07-Ajuste de Funciones

8/17/2019 07-Ajuste de Funciones

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Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Delta

Teórico deCÁLCULO AVANZADO

2015

Tema: Ajuste de funciones

Objetivos de Aprendizaje:• Comprender las diferencias entre Ajuste de Funciones e Interpolación y

cuándo se usa cada técnica.• Conocer las ventajas de la Regresión Lineal por Mínimos Cuadrados

(RLMC) frente a otras técnicas de ajuste.• Saber calcular los coeficientes de una RLMC polinómica o de otro tipo.• Saber determinar el grado óptimo del polinomio de ajuste por RLMC.

Germán BRESCIANO


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7 AJUSTE DE FUNCIONES ................................................... ..........................................................7-1

7.1 INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................7-1 7.2

CRITERIOS DE AJUSTE ................................................................................................................7-1 7.3

REGRESIÓN LINEAL ....................................................................................................................7-2

7.3.1

Regresión lineal por mínimos cuadrados ....................................................... ...................7-3 7.3.1.1 Solución general ........................................................................................................................... 7-4

7.3.1.2 Polinomios por mínimos cuadrados ............................................................................................. 7-5 7.3.1.3 Resolución por descomposición QR ............................................................................................. 7-6 7.3.1.4 Determinación del grado del polinomio ....................................................................................... 7-7


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Ajuste de funciones 7-2

Las desviaciones se miden por la distancia de cada punto a la aproximación. Si suponemosque el error en x es despreciable, se usarán distancias verticales. Si el error en x essignificativo se usarán distancias medidas en una dirección oblicua que dependerá de lamagnitud relativa de los errores en x y en y. Este caso más complejo no se tratará aquí.

Un criterio para elegir la mejor aproximación puede ser tomar la que minimice la máxima

desviación. En nuestro ejemplo deberíamos tratar de hallar

−−

=

bax ymaxmin iiiba 10,..,1,

Este es el criterio minimax o de mínimo error máximo y raramente se usa por su complejidad yporque da demasiada importancia a un punto con gran error.

Otro criterio puede ser el de minimizar la suma de los valores de los errores, que en nuestroejemplo sería hallar

−−∑

=

10

1,

i

iiba

bax ymin

Un inconveniente es que este criterio puede ser ambiguo (pues en algunos casos al variar laaproximación lo que aumentan unos errores lo disminuyen otros y la suma permanececonstante) y además no es fácil de determinar el mínimo.

El criterio más utilizado es el de mínimos cuadrados , que consiste en minimizar la suma de loscuadrados de los errores. en nuestro ejemplo sería hallar

( )

−−∑

=

10

1

2

,i

iiba

bax ymin

Además de proporcionar un resultado único, cuando los errores de medida tienen distribuciónnormal con la misma varianza en todos los puntos, este criterio cumple el principio de máximaverosimilitud

1. Además este criterio da mayor peso relativo a los puntos más alejados de la

aproximación pero sin que esos puntos dominen el resultado como en el criterio minimax.

7.3 Regresión lineal

Los criterios vistos en el numeral anterior pueden aplicarse a aproximaciones de cualquier tipo.Cuando consideramos sólo aproximaciones que sean combinaciones lineales de un conjuntode funciones aproximantes, la aproximación se llama regresión lineal .

En el caso general se quiere obtener una aproximación a una función desconocida f(x) a partirde una serie de puntos (x1,y1), (x2,y2),…,(xm,ym) tales que

7-1 mie x f yiii ,,2,1)( K=∀+=

siendo ei el error de medida del punto i-simo.Se busca una aproximación de la forma

7-2 ∑=

=

n

j

j j xga xg0

)()(

donde {g0, g1, …, gn} es un conjunto LI de funciones aproximantes2.

1

es decir que maximiza la probabilidad de ocurrencia de los datos observados.2 este conjunto es base de un subespacio de funciones, en el cual estamos buscando la proyección de nuestra funcióndesconocida con una norma que depende del criterio de ajuste.


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7.3.1 Regresión lineal por mínimos cuadradosDada la aproximación g(x) definida en 7-2 y los puntos (x1,y1), (x2,y2),…,(xm,ym) definimos losresiduos correspondiente a esos datos como

7-3 mi xg y Riii ,,2,1)( K=∀−=

y elegimos como mejor aproximación g(x) aquella que minimice

7-4 ∑ ∑∑= ==

−==

m

i

n

j

i j ji

m

i

in xga y Raaa H 1

2

01

2,,10 )(),( K

Cuando m ≤ n+1 se pueden hallar a0, a1,…, an tales que

mi y xga i

n

j

i j j ,,2,1)(0

K=∀=∑=

por tanto H(a0, a1,…, an)=0 y por lo tanto es mínimo. En este caso el criterio de interpolación

exacta coincide con la aproximación por mínimos cuadrados.En este capítulo nos interesan los casos en que m > n+1, es decir que hay más puntostabulados que funciones aproximantes y por tanto en general H no se anula pero sí tiene unmínimo.

EjemploEn nuestro ejemplo anterior la ecuación 7-4 quedaría

( )∑=

−−=

m

i

ii bax yba H 1

2),(

H será mínimo cuando H(a,b)=0 o sea

( )

( )

=−−−=∂

∂

=−−−=

∂

∂

∑

∑

=

=

02

02

1

1m

i

ii

m

i

iii

bax yb

H

bax y x

a

H

de donde3

=+

=+

∑∑

∑∑∑

ii

iiii

ybm xa

y x xb xa 2

cuya solución es

( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑∑

∑∑

∑∑∑

22

2

22

ii

iiiii

ii

iiii

x xm

x y x y xb

x xm

y x y xma

con los datos de la Tabla 7-1 resulta

3 para compactar la notación se omiten los límites de la sumatoria i=1 hasta m


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( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

−=

−

−=

=−

−=

360.0

5538510

554.57281385

538.15538510

81554.57210

2

2

b

a

la Figura 7-2 muestra los datos y la aproximación.

Figura 7-2 Ajuste lineal de estiramiento de resorte a distintas tensiones

7.3.1.1 Solución generalLas ecuaciones 7-2 y 7-4 se pueden expresarse en forma matricial.Si definimos

),,,( / 21 mm y y y R K=∈ yy

( ) n j)(x ,g),(x),g(xg R m j j j jm

j ,,1,0 / 21 KK =∀=∈ gg

entonces 7-3 puede escribirse gyR −= Si definimos

( ))(,),(),( / 21 mm x x x R ggggg K=∈

[ ] ),,,( 1010 nn aaa y KMLMM == agggG

entonces por 7-2:

( ) =

== ∑∑∑

===

n

j

m j j

n

j

j j

n

j

j jm xga xga xga x x x00

20

121 )(,,)(,)()(,),(),( KK gggg

( ) Gag === ∑∑==

n

j

j j

n

j

m j j j j a)(x ,g),(x),g(xga00

21 K

es decir que g pertenece al espacio de columnas de G.Queremos minimizar la ecuación 7-4 que puede escribirse como


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7-5222

1

2)( GaygyRa −=−=== ∑=

m

i

i R H

por lo tanto estamos buscando el elemento g del espacio de columnas de G que tiene mínimadistancia a y.

La proyección de y sobre el espacio de columnas de G verifica esto, por tanto tomaremos g igual a dicha proyección, que está dada por

Gag = con

7-6 yGGaG TT=

7.3.1.2 Polinomios por mínimos cuadradosSi queremos aproximar nuestra función por un polinomio de grado n, podemos elegir comoconjunto de funciones aproximantes g0(x)=1, g1(x)=x, g2(x)=x

2, …, gn(x)=xn y en este caso la

matriz G queda

=

n

mmm

n

n

x x x

x x x

x x x

L

MOMMM

L

L

2

1211

0200

1

1

1

G

y 7-6 queda

7-7

=

∑

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

++

+

i

n

i

ii

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iiii

n

iii

y x

y x

y

x x x x

x x x x

x x xm

M

L

MOMMM

L

L

a

221

132

2

Este sistema puede resolverse por los métodos vistos en el capítulo 2 cuando n es pequeño,pero para n mayores a 6 el problema se vuelve cada vez peor condicionado con los problemasque ello implica.

EjemploSe desea ajustar los datos de la Tabla 7-2 con un polinomio de segundo grado.

x y

0.00 1.00000.25 1.2840

0.50 1.64870.75 2.11701.00 2.7183

Tabla 7-2 Datos para ajuste cuadrático

En este caso la ecuación 7-7 queda

=

4015375.4

4514.5

768.8

3828125.15625.1875.1

5625.1875.15.2

875.15.25

2

1

0

a

a

a


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cuya solución es (1.0052, 0.8641, 0.8437), por lo que la aproximación cuadrática por mínimoscuadrados es

28437.08641.00052.1)( x x xg ++=

que puede verse en la Figura 7-3.

Figura 7-3 Ajuste cuadrático

7.3.1.3 Resolución por descomposición QRLa matriz G es de mx(n+1) y puede descomponerse como G=QR donde Q es ortonormal demxm y R es triangular superior de mx(n+1).

Como Q es ortonormal, multiplicar por Q en la ecuación 7-5 no cambia el valor de la norma, por

tanto

( ) 22222

)( RayQQRaQyQGaQyQGayQGaya TTTTTT −=−=−=−=−= H

por lo tanto el mínimo de H(a) será

7-82

RayQT

a−min

podemos escribir Q y R como

[ ]

==

0

RRQQQ 21

1 yM

donde R1 es triangular superior de (n+1)x(n+1) y Q1 es de mx(n+1).Sustituyendo en 7-8:

=

−

=

−

=−

2

1

2

12

0

aR

yQ

yQa

0

Ry

Q

QRayQ

T

2

T

1

aT

2

T

1

a

T

aminminmin

+−=

−=

22

1

2

1 yQaRyQyQ

aRyQ T2T1

aT

2

T

1a minmin


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este mínimo se da cuando se anula el primer sumando, es decir cuando

7-9 yQaR T

1=1

resolviendo el sistema lineal7-9 se hallan los coeficientes de 7-2.Este sistema, a diferencia de 7-7, en general no está mal condicionado y por tanto es mejorpara valores grandes de n.

En Matlab este método puede implementarse como

[Q1 R1]=QR(G,0)a=R1\(Q1’*y)

esto es precisamente lo que hace la función POLYFIT(x,y,n) de Matlab, que calcula elpolinomio de grado n por mínimos cuadrados para los datos x e y por este método.

7.3.1.4 Determinación del grado del polinomioCuando tenemos que ajustar un polinomio a una serie de datos experimentales se pueden dardos situaciones.En algunos casos el conocimiento teórico del sistema nos dará el grado del polinomio al quedeben ajustarse los datos.En otros casos no sabemos de qué grado debe ser el polinomio. En estos casos al iraumentando el grado del polinomio se irán reduciendo las desviaciones de los puntos respectoa la curva de ajuste, hasta que para grado m-1 llegamos a la interpolación exacta, condesviaciones nulas.El problema es que al aumentar el grado del polinomio perdemos “suavidad” en la curva deajuste y aumentamos su complejidad quizás innecesariamente.

Suponiendo que la función f de 7-1 es un polinomio de grado N y que los errores de medida e i tienen media cero y varianza constante σ2, si ajustamos un polinomio de grado n mayor o iguala N, teóricamente las desviaciones de los datos a la curva se deben exclusivamente a loserrores de medida y por tanto deben comportarse como una variable aleatoria con media ceroindependiente de x.Esto significa que si graficamos los residuos versus x deberíamos observar una distribuciónmás o menos simétrica de residuos positivos y negativos en todo el rango de x.Además el estimador de σ2:

7-10)1(

22

+−=

∑nm

Ri

nσ

debe ser independiente de n, mientras que para n menor que N dicho estimador debe darvalores mayores pues las desviaciones se deben a los errores de medida más la falta de ajustedel polinomio a f y al graficar los residuos versus x se debe notar un patrón asimétrico, pues lamedia de los residuos variará con x.

Esto nos permite determinar el grado adecuado del polinomio, N, mediante el ajuste depolinomios de grados crecientes observando las gráficas de residuos y el calculando lavarianza de los residuos mediante 7-10. Debemos seleccionar el polinomio de menor gradotras el cual ya no hay disminución significativa de dicha varianza. Un patrón simétrico de lossignos de los residuos confirmará la bondad del ajuste.

En Matlab esto puede hacerse calculando


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for n=1:m-2[a S]=polyfit(x,y,n)var(n)=S.normr^2/S.df

end

EjemploSe desea ajustar los datos de la Tabla 7-3 con un polinomio.

x y

0.05 0.9560.11 0.8900.15 0.8320.31 0.7170.46 0.5710.52 0.5390.70 0.3780.74 0.370.82 0.3060.98 0.242

1.17 0.104

Tabla 7-3 Datos para ajuste polinómico

La Tabla 7-4 muestra polinomios de ajustes de grados crecientes y sus correspondientesvarianzas de los residuos.Según estos resultados el grado óptimo es n=2.

n Polinomio Varianza

1 0.952-0.760x 0.00102 0.998-1.018x+0.225x 0.00023 1.004-1.079x+0.351x +0.069x 0.0003

4 0.998-0.838x-0.522x +1.040x -0.454x 0.0003Tabla 7-4 Ajuste polinómico

A continuación se muestran las gráficas de los resuiduos.Puede verse que para n=1 hay un patrón no simétrico de los residuos, mientras que para n=2,además de ser menores, los residuos tienen una distribución de signos simétrica.Esto confirma la bondad del ajuste con n=2.

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