahistoria de la disciplina que cultivan e imparten y hace yaalgunos aos que ha empezado a abrirse paso una incipienteinstitucionalizacin en algunas facultades cientficas universi-tarias de los estudios de Historia de la Ciencia y de la Mate-mtica, incluso en los niveles de Doctorado y se organizantanto en los Institutos de Ciencias de la Educacin de las Uni-

versidades como en los Centros de Profesores y Recursos, unagran variedad de Conferencias, Cursos y Seminarios, cuyocontenido versa sobre los ms diversos aspectos de los temashistricos, muchos de los cuales se encargan de poner demanifiesto los seculares y recprocos vnculos de la Matem-tica con los dems aspectos disciplinares de la Cultura y elPensamiento. As sucedi desde luego en el 2000, Ao Mun-dial de las Matemticas. Y en el mbito institucional digno esde sealar la relevante actividad que desde hace ms de una

20

SUMA 45Febrero 2004

La perspectiva histricapermite dar una visin

panormica de los problemasmatemticos para calibrar con

mayor precisin laimportancia de los temas,

quedando as mejorarticulados dentro del

contexto general.


5/12

dcada desarrolla en Canarias el Seminario Orotava de Histo-ria de la Ciencia, dirigido por el Profesor J. Montesinos.

Por otra parte, en la actualidad podemos disfrutar en nuestropropio idioma de abundantes textos de Historia general de lasMatemticas (Boyer, Kline, Bell, Babini, Mankiewicz, Vera,Colerus, Dunham, Rbnikov, Wussing, Argelles, Montesinos,

y otros), de Historias del Clculo Infinitesimal (Babini,Grattan-Guinness, Gonzlez, Durn...) e incluso textos de

Historia de las Matemticas a travs de sus personajes(Pitgoras, Arqumedes, Jayyan, Cardano y Tartaglia, Fermat,Descartes, Newton, Los Bernouilli, Euler, Monge, Lagrange,Legendre, Laplace, Galois, Kolmogrov), que publica la edito-rial Nivola desde hace varios aos, escritos por Profesores congran experiencia e inquietudes didcticas. Tambin en otrosidiomas prximos (francs e ingls) podemos disponer defamosas obras relativamente accesibles (Heath, Smith, Struik,Eves, Cajory, Loria, Brunschvicg, Dhombres, Itard, RouseBall, Scott, y otros).

Debemos mencionar, asimismo, la impresionante fuente de lared Internet, donde con potentes buscadores podemosencontrar, de forma rpida (aunque no siempre fiable), infor-macin sobre Historia, Educacin, Biografa, Iconografa,Temas, Problemas, Tpicos, Teoremas, Frmulas, Paradojas,Errores, Periodos, Ramas, Civilizaciones, Regiones, Textos,Cronologas, Bibliografas, Etimologas, Curiosidades, Anc-dotas, Citas, Animaciones, etc.

Queremos rendir especial tributo al texto de Boyer (1986), unautntico fenmeno editorial en muchos pases, desde hacems de medio siglo. Con l empezamos (en sus ediciones en

ingls y en italiano) y con l continuamos como fuente casiinagotable de erudicin histrica. Como escribe Medero(2003, p.122) en la recensin de esta obra en la Revista SUMA:

[...] es un libro que deben tener a mano todas las personascuya relacin con la Matemtica sea de ndole didctica,sobre todo los profesores de Bachillerato si, como es desuponer, se pretende presentar los contenidos de Mate-mtica no como algo acabado, atemporal, sin relacin conuna poca y una sociedad determinada, sino, por el contra-

rio, como una disciplina viva y relacionada con la culturaimperante. [...] Este libro es un buen manual para prepararintroducciones histricas para cada uno de los temas delcurrculo de Matemticas de Bachillerato, en las que se pue-dan estudiar los orgenes y la evolucin hasta la formulacinactual de los conceptos propios de la Matemtica.

La Historia de las Matemticas como recurso

didctico. El mtodo gentico

Por muchas razones, no resulta fcil concretar las formas deaplicar La Historia de las Matemticas en el mbito escolar, yaque depende, entre otros muchos factores, del nivel educati-vo, de los temas y problemas concretos, de los conocimientoshistricos del profesor, de su inters por la interdisciplinarie-dad, de su iniciativa y capacidad para realizar lo queChevallard (1985) y Gascn (1997, pp.13, 20) llaman transpo-

sicin didctica, en este caso la adaptacin, reconstruccin,recreacin y transformacin del saber histrico instituciona-lizado (como conocimiento til) en saberes a ensear, dentrode los recursos histricos seleccionados previamente comoviables en el aula, y, adems, sin caer en exposiciones anacr-nicas que falsean el pasado en el intento de describirlo e inter-pretarlo con los instrumentos actuales de nuestra notacin,lenguaje y trminos matemticos (Gonzlez, 1992, pp.16-17).

Pero antes de sealar diversas concreciones y asumiendo conGuzmn (1992) que la inmersin creativa en las dificultadesdel pasado alimenta la posibilidad de extrapolacin hacia elfuturo, hagamos dos reflexiones generales. No parece difcildemostrar que la perspectiva histrica permite, por una parte,

dar una visin ms panormica de los problemas matemticos

para calibrar con mayor precisin la importancia de los diver-sos temas, que quedan as mejor articulados dentro de un

contexto general. En este sentido escribe Kline (1992, p.16): lahistoria puede dar la perspectiva global del tema y relacionarlas materias no slo unas con otras sino tambin con las lneascentrales del pensamiento matemtico. Adems, el estudio dela historia permite conocer la aparicin de dificultades episte-molgicas que presentan una gran similitud con las que atra-viesan los estudiantes, y por tanto, como escribe Maza (1994,p.24): facilita la determinacin de obstculos epistemolgicosen el aprendizaje de los alumnos, que como cuestin filosfi-

21

SUMA 45Febrero 2004

Es un clamor la preocupacindocente por enriquecer

culturalmente la Matemticapara reconvertirla en una

disciplina cultural en el msamplio sentido. A este fin sirve

como instrumento bsico laHistoria de las Matemticas.

La Historia de la Matemticapone de manifiesto ladimensin cultural de lasMatemticas y su notableimpacto en la Historia delPensamiento.


6/12

ca general sobre la Didctica es, sin duda, de gran importan-cia. Volveremos sobre algo tan trascendente, a propsito delmtodo gentico.

La forma de utilizar la Historia de las Matemticas como uninstrumento didctico colaborador puede llevarse a cabo de

muy diversas maneras. Se puede, por ejemplo, precedermediante una introduccin histrica la exposicin de cadatema, situando en los contextos cientfico y cultural el origeny la evolucin de los problemas que se van a abordar. Se pue-den aadir a los apuntes que se entregan a los alumnos indi-caciones, breves resmenes o notas histricas. Se puede tam-bin a lo largo del desarrollo de la clase y en cualquiermomento indicar brevemente a qu matemticos o corrientematemtica se debe la introduccin de un concepto nuevo, lademostracin de un teorema o la resolucin de un problema.En este mbito hay un repertorio de importantes cuestionesque se prestan de forma especial a ser tratadas siguiendo suevolucin histrica: el Teorema de Pitgoras (cuya aparicin

en el horizonte histrico matemtico pero tambin en el hori-zonte escolar seala el primer salto intelectual entre los con-fines de la especulacin emprica y los dominios del razona-miento deductivo, ya que con l sobreviene el fenmeno his-trico y escolar de la demostracin, de modo que se trata deun autntico paradigma para la Matemtica y sobre todo parala Educacin matemtica (Gonzlez, 2001a), los cuerpos pla-tnicos, los nmeros poligonales, la Divina Proporcin, elnmero , la resolucin de ecuaciones algebraicas, las tan-gentes a las curvas, y sobre todo el problema de la cuadraturade curvas donde puede uno remontarse a Arqumedes, cuyomtodo mecnico apunta hacia los indivisibles, mientras sumtodo de exhaucin prefigura los lmites de la aritmetiza-

cin del Anlisis (Gonzlez, 1993). En ambos problemas (tan-gentes y cuadraturas), en una lenta transicin de siglos de crea-tividad matemtica, una brillante plyade de matemticos vaalumbrando mtodos y tcnicas infinitesimales de un incon-mensurable valor heurstico e intuitivo (Gonzlez, 1992), queponen en entredicho el rigor, y que obligan a plantearse tras-cendentes cuestiones epistemolgicas acerca de la relacinentre procesos de descubrimiento-invencin y mtodos deexposicin-demostracin.

Pero quiz la forma ms directa de implicar a la Historia de lasMatemticas en su Didctica sea ensayar en algunos temasque se presten a ello, a juicio del profesor, la aplicacin delmtodo gentico, que extrado de la Biologa, intenta recons-truir el clima psicolgico que envuelve a cada momento crea-dor que haya supuesto un salto cualitativo en la Historia de lasMatemticas.

El trmino gentico aparece por vez primera en el apndicesexto de la obraFundamentos de la Geometra (Hilbert, 1996,pp.244-245), donde el clebre matemtico le concede un altovalor pedaggico y heursticoy lo contrapone al mtodo axio-mtico.

La aplicacin del mtodo gentico en la enseanza, que hasido reivindicado por grandes matemticos y profesores deMatemticas, pretende demostrar que, para la perfecta com-prensin de un concepto determinado, el alumno ha de repe-tir a grandes rasgos el proceso histrico que se ha desarrolla-do hasta la formulacin actual del concepto. Poincar (1963,p.99), describe sucintamente la naturaleza del mtodo genti-co:Los zologos pretenden que el desarrollo embrionario de unanimal resume en un tiempo muy corto toda la historia de susantepasados desde los tiempos geolgicos [principio biogenti-co].Parece que sucede lo mismo en el desarrollo de los espri-tus. El educador debe hacer pasar al nio por donde han pasa-do sus padres; ms rpidamente pero sin saltarse ningunaetapa. De esta manera la historia de la ciencia debe ser nues-tra primera gua. Ya en la Introduccin de la obra aludida dePoincar (1963, p.12), este sabio describe su filosofa de lagentica cultural:Reflexionar sobre la mejor manera de hacer

penetrar las nociones nuevas en los cerebros vrgenes, es al

mismo tiempo reflexionar sobre la manera en que estas nocio-nes han sido adquiridas por nuestros antepasados y por consi-guiente sobre su verdadero origen, es decir, en el fondo, sobre suverdadera naturaleza.

Tambin F. Klein desarrolla una argumentacin gentica en suinteresante texto destinado a la formacin de los aspirantes alMagisterio Matemtica elemental desde un punto de vista

superior(Villarroya (1996) ha realizado una recensin de estaobra en el n21 de la Revista SUMA). En efecto, al final del pri-mer volumen Klein (1927, pp.399-400) manifiesta:

[...] Este principio [biogentico], creo yo, debiera ser segui-do tambin, al menos en sus lneas generales, en la ensean-

za de la Matemtica lo mismo que en cualquiera otra ense-anza; se debera conducir a la juventud, teniendo en cuen-ta su natural capacidad y disposicin, lentamente hasta lle-gar a las materias elevadas y, finalmente, a las formulacionesabstractas, siguiendo el mismo camino por el que la huma-nidad ha ascendido desde su estado primitivo a las altascumbres del conocimiento cientfico [...]. Un inconvenientefundamental para la propagacin de tal mtodo de ensean-za, adecuado al alumno y verdaderamente cientfico es,seguramente, la falta de conocimientos histricos que se

22

SUMA 45Febrero 2004

Ms all de su reconocidocarcter instrumental, la

Historia de las Matemticasincardina esta actividad

peculiar del intelecto en elconjunto armnico de los

saberes cientficos, artsticos yhumansticos que constituyen

la Cultura.


7/12

nota con sobrada frecuencia. Para combatirlo gustosamenteme he detenido en consideraciones histricas [...]; as hapodido verse cun lentamente han ido formndose todas lasideas matemticas, cmo han surgido en forma confusa,pudiera decirse que de procedimientos, y slo despus de unlargo desarrollo han llegado a tomar la fuerza rgida y cris-talizada de la exposicin sistemtica.

O. Toeplitz es otro de los creadores del mtodo gentico quelo aplica en uno de los textos ms famosos sobre el ClculoInfinitesimal y su historia, la obra The Calculus, a geneticaproach. En el prefacio de la edicin alemana (incorporado ala versin americana), su discpulo G.Kthe cita la descrip-cin que Toeplitz haba hecho en un artculo sobre la natura-leza del mtodo gentico (Toeplitz, 1963, pp.V-VI):

[...] Si nos remontramos a los orgenes de estas ideas, per-deran esa apariencia mortecina de hechos precisos perodisecados y recuperaran de nuevo su frescor, su pujanza ysu apariencia vibrante. [...] El mtodo gentico es la gua mssegura para este ascenso suave [en el estudio del Clculo],que de otra manera no es fcil de encontrar. Seguid el curso

gentico que es el camino que ha seguido el hombre en sucomprensin de las Matemticas, y veris que la humanidadha ido ascendiendo gradualmente desde lo ms simple a loms complejo. Importantes desarrollos ocasionales puedenser tomados generalmente como indicadores de progresosmetdicos precedentes. Los mtodos didcticos puedenbeneficiarse enormemente del estudio de la historia.

En su argumentacin contra la exclusiva interpretacindeductiva, Kline (1978, pp.48, 49) se apoya en la evidencia his-trica y se adhiere incondicionalmente al mtodo gentico:

Cada persona debe pasar aproximadamente por las mismasexperiencias por las que pasaron sus antepasados si quierealcanzar el nivel de pensamiento que muchas generaciones

han alcanzado. [...]. No se puede dudar de que las dificulta-des que los grandes matemticos encontraron son tambinlos obstculos en los que tropiezan los estudiantes y nopuede tener xito ningn intento de acabar con estas difi-cultades a base de palabrera lgica.

No slo las dificultades son las mismas sino que los estudian-tes debern superarlas aproximadamente de la misma mane-ra en que lo hicieron los matemticos a lo largo de la historia,familiarizndose de forma gradual con los nuevos problemas,empezando por el nivel intuitivo, que va fraguando de formaprogresiva mtodos, tcnicas, ideas y conceptos.

Naturalmente esta repeticin del proceso histrico no debe

entenderse al pie de la letra. En la construccin de la Cienciase recorren, muchas veces de forma tortuosa, caminos que aveces se desandan, de modo que el curso didctico del des-arrollo de la Ciencia no puede tener carcter lineal. Sin ocul-tar al alumno la forma paulatina y sinuosa de la creacin cien-tfica, hay que conducirle por caminos rectos, para no hacer-le perder tiempo. Segn Nolla (2001) la aplicacin del mto-do gentico en el binomio enseanza-aprendizaje realiza unareconstruccin de la Historia que permita encontrar las pre-

guntas esenciales que generan las ideas y conocer las necesi-dades que motivaron en su momento histrico la introduc-cin de un concepto nuevo, as como las dificultades intrnse-cas inherentes al alumbramiento de algunas ideas y a la reso-lucin de algunos problemas, dificultades, que, como seala-ba Kline se manifiestan, asimismo, de forma rotunda en elaprendizaje de los mismos conceptos y en la resolucin de los

mismos problemas.

A ttulo de ejemplo, si los nmeros negativos no aparecieronhasta el milenio de historia matemtica, y si fueron necesariosotros mil aos hasta que fueran aceptados por los matemti-cos, podemos estar seguros de que los estudiantes tendrndificultades con los nmeros negativos. Tan significativoscomo ste son los dos siguientes ejemplos, uno en el mbitodel lgebra y otro en el del Clculo. Echando una ojeada a laHistoria del lgebra podremos comprender fcilmente lasdificultades que tienen nuestros alumnos con el nivel de abs-traccin que exige el manejo de las letras que representan lasincgnitas (Malet, 1984); son las mismas dificultades que hanpadecido los matemticos durante ms de veinte siglos, en eltrnsito desde el lgebra Retrica de los griegos de la pocaclsica allgebra Simblica de Vieta (perfeccionada en cuantoa la notacin por Descartes y Newton), pasando por las etapasintermedias dellgebra Sincopada de Diofanto de Alejandra,por los desarrollos de los rabes y por el famoso Arte de laCosa de los algebristas renacentistas italianos, del Ferro, Tar-taglia, Cardano, Ferrari y Bombelli (Martn Casalderrey, 2000).Anlogamente, la historia nos permite entender las terriblesdificultades padecidas por nuestros alumnos en la compren-sin de los conceptos de lmite y continuidad. Y en este ejem-plo el periodo histrico de dificultades es todava superior,

abarcando prcticamente desde el nacimiento de la Mate-mtica racional hasta final del siglo XIX, es decir, desde losintentos de escamotear el proceso infinito en Matemticas, lle-vado a cabo por los griegos mediante elPostulado de Arqu-medesy elMtodo de exhaucin, hasta la reformulacin sobrebases rigurosas del nuevo Anlisis, emprendida en el siglo XIXpor Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros matemticos, pa-sando, como etapas intermedias, por las reflexiones de la Esco-lstica medieval sobre el infinito y el continuo, que propiciaronla eclosin durante el siglo XVII de los mtodos infinite-simales, que, unificados y generalizados por Newton y Leib-niz, desembocaron en el descubrimiento del Clculo Infini-tesimal por ambos (Gonzlez, 1992).

La Historia de las Matemticas como fuente de

vocacin, motivacin, orientacin, inspiracin y

autoformacin del profesor de Matemticas

El estudio de la Historia de las Matemticas puede ser un ele-mento importante en la autoformacin permanente del profe-

23

SUMA 45Febrero 2004


8/12

sor as como una de las fuentes principales de inspiracin enla orientacin de la actividad docente. La enseanza no esslo una vocacin o una profesin, puede ser tambin un arte,y es indudable que el conocimiento de la Historia de lasMatemticas con sus momentos sublimes y gloriosos y susperodos sombros y baldos, influir decisivamente en el esp-ritu del profesor y en su actitud hacia la propia Matemtica; y

como escribe Malet (1983): bien sabemos que la actitud delProfesor hacia la materia que explica es una de las ensean-zas ms importantes que transmitimos al alumno. Las moti-vaciones para ensear Matemticas y desde luego la maneracomo se ensean pueden verse muy positivamente influencia-das por esa nueva actitud que crea el conocimiento de laHistoria. Vamos a justificar estas consideraciones con lossiguientes argumentos:

a. El conocimiento de la Historia favorece la comprensinprofunda de los problemas matemticos, a travs de lainteleccin del proceso real de creacin de los conceptos,del contexto en que aparecen, de las ideas que los propi-cian, de las cuestiones que resuelven, de las reformulacio-nes que sufren, etc., de modo que la Historia puede ser unafuente de informacin parapresentar su evolucin y estu-diar las diversas aproximaciones al concepto actual, que se

presentar como el paradigma vigente, por utilizar lafamosa terminologa de T.Kuhn (Malet, 1983)

b. Las Matemticas tienen una fuerza creativa interna que semanifiesta en el devenir histrico en un magnfico espec-tculo de creacin continuada y en un vasto despliegueintuitivo que al ser proyectados en el aula podran inducirun clima de investigacin y as contribuir a alcanzar uno delos objetivos formativos esenciales: el desarrollo del espri-

tu creativo del alumno, que Puig Adam (1955) reclama enel quinto precepto de su Declogo: Ensear guiando laactividad creadora y descubridora del alumno. La visinhistrica puede apoyar una propuesta de aprendizaje acti-vo. Citando a Gil (1980) al extraer de la historia de la cien-cia la problemtica que, debidamente presentada a losalumnos, les permitiera redescubrir, a travs de una activi-dad investigadora, los conocimientos que la enseanza tra-dicional trasmite ya elaborados, se podra tender a alcan-zar uno de los objetivos de la enseanza de cualquier cien-cia, a saber, ensear, en alguna forma, a elaborar ciencia.

c. La Historia de las Matemticas revela los ingentes esfuer-zos desplegados por sucesiones de generaciones matem-

ticas en la formacin de algn concepto nuevo o en la reso-lucin de algn problema importante, que, a la hora de tra-tarlo en la clase, el profesor con su arrogancia dogmtica yautoritaria puede creer, de espaldas a la historia, que debeser trivial para el alumno. Ya mencionamos antes a ttulode ejemplo las dificultades intrnsecas del concepto delmite y continuidad o del manejo de las letras en las ecua-ciones, pero los ejemplos son mltiples. El profesor queest al corriente de la Historia, adems de aprovechar el

legado histrico para enriquecer su actividad docente, alconocer y comprender las dificultades de los contenidosimpartidos manifestar una actitud prudente, precavida ypaciente y encontrar sugerencias y apoyos que faciliten laintroduccin de los nuevos conceptos.

d. La Historia de las Matemticas puede ofrecer al Profesorun campo inagotable de estmulos para mantener su inte-

rs en una autoformacin continuada para perseverar en elestudio de la propia Matemtica, lo cual contribuir amantener un nivel adecuado a las exigencias curriculares ya desarrollar las necesarias capacidades de actualizacin yrenovacin pedaggicas.

e. A pesar de la proliferacin en mltiples ramas, la Mate-mtica tiene su unidad propia. Para Kline (1992, pp.15-16):

La manera ms segura de combatir los peligros que ame-nazan nuestra fragmentada ciencia quiz sea la de llegar aconocer los logros, tradiciones y objetivos de la Matemticaen el pasado, para poder dirigir las investigaciones por vas

fructferas. Kline cita a Hilbert:La Matemtica es un orga-nismo para cuya fuerza vital es condicin necesaria launin indisoluble de sus partes.

f. La Historia de la Matemtica subvierte la extendida creen-cia de que el rigor es el supremo valor de la Matemticaque debe imponer una va nica de razonamiento para lle-gar a los resultados. Bajo estas concepciones las clases sevuelven fras, secas y dogmticas y son estriles para unporcentaje elevado de alumnos. La Historia nos muestraque se ha llegado a los mismos resultados matemticos porcaminos muy diferentes y no siempre correctos y que nue-vos modos de razonar se apoyan sobre otros pasados, quedeben ser a su vez modificados para el tratamiento de nue-vos problemas.

g. Para muchas personas, en general, y para muchos estu-diantes, en particular, la Matemtica, que es la ms antiguay, como deca Gauss, la reina de las ciencias no es consi-derada como una disciplina cultural ms, sino como unsimple lenguaje al servicio de las dems ciencias y algo msgrave, se la concibe como el arma utilizada por el sistemaeducativo para filtrar selectivamente al alumnado (esto espatente en las carreras universitarias de tipo tcnico), loque provoca sobre la Matemtica una extendida aversinadems de un cierto aislamiento, que contradice el tercerprecepto del Declogo de Puig Adam (1955):Presentar la

Matemtica como una unidad en relacin con la vidanatural y social. Por todo ello es un verdadero clamor la

preocupacin en el mbito docente matemtico por des-dogmatizar y enriquecer culturalmente la Enseanza de laMatemtica, para reconvertirla en una disciplina culturalen el ms amplio sentido de la palabra. A este fin sirvecomo instrumento bsico la Historia de las Matemticas,como veremos enseguida.

h. La Matemtica recreativa se nutre en buena parte de pro-blemas que han tenido cierto inters a lo largo de la Historiade la Matemtica. sta es, pues, un manantial de problemas

24

SUMA 45Febrero 2004


9/12

curiosos que pueden ser tratados de forma ldica comoactividades al margen de la clase y en el marco de las activi-dades culturales complementarias. A pesar de la escasaaudiencia que suelen concitar las Matemticas, alentadascon anterioridad mediante una propaganda atractiva y pre-sentadas en forma de Taller de Matemtica recreativa(Gonzlez,1989), estas actividades constituyen Experien-

cias en el Aula (Gonzlez, 1988) que pueden tener un granatractivo para los alumnos. Algunos temas que se prestan aser desarrollados en estos talleres podran ser la ingentecantidad de curiosidades numricas, los cuadrados mgi-cos, los nmeros poligonales (que combinan de formavisual las dos esencias de la Matemtica elemental, elnmero y la forma), aspectos histricos, aritmticos y geo-mtricos del Teorema de Pitgoras, el omnipresente nme-ro de oro en su relacin con la Divina Proporcin y su inci-dencia sobre el Arte, las mltiples curiosidades sobre pol-gonos y poliedros, el famoso nmero , los tres problemasgeomtricos clsicos (la cuadratura del crculo, la duplica-cin del cubo y la triseccin del ngulo), las inquietantesparadojas sobre el infinito, aspectos artsticos de la Geo-metra Proyectiva elemental, etc. Pero tambin en el marcode la clase pueden encajar coyunturalmente aspectos de laMatemtica recreativa. Para Rodrguez (1980, pp.53-56):Las inclusiones de asuntos o tratamientos propios de laMatemtica recreativa (con sus resultados chocantes con laintuicin ordinaria, el rigor suavizado, y la aparicin notablede referencias histricas) en los cursos ordinarios son tni-cos excelentes que entendemos ayudan al alumnado a seguiradelante.

En sentido similar escribe Rodrguez (1987, p.VII):

Los recursos ldicos y notas histricas, compartidos entre

maestros y alumnos, resultan a veces inmejorable medio deorientar el inters o aliviar la tensin de la clase de Mate-mticas. De ah la atencin, cada vez mayor, que se les otor-ga en la Didctica.

La Historia de la Matemtica como instrumento

para enriquecer culturalmente su enseanza

Las Matemticas constituyen una de las grandes manifestacionesdel Pensamiento con un desarrollo milenario relacionado estre-chamente con los grandes hitos del conocimiento y de la cultura.Conocida es la implicacin de la Matemtica con las Ciencias de la

Naturaleza, la Tecnologa y el Arte; pero sus vnculos con laFilosofa, la Educacin, el Lenguaje, la Literatura, la Belleza, laReligin, la Mstica, la Poltica, etc., hacen de ella una manifesta-cin de la racionalidad humana que, navegando a lo largo de laHistoria en todos los confines del Pensamiento, vertebra laCultura, desde las ms remotas civilizaciones hasta la inexorableinformatizacin del mundo actual. La permanente interaccin deldesarrollo matemtico con cualquier actividad humana hacen deesta ciencia uno de los grandes logros culturales de la humanidad.

La Historia de la Matemtica pone de manifiesto la dimensincultural de las Matemticas y su notable impacto en laHistoria del Pensamiento. A ttulo de ejemplo vamos a descri-bir de forma muy sinttica algunas relaciones e influenciasrecprocas que a lo largo de la Historia ha establecido y man-tenido la Matemtica con ciertas disciplinas, en particular lasque en sentido acadmico acostumbramos a denominar

humansticas: Filosofa, Artes, Religin, Educacin, Poltica,Literatura y Poesa:

Matemtica y Filosofa. La Matemtica y la Filosofa tienenunas races histricas comunes en el horizonte pitagrico delsiglo VI a.C. que conocemos relativamente bien a travs de laFilosofa platnica y de La Metaf sica de Aristteles. Apartede cuestiones propiamente filosficas como el concepto deverdad en Matemticas, la naturaleza del rigor y la idea de lademostracin (consustancial con la Matemtica y elementoesencial en el trnsito del mito al logos), podramos concretar

en tres figuras esenciales:

Pitgoras: el nmero es la esencia de todas las cosas, es unpronunciamiento metafsico que en el curso de los siglosconducir al galileano la naturaleza est escrita en carac-teres matemticosy tiene plena vigencia en la actualidad atravs de la digitalizacin informtica (Gonzlez, 2001a).

Platn: en muchos de susDilogos (Repblica, Leyes, Me-nn, Timeo, Teeteto... ) se sita a la Matemtica como pro-pedutica del estudio de la Filosofa y fundamento de todoel saber humano (Gonzlez, 2001b) y en el frontispicio dela Academia rezaba: No entre nadie ignorante en Geo-metra. Adems,Dios geometriza el mundo por eso el len-

guaje matemtico es imprescindible para descifrar sussecretos, como aseguraba Galileo.

El sueo de Descartes de la matematizacin del mundo(Davis, 1989). La certidumbre matemtica. La unin del l-gebra y la Geometra como germen de un nuevo sistema filo-sfico. La Matemtica como base racional del pensamientocartesiano. Implicaciones recprocas entre El Discurso del

Mtodo, La GeometrayLas Reglas para direccin del espri-tu. El Anlisis y la Sntesis como preceptos cartesianos.

25

SUMA 45Febrero 2004

La Historia de la Matemticaes punto de convergencia eintimidad entre Ciencias yHumanidades. La ignorancia oel desprecio de la topologa deeste terreno compartidoalimenta la estril polmicasobre las dos culturas.


10/12

Matemtica y Artes. Msica, Pintura, Arquitectura...

La Matemtica como Arte: Platn, Poincar, Hadamard,Hardy, Santal...

El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo.(F. Pessoa)

Los saberes matemticos en las Artes. El artista como ge-

metra. Arte, Geometra y Pensamiento. Armona, Belleza y Pro-

porcin: Pitgoras, Aristteles, Vitrubio, Pacioli, Leonar-do, L.Alberti, Durero, Barbaro, Palladio, Rafael.

El fundamento matemtico de la armona musical. Las Proporciones pitagricas en el Arte:

Proporciones conmensurables. Consonancias musica-les. L. Alberti, Boticelli, Palladio.Proporciones inconmensurables. Seccin urea: la DivinaProporcin en el Arte.

Simbolismo y diseo polidrico: Leonardo, Durero, Pierodella Francesca, Pacioli, Escher, Gaud, Dal.

Reminiscencias pitagricas en Dal y Gaud. El Arte Fractal: Benoit Mandelbrot, Gastn Julia...

Matemtica, Religin, Teologa y Mstica. Origen sacro dela Geometra. Simbologa religiosa geomtrica. El Pentagra-ma mstico pitagrico. Los Sulvasutras hindes. La Geome-tra del espacio popular y del espacio sagrado. El Pitagorismocomo Religin. El Pitagorismo fundamento filosfico e ideo-lgico del Cristianismo. San Agustn y San Isidoro. La Geo-metra instrumento divino de creacin y configuracin(Pitgoras, Platn, Kepler...). El Dios gemetra como Arqui-tecto supremo del universo. El Argumento ontolgico de SanAnselmo. ElHorror al infinito de los griegos y el Dios cristia-

no medieval. La Divina Proporcin y los atributos de la divi-nidad (L.Pacioli). El simbolismo mstico del Dodecaedro. Laduda metdica de Descartes y Dios en El Discurso del Mto-do. El misticismo de Pascal y su apuesta probabilstica sobre laexistencia de Dios. La mxima de Kronecker: Dios cre losnmeros naturales y todo lo dems [en Matemticas] es obradel hombre. Rusell y laspruebas de la existencia de Dios...

Matemtica y Educacin.

Pitgoras: Acuacin del trminoMathema con el signifi-cado de lo que se ensea y se aprende , es decir lo formati-vo, lo enseable por antonomasia.

Arquitas de Tarento: la Matemtica como componenteesencial del currculum escolar segn el Cuadrivium pita-

grico (Aritmtica, Geometra, Msica y Astronoma), san-cionado por Platn enLa Repblicay de vigencia secular.

Platn: La Matemtica como un instrumento esencial parala educacin e instruccin de la juventud (Republica, VII,521-527).

Como herederos del mundo clsico, nosotros, profesionalesde la transmisin del conocimiento matemtico, enfatiza-

mos con vehemencia las cualidades de las Matemticas: lacapacidad para manejar la cantidad y la extensin, laregularidad y la disposicin, la estructura y la implicacin,la induccin y la deduccin, la observacin y la imagina-cin, la curiosidad y la iniciativa, la lgica y la intuicin, lainvencin y el descubrimiento, el anlisis y la sntesis, la

generalidad y la particularidad, la abstraccin y la concre-

cin, la interpolacin y la extrapolacin, la decisin y laconstruccin, la belleza y la utilidad, la armona y la crea-tividad, la interpretacin y la descripcin... siempre bajo laaccin del entendimiento y el imperio de la voluntad. Estascualidades inherentes a las Matemticas alimentan su fun-cin informativa: adquirir un conjunto de conocimientosque permitan familiarizarse con el mundo natural circun-dante, con herramientas para interpretar el mundo fsico,natural y social, en trminos cuantitativos y abstractos,

pero sobre todo, por imperativo platnico, la funcin for-mativa: desarrollar el pensamiento crtico y el rigor cient-

fico, inculcar una disciplina mental con la que operar sobrecualquier tipo de pensamiento o de situacin y a travs dela resolucin de problemas desarrollar la iniciativa perso-nal y la fortaleza para vencer obstculos, estimulando lavoluntad. La Matemtica incide as decisivamente sobre elbinomio entendimiento-voluntad que es la matriz del esp-ritu humano, de ah la implicacin trascendental que comoen los tiempos de Platn tiene hoy y siempre la Matemticaen la Educacin. (Gonzlez, 2001b, p.15).

Matemtica, Poltica y Sociedad.

Platn: La Matemtica herramienta bsica para la forma-cin del hombre de Estado (La Repblica,Las Leyes).

Matemtica y Revolucin Francesa: la Enciclopedia de Di-derot y DAlembert (cuyo Discurso Preliminar de grancontenido histrico, cientfico y matemtico, es redactadopor ste) prepara el ambiente de una Revolucin social ypoltica con gran protagonismo de los matemticos (Mon-ge, Carnot, Condorcet, Lagrange, Legendre, Laplace...) quepropician una Revolucin educativa institucional con lacreacin de las instituciones educativas de enseanzasuperior (la Escuela Politcnica y la Escuela Normal), pro-ducen una Revolucin didctica (programas de asignatu-ras, libros de texto), fundan la figura del matemtico pro-fesional como Profesor funcionario asalariado del Estado eintroducen el Sistema Mtrico Decimal. Condorcet, fun-

dador de la Matemtica Social y artfice de los manualesdel maestro crea un espritu socio-poltico con la mxima:

Esclareced las ciencias morales y polticas con la luz dellgebra. Napolen como matemtico y como poltico:Lasobras de Matemticas contribuyen a la ilustracin de lanacin; El avance y la perfeccin de las Matemticas estnntimamente ligados a la prosperidad del Estado.

La Estadstica como instrumento esencial de la accinpoltica del Estado como indica su propia etimologa.

26

SUMA 45Febrero 2004


11/12

Matemtica y Literatura. Dilogos (Platn), De propria vita(Cardano),Pensamientos (B. Pascal), Alicia en el Pas delas Maravillas (L. Carroll), Una infancia rusa (S. Kova-leskaya),Planilandia (E.Abbott),Apologa de un matem-tico (G. H. Hardy), El Aleph (J.L.Borges), Kepler (A.Koestler), El hombre que calculaba (M.Tahan), El to

Petros y la conjetura de Goldbach (A.Doxiadis),El teore-

ma del loro (D. Guedj), El diablo de los nmeros (H. M.Enzensberger),El enigma de Fermat (S.Singh),El sueo de

Descartes (P. J. Davis), rase una vez un nmero (J. A.Paulos),La mesura del mn (D. Guedj),Damunt les espat-lles dels gegants (J. Pla)...

Matemtica y Poesa. Platn, Pitgoras, Dante, O. Kayyan,Pacioli, Weierstrass L. Carroll, Hausdorff, P. Valery,Poincar, Hardy, R. Alberti...

Como vemos en esta breve incursin de la Matemtica en losSaberes, la Historia de las Matemticas pone de manifiesto losvnculos recprocos entre la Matemtica y la Filosofa, el Arte,las Ciencias Sociales y en general cualquier manifestacin dela Cultura, sirviendo de puente entre la cultura humanstica yla cientfica como dice Campedelli (1970). Si esto es as, alsituarnos en el mbito docente, encontramos muy acertadasla palabras de Gmez (2002, p.119, 120):

La educacin matemtica tendra que ser una autntica edu-cacin en humanidades, en la que los estudiantes conocie-ran el papel que representan las Matemticas en nuestracultura y en la sociedad. [...] Ensear Matemticas como siestuviesen aisladas es una distorsin del conocimiento.Convendra ensear Matemticas yendo ms all de las pro-pias Matemticas: considerando sus relaciones y buscandosu sintona con las corrientes principales del pensamiento.

Esta nueva actitud motivara a los estudiantes, creara nue-vas aplicaciones y abrira nuevas vas de debate.

Por supuesto que la Historia de las Matemticas ante todomuestra ostensiblemente la ms conocida relacin entre lasMatemticas y sus aplicaciones externas, las ciencias en gene-ral y las diversas tcnicas (en cuya interaccin han surgidogran cantidad de ideas matemticas importantes), y, desde el

punto de vista sociolgico, permite conocer las fuerzas socia-les y productivas que contribuyeron a su desarrollo. Pero conbase en la Historia de la Matemtica hemos visto que laMatemtica es mucho ms que un lenguaje y una herramien-ta. No queremos infravalorar, ni mucho menos, la condicininstrumental de la Matemtica, ya que tiene un valor trascen-dente, toda vez que buena parte de los alumnos as la conce-

birn y en ese sentido la aplicarn en su futura vida acadmi-ca, profesional y personal. Pero, con cierto espritu platnico,nos proponemos dignificar la condicin de la Matemtica,ms all de su reconocido carcter instrumental, para allendela ciencia, incardinar esta actividad peculiar del intelectohumano en el conjunto armnico de los saberes cientficos,artsticos y humansticos que constituyen la Cultura, puescomo escribe Boyer (1949, Prefacio): La Ciencia es tanto unhbito de pensamiento como una forma de vida y las

Matemticas son tanto un aspecto de la Cultura como unacoleccin de algoritmos. Hay que subrayar que la Historia de laCiencia, en general, y la de las Matemticas, en particular, sonprivilegiados puntos de encuentro donde convergen e intimanla Ciencia y las Humanidades. La ignorancia o el desprecio dela topologa de este terreno compartido alimenta la estrilpolmica sobre las dos culturas. Como contrapunto escribeLusa (1984, p.5): la escisin de los saberes, no slo en dos, sinoen mil culturas, hace necesario el fortalecimiento de elementosintegradores que estimulen la interdisciplinariedad y el reen-cuentro de los saberes. La Historia de la Ciencia marca uncamino seguro hacia esa reintegracin cultural.

Conclusiones.

En la Historia de las Matemticas el profesor puede encontrarun medio de autoformacin para la comprensin profunda delas Matemticas y sus dificultades de transmisin lo que permi-tir suavizar el camino que conduce de la Enseanza alAprendizaje; un instrumento para desarrollar la capacidad derenovacin y adaptacin pedaggicas y una metodologa quepermita plantear activamente el aprendizaje como un redescu-brimiento. Como dice Kline (1978):se puede comprimir la his-toria y evitar muchos de los esfuerzos y trampas intiles, pero noes posible darla de lado. Adems, la Historia de las Matemticases una fuente inagotable de material didctico, de ideas y pro-blemas interesantes y tambin, en un alto grado, de diversin y

recreo intelectual, en suma de enriquecimiento personal, cien-tfico y profesional, que el profesor puede aprovechar para moti-var su labor de transmisin del conocimiento, desdramatizandola Enseanza de las Matemticas. Finalmente la Historia de lasMatemticas como lugar de encuentro entre las ciencias y lashumanidades, es un instrumento magistral para enriquecer cul-turalmente la Enseanza de la Matemtica e integrarla de formaarmnica e interdisciplinar en el currculum acadmico.

27

SUMA 45Febrero 2004

La Historia de lasMatemtica como lugar de

encuentro entre las ciencias ylas humanidades, es un

instrumento magistral paraenriquecer culturalmente su

enseanza.


12/12

28

SUMA 45Febrero 2004

BELL, E.T. (1985):Historia de las Matemticas. Fondo de CulturaEconmica. Mxico.

BOYER, C.(1949): History of the Calculus and its conceptualdevelopment. Dover, New York.

BOYER, C. (1986): Historia de las Matemticas. Alianza Univer-

sidad Textos (AUT/94), Madrid.CAMPEDELLI, L. (1970): Fantasa y Lgica en la Matemtica.

Labor, Barcelona.

CAN, C. (1993): La Matemtica, creacin y descubrimiento.U.P. Comillas . Madrid.

CHEVALLARD, Y. (1985):La transposition didactique. Du savoirsavant au savoir enseign, La Pense Sauvage, Grenoble.

COHEN, I. (1968): La imaginacin humana y la naturaleza,Fronteras del conocimiento. Eudeba, Buenos Aires.

COURANT, R. y ROBBINS, H. (1971): Qu es la Matemtica?Aguilar, Madrid.

COURANT, R. y JHON, F. (1974):Introduccin al clculo y al an-lisis matemtico. Limusa. Mxico.

DAVIS, J. y HERSH, R. (1989): El sueo de Descartes, el mundosegn las Matemticas. Labor, MEC, Barcelona.

DEL RO, J. (1997): Historia de las Matemticas. Implicacionesdidcticas, SUMA, n.26, 33-38.

DIEUDONN, J. (1971): Algebra Lineal y Geometra elemental.Selecciones cientficas, Madrid.

DROEVEN, E.(1980): Propuesta para un aprendizaje no ahistricode las Matemticas.Actas del Simposio sobre La Historia delas Ciencias y la Enseanza. 53-56, Valencia.

GASCN, J. (1997): Cambios en el contrato didctico: el paso deestudiar matemticas en secundaria a estudiar matemticas enla Universidad. SUMA, n.26, 11-21.

GIL, D. (1980): Papel de la historia de la ciencia en un plantea-miento activo del aprendizaje.Actas del simposio sobre La his-

toria de las ciencias y la enseanza, 21-24, Valencia.GMEZ URGELLS, J. (2002):De la enseanza al aprendizaje de

las Matemticas. Paids (Papeles de Pedagoga). Barcelona.

GONZLEZ URBANEJA, P. (1988): Experiencias en el Aula.Comunidad Escolar, n. 197. MEC Madrid.

GONZLEZ URBANEJA, P. (1989): Taller de Matemtica recre-ativa. Cuadernos de Pedagoga, n. 166, 6566. Barcelona.

GONZLEZ URBANEJA, P. (1992): Las races del ClculoInfinitesimal en el siglo XVII. Alianza Univ., n. 716, Madrid.

GONZLEZ URBANEJA, P. ; VAQU, J (1993):El mtodo relati-vo a los teoremas mecnicos de Arqumedes. Pub. Univ. Aut. deBarcelona, Ed. Univ. Politcnica de Catalunya. Col. Clsicos delas Ciencias. Barcelona.

GONZLEZ URBANEJA, P. (2001a): Pitgoras, el Filsofo delnmero. Nivola, Madrid.

GONZLEZ URBANEJA, P. (2001b): La implicaci de la matem-tica en leducaci, segons Plat.Butllet09/2003 ABEAM.

GUZMN, M. (1992): Tendncies innovadores en educaci mate-mtica. Butllet de la Societat Catalana de Matemtiques,nm 7, 733. Barcelona.http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/tendencia/ensen.htm

HILBERT, D. (1996): Fundamentos de la Geometra. CSIC,Madrid.

HOUZEL, C. (1977): Historia de las Matemticas y Enseanza delas Matemticas. En Bibiloni (y otros)Materiales para una dis-cusin sobre la enseanza de la historia de la ciencia y su posi-

ble uso didctico. VI.1-VI.10.ICE, Univ. Barcelona, 1982.

KLEIN, F. (1927):Matemtica elemental desde un punto de vistasuperior. Vol.I Biblioteca Matemtica, Madrid.

KLINE, M. (1978): El fracaso de la Matemtica moderna. SigloXXI, Madrid.

KLINE, M. (1992): El pensamiento matemtico de la Antigedada nuestros das. Vol.1. Alianza Universidad, n. 715, Madrid.

LAKATOS, I. (1978):Pruebas y refutaciones. La lgica del descu-brimiento matemtico. Alianza Universidad n. 206, Madrid.

LUSA, G. (1984): Seminario Permanente de Historia de laMatemtica. Butllet de la secci de matemtiques, n. 16,Institut dEstudis Catalans, Barcelona.

MALET, A. y otros (1983): Histria de les matemtiques: culturay didctica.Papers de Batxillerat, n. 3, 7477.

MALET, A. ; PARADIS, J. (1984): Els orgens i lensenyament dellgebra simblica. Edicions de la Universitat de Barcelona.

MARTN CASALDERREY, F. (2000): Tartaglia y Cardano. LasMatemticas en el Renacimiento italiano. Nivola, Madrid.

MAZA, C. (1994): Historia de las Matemticas y su enseanza: unanlisis. SUMA, n.17,17-26.

MEDEROS, C. (2003): Un clsico de historia. SUMA, n. 42, 121-122.

NAVARRO, V. (1980): Introduccin de lasActas del Simposio sobreLa Historia de las Ciencias y la Enseanza, 11-17. Valencia.

NOLLA, R. (2001):Estudis i activitats sobre problemes clau de laHistria de la Matemtica. Per a una aproximaci gentica al

tractament de les idees matemtiques. Memria de Llicnciadestudis. Generalitat de Catalunya.http://www.xtec.es/sgfp/llicencies/200001/resums/rnolla.htm

PIAGET, J. y otros (1978): La Enseanza de las Matemticasmodernas. Alianza Universidad, n. 207, Madrid.

POINCARE, H. (1963): Ciencia y mtodo. Espasa Calpe, Col.Austral n. 409, Madrid.

PUIG ADAM, P. (1951): Declogo de la Didctica MatemticaMedia, Gaceta Matemtica, 1 serie, tomo 7, n.5-6, Madrid.

RODRIGUEZ, A.L. (1980): La hora de la Matemtica Recreativa enel Bachillerato actual. Revista de Bachillerato. Cuadernomonogrfico n. 5 sobre Matemticas, 5356.

RODRIGUEZ, R. (1987): Cuentos y cuentas de los matemticos.Revert. Barcelona, 1987.

SANCHO, J. (1998): Este libro es una obra de arte, SUMA, n.29,121-126.

SANTAL, L. (1975): La Educacin matemtica hoy, Teide,Barcelona.

SANTAL, L. (1993):La matemtica: una filosof a y una tcnica.Eumo, Vic- Girona.

SPENGLER, O. (1998): La decadencia de Occidente. Cap.I.1.Austral, Madrid.

TOEPLITZ, O. 1963, The Calculus, a Genetic Approach. Univer-sity of Chicago Press.

VILLARROYA, F. (1996): Klein y la Enseanza de las Matemticas,SUMA, n.21, 107-113.

REFRENCIAS BIBLIOGRFICAS

1 Capacitación La historia de las matemáticas como recurso didactico

Documents

Transcript of 1 Capacitación La historia de las matemáticas como recurso didactico