1 2.2. Definición de las Funciones Trigonométricas en la...
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1 2.2. Definición de las Funciones Trigonométricas en la Circunferencia Unitaria. Es necesario tener en cuenta en forma previa los siguientes conceptos Nota 2.3. i) La distancia entre los puntos del plano R 2 , P 1 = (x 1 , y 1 ) y P 2 = (x 2 , y 2 ) está dado por: d (P 1 , P 2 ) = 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x - + - ii) La fórmula anterior permite afirmar que la ecuación de una circunferencia unitaria, con centro en (0, 0) y radio igual a 1, es: x 2 + y 2 = 1 Ambos conceptos se analizarán en la III Unidad. Considerar la circunferencia unitaria en un sistema XY. Dado un ángulo θ cualquiera, medido en radianes, este puede ubicarse en el sistema XY colocando su vértice en el origen y su lado inicial en el semi eje X positivo. De este modo su lado Terminal va a cortar a la circunferencia unitaria en un único punto P = (x, y), como se ve en la Fig. 1. Como cada valor de θ está asociado un único valor de x y un único valor de y, cada uno de los conjuntos {(θ, x)} y {(θ, y)} es una función Definición 2.3. El conjunto de pares ordenados {(θ, x)} se llama FUNCION COSENO, y el conjunto de pares {(θ, y)} se llama FUNCION SENO. θ (1, 0) (0, 1) (0, -1) O P = (x, y) (-1, 0) Fig. 1. Notar que θ puede asumir cualquier valor real, ya que es posible tomar, además de valores comprendidos en [0, 2π], valores positivos mayores que 2π y cualquier valor negativo. En consecuencia el dominio de cada una de las funciones seno y coseno es R y el rango o recorrido es el intervalo [– 1, 1], en ambos casos. Usando la notación funcional se tiene: cos : R → [– 1, 1] sen : R → [– 1, 1] θ → cos θ = x θ → sen θ = y En la Fig. 1. se observa que un incremento de 2π o bien de un múltiplo entero de 2π en la medida del ángulo θ deja sin cambio la posición del punto P y por lo tanto los valores de x e y no cambian. Es decir: cos (θ + 2nπ) = cos θ sen (θ + 2nπ) = sen θ; n ∈ Ζ Esto se ajusta al concepto de función periódica, de modo que es posible afirmar que las funciones seno y coseno son periódicas de período 2π. Se puede decir por lo tanto, que las funciones seno y coseno se repiten cada 2π radianes, ya sea en sentido positivo o negativo. En base a las funciones trigonométricas seno y coseno se definen nuevas funciones.
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22 Definicioacuten de las Funciones Trigonomeacutetricas en la Circunferencia Unitaria
Es necesario tener en cuenta en forma previa los siguientes conceptos
Nota 23
i) La distancia entre los puntos del plano R2 P1 = (x1 y1) y P2 = (x2 y2) estaacute dado
por d (P1 P2) = 2
12
2
12 )()( yyxx minus+minus
ii) La foacutermula anterior permite afirmar que la ecuacioacuten de una circunferencia
unitaria con centro en (0 0) y radio igual a 1 es x2 + y
2 = 1
Ambos conceptos se analizaraacuten en la III Unidad
Considerar la circunferencia unitaria en un sistema XY Dado un aacutengulo θ
cualquiera medido en radianes este puede ubicarse en el sistema XY colocando su veacutertice
en el origen y su lado inicial en el semi eje X positivo De este modo su lado Terminal va a
cortar a la circunferencia unitaria en un uacutenico punto P = (x y) como se ve en la Fig 1
Como cada valor de θ estaacute asociado un uacutenico valor de x y un uacutenico valor de y cada uno de
los conjuntos (θ x) y (θ y) es una funcioacuten
Definicioacuten 23
El conjunto de pares ordenados (θ x) se llama FUNCION COSENO y el conjunto de
pares (θ y) se llama FUNCION SENO
θ
(1 0)
(0 1)
(0 -1)
O
P = (x y)
(-1 0)
Fig 1
Notar que θ puede asumir cualquier valor real ya que es posible tomar ademaacutes de
valores comprendidos en [0 2π] valores positivos mayores que 2π y cualquier valor
negativo En consecuencia el dominio de cada una de las funciones seno y coseno es R y
el rango o recorrido es el intervalo [ndash 1 1] en ambos casos Usando la notacioacuten funcional
se tiene
cos R rarr [ndash 1 1] sen R rarr [ndash 1 1]
θ rarr cos θ = x θ rarr sen θ = y
En la Fig 1 se observa que un incremento de 2π o bien de un muacuteltiplo entero de 2π
en la medida del aacutengulo θ deja sin cambio la posicioacuten del punto P y por lo tanto los valores
de x e y no cambian Es decir
cos (θ + 2nπ) = cos θ sen (θ + 2nπ) = sen θ n isin Ζ
Esto se ajusta al concepto de funcioacuten perioacutedica de modo que es posible afirmar que
las funciones seno y coseno son perioacutedicas de periacuteodo 2π Se puede decir por lo tanto que
las funciones seno y coseno se repiten cada 2π radianes ya sea en sentido positivo o
negativo
En base a las funciones trigonomeacutetricas seno y coseno se definen nuevas funciones
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Definicioacuten 24
- La Funcioacuten Tangente estaacute dada por tg θ = θ
θ
cos
sen cos θ ne 0
- La Funcioacuten Cotangente estaacute dada por cotg θ = θ
θ
sen
cos sen θ ne 0
- La Funcioacuten Secante estaacute dada por sec θ = θcos
1 cos θ ne 0
- La Funcioacuten Cosecante estaacute dada por cosec θ = θsen
1 sen θ ne 0
De las definiciones de las funciones trigonomeacutetricas se observa que
sen θ cosec θ = 1
cos θ sec θ = 1
tg θ cotg θ = 1
Los signos asociados con los valores de las funciones trigonomeacutetricas dependen del
cuadrante en que se encuentre el aacutengulo y de la aplicacioacuten de las definiciones 23 y 24
Esta idea se resume en el siguiente diagrama en el cual se consideran negativos todos los
valores de las funciones que no aparecen expliacutecitamente
+
ec
sen
cos
+
g
tg
cot+
sec
cos
II I
+Todas
III IV
-5 5
5
-5
Nota 24
Un aacutengulo cuadrantal es aquel cuyo lado Terminal coincide con uno de los ejes
coordenados Los valores de las funciones trigonomeacutetricas en los aacutengulos cuadrantales se
resumen en la tabla siguiente
θ 0
2
π
π 3
2
π
sen θ 0 1 0 ndash 1
cos θ 1 0 ndash 1 0
tg θ 0 No def 0 No def
cotg θ No def 0 No def 0
sec θ 1 No def ndash 1 No def
cosec θ No def 1 No def ndash 1
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Definicioacuten 24
- La Funcioacuten Tangente estaacute dada por tg θ = θ
θ
cos
sen cos θ ne 0
- La Funcioacuten Cotangente estaacute dada por cotg θ = θ
θ
sen
cos sen θ ne 0
- La Funcioacuten Secante estaacute dada por sec θ = θcos
1 cos θ ne 0
- La Funcioacuten Cosecante estaacute dada por cosec θ = θsen
1 sen θ ne 0
De las definiciones de las funciones trigonomeacutetricas se observa que
sen θ cosec θ = 1
cos θ sec θ = 1
tg θ cotg θ = 1
Los signos asociados con los valores de las funciones trigonomeacutetricas dependen del
cuadrante en que se encuentre el aacutengulo y de la aplicacioacuten de las definiciones 23 y 24
Esta idea se resume en el siguiente diagrama en el cual se consideran negativos todos los
valores de las funciones que no aparecen expliacutecitamente
+
ec
sen
cos
+
g
tg
cot+
sec
cos
II I
+Todas
III IV
-5 5
5
-5
Nota 24
Un aacutengulo cuadrantal es aquel cuyo lado Terminal coincide con uno de los ejes
coordenados Los valores de las funciones trigonomeacutetricas en los aacutengulos cuadrantales se
resumen en la tabla siguiente
θ 0
2
π
π 3
2
π
sen θ 0 1 0 ndash 1
cos θ 1 0 ndash 1 0
tg θ 0 No def 0 No def
cotg θ No def 0 No def 0
sec θ 1 No def ndash 1 No def
cosec θ No def 1 No def ndash 1
