1° 6° GUIADE ACTIVIDADESDEMATEMÁTICA PERIODO 3

1° 6° GUIA DE ACTIVIDADES DE MATEMÁTICA

PERIODO 3

ESCUELA NORMAL CUE: 1800672-00

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CONTENIDOS:

Unidad 1

Planteo y resolución de problemas que impliquen el uso de nociones de divisibilidad.

Exploración, enunciado y utilización de los criterios de divisibilidad.

Búsqueda y exploración de propiedades y relaciones vinculadas con la divisibilidad, en

conjuntos dados.

Construcción de los conjuntos de divisores y de múltiplos (comprendidos entre dos dados) de

un número.

Resolución de problemas usando las nociones de múltiplo común menor y de divisor común

mayor.

Utilización de los criterios de divisibilidad para descomponer un número en factores primos y

para calcular el múltiplo común menor y el divisor común mayor. Teorema Fundamental de la

aritmética.

OBJETIVOS:

Distinguir los divisores y múltiplos de un número natural. Reconocer sus propiedades.

Explorar, enunciar y utilizar los criterios de divisibilidad. Reconocer números primos y

compuestos.

Factorizar un número natural. Utilizar la factorización para calcular el MCD y MCM de dos o

más números. Resolver problemas utilizando relaciones y propiedades de la divisibilidad.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Identifica si un número es múltiplo de otro. Reconoce las divisiones exactas. Hallar todos los

divisores de un número.

Descompone un número en sus factores primos.

Usa las nociones de múltiplos, divisores y los criterios de divisibilidad para resolver diferentes

clases de problemas, analiza relaciones entre cálculos y anticipa resultados de multiplicaciones y

divisiones. Aplica el teorema fundamental de la aritmética para resolver problemas.

Distingue números primos de compuestos.

Resuelve problemas de MCD y MCM utilizando la factorización.

CICLO: BÁSICO Horas cat.: 05

Espacio Curricular: MATEMÁTICA

Orientación:

Departamento: MATEMÁTICA

Curso División Profesor

1º 1ª MAZZEGA JOSE LUIS

1º 2ª MAZZEGA JOSE LUIS

1º 3ª WITTE SIVILA MARIEL



1º 6ª CARRASCO ANALIA LAURA


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Las siguientes actividades resolverlas en sus carpetas, registren los datos, resoluciones y procedimientos que utilizaron. En esta guía encontrarán algunas conclusiones y/o institucionalizaciones, las deben registrar en sus carpetas con color llamativo (el que mas te guste), luego recuadrarlo.

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número

exacto de veces.

Si un número es múltiplo de otro, el cociente es exacto.

Si un número es múltiplo de otro, decimos que el primero es

divisible por el segundo.

Propiedades de los múltiplos de un número:

Todo número distinto de cero es múltiplo de si mismo.

Ejemplo: 120 es múltiplo de 120 porque 120:120= 1 con resto 0

Todo número es múltiplo de la unidad

Ejemplo: 120 es múltiplo de 1 porque 120:1=120 con resto 0

DIVISORES DE UN NÚMERO

Los divisores de un número natural son los números naturales que le pueden dividir, resultando

de cociente otro número natural y dé resto 0 (RECUERDEN LAS ACTIVIDADES ANTERIORES).

Ser divisor es lo recíproco de ser múltiplo.


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Por ejemplo: Si 12 es múltiplo de 3, quiere decir que 3 es divisor de 12.

Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. Aquí algunos ejemplos:

Solamente el 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de cero.

Ejemplo: 0:4= 0, con resto 0.

0:15=0, con resto 0.

El número 1 tiene solamente un divisor. El 0 y el 1 son números especiales.

DIVISOR DE UN NÚMERO

Un número es divisor de otro si lo divide en forma exacta.

Por ejemplo: 4 y 30 son divisores de 120, porque si realizamos la división 120:4=30 con resto 0 y si

resolvemos 120:30=4 con resto cero.

Propiedades de los divisores de un número:

El 1 es divisor de todos los números.

Por ejemplo: 5:1=5 y el resto es 0

Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo

Por ejemplo: 5:5=1 y el resto es 0.

ATENCIÓN! 12:0 ES IMPOSIBLE, PORQUE NO HAY NINGÚN NÚMERO QUE MULTIPLICADO POR 0 DÉ 12

COMO RESULTADO. POR LO TANTO NO SE PUEDE DIVIDIR POR 0.

Actividad 2 Respondan si o no a cada una de las siguientes preguntas. Justificar. a) ¿42 es divisible por 7? ...,porque............................................................................................... b) ¿63 es múltiplo de 21?......,porque............................................................................................ c) ¿7 es divisor de 42?......, porque................................................................................................ d) ¿6 es múltiplo de 13?.....porque................................................................................................ e) ¿1 es divisor de 100?.....porque................................................................................................. f) ¿18 es divisible por 3?.....porque ............................................................................................... g) ¿18 es divisible por 18?......porque............................................................................................ h) ¿28 es múltiplo de 28?....... porque...........................................................................................


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Actividad 3 a)Decidir sin hacer las cuentas de dividir, si estas afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Explicar cadaq elección.

9 es divisor de 180 7 es divisor de 7002 12 es divisor de 2412

b) Escribir cuánto hay que sumarle a cada uno de estos números para llegar al múltiplo de 8 mas cercano.

165…………………………558……………………………..2448………………………………..

c) Analizar la información que ofrecen estas dos cuentas de dividir:

d) Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

158 es divisor de 1738

11 es múltiplo de 1738



3675 es múltiplo de 25

INSTITUCIONALIZACIÓN Dados dos números naturales a y b: a es múltiplo de b si existe un número natural c que multiplicado por b da como resultado a. Por ejemplo 12 es múltiplo de 6 porque 2x6=12

a es divisor de b si el resto de la división de b por a es cero. Por ejemplo 6 es divisor de 18 porque la división entre 18 y 6 tienen resto 0.

Para saber si un número es múltiplo de otro puedo: Hacer la división y ver si el resto es cero. Escribir el primer número como multiplicación de números más chicos. Los factores de esa multiplicación son divisores del primero y el primero es múltiplo de todos ellos o sus multiplicaciones. Por ejemplo 20= 4x5= 2x2x5 entonces 5,4 y 2 son divisores de 20, también lo es 5x2=10 y 20 es múltiplo de todos ellos.

Si un número es múltiplo de otro, entonces el segundo es divisor del primero.

Todo número natural es divisor y múltiplo de sí mismo.

El número 1 es divisor de cualquier número natural.

El número 0 es múltiplo de cualquier número natural.


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Actividad 4

a) Indiquen cuáles de estos números son múltiplos de 12. Expliquen cómo se dieron cuenta:

1200 486 360 1012 0

b) Indiquen cuáles de estos números son divisores de 48. Expliquen cómo se dieron cuenta.

192 12 48 432 18 6 1 24

c) Decidan sin hacer la cuenta si el resultado de 25x42x18 es múltiplo de cada uno de estos

números. En cada caso expliquen cómo se dieron cuenta.

2 5 7 10 11 15 26 27

Actividad 5 Responda a las siguientes cuestiones a) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su divisor más pequeño? ¿Y el mayor? ¿Se cumple en cualquier número natural? ¿Por qué? b) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Por qué? c) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su múltiplo menor? ¿Y el mayor? d) La suma de varios múltiplos de un número, ¿también es múltiplo de dicho número? Explique su respuesta

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS.

Actividad 1 ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números? ¿Cuántos son?

17 29 22 18

Institucionalización Si a y b son números pares entonces: a + b es par y a . b es par.

Si a y b son dos números impares entonces: a + b es par y a . b es impar.

Institucionalización Un número natural es primo cuando tiene exactamente dos divisores, 1 y el mismo número. Por ejemplo 7 es primo porque solamente 1 y 7 son sus divisores.

Un número natural es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo 8 es compuesto porque tiene cuatro divisores 1,2,4,8

El 1 no es primo ni compuesto porque tiene un solo divisor.


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Actividad 2 Realizar en la tabla dada los siguientes ítems: a) Marquen todos los múltiplos de 2, excepto el dos. b) Marquen los múltiplos de tres que no han sido marcados, excepto el 3. c) Marquen todos los múltiplos de 5 que no hayan sido marcados, excepto el 5. d) Marquen todos los múltiplos de 7 que no hayan sido marcados, excepto el 7. e) Marquen todos los múltiplos de 11 que no hayan sido marcados, excepto el 11 f) Marquen todos los múltiplos de 13 que no hayan sido marcados, excepto el 13 g) Marquen todos los múltiplos de 17 que no hayan sido marcados, excepto el 17 h) Marquen todos los múltiplos de 19 que no hayan sido marcados, excepto el 19

¿Cuáles son los números que quedaron sin marcar? ¿Cuántos divisores tienen estos números?

Conclusión Los números primos menores que 200 son cuarenta y seis. Ellos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139, 149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199

Actividad 3 a) La suma de dos números primos, ¿es un número primo? ¿Siempre? ¿Por qué? b) El producto de dos números primos, ¿es un número primo? Justifique su respuesta.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PERMITEN DETERMINAR SI UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR OTRO SIN

NECESIDAD DE REALIZAR LA DIVISIÓN. “UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR OTRO CUANDO EL RESTO DE

LA DIVISIÓN ES CERO”.

COMENTARIO: Seguramente en la Escuela Primaria trabajaste con este tema y estudiado algunos

Criterios de Divisibilidad. A continuación se transcriben los Criterios de Divisibilidad más comunes.

Posteriormente se trabajarán otros criterios que presentan cierta dificultad para su entendimiento.

Criterio de divisibilidad por 2: Un núme ro es d i v i s i bl e por 2 , s i term i na en cer o o

c i f ra par . (El dígito en el lugar de las unidades debe ser par. Los dígitos pares son: 0, 2, 4, 6 y

8)

E j . : 24 , 238 , 1024. 485 no es , termi na en 5 y 5 no es par . Criterio de divisibilidad por 3: Un número es d i v i s i bl e por 3 , s i l a s um a de s u s

d í g i tos nos da m úl t i p l o de 3 .


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E j . : 564 5 + 6 + 4 = 15, es múltiplo de 3, entonces 564 es múltiplo de 3.

2040 2 + 0 + 4 + 0 = 6, es múltiplo de 3, entonces 2040 es

múltiplo de 3.

127 1 + 2 + 7 = 10 y 10 no es múltiplo de 3, entonces 127

no es múltiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 4: Un número es d i v i s i bl e por 4 , s i su s dos ú l t i m as

c i f ras son ceros o m úl t i p l o de 4 . E j . : 36, 400, 1028. (En la actividad 1, para el color

blanco tienes anotado todas las terminaciones de dos cifras que son múltiplos de 4)

Criterio de divisibilidad por 5: Un número es d i v i s i bl e por 5 , s i term i na en cer o o

c i nco.

E j . : 45 , 510 , 7525. Criterio de divisibilidad por 6: Un número es d i v i s i bl e por 6 , s i es d i v i s ib l e

por 2 y po r 3 . ( Debe cumpl i r con l as dos condi c i ones . S i cumpl e con u na

s o l a , no es múl t i p l o de 6 )

E j . : 72 , es un núme ro par y l a s uma de s us c i f ras da como r es u l tado

un múl t i p l o de 3 . 72 = 7 + 2 = 9 y 9 es múl t i p l o de 3 .

320 , es un número par y l a s um a de s us c i f ras da 6 y 6 es múl t i p l o

de 3 .

9514 es número par pero la suma de sus cifras no da como resultado un número

que sea múltiplo de 3. 9514 = 9 + 5 + 1 + 4 = 19 y 19 no es múltiplo de 3. Entonces 9514 no

es un múltiplo de 6.

Criterio de divisibilidad por 8: Un número es d i v i s i bl e por 8 , s i su s tres ú l t i m as

c i f ras son ceros o m úl t i p l o de 8 . E j . : 4000, 1048, 1512.

Criterio de divisibilidad por 9: Un número es d i v i s i bl e por 9 , s i l a s um a de s us

d í g i tos nos da m úl t i p l o de 9 . E j . : 81 ; 8 + 1 = 9

3663 ; 3 + 6 + 6 + 3 = 18, es múltiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10: Un número es d i v i s i bl e por 10 , s i l a c i f ra d e l as

uni dade s e s 0 .

E j . : 130, 1440, 10 230


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El puntito (.) es la multiplicación. Hacer 2 . 3 significa multiplicar el 2 por el 3.

Criterio de divisibilidad por 25: Un númer o es d i v i s i bl e por 25 , s i s us dos ú l t i mas

c i f ras s on ceros o múl t i p l o de 25 . E j . : 500, 1025, 1875.

Criterio de divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 , s i s us tres ú l t i mas

c i f ras s on ceros o múl t i p l o de 125 . E j . : 1000, 1 125, 4 250.

ACTIVIDAD PARA PRACTICAR :

a) Marcar con una cruz (x) en la columna de verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Justificar su respuesta.

V F

* Todos los números pares son divisibles por 2

* Todos los números pares son divisibles por 4

* Todos los múltiplos de 5 terminan siempre en 5

* Todos los múltiplos de 3 terminan siempre en cifra par

* Si un número es divisible por 6, entonces “siempre” es divisible por 3

* Si un número es divisible por 3, entonces “siempre” es divisible por

* Si un número no es divisible por 4, entonces “nunca” es divisible por 2.

* Si un número es divisible por 3 y 5 a la vez, entonces “a veces” es divisible por 15.

* Si un número es divisible por 16, entonces “siempre” es divisible por 8 y por 4

* Si un número termina en doble cero siempre es divisible por 25

Criterio de divisibilidad por 7: Un número es d i v i s i bl e por 7 cua ndo l a d i feren c i a

( l a resta) entre e l n úm ero s i n l a c i f ra de l as uni dad es y e l do bl e d e l a c i f ra

de l as uni da des es 0 ó m úl t i p l o de 7 .

343 ; 34 - 2 · 3 = 28, es

múltiplo de

105 ; 10 - 2 · 5 = 10 – 10 = 0 , entonces 105 es múltiplo de 7

2261 ; 226 - 2 · 1 = 226 – 2 = 224, vo l ve mos a repe t i r e l proces o con 224.

224; 22 - 2 · 4 = 22 - 8 = 14 , es múl t i p l o de 7 .

ANA

Typewriter

6


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ACTIVIDAD PARA PRACTICAR

Verifica si los siguientes números son múltiplos de 7 utilizando el criterio.

a) 315 b) 861 c) 2275 d) 17927

Criterio de divisibilidad por 11: Un númer o es d i v i s i bl e por 11 , s i l a d i ferenc i a

entre l a s um a de l as c i f ras qu e ocu p an l os l ugare s p ares y l a d e l os i m pares

es 0 ó m úl t i p l o d e 11 .

Lugares impares (contando de atrás para adelante, el 4 es el primer lugar en la cifra y el 2 el tercer lugar)

5214 ; (4 + 2) - (5 + 1) = 0 Lugares pares (contando de atrás para adelante, el 1 ocupa el segundo lugar en la cifra y el 5

el cuarto lugar)

4191; (4 + 9) – (1 + 1) = 13 – 2 = 11, entonces el número 4191 es múltiplo de 11.

Actividad 1: a-Escriban (V) verdadero o (F) falso según corresponda. Explique sus respuestas por escrito.

1 Si un número es divisible por 6, entonces, es divisible por 3. 2 Si un número es divisible por 3, entonces, es divisible por 6. 3 Si un número es divisible por 3 y 5, entonces, es divisible por 15. 4 Si un número es divisible por 7, entonces, no es divisible por 2. 5 Si un número no es divisible por 4, entonces, no es divisible por 2. 6 Si un número es divisible por 16, entonces, es divisible por 8 y por 4.

b-¿Son los números 63 y 54 múltiplos de 3? ¿El resultado de la suma de los números 63 y 54 es también múltiplo de 3? ¿El resultado de la diferencia entre 63 y 54 es un múltiplo de 3?

c-Elijan dos números que tengan un mismo divisor común y compruebe lo trabajado en el ítem b).

Actividad 2: Criterio de divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es múltiplo de 7.

Por ejemplo: 343→ 34 – 2x3 = 28, es múltiplo de 7 2261→ 226 - 2x1 = 224 Volvemos a repetir el proceso con 224 224→ 22 - 2x4 = 14, es múltiplo de 7.

Proponga Ud. otros (2) ejemplos de números de 4 cifra.

Actividad 3: Teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad por 11: a. El número 14.410 ¿es múltiplo de 11? b. ¿Y 93.929? Escribe cómo te das cuenta. c. El número 1234 no es divisible por 11. Cambien sus cifras de lugar para obtener un número que si lo sea. ¿La solución es única?


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DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS SE LLAMA FACTORIZAR ¿Cómo se descompone un número compuesto en sus factores primos? Paso 1: Se hace una barra vertical y se escribe el número a su izquierda. Paso 2: se busca el menor número primo que sea divisor del número dado y se lo escribe a la derecha de la barra y a la altura del número dado. Paso 3: se divide el número dado por el divisor que encontraron y se escribe el cociente en la columna de la izquierda. Paso 4: Si el cociente que obtuvieron es divisible por l número primo que encontraron se escribe nuevamente dicho divisor debajo del anterior y se realiza la nueva división. Se escribe el nuevo cociente en la columna de la izquierda. Paso 5: Si el cociente no fuera divisible por ese número primo, se busca el próximo número primo que sea divisor del cociente obtenido, se lo escribe a su derecha y se repite el paso 3. Paso 6: Se repiten los pasos 4 y 5 hasta obtener un cociente igual a 1.

Actividad 1 Haz la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números:

a) 54 b) 70 c) 126 d) 728 e) 539


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Actividad 2: Sin hacer las divisiones y sobre la base de la descomposición en factores primos de 120=23.3.5 marca V o F justificando.

PROBLEMAS DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Actividad 1 En la Ruta Verde, de 240 km de largo, han colocado: *cabinas telefónicas cada 12 km, * puestos sanitarios cada 30 km, * estaciones de servicio cada 15 km. a) Si en el km cero (0) existen los tres servicios, ¿En qué kilómetro vuelven a coincidir los tres? b) Si la ruta se extiende 60 km más, al final de este nuevo tramo, ¿Volverán a coincidir? ¿Por qué? c) ¿Qué características tienen los números de los kilómetros en que coinciden los tres servicios?

Actividad 2 Un viajante va a Corrientes cada 18 días, otro va a Corrientes cada 15 días y un tercero va a Corrientes cada 8 días. Hoy han coincidido en Corrientes los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Corrientes?

Actividad 3 Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?

Actividad 4 Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros: uno tarda 12 días en ir y regresar a su punto de inicio, el segundo tarda 15 días y el tercero tarda 18 días. Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros?

Actividad 5 Un autobús A sale cada 6 minutos, el B cada 8 minutos y el C cada 10 minutos. Si los tres han coincidido en la parada a las 7:00, ¿cuándo volverán a estar los tres juntos?

Actividad 6 En una orquesta, una campana y un timbal suenan juntos al iniciar una obra musical que dura 45 minutos. El timbal vuelve a sonar después del inicio cada 12 segundos y la campana lo hace cada 20 segundos.

CONTESTA: a) ¿Cuántos segundos después del inicio de la obra volverán a sonar juntos ambos instrumentos?

b) ¿Cuántas veces sonarán juntos a lo largo de toda la obra? Explica como lo resolviste. c) ¿Es cierto que para resolver este problema hay que buscar los múltiplos de 12 y 20? d) ¿Qué representa el número 60 de 12 y 20?


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PROBLEMAS DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Actividad 1 María y Jorge tienen 25 mostacillas blancas, 15 mostacillas azules y 90 mostacillas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna mostacilla. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de mostacillas de cada color tendrá cada collar?

Actividad 2 En la clase de gimnasia hay 96 chicos y 84 chicas. El profesor de Educación Física quiere repartirlos en equipos que tengan igual número de integrantes. En cada equipo desea tener sólo chicos o sólo chicas. ¿Cuál es el mayor número de integrantes que puede tener cada equipo?

Actividad 3 David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿A cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

Actividad 4 Una empresa pequeña que vende leche cuenta con tres sucursales: una en el norte, una en el sur y una en el este. Sabemos que la sucursal del norte produce 300 botellas de leche diarios, la del sur produce 240 y la del este produce 360. Se quieren transportar estas botellas de leche en camionetas que lleven el mismo número de botellas, pero que sea el mayor número de botellas posible. ¿Cuántas botellas de leche deben transportar cada camioneta?

Actividad 5 Para armar ofertas de golosinas, don Héctor cuenta con 60 chupetines, 75 galletitas de chocolates y 120 caramelos. Quiere armar bolsitas iguales que contengan la mayor cantidad posible de cada cosa. ¿Cómo pueden averiguar las cantidades? ¿Cuántas bolsitas se pueden armar?

Actividad 6 Además, don Héctor tiene una caja de bolitas que quiere colocar en bolsas que contengan la misma cantidad. Si coloca 2 en cada una de las bolsas, le queda una suelta. Pero si coloca 3 en cada una, le sobran dos. En cambio, al colocar 4, le sobran 3. Finalmente logra armar bolsas con 5 bolitas cada una, sin que queden sueltas. ¿Con cuántas bolitas contaba don Héctor si en la caja había más de 70 y menos de 100? ¿Cómo lo averiguaron?


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Actividad 7 Para su cumpleaños, Carlos recibió una caja de bombones. Bruno su amigo, le preguntó ¿Cuántos bombones había en la caja? Y Carlos respondió: Yo solamente recuerdo que había menos de 100 y que cuando yo los repartía en montones de 2 o en montones de 3, o en montones de 4 siempre me sobraba uno, pero cuando los ponía en montones de 5 no sobraba ninguno, ¿Cuántos bombones recibió Carlos?

Actividad 8 El número de gallinas en un criadero es menor que 1000 y mayor a 950. Agrupados de a 5, de a 6, de a 9 o de a 11, siempre sobra 1 ¿Cuántas gallinas hay en el criadero? Fundamenta tu respuesta

Aquellos números cuyo máximo común divisor es el 1 son NÚMEROS COPRIMOS.


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REPASAMOS:

El 12 se puede escribir como 3 . 4, por lo tanto 3 y 4 son divisores de 12. También lo son 2 y 6, ya que 12

= 2 . 6.

Si en una división entera el resto es 0, el dividendo es múltiplo del divisor y también del cociente.

El 1 es divisor de todos los números y el 0 es múltiplo de todos los números.

Para obtener todos los divisores naturales de un número, se buscan todas las formas de descomponer el

número como producto de dos factores naturales.

Números primos y compuestos

Un número es primo si tiene solo dos divisores naturales: él mismo y 1.

Si un número tiene más de dos divisores naturales es compuesto.

El 5 es un número primo (sus únicos divisores naturales son 1 y 5); en cambio, 9 es compuesto (tiene tres

divisores naturales 1, 3 y 9).

El 0 y el 1 no son primos ni compuestos.

Factorización

Todo número compuesto puede escribirse como producto de sus factores primos. Al hacerlo, el número

queda factorizado.

Para factorizar, se puede armar esquemas como estos:


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Mínimo común múltiplo (m.c.m)

Al menor de todos los múltiplos naturales que dos o más números tienen en común, sin considerar al 0, se

lo llama mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,… m.c.m.(8, 12)= 24

Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60,…

Regla práctica para hallar el m.c.m.

Se factorizan los números y luego se multiplican los factores comunes y no comunes, con el mayor

exponente con el que aparecen:

8 2 12 2 8= 23

4 2 6 2 12= 22 . 3

2 2 3 3 m.c.m(8 ; 12)= 23 . 3 = 24

1 1

Máximo común divisor (m.c.d.)

Al mayor de todos los divisores naturales que dos o más números tienen en común se lo denomina máximo

común divisor (m.c.d.)

Divisores de 36= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 m.c.d.(36, 48)= 12

Divisores de 48= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Regla práctica para hallar el m.c.d.

Se factorizan los números y luego se multiplican los factores comunes, con el menor exponente con el

que aparecen:

36 2 48 2

18 2 24 2

9 3 12 2 36= 22 . 32

3 3 6 2 48= 24 . 3

1 3 3 m.c.d.(36 ; 48) =22 . 3 = 12

1

Para practicar:

Factorizá los números para hallar el m.c.m. y el m.c.d.

a) m.c.m. (45;75)= b) m.c.m. (38; 82)= c) m.c.m.(192; 108)=


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m.c.d. (45; 75) m.c.d. (38; 82)= m.c.d.(192; 108)=

Actividad 1:

En una ferretería tienen una cantidad de tornillos que, si lo agrupan de 16 en 16, de 24 en 24 y de 40 en 40,

no sobra ninguno. ¿Cuál es la menor cantidad de tornillos que puede haber?

Actividad 2:

La biblioteca de la escuela recibió 128 libros de Matemática y 112 de Lengua. La bibliotecaria los quiere

juntar en estantes de igual cantidad de libros, de modo que en todos haya ejemplares de las dos materias y

que no sobre ninguno. ¿Cuántos estantes ocupará? ¿Cuántos libros de cada materia pondrá por estante?

Actividad 3:

Cata preparó 312 bombones de chocolate, 264 de fruta y 120 de dulce de leche para vender. Con todos ellos

va a armar cajas iguales, sin que sobre ninguno. ¿Cuál es la mayor cantidad de cajas puede armar?

¿Cuántos bombones de cada clase tendrá cada una?

Actividad 4:

Tres autitos giran en una pista, siempre a la misma velocidad. Todos parten a la vez del mismo lugar.

Cuando el primer autito dio 8 vueltas, el segundo dio 6 y el tercero, 10. ¿Después de cuántas vueltas

volverán a encontrarse?

Actividad 5:

Ana ordena su colección de CD. Si los agrupa de a 6, de a 8 o de a 5 siempre le sobre un CD.

a) ¿Cuál es la menor cantidad de CD que puede tener?

b) ¿cuántos CD puede tener si se sabe que son menos de 400?

Actividad 6:

La comisión vecinal de un barrio compró 180 marcadores, 72 cuadernos y 144 lapiceras para repartir entre

los niños que van a la escuela. Se proponen armar bolsas que contengan la misma cantidad de cuadernos,

de lapiceras y de marcadores. La cantidad de bolsas debe ser la mayor posible y no deber sobrar ningún útil.

a) ¿Cuántas bolsas pueden armar?

b) ¿Qué cantidad de útiles de cada tipo deben colocar en cada bolsa?

Reflexionemos:

Teniendo en cuentas las actividades resueltas anteriormente:

¿En qué casos debemos calcular el m.c.m.? ¿Y el d.c.m.? ¿En qué situaciones problemáticas?

1° 6° GUIADE ACTIVIDADESDEMATEMÁTICA PERIODO 3

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