1 1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE Profesora: Donita Rodríguez. Agosto 2011 BANCO CENTRAL DE RESERVA...

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1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

Profesora: Donita Rodríguez.

Agosto 2011

BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚBANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORESCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES

ECONOMETRÍAECONOMETRÍA

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1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN.

2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

3. EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN

4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS

ESQUEMA

3

• Sea la función de densidad conjunta normal bivariada

• Funciones de densidad de probabilidad marginal:

2

2

1exp

2

1)(

x

x

x

xxf

2

2

1exp

2

1)(

y

y

y

yyf

22

222

)1(2

1exp

12

1),(

y

y

y

y

x

x

x

x

yx

yyxxyxf

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN

4

• La función de densidad condicional de Y dado X:

• Media y Varianza Condicionales:

)(),(

)|(xfyxf

xyf

2

2222)(

)1(21

exp)1(2

1)|( x

x

yy

yy

xyxyf

xxxxYE xyxyx

yx

x

yyx

x

yy ||)()|(

2|

22 )1()|( xYyxYVar

1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN

5

• El Modelo de regresión simple:

– y=variable dependiente, regresando, explicada, variable del lado

izquierdo (left-hand-side variable).

– x = variable independiente, regresor, explicativa, variables del lado

derecho (right-hand-side variable).

• Término de perturbación:

u)xy(Ey |

)|( xyEyu

2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE

6

iii XXYE )|(

NX

NY Nu

1Y iu

1X 2X

2Y

A

B

C


iii XXYE 21

7

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

X

Y

Relación poblacional positiva entre Y y X

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

X

Y

Relación poblacional negativa entre Y y X


• Las relaciones entre las variables x e y pueden ser: positivas o

negativas

8

CAUSALIDAD EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL

• Es importante tener en cuenta que un modelo de regresión no

implica la existencia de causalidad entre las variables.

• La causalidad - si existiera - estará determinada por la teoría

económica y reforzada por pruebas estadísticas adecuadas.

uxyEy )|( uyxEx )|(


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• La teoría económica analiza las relaciones entre variables a través

de modelos. Las relaciones pueden ser uniecuacionales o

multiecuacionales, bivariadas o multivariadas.

• Además, las relaciones económicas pueden modelarse como

relaciones determinísticas o relaciones estocásticas.

donde g(Y) es la función esperanza condicional o regresión.

)( )1( YfC YC 21 )2(

uYC 21 )4(uYgC )( )3(


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• Ejemplo: la relación lineal entre consumo e ingreso no es exacta.

Ello, explica que las relaciones entre variables económicas sea

estocástica (presencia de u).


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Definición

• Denominado término estocástico.

• La palabra estocástico proviene del griego stokhos que

significa objetivo o blanco de una ruleta:

– Una relación estocástica es una relación que no siempre

da en el blanco.

– Así, el término de perturbación mide los errores o fallas de

la relación determinística: XYu 21

3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR

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• La presencia del término de perturbación se justifica por los

siguientes argumentos (no mutuamente excluyentes):

– Omisión de la influencia de eventos sistemáticos, muy

importantes y poco importantes para la relación.

– Omisión de la influencia de innumerables eventos no

sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la

relación.

– Error de medida de las variables utilizadas.

– Aleatoriedad del comportamiento humano ante situaciones

similares.


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– Omisión de variables explicativas: se excluyen variables que

no se pueden medir.

– Agregación de variables micro-económicas. Relaciones

individuales pueden tener distintos parámetros.

– Incorrecta especificación del modelo en términos de su

estructura: común en datos de series de tiempo, la variable

endógena puede depender de sus valores pasados.

– Incorrecta especificación funcional: relaciones lineales vs.

no lineales.


141

Y

Suponga que una variable Y es una función lineal de otra variable X, con parámetros desconocidos β1 y β2 que vamos a desear estimar.

XY 21

1

XX1 X2 X3 X4


152

1

Y

XX1 X2 X3 X4


XY 21

Suponga que se cuenta con una muestra de 4 observaciones para las variables X e Y.

16

Q1

Q2

Q3

Q4

3

1

Y

XX1 X2 X3 X4


XY 21

Si la relación entre X e Y fuera exacta, las observaciones estarían en la línea recta y no habría problema de obtener los valores exactos de los parámetros poblacionales β1 y β2.

17

P4

P3P2

P1

Q1

Q2

Q3

Q4

4

1

Y

XX1 X2 X3 X4


XY 21

En la práctica, muchas relaciones no son exactas y los valores observados de Y son distintas de los valores que tomaría se estuvieran en la línea recta (P vs. Q)

18

P4

P3P2

P1

Q1

Q2

Q3

Q4

5

1

Y

XX1 X2 X3 X4


XY 21

Así, el término de perturbación permite justificar tal divergencia y por ello el modelo estadístico puede escribirse como Y = 1 + 2X + u, donde u es el término de perturbación.

19

P4

P3P2

P1

Q1

Q2

Q3

Q4u1

6

1

Y

121 X

XX1 X2 X3 X4


XY 21

Cada valor de Y tiene un componente no estocástico, 1 + 2X, y un componente u. Por ejemplo, la primera observación tiene estos dos componentes.

20

• SC1:

– Linealidad de la esperanza condicional. ¿Término de perturbación

aditivo? Sí.

– Regresores Adecuados.

– Parámetros Constantes.

• SC2: Supuesto de Regresión

• SC3: Rango Completo por columnas (no multicolinealidad).

• SC4: Ausencia de relación estadística entre X y perturbaciones.

• SC5: Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad y No Autocorrelación.


21

SC1: LINEALIDAD DE LA ESPERANZA CONDICIONAL

1. Lineal en parámetros y variables: en general para k

variables:

Notación matricial:

uXy

nnkknnnn

kk

kk

uxxxxy

uxxxxy

uxxxxy

332211

222332222112

111331221111

)1(

2

1

)1(

2

1

)(21

22221

11211

)1(

2

1

nnkkknnknn

k

k

nn u

u

u

xxx

xxx

xxx

y

y

y


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• Coeficientes de la Regresión y Efectos Marginales

• Interpretación de los parámetros

Tabla 1: Interpretación de los coeficientes del modelo de regresión X Log(X)

Efecto Marginal

Y Cambio en el nivel de Y ante un cambio en una unidad de X

Cambio en el nivel de Y ante un cambio porcentual de X

(Modelo Semilog) Semi-elasticidad de Y ante X Elasticidad de Y ante X

Log(Y) Cambio porcentual de Y ante un cambio en una unidad de X

(Modelo Semilog)

Cambio porcentual de Y ante un cambio porcentual de X: ()

(Modelo Doble log)


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2. Regresores adecuados: el modelo especificado es el “verdadero”

• No se omiten variables importantes.

• No se incluyen variables redundantes.

3. Los parámetros son constantes:

• Para la muestra analizada: individuos o tiempo.

• Al menos que fluctúen (poco) alrededor de un valor constante.

• No hay cambio estructural o de régimen (series de tiempo), cualidades

(corte transversal).


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SC2: SUPUESTO DE REGRESIÓN:

• MEDIA INCONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN IGUAL A

CERO:

– Regresores son fijos en muestreo repetido.

– Regresores son variables aleatorias y con distribución totalmente independiente

del término de perturbación.

• MEDIA CONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN DADO X ES

IGUAL A CERO:

– Regresores son variables aleatorias y con distribución independiente en media del

término de perturbación.

n,,i,)u(E i 10


0)u(E

n,,i,)Xu(E i 10

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SC3: RANGO COMPLETO POR COLUMNAS DE X

– No es posible que n<k

• El número de observaciones es mayor al número de

regresores: n > k (variación de los regresores).

– Columnas linealmente independientes

• No existen relaciones lineales exactas entre regresores:

Ausencia de Colinealidad o Multicolinealidad.

– Implicancias:

• X’X es positivo definida

• la inversa de (X’X) existe!


26

Y

X

Y

X


Diversas relaciones posibles Una única relación posible

n<k n=k

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SC4: AUSENCIA DE RELACIÓN ESTADÍSTICA ENTRE

REGRESORES Y PERTURBACIONES:

Se presentan dos casos:

– Regresores Fijos en muestras repetidas (no estocásticos).

– Regresores Estocásticos:

• Independencia total.

• Independencia en media.

• Ausencia de relación lineal contemporánea.


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• Independencia Total de las perturbaciones y regresores.

• Independencia en media de las perturbaciones.

Si se cumple SC2 , entonces :

iiji uEX|uE

Kj ,,1 n,i 1 ijiiji XfufX,uf

n,i 1 Kj ,,1

0iuE 0iji X|uE


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• Ausencia de relación lineal contemporánea entre perturbaciones

y regresores.

Si , entonces :

n,,i 1 Kk ,,1 0 )uX(E)u,X(Cov iikiik

0)u,X(Cov ijiKj ,,1 n,i 1

0iuE


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– Perturbaciones Esféricas: Notación matricial

• La matriz de segundos momentos es proporcional a la identidad.

• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):

nI]X|'uu[E 2

nI]X|'uu[E)u(Var 2


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a b

a

b

ui

uj

ui

uj


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Profesora: Donita Rodríguez.

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