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GUÍA NO. 1 DESIGUALDADES LINEALES
Utilizando la tecnología, observa los siguientes videos instructivos del tema.
https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU
https://www.youtube.com/watch?v=q5Yfn5DMlDc
https://www.youtube.com/watch?v=jSZWvCh2PqI
https://www.youtube.com/watch?v=1CmeGrYDgLU&t=33s
https://www.youtube.com/watch?v=sjJp1zfWZq4
No se sabe exactamente el origen de las inecuaciones o desigualdades, pero se cree que se
originaron poco después de las ecuaciones (1700aC. - 1700dC.), debido al surgimiento de
un problema en el cual la respuesta podía ser más de una absoluta, sino que podía
contener un grupo de números.
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que
>, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Como nos indica el primer texto las desigualdades nos permite encontrar un conjunto de
soluciones para un mismo problema, a los cuales llamaremos intervalo solución.
Propiedades de las desigualdades:
Cuando un número real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el
sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c
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Ejemplo 1:
3 < 8 → 3+𝟕𝟕 < 8 + 7 ∴ 19 < 15
3 < 8 → 3−𝟏𝟏𝟏𝟏 < 8 − 15 ∴ −12 < −7
(→ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 "𝒆𝒆𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒔𝒔𝒆𝒆𝒔𝒔"); (∴ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 "𝒑𝒑𝒆𝒆𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆")
Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c positivo a ambos lados de
una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:
Si a < b entonces a ∙ c < b ∙ c y 𝒔𝒔𝒔𝒔 < 𝒃𝒃
𝒔𝒔
Ejemplo2:
2 < 10 → 𝟐𝟐 × 𝟏𝟏 < 𝟏𝟏𝟏𝟏 × 𝟏𝟏 ∴ 𝟏𝟏𝟏𝟏 < 50 𝟖𝟖𝟐𝟐 < 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐 ∴ 4 < 8
Cuando multiplicamos o dividimos por un número real c negativo a ambos lados de una
desigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:
Si a < b entonces a ∙ c > b ∙ c y 𝐚𝐚𝐜𝐜 > 𝐛𝐛
𝐜𝐜
Ejemplo 3:
−𝟗𝟗 < 𝟏𝟏𝟏𝟏 → −𝟗𝟗 × −𝟏𝟏 > 𝟏𝟏𝟏𝟏 × −𝟏𝟏 ∴ −𝟒𝟒𝟏𝟏 > −𝟕𝟕𝟏𝟏
𝟖𝟖 < 𝟏𝟏𝟏𝟏 → 𝟖𝟖−𝟐𝟐
> 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
∴ −𝟒𝟒 > −𝟖𝟖
Tipos de intervalos solución
Los intervalos solución pueden ser abiertos y se representan con los símbolos <, >. Este
tipo de intervalos utiliza los paréntesis para su representación ( )
Los intervalos cerrados se representan con los símbolos ≤, ≥. Este tipo de intervalos
utiliza los corchetes para su representación [ ].
El conjunto de soluciones para una desigualdad, lo podemos expresar en notación de
intervalos o en forma gráfica.
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Tipo de intervalo Notación de intervalos Gráfica
Intervalo abierto
(utilizan paréntesis) ( a, b)
a b
Intervalo cerrado
( utilizan corchetes) [a, b]
a b
Intervalos semi
abiertos por la derecha [a, b)
_
a b
Intervalo semi abierto
por la izquierda (a, b]
a b
Intervalos infinitos
(a, ∞ )
[a, ∞ )
( -∞, b)
(-∞ , b]
R o (-∞,∞)
Ejemplo: Escriba la desigualdad en forma de notación de intervalo y en forma gráfica
Desigualdad Notación de intervalo Gráfica
−3 < 𝑥𝑥 ≤ 4
(-3, 4]
Semi abierto por la
izquierda
-3 4
𝑥𝑥 > 6 (6, ∞ )
Intervalo infinito
6
𝑥𝑥 ≤ −4 (-∞ , -4]
Intervalo infinito
-4
−7 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2 [-7, 2]
Intervalo cerrado
-7 2
a
b
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Una desigualdad lineal con una variable x es una proposición que puede ser escrita de la
forma 𝒔𝒔𝒄𝒄 + 𝒃𝒃 > 𝟏𝟏, (o bien ≥) donde c y b son constantes con 𝐜𝐜 ≠ 𝟏𝟏
¿Qué significa resolver una desigualdad lineal?
Resolver una desigualdad es hallar todos los valores x que hacen verdadera esta relación.
La manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma
𝒄𝒄 > 𝒔𝒔 o cualquiera de las otras tres formas cuya solución es evidente: 𝒄𝒄 < 𝒔𝒔; 𝒄𝒄 >
𝒔𝒔; 𝒄𝒄 ≤ 𝒔𝒔 ó 𝒄𝒄 ≥ 𝒔𝒔. Para llevarla a alguna de estas formas debemos tener en cuenta
ciertas reglas que se enuncian a continuación.
Ejemplo 1.
Resuelva la siguiente desigualdad: 2(3 − 𝑥𝑥) ≤ 5 − 4𝑥𝑥
Solución:
Resolver el producto indicado 2 (3 – x)
6 − 2𝑥𝑥 ≤ 5 − 4𝑥𝑥
Luego se dejan los términos en x en un
lado y las constantes en el otro lado. El 6
está sumando pasa restando y el 4x está
restando pasa sumando sin alterar el
sentido de la desigualdad
−2𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 ≤ 5 − 6
Se reducen los términos semejantes 2𝑥𝑥 ≤ −1
Ahora, el 2 está multiplicando, pasa
dividiendo sin alterar el sentido de la
desigualdad
𝑥𝑥 ≤ −12
𝑥𝑥 ≤ −12
Expresaremos la solución en términos de
intervalos y geométricamente
Conjunto solución �−∞,−𝟏𝟏𝟐𝟐�
−1 2
−∞
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Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad: 𝟏𝟏𝟒𝟒− 𝒆𝒆
𝟑𝟑 < 𝟑𝟑+𝒆𝒆
𝟐𝟐
Solución:
Buscamos el 𝒎𝒎. 𝒔𝒔.𝒎𝒎 ( 𝟒𝟒,𝟑𝟑,𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟐𝟐, se
multiplica cada término por el m.c.m
(12) 14− (12) 𝑡𝑡
3 < (12) 3+𝑡𝑡
2
3 − 4𝑡𝑡 < 6(3 + 𝑡𝑡)
Se resuelve el producto indicado 6(3 + t) 3 − 4𝑡𝑡 < 18 + 6𝑡𝑡
Luego se dejan los términos en t en un
lado y las constantes en el otro lado. El 3
está sumando pasa restando y el 6t está
sumando pasa restando sin alterar el
sentido de la desigualdad
−4𝑡𝑡 − 6𝑡𝑡 < 18 − 3
Se reducen los términos semejantes −10𝑡𝑡 < 15
Ahora, el -10 está multiplicando, pasa
dividiendo cambiando (por ser negativo) el
sentido de la desigualdad
𝑡𝑡 >15−10
; 𝑡𝑡 > − 3 2
Expresaremos la solución en términos de
intervalos y geométricamente: Conjunto solución = (− 3
2,∞ )
−3 2
∞
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Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad: 𝟒𝟒 < −𝟑𝟑𝒄𝒄−𝟏𝟏𝟐𝟐
< 𝟕𝟕
Solución:
Se trata de una desigualdad simultánea.
Una estrategia a utilizar es hallar primero el
mcm: 2, y se multiplica cada término por ese
común denominador 2.
(2)(𝟒𝟒) < (2) −3𝑥𝑥−12
< (𝟐𝟐)(𝟕𝟕)
8 < 1(−3𝑥𝑥 − 1) < 14
Se resuelve el producto indicado 8 < −3𝑥𝑥 − 1 < 14
Luego se dejan los términos x en el medio y las
constantes que la acompañan pasan a la
izquierda y a la derecha. El -1 pasa sumando
a ambos lados sin alterar el sentido de la
desigualdad
8 + 1 < −3𝑥𝑥 < 14 + 1
Se reducen los términos semejantes 9 < −3𝑥𝑥 < 15
Ahora, el -3 está multiplicando, pasa
dividiendo a ambos lados cambiando (por ser
negativo) el sentido de la desigualdad
9−3
> 𝑥𝑥 > 15−3
;
−3 > 𝑥𝑥 > −5
Se escribe poniendo el número menor a la
izquierda −5 < 𝑥𝑥 < −3
Expresaremos la solución en términos de
intervalos y geométricamente:
Conjunto solución = (−5,−3 )
−𝟏𝟏
−𝟑𝟑
- 15 -
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA # 1
DESIGUALDADES LINEALES
Nombre: _____________________________________ Grupo: ________
Profesor: _____________________________________ Fecha: ________ Puntos: __/ 50
I. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de
intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. 10 puntos
DESIGUALDAD INTERVALO GRAFICO
𝐱𝐱 ≥ −𝟏𝟏𝟐𝟐
𝐱𝐱 < −𝟏𝟏𝟗𝟗
−𝟕𝟕 < 𝐱𝐱 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏
−𝟐𝟐𝟏𝟏 ≤ 𝐱𝐱 < −𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟏𝟏 < 𝐱𝐱 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏
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II. Determina el intervalo solución de las siguientes inecuaciones de primer grado,
con una incógnita. De su respuesta como intervalo y como gráfico. Recuerda
escribir todos los procedimientos. 30 puntos
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒄𝒄 − 𝟏𝟏(𝒄𝒄 + 𝟑𝟑) ≤ 𝟑𝟑𝒄𝒄 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒄𝒄 −
𝟏𝟏𝟑𝟑
≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒄𝒄 +
𝟐𝟐𝟑𝟑
𝟑𝟑(𝒄𝒄 – 𝟏𝟏) + 𝟏𝟏 ≤ 𝟏𝟏(𝒄𝒄 + 𝟐𝟐) (𝒄𝒄 + 𝟐𝟐)(𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) + 𝟐𝟐𝟏𝟏 < (𝒄𝒄 + 𝟒𝟒)(𝒄𝒄 + 𝟏𝟏)
−𝟖𝟖 ≤ −𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒄𝒄 ≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏
−𝟏𝟏 ≤
𝒄𝒄 + 𝟏𝟏𝟐𝟐
≤ 𝟏𝟏
- 17 -
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según
organización del colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
3 Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
40 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos de
acuerdo con las fórmulas y
propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
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GUÍA NO. 2 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES POLINOMIALES
Observar los siguientes videos
https://www.youtube.com/watch?v=keJwrVpvarI
https://www.youtube.com/watch?v=7OoLfOeKCIA&t=500s
https://www.youtube.com/watch?v=p3Sv3Wa5qYQ
https://www.youtube.com/watch?v=CiCp1-3n3sU
Esta Guía didáctica tiene el propósito de mostrar cómo resolver desigualdades que
contienen una expresión cuadrática. En los próximos ejemplos se mostrará el uso de la
tabla de signos y las propiedades del signo de un producto.
Propiedades del signo de un producto: el producto de dos números reales es positivo
(negativo) si y sólo si los números tienen signos iguales (opuestos).
REGLAS PARA RESOLVER DESIGUALDADES POLINOMIALES
i) Use las propiedades de las desigualdades para replantear la desigualdad
dada en forma tal que todas las variables y constantes diferentes de cero
se encuentren del mismo lado del símbolo de desigualdad y el número cero
quede del otro lado. Es decir, plantee la desigualdad en una de las formas:
𝑷𝑷(𝒄𝒄) > 𝟏𝟏, 𝑷𝑷(𝒄𝒄) < 𝟏𝟏, 𝑷𝑷(𝒄𝒄) ≥ 𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝑷𝑷(𝒄𝒄) ≤ 𝟏𝟏.
ii) Luego, si es posible, factorice el polinomio 𝑷𝑷(𝒄𝒄) en factores lineales 𝒔𝒔𝒄𝒄 +
𝒃𝒃.
iii) Marque la recta numérica en los ceros reales de 𝑷𝑷(𝒄𝒄). Estos números
dividen la recta numérica en intervalos.
- 19 -
iv) En cada uno de estos intervalos, determine el signo de cada factor y luego
determine el signo del producto aplicando las propiedades de los signos
de un producto.
Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad: 𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝐱𝐱 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 > 𝟏𝟏
SOLUCIÓN:
Comenzamos factorizando
la expresión cuadrática
pues uno de los lados es
igual a cero.
𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 15 > 0
(𝑥𝑥 + 5) ( 𝑥𝑥 -3) > 0
Ahora resolvemos la
ecuación
(𝒄𝒄 + 𝟏𝟏)( 𝒄𝒄 − 𝟑𝟑) = 𝟏𝟏.
Obtenemos que
𝑥𝑥 + 5 = 0 𝑜𝑜 𝑥𝑥 − 3 = 0:
𝑥𝑥 = −5 𝑜𝑜 𝑥𝑥 = 3
Estos valores dividen la
recta real en tres
intervalos:
(−∞,−5) (−5,3) (3, ∞ ).
−5 3
Sabemos que
𝒄𝒄 = −𝟏𝟏 ∧ 𝒄𝒄 = 𝟑𝟑 satisfacen la ecuación
𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟏𝟏𝟏𝟏 > 𝟏𝟏 .
Deseamos determinar el
signo de la expresión
𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟏𝟏𝟏𝟏
en los intervalos:
(−∞,−𝟏𝟏), (-5,3) y (3, ∞ ).
Para esto determinamos el
signo de cada uno de los
factores usando un valor de
𝒄𝒄 en cada uno de los
intervalos. Este valor
particular de 𝒄𝒄 se conoce
como valor prueba.
Intervalos (−∞,−5) (-5,3) (3, ∞ )
Signo de 𝑥𝑥 +5 - + + Signo de 𝑥𝑥 -3 - - +
Signo de (𝑥𝑥 +5) ( 𝑥𝑥 -
3) + - +
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Construimos una tabla,
llamada una tabla de
signos, para organizar la
información obtenida:
Por ejemplo, para determinar el signo del factor 𝒄𝒄 +5 en el intervalo (−∞,−𝟏𝟏)
escogemos un valor de x que este en este intervalo, digamos x = -8 y lo
substituimos en 𝒄𝒄 +5. Obtenemos 𝒄𝒄 +5 = -8 +5= -3. Luego 𝒄𝒄 +5 es negativo en
el intervalo (−∞,−𝟏𝟏). Por otro lado 𝒄𝒄 -3 = -8-3 = -11 por lo que 𝒄𝒄 -3 es negativo
en el intervalo (−∞,−𝟏𝟏). Repetimos este procedimiento para los otros dos
intervalos.
El signo de (𝒄𝒄 + 5) ( 𝒄𝒄 -3) se obtiene multiplicando el signo de 𝒄𝒄 +5 con el signo
de 𝒄𝒄 -3. Nos interesa saber dónde (𝒄𝒄 + 5) ( 𝒄𝒄 -3) > 0, es decir dónde (𝒄𝒄 + 5) ( 𝒄𝒄 -3)
es positivo
Esto ocurre en (−∞,−𝟏𝟏) U (3, ∞ ).
Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad 𝒄𝒄𝟐𝟐 ≤ 𝟕𝟕𝒄𝒄 + 𝟒𝟒𝟒𝟒
Solución: Primero
despejemos para que un lado
de la desigualdad sea cero y
factoricemos la expresión
resultante:
𝒄𝒄𝟐𝟐 ≤ 𝟕𝟕𝒄𝒄 + 𝟒𝟒𝟒𝟒
𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝟕𝟕𝒄𝒄 − 𝟒𝟒𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏
(𝒄𝒄 − 𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝒄𝒄 + 𝟒𝟒) ≤ 0
Resolvemos la ecuación
(x - 11) (x + 4) = 0.
Obtenemos que
x + 4 = 0 o x -11 = 0.
Luego
x = - 4 o x = 11
Ahora construimos una tabla
de signos.
(−∞,−𝟒𝟒) (-4,11) (11, ∞ ).
-4 11
Buscamos todos los valores de x tales que (𝒄𝒄 + 𝟒𝟒)(𝒄𝒄 − 𝟏𝟏𝟏𝟏) ≤ 0.
(𝒄𝒄 + 𝟒𝟒)(𝒄𝒄 − 𝟏𝟏𝟏𝟏) es menor que cero en el intervalo (4, 11) e igual a cero en x = -4 y
en x = 11.
Intervalos (−∞,−4) (-4,11) (11, ∞ ) Signo de 𝑥𝑥 -11 - - + Signo de 𝑥𝑥 + 4 - + + Signo de (𝑥𝑥 -11)( 𝑥𝑥 +4) + - +
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Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad 𝟒𝟒𝟏𝟏 ≤ 𝟒𝟒𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒄𝒄
SOLUCIÓN. Primero
despejemos para que un lado
de la desigualdad sea cero y
factoricemos la expresión
resultante:
𝟒𝟒𝟏𝟏 ≤ 𝟒𝟒𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒄𝒄
𝟏𝟏 ≤ 𝟒𝟒𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒄𝒄 − 𝟒𝟒𝟏𝟏
𝟒𝟒𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟒𝟒𝒄𝒄 − 𝟒𝟒𝟏𝟏 ≥ 𝟏𝟏
(𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑) ≥ 𝟏𝟏
Resolvemos la ecuación
(𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑)= 0.
Obtenemos que
𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝒆𝒆 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏
Luego
𝒄𝒄 = −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒆𝒆 𝒄𝒄 = 𝟑𝟑𝟐𝟐
Ahora construimos una tabla
de signos.
(−∞,−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐) (−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟐𝟐 ) ( 𝟑𝟑
𝟐𝟐, ∞ ).
−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟑𝟑
𝟐𝟐
Buscamos todos los valores de x tales que (𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑) ≥ 0
(𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝟏𝟏𝟏𝟏)(𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑) es mayor que cero en el intervalo (−∞,−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐) o en intervalo ( 𝟑𝟑
𝟐𝟐, ∞ ) e
igual a cero en
x = −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 y en x = 𝟑𝟑
𝟐𝟐.
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo (−∞,−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
] U [ 𝟑𝟑𝟐𝟐, ∞ ).
Luego la solución de la desigualdad es el intervalo [-4, 11].
Intervalos (−∞,−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
) (−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐
, 𝟑𝟑𝟐𝟐) ( 𝟑𝟑
𝟐𝟐, ∞ )
Signo de 2𝑥𝑥 + 15 - + + Signo de 2𝑥𝑥 - 3 - - + Signo de (2𝑥𝑥 +15)( 2𝑥𝑥 -11)
+ - +
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ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.2
DESIGUALDADES CUADRÁTICA
Nombre: ______________________________ Grupo: __________________
Fecha: ______________________________ Profesor: ______________ Puntos: /50
I PARTE. En los problemas siguientes problemas, escriba la desigualdad en notación de
intervalos y luego trace la gráfica del intervalo. Recuerda escribir todo el procedimiento.
5 puntos c/u
5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 5 ≥ 3
𝑥𝑥(3𝑥𝑥 + 5) > 0
2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1 < 0
3𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 < 0
2𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 3 ≤ 0
𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 ≤ 0
3𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 ≥ 8
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LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según
organización del colegio.
3 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
2 Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
40 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos
de acuerdo con las
fórmulas y propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
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GUÍA NO. 3
ACTIVIDAD DE INICIO:
• Ver utilizando las tecnologías, los siguientes videos.
https://www.youtube.com/watch?v=qciUZ4Xev5c
https://www.youtube.com/watch?v=kqRQvcoh9aI
https://www.youtube.com/watch?v=LCcBLxlHX1c
https://www.youtube.com/watch?v=AI--j_fYKoQ
ACTIVIDAD DE DESAROLLO:
ECUACIONES Y DESIGUALDADES EN VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto o módulo de un número x, representado por |x| es igual a x si el número
es positivo y es igual a −x si el número es negativo. El signo "-" opera en x cambiándolo a
positivo.
Esto lo escribimos de la siguiente manera
Definición
𝑥𝑥 , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 0
|𝑥𝑥| = −𝑥𝑥 , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0
0, si x = 0
|x| se lee como el valor absoluto de x.
Se define como desigualdad de valor absoluto a una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
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¿Qué significa resolver una desigualdad de valor absoluto?
Como los valores positivos y negativos tienen un valor absoluto positivo, resolver
inecuaciones con valores absolutos significa encontrar la solución para ambos valores
positivo y negativo.
Para resolver desigualdades de valor absoluto debemos indicar sus propiedades
PROPIEDADES DESIGUALDADES Y ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
𝒔𝒔 ) |𝒄𝒄| < 𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 𝒔𝒔ó𝒍𝒍𝒆𝒆 𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝒔𝒔 < 𝒄𝒄 < 𝒔𝒔
𝒔𝒔𝒔𝒔) |𝒄𝒄| > 𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 𝒔𝒔ó𝒍𝒍𝒆𝒆 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄 < −𝒔𝒔 ó 𝒄𝒄 > 𝒔𝒔
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔) |𝒄𝒄| = 𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 𝒔𝒔ó𝒍𝒍𝒆𝒆 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄 = − 𝒔𝒔 ó 𝒄𝒄 = 𝒔𝒔
Estas propiedades también son verdaderas con los signos de desigualdad ≤ 𝑦𝑦 ≥.
Ejemplo 1: Resuelve la desigualdad |𝟑𝟑𝒄𝒄 − 𝟒𝟒| < 𝟏𝟏
Solución:
El primer paso es verificar en que propiedad cae
nuestra desigualdad, en este caso sería la propiedad
i) |𝒄𝒄| < 𝒔𝒔 ; en donde a = 5
|𝟑𝟑𝒄𝒄 − 𝟒𝟒| < 𝟏𝟏
Aplicamos la solución para este caso, el cual nos dice
−𝒔𝒔 < 𝒄𝒄 < 𝒔𝒔 . Como ves el símbolo de valor
absoluto se elimina de la expresión.
−𝟏𝟏 < 𝟑𝟑𝒄𝒄 − 𝟒𝟒 < 𝟏𝟏
Trasladamos los términos libres de la expresión
central hacia ambos extremos de la desigualdad,
recordando las reglas de despeje.
−𝟏𝟏 + 𝟒𝟒 < 𝟑𝟑𝒄𝒄 < 𝟏𝟏 + 𝟒𝟒
Seguimos reduciendo la expresión en los laterales de
la desigualdad.
−𝟏𝟏 < 𝟑𝟑𝒄𝒄 < 𝟗𝟗
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Por último, despejamos a la variable x, la cual debe
quedar en el centro de la desigualdad. El valor 3 que
acompaña a nuestra variable, pasa hacia ambos lados
de la desigualdad dividiendo.
−𝟏𝟏𝟑𝟑
< 𝒄𝒄 < 𝟗𝟗𝟑𝟑
−𝟏𝟏𝟑𝟑
< 𝒄𝒄 < 𝟑𝟑
Expresaremos la solución en términos de intervalos y
geométricamente:
Conjunto solución =
�− 13
, 3�
-𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟑𝟑
Ejemplo 2. Resuelva la siguiente desigualdad: |𝒄𝒄 + 𝟐𝟐| > 3
Solución:
El primer paso es verificar en que propiedad
cae nuestra desigualdad, en este caso sería la
propiedad
ii) |𝒄𝒄| > 𝒔𝒔 ; en donde a =3.
|𝒄𝒄 + 𝟐𝟐| > 3
Aplicamos la solución para este caso, el cual
nos dice
𝒄𝒄 < −𝒔𝒔 ó 𝒄𝒄 > 𝒔𝒔 . Para este caso
resultan dos desigualdades lineales, las cuales
desarrollaremos individualmente.
Primera desigualdad
𝒄𝒄 < −𝒔𝒔
𝒄𝒄 + 𝟐𝟐 < −𝟑𝟑
𝒄𝒄 < −𝟑𝟑 − 𝟐𝟐
𝒄𝒄 < −𝟏𝟏
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Segunda desigualdad
𝒄𝒄 > 𝒔𝒔
𝒄𝒄 + 𝟐𝟐 > 𝟑𝟑
𝒄𝒄 > 𝟑𝟑 − 𝟐𝟐
𝒄𝒄 > 𝟏𝟏
Para este modelo tenemos dos intervalos
solución. Los valores de x menores que -5 y
los valores de x mayores que 1.
La U entre los intervalos indica que esta
desigualdad tiene dos conjunto solución.
Expresaremos la solución en términos de
intervalos y geométricamente:
Conjunto solución =
(-∞, -5) U (1, ∞ )
-∞ ∞
-5 1
Ejemplo 3. Resuelva la siguiente desigualdad ��𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒄𝒄�� ≥ 𝟕𝟕
Solución:
El primer paso es verificar en que propiedad
cae nuestra desigualdad, en este caso sería la
propiedad
ii) |𝒄𝒄| > 𝒔𝒔 ; en donde a =7. Recuerda que la
propiedad también aplica para ≥.
�𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄� ≥ 𝟕𝟕
Aplicamos la solución para este caso, el cual
nos dice
𝒄𝒄 < −𝒔𝒔 ó 𝒄𝒄 > 𝒔𝒔 . Para este caso
resultan dos desigualdades lineales, las cuales
desarrollaremos individualmente.
Primera desigualdad
𝒄𝒄 < −𝒔𝒔
𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄 ≤ −𝟕𝟕
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− 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄 ≤ −𝟕𝟕 − 𝟒𝟒
− 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄 ≤ −𝟏𝟏𝟏𝟏
(−𝟐𝟐) �−𝟏𝟏𝟐𝟐�
𝒄𝒄 ≤ −𝟏𝟏𝟏𝟏(−𝟐𝟐)
𝒄𝒄 ≥ 𝟐𝟐𝟐𝟐
Segunda desigualdad
𝒄𝒄 > 𝒔𝒔
𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄 ≥ 𝟕𝟕
− 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄 ≥ 𝟕𝟕 − 𝟒𝟒
− 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒄𝒄 ≥ 𝟑𝟑
(−𝟐𝟐) �−𝟏𝟏𝟐𝟐�
𝒄𝒄 ≥ 𝟑𝟑(−𝟐𝟐)
𝒄𝒄 ≤ −𝟏𝟏
Para este modelo tenemos dos intervalos
solución. Los valores de x mayores e iguales a
22 y los valores de x menores e iguales a -6.
La U entre los intervalos indica que esta
desigualdad tiene dos conjunto solución.
Expresaremos la solución en términos de
intervalos y geométricamente:
Conjunto solución =
(-∞, -6] U [22, ∞ )
-∞ ∞
-6 22
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Ejemplo 4. Resuelva la siguiente igualdad: |𝒄𝒄 − 𝟏𝟏| = 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑
Solución:
Si x-1 < 0, es equivalente a x <1, entonces
|𝒄𝒄 − 𝟏𝟏|= -(x-1) y la ecuación dada se
convierte en −(𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) = 𝟐𝟐𝒄𝒄 –𝟑𝟑.
Luego, se resuelve esta ecuación para obtener
𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟑𝟑
Puesto que 𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟑𝟑 no satisface la condición
x <1, no es una solución.
−(𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) = 𝟐𝟐𝒄𝒄 –𝟑𝟑
−𝒄𝒄 + 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑
−𝒄𝒄 − 𝟐𝟐𝒄𝒄 = −𝟏𝟏 − 𝟑𝟑
−𝟑𝟑 𝒄𝒄 = −𝟒𝟒
𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟑𝟑
Si x-1 ≥ 0, es equivalente a x ≥1, entonces
|𝒄𝒄 − 𝟏𝟏|= x-1 y la ecuación dada se convierte
en 𝒄𝒄 − 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒄𝒄 –𝟑𝟑.
Luego, se resuelve esta ecuación para obtener
𝒄𝒄 = 𝟐𝟐
Puesto que 𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 satisface la condición
x ≥1, es una solución.
𝒄𝒄 − 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟑𝟑
𝒄𝒄 − 𝟐𝟐𝒄𝒄 = −𝟑𝟑 + 𝟏𝟏
(−𝟏𝟏) − 𝒄𝒄 = −𝟐𝟐( −𝟏𝟏)
𝒄𝒄 = 𝟐𝟐
Para este ejemplo tenemos una solución para x
Expresaremos la solución en términos de
conjunto y geométricamente:
Conjunto solución = { 2}
2
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ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.3
DESIGUALDAD VALOR ABSOLUTO
Nombre: ______________________________ Grupo: __________________
Fecha: ______________________________ Profesor: ______________ Puntos: /40
I PARTE. Determina el intervalo o intervalos solución para las siguientes
ecuaciones e inecuaciones de valor absoluto. Sea ordenado y lógico en su
procedimiento. De utilizar lápiz márquelo fuertemente y su respuesta final en
bolígrafo. Si trabaja con bolígrafo No tachones ni borrones. Valor: 30 puntos.
|𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟕𝟕| < 𝟗𝟗
�𝟑𝟑𝒄𝒄 − 𝟏𝟏
𝟒𝟒� > 𝟐𝟐
- 31 -
|𝟏𝟏𝒄𝒄 + 𝟑𝟑| = 𝟑𝟑𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝟏𝟏
�𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝒄𝒄
𝟑𝟑� ≤ 𝟏𝟏
|𝟕𝟕 − 𝟑𝟑𝒄𝒄| ≥ 𝟐𝟐
- 32 -
|𝒄𝒄 − 𝟏𝟏| = 𝟐𝟐𝒄𝒄 − 𝟏𝟏
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según
organización del colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
3 Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
30 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos
de acuerdo con las
fórmulas y propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
- 33 -
GUÍA NO. 4 ACTIVIDAD DE INICIO:
Observar los siguientes videos
• https://www.youtube.com/watch?v=iZ8yZANNRDA&list=PLC6o1uTspYwHJRGNl
WFnTqjOeAgCvFWGa
• https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE
• https://www.youtube.com/watch?v=UJyyUnOJFOs
• https://www.youtube.com/watch?v=k20VPkFhv40
ACTIVIDAD DE DESARROLLO:
CONTENIDO
FUNCIONES REALES
CONCEPTO DE RELACIÓN
En muchas actividades humanas en donde se necesite verificar la correspondencia de una
cifra numérica con otra, se utiliza con concepto de relación y función.
El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas.
Las funciones no sólo representan fórmulas y lugares geométricos, también son de mucha
utilidad para resolver problemas de la vida diaria, tales como el área comercial (finanzas
y bancas, contabilidad, estadística), en la ingeniería, medicina, química y física, y
cualquier área en donde haya que relacionar variables.
CONCEPTO DE RELACIÓN: llamaremos una relación a cualquier conjunto de pares
ordenados de elementos. La noción de correspondencia o relación se establece entre
los elementos de dos conjuntos que pueden ser iguales, pero no vacíos.
Verifiquemos estos dos conjuntos cuyos elementos son números enteros a los cuales
llamaremos el conjunto
A y B
A = {1,2,3,4,5,6} B = {7,8,9,10}
- 34 -
Estableceremos una relación entre los elementos de estos dos conjuntos, resultando los
siguientes nuevos conjuntos:
R = {(1,7), (1,8), (1,9), (1,10)}
R ={(2,7), (3,8), (5,10)}
R = {(6,7), (6,8), (6,9), (6,10)}
R = {(1,7), (3,8), (4,9), (6,10)}
Si observamos se crearon pares ordenados entre los elementos del conjunto A y B
llamándole a el nuevo conjunto relación R.
En una relación, el conjunto de las primeras componentes en los pares ordenados se le
llama Dominio (D) y el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados se
le llama Codominio o Contradominio (C). Para los ejemplos de arriba, veremos que
R = {(1,7), (1,8), (1,9), (1,10)}; D ={1} C ={7,8,9,10}
R = {(2,7), (3,8), (5,10)}; D ={2,3,5} C ={7,8,10}
R = {(6,7), (6,8), (6,9), (6,10)}; D ={6} C ={7,8,9,10}
R = {(1,7), (3,8), (4,9), (6,10)}; D ={1,3,4,6} C ={7,8,9,10}
CONCEPTO DE FUNCIÓN
CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función de A → B es una relación en la cual a cada
elemento del
Dominio A le corresponde uno y sólo un elemento del codominio B, formándose así
un conjunto de pares ordenados, en el que no hay dos pares que tengan igual la
primera componente.
Las funciones se denotan o escribe con las letras 𝒚𝒚 = 𝒔𝒔(𝒄𝒄), donde
x: es la variable independiente
y: es la variable dependiente
f: es la función
Para la función ampliaremos los conceptos de Dominio, Codominio y Rango:
Dominio Df: es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente
(𝑥𝑥)en una función.
Codominio Cf: es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente
(𝑦𝑦) en una función.
- 35 -
Rango Rf: es el conjunto de imágenes formado por todos los elementos asociados. Es decir,
siempre es un subconjunto del codominio.
Las funciones y relaciones pueden tener una representación gráfica en el plano cartesiano.
Para distinguir si se trata de una función o de una relación basta con trazar una recta al
eje “Y” sobre la gráfica; si ésta interseca en dos o más puntos es una relación, si sólo
interseca u punto será una función.
Ejemplo: Indica según la definición, si los siguientes conjuntos son relación o función.
1. {(𝟏𝟏,𝟏𝟏), (𝟐𝟐,𝟗𝟗), (𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟐𝟐)}
Si observamos al elemento 2 del dominio le
corresponden 2 valores del codominio, por tanto, es
relación.
𝑬𝑬𝒔𝒔 𝒖𝒖𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒆𝒆𝒍𝒍𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔ó𝒔𝒔.
2. {(10,15), (20,25), (-20,35)}
Si observamos a cada elemento del Dominio le toca
un solo elemento del condominio.
Es una función
3. {(𝟐𝟐,𝟑𝟑), (−𝟏𝟏,𝟒𝟒), (𝟑𝟑,−𝟏𝟏), (𝟒𝟒,𝟑𝟑)}
A cada elemento del dominio le corresponde un solo
elemento del codominio.
Es una función
4. {(𝟐𝟐,𝟐𝟐), (𝟐𝟐,𝟑𝟑), (𝟐𝟐,𝟒𝟒), (𝟐𝟐,𝟏𝟏)}
A un mismo elemento del dominio, le
corresponden varios elementos del codominio.
Es una relación
5.
Si dibujamos una paralela al eje Y esta corta a la
gráfica en dos puntos
Es una relación
- 36 -
6.
Si dibujamos una paralela al eje Y corta la gráfica
en un solo punto
Es una función
VALORIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL
El proceso de determinar el valor de 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) para un valor de 𝑥𝑥 determinado se le llama
valorar la función, es decir el proceso de obtener el valor de salida se llama Valorización.
Ejemplos: Evalúa las siguientes funciones SOLUCION
𝟏𝟏. 𝒔𝒔(𝒄𝒄) = 𝟑𝟑𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝒄𝒄 −2
𝒑𝒑𝒔𝒔𝒑𝒑𝒔𝒔 𝒔𝒔(𝟏𝟏),𝒔𝒔(−𝟑𝟑),𝒔𝒔( 𝟐𝟐)
Para valorar la función debemos evaluar
esta para el valor de x indicado.
𝑓𝑓(0) = 3(0)2 − 5(0) − 2
= −2
𝑓𝑓(−3) = 3(−3)2 − 5(−3) − 2
= 27 + 15 − 2
= 40
𝑓𝑓(2) = 3(2)2 − 5(2) − 2
= 12 − 10 − 2
= 0
2. 𝒔𝒔(𝒄𝒄) = 𝟒𝟒 −𝟑𝟑𝒄𝒄𝟐𝟐
𝒑𝒑𝒔𝒔𝒑𝒑𝒔𝒔 𝒔𝒔(𝟏𝟏),𝒔𝒔(𝟐𝟐),𝒔𝒔(𝟒𝟒)
𝑓𝑓(1) = 4 − 3(1)
2
= 4 −32
= 12
𝑓𝑓(2) = 4 − 3(2)
2
- 37 -
= 4 −62
= −22
= −1
𝑓𝑓(4) = 4 − 3(4)
2
= 4 −122
= −82
= −4
3. 𝒔𝒔(𝒄𝒄) = 𝟑𝟑𝒄𝒄𝟑𝟑 − 𝒄𝒄 𝒑𝒑𝒔𝒔𝒑𝒑𝒔𝒔 𝒔𝒔(𝟐𝟐),𝒔𝒔(𝒔𝒔), 𝒔𝒔(𝒔𝒔 + 𝟏𝟏)
𝑓𝑓(2) = 3(2)3 − 2
= 24 − 2
= 22
𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 3(𝑎𝑎)3 − 𝑎𝑎
= 3𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎
= 𝑎𝑎(3𝑎𝑎2 − 1)
𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 1) = 3(𝑎𝑎 + 1)3 − ( 𝑎𝑎 + 1)
= 3(𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 + 1) − ( 𝑎𝑎 + 1)
= 3𝑎𝑎3 + 9𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎 + 3 − 𝑎𝑎 − 1
=3𝑎𝑎3 + 9𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 + 2
- 38 -
ACTIVIDAD DE CIERRE:
Desarrolla la siguiente actividad de aprendizaje.
INSTITUTO RUBIANO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNACIÓN SUMATIVA NO.4
FUNCIONES REALES
Nombre: ______________________________ Grupo: __________________
Fecha: ______________________________ Profesor: ______________ Puntos: /45
I PARTE. Identifica si los siguientes conjuntos representan funciones o relaciones.
Valor: 3 puntos.
1) {(−2,−8), (−1,−1), (0, 0), (1, 1), (2, 8) … } _____________________
2) �(2,−1), (3, 0), �√9, 1�, (0,−3), (−1,−4) … � _____________________
3) �(0, 0), (−4,−2), �√−643 , 2�, (−9, 3) … � _____________________
II PARTE. Identifica qué representa cada gráfica, (función o relación). Valor: 6 puntos.
1) 2)
4) 5) 6)
3) 1)
6)
5)
4)
3)
2)
- 39 -
III PARTE. Evalúa las siguientes funciones. Valor:
1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥−1
,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑓𝑓(4), 𝑓𝑓 �− 12� ,𝑓𝑓 �1
2�. (6 puntos)
2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √8 − 3𝑥𝑥,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑓𝑓(0),𝑓𝑓 �− 13� ,𝑓𝑓 �− 8
3�. (6puntos)
3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 2,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑓𝑓(−1),𝑓𝑓(3),𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ ), 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ
(8 puntos)
4) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 3,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ ), 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ
(6 puntos)
- 40 -
LISTA DE COTEJO PARA ACTIVIDADES FORMATIVAS O SUMATIVAS
Puntuación
esperada
Aspectos por evaluar Puntuación
obtenida
Observaciones
5 Puntualidad. Entrega a
fecha indicada por el
docente, según
organización del colegio.
2 Limpieza y orden. No se
aprecian borrones,
tachones.
3 Expresa adecuadamente la
solución de cada problema.
35 Desarrolla correctamente
todos los procedimientos
de acuerdo con las
fórmulas y propiedades.
.
CALIFICACIÓN.
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INFOGRAFÍA MATEMÁTICA 12-ALGEBRA Y CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AUTOR: DIANA L.DE LAJON Y DIANA LAJÓN
MATEMÁTICA 12- SANTILLANA
AUTOR: MARYLIN ALVARADO VARGAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL- PEARSON
AUTOR: ARTURO AGUILAR MARQUEZ
PÁGINAS WEB DADAS EN CADA TEMA COMO APOYO AL MATERIAL
DIDÁCTICO OFRECIDO.
