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FILTROS PASIVOS LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS II GRUPO 06 EQUIPO 2 LIZ ANGELICA RAMOS MEDINA ALEX FRANCISCO BUSTOS PINZÓN JORGE DAVID SANTOS MAYORGA UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTÁ D.C. 2013

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FILTROS PASIVOS

LABORATORIO DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS II GRUPO 06

EQUIPO 2

LIZ ANGELICA RAMOS MEDINA ALEX FRANCISCO BUSTOS PINZÓN JORGE DAVID SANTOS MAYORGA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C. 2013

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FILTROS PASIVOS

LIZ ANGELICA RAMOS MEDINA ALEX FRANCISCO BUSTOS PINZON JORGE DAVID SANTOS MAYORGA

Informe de laboratorio

Profesor

Rafael Alberto Betancourt Uscátegui

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA ELECTRÓNICA

ANÁLISIS DE CIRCUITOS II Y LABORATORIO BOGOTÁ D.C.

2013

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3

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCIÓN 7

1. OBJETIVOS 7

1.1 OBJETIVO GENERAL 7

1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO 7

2. METODOLOGÍA 7

3. RECURSOS 8

3.1 RESISTENCIAS DE 1KΩ Y 2KΩ 8

3.2 MULTÍMETRO 8

3.3 GENERADOR DE SEÑALES 8

3.4 CONDENSADORES DE 1µF Y 0.5µF DE CAPACITANCIA 8

3.5 BOBINA DE 1H 8

3.6 OSCILOSCOPIO 8

4. MARCO TEÓRICO 8

4.1 FILTROS PASA BAJAS/ALTAS 8

4.1.1 Filtro Pasa-Altas RL. 9

4.1.2 Filtro Pasa-Bajas RL. 10

4.1.3 Filtro Pasa-Bajas RC. 12

4.1.4 Filtro Pasa-Altas RC. 13

4.2 FILTROS RECHAZA/PASA BANDA 14

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4

4.2.1 Filtro pasa-banda. 15

4.2.2 Filtro rechaza-banda. 17

4.2.3 Ancho de Banda, Factor de Calidad y Frecuencias de Corte para los filtros 20

4.2.4 Selección de los valores de los componentes (Diseño del Filtro) 22

4.3 DESARROLLO TEÓRICO DE FILTROS PASIVOS 23

4.3.1 Filtro pasa-bajas RC 23

4.3.2 Filtro pasa-bajas RL 24

4.3.3 Filtro pasa-altas RC 25

4.3.4 Filtro pasa-altas RL 27

4.3.5 Filtro pasa-banda 28

4.3.6 Filtro rechaza-banda 30

5. PORCENTAJES DE ERROR 32

5.1 PASA-BAJAS RC 32

5.2 PASA-BAJAS RL 33

5.3 PASA-ALTAS RC 33

5.4 PASA-ALTAS RL 34

5.5 PASA-BANDA RLC SERIE 34

5.6 RECHAZA-BANDA RLC SERIE 35

6. JUSTIFICACIÓN DE LOS PORCENTAJES DE ERROR 35

7. CONCLUSIONES 38

BIBLIOGRAFÍA 39

GLOSARIO 39

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5

LISTA DE TABLAS

pág.

Tabla 1. Datos obtenidos para el pasa-bajas RC 24

Tabla 2. Datos obtenidos para el pasa-bajas RL 25

Tabla 3. Datos obtenidos para el pasa-altas RC 26

Tabla 4. Datos obtenidos para el pasa-altas RL 28

Tabla 5. Datos obtenidos para el pasa-banda RLC serie 30

Tabla 6. Datos obtenidos para el rechaza-banda RLC serie 32

Tabla 7. Datos de laboratorio para filtro pasa-bajas RC 32

Tabla 8. Datos de laboratorio para filtro pasa-bajas RL 33

Tabla 9. Datos de laboratorio para filtro pasa-altas RC 33

Tabla 10. Datos de laboratorio para filtro pasa-altas RC 33

Tabla 11. Datos de laboratorio para filtro pasa-altas RL 34

Tabla 12. Datos de laboratorio para el filtro pasa-banda 34

Tabla 13. Datos de laboratorio para el filtro rechaza-banda 35

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6

LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1. Filtro pasa-bajas ideal. 8

Figura 2. Filtro pasa-altas ideal 9

Figura 3. Filtro Pasa-Altas RL 9

Figura 4. Filtro Pasa-Bajas RL 11

Figura 5. Filtro Pasa-Bajas RC 12

Figura 6. Filtro Pasa-Altas RC 13

Figura 7. Filtro pasa banda ideal 14

Figura 8. Filtro rechaza-banda ideal 15

Figura 9. Filtro pasa-banda 15

Figura 10. Respuesta en frecuencia ideal y real de un filtro pasa-banda 15

Figura 11. Filtro rechaza-banda 18

Figura 12. Respuesta en frecuencia ideal y real de un filtro rechaza-banda 18

Figura 13. Esquema del montaje realizado para tomar los datos de los circuitos pasa altas/bajas con circuitos RL y RC. 35

Figura 14. Ganancia de voltaje para el circuito ideal pasa-banda 36

Figura 15. Ganancia de voltaje para el pasa-banda considerando las capacitancias 37

Figura 16. Ganancia de voltaje para el rechaza-banda considerando las capacitancias 38

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7

INTRODUCCIÓN

En esta práctica se analizará el comportamiento de la respuesta en voltaje debido a las modificaciones de las frecuencias en los diferentes tipos de filtros pasivos, establecer comparaciones prácticas entre los comportamientos de las señales de salida de cada uno de los filtros a analizar en la práctica de laboratorio para garantizar el cumplimiento de las teorías estudiadas previamente, y a su vez observar la utilidad de las mismas.

1. OBJETIVOS

1.1 OBJETIVO GENERAL

Realizar el análisis del comportamiento de los diferentes filtros mostrados a continuación conformado por elementos pasivos (resistor, capacitor, inductor).

1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO

Observar como las diferentes topologías de un circuito RC y RL y RCL pueden ser utilizadas como filtro para diferentes frecuencias de la señal de entrada en AC y analizarlos mediante los Diagramas de Bode.

2. METODOLOGÍA

Para realizar la práctica se implementaron cuatro tipos de filtros los cuales son:

2.1 Filtro pasa bajo

2.2 Filtro pasa alto

2.3 Filtro pasa banda

2.4 Filtro rechaza banda

Para los filtros pasa bajo y pasa alto se implementaron circuitos ya estudiados anteriormente los cuales son los circuitos RC y RL, cuyo voltaje de salida es medido dependiendo del filtro y circuito solicitado, para el filtro pasa bajo, la salida en el circuito RC se toma en el condensador y en el circuito RL la salida se toma en la resistencia. Para el filtro pasa alto, la salida en el circuito RC se toma en la resistencia y en el circuito RL la salida se toma en la bobina.

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8

Para los filtros pasa banda y rechaza banda se implementan circuitos, también ya estudiados anteriormente, RLC, la salida de voltajes de estos circuitos dependen del diseño que se halla hecho previamente.

3. RECURSOS

Los recursos que requerimos y utilizamos son los siguientes:

3.1 RESISTENCIAS

3.2 MULTÍMETRO

3.3 GENERADOR DE SEÑALES

3.4 CONDENSADORES DE DIFERENTES CAPACITANCIAS

3.5 DÉCADA DE BOBINA

3.6 OSCILOSCOPIO (aunque no es necesario, una representación gráfica de lo que sucede puede ayudar significativamente a entender el proceso)

4. MARCO TEÓRICO

Un filtro es un circuito que deja pasar señales con frecuencias deseadas y rechazar o atenuar otras.

4.1 FILTROS PASA BAJAS/ALTAS

Un filtro pasa-bajas deja pasar deja pasar frecuencias bajas y detiene frecuencias elevadas, como se muestra de manera ideal en la Figura 1.

Figura 1. Filtro pasa-bajas ideal.

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9

Un filtro pasa-altas deja pasar frecuencias altas y rechaza las frecuencias bajas, como se muestra de manera ideal en figura 2.

Figura 2. Filtro pasa-altas ideal.

4.1.1 Filtro Pasa-Altas RL. Un filtro pasa-altas común se forma cuando la salida de un circuito RL se toma en la bobina. Para hallar la función de transferencia, utilizando un circuito RL con resistencia de valor R e inductancia de valor L, se propone un circuito RL serie con dichos valores de resistencia e inductancia, y se expresa el circuito original en Fasores y Frecuencia compleja.

Figura 3. Filtro Pasa-Altas RL. a) Circuito Original b) Equivalente en fasores

a) b)

Se halla la función de transferencia del circuito, primero hallando el voltaje de salida en función del voltaje de entrada.

𝑽𝑂 = 𝑽𝐼

𝑠𝐿

𝑅 + 𝑠𝐿

Dividiendo toda la ecuación para hallar la función de transferencia se tiene:

𝑽𝑂

𝑽𝐼= 𝐻(𝑠) =

𝑠𝐿

𝑅 + 𝑠𝐿

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10

Se define para un filtro real, sea pasa altas o pasa bajas; la Frecuencia de Corte (𝐹𝐶) aquella en la cual la magnitud de la función de transferencia sea igual a 1

√2.

Para la práctica presente la señal de entrada es sinusoidal, que presenta una frecuencia ‘s’ de la forma

𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔

Donde s=0 y ω=2πF. Reemplazando esto en la ecuación anterior y, a su vez en la función de transferencia,

𝐻(𝑗𝜔) =𝑗𝜔𝐿

𝑅 + 𝑗𝜔𝐿

Hallando la magnitud de la función de transferencia y aplicando la definición de 𝐹𝐶 se tiene:

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝜔𝐿

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2

𝜔𝐿

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2=

1

√2

Despejando para L:

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2

𝜔𝐿=

√2

1

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2 = √2𝑅2

𝑅2 + (𝜔𝐿)2 = 2𝑅2

(𝜔𝐿)2 = 𝑅2

𝜔𝐿 = 𝑅

𝐿 =𝑅

𝜔

Se puede comprobar que este valor de bobina es el mismo para un filtro Pasa-Bajas RL.

4.1.2 Filtro Pasa-Bajas RL. Un filtro pasa-bajas se forma cuando la salida de un circuito RL se toma en la resistencia.

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11

Figura 4. Filtro Pasa-Bajas RL

a) Circuito Original b) Equivalente en fasores

a) b)

Realizando el mismo procedimiento que se hizo en 4.1.1, bajo los mismos valores de resistencia, bobina; y los mismos criterios, se halla la función de transferencia, se evalúa en 𝑗𝜔, se halla su magnitud, se iguala dicha magnitud a 1

√2, se despeja el

valor de L; todo ello descrito en el siguiente procedimiento, con el fin de demostrar al final –llegando a la misma ecuación– que los valores de los componentes no cambian independientemente de si se toma sobre la resistencia o la bobina; la salida.

𝑽𝑂 = 𝑽𝐼

𝑅

𝑠𝐿 + 𝑅

𝑽𝑂

𝑽𝐼= 𝐻(𝑠) =

𝑅

𝑠𝐿 + 𝑅

|𝐻(𝑗𝜔)| = |𝑅

𝑗𝜔𝐿 + 𝑅|

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝑅

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2

𝑅

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2=

1

√2

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2 = √2𝑅2

(𝜔𝐿)2 = 𝑅2

𝐿 =𝑅

𝜔=

𝑅

2𝜋𝐹

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12

4.1.3 Filtro Pasa-Bajas RC. Un filtro pasa-bajas común se forma cuando la salida de un circuito RC se toma en el condensador. Para hallar la función de transferencia, utilizando un circuito RC con resistencia de valor R y condensador de valor C, se propone un circuito RC serie con dichos valores de resistencia y capacitancia, y se expresa el circuito original en fasores y frecuencia compleja.

Figura 5. Filtro Pasa-Bajas RC

a) Circuito Original b) Equivalente en fasores

a) b)

Se halla la función de transferencia del circuito, primero hallando el voltaje de salida en función del voltaje de entrada.

𝑽𝑂 = 𝑽𝐼

1𝑠𝐶

𝑅 +1

𝑠𝐶

=

1𝑠𝐶

𝑠𝑅𝐶 + 1𝑠𝐶

=1

𝑠𝑅𝐶 + 1

Dividiendo toda la ecuación para hallar la función de transferencia se tiene:

𝑽𝑂

𝑽𝐼= 𝐻(𝑠) =

1

𝑠𝑅𝐶 + 1

Aplicando la definición de 𝐹𝐶, y teniendo en cuenta que 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 , para ondas sinusoidales puras se tiene:

𝐻(𝑗𝜔) =1

𝑗𝜔𝑅𝐶 + 1

|𝐻(𝑗𝜔)| = |1

𝑗𝜔𝑅𝐶 + 1| =

1

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2

1

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2=

1

√2

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13

Despejando para C:

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2 = √2

(𝜔𝑅𝐶)2 = 1

𝜔𝑅𝐶 = 1

𝐶 =1

𝜔𝑅

Análogamente a lo realizado en 4.1.2, se puede comprobar que los valores de los

componentes son los mismos para la misma frecuencia 𝐹𝐶.

4.1.4 Filtro Pasa-Altas RC. Un filtro pasa-altas común se forma cuando la salida de un circuito RC se toma en la resistencia. Para hallar la función de transferencia, utilizando un circuito RC con resistencia de valor R y condensador de valor C, se propone un circuito RC serie con dichos valores de resistencia y capacitancia, y se expresa el circuito original en fasores y frecuencia compleja.

Figura 6. Filtro Pasa-Altas RC. a) Circuito Original b) Equivalente en fasores

a) b)

Realizando el mismo procedimiento que se hizo en 4.1.3, bajo los mismos valores de resistencia, condensador; y los mismos criterios, se halla la función de transferencia, se evalúa en 𝑗𝜔, se halla su magnitud, se iguala dicha magnitud a 1

√2, se despeja el valor de L; todo ello descrito en el siguiente procedimiento, con el

fin de demostrar al final –llegando a la misma ecuación– que los valores de los componentes no cambian independientemente si se toma sobre la resistencia o el condensador; la salida.

𝑽𝑂 = 𝑽𝐼

𝑅

1𝑠𝐶 + 𝑅

= 𝑽𝐼

𝑅

1 + 𝑠𝑅𝐶𝑠𝐶

= 𝑽𝐼

𝑠𝑅𝐶

1 + 𝑠𝑅𝐶

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𝑽𝑂

𝑽𝐼= 𝐻(𝑠) =

𝑠𝑅𝐶

1 + 𝑠𝑅𝐶

|𝐻(𝑗𝜔)| = |𝑗𝜔𝑅𝐶

1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶|

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝜔𝑅𝐶

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2

𝜔𝑅𝐶

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2=

1

√2

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2 = √2(𝜔𝑅𝐶)2

1 = (𝜔𝑅𝐶)2 = 𝜔𝑅𝐶

𝐶 =1

𝜔𝑅=

1

2𝜋𝐹𝑅

4.2 FILTROS RECHAZA/PASA BANDA

Un filtro pasa-banda deja pasar frecuencias dentro de una banda de frecuencias y bloquea y bloquea o atenúa las frecuencias fuera de la banda, como se muestra idealmente en la figura 6.

Figura 7. Filtro pasa banda ideal

Un filtro rechaza-banda deja pasar frecuencias fuera de la banda de frecuencias y bloquea o atenúa las frecuencias dentro de la banda, como se muestra idealmente en la figura 7.

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15

Figura 8. Filtro rechaza-banda ideal

4.2.1 Filtro pasa-banda. El circuito resonante RLC proporciona un filtro pasa-banda cuando la salida se toma de la resistencia, como se muestra en la figura 8.

Figura 9. Filtro pasa-banda

Un filtro pasa banda se diseña para dejar pasar todas las frecuencias dentro de

una banda de frecuencias, 𝜔1 < 𝜔 < 𝜔2.

Figura 10. Respuesta en frecuencia ideal y real de un filtro pasa-banda

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Se evalúa el circuito de la Figura 8, para hallar su respuesta a una frecuencia compleja S determinada. Ya habiendo convertido todo a sus respectivos equivalentes en fasores y, para una inductancia de valor L, un condensador de valor C y una resistencia de valor R, se obtiene, evaluando la salida:

𝑽𝑂 = 𝑽𝐼 ∗𝑅

𝐿𝑠 +1

𝑠𝐶 + 𝑅= 𝑽𝐼 ∗

𝑅

(𝐿𝑠 + 𝑅) ∗ 𝑠𝐶 + 1𝑠𝐶

= 𝑽𝐼 ∗𝑅𝐶𝑠

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Dividiendo lo anterior sobre 𝑉𝐼 se obtiene la función de transferencia del circuito:

𝑽𝑂

𝑽𝐼= 𝐻(𝑠) =

𝑅𝐶𝑠

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Como para la presente práctica se evaluara la respuesta del circuito a ondas sinusoidales casi puras obtenidas por el generador, se evalúa esta función de

transferencia con 𝑠 = 0 + 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 obteniendo:

𝐻(𝑗𝜔) =𝜔𝑅𝐶𝑗

𝐿𝐶(𝑗𝜔)2 + 𝜔𝑅𝐶𝑗 + 1=

𝜔𝑅𝐶𝑗

−𝐿𝐶𝜔2 + 𝜔𝑅𝐶𝑗 + 1

Se quiere mirar (por convención) las frecuencias en que la función de transferencia llega a aproximadamente un 70% de su valor máximo. Para ello primeramente se calcula la magnitud de la función de transferencia.

|𝐻(𝑗𝜔)| = |𝜔𝑅𝐶𝑗

−𝐿𝐶𝜔2 + 𝜔𝑅𝐶𝑗 + 1| =

𝜔𝑅𝐶

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝜔𝑅𝐶)2

Se pueden hallar los máximos y mínimos de esta función derivando con respecto a ω, pero, por simple inspección, se logra ver que el valor máximo de esta función se da cuando

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 = 0

Cuando este término es cero, numerador y denominador valen lo mismo, obteniendo un máximo de 1. Pero, por otro lado, cuando este término es mayor a cero, hace al denominador más grande, lo que de una u otra forma hace que todo el cociente tenga un valor menor a 1.

Resolviendo la ecuación anterior se puede hallar dicha frecuencia en que la función llega a su máximo:

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 = 0

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17

1 − 𝐿𝐶𝜔2 = 0

1 = 𝐿𝐶𝜔2

1

√𝐿𝐶= 𝜔

En esta última ecuación, el ω obtenido es conocido como la frecuencia de resonancia para un circuito LC. A esta frecuencia, y en un circuito LC serie, la impedancia del condensador se anula con la impedancia de la bobina, convirtiendo esa serie LC en un corto circuito, quedando sobre la salida el mismo voltaje de entrada aplicado a la resistencia.

Volviendo a la magnitud de la función de transferencia, se decide hallar los puntos en que una frecuencia ω causa que dicha función valga aproximadamente un 70% y, por tanto al multiplicarse por la entrada genere en la salida un 70% de la entrada. Para hallar dicho(s) ω se iguala la magnitud de la función de transferencia a ese 70%.

𝜔𝑅𝐶

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝜔𝑅𝐶)2=

1

√2

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝜔𝑅𝐶)2

𝜔𝑅𝐶=

√2

1

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝜔𝑅𝐶)2 = √2 ∗ (𝜔𝑅𝐶)2

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝜔𝑅𝐶)2 = 2 ∗ (𝜔𝑅𝐶)2

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 − (𝜔𝑅𝐶)2 = 0

Se detiene hasta acá el desarrollo a propósito, y para poder comparar con las frecuencias del filtro rechaza-banda.

4.2.2 Filtro rechaza-banda. Un filtro que evita el paso de frecuencias entre dos valores designados (𝜔1, 𝜔2) se conoce como filtro rechaza-banda, para banda o de

muesca. Un filtro rechaza-banda se forma cuando la salida de un circuito resonante RLC se toma de la combinación en serie LC, como se muestra en figura 10.

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18

Figura 11. Filtro rechaza-banda

Un filtro rechaza-banda se diseña para detener o eliminar todas las frecuencias

dentro de una banda de frecuencias, 𝜔1 < 𝜔 < 𝜔2.

Figura 12. Respuesta en frecuencia ideal y real de un filtro rechaza-banda

Se evalua el circuito de la Figura 10, para hallar su respuesta a una frecuencia compleja S determinada. Ya habiendo convertido todo a sus respectivos equivalentes en fasores y, para una inductancia de valor L, un condensador de valor C y una resistencia de valor R, se obtiene, evaluando la salida:

𝑽𝑂 = 𝑽𝐼 ∗𝑠𝐿 +

1𝑠𝐶

𝑠𝐿 +1

𝑠𝐶 + 𝑅= 𝑽𝐼 ∗

(𝐿𝑠) ∗ (𝐶𝑠) + 1𝑠𝐶

(𝐿𝑠 + 𝑅) ∗ 𝐶𝑠 + 1𝑠𝐶

= 𝑽𝐼 ∗𝐿𝐶𝑠2 + 1

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Dividiendo lo anterior sobre 𝑉𝐼 se obtiene la función de transferencia del circuito:

𝑽𝑂

𝑽𝐼= 𝐻(𝑠) =

𝐿𝐶𝑠2 + 1

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

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19

Como para la presente práctica se evaluara la respuesta del circuito a ondas sinusoidales casi puras obtenidas por el generador, se evalúa esta función de

transferencia con 𝑠 = 0 + 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 obteniendo:

𝐻(𝑗𝜔) =−𝐿𝐶𝜔2 + 1

−𝐿𝐶𝜔2 + 𝑅𝐶𝑗𝜔 + 1

Se seguirá un criterio parecido al diseño del filtro pasa-banda, hallar bajo que frecuencias la función de transferencia llega a un 70%, pero a su vez, hacer que la frecuencia a atenuar no salga del filtro. Entonces se procede a calcular la magnitud de la función de transferencia.

|𝐻(𝑗𝜔)| = |−𝐿𝐶𝜔2 + 1

−𝐿𝐶𝜔2 + 𝑅𝐶𝑗𝜔 + 1| =

1 − 𝐿𝐶𝜔2

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝑅𝐶𝜔)2

Para el filtro rechaza-banda, se pide que, a la frecuencia de rechazo 𝜔, la función

de transferencia este en su valor mínimo. Para ello se puede hallar la derivada de la función de transferencia e igualarla a cero, con el fin de hallar los mínimos de la función. Pero, del mismo modo que con el pasa-banda, se puede observar por simple inspección que, por un lado el denominador siempre será positivo, implicando que no tendrá valores mayores a cero, por tanto se deduce un mínimo cuando la función de transferencia valga cero. También se puede ver que una forma de hacer cero la función de transferencia es que el numerador valga cero.

1 − 𝐿𝐶𝜔2 = 0

𝐿𝐶𝜔2 = 1

𝜔 =1

√𝐿𝐶

Como se puede observar, bajo el mismo argumento de resonancia, la frecuencia de rechazo para este circuito tiene la misma forma que la de la frecuencia de paso para el pasa-banda mostrado anteriormente.

Retornando a la función de transferencia, se hallan las frecuencias de corte, tras las cuales antes de la primera y después de la segunda se verá más de un 70% de la señal de entrada. Para lo cual, se iguala la magnitud de la función de transferencia a este 70% aproximado. Asi:

1 − 𝐿𝐶𝜔2

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝑅𝐶𝜔)2=

1

√2

√(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝑅𝐶𝜔)2 = √2 ∗ (1 − 𝐿𝐶𝜔2)2

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20

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 + (𝑅𝐶𝜔)2 = 2 ∗ (1 − 𝐿𝐶𝜔2)2

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 − (𝑅𝐶𝜔)2 = 0

Se puede ver que, hasta la parte en que se detuvo el desarrollo en el filtro pasa-banda esta ecuación es exactamente la misma, entonces se procede a desarrollarla en la sección 4.2.3

4.2.3 Ancho de Banda, Factor de Calidad y Frecuencias de Corte para los filtros.

Se definirá el Ancho de Banda (B), como la diferencia entre la frecuencia final y la frecuencia inicial; de paso o rechazo del filtro, dependiendo de si es pasa o rechaza banda respectivamente. Formalmente:

𝐵 = 𝜔2 − 𝜔1

Donde B será el ancho de banda, 𝜔2 la frecuencia final y 𝜔1 la frecuencia inicial.

Se definirá el Factor de Calidad (Q) del filtro, como la razón entre la frecuencia de

paso/rechazo 𝜔0 y el ancho de banda B

𝑄 =𝜔0

𝐵

Del final de las secciones 4.2.1 y 4.2.2 se llegó a la ecuación

(1 − 𝐿𝐶𝜔2)2 − (𝜔𝑅𝐶)2 = 0

Despejando 𝜔 para hallar las frecuencias de corte al 70% del valor máximo de la

función de transferencia para ambos circuitos; se ve que esta ecuación es una suma por la diferencia. Descomponiendo entonces en factores se obtiene:

(1 − 𝐿𝐶𝜔2 + 𝜔𝑅𝐶)(1 − 𝐿𝐶𝜔2 − 𝜔𝑅𝐶) = 0

Como se puede ver, de lo anterior se obtienen dos ecuaciones. Se procede a

resolver 𝜔 en la primera:

(1 − 𝐿𝐶𝜔2 + 𝜔𝑅𝐶) = 0

𝐿𝐶𝜔2 − 𝜔𝑅𝐶 − 1 = 0

Mediante la solución de la cuadrática se obtiene

𝜔 =𝑅𝐶 ± √(𝑅𝐶)2 + 4𝐿𝐶

2𝐿𝐶=

𝑅

2𝐿± √

(𝑅𝐶)2

(2𝐿𝐶)2+

4𝐿𝐶

(2𝐿𝐶)2

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21

𝜔1,2 =𝑅

2𝐿± √

𝑅2

4𝐿2+

1

𝐿𝐶

De la segunda ecuación obtenida, se realiza el mismo procedimiento, despejar 𝜔 mediante la solución a la cuadrática.

(1 − 𝐿𝐶𝜔2 − 𝜔𝑅𝐶) = 0

𝐿𝐶𝜔2 + 𝑅𝐶𝜔 − 1 = 0

𝜔 =−𝑅𝐶 ± √(𝑅𝐶)2 + 4𝐿𝐶

2𝐿𝐶=

−𝑅

2𝐿± √

(𝑅𝐶)2

(2𝐿𝐶)2+

4𝐿𝐶

(2𝐿𝐶)2

𝜔3,4 =−𝑅

2𝐿± √

𝑅2

4𝐿2+

1

𝐿𝐶

Como se puede observar, 𝜔1,2 y 𝜔3,4 tienen una misma raíz como termino común,

entonces, para el procedimiento siguiente y por conveniencia, se hará alusión a

ella sin su argumento. (Como √ )

A modo de resumen, primero se planteó la ecuación común a los filtros como una suma por la diferencia, tras la cual se obtuvieron dos factores. A los dos factores se les averiguo el valor de 𝜔, obteniendo 𝜔1,2 de la primer ecuación y 𝜔3,4 de la

segunda ecuación. De 𝜔1,2 hay una frecuencia más positiva que la otra, lo mismo

para 𝜔3,4. Entonces, para aplicar la definición de B, se pretende hallar la diferencia

entre mayores y la diferencia entre menores de ambas ecuaciones.

Luego, aplicando la definición de B entre 𝜔1 y 𝜔3 se tiene:

𝐵 = 𝜔1 − 𝜔3 =𝑅

2𝐿+ √ +

𝑅

2𝐿− √

𝐵 =2𝑅

2𝐿=

𝑅

𝐿

Del mismo modo, aplicando la definición de B entre 𝜔2 y 𝜔4 se tiene:

𝐵 = 𝜔2 − 𝜔4 =𝑅

2𝐿− √ +

𝑅

2𝐿+ √

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22

𝐵 =2𝑅

2𝐿=

𝑅

𝐿

Finalmente el ancho de banda B para las propuestas de pasa-banda y rechaza-banda planteadas en este informe, se puede expresar de las siguientes formas equivalentes:

𝐵 =𝜔0

𝑄= 𝜔2 − 𝜔1 =

𝑅

𝐿

4.2.4 Selección de los valores de los componentes (Diseño del Filtro)

En base a las ecuaciones mostradas a lo largo de toda la sección 4.2 se tomaran solamente las siguientes, que serán consideradas para el cálculo de los componentes del circuito. Se pudo concluir que las frecuencias de corte con el 70% del máximo de la función de transferencia y frecuencia de resonancia son iguales, por tanto para cualquiera de los dos tipos de filtros, bajo la misma

frecuencia de paso/rechazo y misma 𝜔0.

1

√𝐿𝐶= 𝜔0 y 𝐵 =

𝑅

𝐿

Como se puede ver, de ambas ecuaciones tienen en común la bobina. Entonces, asignándole un valor a esta, se pueden obtener los demás componentes. Para una bobina de valor L.

De la ecuación de resonancia LC, y sabiendo que 𝜔 = 2𝜋𝐹, se calcula el valor del condensador despejando C, ya sabiendo que los demás términos son constantes.

1

2𝜋𝐹= √𝐿𝐶

1

(2𝜋𝐹)2 ∗ 𝐿= 𝐶

Inspeccionando la anterior formula, para que la frecuencia de trabajo sea alta, los valores de condensador y bobina tienen que ser demasiado pequeños.

Para la resistencia, se utiliza la ecuación del ancho de banda para este circuito (en cualquiera de sus formas). En este caso interesan las siguientes:

𝐵 =𝜔0

𝑄=

2𝜋𝐹0

𝑄=

𝑅

𝐿

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23

Multiplicando por L lo anterior se obtiene:

𝑅 = 𝐿𝐵 =𝐿𝜔0

𝑄=

𝐿2𝜋𝐹0

𝑄

Se puede concluir de la anterior ecuación que el valor de la resistencia será proporcional al de la bobina, al de la frecuencia de trabajo, e inversamente proporcional al factor de calidad que se desee.

4.3 DESARROLLO TEÓRICO DE FILTROS PASIVOS 4.3.1 Filtro pasa-bajas RC. Se pide desarrollar un filtro pasa-bajas RC, que tenga una frecuencia de corte de 32KHz. Se utilizarán las ecuaciones que se describieron en el marco teórico, para hallar el valor del condensador a utilizar a través del valor de la frecuencia de corte y el valor establecido de la resistencia.

Si 𝜔 = 2𝜋𝐹, reemplazando en la ecuación

𝐶 =1

𝜔𝑅

Se obtiene el valor del condensador, en términos del valor de la resistencia en serie a ella; para un Pasa-Bajas a una frecuencia de corte F:

𝐶 =1

2𝜋𝐹𝑅

𝐶 =1

2𝜋 ∗ 32 ∗ 103 ∗ 1 ∗ 103= 4,97 𝑛𝐹

Teniendo el valor del condensador y el valor de la resistencia, podemos calcular la magnitud de la función de transferencia a partir de un barrido de frecuencias que

se realizara desde 102 𝐻𝑧 hasta 107 𝐻𝑧. Partimos de la función de trasferencia obtenida en el marco teórico

|𝐻(𝑗𝜔)| = |1

𝑗𝜔𝑅𝐶 + 1| =

1

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2

Reemplazamos 𝜔 por 2𝜋𝐹

|𝐻(𝑗𝜔)| = |1

𝑗𝜔𝑅𝐶 + 1| =

1

√1 + (2𝜋𝐹𝑅𝐶)2

Page 24: 07 - FILTROS PASIVOS

24

Y sustituimos los valores de la resistencia y el condensador

|𝐻(𝑗𝜔)| =1

√1 + (9,94𝜇𝜋𝐹)2

Y en esta última ecuación empezamos a realizar los cálculos con el barrido de frecuencias, los datos obtenidos se muestran en la tabla 1.

Tabla 1. Datos obtenidos para el pasa-bajas RC

Frecuencia (Hz) Magnitud de la función de transferencia

102 0,9999951243

102,5 0,9999512459

103 0,9995127801

103,5 0,99515961

104 0,9545412904

104,5 0,7115406065

105 0,3049755172

105,5 0,1007507482

106 0,03200672045

106,5 0,01012608284

107 0,003202296319

4.3.2 Filtro pasa-bajas RL. Se pide desarrollar un filtro pasa-bajas RL, que tenga una frecuencia de corte de 32KHz. Se utilizarán las ecuaciones que se describieron en el marco teórico, para hallar el valor de la bobina a utilizar a través del valor de la frecuencia de corte y el valor establecido de la resistencia.

Si 𝜔 = 2𝜋𝐹, reemplazando en la ecuación

𝐿 =𝑅

𝜔

Se obtiene el valor del condensador, en términos del valor de la resistencia en serie a ella; para un Pasa-Bajas a una frecuencia de corte F:

𝐿 =𝑅

2𝜋𝐹

𝐶 =1 ∗ 103

2𝜋 ∗ 32 ∗ 103= 4,97 𝑚𝐻

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25

Teniendo el valor de la bobina y el valor de la resistencia, podemos calcular la magnitud de la función de transferencia a partir de un barrido de frecuencias que

se realizara desde 102 𝐻𝑧 hasta 107 𝐻𝑧. Partimos de la función de trasferencia obtenida en el marco teórico

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝑅

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2

Reemplazamos 𝜔 por 2𝜋𝐹

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝑅

√𝑅2 + (2𝜋𝐹𝐿)2

Y sustituimos los valores de la resistencia y la bobina

|𝐻(𝑗𝜔)| =1 ∗ 103

√1 ∗ 106 + (9,94𝑚𝜋𝐹)2

Y en esta última ecuación empezamos a realizar los cálculos con el barrido de frecuencias, los datos obtenidos se muestran en la tabla 2.

Tabla 2. Datos obtenidos para el pasa-bajas RL

Frecuencia (Hz) Magnitud de la función de transferencia

102 0,9999951243

102,5 0,9999512459

103 0,9995127801

103,5 0,99515961

104 0,9545412904

104,5 0,7115406065

105 0,3049755172

105,5 0,1007507482

106 0,03200672045

106,5 0,01012608284

107 0,003202296319

4.3.3 Filtro pasa-altas RC. Se pide desarrollar un filtro pasa-altas RC, que tenga una frecuencia de corte de 32KHz. Se utilizarán las ecuaciones que se describieron en el marco teórico, para hallar el valor del condensador a utilizar a través del valor de la frecuencia de corte y el valor establecido de la resistencia.

Page 26: 07 - FILTROS PASIVOS

26

Si 𝜔 = 2𝜋𝐹, reemplazando en la ecuación

𝐶 =1

𝜔𝑅

Se obtiene el valor del condensador, en términos del valor de la resistencia en serie a ella; para un Pasa-Bajas a una frecuencia de corte F:

𝐶 =1

2𝜋𝐹𝑅

𝐶 =1

2𝜋 ∗ 32 ∗ 103 ∗ 1 ∗ 103= 4,97 𝑛𝐹

Teniendo el valor de la bobina y el valor de la resistencia, podemos calcular la magnitud de la función de transferencia a partir de un barrido de frecuencias que

se realizara desde 102 𝐻𝑧 hasta 107 𝐻𝑧. Partimos de la función de trasferencia obtenida en el marco teórico

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝜔𝑅𝐶

√1 + (𝜔𝑅𝐶)2

Reemplazamos 𝜔 por 2𝜋𝐹

|𝐻(𝑗𝜔)| =2𝜋𝐹𝑅𝐶

√1 + (2𝜋𝐹𝑅𝐶)2

Y sustituimos los valores de la resistencia y la bobina

|𝐻(𝑗𝜔)| =9,94µ𝜋𝐹

√1 + (9,94µ𝜋𝐹)2

Y en esta última ecuación empezamos a realizar los cálculos con el barrido de frecuencias, los datos obtenidos se muestran en la tabla 3.

Tabla 3. Datos obtenidos para el pasa-altas RC

Frecuencia (Hz) Magnitud de la función de transferencia

102 0,003122727872

102,5 0,009874499291

103 0,03121221635

103,5 0,09827181978

104 0,2980787226

104,5 0,7026449782

105 0,9523601913

105,5 0,994911698

106 0,9994876537

Page 27: 07 - FILTROS PASIVOS

27

4.3.4 Filtro pasa-altas RL. Se pide desarrollar un filtro pasa-altas RL, que tenga una frecuencia de corte de 32KHz. Se utilizarán las ecuaciones que se describieron en el marco teórico, para hallar el valor de la bobina a utilizar a través del valor de la frecuencia de corte y el valor establecido de la resistencia.

Si 𝜔 = 2𝜋𝐹, reemplazando en la ecuación

𝐿 =𝑅

𝜔

Se obtiene el valor del condensador, en términos del valor de la resistencia en serie a ella; para un Pasa-Bajas a una frecuencia de corte F:

𝐿 =𝑅

2𝜋𝐹

𝐶 =1 ∗ 103

2𝜋 ∗ 32 ∗ 103= 4,97 𝑚𝐻

Teniendo el valor de la bobina y el valor de la resistencia, podemos calcular la magnitud de la función de transferencia a partir de un barrido de frecuencias que

se realizara desde 102 𝐻𝑧 hasta 107 𝐻𝑧. Partimos de la función de trasferencia obtenida en el marco teórico

|𝐻(𝑗𝜔)| =𝜔𝐿

√𝑅2 + (𝜔𝐿)2

Reemplazamos 𝜔 por 2𝜋𝐹

|𝐻(𝑗𝜔)| =2𝜋𝐹𝐿

√𝑅2 + (2𝜋𝐹)2

Y sustituimos los valores de la resistencia y la bobina

|𝐻(𝑗𝜔)| =9,94𝑚𝜋𝐹

√1 ∗ 106 + (9,94𝑚𝜋𝐹)2

Y en esta última ecuación empezamos a realizar los cálculos con el barrido de frecuencias, los datos obtenidos se muestran en la tabla 4.

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Tabla 4. Datos obtenidos para el pasa-altas RL

Frecuencia (Hz) Magnitud de la función de transferencia

102 0,003122727872

102,5 0,009874499291

103 0,03121221635

103,5 0,09827181978

104 0,2980787226

104,5 0,7026449782

105 0,9523601913

105,5 0,994911698

106 0,9994876537

4.3.5 Filtro pasa-banda. Se pide desarrollar un filtro pasa-banda RLC serie, que tenga una frecuencia de resonancia de 52KHz. Se utilizarán las ecuaciones que se describieron en el marco teórico, para hallar el valor de la resistencia y el condensador a utilizar a través del valor de la frecuencia de resonancia, la calidad del filtro y el valor establecido de la bobina.

La calidad del filtro es de 10 (Q=10), entonces podemos despejar, a partir de la ecuación de calidad del filtro, el valor del ancho de banda

𝐵 =𝜔𝑜

𝑄

Cambiamos la expresión 𝜔𝑜 por su equivalente 2𝜋𝐹

𝐵 =2𝜋𝐹

𝑄

𝐵 =2𝜋(52000)𝐻𝑧

10

𝐵 = 10400𝜋

A partir del ancho de banda y el valor establecido de la bobina (5𝑚𝐻), podemos

obtener el valor de la resistencia

𝐵 =𝑅

𝐿

𝑅 = 𝐵 ∗ 𝐿

𝑅 = 10400𝜋 ∗ 5𝑚𝐻 = 163,36Ω

Page 29: 07 - FILTROS PASIVOS

29

Además, podemos obtener el condensador a partir de la siguiente ecuación

𝜔02 =

1

𝐿𝐶

𝐶 =1

𝐿𝜔02

Ahora, cambiando la expresión 𝜔𝑜 por su equivalente 2𝜋𝐹

𝐶 =1

𝐿(2𝜋𝐹)2

𝐶 = 1,87 𝑛𝐹

Teniendo el valor de la bobina, el condensador y el valor de la resistencia, podemos calcular la magnitud de la función de transferencia a partir de un barrido de frecuencias que se realizara desde 102 𝐻𝑧 hasta 107 𝐻𝑧. Partimos de la función

de trasferencia obtenida en el marco teórico

|𝐻(𝑗𝜔)| =2𝜋𝐹

𝑅𝐿

√(1

𝐿𝐶 − 2𝜋𝐹)2

+ (2𝜋𝐹𝑅𝐿)

2

Y sustituimos los valores de la resistencia y la bobina

|𝐻(𝑗𝜔)| =65344𝜋𝐹

√(1

5𝑚𝐻 ∗ 1,87𝑛𝑓− 2𝜋𝐹)

2

+ (65344𝜋𝐹)2

Y en esta última ecuación empezamos a realizar los cálculos con el barrido de frecuencias, los datos obtenidos se muestran en la tabla 5.

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Tabla 5. Datos obtenidos para el pasa-banda RLC serie

Frecuencia (Hz) Magnitud de la función de transferencia

102 0,000191940753

102,5 0,0006069698623

103 0,001919404131

103,5 0,006069588951

104 0,01919055212

104,5 0,06058560874

105 0,1885009426

105,5 0,5188771832

106 0,8868667887

106,5 0,986703285

107 0,9986471701

4.3.6 Filtro rechaza-banda. Se pide desarrollar un filtro rechaza-banda RLC serie, que tenga una frecuencia de resonancia de 52KHz. Se utilizarán las ecuaciones que se describieron en el marco teórico, para hallar el valor de la resistencia y el condensador a utilizar a través del valor de la frecuencia de resonancia, la calidad del filtro y el valor establecido de la bobina.

La calidad del filtro es de 10 (Q=10), entonces podemos despejar, a partir de la ecuación de calidad del filtro, el valor del ancho de banda

𝐵 =𝜔𝑜

𝑄

Cambiamos la expresión 𝜔𝑜 por su equivalente 2𝜋𝐹

𝐵 =2𝜋𝐹

𝑄

𝐵 =2𝜋(52000)𝐻𝑧

10

𝐵 = 10400𝜋

A partir del ancho de banda y el valor establecido de la bobina (5𝑚𝐻), podemos

obtener el valor de la resistencia

𝐵 =𝑅

𝐿

Page 31: 07 - FILTROS PASIVOS

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𝑅 = 𝐵 ∗ 𝐿

𝑅 = 10400𝜋 ∗ 5𝑚𝐻 = 163,36Ω

Además, podemos obtener el condensador a partir de la siguiente ecuación

𝜔𝑜2 =1

𝐿𝐶

𝐶 =1

𝐿𝜔02

Ahora, cambiando la expresión 𝜔𝑜 por su equivalente 2𝜋𝐹

𝐶 =1

𝐿(2𝜋𝐹)2

𝐶 = 1,87 𝑛𝐹

Teniendo el valor de la bobina, el condensador y el valor de la resistencia, podemos calcular la magnitud de la función de transferencia a partir de un barrido de frecuencias que se realizara desde 102 𝐻𝑧 hasta 107 𝐻𝑧. Partimos de la función

de trasferencia obtenida en el marco teórico

|𝐻(𝑗𝜔)| =1 − 𝐿𝐶(2𝜋𝐹)2

√(1 − 𝐿𝐶(2𝜋𝐹)2)2 + (𝑅𝐶2𝜋𝐹)2

|𝐻(𝑗𝜔)| =1 − 𝐿𝐶(2𝜋𝐹)2

√(1 − 𝐿𝐶(2𝜋𝐹)2)2 + (𝑅𝐶2𝜋𝐹)2

|𝐻(𝑗𝜔)| =1 − 𝐿𝐶(2𝜋𝐹)2

√(1 − 𝐿𝐶(2𝜋𝐹)2)2 + (610,9664𝑛𝜋𝐹)2

Y en esta última ecuación empezamos a realizar los cálculos con el barrido de frecuencias, los datos obtenidos se muestran en la tabla 6.

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Tabla 6. Datos obtenidos para el rechaza-banda RLC serie

Frecuencia (Hz) Magnitud de la función de transferencia

102 0,9999999816

102,5 0, 9999998158

103 0, 9999981566

103,5 0, 9999814431

104 0,9998014621

104,5 0,9954036511

105 0,9974663353

105,5 0,9998572012

106 0,9999864072

106,5 0,9999986473

107 0,9999998648

5. PORCENTAJES DE ERROR

5.1 PASA-BAJAS RC

Tabla 7. Datos de laboratorio para filtro pasa-bajas RC

Frecuencia (Hz) Medido (Vpp) Teórico (Vpp) %E

102 17.2 16 6.97

102,5 16.7 16 4.19

103 16.4 15.99 2.52

103,5 15.5 15.92 2.7

104 8.3 8.27 0.36

104,5 10.7 11.38 5.97

105 4.4 4.68 5.98

105,5 1.7 1.61 5.59

106 1 0.99 1.01

Page 33: 07 - FILTROS PASIVOS

33

5.2 PASA-BAJAS RL

Tabla 8. Datos de laboratorio para filtro pasa-bajas RL

Frecuencia (Hz) Medido (Vpp) Teórico (Vpp) %E

102 15.4 16 3.75

102,5 15.1 16 5.62

103 15.1 15.99 5.56

103,5 14.8 15.92 7.03

104 13 15.27 14.8

104,5 10.6 11.38 6.85

105 1.2 1.37 12.4

105,5 1.5 1.61 6.83

106 1.14 0.99 15.15

5.3 PASA-ALTAS RC

Tabla 9. Datos de laboratorio para filtro pasa-altas RC

Frecuencia (Hz) Medido (Vpp) Teórico (Vpp) %E

102 1.3 1.25 3.592

102,5 1.5 1.57 4.673

103 2.2 2.17 0.98

103,5 3.5 3.36 4

104 10.7 10.80 0.94

104,5 10.4 10.29 0.98

105 13.4 13.51 0.82

105,5 14 13.89 0.78

106 13.7 13.91 1.53

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34

5.4 PASA-ALTAS RL

Tabla 10. Datos de laboratorio para filtro pasa-altas RL

Frecuencia (Hz) Medido (Vpp) Teórico (Vpp) %E

102 0.8 0.83 3.75

102,5 0.8 0.824 3

103 0.9 0.94 4.25

103,5 1.9 2 5

104 5.5 5.7 3.5

104,5 10.4 10.1 2.97

105 15 14.87 0.87

105,5 9.1 8.98 1.33

106 5 4.876 2.54

5.5 PASA-BANDA RLC SERIE

Tabla 11. Datos de laboratorio para el filtro pasa-banda

Frecuencia (Hz)

Generador (Vpp)

Salida (Vpp)

|H(jw)| medido

|H(jw)| Teórico

%E

102 16 200m 0.0125 0.0122 2.4

102.5 16 200m 0.0125 0.0127 1.6

103 16 200m 0.0125 0.0128 2.4

103.5 15.95 200m 0.1253 0.1287 2.71 104 15.95 400m 0.025 0.0261 4.4

104.5 15.9 2.1 0.13 0.1353 4.07

104.716 ≅ 52𝐾 13.7 10.75 0.78 0.8152 4.51

105 15.95 1.3 0.081 0.07745 4.38

105.5 15.95 800m 0.050 0.0499 0.2 106 16 100m 0.006 0.00613 2.166

106.5 16 300m 0.01875 0.01775 5.33 107 16 200m 0.0125 0.01283 2.64

Page 35: 07 - FILTROS PASIVOS

35

5.6 RECHAZA- BANDA RLC SERIE

Tabla 12. Datos de laboratorio para el filtro rechaza-banda

Frecuencia (Hz)

Generador (Vpp)

Salida (Vpp)

|H(jw)| medido

|H(jw)| Teórico

%E

102 16 16 1 0.9999 0.1

102.5 16 16 1 0.9998 0.2

103 16 16 1 0.9976 0.24

103.5 16 16 1 0.9967 0.33 104 16 16 1 0.9756 2.44

104.716 ≅ 52𝐾 13.7 8 0.58 0.612 5.51

104.5 15.9 15.7 0.987 0.856 13.27

105 15.9 15.9 1 0.9599 4.01

105.5 16 16 1 0.9674 3.26

106 16 16 1 0.9956 0.44

106.5 16 16 1 0.9996 0.04 107 15.8 15.45 0.978 0.99934 2.18

6. JUSTIFICACIONES DE LOS PORCENTAJES DE ERROR

Para los filtros pasa bajas y altas, probablemente hayan porcentajes altos porque al momento de medir no se había considerado la resistencia interna del generador de señales, y tampoco que, muy probablemente de la forma en que se realizaron las mediciones, las capacitancias internas de cada sonda iban a hacer que la impedancia interna del circuito fuese probablemente comparable a la de la fuente, entonces faltó medir además cual era el voltaje que estaba viendo realmente el circuito, para así poder comparar con la magnitud de la función de transferencia en cada dato, para ese momento.

Figura 13. Esquema del montaje realizado para tomar los datos de los circuitos pasa altas/bajas con circuitos RL y RC.

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36

También, para los datos que deberían de dar poco voltaje, puede que las diferencias a nivel de voltios no sean notorias, pero al realizar el porcentaje, si esos voltajes están, por ejemplo, en ordenes de milivoltios, se notara una gran diferencia en el valor que se debería de medir porque precisamente en ese orden de magnitud las diferencias son grandes.

De las cuatro graficas siguientes, las dos primeras son para el filtro pasa-banda y las dos siguientes para el filtro rechaza-banda. De esas mismas cuatro gráficas, la primera y tercera se simularon con los valores comerciales encontrados, y la segunda y cuarta considerando las capacitancias de entrada del osciloscopio utilizado para medir la respuesta de dichos filtros (15pF por canal)

Para el filtro pasa-banda, se puede observar que hay un buen porcentaje en la frecuencia de paso. Pero, a pesar de todo, el filtro sigue haciendo su labor, de dejar pasar esta frecuencia con un poco más del 70%, como se pudo observar en las tablas.

Figura 14. Ganancia de voltaje para el circuito ideal pasa-banda

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Figura 15. Ganancia de voltaje para el pasa-banda considerando las capacitancias.

Para el filtro rechaza-banda, como se usaron los mismos componentes, la única manera de que el filtro atenúe por completo la frecuencia de rechazo escogida, es bajo el valor preciso de todos los componentes, ya que con los componentes comunes, comerciales; esta frecuencia se convierte en aproximadamente 50KHz.

Figura 15. Ganancia de voltaje para el circuito ideal rechaza-banda

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Figura 16. Ganancia de voltaje para el rechaza-banda considerando las capacitancias

7. CONCLUSIONES

Los filtros ofrecen una repuesta a la variación de la frecuencia de la señal de entrada. En los filtros pasa-bajas al incrementar la frecuencia de la señal el voltaje disminuye, mientras que en la pasa-alta ocurre lo opuesto, estos filtros son muy parecidos en su topología y lo que cambia los resultados obtenidos es el elemento

donde se obtiene la señal de salida.

Los filtros rechaza-banda y pasa-banda se dan al combinar los filtros expuestos anteriormente, en los rechaza banda se excluyen un rango de frecuencias mientras que en los pasa bandas solo admite un rango de frecuencia que está dado según

el ancho de banda, el factor de calidad de los mismos.

Page 39: 07 - FILTROS PASIVOS

39

BIBLIOGRAFÍA

BOYLESTAD, Robert L. Introducción al análisis de circuitos - Doceava Edición. 2011. Edición en español. 928p

C.K. Alexander y M.N.O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits - Tercera Edición. 2008. 1270p.

FLOYD, Thomas L. Principios de Circuitos Eléctricos - Octava Edición. 2007. Edición en Español. 968p.

GLOSARIO

Frecuencia de corte: Es la frecuencia para la que la ganancia en tensión del filtro cae de 1 a 0.707 (esto expresado en decibelios, dB, se diría como que la ganancia

del filtro se reduce en 3dB de la máxima, que se considera como nivel de 0dB).