08 Capítulo 4 Nociones Básicas de Topografía

7/25/2019 08 Captulo 4 Nociones Bsicas de Topografa

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PROYECTO DE RIEGO POR GRAVEDAD TECNIFICADO

4. NOCIONES BSICAS DE TOPOGRAFA

Aunque en este captulo se asume que los lectores tienen conocimientos deTopografa, el propsito de este primer apartado es el de afianzar los conceptosbsicos y familiarizarse con la nomenclatura que se usar en el resto del captulo. Separte adems de la premisa de que en una revisin de conceptos bsicos decualquier rea, siempre hay oportunidad de dar una visin global sintetizadora de lamateria, muy til en el proceso de su enseanza-aprendizaje.

4.1. DEFINICIONES

4.1.1. QU ES LA TOPOGRAFA

Como punto de partida, es conveniente recordar el quehacer y alcance de laTopografa. Etimolgicamente Topografa quiere decir "Descripcin del lugar" (delgriego: toposque significa lugar y graphos que se traduce como descripcin). Unadefinicin ms formal es la siguiente: Topografa es la tcnica y el arte que se ocupade la representacin grfica de una parte de la superficie terrestre sobre un plano, enel que se incluyen todos sus detalles tales como: linderos, arroyos, infraestructura,relieve, construcciones y todas las que se consideran de inters, mediante lamedicin y/o el clculo de ngulos y distancias empleando procedimientos, mtodose instrumentos especiales.

Sin embargo, el trabajo topogrfico no se limita a la simple captura de datos decampo; ni siquiera a la elaboracin de planos, sino que sta es en realidad, una partede un proceso en el que se pueden distinguir tres etapas, una de campo y otra degabinete. La etapa de campo, consiste en la captura de informacin empleandoinstrumentos, procedimientos y mtodos especiales para medir distanciashorizontales y verticales entre puntos y, ngulos horizontales y verticales formadosentre lneas, as como para determinar la direccin de lneas y establecer puntos pormedio de mediciones angulares y lineales previamente determinadas.

La etapa de gabinete, por otra parte, consiste en el procesamiento de la informacinmediante el clculo de distancias, ngulos, direcciones, coordenadas, elevaciones,reas, volmenes, etc., y en la elaboracin de los planos correspondientes, en losque se registran superficies, perfiles, secciones transversales, diagramas, esquemas,etc.


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CAPTULO 4: NOCIONES BSICAS DE TOPOGRAFA

Pero, la aplicabilidad de la Topografa no concluye tampoco en la obtencin de losplanos nicamente, ya que con frecuencia stos se utilizan para el proyecto de obrasy estructuras o en la delimitacin de superficies. As, en la construccin de las obras,en el establecimiento de linderos de un fraccionamiento o en el trabajo de nivelacin

de tierras -por mencionar algunos ejemplos-, se hace uso necesariamente deinstrumentos, Procedimientos y Mtodos Topogrficos, para trazar la obra, dando

lneas y niveles, lo cual constituye una tercera etapa de la Topografa.

El topgrafo, por otra parte, debe ser capaz de seleccionar los instrumentos,procedimientos y mtodos de trabajo que le permitan obtener la precisin necesaria,de acuerdo a los objetivos del levantamiento, o bien, si en un momento dado tieneque trabajar con instrumentos que no son los ms apropiados, debe saber elegir losProcedimientos y Mtodos Topogrficos que proporcionen la mayor precisinposible.

En este tenor, el topgrafo debe tener claro, que es un trabajo y gasto intiles hacerlevantamientos de detalle en el terreno, con una precisin mayor de la que se puedadibujar en el papel de acuerdo a la escala elegida; en otras palabras, el topgrafodebe pensar en los detalles topogrficos, en funcin de las distancias y dimensionesmarcadas a escala sobre el plano y representar correctamente sus medidas, en lascondiciones ms favorables. Se concluye tambin que, el refinamiento en la precisinal dibujar sobre el papel, es tan importante, como el cuidado que debe tenerse alhacer las medidas de campo.

Finalmente, la mejor prueba a que puede someterse un plano topogrfico (paradeterminar su validez o aceptacin), consiste en examinarlo en el campo y ver lafacilidad relativa o la certeza, con que los detalles topogrficos representados en l,pueden ser identificados en el terreno. Si los detalles que aparecen en el plano y loscorrespondientes en el campo, son fcilmente identificados, habiendo varios detallesque aparezcan en la misma posicin relativa, tanto en el terreno como en el plano,ste puede considerarse como correcto.

4.1.2. MEDICIN DE DISTANCIAS Y NGULOS

4.1.2.1. IMPORTANCIA Y APLICACIN

A pesar de lo complicado que a primera vista puedan parecer, los instrumentostopogrficos y las formas de proceder para la captura y procesamiento de lainformacin, son dos las operaciones fundamentales que se requiere efectuar en


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Topografa: la medicin de distancias y la medicin de ngulos, para ladeterminacin de la posicin de puntos mediante sus coordenadas.

Evidentemente, que el desarrollo tecnolgico en todas las reas, ha influido en la

generacin de nuevos instrumentos (cuyo tratamiento detallado se hace en elsegundo apartado) para la medicin de distancias de un lado (como los medidoreselectrnicos de distancias o distancimetros) y de ngulos de otro (como losteodolitos) y, an aqullos que permiten la determinacin de ambas (como losinstrumentos que resultan de integrar un distancimetro y un teodolito, que son lasestaciones totales); ms an, existen actualmente instrumentos que a partir de estasmediciones determinan y proporcionan las coordenadas de puntos, facilitandoenormemente la elaboracin de planos, con al auxilio de una computadora, que bienpuede estar integrada al instrumento topogrfico o ser independiente de ste.Lgicamente los instrumentos recientes posibilitan hacer las mediciones con muchamayor rapidez y precisin que los instrumentos empleados anteriormente.

Cuando se habla de medicin de distancias entre dos puntos, es necesario tenerclaridad primeramente, en que stas pueden ser inclinadas, horizontales y verticales(tambin entendidas como desniveles), y su definicin y diferenciacin es por demsobvia. En este texto se denotar por DI la distancia inclinada, por DH la distanciahorizontal y por DVla distancia vertical o desnivel (que, como veremos ms adelante,corresponde con la proyeccin en la direccin z, Pz,) entre dos puntos. De maneraanloga, al hablar de mediciones angulares entre lneas, se tienen ngulos

horizontales y verticales, cuya definicin se da en seguida.

4.1.2.2. NGULO HORIZONTAL

El ngulo Horizontal, tambin conocido como ngulo Azimutal, es el que segenera entre las proyecciones sobre un plano horizontal de dos lneas cualesquiera,y se mide ordinariamente en el limbo o crculo horizontal o azimutal del trnsito,teodolito o estacin total, al hacer girar el telescopio alrededor de su eje azimutal. EnTopografa, los ngulos horizontales se emplean tambin para definir la orientacinde una lnea sobre el plano horizontal, a partir de otra cuya direccin se ha

determinado previamente; tal el caso del Rumbo o el Azimut de una lnea.

4.1.2.3. NGULO VERTICAL

ngulo Vertical es el que se genera entre las proyecciones sobre un plano verticalde dos lneas cualesquiera y se mide ordinariamente en el limbo o crculo vertical deltrnsito, teodolito o estacin total, al hacer girar el telescopio alrededor de su eje


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horizontal o de alturas. Este ngulo es el que se emplea para determinar la direccinsobre un plano vertical de una lnea y puede hacerse mediante dos parmetros queson: la Altura (AL ) cuando se toma como referencia el plano horizontal y elnguloZenital (AZ), cuando la lnea de referencia es la vertical del lugar de observacin.

4.1.2.4. RUMBO Y AZIMUT

En Topografa, es necesario conocer la direccin de las lneas entre puntos que seusan como apoyo para un levantamiento, con el objeto final de orientar los planosrespecto a una lnea de referencia. La lnea que se usa como referencia para definirla direccin de una lnea cualquiera es la meridiana (lnea imaginaria con direccinNorte-Sur magntica o astronmica) que pasa por el punto a partir del cual se deseadeterminar su direccin, y los parmetros que se usan para medirla, son el Rumbo oel Azimut.

El Rumbode una lnea, que denotaremos por la letra R, es el ngulo horizontal quese forma entre sta y el meridiano que pasa por el punto en el cual se mide; se midea partir del sentido Norte (N) del meridiano, hacia el Este (E) o hacia el Oeste (W)segn la lnea se localice en el primero o cuarto cuadrante topogrficorespectivamente y a partir del sentido Sur (S), hacia el Este o hacia el Oeste tambin,si la lnea queda ubicada en el segundo o tercer cuadrante topogrfico,respectivamente.

Es necesario aqu recordar que en trigonometra, la denominacin de los cuadrantesse hace a partir del superior derecho y en el sentido contrario al de las manecillas delreloj, denominndoseles primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes; en tanto queen Topografa se parte del mismo como primero, pero se sigue el sentido mismo delas manecillas del reloj (que denominaremos como sentido horario), para designar alsegundo, tercero y cuarto cuadrantes.

Adems se acostumbran denotar a los cuadrantes topogrficos, segn los sentidosNorte, Sur, Este y Oeste que los definen; de manera que al primero se le denominacuadrante NE, al segundo SE, al tercero SW y, al cuarto NW. Con base en lo

anterior, en este texto, cuando se hable de los cuadrantes, se har referenciainvariablemente a los topogrficos, an cuando no se indiquen las letras que losdefinen.

El Rumbo, se acostumbra designar anteponiendo al valor angular expresado engrados, minutos y segundos, las letras N o S, segn el sentido de referencia de lameridiana y posponiendo la letra Eo W, que denotan el sentido hacia el que se mide


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el ngulo. As, el Rumbo de la lnea OCde la figura 1.1a, denotado por S45 30'W,significa que la lnea se localiza en el tercer cuadrante, a 45 30' de la direccin Surde la meridiana, medido hacia el Oeste. De lo anterior, es evidente que el Rumbo deuna lnea, puede variar entre 0 y 90.

a) Rumbos b) Azimutes

Figu ra 4.1. Rumbo R y Azim ut A z, de lneas en l os c uatro cuadran tes to po grfico s

Por otro lado, el Azimut Az, de una lnea es el ngulo horizontal comprendido entresta y la direccin Norte de la meridiana que pasa por su origen; se mide a partir delNorte en el sentido de las manecillas del reloj y su valor oscila entre 0 y 360. Comose ve, el origen del Azimut, es independiente de la ubicacin de la lnea en loscuadrantes topogrficos, lo cual hace a este parmetro de uso ms fcil, comn yconveniente.

Tanto el Rumbo como el Azimut de una lnea, pueden estar referidos a la meridianamagntica o a la meridiana astronmica que pasa por el punto origen de la lnea; enel primer caso, se denomina Rumbo o Azimut magntico y se determina fcilmenteempleando una brjula, que es un aditamento comn en los trnsitos tradicionales;en tanto que en el segundo caso, se denomina Rumbo o Azimut astronmico, y se

determina empleando la astronoma de posicin, o bien los Sistemas dePosicionamiento Global GPS.

De cualquier manera, es suficiente conocer el Rumbo o el Azimut de una lnea parapoder determinar el otro parmetro. En seguida se dan cuatro reglas prcticas yobvias para el clculo del Azimut de una lnea a partir de su Rumbo, para los casosen que dicha lnea se localice en cada uno de los cuatro diferentes cuadrantes.

N

S

EW

A

B

C D

N

S

EW

A

B

C D

O O


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a) En el primer cuadrante (NE):

AzAB = RAB (4.1)

b) En el segundo cuadrante (SE):

AzAB =180 - RAB (4.2)

c) En el tercer cuadrante (SW):

AzAB = 180 + RAB (4.3)

En el cuarto cuadrante (NW):

AzAB = 360 - RAB (4.4)

La figura 4.1 ilustra la forma de expresar, de acuerdo con las definiciones, tanto elRumbo como el Azimut de diferentes lneas localizadas en los cuatro cuadrantestopogrficos y en el cuadro 4.1 se presentan los valores de ambos parmetros paralas mismas.

Cuadro 4.1. Rumbo y A zimut de lneas u bicadas en lo s c uatro cuadr antes, segn la

f igur a 4.1

LNEARUMBO

AZIMUT

OA N 25 23 E 25 23

OB N 65 21 W 294 39

OC S 45 30 W 225 30

OD S 38 56 E 141 04

4.1.2.5. ALTURA Y DISTANCIA ZENITAL

La Altura de una lnea, que denotaremos por las letras AL, es el ngulo vertical quese forma entre sta y el plano horizontal que pasa por el punto inicial en el cual semide; se mide desde el plano horizontal hacia el Zenit (z) o hacia el nadir (n) segn lalnea se localice como una visual hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. En elprimer caso se le asigna signo positivo, y en el segundo, signo negativo. De lo


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anterior, es evidente que la Altura de una lnea, puede variar entre -90 a +90.Lgicamente, su valor es nulo cuando la lnea es horizontal.

En la figura 4.2, la Altura de la lnea OF es ALOF 28 15 16 y la de la lnea OG es

ALOG = - 15 16 46.

Figu ra 4.2. Altur a AL y ngu lo Zenit al AZ, de lneas d e visu ales haci a arriba y h acia

abajo del plano ho rizontal

Por otra parte, la Distancia o ngulo Zenital AZ, de una lnea es el ngulo verticalcomprendido entre sta y el sentido del zenit de la lnea que pasa por el punto origende ella; se mide a partir del zenit en el sentido de las manecillas del reloj y su valoroscila entre 0 y 180. Como se ve, el origen del ngulo Zenital, es independiente dela ubicacin de la lnea en el plan vertical, lo cual hace a este parmetro de uso msfcil, comn y conveniente que la altura.

Por la propia definicin de estos dos ngulos, estn relacionados por la expresin4.5, es decir que son analticamente complementarios y, por lo tanto es suficienteconocer uno de ellos para una lnea dada para obtener el otro con dicha expresin.

ALAB + AZAB = 90 (4.5)

Obtenidos de la expresin 4.5, a partir de los valores correspondientes de Altura paralas lneas OF y OG, en la figura 4.2 tambin se muestra el valor del ngulo Zenitalpara ellas que son: AZOF 061 44 44 yAZOG = 105 16 46.


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4.1.3. ELEMENTOS DE PUNTOS Y LNEAS

4.1.3.1. COORDENADAS DE PUNTOS

La forma ms conveniente de tener ubicado totalmente y biunivocamente un punto,tanto en campo como en el plano correspondiente, es mediante tres coordenadasrectangulares. Ello es muy conveniente porque, se facilita ampliamente el trabajo deinterpolacin y el clculo de los elementos de las lneas que se generan entrecualesquiera par de puntos, lo cual es de gran importancia tambin, como se ver enel tema siguiente.

Partiendo de que en Topografa la porcin de la tierra que se levanta y dibuja en elplano es plana, las tres direcciones mutuamente perpendiculares que se empleancomo referencia para la determinacin de coordenadas de Puntos es la direccinNorte-Sur, que se hace corresponder con la direccin y de la matemtica; ladireccin Este-Oeste, que se hace corresponder con la direccin x; y la direccinZenit-Nadir que corresponde con la direccin del eje z. As, el plano generado por lasdirecciones x y y, es un plano horizontal y las coordenadas sobre estos ejes sedenominan X y Y, respectivamente y; en la direccin z, se mide la Cota o Elevacin ocoordenada Z de los puntos as como Desniveles (D) o Distancias Verticales (DV)entre puntos.

Para el caso general, si se conocen (porque se hayan determinado previamente o

porque se hayan asignado arbitrariamente) las coordenadas X, Y y Z de un puntocomo el E, que se ilustra en la figura 4.3, las de otro punto cualquiera se puedenobtener si se conoce la longitud, el Azimut y un ngulo Vertical de la lnea que losune.

En la figura 4.3, las coordenadas [XE, YE, ZE] del punto estacin E, son conocidas ylas coordenadas del punto P cualquiera [XP, YP, ZP], deben calcularse. La DistanciaInclinada DI, entre los puntos E y P, se han medido, as como el Azimut AzEP quedefine la direccin de la lnea EP en el plano horizontal y la Altura ALEP o el nguloZenital AZEP que definen la direccin de dicha lnea sobre el plano vertical.

Las coordenadas del punto P, se obtienen de las expresiones 4.6, 4.7 y 4.8:

XP = XE + Px (4.6)

YP = YE + Py (4.7)


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ZP = ZE + Pz (4.8)

Figura 4.3. Clculo de las c oor denadas de un pun to c ualqu ier P, a part i r de las

coord enadas co nocidas d el punto estacin E y de la longi tud, el azimut , y

el ng ul o v erti cal de l a lnea q ue l os un e

En las que Px, Py y Pz son las proyecciones de la lnea EP, sobre las direcciones delos ejes coordenados x, y y z, respectivamente, y se conocen tambin comocoordenadas relativas del punto P, ya que, efectivamente, corresponden con lascoordenadas del punto P si se considera al punto E como origen del sistemacoordenado. Pero tambin pueden ser coordenadas absolutas si las coordenadas delpunto E, est referenciadas con un sistema ms amplio o georreferenciadas con unsistema como el Universal Transversa de Mercator (UTM).

Lgicamente, las tres proyecciones Px, Py y Pz pueden ser positivas o negativassegn en octante en que la lnea se encuentre o, dicho de otra forma, de acuerdo al

sentido en el cual se proyecte la lnea sobre cada uno de los tres ejes coordenados.Las proyecciones Px y Py sobre el plano horizontal, por otra parte, se calculan de lasexpresiones 4.9 y 4.10, mismas que proporcionan incluso sus signos al emplear el

Azimut de la lnea (AzEP).

PxEP= DHEP SenAzEP (4.9)


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PyEP= DHEP CosAzEP (4.10)

En estas expresiones DHEP es la Distancia Horizontal entre los puntos E y P, quecorresponde a la proyeccin sobre el plano horizontal de la Distancia inclinada DIEP

entre ellos y se calcula con la expresin 4.11 si se conoce el ngulo Vertical AL oalternativamente con la expresin 4.12, si se conoce el ngulo Vertical AZ.

DHEP = DIEP CosALEP (4.11)

DHEP = DIEP SenAZEP (4.12)

Por otra parte, Pz corresponde con la proyeccin de la distancia inclinada DIEPsobre el plano vertical, equivale al Desnivel D o Distancia Vertical DV entre lospuntos E y P y se calcula alternativamente con las expresiones 4.13 o 4.14, segn seconozca el ngulo Vertical AZ o AL, respectivamente. Obviamente, en este caso elsigno de AL, no debe omitirse para obtener el signo correcto de Pz, cuando seemplea la expresin 4.14, lo que no es necesario cuando se hace uso de laexpresin 4.13, de la que el signo de Pz, resulta directamente.

PzEP = DIEP CosAZEP (4.13)

PzEP = DIEP SenALEP (4.14)

Para la definicin de las coordenadas de los puntos de un levantamiento, esnecesario empezar por definir la ubicacin del sistema coordenado, definiendoarbitrariamente o determinando las coordenadas de un nico punto tomado comobase. Las coordenadas de todos los dems puntos, sean stos de Puntos de Controly Apoyo o Puntos para Configuracin y de Detalle (cuya definicin se hace msadelante) deben determinarse empleando las expresiones recin expuestas.

Cuando las coordenadas del punto base se asignan arbitrariamente, ello debehacerse de modo que las coordenadas de todos los puntos del levantamientoresulten positivas de preferencia, si bien lo contrario no implica ninguna dificultad en

los clculos, ya que las frmulas son vlidas para todos los nmeros reales.

4.1.3.2. ELEMENTOS DE LNEAS

Los elementos necesarios y suficientes y por ello considerados como bsicos, quecaracterizan totalmente una lnea cualquiera en campo o en el plano, son su longitud,que corresponde con la Distancia Inclinada DI entre los puntos que la definen; el


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Azimut Az o Rumbo R de dicha Lnea, que implica su orientacin en el planohorizontal y un ngulo Vertical (AL o AZ), que define su orientacin sobre un planovertical, y se pueden obtener a partir de las coordenadas X, Y y Z de sus extremos.La Distancia Horizontal DH; las proyecciones Px y Py as como la proyeccin Pz,

Distancia Vertical DV o Desnivel D entre los puntos, son otros elementos adicionalesque en topografa tienen a menudo mayor importancia y sus valores se puedenobtener tambin a partir de las coordenadas de los puntos correspondientes.

Adicionalmente, se denomina elementos lineales a DI, DH, Px, Py y Pz (o DV o D) yelementos angulares a Az, AL y AZ.

A. Elementos lineales

Cuando se conocen las coordenadas X, Y y Z de los puntos que definen una lnea,

como el caso de la lnea EP de la figura 4.3, sus elementos DIEP, DHEP y DVEP seobtienen de las expresiones 4.15, 4.16 y 4.17.

22222 z)()()( PPyPxYYXXDI EPEPEPEP (4.15)

2222 )()( PyPxYYXXDH EPEPEP (4.16)

PzXXDV EPEP 2)( (4.17)

Lgicamente, la expresin 4.17, no proporciona el signo de DV, de modo que si sedesea conocer ste, debe emplearse la expresin 4.18. Adems, es obvio tambinque, al ser DHEP y DVEP las proyecciones rectangulares de DIEP sobre al planovertical que pasa por E y P, DIEP se puede obtener de la expresin 4.19.

DVEP= ZP-ZE=Pz (4.18)

2)( EPEPEP DVDHD

(4.19)

Recurdese que la Distancia Vertical DVEP es la proyeccin en la direccin del eje zpor lo que es equivalente a la proyeccin Pz. Expresiones anlogas a la 4.17, queson la 4.20 y 4.21, se pueden aplicar para el clculo del valor y el signo de lasproyecciones Pxy Py:


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EPEP XXPx (4.20)

EPEP YYPy (4.21)

B. Elementos angulares

El ngulo VerticalALse puede calcular con facilidad con la expresin 4.22, en la quela proyeccin Pzdebe introducirse con su respectivo signo. Una vez obtenido el valorde AL, se puede emplear la expresin 4.23 (que es un despeje de la 4.5) paraobtener el nguloAZ, en la que se debe introducir el valor de ALcon su respectivosigno tambin.

AL=ArcSen PzDIEP

(4.22)

Az=90-AL (4.23)

En contraste, el Azimut Az de la lnea no puede obtenerse de manera directa, sinoque debe calcularse a partir del valor del Rumbo, por lo que conviene aqu recordarla definicin formal de estos dos conceptos y la relacin que existe entre ellos.Previamente debe tenerse claridad en que ambos ngulos se definen sobre el planohorizontal xy o NE.

Volviendo a la figura 4.3, si se conocen las proyecciones Pxy Pyde la lnea EPy porlo tanto, la Distancia Horizontal DHEPa partir de la expresin 4.17, el valor numricodel Rumbo REP se puede calcular con cualquiera de las expresiones 4.24, 4.25 o4.26.

)(FP

EPDH

PyArcSenR (4.24)

)(FP

EP

DH

PyArcCosR

(4.25)

)(Py

PxArcTanREP

(4.26)


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Para definir en cul de los cuatro cuadrantes topogrficos se ubica la lnea, seaplican las siguientes reglas prcticas:

SiXP>XE y YP> YE Primer cuadrante (NE) (4.27)

SiXP>XE y YP< YE Segundo cuadrante (SE) (4.28)

SiXP YE Cuarto cuadrante (NW) (4.30)

Definido lo anterior, se emplea la expresin correspondiente de las 4.31, 4.32, 4.33 y5.34, para el clculo del Azimut, segn el cuadrante en el que se ubique la lnea.

Para el primer cuadrante: AzEP = REP (4.31)

Para el segundo cuadrante: AzEP = 180 - REP (4.32)

Para el tercer cuadrante: AzEP = 180 + REP (4.33)

Para el cuarto cuadrante: AzEP = 360 - REP (4.34)

4.2. PROCEDIMIENTOS TOPOGRFICOS

4.2.1. DEFINICIN

En todo levantamiento topogrfico, existe una fase del trabajo de campo que sedenomina establecimiento de Puntos de Control y Apoyo, cuyo objetivo es contar conun nmero suficiente de puntos bien distribuidos, perfectamente ubicados en campoy cuya ubicacin se determina completamente mediante sus coordenadas, quepermitan, apoyados en ellos, la configuracin y levantamiento de detalles, deacuerdo a los objetivos del trabajo. Es muy importante en esta fase del trabajo, tener

la posibilidad de estimar el error y en caso de ser de una magnitud razonable,distribuirlo adecuadamente, evitando con ello su propagacin, que de no hacerse,puede dar lugar a errores insospechados.

Adems, un plano topogrfico es preciso, independientemente de su escala, si estapoyado en un nmero suficiente de Puntos de Control y Apoyo bien compensadosy distribuidos.


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Un Procedimiento Topogrfico1se define como una serie de pasos perfectamentedefinidos que se siguen para el establecimiento en campo y la ubicacin en plano, deun Sistema de Puntos y Lneas de Control y Apoyo (SPLCA). Un buen ProcedimientoTopogrfico debe incluir:

a) Una forma sistemtica de operar en campo y en gabinete;

b) Una forma de comprobacin de los resultados que permita la estimacin delError por un lado y emitir un juicio sobre la validez del trabajo, por otro y;

c) Un criterio para la distribucin del Error, es decir, para efectuar lacompensacin correspondiente.

4.2.2 CLASIFICACINEn principio, se distinguen dos tipos de Procedimientos Topogrficos: los dePlanimetra y los de Altimetra. Los procedimientos Topogrficos de Planimetra sonlos que se emplean para el establecimiento en planta de los Puntos y Lneas deControl y Apoyo (que se denotan pos sus siglas PLCA) y son: Poligonales (Abiertas oCerradas), Cuadrcula (Rectangular o Convergente), Triangulacin y Trilateracin.

Las Poligonales, son tal vez los Procedimientos Topogrficos de Planimetra de usoms comn, por la facilidad de su trazo y la versatilidad de su aplicacin por lo que

es el que se trata en este texto, incluyendo en los apartados 4.4 y 4.5. una revisindetallada de la comprobacin y compensacin de las Poligonales Cerradas,respectivamente, que son las de uso ms frecuente.

Los Procedimientos de Cuadrcula2 (Rectangular y Convergente), se utilizanprincipalmente en levantamientos de terrenos pblicos, como en el caso delevantamiento de grandes zonas de riego, con el propsito, por ejemplo, deestablecer un Distrito de Riego.

1 Aunque en el lenguaje cotidiano, procedimiento es sinnimo de mtodo ("accin o modo de obrar"), en este textose reserva este trmino para hacer referencia exclusivamente a la forma de proceder para el establecimiento de Puntos y

Lneas de Control y Apoyo.2 Existe un Mtodo Topogrfico, conocido tambin con el nombre de Cuadrcula, que no debe confundirse con el

Procedimiento Topogrfico que aqu se enuncia.


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PLANIMETRA

POLIGONALESABIERTAS

CERRADAS

CUADRCULA RECTANGULAR

CONVERGENTE

TRIANGULACIN

TRILATERACIN

CIRCUITOS CERRADOS

ALTIMETRACIRCUITOS ABIERTOS

El Procedimiento Topogrfico de Triangulacin, es una alternativa para elestablecimiento de Sistemas de Puntos y Lneas de Control y Apoyo, que consiste encubrir mediante una cadena o red de tringulos, la extensin del terreno que se va alevantar; de todos los lados, solamente se mide la longitud de uno de ellos, en

cambio, hay que medir todos los ngulos; el nico lado que se mide recibe el nombrede base y los dems se calculan trigonomtricamente.

En la actualidad, con la ayuda de aparatos electrnicos tales como el distancimetroy la estacin total, que permiten la medicin de grandes distancias en forma rpida yprecisa, se ha empezado a emplear el Procedimiento de Trilateracin, con la mismaidea bsica y propsitos que la triangulacin, pero midiendo lados en lugar dengulos.

Por la aplicabilidad de los Procedimientos Topogrficos de Cuadrcula Rectangular,Triangulacin y de Trilateracin, no se tratan en este documento. Por otro lado, losProcedimientos Topogrficos de Altimetra son dos: Nivelacin de un CircuitoCerrado y Nivelacin de un Circuito Abierto, segn se regrese o no al Banco de Nivelde partida para comprobar el trabajo, respectivamente. Adems, se pueden distinguircuatro formas de nivelacin, a saber: Nivelacin diferencial (simple o compuesta),Nivelacin de Perfil, Nivelacin Trigonomtrica y Nivelacin Baromtrica; de ellas setratan las dos primeras en este documento; baste decir por lo pronto que, enrealidad, los Procedimientos Topogrficos de Altimetra, se constituyen al conjugarun Circuito de Nivelacin y una forma de nivelacin, siempre y cuando se cumplan

los requisitos expuestos en el inciso 4.2.1.

En el siguiente cuadro sinptico, se esquematiza una clasificacin de losProcedimientos Topogrficos.


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4.2.3. SELECCIN

El empleo de uno u otro Procedimiento Topogrfico (Planimtrico o Altimtrico), enun trabajo dado, depende de muchos factores, entre los que se pueden citar los

siguientes, como los ms importantes:

a) Tipo de trabajo que se va a proyectar o la finalidad del levantamiento.b) Forma, extensin y relieve del terreno.c) Presencia de obstculos en la superficie a levantar (vegetacin o

construcciones).d) Instrumentos topogrficos disponibles, ye) Precisin deseada.

4.2.4. PROCEDIMIENTO DE POLIGONAL

4.2.4.1. DESCRIPCIN Y APLICABILIDAD

El procedimiento Topogrfico de Poligonal consiste en una serie de LCA queconectan PC sucesivos establecidos a lo largo del recorrido que se sigue al hacer ellevantamiento. A los puntos de una Poligonal se les denomina estacioneso vrticesy a las operaciones para establecerlas en campo se le conoce como trazo de laPoligonal, y consisten en la medicin de las distancias entre las estaciones y dealgn valor angular entre la lnea anterior y la siguiente, para conocer su direccin.

Las Poligonales pueden ser abiertas o cerradas. En las Poligonales Cerradas el trazoregresa al punto de partida, formndose un polgono cerrado (figura 4.4a), lo queproporciona una condicin en extremo importante, para el trabajo de comprobacin ycompensacin. En contraste, las Poligonales abiertas se trazan de modo que no seregresa al punto de partida, sino que por el contrario, se alejan de l; por lo que noofrecen, en principio, manera alguna de comprobacin y compensacin planimtricay, por lo tanto para comprobarlas, se deben repetir la mediciones o bien orientar unalnea al principio y otra al final del trazo y comparar los resultados del trazo con los dela orientacin determinada. En la figura 4.4b, se ilustra una Poligonal Abierta.

Las Poligonales, Abiertas o Cerradas constituyen el Procedimiento Topogrfico deuso ms frecuente, debido seguramente a que, por un lado, son fciles de trazar y aque su aplicabilidad es la ms amplia, por otro. Las Poligonales Cerradas, se aplicanen levantamientos de terrenos agrcolas, en el establecimiento de SPLCA para laconstruccin en el levantamiento de cuencas de captacin, vasos dealmacenamiento, entre otros; y las Poligonales Abiertas, se usan comnmente en el


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levantamiento de vas de comunicacin, cauces y en general en reas que seextienden en una direccin determinada. Sin embargo, a pesar de lo que se ha dicho,es posible y necesario a veces, el trazo de ms de una Poligonal Abierta o Cerrada,o bien, una combinacin de ellas.

El uso combinado de Poligonales Cerradas y Abiertas es, a menudo necesario yrecomendable, porque siempre es conveniente poder comprobar y, en su caso,compensar el establecimiento de Puntos y Lneas de Control y Apoyo, lo cual es msfcil y rpido de hacer en Poligonales Cerradas; hecho lo anterior se pueden trazartantas Poligonales Abiertas como sea necesario, pero siempre ligndolas convrtices de Poligonales Cerradas.

a) Cerrada b) Abierta

Figura 4.4. Esqu ema de un a Pol igon al Cerrada y u na Abierta

4.2.4.2. TRAZO

A. Mediciones lineales

La medicin de las Lneas de Control y Apoyo de una Poligonal se hace del modoms simple y econmico que d la precisin requerida. Si en un caso dado no se

requiere mayor precisin, las distancias se pueden medir por estada o inclusive apasos; la medicin con cinta era hasta hace algunos aos la forma ms precisa demedir distancias y es an la ms comn. En los aos recientes, se ha introducido eintensificado el empleo de dispositivos electrnicos conocidos como distancimetroso medidores electrnicos de distancias (EDM por sus siglas en ingls), que seinstalan en los teodolitos para medir distancias, cuantificando el tiempo que tarda enir y regresar una onda electromagntica de un punto estacin a otro. Esta tcnica,


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adems de ser la ms precisa es muy rpida, aunque tiene el inconveniente de sercomparativamente muy costosa. En la figura 4.5, se presenta un distancimetroWILD DI3000, considerado como uno de los modelos de mayor precisin y alcance.

Figura 4.5. Distancimetro W ILD DI3000, mo ntado sob re un teod ol i to

En las Poligonales Cerradas se mide y se registra la longitud de cada LCA, como una

medida individual, en tanto que en las Poligonales Abiertas, las distancias se llevanen forma acumulativa y continua desde el punto de partida, manejndose comocadenamientos; por ejemplo; 0+000, 2+320, 5+867.35; en donde los dgitos que seubican antes del signo + son los kilmetros recorridos y los nmeros siguientesindican los metros.

B. Mediciones angulares

Las mediciones angulares en el establecimiento de una Poligonal (y en general encualquier procedimiento topogrfico), se requieren para poder definir finalmente las

direcciones de las Lneas de Control y Apoyo. Las diversas formas que se utilizanpara medir ngulos y determinar las direcciones de las LCA de Poligonales, son lassiguientes:

a) Medicin de Rumbos o de Azimutes,b) Medicin de ngulos Interiores,c) Medicin de Deflexiones,


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d) Medicin de ngulos a la Derecha, ye) Medicin de Conservacin de Azimutes.En cualquier caso, es recomendable medir los valores angulares de 2 a 4 vecessegn la precisin requerida y registrar la media aritmtica.

a. Mediciones angulares por Rumbos o Azimutes.Esta forma de medicin dengulos es posible si se opera con trnsito tradicional que cuenta con brjula en laparte inferior de la alidada. Se hace estacin en el PCA inicial de la Lnea de Controly Apoyo a la que se desea determinar su direccin y se visa el PCA siguiente, sesuelta la aguja imantada y se mide el ngulo generado por sta, que correspondercon el Rumbo o el Azimut de la lnea, segn el parmetro que la brjula mida. Conlos Rumbos o Azimutes as determinados, para todas las lneas, se calculan losngulos formados entre las LCA en cada vrtice.

Esta forma de proceder para la determinacin de ngulos en Poligonales, puedeaplicarse para medir la direccin de ambas lneas que convergen en cada PCA, loque implica tener una doble medida para cada lnea, posibilitando la comprobacindel trabajo; o bien, que pueda hacerse el trabajo haciendo estacin de maneraalternada en un punto s y en otro no, lo que puede reducir el nmero de estaciones,el tiempo de trabajo y, como consecuencia, el costo.

Figura 4.6. Trazo de Pol igon ales mid iendo Rum bos o A zimutes

b. Mediciones angulares por ngulos Interiores.Esta forma de medir los ngulosse aplica especficamente a Poligonales Cerradas; se miden los ngulos interioresgenerados entre las LCA que convergen a cada vrtice, haciendo estacin con eltrnsito o teodolito en cada uno de ellos. Es conveniente adoptar una convencin


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respecto a la medicin en un solo sentido; al respecto, la recomendacin es hacerlosiempre en el sentido de las manecillas del reloj. La orientacin de una lnea,usualmente la inicial, es necesaria, ya sea midiendo su Rumbo o Azimut, (figura 4.7).

Figura 4.7. Medicin de ngu los Interiores en Pol ig onales Cerradas

c. Medicin de ngulos de Deflexin.La medicin de deflexiones se recomiendapara el trazo de Poligonales Abiertas y tiene especial aplicacin cuando stas seusan como apoyo para el levantamiento de vas de comunicacin. Los ngulos semiden a partir de la prolongacin de la lnea anterior en la direccin del trazo hasta lalnea siguiente; en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrariosegn el caso, designndose con una letra D (Derecho) en el primero y con la letra I(izquierdo), en el segundo. Por supuesto, ningn valor ser mayor de 180, (figura4.8).

d. Medicin de ngulos a la Derecha.Este mtodo consiste en la medicin de losngulos generados entre la LCA anterior y la siguiente en cada vrtice de laPoligonal, en el sentido de las manecillas del reloj. Aunque el mtodo se emplea

comnmente a Poligonales Abiertas como se ilustra en la figura 4.9, puedeadecuarse al trazo de Poligonales Cerradas, en cuyo caso, corresponde a lamedicin de ngulos exteriores, si se recorre el permetro de la Poligonal en elsentido de las manecillas del reloj; de otro modo equivale al mtodo anterior,mostrado en la figura 4.8.


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Figura 4.8. Medicin de ngu los d e Deflexin para el trazo de Pol igon ales Abiertas

Figura 4.9. Medicin d e ngulos a la Derecha

e. Mediciones angulares por Conservacin de Azimutes. En cada vrtice de laPoligonal, se estaciona el aparato, visando el vrtice anterior y fijando la lectura en ellimbo de ngulos horizontales el Azimut a dicha visual (que corresponde con el

Azimut inverso de la misma lnea visada desde el vrtice anterior, segn la ecuacin4.35).

AZIAB = AzBA= AzAB 180 (4.35)

Debe tenerse presente que, por la misma definicin de Azimut, en una lneacualquiera AB, siempre se cumple la relacin indicada por la expresin (4.35);adems, siempre que un Azimut resulte mayor de 360, deber restarse este valorpara obtener el Azimut correcto de la LCAen cuestin.


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Figura 4.10. Medicin de ngu los por con servacin d e Azimu tes para el trazo d e

pol igon ales Abier tas

C. Seleccin de los vrtices de las Poligonales

La localizacin de los vrtices de las Poligonales, sean stas Abiertas o Cerradas, sehace de tal manera que desde cada uno, se puedan observar el vrtice anterior y elsiguiente, para poder efectuar tanto las mediciones lineales como las angulares. Otracondicin es que al usar los vrtices como Puntos de Control y Apoyo para ellevantamiento de detalles y/o para configuracin, se cubra la mayor rea posible,segn el mtodo topogrfico que se vaya a emplear para ese fin.

Si es necesario, a partir de la Poligonal principal, se pueden trazar ramificaciones conPoligonales Abiertas para poder levantar reas o puntos de inters ubicados fueradel rea de alcance desde los vrtices, pero siempre buscando ligarlas con algnvrtice de Poligonal Cerrada para su comprobacin planimtrica, ya que de no seras, la comprobacin del trabajo no es posible.

D. Cuadro de registro

Independientemente de las formas empleadas para efectuar las mediciones lineales

y angulares y sin importar si se trata de una Poligonal Abierta o Cerrada, el registrode datos es como el que se ilustra en el cuadro 4.1. Otra informacin que se deberegistrar invariablemente es la siguiente: trabajo que se realiza, lugar (paraje,localidad, municipio, etc.), fecha, nombre de los integrantes de la brigada segn sufuncin especfica, aparato empleado y su aproximacin angular, mtodo demedicin angular y lineal y todas aquellas observaciones que puedan ser de utilidaden el trabajo de gabinete. Cualquier anotacin, por insignificante que parezca en el


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campo, puede ser de gran importancia en el momento de efectuar los clculos yhacer los planos.

Cuadro 4.2. Ejemplo de cuadro d e registro p ara una pol ig onal

ESTACINPUNTOVISADO

AH ' ''

DHm

Q P 000 00 00 65.879

R

098 56 40 45.326R Q 000 00 00 -------

S 037 27 20 38.827S R 000 00 00 -------

T 015 54 49 48.12315.26

63.383

T U 000 00 00 --------

4.3. CONCEPTO DE ERROR Y TOLERANCIA

Todo tipo de medicin est sujeta a errores, aunque no en todos los casos seanstos considerados o importantes. En Topografa, sin embargo, los errorescometidos en las mediciones tienen que ser considerados, evaluados ycompensados para asegurar que el trabajo quede dentro de ciertos lmitesaceptables y pueda ser considerado como correcto; en consecuencia, unconocimiento elemental de la teora de los errores en esta materia, es de vitalimportancia.

Para una mejor comprensin del tema, se inicia con una clasificacin de los errores,para luego abordar lo que se conoce como la Teora de los Errores y finalmentedefinir el concepto de Tolerancia y Compensacin que va estrechamente ligado con

el de Error. El concepto de Compensacin que se refiere a la distribucin del Error,se estudia en el apartado siguiente.

4.3.1. CLASIFICACIN DE LOS ERRORES

Se acostumbra clasificar a los errores con base en distintos criterios, de los que sebasan en las causas que los originan y en las leyes que los gobiernan se estudian


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enseguida. Atendiendo a las causas que los originan, los errores pueden ser:naturales, instrumentales y personales.

Los errores naturales, son los que tienen su origen en factores naturales tales

como el viento, la temperatura, la gravedad, las perturbaciones magnticas, etc.El Error que se produce por la dilatacin o contraccin de una cinta metlica debidoal efecto de la temperatura, el que ocasiona la curvatura vertical cncava de dichacinta (catenaria) por efecto de la gravedad, o el de la refraccin del rayo emitido porun instrumento electrnico, son ejemplos de errores naturales.

Los errores instrumentales, se originan en la construccin de los instrumentos o ensu desajuste. Cualquier instrumento puede ocasionar errores debidos a la malagraduacin de sus escalas o a la incorrecta sincronizacin de sus piezas desdefbrica. De otra parte, el descuido en su transportacin, instalacin y operacinpuede implicar el desajuste de los componentes que se traducen en erroresinstrumentales.

Los errores personales, provienen de las limitaciones de los sentidos humanostales como la vista y el tacto, as como del nivel de conocimientos del operador de losinstrumentos y an de su estado psicolgico.

Este primer criterio de clasificacin de los errores, solamente da una idea sobre lanaturaleza de los mismos, pero no permite un anlisis profundo sobre ellos. En el

segundo criterio, que se basa en las leyes que los gobiernan, los Errores seclasifican en: sistemticos, gruesos o equivocaciones y accidentales oaleatorios.

Los errores sistemticosson aquellos que para iguales condiciones de trabajo encampo son constantes en magnitud y signo, lo que implica que son acumulativos; serigen por leyes fsicas y matemticas, por lo que pueden ser calculados y corregidos.Los ejemplos de errores naturales descritos arriba, son tambin ejemplos de erroressistemticos, aunque ello no significa que todos los errores naturales seansistemticos.

Una equivocacin o error gruesoes la falsa determinacin del valor de una mediday se produce por el descuido en la lectura de un valor, en su incorrecta anotacin oen la deficiente operacin de los instrumentos empleados. Estos errores no puedencontrolarse ni estudiarse puesto que no hay leyes definidas que los gobiernen, peropueden evitarse poniendo mayor cuidado en la ejecucin de los trabajos por parte detodos los integrantes de la brigada topogrfica.


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Por ltimo, los errores accidentales, son los que humanamente no se puedenevitar, ya que sus causas estn fuera del control del observador, es igualmenteprobable que tengan signo positivo o negativo y, tienen su origen en la limitacin delos sentidos o en la aproximacin de los aparatos. Por ser positivos o negativos,

pueden compensarse en el proceso de un trabajo topogrfico y puesto que suocurrencia obedece a las leyes de la probabilidad su estudio se basa en las leyes dela estadstica que dan fundamento a la teora de los errores, cuyo estudio se hace enel inciso siguiente.

4.3.2. TEORA DE LOS ERRORES

Es necesario precisar primeramente, que la teora de los errores solamente tienevalidez para los errores accidentales que, como ya se ha dicho, se rigen por las leyesde la probabilidad.

El Error(E), es la diferencia algebraica entre el valor observado o medido ( Vo) y elvalor verdadero (Vv) o ms probable (Vp) de una magnitud. Se expresa de maneraalgebraica, mediante la expresin 4.36, en la que todos los trminos estn en lasmismas unidades lineales.

E=VO-VV = VO- Vp (4.36)

Pero, en la prctica, el valor verdadero de una magnitud se desconoce, por lo que en

su lugar se utiliza la media aritmtica de una serie de valores observados,considerando que, segn la teora estadstica, cuando una magnitud se midevarias veces en las mismas condiciones, el mejor estimador del valorverdadero es la media aritmtica.

Matemticamente, lo anterior se expresa como sigue:

n

i

ni

n

VoVoVoVoVoV

1

321 ...

2

1 (4.37)

Donde:

V = Media aritmtica;Voi = Valor de la isima observacin; yn = Nmero de observaciones.


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Si se sustituye en la expresin 4.37 el valor verdadero Vv, por el de la mediaaritmtica V, se obtiene la expresin 4.38, que es la que en la prctica se utiliza paraestimar el Error E.

E= VO -V (4.38)

Supngase ahora que la informacin del cuadro 4.3, corresponde a nmediciones dela misma magnitud, efectuadas en las mismas condiciones y, donde la mediaaritmtica V, se ha calculado con la expresin 4.37.

Si se asume que npuede ser tan grande como se quiera, ms an, que n tiende ainfinito, entonces se tiene la siguiente definicin de Error Total.

Cuadro 4.3. Datos tericos para el clculo del Error Total para n medic iones

MEDICI N(i)

VALOR OBSERVADO(VOi)

ERROR(Ei)

1 Vo1 E1= Vo1- V2 Vo2 E2= Vo2- V3 Vo3 E3= Vo3- V. . .. . .. . .n Vo4 En= Von- V

El Error Total (ET), es la suma algebraica de todos los errores accidentalescometidos al efectuar una medicin. Algebraicamente:

ET= Ei= E1E2E3Enni=1 (4.39)

Donde:

ET= Error Total;

Ei= Error i; el doble signo de Eise debe a que -como se ha dicho- los errores tienenla misma probabilidad de ser positivos o negativos; yn= Nmero de errores = nmero de observaciones.

Por otro lado, debido a que los errores accidentales, se ajustan a una funcin dedensidad probabilstica simtrica, como se muestra en la figura 4.4, tambin llamada


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ley normal de los erroreso ms comnmente conocida como distribucin normal,cuyo punto de simetra es cero, se tiene que:

ET= lim

x

Ei=0 (4.40)

Un estimador de la precisin de una serie de mediciones, que se antoja lgico es lamedia aritmtica de los errores, es decir el Error Medio; sin embargo, puesto que ETtiende a 0 cuando n tiende a infinito, no es posible usar tal parmetro.

Para salvar este inconveniente, se pudieran emplear los valores absolutos de loserrores para obtener una media absoluta, que se denomina Error Medio Absoluto,EMA, aunque en la prctica se acostumbra utilizar el Error Medio Cuadrtico, EMC(o en lenguaje estadstico la varianza de las observaciones), o bien la raz cuadrada

de ste conocida como Error Estndar, EE (o desviacin estndar de lasobservaciones).

Figura 4.11. Distr ibuc in pro babi lst ica n orm al o ley norm al de lo s error es

El Error Medio Cuadrticose define como la suma de los cuadrados de los errores,dividida por el nmero de stos, es decir:

EMC=1

n Ei2ni=1 =

Ei2ni=1n

=ETC

n (4.41)

Al numerador del tercer miembro de esta expresin se le conoce como Error TotalCuadrtico ETC, y es igual al cuadrado del Error Residual, lo que se define ydemuestra ms adelante.


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El Error Estndares simplemente la raz cuadrada del Error Medio Cuadrtico:

EE= EMC (4.42)

El Error Residual(ER), no es otra cosa que el Error Total que no se compens y es,por lo tanto, el mismo definido en la expresin 4.39. Pero, ya se ha dicho que el ETno es un buen indicador del Error, por lo que el empleo del concepto de ErrorResidual cuya expresin matemtica se deduce enseguida, es ms adecuado. Si seeleva al cuadrado el primero y tercer miembro de la expresin 4.39, se tiene:

ET2=(E1E2E3En)2 (4.43)

Desarrollando el cuadrado, queda:

ET2=E1

2+E2

2+E3

2+ESUBn

2+ .doblesproductos (4.44)

Pero, como todos los errores son aleatorios, se verifica que:

0doblesproductos cuando n 0

Por lo tanto:

n

i i ETCEnEEEER 1...

222

3

2

2

2

1 (4.45)

De manera que:

ETCETERn

i i

1

22 (4.46)

Sintetizando, a partir de la expresin (4.6), se tiene:

ETC=

Ei

2ni=1 =nEMC

ER2=nEMC=nEE

2

y finalmente:

EEnER (4.47)


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Esta ltima expresin es aplicable a toda clase de medidas y se interpreta comosigue: en una serie de medidas, el Error Residual es directamente proporcional a laraz cuadrada del nmero de oportunidades de que ocurra el Error Estndar.

Adems, la teora probabilstica establece que para una distribucin normal de los

errores, existe slo un 5% de probabilidad de que se presente un Error cuyo valorabsoluto exceda al doble del Error Estndar.

4.3.3. TOLERANCIA

Otro concepto que est directamente asociado con los errores y su medicin, es elde Tolerancia, que permite decidir si un trabajo est o no dentro de la precisindeseada y, su significado topogrfico es anlogo al que tiene en el lenguaje comn.

La Tolerancia (T) en un levantamiento topogrfico, es el Error Mximo positivo o

negativo que se est dispuesto a aceptar y que, por lo tanto, sirve como criterio dedecisin. Si este Error no se rebasa, se considera que el trabajo cumple con laprecisin buscada y por lo tanto se acepta, por el contrario, si esto no ocurre, eltrabajo, en principio, debe rechazarse.

El valor de la Tolerancia se debe establecer de acuerdo a la precisin de losaparatos e instrumentos utilizados y con base en las condiciones de operacin encampo. As, en forma indirecta, la Tolerancia se ve influida por la exactitud requeridaen el trabajo, ya que sta debe dar pie a la eleccin de los instrumentos adecuados.

Adems, el valor de la Tolerancia depende del tipo de mediciones de que se trate;por ejemplo, en el caso de la comprobacin angular de una Poligonal Cerrada, elvalor de Tse da como un Error Total (residual) Admisible, en tanto que si hablamosde la comprobacin lineal en la misma Poligonal, T ser igual a un Error Unitario(residual) Admisible.

En cualquier caso, la Tolerancia debe estar en relacin con el Error Estndar (T = fEE). En la prctica, es muy comn considerar a la Tolerancia como el doble del ErrorResidual, lo que algebraicamente se expresa como sigue:

EEnERT 22 (4.48)

La expresin 4.47, slo es vlida si se parte de los dos supuestos siguientes: queslo ocurrieron errores accidentales y que stos se distribuyeron normalmente; loque implica que slo existe un 5% de probabilidad de que se presente un Error quesea mayor al doble de EE. En consecuencia, un Error mayor a 2 ER slo puedeocurrir con un 5% de probabilidad tambin. En otras palabras, esto quiere decir que


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si se efecta un levantamiento topogrfico 100 veces, se espera que en 95 casos setenga un Error Total con valor absoluto menor o igual que la Tolerancia dada por laexpresin 4.47 y que en 5 casos suceda lo contrario.

Con base a lo anterior, si al efectuar un levantamiento topogrfico se encuentra queel valor absoluto del Error Total es mayor que la Tolerancia, slo pudieron haberocurrido dos situaciones:

a) El trabajo es correcto, pero ocurri un evento poco probable.

b) El trabajo es incorrecto, es decir, el Error Total result grande, debido a queexistieron errores sistemticos que no se corrigieron y/o equivocaciones, adems delos errores accidentales.

Por supuesto, como medida de seguridad, debe considerarse que ocurri la situacinb). Esto quiere decir que en 5 de cada 100 trabajos, se estar rechazando un trabajocorrecto, pero con ello se estar protegiendo del riesgo de aceptar un trabajo quecon el 95 % de seguridad es incorrecto.

Por otra parte, cuando el Error Total es menor que la Tolerancia obtenida con laexpresin 4.47, se aceptar el trabajo, pero es evidente que nunca se tendr el 100% de seguridad de que el trabajo est libre de errores, pues existe la remotaposibilidad que stas se hayan compensado, al menos parcialmente. De cualquier

manera, la Tolerancia dada por la expresin 4.47, y el criterio de decisin asociado,es bastante til por su eficiencia para rechazar trabajos que con alta probabilidad sonincorrectos.

El problema de aplicar adecuadamente una frmula especfica de Tolerancia para uncaso dado, es conocer el valor del Error Estndar asociado a cada aparato utilizadoen el trabajo y a las condiciones particulares de operacin en campo, el cual slopuede conocerse con la experiencia o con pruebas experimentales; aunque losfabricantes deben reportar el EE en los manuales de uso de los instrumentos quevenden, lo cual es de mucha utilidad porque evita suponerlo o tener que

experimentar para estimarlo. Por ejemplo, el Error Estndar en la medicin angularde poligonales de alta precisin se considera igual a a/2, donde a es laaproximacin del aparato; la Tolerancia Angular Ta, para este caso, se obtienehaciendo uso de la expresin 4.49, como a continuacin se expresa:

naa

nEETa 2

222


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naTa (5.49)

Que es la frmula que se acostumbra utilizar para la Tolerancia Angular en lacomprobacin de una Poligonal Cerrada y debe ser del conocimiento del lector.

Es conveniente sealar que el considerar en este caso, un error estndar de a/2,es bastante estricto, ya que en cada medicin angular estn contribuyendo al erroraccidental los siguientes factores:

El Error de centrado,

El Error de nivelacin del crculo horizontal,

El Error al poner en ceros el vernier,

El Error al visar el primer lado del ngulo,

El Error al visar el segundo lado del ngulo, y El Error al hacer la aproximacin en la lectura.

Un topgrafo sin experiencia, y por supuesto los estudiantes de Topografa en susprimeras prcticas, difcilmente podran cumplir con una Tolerancia tan estricta comola dada por la ecuacin (4.13) y puede ser motivo de desaliento. Por eso viene alcaso recordar que la prctica en Topografa es un factor esencial, ya que a la par dela asimilacin de los conocimientos tericos se requiere adquirir habilidad en elmanejo de los instrumentos topogrficos para garantizar de mejor manera larealizacin de un buen trabajo topogrfico.

4.4. COMPROBACIN DEL TRABAJO TOPOGRFICO

Con anterioridad se enfatiz en la importancia de contar en todo ProcedimientoTopogrfico con elementos que permitan comprobar los trabajos. A manera derepaso y de ejemplo, y con el propsito de que el lector identifique estos elementos,se presentan en este apartado los correspondientes a la comprobacin angular ylineal de una Poligonal Cerrada, cuyo empleo es muy frecuente en la prctica. Con lamisma idea, se expone tambin la comprobacin del trabajo de Nivelacin.

4.4.1. COMPROBACIN ANGULAR DE UNA POLIGONALCERRADA

Las condiciones angulares que deben cumplirse en un polgono para que ste seconsidere analticamente cerrado, estn dadas por las expresiones 4.50 y 4.51,segn se conozcan los ngulos interiores o los exteriores, respectivamente:


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AIini=1 =180 (n-2) (4.50)

AEini=1 =180 (n+2) (4.51)

En las que:

AI = ngulos interiores, en grados, minutos, segundos;AE = ngulos exteriores, en grados, minutos, segundos; yn = Nmero de ngulos del polgono, que corresponde con el nmero de

vrtices del mismo.

Evidentemente, es suficiente con que una de las dos expresiones anteriores secumpla, para que la otra quede satisfecha. Sin embargo, difcilmente, estas

condiciones se cumplen con los valores angulares medidos en un levantamiento;sera una casualidad poco probable que ello ocurra; por el contrario, casi siemprehabr un Error de cierre angular, EA, el cual se calcula con las frmulas 4.52 o 4.53,segn la condicin de cierre se obtenga empleando las expresiones 4.50 o 4.51,respectivamente.

EA= AIini=1 -180 (n-2) (4.50)

EA= AEini=1 -180 (n+2) (4.51)

4.4.2. COMPROBACIN LINEAL DE UNA POLIGONAL CERRADA

La condicin general de cierre lineal de una Poligonal Cerrada expresa que, la sumaalgebraica de las proyecciones de todos sus lados sobre los ejes de unsistema coordenado rectangular3, debe ser igual a cero, lo que puede expresarsematemticamente como sigue:

Pxini=1 = Pxpjmj=1 + Pxnk

rk=1 =0 (4.52)

Pyin

i=1 = Pypjm

j=1 + Pynkr

k=1 =0 (4.53)

3 Recurdese que, es costumbre utilizar la direccin Este-Oeste (E-W) para el eje xy la direccin Norte-Sur (N-

S) para el eje y, tomndose los sentidos Este y Norte como positivos y los sentidos Oeste y Sur como

negativos.


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Donde:

Pxini=1 = Suma algebraica de las proyecciones de todos los lados de laPoligonal, sobre el eje horizontal,x;

Pyi

ni=1 = Suma algebraica de las proyecciones de todos los lados de la

Poligonal, sobre el eje vertical, y;

Pxpj

mi=1 = Suma de las proyecciones sobre el ejexque resulten positivas;

Pxnkri=1 = Suma de las proyecciones sobre el eje xque resulten negativas;

Pypj

mj=1 = Suma de las proyecciones sobre el eje yque resulten positivas; y

Pynk

rk=1 = Suma de las proyecciones sobre el eje yque resulten negativas.

Evidentemente, la relacin 4.54 debe cumplirse invariablemente, en las expresionesanteriores.

n = m + r = m+ r (4.54)

Para ilustrar grficamente las condiciones de cierre lineal expuesta, en la figura 4.12,

se muestran las proyecciones de una Poligonal Cerrada; en ella, las proyeccionessobre ambos ejes, sealadas con flechas, en el mismo sentido que los de los ejes,son positivas y las de flechas en sentidos contrarios son negativas. Se muestraasimismo, grficamente, el Error Lineal Total denotado por ET, as como susproyecciones Exy Eysobre los ejes rectangularesxy y,respectivamente.

En la misma figura, se aprecia con claridad que de no existir error (o sumando ste),la condicin de cierre lineal expresado por las ecuaciones 4.52 y 4.53 se cumpleinvariablemente. Pero, si la suma algebraica de las proyecciones para cada uno delos ejes es diferente de cero, esta diferencia es el Error Lineal asociado a cada uno

de ellos.

Matemticamente, el anterior est dado por las ecuaciones 4.55 y 4.56:

Ex= Pxini=1 (4.55)

Ey= Pyi

ni=1 (4.56)


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4-34 | P g i n a


B

C

D

E

F

A'

x

A

y

ET

FAx ABx BCx CDx

DExEFx

ABy

FAy

EFy

BCy

CDy

EFy

Ey

Ex

Donde Exy Eyson las proyecciones del Error Lineal Total ET, sobre los ejes xy y,respectivamente, (tambin llamados Error en x y Error en y, respectivamente). Unavez conocidos Ex y Ey La magnitud de ET, se obtiene fcilmente empleando elTeorema de Pitgoras, como se muestra en seguida:

EyExET 22 (4.57)

Figura 4.12. Proyeccio nes rectang ulares de los lados de una Pol igo nal Cerrada y

esquem atizacin del Erro r L ineal Total, ET

Evidentemente, no es conveniente utilizar el Error Total ET para inferir sobre lacalidad o precisin de las mediciones, puesto que este Error resulta de la suma delas longitudes de todos los lados de la Poligonal; por lo tanto, se debe emplear unError Unitario (error por unidad de longitud), mismo que se define por la expresin4.58.

EU=ET

LT (4.58)

En la que EU, es el Error Lineal Unitario, cuyo valor se debe comparar con laTolerancia Lineal correspondiente, que tambin debe expresarse como un ErrorMximo Permisible por unidad de longitud; y LT, es la suma de las longitudes de


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P g i n a | 4-35


todos los lados de la Poligonal o longitud total de la Poligonal, en las mismasunidades que ET.

El valor de las proyecciones de cualquier lado de la Poligonal, si se conoce su

longitud Li, y su Azimut Azi, se puede obtener de las expresiones 4.59 y 4.60, en laque Pxi, es la proyeccin sobre el ejexdel isimo lado y Pyies la proyeccin sobre eleje ydel isimo lado; ambas proyecciones resultan en las mismas unidades que lasde Li.

Pxi= Li(Sen Azi) (4.59)

Pyi= Li(Cos Azi) (4.60)

Finalmente, debe tenerse presente que la comprobacin lineal debe hacerse una vezque se haya comprobado y compensado angularmente el trabajo, de modo que en elclculo de las proyecciones se utilicen Azimutes compensados.

4.4.3. COMPROBACIN DE UNA NIVELACIN

A manera de recordatorio y de ejemplo tambin, se exponen aqu los casos mscomunes de comprobacin de un trabajo de nivelacin ordinario. Existe en laliteratura una metodologa completa sistematizada, para la realizacin tanto deltrabajo de campo para la nivelacin de Puntos de Control y Apoyo,

independientemente del Procedimiento Planimtrico que se haya seguido para suestablecimiento, como de la comprobacin y compensacin empleando la teora demnimos cuadrados.

Recurdese que la frmula general para el clculo de la Tolerancia de Nivelacin esla siguiente:

KaTN (4.61)

en la que TNes la Tolerancia de Nivelacin, en mm; a es un factor que depende de

la precisin requerida y de las condiciones de operacin en campo y cuyo valor debeser tericamente el doble del Error Estndar, y; K es la longitud del recorrido total dela Nivelacin, en km.

Los dos casos tpicos que se analizan son:

Establecimiento de un nuevo Banco de Nivel, a partir de otro previamente definido; y,


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Establecimiento de varios Bancos de Nivel intermedios entre dos Bancos de Nivelpreviamente definidos.

En ambos casos se puede tener un Circuito de Nivelacin Cerrado, si se regresa al

mismo Banco de partida, o un Circuito de Nivelacin Abierto, si se llega a otro Bancode Nivel.

4.4.3.1. ESTABLECIMIENTO DE UN NUEVO BANCO DE NIVEL, A PARTIRDE OTRO PREVIAMENTE DEFINIDO

En este caso, el trabajo puede comprobarse de tres maneras: nivelando de ida yregreso, con doble Punto de Liga o con doble altura de aparato. En la figura 4.13, seilustran las diferencias entre estas tres formas tpicas de establecer un nuevo Bancode Nivel, mismas que se describen en los incisos siguientes.

A. Nivelacin de ida y regreso

En este caso, la forma de proceder para el establecimiento de un nuevo Banco deNivel, consiste en partir del BN cuya Cota se conoce (BN1), llegar al Banco cuyaCota se desea determinar (BN2), y regresar al Banco de Nivel de partida paracomprobar el trabajo. De ordinario, al regresar al Banco de Nivel de partida seobtiene para ste una Cota calculada (CotaC), que es diferente a la Cota verdadera(CotaV).

El Error de Nivelacin EN, se obtiene de la diferencia de la Cota calculada y laverdadera, tal como se expresa en la expresin 4.62.

EN = CotacCotav (4.62)

Este Error es el que se debe comparar con la Tolerancia respectiva, calculada con laexpresin 4.61, para cuyo clculo se debe considerar la longitud total del recorrido deida y regreso.

B. Nivelacin con doble Punto de LigaEsta forma de proceder para el establecimiento de un nuevo Banco de Nivelconstituye, en realidad, una doble Nivelacin, ya que se toman dos lecturas a igualnmero de Puntos de Liga desde el mismo punto estacin del aparato, de maneraque al llegar al nuevo Banco de Nivel (BN2), se obtienen dos Z distintas en general,Z1y Z2(su coincidencia sera slo una casualidad).


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Figura 4.13. Formas tpicas de pr oceder para el establecimiento de un nuev o BN a

part i r de otro previamente def in ido

Si se acepta, en principio como Z verdadera para BN2, la que resulta de promediarlos dos valores obtenidos en el proceso de Nivelacin, tal como se indica en la

expresin 4.63, el Error de Nivelacin EN, se obtiene de la diferencia de cualquierade esos dos valores con su promedio, segn se indica en la expresin 4.64 o la 4.65.

(4.63)

2

1 2 BN2BN2

2

BN

(4.63)


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2

1 2 BN2BN2

21EN

BN

...(4.64)

2

1 2 BN2BN2

2

2EN

BN

(4.65)

El Error de Nivelacin as calculado, debe compararse con la Tolerancia obtenidacon la expresin 4.61, para cuyo clculo se debe considerar el doble de la longituddel recorrido de Nivelacin, ya que el Error se obtuvo de los valores obtenidos conlos dos procesos simultneos.

C. Nivelacin con doble altura de aparato

Este caso es muy similar al anterior, pues en ste se realizan tambin dosnivelaciones simultneas, con la nica diferencia de que, ahora se toman doslecturas para un mismo Punto de Liga desde dos estaciones distintas del aparato.Dada la similitud sealada, tanto el clculo del Error de Nivelacin como el de laTolerancia, se obtienen exactamente de la misma forma que para el caso B).

Tanto para el caso B, como en el C, es recomendable, llevar dos cuadros de registro,uno para cada Nivelacin, de manera que el clculo de los valores de Z1 y Z2calculados, se facilita.

4.4.3.2. ESTABLECIMIENTO DE VARIOS BANCOS DE NIVELINTERMEDIOS ENTRE DOS BANCOS DE NIVEL PREVIAMENTEDEFINIDOS

Este caso implica que se conocen las Cotas del Banco de partida (ZA) y la del Bancofinal del recorrido (ZB) y se desean determinar las Cotas de una serie de Bancosintermedios BN1, BN2,...,BNn. Una vez que se hace el trabajo de Nivelacin, al llegaral Banco de Nivel B, se obtiene para ste una Cota de llegada (ZB'), que es, engeneral, distinta a su Cota verdadera (ZB), lo que significa que las Cotas que secalculen para todos los Bancos intermedios sern tambin diferentes a las que

realmente les corresponden. El Error de Nivelacin que se comparar con laTolerancia calculada con la expresin 5.61 se obtiene de la expresin 4.63, anotadaenseguida.

EN = ZA- ZB (4.66)


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4.5. COMPENSACIN DEL TRABAJO TOPOGRFICO

Se entiende por Compensacin, el conjunto de operaciones que se efectan paradistribuir el Error cometido en un trabajo, una vez que se ha comprobado que ste es

menor que la Tolerancia especificada para el caso. La etapa de compensacin de loserrores accidentales presentados en el establecimiento de Puntos y Lneas deControl y Apoyo, debe efectuarse siguiendo algn criterio razonable. Normalmente,hay varios criterios de compensacin posibles de aplicar; si ste es el caso, sedeber seleccionar aqul que tome en cuenta las condiciones de operacin encampo.

Si en un momento dado se tiene duda sobre cual criterio es el ms apropiado parauna situacin particular, cuando menos se debe tener claridad en las premisas en lasque cada uno se basa.

En este apartado, se expone la teora para la compensacin de una PoligonalCerrada as como para la compensacin del trabajo de Nivelacin de los casosanalizados en el apartado precedente.

Los criterios de compensacin aplicables a los Puntos y Lneas de Control y Apoyoestablecidos por los Procedimientos Topogrficos de Cuadrcula Rectangular,Triangulacin y Trilateracin, incluyen la teora de mnimos cuadrados para lacompensacin de los Errores accidentales, tanto angulares como lineales y de

Nivelacin.

4.5.1. COMPENSACIN ANGULAR DE UNA POLIGONALCERRADA

Para la compensacin o distribucin del Error Angular en una Poligonal Cerrada, sepuede seguir uno de los criterios siguientes:

a) Repartir el Error Angular por igual entre todos y cada uno de losngulos medidos.

b) Repartir el Error Angular de acuerdo a algunas consideracionesrespecto a la confiabilidad de cada una de las mediciones.

En el primer caso, se parte del supuesto de que todos los ngulos fueron medidos enigualdad de condiciones y por lo tanto, se les atribuye el mismo grado de confianza.Es evidente que si la magnitud del Error es mnima, ste slo se distribuir entre


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4-40 | P g i n a


algunos ngulos; cuando esto ocurra, es recomendable no afectar los ngulosformados por los lados ms largos, pues se considera que entre ms largas sean lasvisuales, se eliminan o disminuyen los errores accidentales ocasionados por elcentrado de la visual.

Las consideraciones a las que se hace referencia en el segundo criterio pueden sercomo las siguientes: cuando una magnitud se determina con una serie derepeticiones, se le puede atribuir mayor precisin y confianza; en condicionesambientales desfavorables como fuertes vientos, reverberancias o neblina, o endonde los suelos son inestables, las lecturas sern seguramente menos confiables;el empleo de un aparato ms preciso en algunas mediciones, les conferir a stas,naturalmente, mayor confiabilidad, etc. Mientras se realiza el trabajo de campo,deben anotarse todas las observaciones como las que se han ejemplificado y quepuedan ser de utilidad en el trabajo de gabinete en general, y en el de Compensacinen particular.

4.5.2. COMPENSACIN LINEAL DE UNA POLIGONAL CERRADA

En la compensacin lineal de una Poligonal Cerrada pueden seguirse uno de doscriterios, a saber: la Regla de la Brjula o la Regla del Trnsito y, en cualquiera deellos, las correcciones se aplican a las proyecciones rectangulares de las lneas. Enseguida se describe en qu consiste cada una de estos criterios.

4.5.2.1 LA REGLA DE LA BRJULA

La Regla de la Brjula se basa en las consideraciones siguientes:

a) Las mediciones angulares tienen el mismo grado de confianza que lasmediciones lineales y,

b) Los errores accidentales cometidos son directamente proporcionales a laslongitudes de los lados.

De las consideraciones anteriores, se desprende que las correcciones a lasproyecciones se calculen proporcionalmente a sus longitudes, lo quematemticamente queda expresado como sigue:

LT

Ex

L

Cx

i

i (4.67)


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P g i n a | 4-41


LT

Ey

L

Cy

i

i (4.68)

En estas expresiones, Cxi y Cyi, son las correcciones a las proyecciones sobre losejes x y y, respectivamente, del isimo lado; Ex y Ey, son las proyecciones sobre losejes x y y del Error Total; Li, es la longitud del isimo lado de la Poligonal, y; LT es lalongitud total de la Poligonal o lo que equivale a la suma de las longitudes de todoslos lados de la Poligonal.

Evidentemente, tanto Li como LT, son siempre cantidades positivas. La correccin,sin embargo, debe ser de signo contrario al del Error, lo que justifica el signonegativo del segundo miembro de las expresiones anteriores, de las cuales,despejando se tiene para las correcciones:

iL

LT

ExCxi (4.69)

iL

LT

EyCyi (4.70)

Ahora bien, tanto el cociente Ex/LT, como el Ey/LT, son valores constantes paracada Poligonal y se pueden interpretar como Errores Unitarios para cada uno de los

ejes coordenados. Por ltimo, las proyecciones corregidas, se obtienen de la simplesuma algebraica de las proyecciones sin corregir y las correccionescorrespondientes, esto es:

PCxi=Pxi+Cxi (4.71)

PCyi=Py

i+Cy

i (4.72)

Donde PCxiy PCyi, son las proyecciones corregidas sobre los ejes x y y del isimolado, respectivamente. Es siempre conveniente que despus de aplicar las

correcciones lineales, se verifique que se cumplan las condiciones de cierre angular,lo que de alguna manera garantiza que los clculos sean correctos.

4.5.2.2. LA REGLA DEL TRNSITO

En este criterio se supone que las mediciones angulares son ms precisas que laslineales, lo que implica darle un mayor grado de confianza a las primeras y, en este


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4-42 | P g i n a


caso, las correcciones a las proyecciones se calculan proporcionalmente a losvalores angulares. Sin embargo, a pesar de estas consideraciones, no se debeolvidar que los valores angulares se involucran con las lineales, puesto que lasproyecciones de los lados de la Poligonal, se hacen a travs de las mediciones

angulares, por lo que en realidad, las correcciones de calculan proporcionalmente alas proyecciones.

Partiendo de las consideraciones anteriores, las correcciones a las proyecciones secalculan con las expresiones siguientes:

ni ii

i

Py

Ex

Px

Cx

1

(4.73)

ni ii

i

Py

Ey

Py

Cy

1

(4.74)

En dichas expresiones el signo negativo garantiza que se le asigne a lascorrecciones el signo contrario al del Error, y:

|Pxi|es el valor absoluto de la proyeccin sobre el eje x del isimo lado de laPoligonal,

Pyi

es el valor absoluto de la proyeccin sobre el eje y del isimo lado de laPoligonal,

|Pxi|ni=1 es la suma de los valores absolutos de las proyecciones sobre el eje xde todos los lados de la Poligonal, y

Pyini=1 es la suma de los valores absolutos de las proyecciones sobre el eje x

de todos los lados de la Poligonal.

Despejando de las dos expresiones anteriores, se tienen las siguientes, para el

clculo de las correcciones:

Cxi=- Ex

|Pxi|ni=1

|Pxi| (4.75)

Cyi=-

Ey

Pyini=1

Pyi (4.76)


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En estas ltimas expresiones y en analoga con las ecuaciones 4.67 y 4.68, los

cocientes Ex

|Pxi|ni=1

yEy

Pyini=1

, pueden interpretarse como Errores por unidad de longitud,

sobre cada uno de los ejes coordenados y son constantes para cada Poligonal. Las

proyecciones corregidas se obtienen empleando tambin las expresiones 4.71 y4.72.

Finalmente, partiendo de las consideraciones en las que se basan los criterios decompensacin descritos, se puede recomendar el uso de la Regla de la Brjula,cuando en campo se utilice trnsito para las mediciones angulares y cinta para laslineales; teodolito y distancimetro para las mediciones angulares y para las lineales,respectivamente o; estacin total para ambas mediciones y; la Regla del Trnsito sise usa trnsito y estadia para efectuar las mediciones angulares y las lineales,respectivamente; o teodolito y cinta para cada caso de mediciones.

4.5.3. COMPENSACIN DEL TRABAJO DE NIVELACIN

Se tratan ahora los criterios de compensacin de Nivelacin para los mismos casosde comprobacin estudiados en el inciso 4.5.2.

4.5.3.1. ESTABLECIMIENTO DE UN NUEVO BANCO DE NIVEL A PARTIRDE OTRO PREVIAMENTE DEFINIDO

La distribucin del Error se hace segn el proceso de campo que se haya seguido

para la comprobacin del trabajo.

Para cuando la comprobacin se hace haciendo la nivelacin de ida y regreso, lacorreccin de Nivelacin CN, que se debe aplicar a la Cota del BN2 (ZC) obtenida enel proceso de Nivelacin, ser igual a la mitad del Error de Nivelacin, con signocontrario al de ste, (expresin 4.77); lo cual implica suponer que las condiciones deoperacin fueron las mismas en el proceso de ida que de regreso; es decir, igualdesnivel, mismo nmero de Puntos de Liga, y en general, mismos cuidados en latoma de lecturas.

CN=-EN

2 (4.77)

De otra parte, tanto para el caso en que la comprobacin se hace nivelando condoble Punto de Liga o con doble altura de aparato, una vez que se haya comprobadoque EN es menor que la Tolerancia respectiva calculada con la expresin 4.61, se


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define como Cota definitiva para BN2 la que se obtiene con la expresin 4.73, lo cualimplica aceptar los mismos supuestos indicados en el prrafo anterior.

4.5.3.2. ESTABLECIMIENTO DE VARIOS BANCOS DE NIVEL

INTERMEDIOS ENTRE DOS BANCOS DE NIVEL PREVIAMENTEDEFINIDOS

Los que se describen en los prrafos siguientes son los tres criterios de uso mscomn en la distribucin del Error de Nivelacin, cuando se establecen variosBancos de Nivel intermedios entre dos previamente definidos.

A) Proporcionalmente a las distancias acumuladas. El Error de Nivelacin calculadopuede distribuirse entre todos los Bancos de Nivel intermedios, proporcionalmente asus distancias tomadas desde el Banco de Nivel de partida, siempre que stas se

conozcan; lo que implica suponer que los Errores cometidos en la Nivelacin sonproporcionales a las distancias recorridas.

La expresin siguiente puede emplearse para el clculo de las correcciones; en ella,CCi, es la correccin a la cota del isimo BN; LNi, es la longitud del recorrido denivelacin acumulada desde el inicio del mismo hasta el isimo banco de nivel; yLTN, es la longitud total del recorrido de nivelacin. En esta expresin, todas lasmagnitudes estn dadas en m.

CCi=

LNi

LTNEN (4.78)

Debe tenerse presente que, en general, la longitud del recorrido de Nivelacin, esdistinta a la longitud lineal o recta entre los Bancos de Nivel o Puntos de Control y

Apoyo que se nivelan, por lo que si se ha de emplear este criterio, se debern tomarlas distancias del recorrido de Nivelacin o levantar los datos necesarios para suclculo.

B) Proporcionalmente a los desniveles. El segundo criterio consiste en distribuir elError proporcionalmente a los desniveles entre cada par de Bancos de Nivel

consecutivos, lo cual se recomienda cuando stos estn uniformemente espaciados,como es el caso de un circuito en la Nivelacin de una Cuadrcula Rectangular. Estecriterio asume que la pendiente o desnivel del terreno a lo largo de todo el recorridode Nivelacin es variable y que a mayor desnivel entre Bancos de Nivel implicamayor posibilidad de Error (probablemente derivada del mayor nmero de Puntos deLiga).


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La expresin 4.45, se emplea para el clculo de las correcciones; en ella, CCi, tieneel mismo significado que en la expresin 4.44; Di, es el desnivel entre el isimoBanco de Nivel (cuya Cota se corrige) y el Banco de Nivel anterior en el recorrido denivelacin; y, DT es el desnivel total entre los dos Bancos de Nivel previamente

establecidos.

CCi=-|Di|

DTEN (4.79)

C) Proporcionalmente al nmero de liga. La tercera posibilidad consiste en distribuirel EN proporcionalmente al nmero de Puntos de Liga que se establecieron entrecada par de Bancos de Nivel consecutivos; lo cual implica suponer que se emple unmayor nmero de Puntos de Liga cuando mayor fue el desnivel entre los Bancos deNivel y por lo tanto, los errores accidentales ocurridos, son directamente

proporcionales al nmero de cambios de estacin con el aparato. Por lo que se hadicho, puede considerarse que este ltimo criterio, es un caso especial del segundo,ya que efectivamente, habr necesidad de mayor nmero de Puntos de Liga cuantomayor sea el desnivel.

Es evidente que los resultados que se obtengan en la Compensacin serndependientes del criterio de distribucin del Error que se siga, por lo que convienereiterar que el criterio elegido para un caso dado ser el que mejor se ajuste a lascondiciones de trabajo en campo.

4.6. EJEMPLO DE COMPROBACIN Y COMPENSACIN DEUNA POLIGONAL CERRADA

En este apartado, se ilustra numricamente la comprobacin y compensacinangular y lineal de una Poligonal Cerrada establecida en los terrenos del CampoExperimental de la Universidad Autnoma Chapingo, para el levantamiento posteriorde Puntos para Configuracin y de Detalle. Un esquema de dicha Poligonal semuestra en la figura 4.14, y en su establecimiento se midieron los ngulos interioresen el sentido de las manecillas del reloj, usando trnsito convencional y efectuandotodas las mediciones en las mismas condiciones de campo y, la medicin de

distancias se hizo empleando cinta.

La Tolerancia Angular definida previamente para el trabajo fue:

61 naTA = 2.45 y la Tolerancia lineal, TL=1/5000. En las primeras cincocolumnas del cuadro 4.3, se presentan los datos tomados en campo y en la columna6, los valores angulares corregidos, los cuales se calculan en el tema siguiente.


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4.6.1. COMPROBACIN Y COMPENSACIN ANGULAR

Empleando la ecuacin 4.53 y a partir del rengln de sumas de la columna 4 del

cuadro 4.4, se obtiene el Error Angular como sigue:

EA= Alini=1 -[180(6-2)]=72002-72000

EA = + 02< TA = 2.45

Una vez comprobado que el Error Angular es menor que la Tolerancia respectiva, seprocede a realizar la compensacin. Dado que las condiciones de toma de medidasen campo fueron similares para todos los casos, la distribucin del Error debera serpor igual para todos los ngulos; sin embargo, puesto que el valor numrico del Error

es menor que el nmero de vrtices, dicho error se restar de los valores angularesde menor magnitud, esto es, de los vrtices C y F, con lo cual la Poligonal quedacompensada angularmente, como se muestra en la columna 6, del cuadro 4.4.

Figura 4.14. Representacin esq uemtica de una pol ig onal c errada para su

com probacin y compensacin


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Cuadro 4.4. Datos de campo p ara la com prob acin y comp ensacin de la Pol igo nal

Cerrada de la figur a 4.14

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

EST PV AZIMUT AH DH AHCORREGIDO m

A B 161 14' 124 04 253.08 124 04

B C 124 19 461.35 124 19

C D 079 22 336.28 079 21

D E 135 37 207.06 135 37

E F 141 52 283.63 141 52

F A 114 48 241.55 114 47

S U M A S 720 02 1,782.95 720 00

4.6.2. COMPROBACIN Y COMPENSACIN LINEAL

Para proceder a la comprobacin lineal, se calculan primero los Azimutes de losdems lados, partiendo del Azimut del lado conocido, lo cual se hace sumando 180al Azimut directo de la lnea anterior (con lo que se obtiene su Azimut inverso) y aeste resultado se suma el valor del ngulo interior corregido en el vrticecomprendido; matemticamente, lo anterior queda expresado por la expresin (4.80).

Azi= Azi-1+ 180E + Azj (4.80)Donde:

Azi = Azimut directo del isimo lado de la Poligonal, en grados;Azi-1 = Azimut directo del lado isimo-1 de la Poligonal, en grados;Azj = ngulo interior j-simo corregido, comprendido entre los lados i-1 e i, en

grados;

Empleando esta expresin se obtuvieron, para el ejemplo, los azimutes directos de

todos los lados de la Poligonal de la figura 4.7, mismos que se muestran en lacolumna 7 del cuadro 4.5, que es en realidad la continuacin del cuadro 4.4. Con losAzimutes directos de cada uno de los lados y empleando las expresiones 4.80 y 4.81se calculan sus proyecciones sobre las direcciones x y y, mismas que se registran enlas columnas 8, 9, 10 y 11 del mismo cuadro.


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Cuadro 4.5. Proyeccio nes rectang ulares de los lado s de la Pol igonal de la f igura 4.4

para su comp robacin l ineal

(1) (2) (7) (8) (9) (10) (11)

EST. PV Az (Px p) (Px n) (Py p) (Py n) (m) (m) (m) (m)

A B 161 14 081.41961 239.62540

B C 105 33 444.46315 123.67834

C D 004 54 028.72400 335.05100

D E 320 31 131.65987 159.81089

E F 282 23 277.03126 060.82480

F A 217 10 145.92896 192.48673

S U M A S 554.60676 554.62009 555.68669 555.79047

Los Errores en cada una de las direcciones x y y, Ex y Ey, respectivamente, seobtienen del rengln de sumas de las columnas 8 y 9 y, 10 y 11 y empleando lasfrmulas 4.56 y 4.57):

Ex= 554.60676 - 554.62009 = -0.01333Ey= 555.68669 - 555.79047 = -0.10378

y el Error Total se calcula con la frmula (4.23):

22 )10378.0()01333.0( ET

ET= 0.1046325824

08 Capítulo 4 Nociones Básicas de Topografía

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