0701 - Aritmetica - OK

NOCIÓN DE CONJUNTO

Ejemplos

Es la colección o agrupación de objetos, sean éstos, reales oimaginarios, denominándose, elementos del conjunto.Generalmente, a un conjunto se le representa con una letramayúscula y a sus elementos encerrados por signos decolección.

A= {Las vocales}B = {2; 3; 5; 7}C = {Los días de la semana}D = {2; 6; 12; 20; ...; 182}

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

Diagramas de Venn - EulerØ

Son representaciones gráficas de los conjuntosmediante regiones planas limitadas por figurasgeométricas cerradas.

Son representaciones donde se detallan a especificanlos elementos de un conjunto.

B = 2; 3; 5; 7C = x/x N x 8

Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice quepertenece ( ) a este conjunto, en caso contrario, se diráque no pertenece ( ) a dicho conjunto. La relación depertenencia es una relación exclusiva de elemento aconjunto.

En el conjunto: B = {2; 3; 5 ; 7}, se observa que:* 2 B (2 pertenece al conjunto B).* 5 B (5 pertenece al conjunto B).* 4 B (4 no pertenece al conjunto B).* 13 B (13 no pertenece al conjunto B).

Entre Llaves

Ejemplos:

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Ejemplo:

{ }{ Î Ù ³ }

ÎÎÏÏ

LOS CONJUNTOS

La Teoría de Conjuntos, se desarrolla mucho después que la mayoría de los conceptosmatemáticos básicos, sin embargo, es tan valioso su estudio que ha llegado a afectarsignificativamente la estructura y el lenguaje de la matemática moderna.

El hombre desde su aparición tuvo necesidad de agrupar los objetos que lo rodeaban ypudo observar en ellas, ciertas características comunes, que con el transcurso del tiempolos formalizó matemáticamente.

Podemos decir, que todas las ramas de la matemática utilizan estos conceptos básicos, desde laAritmética en elque se considera a los conjuntos de números y las operaciones efectuadas con ellos; en Geometría, en el que setrabaja con el conjunto de puntos que definen diversas figuras y relaciones funcionales; la Teoría deProbabilidades, en el que toda su estructura se basa en los conjuntos; la Estadística que maneja subconjuntosde poblaciones concretas, etc.

En la vida diaria, observamos a los objetos, cosas e ideas en formas individuales, si quisiéramos realizar unestudio de objetos que poseen características comunes, o realizar una estadística de ellos, hay la necesidad deagruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizarlos y relacionarlos con otros grupos de objetoscoleccionados también por otras características comunes.

Las ideas básicas sobre “conjunto” las desarrollaron George Cantor (1845 - 1918) y George Bool (1815 -1864). En la actualidad y en su honor se dice que el Álgebra de Conjuntos es un “Álgebra Booleana”.

Elemento ConjuntoÎÏEn general:

I. E. P. Las Estrellas del FuturoI. E. P. Las Estrellas del Futuro

Una Educación de Calidad es la Base del Éxito. Una Educación de Calidad es la Base del Éxito.

Teoría de Conjuntos

Aritmética - 1º Año Aritmética - 1º Año

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Extensión o forma tabular

Ejemplos:

Comprensión o forma constructiva

Ejemplos:

CARDINALDE UN CONJUNTO

Ejemplos:

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Inclusión

Gráfico:

Se lee:

Ejemplo

Determinar un conjunto es saber indicar con precisiónquiénes o cuáles son los objetos que forman parte de dichoconjunto.

Un conjunto se puede determinar por:

Cuando se indica a cada uno de sus elementos.

B = {2; 3; 5; 7}D = {2; 6; 12; 20; .....; 182}

Cuando se indican las características o propiedadescomunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

A= {Las vocales}C = {Los días de la semana}

Nos indica la cantidad de elementos diferentes que poseeun conjuntoAy se denota: n(A)

* A= {Las vocales} n(A) = 5

Se dice que un conjunto A está incluido en el conjuntoB, si todos los elementos de “A” son también deelementos de “B”.

A B { x A x B}

“Aestá incluido en B”.“B incluye aA”.“Aes subconjunto de B”.

Sean los conjuntos:M = {1; 4; 9; 16}N = {4; 16}R = {1; 4; 5}Se deduce que:* N es subconjunto de M: N M* R no es subconjunto de M: R M

Simbólicamente:

Ì « " Î ® Î

* B = {2; 3; 5; 7} n(B) = 4* C = {8; 8; 9; 9; 9} n(C) = 2

2. Igualdad

Ejemplo:

3. Conjuntos Comparables

Ejemplo:

4. Conjuntos Disjuntos

Ejemplos:

Gráficos:

5. Conjuntos Coordinables o Equipotentes

Simbólicamente:

Dos conjuntos son iguales si el primero está incluido enel segundo y viceversa.

A= B (A B B A)

A= {4x - 1/x 2 < x < 6}B = {19; 11; 15}

Determinando al conjuntoApor extensión:2 < x < 6

3; 4; 5

Luego: 4(3) -1 = 114(4) -1 = 154(5) - 1 = 19

Luego: A= {11; 15; 19}Se observa que: A B B A

Se afirma que dos conjuntos A y B son comparables sisolamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir,o bienA B o B A.

A= {x/x es un mamífero}B = {x/x es un gato}

Sabemos que todo gato es un mamífero; pero no todomamífero es un gato. Luego A y B son comparables,porque: B A A B

Dos conjuntos son disjuntos si no poseen elementos encomún.

H = {x/x es un varón}M = {x/x es una mujer}

Se deduce que H y M son conjuntos disjuntos o ajenos.

Dos conjuntos A y B se afirma que son coordinables oequipotentes cuando se pueda establecer unacorrespondencia uno a uno entre todos los elementos delos conjuntos A y B. A dicha correspondencia se ledenomina biunívoca y como consecuencia de éste setiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales,esto es: n(A) = n (B).

« Ì Ù Ì

ÎZ Ù

Ì Ù Ì

Ì Ù Ë

C = {Lima; Caracas; Bogotá; Santiago}P= {Venezuela; Colombia; Perú; Chile}

Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:

De ahí que C y Pson conjuntos coordinables, además:

n(C) = n(P) = 4

Ejemplo:

Varones

Mujeres

Caracas

Bogotá

Santiago

Venezuela

Colombia

01. Determinar por extensión el conjunto T.T = {2x – 1/x N 2 < x 5}

* Identificamos las expresiones simbólicas:

* Hallamos los valores de “x”.x N 2 < x 5} x = 3 ; 4 y 5

x = 3 2(3) 1 = 5x = 4 2(4) 1 = 7x = 5 2(5) 1 = 9

T = {5 ; 7 ; 9}

Î Ù £

{ Î Ù £ Þ

ÞÞÞ

Resolución:

* Cada elemento se reemplaza en la operación: 2x - 1

02. Determinar por extensión y sumar los elementos de:

R = {x N / x es 5 20 < x < 50}

Interpretando: R está formado por números múltiplosde 5 (5) mayores que 20 y menores que 50.

R = {25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45}

Luego, sumando los elementos: 25 + 30 + 35 + 40 + 45

Resolución:

Rpta.: 175

T = { 2x – 1 / x N 2 < x 5 }Î Ù £

Regla deoperación

Condiciones quereúne la variable “x”

Elementos de T

20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 50

Elementos de “R”

“... es capital de ...”

084 085

Ejercicios Resueltos

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Extensión o forma tabular

Ejemplos:

Comprensión o forma constructiva

Ejemplos:

CARDINALDE UN CONJUNTO

Ejemplos:

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. Inclusión

Gráfico:

Se lee:

Ejemplo

Determinar un conjunto es saber indicar con precisiónquiénes o cuáles son los objetos que forman parte de dichoconjunto.

Un conjunto se puede determinar por:

Cuando se indica a cada uno de sus elementos.

B = {2; 3; 5; 7}D = {2; 6; 12; 20; .....; 182}

Cuando se indican las características o propiedadescomunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

A= {Las vocales}C = {Los días de la semana}

Nos indica la cantidad de elementos diferentes que poseeun conjuntoAy se denota: n(A)

* A= {Las vocales} n(A) = 5

Se dice que un conjunto A está incluido en el conjuntoB, si todos los elementos de “A” son también deelementos de “B”.

A B { x A x B}

“Aestá incluido en B”.“B incluye aA”.“Aes subconjunto de B”.

Sean los conjuntos:M = {1; 4; 9; 16}N = {4; 16}R = {1; 4; 5}Se deduce que:* N es subconjunto de M: N M* R no es subconjunto de M: R M

Simbólicamente:

Ì « " Î ® Î

* B = {2; 3; 5; 7} n(B) = 4* C = {8; 8; 9; 9; 9} n(C) = 2

2. Igualdad

Ejemplo:

3. Conjuntos Comparables

Ejemplo:

4. Conjuntos Disjuntos

Ejemplos:

Gráficos:

5. Conjuntos Coordinables o Equipotentes

Simbólicamente:

Dos conjuntos son iguales si el primero está incluido enel segundo y viceversa.

A= B (A B B A)

A= {4x - 1/x 2 < x < 6}B = {19; 11; 15}

Determinando al conjuntoApor extensión:2 < x < 6

3; 4; 5

Luego: 4(3) -1 = 114(4) -1 = 154(5) - 1 = 19

Luego: A= {11; 15; 19}Se observa que: A B B A

Se afirma que dos conjuntos A y B son comparables sisolamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir,o bienA B o B A.

A= {x/x es un mamífero}B = {x/x es un gato}

Sabemos que todo gato es un mamífero; pero no todomamífero es un gato. Luego A y B son comparables,porque: B A A B

Dos conjuntos son disjuntos si no poseen elementos encomún.

H = {x/x es un varón}M = {x/x es una mujer}

Se deduce que H y M son conjuntos disjuntos o ajenos.

Dos conjuntos A y B se afirma que son coordinables oequipotentes cuando se pueda establecer unacorrespondencia uno a uno entre todos los elementos delos conjuntos A y B. A dicha correspondencia se ledenomina biunívoca y como consecuencia de éste setiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales,esto es: n(A) = n (B).

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Ì Ù Ì

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C = {Lima; Caracas; Bogotá; Santiago}P= {Venezuela; Colombia; Perú; Chile}

Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:

De ahí que C y Pson conjuntos coordinables, además:

n(C) = n(P) = 4

Ejemplo:

Varones

Mujeres

Caracas

Bogotá

Santiago

Venezuela

Colombia

01. Determinar por extensión el conjunto T.T = {2x – 1/x N 2 < x 5}

* Identificamos las expresiones simbólicas:

* Hallamos los valores de “x”.x N 2 < x 5} x = 3 ; 4 y 5

x = 3 2(3) 1 = 5x = 4 2(4) 1 = 7x = 5 2(5) 1 = 9

T = {5 ; 7 ; 9}

Î Ù £

{ Î Ù £ Þ

ÞÞÞ

Resolución:

* Cada elemento se reemplaza en la operación: 2x - 1

02. Determinar por extensión y sumar los elementos de:

R = {x N / x es 5 20 < x < 50}

Interpretando: R está formado por números múltiplosde 5 (5) mayores que 20 y menores que 50.

R = {25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45}

Luego, sumando los elementos: 25 + 30 + 35 + 40 + 45

Resolución:

Rpta.: 175

T = { 2x – 1 / x N 2 < x 5 }Î Ù £

Regla deoperación

Condiciones quereúne la variable “x”

Elementos de T

20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 50

Elementos de “R”

“... es capital de ...”

084 085

x + y = 18 + 6

x + y = 24

03. Hallar: x + y, sabiendo que los conjuntos son iguales:

Si: A= B ; entonces se considera que sus elementos soniguales.

Se forman las ecuaciones:

x – y = 12

Resolución:

04. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto D?

D = {x/x N ; 9 < x 70}

Condición: “Números naturales mayores que 9 ymenores o iguales a 70”.

Utilizamos la fórmula:

n(D) = Último – Primero + 1

n(D) = 70 – 10 + 1

n(D) = 61 elementos

Resolución:

01. Hallar: m n , si:

(3m - 8; 44) = (10; n - 20)

a) 10 b) 8 c) 12d) 16 e) 20

02. Si se cumple que:A= {2m + n; 17}B = {n + 1; 3m - n}son conjuntos unitarios, hallar: m + n

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

03. Si “A” es un conjunto unitario.Hallar: a - b; si:A= {3a - 2b; 25; a + b}a) 1 b) 5 c) 15d) 21 e) 28

04. Dados los conjuntos unitarios:A= {90; a b}B = {23; a + b}Hallar: a - ba) 7 b) 9 c) 13d) 18 e) 27

05. Si los conjuntosAy B son iguales:A = 32; 3 ; B = 81; 2

Hallar: x + ya) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

{ } { }2x 2y + 1

06. Si: A= BAdemás:A= {x + y; 24}B = {40; x - y}Hallar: 2y + xa) 16 b) 27 c) 32d) 36 e) 48

07. Dados los conjuntos igualesA, B y C.Hallar: m + t + s; si: m; t; s .A= {15; 12; 9}B = {2m; m + 3; 15}C = {s + 2; 12; 10 + t}

a) 3 b) 6 c) 9d) 18 e) 23

08. Dados los conjuntos unitarios:

A= {n + m; n + p; 8}B = {m + p; 10}Hallar: m + n - p

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

09. Hallar: b + c - a, sabiendo que los conjuntos A, B y Cson conjuntos iguales:A= {a + 2; 3 - a}B = {a - 1; 6 - a}C = {1; b + c}

a) 2 b) 6 c) 3d) 7 e) 9

10. Sabiendo que los siguientes conjuntos son unitarios.

B = {a b; 128}C = {a + b; 24}

Hallar: a - b, si: a > b

a) 2 b) 4 c) 6d) 12 e) 8

11. Si los conjuntosAy B son iguales y unitarios.Hallar: a + b + c

Si: A= {a + 3; 3b + 1}B = {6c + 1; 8c - 1}

a) 6 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

12. Dados los conjuntos:

A= {x + 19; y + 1}B = {-10; 20}

Si: A= B

Hallar: x + y, si: x ya) 10 b) 11 c) -12d) 12 e) -10

13. Los cardinales de los conjuntos:A ;A ;A ; ........;A son: 1; 2; 3; .....; n y el producto delos cardinales de sus conjuntos potencias es 1024.

Hallar: “n”a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 10

14. Si A y B son dos conjuntos comparables tal que: B Aademás B y C son disjuntos. ¿Cuántos elementos tiene:B - A, si: B C tiene 25 elementos y A C tiene13 elementos?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15. Hallar: m + n, si el conjuntoAes unitario:

A = {m n; 10; m + 2; 3n - 5}

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Ù ÎN

1 2 3 n

16. Si A, B y C son conjuntos unitarios:

A= {a + 4; b - 2; 2a - 4}

Hallar: a + b + c + da) 20 b) 25 c) 30d) 37 e) 12

17. Dados los conjuntos iguales:A= {5; a + b; 3a + 5b}B = {3a - 2b; 19; 4b - a}

Se cumple que: n(A) + n(B) = 4

Hallar: a + b , si “a” y “b” son números naturales.a) 12 b) 13 c) 18d) 15 e) 17

18. Dados los conjuntos iguales:A= {a + 2b; a - b}B = {6; 21}Si: a b NHallar: a b

a) 44 b) 50 c) 45d) 55 e) 70

19. Hallar: x + y , si:

(3x + 2y; 1) = (12; 2x - y)

a) 12 b) 15 c) 23d) 17 e) 24

20. Dados los siguientes conjuntos iguales:A= {a+ 1; a + 2}B = {8 - a; 7 - a}C = {4; b + 2}D = {c + 1; b + 1}Hallar: a + b + ca) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

Ù Î´

b c 3B 3;

+ì ü= -í ý

î þc

C 1; d 43

ì ü= - -í ý

Se igualan

xA 1 ; 12

2ì ü

= +í ýî þ

Resolviendo:

= 10 – 1

x = 2 (9)x = 18Þ

Reemplazando valor de “x”, en:x – y = 12

18 – y = 1218 – 12 = y

6 = yÞ

10 ; 11 ; 12 ; ... ; 69 ; 70

Primero Último123 123

xA 1; 12 ; B 10; x y

2ì ü

= + = -í ýî þ

B = { 10 ; x – y }

086 087

Actividades para la Clase

x + y = 18 + 6

x + y = 24

03. Hallar: x + y, sabiendo que los conjuntos son iguales:

Si: A= B ; entonces se considera que sus elementos soniguales.

Se forman las ecuaciones:

x – y = 12

Resolución:

04. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto D?

D = {x/x N ; 9 < x 70}

Condición: “Números naturales mayores que 9 ymenores o iguales a 70”.

Utilizamos la fórmula:

n(D) = Último – Primero + 1

n(D) = 70 – 10 + 1

n(D) = 61 elementos

Resolución:

01. Hallar: m n , si:

(3m - 8; 44) = (10; n - 20)

a) 10 b) 8 c) 12d) 16 e) 20

02. Si se cumple que:A= {2m + n; 17}B = {n + 1; 3m - n}son conjuntos unitarios, hallar: m + n

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

03. Si “A” es un conjunto unitario.Hallar: a - b; si:A= {3a - 2b; 25; a + b}a) 1 b) 5 c) 15d) 21 e) 28

04. Dados los conjuntos unitarios:A= {90; a b}B = {23; a + b}Hallar: a - ba) 7 b) 9 c) 13d) 18 e) 27

05. Si los conjuntosAy B son iguales:A = 32; 3 ; B = 81; 2

Hallar: x + ya) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

{ } { }2x 2y + 1

06. Si: A= BAdemás:A= {x + y; 24}B = {40; x - y}Hallar: 2y + xa) 16 b) 27 c) 32d) 36 e) 48

07. Dados los conjuntos igualesA, B y C.Hallar: m + t + s; si: m; t; s .A= {15; 12; 9}B = {2m; m + 3; 15}C = {s + 2; 12; 10 + t}

a) 3 b) 6 c) 9d) 18 e) 23

A= {n + m; n + p; 8}B = {m + p; 10}Hallar: m + n - p

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

09. Hallar: b + c - a, sabiendo que los conjuntos A, B y Cson conjuntos iguales:A= {a + 2; 3 - a}B = {a - 1; 6 - a}C = {1; b + c}

a) 2 b) 6 c) 3d) 7 e) 9

10. Sabiendo que los siguientes conjuntos son unitarios.

B = {a b; 128}C = {a + b; 24}

Hallar: a - b, si: a > b

a) 2 b) 4 c) 6d) 12 e) 8

11. Si los conjuntosAy B son iguales y unitarios.Hallar: a + b + c

Si: A= {a + 3; 3b + 1}B = {6c + 1; 8c - 1}

a) 6 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

A= {x + 19; y + 1}B = {-10; 20}

Si: A= B

Hallar: x + y, si: x ya) 10 b) 11 c) -12d) 12 e) -10

13. Los cardinales de los conjuntos:A ;A ;A ; ........;A son: 1; 2; 3; .....; n y el producto delos cardinales de sus conjuntos potencias es 1024.

Hallar: “n”a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 10

14. Si A y B son dos conjuntos comparables tal que: B Aademás B y C son disjuntos. ¿Cuántos elementos tiene:B - A, si: B C tiene 25 elementos y A C tiene13 elementos?a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

15. Hallar: m + n, si el conjuntoAes unitario:

A = {m n; 10; m + 2; 3n - 5}

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Ù ÎN

1 2 3 n

16. Si A, B y C son conjuntos unitarios:

A= {a + 4; b - 2; 2a - 4}

Hallar: a + b + c + da) 20 b) 25 c) 30d) 37 e) 12

17. Dados los conjuntos iguales:A= {5; a + b; 3a + 5b}B = {3a - 2b; 19; 4b - a}

Se cumple que: n(A) + n(B) = 4

Hallar: a + b , si “a” y “b” son números naturales.a) 12 b) 13 c) 18d) 15 e) 17

18. Dados los conjuntos iguales:A= {a + 2b; a - b}B = {6; 21}Si: a b NHallar: a b

a) 44 b) 50 c) 45d) 55 e) 70

19. Hallar: x + y , si:

(3x + 2y; 1) = (12; 2x - y)

a) 12 b) 15 c) 23d) 17 e) 24

20. Dados los siguientes conjuntos iguales:A= {a+ 1; a + 2}B = {8 - a; 7 - a}C = {4; b + 2}D = {c + 1; b + 1}Hallar: a + b + ca) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

Ù Î´

b c 3B 3;

+ì ü= -í ý

î þc

C 1; d 43

ì ü= - -í ý

Se igualan

xA 1 ; 12

2ì ü

= +í ýî þ

Resolviendo:

= 10 – 1

x = 2 (9)x = 18Þ

Reemplazando valor de “x”, en:x – y = 12

18 – y = 1218 – 12 = y

6 = yÞ

10 ; 11 ; 12 ; ... ; 69 ; 70

Primero Último123 123

xA 1; 12 ; B 10; x y

2ì ü

= + = -í ýî þ

B = { 10 ; x – y }

086 087

Actividad Domiciliaria

01. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {15; m - 8}B = {10; p + 11}a) 4 b) 18 c) 22d) 33 e) 25

02. Si: P= Q, hallar: x + yP= {12; 2x + 5}Q = {4y; 21}a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 17

03. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:

A = {a + b; a + 2b - 3; 12}

Hallar: a ba) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 35

04. Dados los conjuntos unitariosAy B.Si: A= {2a + 2; 6}

B = {7; 3b + 1}Hallar: a + b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. Dados los conjuntos unitarios:A= {132; a b}B = {23; a + b}

Hallar: (b - a) , si: b > aa) 1 b) 3 c) 7d) 9 e) 13

06. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {7; m + 3}B = {12; p - 4}a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26

07. Hallar: a + b, sabiendo que los siguientes conjuntos sonunitarios:A= {a + 8; 4a + 26}B = {2b + 1; 3b - 2}a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

08. Sean los conjuntos iguales:

A= {3 ; 83}

B = {3 + 2; 27}

Hallar: a ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

09. Si los conjuntos C y D son iguales:

C = {2 + 1; 242}

D = {3 - 1; 1025}

Hallar la suma de los elementos de:

E = {n/n N y < n < x}

a) 23 b) 24 c) 30d) 22 e) 31

10. Sean los conjuntos:

A= {a + 9; b + 2}B = {-9; 10}Si se sabe que: A= B, hallar: a + ba) 9 b) 12 c) 10d) -9 e) -10

01. Se tienen tres conjuntos, tales que:A= {a + b - 5; -4a; 8}B = {b - 2c - 3; a + 4}C = {a + b + c; a - b}Además: {a; b; c} ; b > 0Si A y B son conjuntos unitarios, determinar porextensión el conjunto C.

a) {-2; -3} b) {-3; -5} c) {-4; -6}d) {-5; 8} e) {7; 8}

02. Dados los conjuntos:A= {8b - 3; 5a + 1}B = {a b + 18; 3b + 5}Se cumple que:A= B, además “a” y “b” son .Calcular: a + b

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

03. Sean los conjuntos unitarios:A= {a + 1; 3a - 1}B = {3x + y; x - y + 8}

Calcular: a + x + y

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

A= {a + b; 2e + d; 10}B = {7; b - d; e + 3}

Hallar: n(C)Si: C = {a; a ; (a + b) ; b; d ; e}

a) 5 b) 3 c) 6d) 2 e) 4

05. SiAy B son dos conjuntos iguales, donde:A= {3n - 8; 223}B = {7; m - 20}Calcular: na) 343 b) 64 c) 216d) 8 e) 125

06. Si los conjuntosAy B son iguales:A= {1024; 625}B = {5 ; 2 }

Además:C = {n+3/y < n < x; n }

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda enlas siguientes proposiciones.I. C A ( )II. C = { } ( )III. A B ( )

a) VVF b) VFV c) FVFd) VVV e) FVV

y - 3 x + 2

07. Si el conjuntoAes unitario.

A = {n + 4; 129; m + 1}

Calcular: m n, considerar “m” y “n” enterospositivos.

a) 15 b) 20 c) 35d) 10 e) 12

08. Si el conjuntoAes unitario donde:

A = {7x + 4y; 108; 6y - 3x}

Calcular la suma de los elementos del conjunto B,considerar que:

B = {2n/x n < y; n }

a) 368 b) 560 c) 420d) 246 e) 360

Además:C = {x /- w x y x N}

Calcular el número de subconjuntos propios que tieneel conjunto C.a) 7 b) 31 c) 63d) 15 e) 18

10. Sean los conjuntos:A= {5n + 2; 2m+n + 3}B = {18; 6m + 3n + 2}C = {2a + b; 21; 4b + a}DondeAy B son iguales y C es unitario.

Calcular: a + b + m + n

a) 20 b) 36 c) 24d) 26 e) 12

w + 2 y

£ Î N

£ £ Ù Î

088 089

Desafío Estrellista

Somos las Estrellas del Futuro

Somos el futuro del Perú

01. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {15; m - 8}B = {10; p + 11}a) 4 b) 18 c) 22d) 33 e) 25

02. Si: P= Q, hallar: x + yP= {12; 2x + 5}Q = {4y; 21}a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 17

03. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:

A = {a + b; a + 2b - 3; 12}

Hallar: a ba) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 35

04. Dados los conjuntos unitariosAy B.Si: A= {2a + 2; 6}

B = {7; 3b + 1}Hallar: a + b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. Dados los conjuntos unitarios:A= {132; a b}B = {23; a + b}

Hallar: (b - a) , si: b > aa) 1 b) 3 c) 7d) 9 e) 13

06. Si los conjuntosAy B son iguales, hallar: m + pA= {7; m + 3}B = {12; p - 4}a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26

07. Hallar: a + b, sabiendo que los siguientes conjuntos sonunitarios:A= {a + 8; 4a + 26}B = {2b + 1; 3b - 2}a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

08. Sean los conjuntos iguales:

A= {3 ; 83}

B = {3 + 2; 27}

Hallar: a ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

09. Si los conjuntos C y D son iguales:

C = {2 + 1; 242}

D = {3 - 1; 1025}

Hallar la suma de los elementos de:

E = {n/n N y < n < x}

a) 23 b) 24 c) 30d) 22 e) 31

A= {a + 9; b + 2}B = {-9; 10}Si se sabe que: A= B, hallar: a + ba) 9 b) 12 c) 10d) -9 e) -10

01. Se tienen tres conjuntos, tales que:A= {a + b - 5; -4a; 8}B = {b - 2c - 3; a + 4}C = {a + b + c; a - b}Además: {a; b; c} ; b > 0Si A y B son conjuntos unitarios, determinar porextensión el conjunto C.

a) {-2; -3} b) {-3; -5} c) {-4; -6}d) {-5; 8} e) {7; 8}

02. Dados los conjuntos:A= {8b - 3; 5a + 1}B = {a b + 18; 3b + 5}Se cumple que:A= B, además “a” y “b” son .Calcular: a + b

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

03. Sean los conjuntos unitarios:A= {a + 1; 3a - 1}B = {3x + y; x - y + 8}

Calcular: a + x + y

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

A= {a + b; 2e + d; 10}B = {7; b - d; e + 3}

Hallar: n(C)Si: C = {a; a ; (a + b) ; b; d ; e}

a) 5 b) 3 c) 6d) 2 e) 4

05. SiAy B son dos conjuntos iguales, donde:A= {3n - 8; 223}B = {7; m - 20}Calcular: na) 343 b) 64 c) 216d) 8 e) 125

Además:C = {n+3/y < n < x; n }

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda enlas siguientes proposiciones.I. C A ( )II. C = { } ( )III. A B ( )

a) VVF b) VFV c) FVFd) VVV e) FVV

y - 3 x + 2

07. Si el conjuntoAes unitario.

A = {n + 4; 129; m + 1}

Calcular: m n, considerar “m” y “n” enterospositivos.

a) 15 b) 20 c) 35d) 10 e) 12

08. Si el conjuntoAes unitario donde:

A = {7x + 4y; 108; 6y - 3x}

Calcular la suma de los elementos del conjunto B,considerar que:

B = {2n/x n < y; n }

a) 368 b) 560 c) 420d) 246 e) 360

Además:C = {x /- w x y x N}

Calcular el número de subconjuntos propios que tieneel conjunto C.a) 7 b) 31 c) 63d) 15 e) 18

10. Sean los conjuntos:A= {5n + 2; 2m+n + 3}B = {18; 6m + 3n + 2}C = {2a + b; 21; 4b + a}DondeAy B son iguales y C es unitario.

Calcular: a + b + m + n

a) 20 b) 36 c) 24d) 26 e) 12

w + 2 y

£ Î N

£ £ Ù Î

088 089

Somos las Estrellas del Futuro

Somos el futuro del Perú

CLASE DE CONJUNTOS

1. Conjunto Finito

Ejemplos:

2. Conjunto Infinito

Ejemplos:

CONJUNTOS ESPECIALES

1. Vacío o Nulo

Ejemplos:

2. Unitario o Singlentón (Singular)

Ejemplos:

Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos termina en algún momento.

* K = los meses del añoK es finito puesto que: n (K) = 12

* L= {x/x es número primo x < 20 }Les finito puesto que: n(L) = 8

Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos no termina nunca.

* Z = {Los números enteros}Z es infinito, pues: n(Z) = ...?

* R = {x/x Q; 6 < x < 7}R es infinito, pues: n(R) = ....?

(Es aquel conjunto que no posee elementos.

S = {x/x Z 2 < x < 3}S = { } =

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

L= {x/x es un satélite natural de la Tierra}L= {La Luna} n (L) = 1Les conjunto unitario.

Î ÙÆ

3. Par ordenado

Se denota:

Ejemplo:

4. Conjunto Universal

Ejemplo:

Gráfico:

Es un conjunto que tiene dos elementos en el cualinteresa el orden de sus elementos, llamados tambiéncomponentes.

(a; b)

Se lee: par ordenado a; b

(7; 13)

Se lee: par ordenado 7; 13

Se cumple: (7; 13) (13; 7)

(7; 13) = (2 - 1; 4 - 3)

Luego:

(a; b) = (c; d) a = c b = d

Es un conjunto referencial que se toma para el estudiode otros conjuntos incluidos en él. No existe unconjunto universal absoluto y se denota generalmentepor U.

G = {los gatos}T = {los tigres}

Los posibles conjuntos universales que contienen alos conjuntos anteriores son:U = {los animales}U = {los felinos}U = {los mamíferos}

Primera componente Segunda componente

5. Conjunto de conjuntos

Ejemplo:

6. Conjunto Potencia

Ejemplos:

PROPIEDADES:

También llamado familia de conjuntos o clase deconjuntos, es aquel conjunto cuyos elementos sontodos conjuntos.

W = {{2}; {3}; {4}; {4; 9}; }

Dado un conjunto A el conjunto potencia de “A” es lafamilia de subconjuntos de “A” y se denota como P(A).

P(A) = {x/x A}

A= {2; 5} n(A) = 2

Subconjunto de “A”: ; {2}; {5};ALuego: P(A) = { ; {2}; {5};A}

Además: n [P(A)] = 2 = 4

Dado el conjunto “A”, se cumple que:

2. Se denomina subconjunto propio de “A” a todosubconjunto de “A” y diferente de “A”.

Para el conjunto: A= {2; 3; 5}

Además: 2 - 1 = 7, es el número de subconjuntospropios.

Ejemplo:

[ ] n(A)n P(A) 2=

01. Dado el siguiente conjunto:

A = {{1}; ; { }; {2; 3}}

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. AII. AIII. { } AIV. {2; 3} P(A)V. { ; { }} P(A)

Æ ÎÆ ËÆ Î

ÎÆ Æ Ì

Resolución:I. A (V)II. A (F)III. { } A (V)IV. {2; 3} P(A) {2; 3} A 2 A (F)

3 A (F)V. { ; { }} P(A) P(A) A (V)

{ } P(A) { } A A (V)

Determinar cómo se relacionan.

Æ ÎÆ ËÆ Î

Î Þ Ì ® Î® Î

Æ Æ Ì Þ ÆÎ ® Æ ÌÞ Æ Î ® Æ Ì ® Æ Î

M = 3; 4; 5; 6; 7; 8

Resolución:Para M, como: x - 1 Z entonces “x” debe ser uncuadrado perfecto mayor que 1; pero: x < 50.

: 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6

Piden: x + 1: 3; 4; 5; 6; 7; 8

Para N, piden:

Dándole la forma a : 2 < n < 13

N = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Luego se observa que: M N

M y N son conjuntos comparables.

( x - 1)V

M { x 1 / x 1 x 50}

2n 1N 2 n 13

+= + - Î Ù <

-ì ü= Î < <í ý

-æ öÎç ÷è ø

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOSCLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

Importante

" Æ Ì

Æ ¹ ÆÆ

A: A (El vacío es subconjunto de todoconjunto).

{ }n{ } = 0

Los gatos Los tigres

1. Número de subconjuntos de A.

Subconjuntos de A

Subconjuntos propios de A

; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; AÆ644444444444444444474444444444444444448

144444444444444444424444444444444444443

Importante

Dado un conjunto A.Número de subconjuntos propios de A.

I. A B P(A) P(B)II. A P(B) A B

Propiedades:Ì « ÌÎ « Ì

n(A)2 1-

son iguales

2(2) 1

- 2(13) 1

1 < < 8,3¢

090 091

CLASE DE CONJUNTOS

1. Conjunto Finito

Ejemplos:

2. Conjunto Infinito

Ejemplos:

CONJUNTOS ESPECIALES

1. Vacío o Nulo

Ejemplos:

2. Unitario o Singlentón (Singular)

Ejemplos:

Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos termina en algún momento.

* K = los meses del añoK es finito puesto que: n (K) = 12

* L= {x/x es número primo x < 20 }Les finito puesto que: n(L) = 8

Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada deelementos, es decir, el proceso de contar sus diferenteselementos no termina nunca.

* Z = {Los números enteros}Z es infinito, pues: n(Z) = ...?

* R = {x/x Q; 6 < x < 7}R es infinito, pues: n(R) = ....?

(Es aquel conjunto que no posee elementos.

S = {x/x Z 2 < x < 3}S = { } =

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

L= {x/x es un satélite natural de la Tierra}L= {La Luna} n (L) = 1Les conjunto unitario.

Î ÙÆ

3. Par ordenado

Se denota:

Ejemplo:

4. Conjunto Universal

Ejemplo:

Gráfico:

Es un conjunto que tiene dos elementos en el cualinteresa el orden de sus elementos, llamados tambiéncomponentes.

(a; b)

Se lee: par ordenado a; b

(7; 13)

Se lee: par ordenado 7; 13

Se cumple: (7; 13) (13; 7)

(7; 13) = (2 - 1; 4 - 3)

Luego:

(a; b) = (c; d) a = c b = d

Es un conjunto referencial que se toma para el estudiode otros conjuntos incluidos en él. No existe unconjunto universal absoluto y se denota generalmentepor U.

G = {los gatos}T = {los tigres}

Los posibles conjuntos universales que contienen alos conjuntos anteriores son:U = {los animales}U = {los felinos}U = {los mamíferos}

Primera componente Segunda componente

5. Conjunto de conjuntos

Ejemplo:

6. Conjunto Potencia

Ejemplos:

PROPIEDADES:

También llamado familia de conjuntos o clase deconjuntos, es aquel conjunto cuyos elementos sontodos conjuntos.

W = {{2}; {3}; {4}; {4; 9}; }

Dado un conjunto A el conjunto potencia de “A” es lafamilia de subconjuntos de “A” y se denota como P(A).

P(A) = {x/x A}

A= {2; 5} n(A) = 2

Subconjunto de “A”: ; {2}; {5};ALuego: P(A) = { ; {2}; {5};A}

Además: n [P(A)] = 2 = 4

Dado el conjunto “A”, se cumple que:

2. Se denomina subconjunto propio de “A” a todosubconjunto de “A” y diferente de “A”.

Para el conjunto: A= {2; 3; 5}

Además: 2 - 1 = 7, es el número de subconjuntospropios.

Ejemplo:

[ ] n(A)n P(A) 2=

01. Dado el siguiente conjunto:

A = {{1}; ; { }; {2; 3}}

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. AII. AIII. { } AIV. {2; 3} P(A)V. { ; { }} P(A)

Æ ÎÆ ËÆ Î

ÎÆ Æ Ì

Resolución:I. A (V)II. A (F)III. { } A (V)IV. {2; 3} P(A) {2; 3} A 2 A (F)

3 A (F)V. { ; { }} P(A) P(A) A (V)

{ } P(A) { } A A (V)

Determinar cómo se relacionan.

Æ ÎÆ ËÆ Î

Î Þ Ì ® Î® Î

Æ Æ Ì Þ ÆÎ ® Æ ÌÞ Æ Î ® Æ Ì ® Æ Î

M = 3; 4; 5; 6; 7; 8

Resolución:Para M, como: x - 1 Z entonces “x” debe ser uncuadrado perfecto mayor que 1; pero: x < 50.

: 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6

Piden: x + 1: 3; 4; 5; 6; 7; 8

Para N, piden:

Dándole la forma a : 2 < n < 13

N = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Luego se observa que: M N

M y N son conjuntos comparables.

( x - 1)V

M { x 1 / x 1 x 50}

2n 1N 2 n 13

+= + - Î Ù <

-ì ü= Î < <í ý

-æ öÎç ÷è ø

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOSCLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

Importante

" Æ Ì

Æ ¹ ÆÆ

A: A (El vacío es subconjunto de todoconjunto).

{ }n{ } = 0

Los gatos Los tigres

1. Número de subconjuntos de A.

Subconjuntos de A

Subconjuntos propios de A

; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; AÆ644444444444444444474444444444444444448

144444444444444444424444444444444444443

Importante

Dado un conjunto A.Número de subconjuntos propios de A.

I. A B P(A) P(B)II. A P(B) A B

Propiedades:Ì « ÌÎ « Ì

n(A)2 1-

son iguales

2(2) 1

- 2(13) 1

1 < < 8,3¢

090 091

03. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. Todo conjunto tiene subconjuntos propios.II. Dos conjuntos diferentes entre sí, siempre son

disjuntos.III. Si: n(A) = 8, entonces: P(A) tiene 255 subconjuntos

propios.IV. Si: n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el conjunto:

[P(A) P(B)] tiene como máximo 12 elementos.

I. FALSO. El conjunto vacío no tiene subconjuntospropios.

II. FALSO. Contraejemplo:A= {5} B = {5; 8} A BA B = {5} Ay B no son disjuntos.

III. VERDADERO. Si: n (A) = 8, entonces:

IV. FALSO. Contraejemplo:A= {1; 7}; B = {2; 3; 5}P(A) = { ; {1} ; {7};A} n [P(A)] = 4P(B) = { ; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5};

{3; 5}; B} n[P(B)] = 8Pero: n[P(A) P(B)] = 11, ya que el vacío ( ) seconsidera una sola vez en la unión.

Ù Þ ¹Ç Þ

Æ ®Æ

®È Æ

Resolución:

04. Sean dos conjuntos comparables cuyos cardinales sonnúmeros que se diferencian en 4, además la diferenciade los cardinales de sus conjuntos potencia es 480.Hallar el número de elementos que posee laintersección.

Sean “A” y “B” los conjuntos comparables:

Se cumple que:

Por dato: n P(B) - n P(A) = 480

n(A B) = n(A)

n(A B) = 5

Resolución:

Gráfico:

[ ] [ ]

01. Si: A= {4; {5}; {4; 5}; 6}

¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 4 A ( ) * {5} A ( )* 5 A ( ) * {7} A ( )* {4} A ( ) * {{5}} A ( )* {4; 5} A ( ) * {{5; 6}} A ( )* {6} A ( ) * A ( )

02. Dado el conjunto B:

B = {5; {3}; 7; {9; 11}; 14}

¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 5 B ( ) * {9; 11} B ( )* {3} B ( ) * {7; 14} B ( )* {5; {3}} B ( ) * {5; 7} B ( )* {{3}} B ( ) * {9; 11} B ( )* B ( ) * B ( )

Î ÎÎ Ë

Ì ÌÎ Ì

Ì Æ Î

Î ÌÌ Ì

Ì ÎÌ Ì

Æ Î Æ Ì

a) 5 b) 7 c) 9d) 6 e) 8

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

03. Determinar por extensión y dar como respuesta la sumade los elementos del conjunto P.

a) 19 b) 24 c) 35d) 21 e) 27

04. Calcular la suma de todos los elementos delconjunto Q, si:

a) 32 b) 64 c) 27d) 28 e) 35

05. Indicar el cardinal del conjunto:

a) 2 b) 7 c) 5d) 9 e) 12

2n 16P n 0 n 5

ì ü-ï ï= Î Ù < £í ý

-ï ïî þ¢

2b 36Q b es impar; 5 b 14

ì ü-ï ï= < <í ý

+ï ïî þ

x 1R x ; x 17

ì ü+ï ï= Î <í ý

ï ïî þ¥

06. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene “M”?

M = {3; 4; 5; ...... ; 19}

a) 1024 b) 2 - 1 c) 2 - 1d) 2 e) 2

07. Si:n[P(A B)] = 4096

n[P(A)] + n[P(B)] = 768

Hallar: n(A B)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

08. De los conjuntos disjuntosAy B se sabe que:n[P(A) P(B)] = 39

Determinar: n(A) + n(B)

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

09. Si: M = {1; 2; 3; ......; 100}N = {x/x es par}

Hallar: n[P(M - N)]a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2

10. Si M y N son dos conjuntos tales que:n(M N) = 12n(M N) = 7n(M) = n(N) + 1¿Cuántos subconjuntos propios tiene: M - N?a) 1 b) 3 c) 7d) 15 e) 31

11. Si: A= x /x - 5x + 6 = 0B = x/x N 3 x < 5C = x-1/x N x < 5

Hallar cuántos subconjuntos tiene:

T = (C - B) A

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 128

12. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjuntoA?

A = {12; 16; 20; ......; 84}

a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2

13. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?

B = {x /x Z ; - 9 < 2 x - 1 < 11}

a) 256 b) 4 c) 32d) 64 e) 512

50 100 23

19 20 30

{ }{ Î Ù £ }{ Î Ù }

14. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?

M = {2; 6; 12; 20; ... ; 110}

a) 2 - 1 b) 1023 c) 2047d) 511 e) 63

15. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de lossiguientes conjuntos respectivamente. Se sabe que:P(A) = 256 subconjuntos.P(B) = 512 subconjuntos.a) 8 y 9 b) 9 y 8 c) 3 y 4d) 4 y 3 e) 2 y 1

16. Dado el conjunto:A = {2; 5; 6; 10}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

* {2} P(A) ( )* 6 P(A) ( )* n [P(A)] = 16 ( )* {5; 6; 10} P(A) ( )* P(A) ( )

a) VFVVF b) VFFVV c) FVVFVd) VFVVV e) FFVVF

17. Considerando que el conjunto A tiene 15 subconjuntospropios. ¿Cuántos elementos tiene el conjuntoA?a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6

18. Determinar cuántos subconjuntos propios tiene:

a) 8 b) 16 c) 32d) 128 e) 64

19. Dado el conjunto:

B = {s; i; e; m; p; r; e; p; r; i; m; e; r; o; s}

Indicar:¿Cuantos elementos tiene el conjunto B?a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) 9

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?a) 127 b) 63 c) 64d) 512 e) 128

a) 127 b) 63 c) 31d) 15 e) 511

20. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:* Si: n (A) = 0; entonces: n[P(A)] = 0 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 2 ( )* Si: n(A) = 3; entonces: n[P(A)] = 6 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 1 ( )a) VVFF b) FVFF c) FVVVd) VFVV e) FVFF

ÎÆ Î

þ ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto B?

82 1 255= - =Nº de subconjuntospropios de “A”.

n(A) < n(B)x x + 4

2 - 2 = 480x + 4 x

2 (2 - 1) = 2 . 15x 4 5

® x = 5

x 5A ; 0 x 12

+ì ü= Î £ £í ý

î þ¥

092 093

03. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. Todo conjunto tiene subconjuntos propios.II. Dos conjuntos diferentes entre sí, siempre son

disjuntos.III. Si: n(A) = 8, entonces: P(A) tiene 255 subconjuntos

propios.IV. Si: n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el conjunto:

[P(A) P(B)] tiene como máximo 12 elementos.

I. FALSO. El conjunto vacío no tiene subconjuntospropios.

II. FALSO. Contraejemplo:A= {5} B = {5; 8} A BA B = {5} Ay B no son disjuntos.

III. VERDADERO. Si: n (A) = 8, entonces:

IV. FALSO. Contraejemplo:A= {1; 7}; B = {2; 3; 5}P(A) = { ; {1} ; {7};A} n [P(A)] = 4P(B) = { ; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5};

{3; 5}; B} n[P(B)] = 8Pero: n[P(A) P(B)] = 11, ya que el vacío ( ) seconsidera una sola vez en la unión.

Ù Þ ¹Ç Þ

Æ ®Æ

®È Æ

Resolución:

04. Sean dos conjuntos comparables cuyos cardinales sonnúmeros que se diferencian en 4, además la diferenciade los cardinales de sus conjuntos potencia es 480.Hallar el número de elementos que posee laintersección.

Sean “A” y “B” los conjuntos comparables:

Se cumple que:

Por dato: n P(B) - n P(A) = 480

n(A B) = n(A)

n(A B) = 5

Resolución:

Gráfico:

[ ] [ ]

01. Si: A= {4; {5}; {4; 5}; 6}

¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 4 A ( ) * {5} A ( )* 5 A ( ) * {7} A ( )* {4} A ( ) * {{5}} A ( )* {4; 5} A ( ) * {{5; 6}} A ( )* {6} A ( ) * A ( )

02. Dado el conjunto B:

B = {5; {3}; 7; {9; 11}; 14}

¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* 5 B ( ) * {9; 11} B ( )* {3} B ( ) * {7; 14} B ( )* {5; {3}} B ( ) * {5; 7} B ( )* {{3}} B ( ) * {9; 11} B ( )* B ( ) * B ( )

Î ÎÎ Ë

Ì ÌÎ Ì

Ì Æ Î

Î ÌÌ Ì

Ì ÎÌ Ì

Æ Î Æ Ì

a) 5 b) 7 c) 9d) 6 e) 8

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

03. Determinar por extensión y dar como respuesta la sumade los elementos del conjunto P.

a) 19 b) 24 c) 35d) 21 e) 27

04. Calcular la suma de todos los elementos delconjunto Q, si:

a) 32 b) 64 c) 27d) 28 e) 35

05. Indicar el cardinal del conjunto:

a) 2 b) 7 c) 5d) 9 e) 12

2n 16P n 0 n 5

ì ü-ï ï= Î Ù < £í ý

-ï ïî þ¢

2b 36Q b es impar; 5 b 14

ì ü-ï ï= < <í ý

+ï ïî þ

x 1R x ; x 17

ì ü+ï ï= Î <í ý

ï ïî þ¥

06. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene “M”?

M = {3; 4; 5; ...... ; 19}

a) 1024 b) 2 - 1 c) 2 - 1d) 2 e) 2

07. Si:n[P(A B)] = 4096

n[P(A)] + n[P(B)] = 768

Hallar: n(A B)

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

08. De los conjuntos disjuntosAy B se sabe que:n[P(A) P(B)] = 39

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

09. Si: M = {1; 2; 3; ......; 100}N = {x/x es par}

Hallar: n[P(M - N)]a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2

10. Si M y N son dos conjuntos tales que:n(M N) = 12n(M N) = 7n(M) = n(N) + 1¿Cuántos subconjuntos propios tiene: M - N?a) 1 b) 3 c) 7d) 15 e) 31

11. Si: A= x /x - 5x + 6 = 0B = x/x N 3 x < 5C = x-1/x N x < 5

Hallar cuántos subconjuntos tiene:

T = (C - B) A

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 128

12. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjuntoA?

A = {12; 16; 20; ......; 84}

a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2

13. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?

B = {x /x Z ; - 9 < 2 x - 1 < 11}

a) 256 b) 4 c) 32d) 64 e) 512

50 100 23

19 20 30

{ }{ Î Ù £ }{ Î Ù }

14. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?

M = {2; 6; 12; 20; ... ; 110}

a) 2 - 1 b) 1023 c) 2047d) 511 e) 63

15. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de lossiguientes conjuntos respectivamente. Se sabe que:P(A) = 256 subconjuntos.P(B) = 512 subconjuntos.a) 8 y 9 b) 9 y 8 c) 3 y 4d) 4 y 3 e) 2 y 1

16. Dado el conjunto:A = {2; 5; 6; 10}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

* {2} P(A) ( )* 6 P(A) ( )* n [P(A)] = 16 ( )* {5; 6; 10} P(A) ( )* P(A) ( )

a) VFVVF b) VFFVV c) FVVFVd) VFVVV e) FFVVF

17. Considerando que el conjunto A tiene 15 subconjuntospropios. ¿Cuántos elementos tiene el conjuntoA?a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6

18. Determinar cuántos subconjuntos propios tiene:

a) 8 b) 16 c) 32d) 128 e) 64

19. Dado el conjunto:

B = {s; i; e; m; p; r; e; p; r; i; m; e; r; o; s}

Indicar:¿Cuantos elementos tiene el conjunto B?a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) 9

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto B?a) 127 b) 63 c) 64d) 512 e) 128

a) 127 b) 63 c) 31d) 15 e) 511

20. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:* Si: n (A) = 0; entonces: n[P(A)] = 0 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 2 ( )* Si: n(A) = 3; entonces: n[P(A)] = 6 ( )* Si: n(A) = 1; entonces: n [P(A)] = 1 ( )a) VVFF b) FVFF c) FVVVd) VFVV e) FVFF

ÎÆ Î

þ ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto B?

82 1 255= - =Nº de subconjuntospropios de “A”.

n(A) < n(B)x x + 4

2 - 2 = 480x + 4 x

2 (2 - 1) = 2 . 15x 4 5

® x = 5

x 5A ; 0 x 12

+ì ü= Î £ £í ý

î þ¥

092 093

01. Dado el siguiente conjunto: P= {5; 3; 2; 9}¿Cuántos proposiciones son falsas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* S P ( )* {9} P ( )* {2; 9; 5} P ( )* {3} P ( )* {3; 2} P ( )* 9 P ( )* 2 P ( )* {5; 2} P ( )* 3 P ( )

02. Hallar: n(A) + n(B) + n(A) n(B)Si:

A= {x/x ; 7 x < 15}

B = {x/x ; 3 x 10}

ÌÌÎ

ÎN £ÎN £ £

a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 3

a) 80 b) 70 c) 48d) 90 e) 120

03. Determinar por extensión el siguiente conjunto:

M = {2x/x N; 4 < x < 7}

Hallar la suma de sus elementos.a) 32 b) 22 c) 34d) 42 e) 44

04. Hallar: n(B), si:

B = {5; 7; 9; 11; .........; 33}

a) 28 b) 14 c) 15d) 17 e) 32

A= {4; 8; 12; 16; .....; 80}B = {3; 6; 9; .......; 72}

Hallar: n(A) + n(B)

a) 20 b) 24 c) 44d) 26 e) 32

06. Si: n[P(A)] representa el número de elementos delconjunto potencia deA.Hallar: n(A) n(B)Si: P(A) = 128; P(B) = 512

a) 63 b) 72 c) 56d) 45 e) 80

07. Hallar el número de subconjuntos que tiene:

R = {12; 5; {5}; 12; {12}; 12}

a) 16 b) 64 c) 32d) 8 e) 128

08. Hallar el número de subconjuntos propios que tiene:

B = {s; u; p; e; r; a; c; i; o; n}

a) 2 - 1 b) 1024 c) 1023d) 2 - 1 e) 2048

09. Determinar la suma de los elementos del siguienteconjunto:

D = {n - 4/n Z; 3 n < 6}

a) 24 b) 37 c) 31d) 42 e) 38

10. De los conjuntosAy B se sabe que:

n[P(A) P(B)] = 39

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

01. Si: A y B son dos conjuntos comparables y diferentesdel vacío, además:

n[P(A) - P(B)] = 896

Hallar: n(A B)È

a) 14 b) 13 c) 12d) 10 e) 11

02. Si: n(M N) = 63n [P(M N)] = 1024n(M N) = 3

Hallar el máximo número de elementos de: P(M).

a) 128 b) 256 c) 512d) 1024 e) 16

03. Calcular la suma del máximo y mínimo cardinal de(A B), sabiendo que:

n(A) = 5n(B) = 7

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

04. Dados los conjuntosAy B, se sabe que:

n P(A) - n [P(B)] = 244n [P(A B)] = 1

Calcular: n [P(B -A)]

a) 2 b) 4 c) 16d) 32 e) 64

05. Si de una lista de 5 entrenadores se debe formar uncomando técnico integrado por lo menos por2 personas. ¿Cuántas posibilidades se tienen?a) 25 b) 27 c) 29d) 26 e) 28

06. ¿Cuántos subconjuntos ternarios se podrían obtenercon los días de la semana?a) 30 b) 36 c) 40d) 35 e) 42

07. SiA, B y C son conjuntos, tales que:n(A) = 45n(B) = 80n[P(C)] = 256

n [P(A B C)] = 32

n [(A B) - C] = 20

Calcular el número de elementos que tiene:A Ba) 60 b) 75 c) 8d) 65 e) 70

Ç ÇÇ

Calcular: n P (A B) - (B A)

a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2

Calcular: n(A) + n(B) + n(C)

a) 29 b) 16 c) 19d) 18 e) 31

10. Sabiendo que:n(U) = n (A B C) = 28n(A) = 17n(B) = 20n(C) = 20n[(A B) - C] = 5n[(A C) - B] = 4n[(B C) -A] = 6

Calcular:

n[(A B C ) (B A C ) (C A B )]

a) 6 b) 9 c) 5d) 8 e) 7

{ }[ ´ ´ ]

ÇÇÇ

Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢

20 7 28

23x 1A x x 19

5++ì ü= Î Ù £í ý

î þ¢

3x 1B x x 19

5+ ++ì ü= Î Î Ù £í ý

î þ¢ ¢

3x 1C 1 x 19

5++ì ü= Î £ £í ý

î þ¢

{ }A x es impar / 6 x 11= < £

3x 1B Z 0 x 7

-ì ü= Î < <í ý

094 095

Desafío EstrellistaLas Estrellas

de Futuro:

Educación al servicio

de los jóvenes del Perú.

01. Dado el siguiente conjunto: P= {5; 3; 2; 9}¿Cuántos proposiciones son falsas? Sugerencia:Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.* S P ( )* {9} P ( )* {2; 9; 5} P ( )* {3} P ( )* {3; 2} P ( )* 9 P ( )* 2 P ( )* {5; 2} P ( )* 3 P ( )

02. Hallar: n(A) + n(B) + n(A) n(B)Si:

A= {x/x ; 7 x < 15}

B = {x/x ; 3 x 10}

ÌÌÎ

ÎN £ÎN £ £

a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 3

a) 80 b) 70 c) 48d) 90 e) 120

03. Determinar por extensión el siguiente conjunto:

M = {2x/x N; 4 < x < 7}

Hallar la suma de sus elementos.a) 32 b) 22 c) 34d) 42 e) 44

04. Hallar: n(B), si:

B = {5; 7; 9; 11; .........; 33}

a) 28 b) 14 c) 15d) 17 e) 32

A= {4; 8; 12; 16; .....; 80}B = {3; 6; 9; .......; 72}

Hallar: n(A) + n(B)

a) 20 b) 24 c) 44d) 26 e) 32

06. Si: n[P(A)] representa el número de elementos delconjunto potencia deA.Hallar: n(A) n(B)Si: P(A) = 128; P(B) = 512

a) 63 b) 72 c) 56d) 45 e) 80

07. Hallar el número de subconjuntos que tiene:

R = {12; 5; {5}; 12; {12}; 12}

a) 16 b) 64 c) 32d) 8 e) 128

08. Hallar el número de subconjuntos propios que tiene:

B = {s; u; p; e; r; a; c; i; o; n}

a) 2 - 1 b) 1024 c) 1023d) 2 - 1 e) 2048

09. Determinar la suma de los elementos del siguienteconjunto:

D = {n - 4/n Z; 3 n < 6}

a) 24 b) 37 c) 31d) 42 e) 38

10. De los conjuntosAy B se sabe que:

n[P(A) P(B)] = 39

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

01. Si: A y B son dos conjuntos comparables y diferentesdel vacío, además:

n[P(A) - P(B)] = 896

Hallar: n(A B)È

a) 14 b) 13 c) 12d) 10 e) 11

02. Si: n(M N) = 63n [P(M N)] = 1024n(M N) = 3

Hallar el máximo número de elementos de: P(M).

a) 128 b) 256 c) 512d) 1024 e) 16

03. Calcular la suma del máximo y mínimo cardinal de(A B), sabiendo que:

n(A) = 5n(B) = 7

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

04. Dados los conjuntosAy B, se sabe que:

n P(A) - n [P(B)] = 244n [P(A B)] = 1

Calcular: n [P(B -A)]

a) 2 b) 4 c) 16d) 32 e) 64

05. Si de una lista de 5 entrenadores se debe formar uncomando técnico integrado por lo menos por2 personas. ¿Cuántas posibilidades se tienen?a) 25 b) 27 c) 29d) 26 e) 28

06. ¿Cuántos subconjuntos ternarios se podrían obtenercon los días de la semana?a) 30 b) 36 c) 40d) 35 e) 42

07. SiA, B y C son conjuntos, tales que:n(A) = 45n(B) = 80n[P(C)] = 256

n [P(A B C)] = 32

n [(A B) - C] = 20

Calcular el número de elementos que tiene:A Ba) 60 b) 75 c) 8d) 65 e) 70

Ç ÇÇ

Calcular: n P (A B) - (B A)

a) 2 b) 2 c) 2d) 2 e) 2

Calcular: n(A) + n(B) + n(C)

a) 29 b) 16 c) 19d) 18 e) 31

10. Sabiendo que:n(U) = n (A B C) = 28n(A) = 17n(B) = 20n(C) = 20n[(A B) - C] = 5n[(A C) - B] = 4n[(B C) -A] = 6

Calcular:

n[(A B C ) (B A C ) (C A B )]

a) 6 b) 9 c) 5d) 8 e) 7

{ }[ ´ ´ ]

ÇÇÇ

Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢ È Ç ¢ Ç ¢

20 7 28

23x 1A x x 19

5++ì ü= Î Ù £í ý

î þ¢

3x 1B x x 19

5+ ++ì ü= Î Î Ù £í ý

î þ¢ ¢

3x 1C 1 x 19

5++ì ü= Î £ £í ý

î þ¢

{ }A x es impar / 6 x 11= < £

3x 1B Z 0 x 7

-ì ü= Î < <í ý

094 095

Desafío EstrellistaLas Estrellas

de Futuro:

Educación al servicio

de los jóvenes del Perú.

* A U =A* A =

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es elconjunto formado por los elementos de “A” que nopertenecen a “B”.

A - B = {x/x A x B}

De los conjuntos anteriores:

* A:A - =A* A: -A=

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es elconjunto formado por los elementos de “A” o “B” pero noambos a la vez.

A B = (A - B) (B - A)

A B = (A B) - (A B)

Consecuencia:

DIFERENCIA

Ejemplos:

Consecuencia:

DIFERENCIASIMÉTRICA

ÇÇ Æ Æ

Î Ù Ï

" Æ" Æ Æ

D È Ç

A C = {1; 2; 3} = AÇ

Si: A C A C = AÌ ® Ç

A B B D

A B = {1; 3}- B D = {2; 5} = B-

A - C = { } = Æ

Si: A C A C =Ì ® - Æ

Si B y D son disjuntos.B D = B® -

UNIÓN

Ejemplos:

Consecuencia:

INTERSECCIÓN

Ejemplos:

È Î Ú Î

Ç Î Ù Î

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado porlos elementos de “A” con los elementos de “B”.

A B = {x/x A x B}

A= {1; 2; 3}B = {2; 5}C = {1; 2; 3; 4}D = {3; 7}

* A U = U* A=A* n(A B) = n(A) + n(B) “A” y “B” son disjuntos.

La intersección de los conjuntos A y B es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a losdos conjuntos a la vez.

A B = {x/x A x B}

A B B D

A B = {1; 2; 3; 5}È B D = {2; 5; 3; 7}È

A C = {1; 2; 3; 4} = CÈ

Si: A C A C = CÌ ® È

Ejemplos:

Consecuencia:

COMPLEMENTO

Ejemplos:

* n(A B) = n(A B) - n(A B)

El complemento de un conjunto “A” es el conjuntoformado por los elementos que no pertenecen a “A”.

= A = C(A) = A = {x/x A}

Considerando el conjunto universal:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Para los conjuntos anteriores:

D È Ç

CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplos:

Gráficos:

PROPIEDADES:

LEYES DE ÁLGEBRADE CONJUNTOS

a. Idempotencia

b. Asociativa

c. Morgan

d. Absorción

e. Conmutativa

f. Distributiva

g. Del Complemento

h. Adicionales

(A B)´

´ Î Ù Ï

´ ¹ ´ « ¹´ ´ «

´ ´ ´

È È È ÈÇ Ç Ç Ç

È ¢ ¢ Ç ¢Ç ¢ ¢ È ¢

È ÇÇ ÈÈ ¢ Ç ÈÇ ¢ È Ç

È ÈÇ ÇD D

Ç È Ç È ÇÈ Ç È Ç È

È ¢Ç ¢ Æ¢ ¢

Ç ¢¢ Æ Æ ¢

Dados los conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto(A B) es aquel conjunto cuyos elementos son todos lospares ordenados, donde las primeras componentespertenecen al conjunto A y las segundas pertenecen alconjunto B.

A B = {(a; b)/a A b B}

De los conjuntos anteriores:A B = {(1; 2);(1; 5);(2; 2);(2; 5);(3; 2);(3; 5)}B A= {(2; 1);(2; 2);(2; 3);(5; 1);(5; 2);(5; 3)}

I. A B B A A BII. A B = B A A= BIII. n(A B) = n(B A) = n(A) n(B)

A A=AA A=A

A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

(A B) =A B(A B) =A B

A (A B) =AA (A B) =AA (A B) =A BA (A B) =A B

A B = B AA B = B AA B = B A

A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

A A = UA A =(A ) =A

A- B =A B(U) = ( ) = U

A B B D

A B = {1; 3; 5}D B D = {2; 5; 3; 7} = B DD È

A C = {4} = C - AD

Si: A C A C = C- AÌ ® D

Si: B y D son conjuntosdisjuntos.

B D = B D® D È

OPERACIONES CON CONJUNTOSOPERACIONES CON CONJUNTOS

Observamos:A y C son comparables, B y D son disjuntos.

Si: “B” y “D” sondisjuntos.

B D =® Ç Æ

B D = { } =Ç Æ

A B = {2}Ç

(1; 5) (2; 5) (3; 5)

(1; 2) (2; 2) (3; 2)

a. En el gráfico sagital. b. En el plano cartesiano.

A B B D

A = {4; 5; 6; 7}¢ B = {1; 3; 4; 6; 7} D B¢ ® Ì ¢

A = {4, 5; 6; 7}¢

Si: A C C AÌ ® ¢ Ì ¢

Si: B y D son conjuntosdisjuntos

D B® Ì ¢

096 097

* A U =A* A =

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es elconjunto formado por los elementos de “A” que nopertenecen a “B”.

A - B = {x/x A x B}

* A:A - =A* A: -A=

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es elconjunto formado por los elementos de “A” o “B” pero noambos a la vez.

A B = (A - B) (B - A)

A B = (A B) - (A B)

Consecuencia:

DIFERENCIA

Ejemplos:

Consecuencia:

DIFERENCIASIMÉTRICA

ÇÇ Æ Æ

Î Ù Ï

" Æ" Æ Æ

D È Ç

A C = {1; 2; 3} = AÇ

Si: A C A C = AÌ ® Ç

A B B D

A B = {1; 3}- B D = {2; 5} = B-

A - C = { } = Æ

Si: A C A C =Ì ® - Æ

Si B y D son disjuntos.B D = B® -

UNIÓN

Ejemplos:

Consecuencia:

INTERSECCIÓN

Ejemplos:

È Î Ú Î

Ç Î Ù Î

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado porlos elementos de “A” con los elementos de “B”.

A B = {x/x A x B}

A= {1; 2; 3}B = {2; 5}C = {1; 2; 3; 4}D = {3; 7}

* A U = U* A=A* n(A B) = n(A) + n(B) “A” y “B” son disjuntos.

La intersección de los conjuntos A y B es el conjuntoformado por los elementos que pertenecen a losdos conjuntos a la vez.

A B = {x/x A x B}

A B B D

A B = {1; 2; 3; 5}È B D = {2; 5; 3; 7}È

A C = {1; 2; 3; 4} = CÈ

Si: A C A C = CÌ ® È

Ejemplos:

Consecuencia:

COMPLEMENTO

Ejemplos:

* n(A B) = n(A B) - n(A B)

El complemento de un conjunto “A” es el conjuntoformado por los elementos que no pertenecen a “A”.

= A = C(A) = A = {x/x A}

Considerando el conjunto universal:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Para los conjuntos anteriores:

D È Ç

CONJUNTO PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplos:

Gráficos:

PROPIEDADES:

LEYES DE ÁLGEBRADE CONJUNTOS

a. Idempotencia

b. Asociativa

c. Morgan

d. Absorción

e. Conmutativa

f. Distributiva

g. Del Complemento

h. Adicionales

(A B)´

´ Î Ù Ï

´ ¹ ´ « ¹´ ´ «

´ ´ ´

È È È ÈÇ Ç Ç Ç

È ¢ ¢ Ç ¢Ç ¢ ¢ È ¢

È ÇÇ ÈÈ ¢ Ç ÈÇ ¢ È Ç

È ÈÇ ÇD D

Ç È Ç È ÇÈ Ç È Ç È

È ¢Ç ¢ Æ¢ ¢

Ç ¢¢ Æ Æ ¢

Dados los conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto(A B) es aquel conjunto cuyos elementos son todos lospares ordenados, donde las primeras componentespertenecen al conjunto A y las segundas pertenecen alconjunto B.

A B = {(a; b)/a A b B}

De los conjuntos anteriores:A B = {(1; 2);(1; 5);(2; 2);(2; 5);(3; 2);(3; 5)}B A= {(2; 1);(2; 2);(2; 3);(5; 1);(5; 2);(5; 3)}

I. A B B A A BII. A B = B A A= BIII. n(A B) = n(B A) = n(A) n(B)

A A=AA A=A

A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

(A B) =A B(A B) =A B

A (A B) =AA (A B) =AA (A B) =A BA (A B) =A B

A B = B AA B = B AA B = B A

A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

A A = UA A =(A ) =A

A- B =A B(U) = ( ) = U

A B B D

A B = {1; 3; 5}D B D = {2; 5; 3; 7} = B DD È

A C = {4} = C - AD

Si: A C A C = C- AÌ ® D

Si: B y D son conjuntosdisjuntos.

B D = B D® D È

OPERACIONES CON CONJUNTOSOPERACIONES CON CONJUNTOS

Observamos:A y C son comparables, B y D son disjuntos.

Si: “B” y “D” sondisjuntos.

B D =® Ç Æ

B D = { } =Ç Æ

A B = {2}Ç

(1; 5) (2; 5) (3; 5)

(1; 2) (2; 2) (3; 2)

a. En el gráfico sagital. b. En el plano cartesiano.

A B B D

A = {4; 5; 6; 7}¢ B = {1; 3; 4; 6; 7} D B¢ ® Ì ¢

A = {4, 5; 6; 7}¢

Si: A C C AÌ ® ¢ Ì ¢

Si: B y D son conjuntosdisjuntos

D B® Ì ¢

096 097

01. Si: H = {x/x es un hombre}C = {x/x es una persona casada}E = {x/x es una persona europea}

Expresar simbólicamente el conjunto de “mujereseuropeas y solteras”.

De los conjuntos: H = {x/x es una mujer}C = {x/x es una persona soltera}

Del texto dado:H E C H C E (H C) E

02. De los conjuntos comparables A y B, de losequipotentesAy C, se sabe que:

* n[P(B C) -A] = 4* n(B) - n(A) = n(C)* n[P(A B)] = 64

Calcular: n[B - (A C)]

Piden: n(R) = n(B) - n(A) - n(x)

* n P(A B) = 2 = 64 = 2 n(A) = 6

* n(B) = n(A) + n(C) = 6 + 6 n(B) = 12

* n P (B C) -A = 2 = 4 = 2 n(x) = 2

Entonces: n(R) = 12 - 6 -2

n(R) = 4

Resolución:

Resolución

Gráfico:

¢ Ç Ç ¢ º ¢ Ç ¢ Ç º È ¢ Ç

[ Ç ] ®

{ [ Ç ]} ®

n(A) 6

n(x) 2

03. Siendo los conjuntos:A= {1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9}B = {2 ; 3 ; 6 ; 7}C = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

¿Cuáles son los elementos que deben estar en la partesombreada del diagrama?

Observamos que al colocar cada elemento de losconjuntos, la parte sombreada corresponde aA B.

A= { 1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9 }B = { 2 ; 3 ; 6 ; 7 }C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }

Completando elementos en el gráfico, obtenemos queen la parte sombreada se ubican 2 y 7.

04. En el diagrama que se muestra, sombrear la región quecorresponde al conjunto:

* Numeramos cada región en el diagrama dado:

Resolución:

È(C –A) (B – C)

01. Si: B A ; C A

Además:* A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}* A- B = {4; 5; 6}* C = {1; 3; 5}Determinar: B C

a) {1; 2; 4} b) {1, 3} c) {5}d) {2; 4; 6} e) {1; 2; 3}

02. Hallar el número de elementos de:(S R) T

Si:S = {0; 1; 2; 3}R = {2; 3; 4}T = {0; 4; 5; 6}

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

Determinar: (P Q) - (P Q)

a) {1; 3; 4} b) c)

d) e) {1; 2; 3}

U = {x/x Z -4 x 6}A= {2x - 9/x N 3 x 8}B = {3x+1/x -1 x 2}Hallar el número de elementos de: (A B)

Î Ù £ £Î Ù £ £Î Z Ù £ £

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A= {1; 3; 5}B = {2; 4; 6}C = {1; 4}

Determinar: (A C) Ba) {1; 2; 4; 6} b) c) Ud) {2; 4; 6} e) {1; 3}

06. Si:

U = {x/x N; x < 10}A= {1; 3; 4; 5}B = {3; 5; 7; 9}

C = {x /x U}

Determinar:

I. A C

II. (A- B) (B C)

a) {0; 2; 9} y {0; 3}b) {0; 9} y {0; 3; 5}c) {0; 9} y {0; 3; 5; 7; 9}d) {0; 2; 9} y {0; 1; 3; 5}e) {0; 2} y {0; 1; 2; 5}

07. Sean los conjuntos:S = {2; 4; 6}T = {1; 2; 6}R = {1; 3; 4; 6}

Determinar: S (R - T)

a) {2; 3; 4; 6} b) {3; 4; 6} c) {2}d) {1; 4; 6} e) {1; 3}

08. Sean los conjuntos:A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 4; 6; 8}C = {1; 2; 4; 8; 16; 32}

Determinar: (A B) - (B C)

a) {1; 2} b) {1; 2; 3; 4} c) {2; 4; 6; 8}d) {2; 4} e) {1; 3}

È ¢ ÇÆ

¢ Ç¢ Ç È

(B C) - A = xÇB - (A C) = RÈ

iguales por serequipotentes

• 8 • 9

• 1• 7 • 2

• 5• 3• 6

• 5 • 6• 4

• 1 • 2 • 3

* Hallamos las regiones que corresponden a laoperación:

Si: A= {1 ; 2 ; 4 ; 5}B = {2 ; 3 ; 5 ; 6}C = {4 ; 5 ; 6 , 7}

{6 ; 7} {2 ; 3}{2 ; 3 ; 6 ; 7}

(C –A) (B – C)

(C – A) (B – C)

Luego, en el gráfico sombreamos:

• 5 • 6• 4

• 1 • 2 • 3

1 1P 2 ; ; 3 ;

2 3ì ü

= í ýî þ

1Q x ; x 4

xì ü

= Î <í ýî þ

2 3ì üí ýî þ

11; ; 2

2ì üí ýî þ

12 ; ; 3

2ì üí ýî þ

098 099

Conocimiento más carácter,el objetivo de toda buena educación.

01. Si: H = {x/x es un hombre}C = {x/x es una persona casada}E = {x/x es una persona europea}

Expresar simbólicamente el conjunto de “mujereseuropeas y solteras”.

De los conjuntos: H = {x/x es una mujer}C = {x/x es una persona soltera}

Del texto dado:H E C H C E (H C) E

02. De los conjuntos comparables A y B, de losequipotentesAy C, se sabe que:

* n[P(B C) -A] = 4* n(B) - n(A) = n(C)* n[P(A B)] = 64

Calcular: n[B - (A C)]

Piden: n(R) = n(B) - n(A) - n(x)

* n P(A B) = 2 = 64 = 2 n(A) = 6

* n(B) = n(A) + n(C) = 6 + 6 n(B) = 12

* n P (B C) -A = 2 = 4 = 2 n(x) = 2

Entonces: n(R) = 12 - 6 -2

n(R) = 4

Resolución:

Resolución

Gráfico:

¢ Ç Ç ¢ º ¢ Ç ¢ Ç º È ¢ Ç

[ Ç ] ®

{ [ Ç ]} ®

n(A) 6

n(x) 2

03. Siendo los conjuntos:A= {1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9}B = {2 ; 3 ; 6 ; 7}C = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

¿Cuáles son los elementos que deben estar en la partesombreada del diagrama?

Observamos que al colocar cada elemento de losconjuntos, la parte sombreada corresponde aA B.

A= { 1 ; 2 ; 7 ; 8 ; 9 }B = { 2 ; 3 ; 6 ; 7 }C = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }

Completando elementos en el gráfico, obtenemos queen la parte sombreada se ubican 2 y 7.

04. En el diagrama que se muestra, sombrear la región quecorresponde al conjunto:

* Numeramos cada región en el diagrama dado:

Resolución:

È(C –A) (B – C)

01. Si: B A ; C A

Además:* A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}* A- B = {4; 5; 6}* C = {1; 3; 5}Determinar: B C

a) {1; 2; 4} b) {1, 3} c) {5}d) {2; 4; 6} e) {1; 2; 3}

02. Hallar el número de elementos de:(S R) T

Si:S = {0; 1; 2; 3}R = {2; 3; 4}T = {0; 4; 5; 6}

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

Determinar: (P Q) - (P Q)

a) {1; 3; 4} b) c)

d) e) {1; 2; 3}

U = {x/x Z -4 x 6}A= {2x - 9/x N 3 x 8}B = {3x+1/x -1 x 2}Hallar el número de elementos de: (A B)

Î Ù £ £Î Ù £ £Î Z Ù £ £

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A= {1; 3; 5}B = {2; 4; 6}C = {1; 4}

Determinar: (A C) Ba) {1; 2; 4; 6} b) c) Ud) {2; 4; 6} e) {1; 3}

06. Si:

U = {x/x N; x < 10}A= {1; 3; 4; 5}B = {3; 5; 7; 9}

C = {x /x U}

Determinar:

I. A C

II. (A- B) (B C)

a) {0; 2; 9} y {0; 3}b) {0; 9} y {0; 3; 5}c) {0; 9} y {0; 3; 5; 7; 9}d) {0; 2; 9} y {0; 1; 3; 5}e) {0; 2} y {0; 1; 2; 5}

Determinar: S (R - T)

a) {2; 3; 4; 6} b) {3; 4; 6} c) {2}d) {1; 4; 6} e) {1; 3}

08. Sean los conjuntos:A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 4; 6; 8}C = {1; 2; 4; 8; 16; 32}

Determinar: (A B) - (B C)

a) {1; 2} b) {1; 2; 3; 4} c) {2; 4; 6; 8}d) {2; 4} e) {1; 3}

È ¢ ÇÆ

¢ Ç¢ Ç È

(B C) - A = xÇB - (A C) = RÈ

iguales por serequipotentes

• 8 • 9

• 1• 7 • 2

• 5• 3• 6

• 5 • 6• 4

• 1 • 2 • 3

* Hallamos las regiones que corresponden a laoperación:

Si: A= {1 ; 2 ; 4 ; 5}B = {2 ; 3 ; 5 ; 6}C = {4 ; 5 ; 6 , 7}

{6 ; 7} {2 ; 3}{2 ; 3 ; 6 ; 7}

(C –A) (B – C)

(C – A) (B – C)

Luego, en el gráfico sombreamos:

• 5 • 6• 4

• 1 • 2 • 3

1 1P 2 ; ; 3 ;

2 3ì ü

= í ýî þ

1Q x ; x 4

xì ü

= Î <í ýî þ

2 3ì üí ýî þ

11; ; 2

2ì üí ýî þ

12 ; ; 3

2ì üí ýî þ

098 099

Conocimiento más carácter,el objetivo de toda buena educación.

Actividad Domiciliaria09. Dados los conjuntos:

M = {x/x N ; 0 < x < 6}

P= {x/x N ; 3 < x < 10}

Q = {x/x N ; 7 x 14}R = {12; 13; 14}

Determinar: (Q R) - (P Q)] [(P- Q) R

a) {1; 2; 3; 10; 11}b) {1; 2; 4; 5}

c)d) {1; 2; 10}e) {1; 3}

10. Si: U = {x/x N 1 x 7}A= {1; 3; 4; 6}B = {1; 2; 7}C = {2; 3; 5; 6; 7}

Determinar: (A B) C

a) {5} b) {1; 2; 5} c) Ud) e) {1; 2; 3; 4; 6; 7}

11. Sean los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 3; 4; 5}C = {1; 2; 6}

Determinar:[(B C)’ - (A B C)]’

a) b) {2; 3} c) {1; 2; 3}d) U e) {2}

12. Sean los conjuntos:P = {x/x es divisor de 6}Q = {x/x ; -3 < x 3}T = {x/x ; x < 2}

Determinar: (P Q) T

a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {0; 1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 2; 4}

13. Dados los conjuntos:A= {3; 5; 7; 9}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}

Determinar: (A B) C

a) {3; 5; 7; 9}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}

ÎÎÎ £ £

[ D Ç Ç È ]

Î Ù £ £

È ¢ Ç ¢

Ç Ç Ç

Î Z £Î N

14. Sean los conjuntos:A= {1; 5; 7; 8}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {1; 4; 8; 10}

Determinar: (A- C) (B C)

a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6 ; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}

15. Dados los conjuntos:A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}B = {4; 6; 8}C = {2; 4; 6; 7}

Determinar: A- (C - B)

a) {2; 5; 7} b) {3; 4; 5; 6; 8} c) {2; 4; 6; 8}d) {4; 6; 8} e) {6; 8}

16. Dado el siguiente gráfico, ¿qué operación conjuntistarepresenta lo sombreado?

a) (A- B) (C -A)

b) (A- B) (B - C)

c)A- (B C)

d)A- (B C)

e)A (B C)

17. Hallar: n(B -A), si:* n [P(A B)] = 128* n[P(A- B)] = 64* n(A B) = 182

a) 6 b) 7 c) 13d) 14 e) 15

18. Si: n(A) nos indica la cantidad de elementos diferentesque tiene el conjuntoA, entonces:A B = U* n(A B) = 12* n(A B) = 38* n(A- B) = 8Hallar: n(B -A)a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

19. Si: n [P(A)] = 256n [P(B)] = 32

Además: n [P(A B)] = 16Determinar: n[P(A- B)] + n [P(B -A)]a) 18 b) 34 c) 32d) 64 e) 48

20. Se tienen dos conjuntosAy B, tales que:* n (A B) = 15* n (A B) = 3* n(A) - n(B) = 2* n(B ) = 8

Hallar: n[P(A )]

ÈÇÈ

01. Dados los conjuntosAy B contenidos en el universo U se definen las siguientes operaciones:

A B = {...........................................................................................................................}

A B = {...................................................}-B A = {...................................................}-

A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-

A B = {.................................................}D

A B = {....................................................}È

A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-

A B = {.................................................}D

A = {.......................................................}B

¢¢ = {.......................................................}

A B = {...........................................................................................................................}

100 101

Actividad Domiciliaria09. Dados los conjuntos:

M = {x/x N ; 0 < x < 6}

P= {x/x N ; 3 < x < 10}

Q = {x/x N ; 7 x 14}R = {12; 13; 14}

Determinar: (Q R) - (P Q)] [(P- Q) R

a) {1; 2; 3; 10; 11}b) {1; 2; 4; 5}

c)d) {1; 2; 10}e) {1; 3}

10. Si: U = {x/x N 1 x 7}A= {1; 3; 4; 6}B = {1; 2; 7}C = {2; 3; 5; 6; 7}

Determinar: (A B) C

a) {5} b) {1; 2; 5} c) Ud) e) {1; 2; 3; 4; 6; 7}

11. Sean los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}A= {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 3; 4; 5}C = {1; 2; 6}

Determinar:[(B C)’ - (A B C)]’

a) b) {2; 3} c) {1; 2; 3}d) U e) {2}

12. Sean los conjuntos:P = {x/x es divisor de 6}Q = {x/x ; -3 < x 3}T = {x/x ; x < 2}

Determinar: (P Q) T

a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {0; 1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 2; 4}

13. Dados los conjuntos:A= {3; 5; 7; 9}B = {1; 2; 4; 6; 8}C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}

Determinar: (A B) C

a) {3; 5; 7; 9}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}

ÎÎÎ £ £

[ D Ç Ç È ]

Î Ù £ £

È ¢ Ç ¢

Ç Ç Ç

Î Z £Î N

a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6 ; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}

15. Dados los conjuntos:A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}B = {4; 6; 8}C = {2; 4; 6; 7}

Determinar: A- (C - B)

a) {2; 5; 7} b) {3; 4; 5; 6; 8} c) {2; 4; 6; 8}d) {4; 6; 8} e) {6; 8}

16. Dado el siguiente gráfico, ¿qué operación conjuntistarepresenta lo sombreado?

a) (A- B) (C -A)

b) (A- B) (B - C)

c)A- (B C)

d)A- (B C)

e)A (B C)

17. Hallar: n(B -A), si:* n [P(A B)] = 128* n[P(A- B)] = 64* n(A B) = 182

a) 6 b) 7 c) 13d) 14 e) 15

18. Si: n(A) nos indica la cantidad de elementos diferentesque tiene el conjuntoA, entonces:A B = U* n(A B) = 12* n(A B) = 38* n(A- B) = 8Hallar: n(B -A)a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

19. Si: n [P(A)] = 256n [P(B)] = 32

Además: n [P(A B)] = 16Determinar: n[P(A- B)] + n [P(B -A)]a) 18 b) 34 c) 32d) 64 e) 48

20. Se tienen dos conjuntosAy B, tales que:* n (A B) = 15* n (A B) = 3* n(A) - n(B) = 2* n(B ) = 8

Hallar: n[P(A )]

ÈÇÈ

01. Dados los conjuntosAy B contenidos en el universo U se definen las siguientes operaciones:

A B = {...........................................................................................................................}

A B = {...................................................}-B A = {...................................................}-

A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-

A B = {.................................................}D

A B = {....................................................}È

A B = {.........................................................}-B A = {.........................................................}-

A B = {.................................................}D

A = {.......................................................}B

¢¢ = {.......................................................}

A B = {...........................................................................................................................}

100 101

02. Sean los conjuntos:A= {2x - 1/x N; x < 5}B = {x - 1 / x Z - 2 x < 3}

Determinar: A- B

ÎÎ Ù £

a) {3; 5; 7}b) {3; -1}c) {-1; 0; 3; 7}d) {1; 5; 7}e) {0; 3; -1}

03. Dados los conjuntos:A= {x/x ; 2 < x < 6}B = {x/x N ; 3 < x < 10}

Determinar: A B

a) {4; 5}b) {3; 4}c) {3; 4; 5}d) {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}e)

04. Sean los conjuntos:U = {x/x N ; 1 < x < 10}A= {2; 5; 7}

Determinar: A

a) {2; 5; 7}b) {1; 2; 3; 4; 5}c) {3; 4; 6; 8; 9}d) {1; 3; 2; 8; 9}e) {2; 3; 4; 6; 8}

05. Sean los conjuntos:A= {x/x N 3 x 9}B = {x/x N 5 < x < 11}C = {7; 8; 9}

Determinar: (A B) C

a) {6; 7; 8} b) {6; 7} c) {8; 9}d) {7; 8; 9} e) {6; 9}

06. Dados los conjuntos:A= {x/x es dígito ; 2 x 6}

B = {x/x N x = 9}C = {x/x N x - 2 = 4}

Determinar: (B C) A

a) {2; 4; 5}b) {3; 4; 5}c) {3; 6}d) {2; 3; 4; 5; 6}e) {4; 5}

Î NÎ

Î Ù £ £Î Ù

Î ÙÎ Ù

a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}

Determinar: S (R - T)a) {2; 3; 4; 6}b) {3; 4; 6}c) {2}d) {1; 4; 6}e) {1; 3}

09. La parte sombreada del esquema corresponde a:

a) (A B) (B - C)

b) C - (A B)

c) (A- B) (C - B)

d) (C - B) (A B)

e) (A B) - (A B)

10. Dados los conjuntos:P= {x/x ; 0 < x < 4}Q = {x/x Z ; 1 < x 3}R = {x/x N ; x < 3}

Determinar: P (Q T)

a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 1; 3}

Î NÎ £Î

01. Sabiendo que:

Además:* n [P(G)] + n[P(S)] = 576* n(G S) = 2Hallar: n(G S)

a) 13 b) 12 c) 14d) 10 e) 15

02. ¿Qué alternativa representa la parte sombreada?

a) (A B C) - Bb) (A B C) -Ac) (A B) - (A B)d) (A B) (A B)e) (A B) - C C - (A B)

Calcular: n(A B)a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 12

04. Dados los conjuntosAy B se tiene:A B, si:3n(A) = 2n(B) ; n(A B) = 18

¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?a) 6 b) 8 c) 12d) 18 e) 16

05. Sean los conjuntos:A = {2, 5; 7; 9}B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}C = {2; 3; 6; 8; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Determinar:

(A B) (B C) - (A C )

a) {1; 3; 5} b) c) {2; 6; 8}d) {1; 2; 4; 6} e) {2; 8}

È ÈÇ ÇÈ ÇÇ ¢ È Ç

[ Ç ] È [ È ]

¢ D Ç ¢ D Ç ¢ ¢

06. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U, talesque:* n (A B C) = 93* n A- (B C) = 18* n A B) - C = 7* n(A) = n(B) = 41* n(C) = 46* n (B C) -A = 7Calcular: n [(A B C ) ]

a) 5 b) 9 c) 10d) 2 e) 1

07. Sean los conjuntosA, B y C, se cumple que:

* n(A) = 12* n(B) = 15* n(C) = 10* B C =Hallar: n(A B C)

a) 30 b) 20 c) 23d) 31 e) 25

08. Sean los conjuntosA, B y C, además:* Ay B son comparables.* B y C son disjuntos.* n(A C) = 7* n [P(A B)] = 32* n(A) = 3n(C)* n(A- B) = 31

Hallar: n(A)

a) 30 b) 34 c) 36d) 38 e) 41

B = x + 3/-6 < x < 4 x Z

Hallar la suma de los elementos de: B -Aa) 45 b) 31 c) 59d) 73 e) 62

10. Se sabe queAy B son dos conjuntos, donde:* A B* n (A- B) = 3* n [P(B)] + n [P(A)] = 72

Calcular: n [P(A B)]

a) 16 b) 912 c) 32d) 64 e) 128

È È[ È ][ Ç ]

[ Ç ]¢ È ¢ È ¢ ¢

Ç ÆÈ È

{ Ù Î }

n(G) 2

n(S) 3=

2x 25A x ; 0 x 6

3x 1B 1 x 8

ì ü-ï ï= Î < <í ý

-ï ïî þ-ì ü= Î - £ £í ý

2n 1A 0 n 5

ì ü+ï ïæ ö= Î £ £í ýç ÷è øï ïî þ¢

102 103

02. Sean los conjuntos:A= {2x - 1/x N; x < 5}B = {x - 1 / x Z - 2 x < 3}

Determinar: A- B

ÎÎ Ù £

a) {3; 5; 7}b) {3; -1}c) {-1; 0; 3; 7}d) {1; 5; 7}e) {0; 3; -1}

03. Dados los conjuntos:A= {x/x ; 2 < x < 6}B = {x/x N ; 3 < x < 10}

Determinar: A B

a) {4; 5}b) {3; 4}c) {3; 4; 5}d) {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}e)

04. Sean los conjuntos:U = {x/x N ; 1 < x < 10}A= {2; 5; 7}

Determinar: A

a) {2; 5; 7}b) {1; 2; 3; 4; 5}c) {3; 4; 6; 8; 9}d) {1; 3; 2; 8; 9}e) {2; 3; 4; 6; 8}

05. Sean los conjuntos:A= {x/x N 3 x 9}B = {x/x N 5 < x < 11}C = {7; 8; 9}

Determinar: (A B) C

a) {6; 7; 8} b) {6; 7} c) {8; 9}d) {7; 8; 9} e) {6; 9}

06. Dados los conjuntos:A= {x/x es dígito ; 2 x 6}

B = {x/x N x = 9}C = {x/x N x - 2 = 4}

Determinar: (B C) A

a) {2; 4; 5}b) {3; 4; 5}c) {3; 6}d) {2; 3; 4; 5; 6}e) {4; 5}

Î NÎ

Î Ù £ £Î Ù

Î ÙÎ Ù

a) {1; 5; 7; 8}b) {1; 2; 4; 6; 9}c) {2; 3; 4; 5; 6}d) {1; 2; 4; 6; 10}e) {1; 2; 4}

Determinar: S (R - T)a) {2; 3; 4; 6}b) {3; 4; 6}c) {2}d) {1; 4; 6}e) {1; 3}

09. La parte sombreada del esquema corresponde a:

a) (A B) (B - C)

b) C - (A B)

c) (A- B) (C - B)

d) (C - B) (A B)

e) (A B) - (A B)

10. Dados los conjuntos:P= {x/x ; 0 < x < 4}Q = {x/x Z ; 1 < x 3}R = {x/x N ; x < 3}

Determinar: P (Q T)

a) {0; 1}b) {0; 1; 2}c) {1; 2; 3}d) {0; 1; 2; 3; 4}e) {0; 1; 3}

Î NÎ £Î

01. Sabiendo que:

Además:* n [P(G)] + n[P(S)] = 576* n(G S) = 2Hallar: n(G S)

a) 13 b) 12 c) 14d) 10 e) 15

02. ¿Qué alternativa representa la parte sombreada?

a) (A B C) - Bb) (A B C) -Ac) (A B) - (A B)d) (A B) (A B)e) (A B) - C C - (A B)

Calcular: n(A B)a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 12

04. Dados los conjuntosAy B se tiene:A B, si:3n(A) = 2n(B) ; n(A B) = 18

¿Cuántos elementos tiene el conjunto B?a) 6 b) 8 c) 12d) 18 e) 16

05. Sean los conjuntos:A = {2, 5; 7; 9}B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}C = {2; 3; 6; 8; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Determinar:

(A B) (B C) - (A C )

a) {1; 3; 5} b) c) {2; 6; 8}d) {1; 2; 4; 6} e) {2; 8}

È ÈÇ ÇÈ ÇÇ ¢ È Ç

[ Ç ] È [ È ]

¢ D Ç ¢ D Ç ¢ ¢

06. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U, talesque:* n (A B C) = 93* n A- (B C) = 18* n A B) - C = 7* n(A) = n(B) = 41* n(C) = 46* n (B C) -A = 7Calcular: n [(A B C ) ]

a) 5 b) 9 c) 10d) 2 e) 1

07. Sean los conjuntosA, B y C, se cumple que:

* n(A) = 12* n(B) = 15* n(C) = 10* B C =Hallar: n(A B C)

a) 30 b) 20 c) 23d) 31 e) 25

08. Sean los conjuntosA, B y C, además:* Ay B son comparables.* B y C son disjuntos.* n(A C) = 7* n [P(A B)] = 32* n(A) = 3n(C)* n(A- B) = 31

Hallar: n(A)

a) 30 b) 34 c) 36d) 38 e) 41

B = x + 3/-6 < x < 4 x Z

Hallar la suma de los elementos de: B -Aa) 45 b) 31 c) 59d) 73 e) 62

10. Se sabe queAy B son dos conjuntos, donde:* A B* n (A- B) = 3* n [P(B)] + n [P(A)] = 72

Calcular: n [P(A B)]

a) 16 b) 912 c) 32d) 64 e) 128

È È[ È ][ Ç ]

[ Ç ]¢ È ¢ È ¢ ¢

Ç ÆÈ È

{ Ù Î }

n(G) 2

n(S) 3=

2x 25A x ; 0 x 6

3x 1B 1 x 8

ì ü-ï ï= Î < <í ý

-ï ïî þ-ì ü= Î - £ £í ý

2n 1A 0 n 5

ì ü+ï ïæ ö= Î £ £í ýç ÷è øï ïî þ¢

102 103

A- B; sóloA; exclusivamente “A”; únicamente “A”.

A; prefieren “A”.

B -A; sólo “B”; exclusivamente “B”, únicamente “B”.

B, prefieren “B”.

A B; ocurreAy B; ocurre ambos sucesos a la vez.

PROBLEMAS CON CONJUNTOSPROBLEMAS CON CONJUNTOS

INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS

A B; ocurre A o B; al menos uno de ellos, o por lomenos uno de ellos.

(A B) ; no prefieren ni “A” ni “B”.È ¢

A ; no prefieren “A”.¢

B ; no prefieren “B”.¢

A B; prefieren solamente una actividad.D

A B A B

Ocurre sólo uno de ellos.Únicamente uno de ellos.Exactamente uno de ellos.

Ocurre exactamente dos de ellos.Sucede únicamente dos de ellos.

(B C) - AOcurre “B” o “C” pero no “A”.

Ocurre al menos dos de ellos.Ocurre por lo menos dos de ellos.

Ocurre a lo más dos de ellos.

DIAGRAMAS DE CARROLLCuando se resuelven problemas de conjuntos, en los que los mismos son disjuntos, se suele usar otro tipo de diagramas.

MujeresHombres

Bailan

No bailan U = 120 2530

SolterosCasados

H (60)

M (40)

con hijos

U = 100

Ejemplos:

Resolución:

01. En una fiesta hay 120 personas y en undeterminado instante se observa que 30 mujeresbailan y 20 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeresno bailan?

Entonces, no bailan 40 mujeres.

02. En una reunión donde hay 100 personas, se sabede ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres;10 mujeres están casadas, 25 personas casadastienen hijos y hay 5 madres solteras. ¿Cuántoshombres son padres solteros?

Resolución:

104 105

A- B; sóloA; exclusivamente “A”; únicamente “A”.

A; prefieren “A”.

B -A; sólo “B”; exclusivamente “B”, únicamente “B”.

B, prefieren “B”.

A B; ocurreAy B; ocurre ambos sucesos a la vez.

PROBLEMAS CON CONJUNTOSPROBLEMAS CON CONJUNTOS

A B; ocurre A o B; al menos uno de ellos, o por lomenos uno de ellos.

(A B) ; no prefieren ni “A” ni “B”.È ¢

A ; no prefieren “A”.¢

B ; no prefieren “B”.¢

A B; prefieren solamente una actividad.D

A B A B

Ocurre sólo uno de ellos.Únicamente uno de ellos.Exactamente uno de ellos.

Ocurre exactamente dos de ellos.Sucede únicamente dos de ellos.

(B C) - AOcurre “B” o “C” pero no “A”.

Ocurre al menos dos de ellos.Ocurre por lo menos dos de ellos.

Ocurre a lo más dos de ellos.

DIAGRAMAS DE CARROLLCuando se resuelven problemas de conjuntos, en los que los mismos son disjuntos, se suele usar otro tipo de diagramas.

MujeresHombres

Bailan

No bailan U = 120 2530

SolterosCasados

H (60)

M (40)

con hijos

U = 100

Ejemplos:

Resolución:

01. En una fiesta hay 120 personas y en undeterminado instante se observa que 30 mujeresbailan y 20 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeresno bailan?

Entonces, no bailan 40 mujeres.

02. En una reunión donde hay 100 personas, se sabede ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres;10 mujeres están casadas, 25 personas casadastienen hijos y hay 5 madres solteras. ¿Cuántoshombres son padres solteros?

Resolución:

104 105

01. De un grupo de 84 estudiantes se sabe que: 57 estudianinglés, 23 estudian alemán, 36 estudian francés,4 estudian los tres idiomas, 11 estudian sólo alemán ytodos estudian por lo menos un idioma. Determinarcuántos de ellos estudian sólo uno de los idiomas oestudian los tres idiomas.

Del gráfico: 57 + b + c + 11 =84b + c = 16

Pero: b + c + 4 + m = 36 m = 16

También: 23 + a + b + m = 84a + b + m = 61

a + b = 45

Estudian sólo un idioma o los tres: a + b + 11 + 4 = 60

02. De un grupo de 110 personas: 40; 30 y 20 de ellos noleen las revistas A, B y C respectivamente. ¿Cuántaspersonas como máximo leen las tres revistas? Si todaslas personas leen por lo menos una revista.

Resolución:

Gráfico:

Resolución:

Gráfico:

Para que el número de personas que leen las tresrevistas sea máximo, entonces no debe haber personasque lean dos revistas.

n + p = 40m + n = 30m + p = 20

2(m + n + p) = 90

m + n + p = 45

Luego: m + n + p + x = 110

x = 65

03. Lorena recordaba que durante el mes de febrero del2004 salía a pasear con Beto o Carlos o con ambos;16 días salió con Beto y 20 con Carlos. ¿Cuántos díassalió con ambos, si el día de los enamorados sólo saliócon Luis?

El mes de febrero del 2004 tiene 29 días porque es unaño bisiesto.

Del gráfico: 16 + n + 1 = 29

n = 12

Luego: x + n = 20

Resolución:

Gráfico:

04. En una competencia atlética con 12 pruebas, participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medallas deoro, plata y bronce, 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce, 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?

Al haber 12 pruebas habrán: 12 medallas de oro; 12 medallas de plata; 12 medallas de bronce.Resolución:

Gráfico:

Oro(12)

Plata(12)

Bronce(12)

No gananmedallas

Luego: x = 42 - (1 + 4 + 4 + 3 + 2 + 2 + 3)

x = 23\

01. En el mes de Agosto, un estudiante dejó de estudiarAritmética durante 13 días, 12 días estudió Álgebra y13 días estudió sólo Aritmética. ¿Durante cuántos díasestudió los otros cursos?a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

02. ¿Cuántas personas habrá en un grupo de estudiantes?,de los cuales 18 estudian Aritmética; 19 Álgebra y17 Geometría, además 3 estudian Aritmética yÁlgebra, 6 estudianAritmética y Geometría, 7 estudianÁlgebra y Geometría pero noAritmética; 2 estudian lostres cursos y 12 estudian otros cursos.a) 38 b) 39 c) 50d) 56 e) 58

03. En un grupo de 100 estudiantes; 49 no llevan el curso deÁlgebra y 53 no siguen el curso de Aritmética; si27 alumnos no siguen Aritmética ni Álgebra. ¿Cuántosalumnos llevan exactamente uno de tales cursos?a) 24 b) 30 c) 36d) 48 e) 26

04. De un total de 55 alumnos de un salón del primer año desecundaria: 32 aprobaron Aritmética; 22 Álgebra;45 Geometría; 5 aprobaron los tres cursos; si 5 alumnosno aprobaron ninguno de los tres cursos. ¿Cuántosaprobaron sólo dos de estos cursos?a) 16 b) 25 c) 30d) 34 e) 39

05. De un grupo de 110 personas:* 70 hablan inglés.* 20 no hablan ni inglés ni francés .El número de los que hablan francés es el doble de losque hablan solamente inglés.¿Cuántos hablan inglés y francés?a) 10 b) 20 c) 25d) 30 e) 40

06. De 75 alumnos de un aula; los 3/5 usan reloj, 1/3 de losalumnos sólo usan anteojos, los 2/5 usan anteojos yreloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

07. En un grupo de 55 personas: 25 hablan inglés,32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántaspersonas del grupo hablan sólo dos de estos idiomas?a) 40 b) 22 c) 37d) 38 e) 25

08. En una reunión de 58 caballeros se observó que los queusan corbata y anteojos representan la tercera parte delos que usan corbata, los que usan anteojos son el doblede los que usan corbata y anteojos, si 10 personas nousan ni corbata ni anteojos. ¿Cuántos usan corbata perono anteojos?a) 12 b) 24 c) 36d) 18 e) 10

Carlos (20)Beto (16)

Luis (1)

U = 29

106 107