1

6. Variable aleatoria continua

Un diálogo entre C3PO y Han Solo, en El Imperio

Contraataca, cuando el Halcón Milenario se dispone a entrar en un campo de asteroides:

- C3PO: Señor, la probabilidad de sobrevivir al paso por el campo de asteroides es,

aproximadamente, de una entre 3721.

- HAN SOLO: ¡No me hables de probabilidades!

Variable aleatoria continua versus discreta.

Considera el siguiente ejemplo:• Tenemos dos dados: el primero es un dado convencional

que tiene 6 caras, todas ellas equiprobables. • El segundo, es un dado ‘continuo’, es decir, al tirar el dado

podemos obtener cualquier número real comprendido en el intervalo [0,6]. Todos los números son equiprobables.

- Por Laplace, sabemos que en el primer caso, P(X=x)=1/6- En el segundo caso, P(X=x)=1/∞ = 0!!

En general, para toda v.a. continua X, la probabilidad de que tome un

determinado valor, p(X = x), es simpre igual a cero. Este hecho es, junto al uso de la integral en lugar de

sumatorios, la diferencia fundamental entre ambos tipos de variables.

¿Cómo calcular entonces probabilidades?

Función de densidad de probabilidad

f(x)

Xa b

La probabilidad de que X esté entre a y b se puede calcular como el área que queda de-bajo de la curva f(x)

El área delimitada por la curva f(x) en el intervalor [a,b] se calcula como la integral de la función en dicho intervalo.

Al igual que la función de masa de probabilidad, la función de densidad siempre toma valores positivos. Pero, dado que no es una probabilidad, PUEDE TOMAR VALORES SUPERIORES A 1.

La función de densidad per se NO ES UNA PROBABILIDADEs decir, NO es verdad que f(x) = P(X = x)

Recuerda que P(X=x) es siempre igual a cero si X es una v.a. continua.

4

Imaginemos una ruleta de la fortuna con un perímetro circular de longitud 1. Como la flecha puede señalar infinitos valores no numerables, todo resultado tiene probabilidad 0. ¿Cómo podemos definir entonces probabilidades?

Podemos hacerlo asignando probabilidades a intervalos, p. ej.: la probabilidad de que el resultado esté entre 0 y 0,5 es 1/2, puesto que se trata de la mitad del círculo.¿Cómo podemos representarlo mediante una gráfica?

Área = 1

)(xp

x0 1

1

10

101

00

)(

x

xab

x

xp

5

)(xp

x0 1

1

a b

La probabilidad de que obtengamos un valor entre a y b es b - a.

)(xp

x0 1

1

a

El área sobre un punto como a, es cero.

6

Función de distribución de una variable aleatoria continua

Para una variable aleatoria continua disponemos de un conjunto no numerable de valores. No es posible definir una probabilidad para cada uno. Por eso definimos previamente la función de distribución de probabilidad, que sí tiene un significado inmediato y semejante al caso discreto:

)()(

]1,0[:

xXPxFx

F

7

x

xdttpxF )()(

Donde p(x) se llama función densidad de probabilidad de la distribución F(x), es continua y definida no negativa.

Diferenciando tenemos:

para cada x donde p(x) es continua.

Definimos la función de distribución para la variable aleatoria continua como:

)()(

xpdx

xdF

8

Función de densidad de probabilidad

Es una función no negativa de integral 1.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15

Se puede pensar como la generalización de un histograma de frecuencias relativas para variable continua.

a b

)()(

)(

aFbF

bxaP

dxxpb

a

)(

9

Observa que:

De modo que la probabilidad es el área bajo la curva densidad p(x) entre x = a y x = b.

1)(

dvvp

A partir de la definición es fácil ver que:

b

a

dvvpaFbFbXaP )()()()(

Nota: para cualquier par de valores a y b, en el caso de una variable aleatoria continua, las probabilidades correspondientes a los intervalos a < X b, a < X < b, a X < b y a X b son la misma. No así en variable discreta.

Un cartero llega cada mañana entre las 8 y las 10. Definimos X = tiempo

transcurrido (medido en horas) hasta que llega el cartero. Por tanto, X está

entre 0 y 2. Si la función de densidad de X es

(a) Calcula el valor de k(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cartero llegue entre las 9 y las 10?(c) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a las 9 en punto?

f (x) k

0

Si X está entre 0 y 2

En caso contrario

1)( dxxf

2/1;102]20

2

0)(

kkkxdxkdxxf

2

1

2

12/1)12(2/12/1 ]2/1 xdx

(a)

(b)

(c) 0

Supongamos que X tiene como función densidad a p(x) = 0.75(1-x2) si -1 x 1 y cero en otro caso. Encuentra la función de distribución y las probabilidades P(-1/2 X 1/2) y P(1/4 X 2). Y x tal que P(X x) = 0.95

F(x) = 0 si x -1

F(x) = 1 si x >1.

11- si 25.075.050.0)1(75.0)( 3

1

2

xxxdvvxFx

6875.0)1(75.0)()()(21

21

221

21

21

21

dvvFFXP

1

3164.0)1(75.0)()2()2( 241

41

41

=-=-=££ ò dvvFFXP

73.095.025.075.05.0)()( 3 xxxxFxXP

15

Esperanza matemática o media

continua)ión (Distribuc )(μ

discreta)ión (Distribuc )(μ

dxxxp

xpxj

jj

Decimos que una distribución es simétrica si existe un valor c tal que para cada real x: p (c + x) = p(c - x).

Observa que si una distribución es simétrica con respecto a c, entonces su media es = c.

16

Varianza y desviación típica

continua)ión (Distribuc )(μ)(σ

discreta)ión (Distribuc )(μ)(σ

22

22

dxxpx

xpxj

jj

La desviación típica o estándar es el valor positivo de la raíz cuadrada de 2. Ambas miden la dispersión de la distribución.

Observa que la varianza siempre es 2 > 0, excepto para una distribución con p(x) = 1 en un punto y p(x) = 0 en el resto (una delta de Dirac), en cuyo caso 2 = 0.

17

caso otroen 0

si1

),()(

bxaabbaUxp

Distribución de probabilidad uniforme U(a,b)

Área = 1

)(xp

x

1

b a

a b

Función de densidad de probabilidad:

x

xdttpxF )()(

bx

bxaab

axax

xF

1

0

)(

Recordemos que la función de distribución se define como:

Entonces:

18

caso otroen 0

si1

)(

bxaabxp

bx

bxaab

axax

xF

1

0

)(

Igualmente, partiendo de la función de distribución:

Podemos calcular la función de densidad de probabilidad:

)()(

xpdx

xdF

19

ab

xx)xxP(x

2121

2

1

4147

4245)4542(

xP

)(xp

x41 47

45 42

47 41

1

2

Area= 0.5

p x

para x

para

( )=-

£ £ì

íïï

îïï

1

47 4141 47

0 el resto de valores

Ejemplo:

1

47 41

1

6

45 42

Calcula la probabilidad

)4542( xP

20

2)(2)(2μ

222 ba

ab

ab

ab

xdx

ab

xb

a

b

a

1212

1

2

222 ab

σ;a)(b

dxab

baxσ

b

a

0 1

1

p(x)

x

(2=1/12)

0 1

1p(x)

x

(2=3/4)

2-1

Nota: Observa que estas distribuciones tienen la misma media pero distinta varianza. Mayor varianza implica mayor dispersión alrededor de la media.

Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la distribución de probabilidad uniforme.

22

Momentos de orden k centrados en el origen y en la media.

dxxpxXE

dxxpxXE

dxxpxTXTE

xpxXE

xpxXE

xpxTXTE

kk

kk

jj

kj

k

jj

kj

k

jjj

)(μ)()μ)((

)()(

continua)ión (Distribuc )()())((

)(μ)-()μ)((

)()(

discreta)ión (Distribuc )()())((

Observa que para k = 2:

2 = E((X - )2)

Momentos de orden k

25

Otras medidas de la anchura de la distribución:

− Desviación absoluta media, Δx:

− Intervalo R ≡ xmax − xmin,

− Nivel de confianza al 68.3% [a,b] tal que:

y el intervalo [a,b] es mínimo.

− Cuartiles [a,b] tal que

dxxpxxxxN x

N

iix )(o

1

1

683.0)( b

a

dxxp

b

a

dxxpdxxp 25.0)(25.0)( y

26

Otros valores típicos o medidas del valor central son:

mediana

moda xmod: es el valor para el cuál la distribución toma su máximo absoluto.

par es N si )(2/1

impar es N si

2/)1(2/

2/)1(

medNN

N

xx

xx

dx

xdFxp

)()(

Siguen un orden alfabético

x

dttpxF )()(

5.0)()()( med xXPxXPxF

Discr.

Cont.

27

Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos utilizados

3er momento: describe la asimetría de la distribución.

Asimetría (skewness)

dxxpxxm

xx

Nm

N

i i

)()(

)(1

33

31

3

3

4o momento: describe el aplanamiento de la distribución.

Kurtosis

dxxpxxmxx

Nm

N

i i )()( )(1 4

441

4

4

(Figs. © Press et al., “Numerical Recipes”)Se suele medir en una escala que toma 3 como su cero, ya que éste es el valor de la kurtosis de una distribución normal estándar

28

29

30

31

33

53