08-Programa de Produccion

7/17/2019 08-Programa de Produccion

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Programa de Producción



La Secuencia de Extracción

• Define donde comienzala mina y comoprogresa en el tiempo.

• Generalmente sediseña pensando en ladistribución de ley no lageomec!nica ni lageot"cnica.



#$%

Definición de Secuencia



Plan &inero

• Define el '(u") 'cu!ndo) y 'cómo) seextraer!n los recursos en cada uno de losper*odos del negocio minero Programade Producción

• Se cuantifican los recursos +umanos ymateriales a utilizar

• ,epresenta el plan de negocios de lacompañ*a



Discretización de la En-ol-enteEconómica

• Gruesa /aserones /ruzado de producción en 0undimiento

por Paneles 1ases de ra2o

• 1ina 3nillos de perforación Puntos de extracción

4ntersección fase banco 5o banco6

• 3 mayor discretización mayor ser! el tiempo en

resol-er la secuencia operati-a a utilizar • Debe ser elegida en función de la selecti-idad

del m"todo de explotación



Plan &inero

• Programa de preparación

• Programa de producción

• 1lu2o de ,ecursos E(uipos. Ser-icios. Personal.




• 7b2eti-o8 &ax. 93:. &ax. -ida mina.

&ax. fino. &in /osto &in Des-iación

;.



Programa de Producción ,a2o

• &aximizar el 93: en-iando a planta las leyes altas primero pol*ticade leyes de corte

• Pro-eer un balance en el tiempo de los productos cobre fierro etc.

• Pro-eer un balance en el mo-imiento de est"ril y mineral en el

tiempo y (ue sea acorde a las flotas de e(uipo• Definir las fases de modo de utilizar al m!ximo la infraestructura

minera definida

• Definir el anc+o de explotación lo suficientemente amplio paracumplir con la meta de producción y los e(uipos (ue la sostienen

• 4dentificar las aperturas de banco en el plan de producción de modode cuantificar confiablemente la meta de producción

• &ane2o de pilas y ra2os m<ltiples de modo de maximizar lautilización de la en-ol-ente económica.



Programas de Producción =tilizandoProgramación &atem!tica

• 1unción ob2eti-o Par!metros económicos Par!metros no deseados

9ariables reales como tonela2e 9ariables enteras acciones cuando abrir el caseróncuando cerrarlo

• ,estricciones

&"todo de explotación secuencia Producción por unidades mineras /ontaminantes otros



,estricciones de extracción

9el. Desarrollo.

9ariables producti-as del m"todo deexplotación.

Secuencia. >onela2e procesamiento.

/ontaminantes.

/ostos. ;



Diagrama conceptual de laprogramación de la producción

UBM 1

UBM 2

UBM n

?

@AA

#AAA

#@AA

$AAA

$@AA

%AAA

%@AA

A .

#

A . $

A .

%

A . B

A .

@

A . C

A .

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# .

#

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# .

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# . B

Lc

T o n e l a j e ( m t )

A.AAA.$A

A.BA

A.CA

A.A

#.AA

#.$A#.BA

#.CA#.A

L e y M e d i a

3u5ppm6

/u

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B

Lc


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L e y M e d i a

3u5ppm6

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@AA

#AAA

#@AA

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A .

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A .

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A . B

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A . C

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A .

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# .

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# .

%

# . B

Lc


A.AAA.$A

A.BAA.CA

A.A#.AA

#.$A#.BA

#.CA

#.A

L e y M e d i a

3u5ppm6

/u

Recursos

T1, l1

T2, l2

Tn, ln

Recursos

EconómicosSecuencia

1

2

n

Método de

Expl.

Rajo

BC

CR



Diagrama conceptual de laprogramación de la producción

UBM 1

UBM 2

UBM n

!1 !2 !T

"orcentajes de extracción de

Cada UBM en di#erentes

per$odos de tiempo



Programa de Producción de un4n-entario de ,ecursos

( )cl v 9alorización del in-entario de recursos

( )

∑

=

N

t

cc

t

t l ut l ul vq MAX

c 1%,&

%,&1unción 7b2eti-o

( )t l u c , Proporción del in-entario de recursos(ue es extra*do en periodo t

q 1actor de actualización anual

1%,&' ≤≤ t l u c

( ) ( ) N t T t l ul v t

l

cc

T

c

..1, =∀=∑

,estricciones

1%,&1

≤∑=

N

t

c t l u

Proporción

/onser-ación de masa

>onela2e meta

( ) ( ) N t t Lmt l ul vcl

cc

lm ..1%&, =∀≥∑ ,estricción de Leyes



E2emplo de Programación de4n-entario de ,ecursos

/ #$/& %.@/P B.@,e- 1actor #a A.#

Lc > 5&t6 >i /uHi - 5&I6

A.# %%$A $% A.#%@ 5#$.A6 A.$ %$F $C@ A.$FA 5%F.%6 A.% %A%$ #$#C A.%BC 5$#@$.C6

A.B ##C CB@ A.BB@ #.@ A.@ ### %$ A.@BC CFC.B A.C F $C$ A.CB F@.% A. @$ ## A.BC F$C.A A. %@C #AF A.BC FA. A.F $B B A.FB@ CC.B

# #% @A #.AB @BB.@ #.# #$$ %@ #.#BC BB.F #.$ $C #.$B %B.C #.% C# #F #.%BF %A.$ #.B B$ B$ #.CCB F$B.$

Lc - 5&I6 3# 3$ 3% 3B 3@ 3C 3 3 3F 3#A

A.# 5#$.A6 A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.$ 5%F.%6 A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.% 5$#@$.C6 A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.# A.#A.B #.@ A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.@ CFC.B A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.C F@.% A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA. F$C.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA. FA. A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.AA.F CC.B A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A

# @BB.@ A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A#.# BB.F A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.A#.$ %B.C A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.$ A.# A.A A.#.% %A.$ A.A A.A A.A A.A A.A A.A A.% A.% A.B A.A#.B F$B.$ A.$ A.$ A.$ A.$ A.$ A.$ A.A A.A A.A A.A

9aloración del 4n-entario&atriz de Decisiones

- 5&I6 3# 3$ 3% 3B 3@ 3C 3 3 3F 3#A

> #AA.A #AA.A #@A.A #@A.A #A.A #A.A #A.A #A.A #A.A #A.Alm #.$$ #.$A #.## #.AF #.A #.A@ #.A #.A #.AC #.A/ #AA #AA #@A #@A #A #A #A #A #A #A-i #BA# #%C #FF #%@ #F$% #@B #F@$ #F$C #@ #F@A

93: I#AC$

,estricciones Producti-as y ,esultado



Programa de Producción de&<ltiples =J&s

iv 9alorización de =J& i

( )( ) ( )

∑

=

N

t

i

t

t ibt iut ibt iuvq MAX

1,%,,&

,,1unción 7b2eti-o

( )t iu , Proporción de la =J& i (ue es extra*do en periodo t

q 1actor de actualización anual

1%,&' ≤≤ t iu

( ) N t T t iuv t

i

iT ..1, =∀=∑

,estricciones

( ) ( ) 1..Mi1,,1 =∀≤∑=

t ibt iu

N

t

Proporción

/onser-ación de masa

>onela2e meta

( ) N t t Lmt iuv ilm

i

..1%&, =∀≥∑ ,estricción de Leyes

( )t ib , 9ariable o par!metros binarios (ue permitenasignar o definir secuencia

1%,&' ≤≤ t ib

( ) ( ) ..N ..M, t it ib z t ib 11,1,1 ==∀≤−− Secuencia &inera



E2emplo Secuencia @ ,a2os



Programar @ ,a2os

• C$ &tKa de cobre fino

• B$ &tKa de cobre de sulfuros

• $A &tKa de cobre en óxidos• /+ancado #B.$ &tKa

• &o- mina max %C &tKa



/omponentes

=J& Pus+bac &o- >otal 7re >otal Maste >otal 1ino >otal

&# # $CBA$C% #AFBB #@B$B$ CC&# $ #@@#BF#$ @$AA C$##$ @%#%&$ # #%$BC #AF@BB CB$FB$F @A$&$ $ $@B$$% #C$AA%@ #$%%B$A$ @BF%&% # #@##@ B#A@A% #BBAAC@% $FFA&B # $BB$A@F% #$FA@@# C#%AAB# AF#

&B $ $@AFF @CB%F #C@%@BF B%FBA&B % %%@FA #B#C@F CF@C#BC CFA&B @ %$@$BB @%#@B$ $$CCCAB @A&B C #$@%%$%C @%%CF#A #FC%$C B@B$&B $#@A$@ BC@@## #B$BCB BFB&B %%%F@$$ @FA@F $BF$F% B$$&B F CB$@% #$FB$$$@ @#%B%C#$ F@B$A&B #A ##F@F%# ##AC%$ @%#@$F BBAA#&B ## %BFBA##@ F$$AF@ $@#F#@C B@#

&@ # %BA@#CCA ##$BA% $$C@C @ACB%

/ubicación de diferentes unidades b!sicas mineras de acuerdoa alg<n ni-el de discretización ad?+oc para aplicar el m"todo deexplotación



,estricciones de Secuencia

=J& Pus+bacL N# N$ N% NB N@ NC N NE NF N#A N## N#$

&# # # # # # # # # # # # # #&# $ # # # # # # # # # # # #&$ # # # # # # # # # # # # #&$ $ A # # # # # # # # # # #&% # A A # # # # # # # # # #

&B # A A A # # # # # # # # #&B $ A A A # # # # # # # # #&B % A A A A # # # # # # # #&B @ A A A A # # # # # # # #&B C A A A A A # # # # # # #&B A A A A A # # # # # # #&B E A A A A A A A # # # # #

&B F A A A A A A A # # # # #&B #A A A A A A A A A # # # #&B ## A A A A A A A A # # # #&@ # A A A A A A A A # # # #



&atriz de Decisiones

N# N$ N% NB N@ NC N N NF N#A N## N#$ sum pond&# A.%% A.@A A.# ? ? ? ? ? ? ? ? ? #.AA&# A.B# ? A.@F ? ? ? ? ? ? ? ? ? #.AA&$ A.A@ ? ? ? A.$C A.%@ A.%% ? A.A# ? ? ? #.AA&$ ? A.@A A.%@ ? A.AA ? ? A.AB ? ? A.## ? #.AA&% ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.CA ? A.%$ A.F$&B ? ? ? A.B@ ? ? ? A.$ A.$ ? A.A# ? #.AA&B ? ? ? A.@$ A.B ? ? ? ? ? ? ? #.AA&B A.#B ? ? ? A.AB A.$A A.$F A.#% A.$A ? ? ? #.AA&B ? ? ? ? A.B A.A@ ? ? A.%# A.# ? ? #.AA&B ? ? ? ? ? ? A.B ? ? A.A A.$% A.$% #.AA&B ? ? ? ? ? A.@% A.A# ? ? ? ? ? A.@B&B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?&B A.#F ? ? ? ? ? ? A.$C ? A.$# A.#C A.# #.AA&B ? ? ? ? ? ? ? ? A.#% A.$ ? A.A A.B&B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

&@ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.@ A.B% #.AA



&atriz de ,estriccionesProducti-as

N# N$ N% NB N@ NCProd 1ino BAAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAA&eta 1ino BAAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAA C$AAAProd 1ino 7x @AAA %#$@@ $A%B %$AAA $AAAA $AAAA&eta 1ino 7x C$AAA C$AAA C$AAA %$AAA $AAAA $AAAAProd 1ino Sulf B$AAA %AB@ B#C$C %AAAA B$AAA B$AAA

&eta 1ino Sulf B$AAA B$AAA B$AAA B$AAA B$AAA B$AAA7re Sulf Prod C$AAAAA BC$A%A% CAF@A@ @$%A% @%FCA@% C$AAAAA7re Sulf &eta O C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA C$AAAAA7re Sulf &eta ?7re 7x Prod ##%CC$ FAAAAAA @F%F$# @A@##% BF#@#@ BCCAF@B7re 7x &eta O FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA FAAAAAA7re 7x &eta ?&ine Prod #@F$FCC% $@$#@B@ $%BFACB $B#C%%% %CAAAAAA %CAAAAAA

&ine Prod O %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA %CAAAAAA&ine Prod ?




?

@

#A

#@

$A

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%A

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BA

N# N$ N% NB N@ NC N N NF N#A N## N#$

M i l l i o n s

M

o v

i m i e n

t o M i n a

( t o n

s )

&# &$ &% &B &@



Programa de Producción deSulfuros

?

#.A

$.A

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B.A

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C.A

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N# N$ N% NB N@ NC N NE NF N#A N## N#$

M i l l i o n s

P r o d .

S u l f . ( t o n s )

&# &$ &% &B &@




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$@

%A

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BA

N# N$ N% NB N@ NC N N NF N#A N## N#$

M i l l i o n s

M

o v

i m i e n

t o M i n a

( t o n

s )

&# &$ &% &B &@ Year




Reser(as mineras



/ategorización de ,eser-as

• De acuerdo a su ni-el de confiabilidad en laextracción de la reser-a Ley.

1actores económico financieros. Sistema minero.

Proceso metal<rgico.

Sistema sustentable.

• Se di-iden en Probadas.

Probables.



4n-entario de ,ecursos N,eser-as

?

$AA

BAA

CAA

EAA

#AAA

#$AA

#BAA

A . $

E

A . @

B

A . E

A

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# . %

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A

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C

$ . #

$

$ . %

F

M i l l i o n s

Ley De Corte (%Cu)

T o n e l a j e ( t )

A.AA

A.@A

#.AA

#.@A

$.AA

$.@A

%.AA

L e y M e d i a

( % C u )

0.! C"#

#$AA &tA.@ /u

@.$ &t /u

CAA &tA.@@ /u$. &t /u

B$A &tA. /u

$.@ &t /u

$ecursos %& $eservas



9444 Pol*tica de Leyes de /orte



/oncepto

• /onsiste en definir un perfil de leyes decorte en el tiempo (ue permiten conducirel programa de producción al ob2eti-o

deseado.• El max 93: &in /osto etc.

• En este contexto la ley de corte no esconstante y es función del tiempo



&etodolog*a

• Simular un programa de produccióncompleto

• Estimar el costo de oportunidad periodo a

periodo en función de los flu2os de ca2afuturos del programa de producción

• /argar el -ector de costos de oportunidad

en la estructura de costo• Simular el programa de producción con lanue-a estructura de costo



&"todo iterati-o para laoptimización del 93:

)e*

!cti(e

T, $

Closed dptst, +, i

Remaining Value

Vi

• 3brir nue-os recursos.

• /alcular reser-as utilizando leyes de corte.

• /errar reser-as (ue no pagan ley de corte.

• Simular la extracción del per*odo.• /alcular el -alor remanente del depósito.

• Pasar al próximo per*odo del plan.

• 3l final calcular -ector de costos deoportunidad.

• 3d+erir costos de oportunidad a laestructura de costos.

• ,epetir el programa de producción.



4teración #Ste' Current tons ()alue Cu *sed+ne $evenue Profit -t "ct

# #%A@A #@.F #.FFC % $F#F%C@ $F#F%C@ #A%A$B @.C$ #%A@A #C.A #.FF A $F$#@#$ $F$#@#$ $$@ B.@% #%A@A .C #.%AA A #%F#B#@ #%F#B#@ %FAFF B.@B #%A@A $.@ A. # BC$%F BC$%F @BC#A B.@ #%A@A @. #.#@% # #AC%$$ #AC%$$ @C$BF B.CC #%A@A .F #.%$ # #B@#%@ #B@#%@ FCCBF B.%@ #%A@A .@ #.$ A #%CB$%@ #%CB$%@ BAA#F B.AB

#%A@A B.B #.A%A A FFA@@ FFA@@ %B##B$ B.A#F #%A@A %.A A.F#% A @BA@ @BA@ @%BBF B.#$#A #%A@A @.# #.AF$ $ F%BCBA F%BCBA %@%%A B.A$## #%A@A . #.%# A #B%A#F #B%A#F CC@BB$ %.CB#$ $AAAA #B.B#@F #.% $ %F#AA$F %F#AA$F %B#B$@ #.#% $AAAA ##.# #.C A $FF#A@ $FF#A@ CB@F A.B$#B $%ABFB $.BB@A@ A.FAB A C@@CB% C@@CB% #@B#@ A.#A#@ #C$@ $.BFCF A.@ A $A%F@ $A%F@ A A.AA

a A.#D9 A/ap #%A@A:P9 #$BAF##:et D9 costs IC.AA



4teración $Ste' Current tons ()alue Cu *sed+ne $evenue Profit -t "ct

# #%A@A #@.F #.FFC % $F#F%C@ $F#F%C@ ###C$A C.BC$ #%A@A #C.A #.FF A $F$#@#$ $F$#@#$ #AAC# @.@A% #%A@A #$. #.%B $ $%B%C $%B%C BA% B.B #%A@A .F #.%$ # #B@#%@ #B@#%@ #C%BC B.BC@ #%A@A .@ #.$F$ A #%B% #%B% CA@B@ B.#@C #%A@A .@ #.$F% # #%@#$$ #%@#$$ CFFA# %.$

#%A@A #A.$ #.@$A # #B@C #B@C @#@$#% %.# #%A@A #%.F #.$@ # $@B%AC $@B%AC %@%A$ $.#AF #%A@A #@.F #.FF% # $F#%BCA $F#%BCA #%$B# A.$

#A B%@@ #F.C $.%AA A #B@%@ #B@%@ A A.AA#$#A@ #.CF$ A A A A A.AA

a A.#D9 A/ap #%A@A:P9 #%%FCBB#:et D9 costs IC.



4teración BSte' Current tons ()alue Cu sed+ne, $evenue Profit -t "ct

# #%A@A #@.F #.FFC % $F#F%C@ $F#F%C@ #$##F%$ C.C$$ #%A@A #C.A #.FF A $F$#@#$ $F$#@#$ #ABAFAF @.CF% #%A@A #$. #.%B $ $%B%C $%B%C F#AAA% B.FB #%A@A .F #.%$ # #B@#%@ #B@#%@ @CC%$ B.C@ #%A@A .@ #.$F$ A #%B% #%B% AB@B B.BAC #%A@A .@ #.$F% # #%@#$$ #%@#$$ B%$A B.AF #%A@A #A.$ #.@$A # #B@C #B@C C%@#%FC %.B #%A@A #%.F #.$@ # $@B%AC $@B%AC BBB$%A $.B%

F #%A@A #A.% #.@$ A #F$@#% #F$@#% $FFBCAA #.CB#A #AFA ##.# #.@FB # #FA#AB% #FA#AB% #%F%A#C A.C## ##@CA ##.$ #.CAA A #$FBFCF #$FBFCF $%%BF A.#%#$ BC#$ $.FFFFF A.FAA A $AF#B $AF#B @$#A A.A%#% $ABF@ $. A.F A @% @% A A.AA

$A$FA$ #.@ A A A A A.AAA A A A A.AA

a A.#D9 A/ap #%A@A:P9 #%C#@:et D9 costs IC.B



Extracción de recursos basados enpol*ticas de leyes de corte

A

$

B

C

E

#A

#$

E#:# E$:# E%:# EB:# E@:# EC:# E:# E:# EF:# E#A:#

Dra, Point Se.uence

/ " D + S l i c e s

Sc+edulingH7/ ,eser-esH7/ J07D

#%.&I

#B.&I

##.F&I



/osto de oportunidad para distintasiteraciones

A.A

#.A

$.A

%.A

B.A

@.A

C.A

.A

# $ % B @ C E F #A ## #$ #% #B #@

Period 0

"

' ' o r t u n i t y C o s t

( 1 t )

7/H# 7/H$ 7/H% 7/HB

7ptimum S+ut 7ff

9alue Policy



Programas de producciónresultantes

A.AA

A.@A

#.AA

#.@A

$.AA

$.@A

# $ % B @ C E F #A ## #$ #% #B #@

Period 0

#

r a d e + S c

2 e

d u

l e d

% C u

Grades Cu_1 Grades Cu_2 Grades Cu_3 Grades Cu_4

&<ltiples iteraciones y su influencia en el programa de producción



4ncorporación del componented9Kd>

)t -t d) d)1dT "ct

#$$#A$% #$BB@#% #$$#A$ ?$BC@#A .%AFFF#B #AA@#A#A FFF# ##FC @.AC#A%$@ ##CA# #A%$ %#C B.AAA$BAA@ @C@%@B A$BA# @B#%B A.C%#A#%% CFA@C#C C%#A#% @F@B% A.#F

@A@ CC%$F@ @AC #A@B@% ?$.@FCABB@ $A% CAB@ ##@FFF# ?%.A%CCC#FA AA#@ CCC#F #BA%@ ?B.A@$%%%% F$$@@ $%%% #@BF$$% ?B.$B$$C F$A@$A $% #AB%$FB ?#.BA%F$A @%C%A %F$# ##BC$% ?$.$%BBCA%F$ BAB# BBCA%F %B%BF A.@B#%%@#$ #%%@#$ #%%@# A A.%

%CB$% %CB$% %CB$ A A.$AA A A A A.AA

E-al<a recursosremanentesutilizando preciosdel periodo tO#



Efecto de -ariación de precios enuna pol*tica de leyes de corte

A$

B

C

#A

#$

#B

#C

# $ % B @ C F #A ## #$ #% #B #@

Period

$ e v e n u e

3 a c

t o r

1 % C u

A.AA.@

#.A

#.@

$.A

$.@

%.A

%.@

B.A

# r a

d e + %

C u

,e-enue 1actor

7/5it+out ?d9Kdt6HGrade

7/5it+ ?d9Kd>6?Grade



Programación lineal



Programación lineal

• Es un m"todo para resol-er problemas deoptimización.

• Las relaciones entre las cantidades a sermaximizadas o minimizadas y las-ariables del problema deben ser lineales.



Problema tipo de PL

&aximizar 5o minimizar6 la función lineal

∑=

=+++=n

j

j jnn xc xc xc xc Z 1

2211

Su2eto a las restricciones

n j x

mib x A

j

i

n

j

jij

≤≤≥

≤≤=≥≤∑=

1'

1%o&1



Definiciones b!sicas

• Q es la 1=:/4R: 7JE>497 es su -alor el (ue sedesea maximizar o minimizar.

• T2 son las 93,43JLES DE DE/4S4R: cuyo -alor debe

buscarse en -irtud de obtener el -alor deseado 5m*nimoo m!ximo6 de la función ob2eti-o.

• El producto /2T2 se conoce como :49EL DE 3/>494D3D

de la -ariable T2.

• 3i2 bi y /2 son los P3,U&E>,7S del modelo.



3lgunos detalles

• La función ob2eti-o y las restricciones deben serfunciones lineales de las -ariables de decisiónen otro caso deben utilizarse t"cnicas deprogramación no lineal para resol-er elproblema.

• Se asume (ue las -ariables de decisión son

n<meros reales sin embargo existen casos en(ue "stas deben ser sólo enteros o bienbinarios.



Supuestos de la programaciónlineal

• Proporcionalidad

• 3diti-idad

• Di-isibilidad

• /erteza



Proporcionalidad

• La contribución de cada -ariable dedecisión al -alor de la función ob2eti-o esproporcional a /2 y (ueda representado

por su ni-el de acti-idad /2T2.

• Lo anterior de2a afuera a cual(uierexponente distinto de # para las -ariablesde decisión.



3diti-idad

• /ada función en un modelo de PL es lasuma de las contribuciones indi-idualesde las -ariables de decisión.

• Lo anterior de2a fuera t"rminos cruzadosentre las -ariables de decisión en las

funciones.



/erteza

• El -alor asignado a cada par!metros seasume como una constante conocida.

• Esta suposición se cumple rara -ez en lapr!ctica por lo (ue los efectos en laincertidumbre de los par!metros del

problema debe estudiarse con un an!lisisde sensibilidad.



Problema gen"rico de PL

'

-

-2

/

0suject to

2Maximi3e

≥

≤+−

≤

≤+

≤

+=

A,B

B A

B

B A

A

B A Z



Solución gr!fica

A # $ % B @ C A

#

$

%

B

@

C

B

A

AVC

AOBV

$BVF? AO%BVF

optimo

region factible



9alores en los puntos extremos

Punto A B Z

# A A A

$ A % F

% % B #

B C # #@

@ C A #$



&icrosoft Excel Sol-er

• &icrosoft ExcelW posee una +erramienta pararesol-er los siguientes tipos de problema5Sol-er68

linear integer mixed?integer programming non?linear programming

• Limitado a $AA -ariables de decisión.

• :<mero ilimitado de restricciones.



E2emplo sencillo

'

-

-2

/

0suject to

2Maximi3e

≥

≤+−

≤

≤+

≤

+=

A,B

B A

B

B A

A

B A Z



4mplementación del problema

VS=&3P,7D=/>75J%8/%XJB8/B6

VS=&3P,7D=/>75JF8/FXIJIB8I/IB6

VS=&3P,7D=/>75J#A8/#AXIJIB8I/IB6VS=&3P,7D=/>75J##8/##XIJIB8I/IB6

VS=&3P,7D=/>75J#$8/#$XIJIB8I/IB6



Problema aplicado

Qone # $ % B @

/opper grade %.$A B.AA %.$A %.%A B.$A

/apacity 5tKday6 @AA @AA BAA BAA BAA

:S, 5IKt6 %@ B$A B@A BBA %A

i

i

iT NSR Z ∑=

=4

1

max

Su2eto a las restricciones de ley y producción porzona.



1ormulación matem!tica

i

i

iT NSR Z ∑=

=4

1

max

4,5,,5''4''4''

2'''

21

4

1

=≤≤≤

≤

∑=k T T T

T

k

i

i

( ) rade lended'0. =−∑ i

i

i T g



4mplementación del problemaVJB?I/I#A V/B?I/I#A VDB?I/I#A VEB?I/I#A V1B?I/I#A

VS=&3P,7D=/>75J@81@XJC81C6

VS=&3P,7D=/>75J#%81#%XIJIC8I1IC6

VS=&3P,7D=/>75J#F81#FXIJIC8I1IC6



&odelos de red



>ipos de problemas de red

• Problema de transporte• Problema de trasbordo

• Problema de flu2o de red a costo m*nimo

• Problema de asignación

• Problema de la ruta m!s corta

• Problema de flu2o m!ximo



El problema b!sico de transporte

n

$

#

%

$

c 12

c mn

c 11

d n

d 2

d 1

sm

s3

s2

s1

n nodos dedemanda

m nodos desuministro

#

m

ci2 costo unitario entrelos nodos i y j

1ormulación del problema de



1ormulación del problema detransporte

demanda%denesrestriccio&1

%suministrodenesrestriccio&1asujeto

Minimi3ar

1

1

1 1

n jd x

mi s x

xc Z

j

m

i

ij

i

n

jij

m

i

n

j

ijij

≤≥≥

≤≤≤

=

∑∑

∑∑

=

=

= =



Problema de transporte e(uilibrado

Dd sS n

j

j

m

i

i === ∑∑== 11

El problema es un problema de transporte e(uilibrado si

El problema es factible si S 6 D



E2emplo de problema de transporte

&3

&J

P#

&/

P$

P%

PB

IAA

I#$AA

#AA

BA

A

Suministro total V $#A

&inas de+ierro

Demanda total V #A

$A

CA

$A

A

Plantasde acero



/ostos unitarios

Planta # Planta $ Planta % Planta B

&ina 3 IAA IAA IAA I#$AA

&ina J IAA IAA IFAA I#%AA

&ina / I#AAA ICAA IAA I#$AA




VS=&3P,7D=/>75E@8E#CXJ@8J#C6VS=&3,.S45IDI@8IDI#CXG@XIJI@8IJI#C6?S=&3,.S45I/I@8I/I#CXG@XIJI@8IJI#C6

VS=&3,.S45IDI@8IDI#CXG##XIJI@8IJI#C6?S=&3,.S45I/I@8I/I#CXG##XIJI@8IJI#C6



La solución

&3

&J

P#

&/

P$

P%

PB

#AA

BA

A

$A

CA

$A

A

$A

$A

CA

CA

#A

#A



Problema de trasbordo

:odos desuminstro

:odos dedemanda:odos de

transbordo




Donde

N j es la colección de nodos unidos al nodo j

j

es el re(uisito neto al nodo j

El problema es factible si Σ j j 6 '

1ormulación del problema detrasbordo

j

N i

ji

N i

ij

N i j

ijij

x x

xc Z

j j

j

=−

=

∑∑

∑∑

∈∈

∈

asujeto

Minimi3ar



E2emplo de problema de trasbordo

&3

&J

P#

&/

P$

P%

PB

#AA

BA

A

$A

CA

$A

A

Jarco

>ren



/ostos unitarios




VS=&3P,7D=/>75J@8J#XE@8E#6

VS=&3,.S45IDI@8IDI#XG@XIJI@8IJI#6?S=&3,.S45I/I@8I/I#XG@XIJI@8IJI#6

VS=&3,.S45IDI@8IDI#XG#%XIJI@8IJI#6?S=&3,.S45I/I@8I/I#XG#%XIJI@8IJI#6



La solución

&3

&J

P#

&/

P$

P%

PB

#AA

BA

A

$A

CA

$A

A

Jarco

>ren

#AA

$A

$A

BA

$A

$A

A

CA

Problema de flu2o de red a costo



Problema de flu2o de red a costom*nimo

#

$

% i

2 n

c#$5L#$ =#$6

ci25Li2 =i26

%&arct7rou7#lo*on oundupper

%&arct7rou7#lo*on oundlo*er

nodeatin#lo*%8&out#lo*supplnet

%&arcalonnodetonode#romtransporto# costunit

%&arcinnodetonode#rom#lo*

i,j!

i,j L

i

i,j jic

i,j ji x

ij

ij

i

ij

ij

=

=

=

=

=

1ormulación del problema de flu2o de



1ormulación del problema de flu2o dered a costo minimo

ijijij

i

N i

ji

N i

ij

N i j

ijij

! x L

x x

xc Z

j j

j

≤≤

=−

=

∑∑

∑∑

∈∈

∈

asujeto

Minimi3ar

N j es la collección de nodos conectados al nodo j

j es el re9uisito neto al nodo j

j : ' suministro j ; ' demanda

Problemas de flu2o de red a costo



Problemas de flu2o de red a costom*nimo en miner*a

• Sistemas de distribución 5concentradora afundición por e2emplo6.

• Planificación de la producción mina a planta.

• Sistemas de -entilación.

• Determinación del pit final.

E2emplo de problema de flu2o de



E2emplo de problema de flu2o dered a costo m*nimo

&inas Planta

/lientes

7fertas capacidades ydemandas en toneladas

#A

$A

$AA5A#@A6

$5A$AA6

5A#AAA6

@5A#AAA6

P$

P#

%CA

$FA

&$

&#

/#

/$

/%

C5A#AAA6#A5A#@A6

5A#AAA6

$5A$AA6

4 l t ió d l bl




VS=&3P,7D=/>75J@8J#$XE@8E#$6

VS=&3,.S45IDI@8IDI#$X4@XIJI@8IJI#$6?S=&3,.S45I/I@8I/I#$X4@XIJI@8IJI#$6

VS=&3,.S45IDI@8IDI#$X4##XIJI@8IJI#$6?S=&3,.S45I/I@8I/I#$X4##XIJI@8IJI#$6

4 l t ió d l bl




L S l ió



La Solución

/%

/$

/#

P$

P#

#A

$A

$AA

#A

$A##A

FA

$AA

%CA

FA

%CA

$FA

&$

&#

P bl d i ió



Problemas de asignación

• Son un caso especial del problema detransporte donde se asignan personas o cosasa tareas espec*ficas.

• ,e(uiere la definición de una -ariable binaria Ti2definida como sigue8

=ij x# si la persona i es asignada a la tarea 2

A en caso contrario




1ormulación del problema deasignación

∑∑= ==

m

i

n

j

ijij xc Z 1 1

ij

ij

ij

x

x

x

∑

∑

≥

≤

1

1

&inimizar

Su2eto a

# YV i YV m capacidad

# ZV 2 ZV m capacidad

binaria

Donde existen m personas a asignar a n tareas y /i2 es la medida delcosto de asignar a la persona i a la tarea 2.

El problema es balanceado si mVn. en este caso las restricciones puedenser igualdades o desigualdades la solución es la misma.

Problema de asignación de



Problema de asignación deempleos

>area # >area $ >area % >area BEmpleado # $$ # %A #

Empleado $ # ? $ $$

Empleado % $C $A $ $

Empleado B #C $$ ? #BEmpleado @ $# ? $@ $

/ada n<mero indica el tiempo del empleado espec*fico enrealizar la tarea respecti-a.

[?\ indice (ue el empleado no puede +acer el empleo

4 l t ió d l bl




VS=&3P,7D=/>75/@81FX/##81#@6

VS=&35/##81##6

VS=&35/#$81#$6

VS=&35/#%81#%6

VS=&35/#B81#B6

VS=&35/#@81#@6

4 l t ió d l bl




L l ió



La solución

&atriz de asignación8

ob # ob $ ob % ob BEmployee # A # A AEmployee $ # A A AEmployee % A A A AEmployee B A A A #Employee @ A A # A

P bl d l t ! t



Problema de la ruta m!s corta

• /ada arco de la red tiene una [longitud\ asociada.

• Esta longitud puede ser una distancia f*sica o bien el costoasociado de ir desde un nodo +asta otro por un arco determinado.

• La idea es encontrar la ruta m!s corta (ue permita comunicar elnodo # con el nodo n.

• Es esencialmente es un problema de transbordo donde una unidades [empu2ada\ a tra-"s de la red desde el nodo # al nodo n. la-ariable de decisión Ti2 es # si el el arco 5i26 pertenece a la ruta m!s

corta y A en caso contrario.

1ormulación del problema de la



pruta m!s corta

∑∑∈

= j N i j

ijij xc Z

∑∑∈∈

=− j j N i

ji

N i

ij x x

ij

x

&inimizar

Su2eto a

binaria

# En el nodo #

A $ YV 2 YV n?#

# En el nodo n

:2 es el con2unto de nodos conectados al nodo 2

Ti2 V # si el arco 5i26 pertenece a la ruta m!s corta y A en caso contrario.

E2emplo de problema de la ruta



2 p pm!s corta 5reemplazo de e(uipos6

4duisici5n Costo total 'or a6os en o'eraci5n# $ %

#FF BAAA @BAA FAA#FFF B%AA C$AA AA

$AAA BAA #AA ?$AA# BFAA ? ?

AA

#AA@BAA

000070007888788!

BFAABAAB%AABAAA

C$AA

FAA





VS=&3P,7D=/>75J@8J#%XE@8E#%6

VS=&3,.S45>oXG@XSelectH3rc6?S=&3,.S451romXG@XSelectH3rc6

VS=&3,.S45>oXGFXSelectH3rc6?S=&3,.S451romXGFXSelectH3rc6





La solución



La solución

#AA@BAA

000070007888788!

/osto total8 I#$@AA

1lu2o m!ximo



1lu2o m!ximo

x 0

Sumidero1uente

En algunas situaciones se re(uiere transportar la m!xima cantidad de material a

tra-"s de una red desde un nodo fuente +asta un nodo sumidero su2eto arestricciones de capacidad.

=na buena aplicación es el diseño del sistema de -entilación de una minasubterr!nea.

Para resol-er este tipo de problemas debe crearse un arco artificial To (ueconecte el nodo fuente con el nodo sumidero.

1ormulación del problema de flu2o



p 2m!ximo

ijijij

N i

ji

N i

ij

! x L

x x

x

j j

≤≤

=− ∑∑∈∈

'suject to

Maximi3e '

:2 es el con2unto de nodos conectados al nodo 2

To debe incluirse en el balance de flu2os para resol-er el problema

Li2 y =i2 son las capacidades m*nima y m!xima respecti-amente del arcorespecti-o 5(ue conecta a los nodos i y 26

E2emplo de problema de flu2o



2 p p 2m!ximo

B$

C

B

%C

,ef

PB

P#

M1

P%

P$@

$

/ampo petrolero Estación de bomba

,efiner*a





VS=&3,.S45IDI@8IDI#%XG@XIJI@8IJI#%6?S=&3,.S45I/I@8I/I#%XG@XIJI@8IJI#%6

VS=&3,.S45IDI@8IDI#%XG#AXIJI@8IJI#%6?S=&3,.S45I/I@8I/I#%XG#AXIJI@8IJI#%6





La solución



La solución

B$

@

B

%@

,ef

PB

P#

M1

P%

P$@

$

/ampo petrolero Estación de bomba

,efiner*a

F 1lu2o m!ximo

08-Programa de Produccion

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