'#..

EJERCICIOSi. ciifjuiiuai ci vaior oe.

3.

Encontrar el producto y expresar el resultado con exponentes positivos. Suponer que todas las variables son positivas:8)

x" 2 (x"1 +x s n ) a1'3 (a2 -a 2 / 3 )

g) h)

(a-"2 + ""2)2 (x1'4 -x1'2) (x~1/4 f x~l ,

a)b) c) d) e)

361'26251'4 (-a)" ' 100- ' 272'312 1 3

h)) j) k) |)

(-i)"5

o)

[(-9)']" 2

i

b)

(

1 \ ~4/3 -fisj

c)d) ! e) f) ; f!

y- 1/4 ( x '/> + X3 )r2'3 (r2'3 -r1'3) (x1'2 "*" x 1 ' 2 ) 2 (a" 2 - 1 / 2 ) 2

)j) k) 1).,

( K / 3 - x- *'3 ) ( K "/3 y- 1 )(a's +6 1 ' 3 ) 3 (a1'3 61'3)3 (a 1 "-/ 1 '*) 4

P) H-36)2!1'4 q) r) s) . (-125P 1/3 163'4 (-64P2'3 /iV" 4,

I-64)2'3 -(0,16)3'2 0.0274'3 /25\-i/2 -(0,001 6) '3/4

Encontrar el valor numrico de la expresin dada: (/ 2 7 \ - wj*

H PB) 81~3'4

n)

o]" 3 ' 2I

I \ 1 25 /

i

ic) r 3

I V *^23

/3

1

1

2.

Simplificar. (Dar la respuesta nicamente con exponentes positivos. Suponer que todas las variables son positivas) :

i 1i.t

3- -27: ' i-" L 3- + / 9 y./ J^5J

a)b|C

a ' a" 'x2yfl'

28

14

")

,

10-*x-v| X ^ )~~ *'*. ). , . . _ . l . . | y y , , * , g i .n, l i -.

5x> x-aa tt

x

^ ^JJJ J

[ f)

5.

a)

. (x1 +8x +16)i/2 + (x2 -Bx + 16)1'2

Simplificar la expresin:

P, i?nirL&^f\

b) Para qu valores de x es la expresin en la parte (a) equivalente a 2 x ?

d)

3/4

1 J

i*

1

'!'r

e) f)'Mi

x~3'4 x~5/s x"1" Sa~2b~1 c3-j x 6 7

('

x

u7/2

.,4/3 _ 8 \ 1/1 x z \

xo

. - 2- ,iY *

I

/

\ y"1/8 i/z/3 iv"^'3^ /

! j i \ i:

3. OPERACIONES CON RADICALESComo la propiedad distributiva: a (b + c) = a b + a c, o al aplicar la propiedad simtrica de la igualdad a-b+a-c=a-(b + c), se cumple para todo nmero real a, b -y c, entonces se puede aplicar con expresiones que contengan radicales. As: Ejemplo-. a) Efectuar el producto \/3 ' (\/5 + \/7~). Solucin:

g)

y z 7 'f-T/10

t)

l

.

o

3/4

o

, _2

c

l/a._

\

| ^

j4/5 f 1/2

")

^" " *" ' (x4 )"'4 (x4" )4/n , o e Z (a"'3)-1'3 -(a~ 1/a )-", Z*.,33 ..1*2Yfy

I)

vX

)

v).n.X

j)k)

(8 6)- '

r3223 '.

r

W/ .

T^^iSn /X6"

/

/J G /t

j

xi ^v) Vl

x"4^",/

X8"Vl/V

'"ez JOOOO"1*2 _-. 1003-" ' " 6

1)

(~^)l'B

JlO'-")"__ (1000" I"*1

Se aplica la propiedad distributiva: - / / / / r\/3 ' (\/5 + v7 ) - \/3 v^ + \^T ' v/7

4a 2 A" * 2 a~ ^'2 /j3

i

92n 1 3"*1 )n

(81" l)n*] 27 n * 2 ) "^~" ' "

= \flT- 5 + V.3 7

= N/T * -\/21148 147

n)

4a

j)

(3 \/T - 2) (VF + 3)

k)

(4 vf-5 v^") (3\X2~ - 2 \ / 5 )

I)P) q>

(5 v/2 - 4 v/3) (5 \/2~ + 4 v/3)

+c' 2cf>)

b1

y

'

x/

*> yt) 3.

FT2

(3 \/a + + 2 V a - 6 ) (3 v/al^b

-2 \fa-b )

q)r) t>

(3 V3x + 2

- 2 \/3x -2") Js) u) (7 + VT7) (7 - %/T?) (5 %/7 - 3 \/6 ) 2

(4 - Vil") (4 + VT3~) (2 Vi + 3 V5~)2 (-8N/3 -7) (-8\/3 + 7)

)

Los lados de un tringulo miden 4\/9fF'cm, 5\/216 cm y 4 N/486 cm. Encontrar el permetro de! tringulo. Lo lados de un tringulo miden 13 \/45 cm, 9v/8CT cm y 2VJ645 cm. Encontrar el permetro del tringulo. Encontrar el permetro del tringulo:

v) 4.

W c)

Encontrar el cociente y expresar el resultado en la forma ms simple. Todos lo radicandos y las variables representan nmeros positivos:

n;b)

- 21 v/2 ,_^: N/4T

., ij

4 \/2~ - 3 v/35v/3 - 3 \ / 2 2\/2 -3\/T

..

3 s VS" + 9 v/3~r_ V/3

s)h) i)

3 v/2 + 2 \/7"v^ N/F-x/Tv/3jT - v/2x~ ~y Vx" + v/2x -y\/a + b + Va -b v/~+ 6 ~~ v/a -b

,, td) Encontrar el permetro del tringulo:

4 ..... ..-__.. 3-V/2 ^

rf -

' v^ + v^ . r/6" - 32-V6"

i)

5. Encontrar el producto y expresar cada radical en la forma ms simple. Todos (os radicandos y todas las variables representan nmeros positivos: ) c) 3\/2 M - 2 x / 3 ) \/O"(5VT -4\/5"-3\/O")

Racionalizar el denominador:

*) .,Mr,

6 . 3-V/2" 8 . 3+ VS12 \/3 t- 31 1

f) B) h) i) \

22 2v/5^ -3X/2 + 1

b)

(2

y/T)

V2

-1

d

5 \/2~ + 35\/2 - 3 4-5 V2~

itd)

f)

(3 - \/2 ) (2 -

8) i)

(5 - >//") (S f V7) (2 v/3~ + 3 v5")1

v^5-2

7 + 3 V2~ 2 v/T + 3 V2

h)164

(4 \/2 - 5) (4 \/2 + 5)

, , 2 2

155

La desigualdad y = 2x 2 + 5x 3 se satisface para todo valor x de la grfica, cuya ordenada y sea menor o igual que O, o, lo que es lo mismo, est por debajo o coincida con el eje x. En la grfica se destaca con la parte ms 3 oscura. Los x que corresponden a esta parte son x < 1 o x > -z . (Observe que se incluyen los puntos.) Luego, la solucin de la desigualdad es:{* | x< l} u {x | x> | |

La desigualdad y = x 2 + 1 x 6 > O se satisface para todo valor x de la grfica cuya ordenada y sea mayor o igual que O, o, lo que es lo mismo, est por encima o coincida con el eje x. En la grfica se destaca con la parte ms oscura. Los x que corresponden a esta parte son 1 < x < 6. Luego, la solucin de la desigualdad es: {x|Kx O para todo nmero real, entonces La desigualdad y = x 2 + 6a: + 8 < O se satisface para todo valor x de la grfica, cuya ordenada y sea menor que O, o, lo que es lo mismo, est por debajo del eje x. Los x que corresponden a esta parte son 4 < x < 2. Luego, la solucin de la desigualdad es: {x (4 < x < 2} d) Utilizar la grfica de /(*) = x1 + 7 x 6 para determinar los valores de x que cumplan{x|x2 + 4 < 0} = 0 .

Luego X a < 4 no tiene solucin.

x1 + Tx ~6> 0.Solucin: La grfica de f es:

EJERCICIOSPara cada una de las siguientes funciones cuadrticas, trazar la grfica indicando intersecciones con los ejes y vrtice. Decir cul es el dominio y el recorrido:a,)

13 = -4x + x1

a,) ff(x) = x 2 - 6 x + 5 a 4 ) K = - 2 x + x2

a)

aj /"(*)= -2x 3 + 18x + 33x2

a-,) s(x)

+ 18x + 1

aj f(x) = 4x 2 - 1 2 x + 7io) f (x) = -14x - 2 X 1 -23 a, 2 ) / = - 4 2 x - 7 x 2 + 1

a,)a,,)

*1 -30x - 14- 3 x J -16

= -48x - 8 x238

2

+2

814) Ox- -< x + 2

2 ^2

a,,) /?(x) = x 2 - 3a 21 ) /r (x) = 2 -x 2

2

2 - 3 x2 < 5 x- 5 x - 3 x 2 < -2

a 2 ) /(x) = - 3 - x 2 a : 4 ) n (x) = 1 - (x - 1 ) 2a 2 J p (x)

a 2 3 ) m (x) = 9 x j + 12 x + 4 a2) o (x) = 5 - (x + 2) a 2 7 ) -9-12x

x

2

-8x1 42

k)

- 12 x + 302

a 2 8 ) /"(x) = 2x - x

+32

m) x2 + x + 5 < O o)9x + 2< 6xx1 - x < -3J

n)p) r) t)

(x + 2) (x - 6)< 8-2(x+9)z>-16 (3-x)(x-5). O

a 2 9 ) s(x) = x - 2 x

+1

a 3 0 ) r(x) = 4 - 2 x - 3 x

a 3 1 ) u(x) = 12 + 4x - 3 x 2 a 3 3 ) w(x)= 10 - 4 x + 2x a35) x = - 2x 2.2 2

8 3 2 ) y(x) = 16 - 8 x + 3 x 2 a ) 4 ) x = 4 x 2 + 20 x i 5 *.

si

~ fy

+ 4x -2

Resolver: a). La altura en pies de un proyectil r segundos despus de lanzado es h(t)= - 16 f2 + 256 f. 1. 2. b) Cundo es la altura mayor o igual que 16 pies? Cundo es la altura menor o igual que 128 pies?

Resolver los siguientes problemas: a) b) c) De entre todos los nmeros reales cuya suma es 24, encontrar el par cuyo producto sea el mayor posible, Qu nmero excede a su cuadrado en la mayor cantidad posible? Se dispara un proyectil desde un globo, de forma que transcurridos f segundos la altura alcanzada sea de h pies. Si h = - 16 r 2 + 96 f + 256, Encontrar: 1. 3. 4. - d) /) cuando r = O La grfica de la funcin. 2. t cuando /) = O .5.

El producto de dos enteros positivos consecutivos es a lo menos 552. Cul es el menor valor posible del primer entero?

Sin graficar, determinar cuntas veces la grfica de cada funcin interseca el eje x.

La altura mxima alcanzada por el proyectil

a) c)e)

f(x) = 2x 2 + 5 x - 3 h(x)= 2x 2 + 4 x + 2 /(x)= 2xa

b) d)f)

g (x) = 4 x 2 + 20x + 25/(x) = - 3x + 2x + 4m

Supngase que un campo rectangular que est al lado de un ro, hay que cercarlo por sus otros tres lados y se dispone de una longitud de valla de 50 m. 1. 2. 3. Encontrar una funcin cuadrtica que exprese el rea del terreno A correspondiente a la anchura x. Dibujar la grfica de la funcin de la parte (1). En qu punto alcanza f el mximo? Cules la mayor superficie que puede ser cercada?

+ 3x+3

(x) - 4 x J + 5 x - 2

8. RELACIONES CUADRTICAS8.1 FORMULA DE LA DISTANCIA \

_ e)

Un pedazo de alambre de 16 cm de longitud se corta en dos pedazos y cada pedazo se dobla para formar un cuadrado. Si x representa la longitud de uno de los pedazos y A (x) representa la suma de las reas de los dos cuadrados: 1. 2. 3. Escribir una ecuacin para A (x) en trminos dex. Trazar la grfica de la funcin A. Encontrar el valor de x donde A alcanza el valor mnimo. Cul es el valor mnimo de /4?

Recordemos que la distancia entre dos puntos en la recta real es el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas:A*

AB=lab\=\ba\La distancia entre dos puntos que estn en una recta horizontal o vertical en un plano cartesiano se encuentra de manera similar. As:241

240

J316 GEOMETRA PLANA Y DEL ESPACIO i

TRIGONOMETRA (6) Calcular los valores de las expresiones siguientes:0 2 2 1) 5 sen 45 + 8 eos 30

317

(3) Dados los puntos /1(2, 3) y f(1,4) calcular las funciones trigonomtricas de XOA y XOB.1 J _J1.\JMJ.

ft

R.: ^,XOA-3VT* -|T

4VTT vn/XOB >tn .A-Uli

i-o*- / A-O/I ~ i^i/ Z XOA =r). 2 ro / XOA = - . 3

3 COmt

/ xos / A'OS =

VT74 1 . 4

2) 3 sen 30 0 4- 6 eos2 452 2 3) 5 ton 45 4- 2 sec 45 0 4) 4 eos 60 4- 5 esc 30.0 5) 4 eos 30 4- 6 sen 45

R

4412.

R 9

a.

tan XOB

R 2\/3"+ 3V2. R 2V~3~4- 2V2] R 21 4' R 3 4 "

6) 6 ton 302 7) sen 30~|- AW TO

sec /XOA Y 1 3 cw / Fn/ _ V13 3 ' (4) Decir si son correctos o no, /