07 Propor Sol

IES Fco Ayala de Granada Soluciones Germn-Jess Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)

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Ejercicio 1.- Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontr que 54 de ellos hablaban ingls. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporcin de estudiantes que hablan el idioma ingls entre los estudiantes de esa Universidad.

Solucin Sabemos que si n 30 para la proporcin muestral p, el estimador PROPORCIN MUESTRAL p sigue

una normal N(p , p qn ) que es la distribucin muestral de proporciones, donde q = 1- p , y

generalmente escribimos p N(p , p qn ) o p N(p ,

p qn ).

Sabemos que el intervalo de confianza para estimar la proporcin p de las muestras es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)

donde z1-/2 es el punto crtico de la variable aleatoria Normal tipificada ZN(0,1) que verifica p(Z z1-/2)=1-/2.

El error cometido es E < 1 /2 p(1 p)z .

n = (b-a)/2, de donde el tamao de la muestra es n >

21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontr que 54 de ellos hablaban ingls. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporcin de estudiantes que hablan el idioma ingls entre los estudiantes de esa Universidad. Datos del problema: p= 54/120 = 045, q= 1 - 045 = 055, n = 120, nivel de confianza 1 = 90% = = 090, de donde = 010 = 10% como nivel de significacin. De = 010 tenemos /2 = 005 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 005 = 095, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 095 no viene en la tabla y el uno de los ms prximo es 09495 que corresponde a z1-/2 = 164. Por tanto el intervalo de confianza pedido es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= 0 '450'55 0'450'550'45 - 1'64 ,0 '45 + 1'64120 120

(03755; 05245)

Ejercicio 2.- Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporcin de alumnos que hablan ingls en esa Universidad no sea superior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. Cuntos alumnos tendramos que tomar, como mnimo, en la muestra?




p qn ).


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I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)



n = (b-a)/2, de donde el tamaos de la muestra es n =

21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporcin de alumnos que hablan ingls en esa Universidad no sea superior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. Cuntos alumnos tendramos que tomar, como mnimo, en la muestra? Datos del problema: p= 045, q= 055, E < 005, nivel de confianza 1 = 99% = 099, de donde = 001= = 1% como nivel de significacin. De = 001 tenemos /2 = 0005 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0005 = 0995, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0995 no viene en la tabla y el uno de los ms prximo es 09949 que corresponde a z1-/2 = 257.

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(2'57) (0'45)(0'55)(0'05)

= 6538851, tenemos n = 654.

Ejercicio 3.-

Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 haban votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporcin de votantes del partido X en esa ciudad.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105


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haban votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporcin de votantes del partido X en esa ciudad. Datos del problema: p= 105/300 = 035, q= 1 - 035 = 065, n = 300, nivel de confianza 1 = 90% = = 090, de donde = 010 = 10% como nivel de significacin. De = 010 tenemos /2 = 005 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 005 = 095, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 095 no viene en la tabla y el uno de los ms prximo es 09495 que corresponde a z1-/2 = 164. Por tanto el intervalo de confianza pedido es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= 0 '350'65 0'350'650'35 - 1'64 ,0 '35 + 1'64300 300

(03048; 03952)

Ejercicio 4.- En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontr que 105 lean un determinado peridico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centsimas como mximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimacin de la proporcin de lectores de ese peridico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el nmero de individuos de la poblacin que, como mnimo, debe tener la muestra.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontr que 105 lean un determinado peridico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centsimas como mximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimacin de la proporcin de lectores de ese peridico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el nmero de individuos de la poblacin que, como mnimo, debe tener la muestra. Datos del problema: p= 105/300 = 035, q= 1 - 065 = 007, E < 003, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196.


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De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(1'96) (0'35)(0'65)(0'03)

9717111, tenemos n = 972.

Ejercicio 5.- Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuos daltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamao n. Si el porcentaje de individuos daltnicos en una muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor mnimo de n para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimacin sea inferior a 0031.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuos daltnicos de una poblacin a travs del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamao n. Si el porcentaje de individuos daltnicos en una muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor mnimo de n para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimacin sea inferior a 0031. Datos del problema: p= 30% = 03, q= 1 - 03 = 007, E < 0031, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025. De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196.

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

= 2

2

(1'96) (0'3)(0'7)(0'031)

8394755, tenemos n = 840.

Ejercicio 6.- Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuos miopes de una poblacin, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de miopes de toda la poblacin.




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p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporcin p de individuos miopes de una poblacin, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcin de miopes de toda la poblacin. Datos del problema: p= 35% = 035, q= 1 - 035 = 065, n = 80, nivel de confianza 1 = 999 = = 098, de donde = 001 = 1% como nivel de significacin. De = 001 tenemos /2 = 0005. De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0005 = 0995, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0995 no viene en la tabla y uno de los ms prximos es 09949 que corresponde a z1-/2 = 257. Por tanto el intervalo de confianza pedido es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= 0 '350'65 0'350'650'35 - 2'57. ,0 '35 + 2'57.80 80

(021295; 048705).

Ejercicio 7.- En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una poblacin se encontr que 300 de ellas estn casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporcin de mujeres adultas actualmente casadas en esa poblacin.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)

donde z1-/2 es el punto crtico de la variable aleatoria Normal tipificada ZN(0,1) que verifica


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p(Z z1-/2)=1-/2.



21-/2

2

(z ) .p.qE

.

En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una poblacin se encontr que 300 de ellas estn casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporcin de mujeres adultas actualmente casadas en esa poblacin. Datos del problema: p= 300/500 = 06, q= 1 - 06 = 04, n = 500, nivel de confianza 1 = 90% = = 090, de donde = 010 = 10% como nivel de significacin. De = 010 tenemos /2 = 005 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 005 = 095, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 095 no viene en la tabla y uno de los valores ms prximos es 09495 que corresponde a z1-/2 = 164. Por tanto el intervalo de confianza pedido es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= 0 '60 '4 0'60 '40'6 - 1'64. ,0 '6 - 1'64.500 500

(056407; 063593)

Ejercicio 8.- Una muestra aleatoria de automviles tomada en una zona turstica ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporcin de matrculas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0,232 y 0,368. a) Determine el valor de la proporcin estimada a travs de esa muestra y una cota del error de estimacin a este nivel de confianza. b) Utilizando el mismo nivel de confianza, cul sera la cota de error, si esa misma proporcin se hubiera observado en una muestra de 696 matrculas?




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)

donde z1-/2 es el punto crtico de la variable aleatoria Normal tipificada ZN(0,1) que verifica p(Z z1-/2)=1-/2. Vemos que a + b = 2 p , de donde p = (a + b)/2.



21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Una muestra aleatoria de automviles tomada en una zona turstica ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporcin de matrculas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0232 y 0368. a) Determine el valor de la proporcin estimada a travs de esa muestra y una cota del error de estimacin a este nivel de confianza.


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Datos del problema: a = 0232, b = 0368, de donde p= (a + b)/2 = (0232 + 0368)/2 = 03 que es lo que

me piden, q= 1 - 03 = 07, nivel de confianza 1 = 95% = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196.

Una cota del error es E < 1 /2 p(1 p)z .

n = (b - a)/2 = (0368 0232)/2 = 0068, tenemos E < 0068.

b) Utilizando el mismo nivel de confianza, cul sera la cota de error, si esa misma proporcin se hubiera observado en una muestra de 696 matrculas? Datos del problema: p = 03, q= 1 - 03 = 07, n = 696, z1-/2 = 196.

De E < 1 /2 p(1 p)z .

n = 0'30'71'96

696 00340456, tenemos E < 003405.

Ejercicio 9.- Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporcin de televidentes que lo prefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo una proporcin muestral del 33% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota del error de estimacin, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporcin de televidentes que lo prefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo una proporcin muestral del 33% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota del error de estimacin, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%. Datos del problema: p= 33% = 033, q= 1 - 033 = 067, n = 1000, nivel de confianza 1 = 92% = = 098, de donde = 002 = 2% como nivel de significacin. De = 002 tenemos /2 = 001 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 001 = 099, que se mira en la tabla de la distribucin Normal


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N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 099 no viene en la tabla y el ms prximo es 09901 que corresponde a z1-/2 = 233. Por tanto el error cometido es:

E < 1 /2 p(1 p)z .

n = 0'330'672'33

1000 003464577, luego el error es E < 00346458.

Ejercicio 10.- Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recin nacidos en este ao en una ciudad para estimar la proporcin de varones entre los recin nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. Cul ser el error de estimacin a ese nivel si se observan 234 varones en la muestra?




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recin nacidos en este ao en una ciudad para estimar la proporcin de varones entre los recin nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. Cul ser el error de estimacin a ese nivel si se observan 234 varones en la muestra? Datos del problema: p= 234/600 = 039, q= 1 - 039 = 061, n = 600, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Por tanto el error de estimacin a ese nivel es:

E < 1 /2 p(1 p)z .

n = 0'390'611'96


Ejercicio 11.-

Para estimar la proporcin de familias con un solo hijo en una ciudad, se ha tomado una muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiene un solo hijo. Cul es el mnimo tamao muestral necesario para que, con esos datos, un intervalo de confianza de esa proporcin a un nivel del 95% tenga una cota de error de 006, como mximo?



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p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Para estimar la proporcin de familias con un solo hijo en una ciudad, se ha tomado una muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiene un solo hijo. Cul es el mnimo tamao muestral necesario para que, con esos datos, un intervalo de confianza de esa proporcin a un nivel del 95% tenga una cota de error de 006, como mximo? Datos del problema: p= 30% = 03, q = 1 - 03 = 07, E < 006, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Por tanto el tamao mnimo de la muestra es:

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(1'96) (0'3)(0'7)(0'06)

2240933, tenemos n = 225.

Ejercicio 12.- Una cadena de TV quiere saber si la audiencia de uno de sus programas sigue mantenindose en el 25% de los espectadores. Cuntos espectadores se deberan encuestar al azar, como mnimo, para tener un nivel de confianza del 90% de que el error en la estimacin de la proporcin actual sea igual o inferior a 003?




p qn ).



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I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Una cadena de TV quiere saber si la audiencia de uno de sus programas sigue mantenindose en el 25% de los espectadores. Cuntos espectadores se deberan encuestar al azar, como mnimo, para tener un nivel de confianza del 90% de que el error en la estimacin de la proporcin actual sea igual o inferior a 003? Datos del problema: p= 25% = 025, q = 1 - 025 = 075, E < 003, nivel de confianza 1 = 90% = = 090, de donde = 010 = 10% como nivel de significacin. De = 010 tenemos /2 = 005 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 005 = 095, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 095 no viene en la tabla y el uno de los ms prximo es 09495 que corresponde a z1-/2 = 164. Por tanto el tamao mnimo de la muestra es:

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(1'64) (0'25)(0'75)(0'03)

5603333, tenemos n = 561.

Ejercicio 13.-

Calcule el tamao mnimo de una muestra aleatoria de jvenes entre 18 y 25 aos para tener una confianza del 95% de que el error que se cometer al estimar la proporcin de fumadores entre esas edades no sea superior a 0,05, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jvenes.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Calcule el tamao mnimo de una muestra aleatoria de jvenes entre 18 y 25 aos para tener una confianza del 95% de que el error que se cometer al estimar la proporcin de fumadores entre esas edades no sea superior a 005, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jvenes.



Datos del problema: p= 32% = 032, q = 1 - 032 = 068, E < 005, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Por tanto el tamao mnimo de la muestra es:

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(1'96) (0'32)(0'68)(0'05)

3343728, tenemos n = 335.

Ejercicio 14.- Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recin nacidos en este ao en una ciudad para estimar la proporcin de varones entre los recin nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. Con qu proporcin estimada ser mxima la amplitud de ese intervalo? Cul es la amplitud mxima?




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recin nacidos en este ao en una ciudad para estimar la proporcin de varones entre los recin nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. Con qu proporcin estimada ser mxima la amplitud de ese intervalo? Cul es la amplitud mxima? Datos del problema: Como la muestra es aleatoria se supone que la mitad son varones, es decir p= 1/2, que es una de las que me piden, q= 1 1/2 = 1/2, n = 600, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Por tanto el intervalo de confianza pedido es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= 0 '5.0 '5 0'5.0 '50'5 - 1'96. , 0 '5 - 1'96. ,600 600

(0459992; 0540008), y la amplitud pedida es 0540008 - 0459992 = 0080016, que sabemos que es el doble del error cometido.



Ejercicio 15.- Para estimar la proporcin de consumidores que prefieren un determinado refresco, por medio de un intervalo de confianza, se ha tomado una muestra al azar de 1075 consumidores, entre los que se han encontrado 516 que lo prefieren. Determine una cota del error cometido para esa estimacin a un nivel de confianza del 95%.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Para estimar la proporcin de consumidores que prefieren un determinado refresco, por medio de un intervalo de confianza, se ha tomado una muestra al azar de 1075 consumidores, entre los que se han encontrado 516 que lo prefieren. Determine una cota del error cometido para esa estimacin a un nivel de confianza del 95%. Datos del problema: p= 516/1075 = 048, q= 1 - 048 = 052, n = 1075, nivel de confianza 1 = 95% = = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Por tanto el error de estimacin a ese nivel es:

E < 1 /2 p(1 p)z .

n = 0'480'521'96


Ejercicio 16.-

En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporcin de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%.




p qn ).




I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporcin de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%. Datos del problema: p= 120/600 = 02, q= 1 - 02 = 08, n = 600, nivel de confianza 1 = 98% = = 098, de donde = 002 = 2% como nivel de significacin. De = 002 tenemos /2 = 001 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 001 = 099, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 099 no viene en la tabla y el ms prximo es 09901 que corresponde a z1-/2 = 233. Por tanto el intervalo de confianza pedido es:

I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= 0 '20 '8 0'20 '80'2 - 2'33 ,0 '2 - 2'33600 600

(016195; 023805)

Ejercicio 17.- Se estima la proporcin de varones adultos, residentes en una poblacin, con obesidad severa (30



Se estima la proporcin de varones adultos, residentes en una poblacin, con obesidad severa (30



De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(1'96) (0'5)(0'5)(0'03)

10671111, tenemos n = 1068.

Ejercicio 19.- Se estima, por un intervalo de confianza, la proporcin de hogares con conexin a Internet utilizando una muestra aleatoria y con un nivel de confianza del 96%. Se obtiene as, una proporcin estimada del 28%, con un error mximo del 6%. Cul es el tamao mnimo de la muestra utilizada?




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Se estima, por un intervalo de confianza, la proporcin de hogares con conexin a Internet utilizando una muestra aleatoria y con un nivel de confianza del 96%. Se obtiene as, una proporcin estimada del 28%, con un error mximo del 6%. Cul es el tamao mnimo de la muestra utilizada? Datos del problema: p = 28% = 028, q = 1 - 028 = 072, E < 6% = 006, nivel de confianza 1 = 96% = = 096, de donde = 004 = 4% como nivel de significacin. De = 004 tenemos /2 = 002 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 002 = 098, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 098 no viene en la tabla y uno de los ms prximos es 09798 que corresponde a z1-/2 = 206. Por tanto el tamao mnimo de la muestra es:

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(2'06) (0'28)(0'72)(0'06)

2376416, tenemos n = 238.

Ejercicio 20.- Mediante una muestra aleatoria de tamao 400 se estima la proporcin de residentes en Sevilla que tienen intencin de asistir a un partido de ftbol entre el Betis y el C.F. Sevilla. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error mximo en la estimacin del 3%. Obtenga el valor de la estimacin, sabiendo que es inferior a 0,25.




p qn ).




I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

Mediante una muestra aleatoria de tamao 400 se estima la proporcin de residentes en Sevilla que tienen intencin de asistir a un partido de ftbol entre el Betis y el C.F. Sevilla. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error mximo en la estimacin del 3%. Obtenga el valor de la estimacin, sabiendo que es inferior a 0,25. Datos del problema: n = 400, E < 3% = 003, nivel de confianza 1 = 95% = 095, de donde = 005 = = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor

0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Por tanto de la expresin n = 2

1-/22

(z ) .p.qE

, tenemos:

nE2 = (z1-/2 )2 p (1 - p ), es decir 400(003)2 = (196)2 p (1 - p ), luego 036 = 38416( p - 2(p) ), tenemos la ecuacin de 2 grado 38416 2(p) - 38416 p + 036 = 0. Resolvindola obtenemos p 0895 y p 010466. Como nos dicen que el valor de la estimacin de la proporcin es menor que 025 nos queda como solucin p 0105.

Ejercicio 21.- En el diario CRDOBA del da 20 de Enero de 2.004 se public el resultado de un sondeo sobre intencin de voto en las elecciones al Parlamento Andaluz del 14 de marzo de 2.004. Segn la ficha tcnica de la encuesta, el tamao de la muestra fue de 5000 individuos, el nivel de confianza utilizado del 95%, y el error mximo de la estimacin de los que no tienen decidido el voto del 1%. En la pgina 2, del mencionado diario, se estima que el 13,3% de los andaluces no tienen decidido el voto. Analice la coherencia del resultado de la estimacin con la ficha tcnica de la encuesta, si se utiliza un muestreo aleatorio simple.




p qn ).


I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)






21-/2

2

(z ) .p.qE

.

En el diario CRDOBA del da 20 de Enero de 2.004 se public el resultado de un sondeo sobre intencin de voto en las elecciones al Parlamento Andaluz del 14 de marzo de 2.004. Segn la ficha tcnica de la encuesta, el tamao de la muestra fue de 5000 individuos, el nivel de confianza utilizado del 95%, y el error mximo de la estimacin de los que no tienen decidido el voto del 1%. En la pgina 2, del mencionado diario, se estima que el 133% de los andaluces no tienen decidido el voto. Analice la coherencia del resultado de la estimacin con la ficha tcnica de la encuesta, si se utiliza un muestreo aleatorio simple. Datos del problema: E < 1% = 001, p= 133% = 0133, q= 1 - 0133 = 0867, n = 5000, nivel de confianza 1 = 95% = 095, de donde = 005 = 5% como nivel de significacin. De = 005 tenemos /2 = 0025 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0025 = 0975, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0975 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 196. Vamos a ver si el tamao de la muestra ha sido el adecuado.

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(1'96) (0'133)(0'867)(0'01)

= 4429787376, tenemos n = 4430, que es menor de lso 5000

que han tomado, por tanto podemos decir que el resultado es coherente.

b) Se pretende repetir la experiencia para conseguir que el error cometido sea inferior a 003, con un nivel de confianza del 97%. Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra? Datos del problema: p= 3/5, q= 2/5, n = 200, E < 003; nivel de confianza 1 = 97% = 097, de donde = 003 = 3% como nivel de significacin. De = 003 tenemos /2 = 0015 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 0015 = 0985, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0985 viene en la tabla y corresponde a z1-/2 = 217.

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

=2

2

(2'17) (3/5)(2/5)(0'03)

= 125570667, tenemos n = 1256.

Ejercicio 22.- En una investigacin de mercado se pregunta a 600 personas sobre el inters en consumir un determinado producto, si ste se comercializara en la ciudad. De ellas 55% manifiestan su intencin de consumirlo. Con posterioridad a la encuesta, el fabricante del producto comercial exige que el error de la estimacin sea inferior al 3%, con una confianza del 98%. a) Cumple la investigacin los requisitos exigidos por el fabricante? b) En caso negativo, cul es el valor mnimo del tamao de la muestra para cumplir con las exigencias del fabricante?




p qn ).




I.C.(p) = 1 /2 1 /2 pq pq p - z . ,p + z .n n

= (b-a)




21-/2

2

(z ) .p.qE

.

En una investigacin de mercado se pregunta a 600 personas sobre el inters en consumir un determinado producto, si ste se comercializara en la ciudad. De ellas 55% manifiestan su intencin de consumirlo. Con posterioridad a la encuesta, el fabricante del producto comercial exige que el error de la estimacin sea inferior al 3%, con una confianza del 98%. a) Cumple la investigacin los requisitos exigidos por el fabricante? b) En caso negativo, cul es el valor mnimo del tamao de la muestra para cumplir con las exigencias del fabricante? Datos del problema: p= 55% = 055, q = 1 - 055 = 045, n = 600, E < 3% = 003, nivel de confianza 1 = = 98% = 098, de donde = 002 = 2% como nivel de significacin. De = 002 tenemos /2 = 001 De la igualdad p(Z z1-/2 ) = 1 - /2 = 1 - 001 = 099, que se mira en la tabla de la distribucin Normal N(0,1), y nos dar el correspondiente valor crtico z1 - /2. Mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 099 no viene en la tabla y el ms prximo es 09901 que corresponde a z1-/2 = 233. Por tanto el error de estimacin a ese nivel es:

E < 1 /2 p(1 p)z .

n = 0'550'452'33

600 0044732, luego el error es E < 0045, por tanto la investigacin

no cumple los requisitos del fabricante (segn ella E< 003), y nos ha salido un error mayor de 003. El tamao de la muestra tendra que haber sido:

De n > 2

1-/22

(z ) .p.qE

= 2

2

(2'33) .0'55.0'45(0'03)

= 14929475, tenemos n = 1493.

07 Propor Sol

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