095-122 Congruencia Triángulos 9a

7/23/2019 095-122 Congruencia Triángulos 9a

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APUNTES DE CLASE CONGRUENCI A

ING HERNAN ABARCA V.95

escoincidentsignifica:NOTA

≡∠=∠

=

==

A´ A

b´ b

A´B´C´ ABC T)c´ c H) ??

CAPITULO 4

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Dos f iguras geométr icas son congruentes cuando al superponer una sobre

ot ra, coinciden todos sus elementos ( lados y ángulos) y por lo tanto lascaracter íst icas de la una son idént icas a las caracter íst icas de la ot ra.

Tratándose de t r iángulos existen t res casos en los cuales podemos, previa lademostración respect iva, deci r que existen dos t r iángulos idént icos ocongruentes.

1er CASO. - Dos t r iángulos son congruentes cuando t ienen respect ivamente

dos lados iguales y el ángulo comprendido ent re estos dos lados también esigual .

Demostración. - Tomamos el t r iángulo A´B´C´ y lo colocamos sobre el t r iángulo

ABC de tal manera que b´ ≡ b y por ser iguales A´ ≡ con A y C´ ≡ con C.

Con una abertura del ∠ A´ que es igual a la del ∠ A t razamos o colocamos ell ado c´ ; como la inc l i nac ión de c ´ es igua l a la de c , e l l ado A´B´ caerá sobre

AB y como por h ipótesis son iguales entonces B´ ≡ B.

Una vez determinados dos puntos, (B´ y C´) por e l los sólo puede pasar una ysólo una recta la cual será el lado a´ que coincid i rá con a.

∴ s i A es ≡ A´ y B es ≡ B´ y C ≡ C´




ING HERNAN ABARCA V.9 6

C´ C

A´ A

A´BĆ´ ABC T)b´ bH)

∠=∠

∠=∠

∆=∆=

Los t r iángulos son congruentes porque por t res puntos no col ineales pasauno y sólo un plano que este caso es un t r iángulo.

2do CASO. - Dos t r iángulos son congruentes s i t ienen respect ivamente un

lado y sus dos ángulos adyacentes iguales

Demostración. - Tenemos el t r iángulo A´BĆ´ y lo colocamos sobre el t r iángulo ABC de ta l manera que b´≡ b; entonces; por ser iguales.

C´ ≡ C y A´ ≡ A

Los lados a´ y c´ se superponen sobre los lados a y c respect ivamenteporque t ienen la misma incl inación con respecto al lado b.

Estos lados, a l prolongarse, sólo pueden cruzarse en un punto y ese punto

precisam ente es B. entonces B´ ≡ B

Si A ≡ A´ B ≡ B´ y C ≡ C´

Por los t res puntos sólo puede pasar uno y solo un plano (en este caso, elt r iángulo)

∴ ∆ ABC ≅ ∆ A´BĆ´

L.A.L

A.L.A.





Para el tercer caso es necesar io demostrar un teorema prel iminar .

TEOREMA .- En el t r iángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados

iguales son iguales.

- Trazamos la bisectr iz del vért ice del t r iángulo isósceles (B)

∴ BD es bisectr iz del ∠ B por const rucción.

∴ ∠ ABD = ∠ DBC

En: p ABD y p BDC

∠ ABD = ∠ DBC

AB = B C

BD = BD

∴ p ABD = p BDC por L.A.L.

∴ S i los 2 t r iángulos son iguales entonces sus par tes homólogas también loserán.

AD = DC y ∠ A = ∠ C

Téngase en cuenta que existen ot ros elementos homólogos iguales, pero de

el los nos ocuparemos después. Nuest ro afán es demostrar en este momentoel teorema expuesto.

Corolar io

Si dos ángulos de un t r iángulo son iguales, los lados opuestos a esos ángulosson también iguales y por tanto se t rata de un t riángulo isósceles ( teoremarecíproco)

T) ∠?A = ∠ C

H) AB = BC ( isósce les)




ING HERNAN ABARCA V.9 8

3er CASO. - S i los t res lados de un t r iángulo son respect ivamente iguales a

los t res lados del ot ro, los dos t r iángulos son iguales.

- Colocar e l t r iángulo A´BĆ´ de manera inver t ida de ta l forma que b´ caesobre b

- Unimos B con B´ y tenemos el tr iángulo ABB´ en el cual AB = AB´ porhipótesis

- ∴ p ABB´ es i sósce les y consecuentemente ∠ ABB´ = ∠ AB´B poropuestos a los lados iguales.

- En el p BBĆ , BC = CB´ por h ipótesis ∴ p BCB´ es isósceles yconsecuentemente:

∴ ∠ B´BC = ∠ CB´B ( lados opuestos a lados iguales)

∠ ABB´ = ∠ BB’A

∠ B ’BC = ∠ CB’B (+)

∠ ABB’ + ∠ B ’BC = ∠ BB’A + ∠ CB’B

∠ B = ∠ B’

∴ tenemos el caso de L.A.L. en los 2 t r iángulos pues

∴ AB = A’B’ por h ipótesis (L)BC = B’C’ por h ipótesis (L)

∠ B = ∠ B’ (A )p ABC = p A´BĆ´ por L.A.L.

A lgunos autores consideran un cuarto caso de congruencia, s in embargopuede enunciarse como corolar io de los casos anter iores, y d ice: dost r iángulos son congruentes s i t ienen res pect ivamente iguales un lado y dos

ángulos cualquiera.





TEOREMA . - Si de un punto cualquiera (P) , per teneciente a una

perpendicular (PO) a una recta AB, se t razan a la recta dos obl icuas cuyospies estén a igual d is tancia del p ie de la perpendicular , esas dos obl icuas son

Iguales y forman ángulos iguales con la perpendicular y hor izontal .

CO = OD por hipótesis (L .)

OP = OP lado común ( L. )

∠ COP = ∠ POD ∠s rectos (A. ) Por h ipótesis.

∴ p COP = p POD por L.A.L.

Si son iguales los elementos homólogos también lo son

H) PO ⊥ AB T) CP = PD

OC = OD ∠ CPO = ∠ OPD

En el p COP y p OPD

∴ CP = PD y ∠ CPO = ∠ OPD y ∠ PCO = ∠ PDO

TEOREMA: Dos t r iángulos rectángulos son congruentes s i la h ipotenusa y un

cateto del uno son respect ivamente iguales a la hipotenusa y un cateto delotro.





Se une los dos tr iángulos de tal manera que BĆ´ ≡ BC ( l íneas de puntos)

entonces AC estará ubicada en la prolongación de AĆ´ formando un ánguloplano = 180º. AB y A´B´ son dos obl icuas iguales (por h ipótesis) que se

separan de la perpendicular BC generando los segmentos AĆ´ y AC, loscuales por e l teorema recíproco del anter ior son iguales, entonces:

AB = A´B´ por h ipótesis

BC = BĆ´ por h ipótesisCA = CÁ´

Nota: puede también cons iderarse que AB (h ipotenusa) y AC (o t ro cate to) soniguales entonces al uni rse tendr íamos el caso de igualdad para 2 t r iángulospor L.A.L.

Corolar io. - Dos t r iángulos rectángulos son iguales s i dos lados cualquiera del

uno, son iguales a los correspondientes dos lados del ot ro.

CARACTERÍSTICAS DE LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES

1.- A l t razar la a l tura que corresponde al vér t ice del t r iángulo :

a.- Se forman dos t r iángulos congruentes

(Dos t r iángulos rectángulos son congruentes s i t ienedos lado s iguales )

b.- La al tura t razada desde el vér t ice de un t r iángulo isósceles es también:

mediana, bisectr iz y perpendicular bisectr iz (med iat r iz)

H) p ABC es rectángulo T) p ABC = p A´BĆ´

p A´BĆ´ es rectángulo

AB = A´B´ (h ipotenusa)

BC = BĆ´ (cateto)





si los dos t r iángulos son congruentes

AH = HC ⇒ BH es mediana, mediat r iz y a l tura

∠ ABH = ∠ HBC por homólogos ⇒ BH es bisectr iz del ∠ B

c.- Si una ceviana t razada desde el vér t ice de un t r iángulo cumple con por lo

menos d o s caracter íst icas enunciadas anter iormente el t r iángulo esi sósce les.

d. -Las medianas, bisectr ices y al turas que corresponden a los ángulos

iguales de un t r iángulo isósceles son iguales .

TEOREMA: la suma de dos lados cualquiera de un t r iángulo es mayor que el

tercer lado; y la d i ferencia, menor .

Sea AC el lado mayor del t r iángulo

BC + AB > AC

Sí BC + AB > AC

AB > AC – B C

∴

AC – BC < AB

Siempre se va a cumpl i r esta desigualdad pue s AC

viene a ser el camino más corto para unir A con C.Donde quiera que se ubique B s iempre la suma de losdos se ment os va a se r ma or ue l a d i st anc i a





TEOREMA:Si dos lados de un t r iángulo no son congruentes los ángulos

opuestos tampoco lo son y el ángulo de mayor medida se opone a lado mayor .

prolongamos el lado BC hasta el punto D de ta l manera que

AB = BD por const rucción unimos AD:

∴ el t r iángulo ABD es isósceles por const rucción.

∠ 1 + ∠ 2 = ∠ D por ser ángulos opuestos a lados iguales

∴ ∠ D > ∠ 1

Con el t r iángulo ACD:

∠ 3 = ∠ 2 + ∠ D por ángulo externo del p ACD

∴ ∠ 3 > ∠ D

∴

como ∠ D > ∠ 1 ⇒ ∠ 3 > ∠ 1 ∠

⇒ ∠ C > ∠ A

TEOREMA: En todo t r iángulo isósceles, la b isect r iz del ángulo externo que

corresponde al vér t ice del t r iángulo es paralela al lado que se considera comobase.

∠ A = ∠ C por hipótesis

∠ DBC = 2 ∠ A = 2 ∠ C por externo

∠ DBC = 2 ∠ DBL = 2 ∠ LBC

2 ∠ A = 2 ∠ DBL = 2 ∠ L BC∠ = 2 ∠ C

Si ∠ A = < DBL ⇒ BL I I AC (∠s correspondientes)

13

ó ACT)

BC ABH)

∠>∠

∠>∠

>





TEOREMA: S i por un punto cualquiera de la b isect r iz de un ángulo se t raza

una paralela a uno de los lados del ángulo, e l t r iángulo así formado es

isósceles.

Sea OP bisect r iz del ángulo AOB

(hipótesis)

CP I I OB (hipóte sis)

∠ 1 = ∠ 3 por a l ternos internos

⇒ p

OCP es isósceles por tener dos

ángulos iguales: ( ∠ 1 = ∠ 3).

TEOREMA: Los Segmentos comprendi dos ent re dos pares de paralelas son

iguales.

T) AB = DC y AD = BC

Si t razamos la recta AC se formandos t r iángulos: e l ADC y el ABC que

s i demost ramos que soncongruentes, podemos deduci r quesus par tes homólogas tambien lo

son.

En efecto los pares de ángulos 1 y 2 son iguales por a l ternos – internos y el

lado AC es común; por lo tanto por A.L.A. los dos t r iángulos son congruente.

∴ AD = BC y AB = DC





EGCE AC

sonlotambiénhomólogaspartessusy A.L.A.por igualesson

ERGyCQE APC;formadostriángulostreslosementeConsecuent

(A) ientes.correspondpor EC A

ientescorrespondpor HR y FQDP

(L) ERCQ AP

paralelasentreparalelas FHER

FH.DFBDquesabemoshipótesis,por paralelasentreparalelas DFCQ

paralelasentreparalelas BD AP

ERGCQE, APC,triángulos3formadohanse

.2l a paralelas ERCQ, AP,rectaslastrazamos;hipótesispor ,FHFDBD

EGCE ACT) 4L II 3LII 2LII1L H)

==∴

∠=∠=∠

∠=∠∠=∠∠=∠

==∴

=

===

=

==

==

TEOREMA: S i los segmentos determinados en una t ransversal por t res o más

paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquier ot rat ransversal por las mismas paralelas

.

Corolario 1

Si una recta biseca un lado de un t r iángulo y es paralela al ot ro lado, b iseca

también al tercer lado.

BE =EA

EABET)

DBCD ACIIDEH)

=

=

Trazo L1 paralela a DE y por lo tanto paralela a AC.

Si CD y DB son iguales por hipótesis y BA es una transversal que corta a laspara le las L1 , DE y AC por e l teorema anter ior BA queda también div id ida endos par tes iguales.





Corolario 2

La recta que une los puntos medio de de dos lados de un tr iángulo esparalela al tercer lado e igual a la mitad de ese lado.

Como consecuencia del corolar io anter ior s i DE une los puntos medios,entonces DE es paralela a AC. S i t razamos desde E una paralela a AB

entonces F es punto medio de AC y como DE es igual a AF por paralelas entreparalelas y AF es igual a FC por que F es punto medio Decimos que:

DE = ½ AC

Corolario 3

La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un t rapecio( l lamada mediana del t rapecio) es igual a la semi -suma de las bases

Corolario 4 .

El segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de unt rapecio es igual a la semi di ferencia de las bases

BC)(AD2

1 MNBC

2

1 AD

2

1 FNMF (2)(1)

(2) BC2

1 FN:BCDeny;(1) AD2

1 MF: ABDen

BDdiagonallaTrazamos

+=∴+=++

=∆=∆

∴





T)2

BC ADPQ

−=

En t r iángulo ACD: En t r iángulo BCD

PR = ½ AD QR = ½ BC

Pero PQ = PR – QR ∴ PQ = ½ AD – ½ BC

∴ PQ = ½ (AD – BC)

Todos los t r iángu los qu e se forman (4 en total ) son iguales por que t ienerespect ivamente sus t res lados iguales, según concepto de l ínea media.

TEOREMA: La longi tud de la mediana que corresponde a la h ipotenusa es

igual a la mitad de el la.

E l punto medio de BC es M. S i t razamos por M una paralela al lado AB, de ta lmanera que cruce el lado AC en Q, que también es punto medio por e l

teorema de las l íneas medias. El ángulo el Q es = 90º. Se forman dostr iángulos: el AMQ y el QMC que con iguales porque son rectángulos, quet ienen un lado común QM y también el lado AQ = QC porque Q es tambiénpunto medio. Se puede deci r que los dos t r iángulos formados son iguales por

L. A. L. Por lo tanto AM y MC al ser h ipotenusas d e los dos t r iángulos tambiénson iguales ( lados homólogos) .

TEOREMA DE L AS LINEAS MED IAS:

Las rectas que unen los puntos medios de los lados de un t r iángulo div iden aéste en cuat ro t r iángulos iguales, son paralelas al tercer lado, e igual a la

mitad de este lado





Si AM = MC, entonces AM será también igual a BM

TEOREMA: El ángulo formado por la a l tura y la mediana relat ivos a la

hipotenusa de un t r iángulo rectángulo es igual a la d i ferencia de los ángulos

agudos.

T) ∠ X

AM = MC = BM porque M es equidistante de los vért ices (c i rcuncentro en un

t r iángulo rectángulo )

Por lo tanto el p AMB es isósceles y el p CMB también

∠ 1 =∠ ABM opuestos a lados iguales

∠ 2 = ∠ C opuestos a lados iguales

∠ 1 + (∠ 1 - ∠ x) = 90º en p ABH ∴ 2 ∠ 1 - ∠ x = 90º

∠ 1 + ∠ 2 = 90º en p ABC ∴ - ∠ 1 - ∠ 2 = - 90º

∠ 1 - ∠ x - ∠ 2 = 0º ∴ ∠ x = ∠ 1 - ∠ 2 ∴ ∠ x= ∠ A - ∠ C

PROBLEMAS: Demostrar en los s iguientes ejerc ic ios que los t r iángulos

sombreados son congruentes:

1.

2.





3.

4.

5.





6.

7.

8.





9. Sobre los lados de un t r iángulo escaleno ABC se const ruyen t r iángulos

equi láteros, demostrar que AD = EB.

10.

ME perpendicular

bisectr iz de TP

∠ R 4π / 15

∠ E 4 3π / 180

α = ? Rp . 38º





11.

12. H) ∠ B = 122º T) ∠ x = .? Rp: 64°





13. Determinar el ángulo “x” Rp: 20º

14. H) <A = 72° <C = 54° T) <x = ?

RP: 117°





15. Hal lar la longi tud de la mediana AM.

Rp: 11 u.

16. En el t r iángulo rectángulo ABC (rectángulo en B) se t raza la a l tura BH, la

cual es cor tada en los puntos P y Q por las bisect r ices inter iores CE y ADrespectivamente. Hal lar PQ si BE = 5 y BD = 8. Rp = 3





17.

H) p ABC es isósceles ; FD ⊥ DA ;

EH ⊥ CH

T) p ADF ≅ p CEH

1 8. Demostrar que en un t r iángulo isósceles, las medianas, las bisect r ices ylas al turas que corresponden a los vér t ices de los ángulo iguales, forman dos

t r iángulos congruentes.





19.

H) ps ABC y DBE rectángulosisósceles

B E T) AD = EC

C

D A

20.

H) MN II AC ; ∠ AME = 90º

T) AN = NBB

N DM

11

A E C





21.

22.

H) AE B C

AH = Al tura

AC ⊥ AB

FD ≅ DE A E

T) AF ≅ A D

D

F

11

B H C





23.

H) p ABC eq u i lá tero

T) AC = AD + EC

24. Los ángulos agudos de un t r iángulo rectángulo están en la proporc ión 3/2

Calcular e l ángulo que forman la al tura y la mediana t razadas desde el ángulorecto. Rp: 18°





25.C H) H Ortocentro

T) DH = DC

D

H E

A 45° B

26.

H) ∠ A = 2∠C ∠ ABC = 90ºBM = MC ∠ APB = 90º

B T) BP = PQ

M

A P C

Q





27.

H) AB = AC

AP = AQ

T) PE = EQ

28.





29.

Rp 3

30. T) p ADB ≅ p FEB





31.

32.

Rp=130°





33.-

34.

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