060808 Modelación Numérica de La Respuesta Hidrológica de Taludes (1)

MODELACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA HIDROLÓGICA DE TALUDES

Por: Luis Ricardo Vásquez Varela.

Código: 296418.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. FACULTAD DE INGENIERÍA.

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA. BOGOTÁ D.C.

2008.

MODELACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA HIDROLÓGICA DE TALUDES

Por: Luis Ricardo Vásquez Varela.

Código: 296418.

Tesis de Grado presentada como requisito parcial para optar al título de Magíster en Ingeniería – Geotecnia.

Director: I.C., M.Sc., Ph.D. DIC. Carlos Eduardo Rodríguez Pineda. Profesor del Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. FACULTAD DE INGENIERÍA.

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA. BOGOTÁ D.C.

2008.

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Para María Antonia.

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AGRADECIMIENTOS Agradezco al Profesor Carlos Eduardo Rodríguez Pineda por su paciente orientación e interés a lo largo del desarrollo de este proyecto, y por sus invaluables y generosas enseñanzas en otros escenarios de trabajo en el área de la Geotecnia. Me considero afortunado de haber podido compartir este ejercicio con un profesional e investigador de su nivel. Igualmente, agradezco a los profesores del Postgrado en Geotecnia por los excelentes cursos en los cuales tuve el privilegio de participar y en los cuales aprendí, no sólo el discurso técnico, si no también el compromiso de la profesión. Ellos son: Profesor Adolfo Alarcón Guzmán. Profesor Guillermo Ángel Reyes. Profesor Álvaro Correa Arroyave. Profesor Carlos Iván Gutiérrez Guevara. Profesor Pedro Hernández Borda. Profesor Félix Hernández Rodríguez. De forma especial, manifiesto mi gratitud a los Profesores Félix Hernández Rodríguez y Álvaro Jaime González García por sus aportes para el mejor desarrollo de este trabajo durante las presentaciones preliminares de octubre de 2007 y marzo de 2008. Asimismo, agradezco a los Profesores Guillermo Eduardo Ávila Álvarez, Ferney Betancourt Cardozo y Álvaro Jaime González García por las oportunas y acertadas recomendaciones y observaciones realizadas en su papel de jurados de este trabajo. También quisiera expresar mi aprecio a mis compañeros y compañeras de estudio, con quienes me unen lazos duraderos de amistad construidos a lo largo de muchas jornadas. Finalmente, agradezco el apoyo de mi familia en las ciudades de Manizales y Bogotá, especialmente a mis padres, hermana y sobrina, a quien dedico este trabajo.

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TABLA DE CONTENIDO LISTA DE CUADROS................................................................................................................. 9 LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................ 10 1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................. 13

1.1. Definición del problema en estudio ...................................................................... 13 1.2. Justificación del estudio ...................................................................................... 15 1.3. Antecedentes del estudio...................................................................................... 15 1.4. Alcance del estudio .............................................................................................. 16 1.5. Contenido del estudio .......................................................................................... 16

2. ESTUDIO DE LA RELACIÓN LLUVIA – DESLIZAMIENTO................................................. 18 2.1. Definición de umbrales para lluvias detonantes de deslizamientos ....................... 18

2.1.1. Estudio de Cuadros et al para Manizales.......................................................... 18 2.1.2. Estudio de Guzzetti et al para el programa europeo RISK AWARE .................... 18 2.1.3. Estudio de Giannecchini en Toscana................................................................ 21 2.1.4. Estudio de Hong et al sobre la misión NASA – TRMM ....................................... 22

2.2. Análisis numérico y factorial de la estabilidad de taludes discretos ...................... 22 2.2.1. Estudio de Vaughan sobre infiltración en taludes no saturados ....................... 22 2.2.2. Estudio de Carvajal et al sobre lluvia y estabilidad de taludes .......................... 23 2.2.3. Manual del TRL para el diseño hidrológico de taludes ...................................... 23 2.2.4. Estudio de Ng & Shi sobre infiltración y estabilidad de taludes ........................ 25 2.2.5. Estudio de Gasmo et al sobre infiltración y estabilidad..................................... 28 2.2.6. Estudio de Cho & Lee sobre infiltración e inestabilidad de taludes ................... 28 2.2.7. Estudio de Cho & Lee sobre un modelo alternativo de infiltración .................... 28 2.2.8. Estudio de Tsaparas et al sobre infiltración y estabilidad ................................. 29 2.2.9. Estudio de Andersen et al sobre deslizamientos inducidos por lluvia ................ 29 2.2.10. Estudio de Zhan & Ng sobre el mecanismo de infiltración ................................ 30 2.2.11. Estudio de Kim et al sobre estabilidad de taludes en Corea .............................. 31 2.2.12. Cartas de estabilidad de Huat et al para Malasia.............................................. 32 2.2.13. Estudio de Gavin & Xue sobre infiltración........................................................ 33

3. PROPIEDADES DE LOS SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS..................................... 35 3.1. Propiedades mecánicas ........................................................................................ 35

3.1.1. Estado de esfuerzos.......................................................................................... 35 3.1.2. Modelos constitutivos....................................................................................... 38 3.1.3. Resistencia al corte .......................................................................................... 40

3.2. Propiedades hidráulicas ....................................................................................... 43 3.2.1. Curva de retención de humedad del suelo ........................................................ 43 3.2.2. Coeficiente de conductividad hidráulica ........................................................... 52 3.2.3. Ensayos de laboratorio para definir las propiedades hidráulicas....................... 54 3.2.4. Parámetros hidráulicos en el código SWMS_3D ................................................ 56

4. MODELACIÓN DE FLUJO EN SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS ............................ 58 4.1. Modelación del efecto de la vegetación.................................................................. 60 4.2. Experiencias en la solución numérica de la ecuación de Richards........................ 62

5. EJEMPLOS NUMÉRICOS................................................................................................. 63 5.1. Caso reportado por Avellaneda & Colmenares ...................................................... 63

5.1.1. Análisis para 100 elementos (0.6 cm.) y cuatro tiempos.................................... 65 5.1.2. Análisis para 150 elementos (100 @ 0.3 y 50 @ 0.6 cm.) y seis tiempos ............ 66 5.1.3. Análisis para 10 elementos de 6.0 cm. y seis tiempos....................................... 66

5.2. Caso reportado por Andersen et al. ...................................................................... 67 5.2.1. Tasa de flujo igual a la permeabilidad saturada................................................ 68 5.2.2. Tasa de flujo igual 0.5 veces la permeabilidad saturada ................................... 70

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5.2.3. Tasa de flujo igual 0.1 veces la permeabilidad saturada ................................... 70 5.3. Caso reportado por Cho & Lee.............................................................................. 71 5.4. Estudio de un modelo tridimensional de flujo....................................................... 73 5.5. Evaluación del modelo de Pradel & Raad.............................................................. 83

6. PROCEDIMIENTO PARA EL ESTUDIO DE LA RESPUESTA HIDROLÓGICA DE TALUDES 89 7. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 93 8. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 95 APÉNDICE. CÓDIGO SWMS_3D ........................................................................................... 100 A.1. Observaciones sobre el código en lenguaje FORTRAN................................................. 100 A.2. Modelación del flujo de agua en medio parcialmente saturado ................................... 100 A.2.1. Ecuación de Richards en el código SWMS_3D ............................................................ 101 A.2.2. Extracción de agua por las raíces............................................................................... 101 A.2.3. Condiciones iniciales y de frontera............................................................................. 103 A.3. Solución numérica de la ecuación de flujo de agua en el código SWMS_3D ................ 105 A.3.1. Discretización del espacio .......................................................................................... 105 A.3.2. Discretización del tiempo ........................................................................................... 109 A.3.3. Estrategias para la solución numérica de la ecuación de flujo de agua....................... 110 A.3.3.1. Proceso de iteración ........................................................................................... 110 A.3.3.2. Discretización del término de almacenamiento de agua...................................... 110 A.3.3.3. Control de los intervalos de tiempo .................................................................... 111 A.3.3.4. Condiciones de frontera con carga de presión .................................................... 111 A.3.3.5. Condiciones de frontera con flujo y gradiente ..................................................... 112 A.3.3.6. Condiciones de frontera atmosféricas y superficies de filtración ......................... 112 A.3.3.7. Tratamiento de drenes ....................................................................................... 113 A.3.3.8. Evaluación del balance de agua ......................................................................... 114 A.3.3.9. Cálculo de los flujos nodales .............................................................................. 115 A.3.3.10. Extracción de agua por las raíces de las plantas ................................................ 115 A.3.3.11. Evaluación de las propiedades hidráulicas del suelo .......................................... 116 A.3.3.12. Implementación de la anisotropía de la conductividad hidráulica....................... 116 A.3.3.13. Análisis de flujo permanente (steady – state). ..................................................... 117 A.4. Descripción del anexo digital...................................................................................... 117

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LISTA DE CUADROS Cuadro 1. Umbrales de intensidad contra duración para el inicio de deslizamientos ............... 20 Cuadro 2. Estado del conocimiento sobre varios aspectos de la predicción de estabilidad

de taludes para las condiciones de Hong Kong ....................................................... 23 Cuadro 3. Modelos de la curva de retención y distribuciones de poros correspondientes ......... 48 Cuadro 4. Parámetros hidráulicos para la función de Van Genuchten..................................... 49 Cuadro 5. Relaciones entre la conductividad hidráulica y la succión matricial ........................ 53 Cuadro 6. Técnicas comunes para medir la succión del suelo ................................................. 55 Cuadro 7. Técnicas comunes para medir la conductividad hidráulica del suelo....................... 55 Cuadro 8. Propiedades hidráulicas del suelo empleado por Andersen et al (2003) ................... 68 Cuadro 9. Estudio parcial de parámetros de Andersen et al (2003). ........................................ 68 Cuadro 10. Propiedades del dominio tridimensional................................................................ 74 Cuadro 11. Escenarios analizados de intensidad – duración ................................................... 77 Cuadro 12. Parámetros hidráulicos de los suelos de estudio ................................................... 84

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LISTA DE FIGURAS Figura 1. Distribución del tipo de desastres en Latinoamérica y el Caribe (Fuente: IDB,

2000) ..................................................................................................................... 15 Figura 2. Carta de amenaza para el primer período lluvioso (enero – junio) en Manizales

(Fuente: Cuadros et al, 2003)................................................................................. 19 Figura 3. Relación entre lluvia diaria, precipitación acumulada de 25 días y magnitud del

deslizamiento para Manizales (Fuente: Cuadros et al, 2003)................................... 19 Figura 4. Umbrales inferiores de la relación intensidad – duración para el inicio de

deslizamientos (Adaptado de Guzzetti et al, 2005) .................................................. 20 Figura 5. Relación entre la intensidad y la lluvia normalizada con umbrales superior e

inferior (Fuente: Giannecchini, 2005) ..................................................................... 21 Figura 6. Relación entre la duración y la lluvia normalizada con umbrales superior e

inferior (Fuente: Giannecchini, 2005) ..................................................................... 21 Figura 7. Intensidad y duración de la lluvia para los deslizamientos ocurridos en el periodo

operacional del TRMM (1998 - presente). (Fuente: Hong et al, 2006) ...................... 22 Figura 8. Resumen del rango de condiciones cubiertas en el desarrollo de las cartas de

diseño (Fuente: TRL, 1997) .................................................................................... 24 Figura 9. Carta de diseño para una lluvia de 250 mm en 24 horas (Modificado de: TRL,

1997) ..................................................................................................................... 25 Figura 10. Factor de seguridad versus intensidad de la lluvia (Fuente: Ng & Shi, 1998) .......... 26 Figura 11. Factor de seguridad versus duración de la lluvia (Fuente: Ng & Shi, 1998)............. 27 Figura 12. Factor de seguridad versus permeabilidad saturada del suelo (Fuente: Ng &

Shi, 1998) .............................................................................................................. 27 Figura 13. Comparación de los métodos aproximados con los análisis numéricos para

taludes de 30° (izquierda) y 40° (derecha) (Fuente: Cho & Lee, 2002)...................... 29 Figura 14. Variación de la profundidad de la banda húmeda con la lluvia para un suelo

SW con diferentes succiones (ψ) en el frente húmedo (Fuente: Kim et al, 2004) ...... 31 Figura 15. Influencia del espesor de la banda húmeda (zw) en el factor de seguridad

(Fuente: Kim et al, 2004)........................................................................................ 32 Figura 16. Variación de los coeficientes de estabilidad f y s (Fuente: Huat et al, 2006) ............ 32 Figura 17. Resultados experimentales que ilustran la dependencia del parámetro de

esfuerzo efectivo de Bishop con el grado de saturación (Fuente: Lu & Likos, 2004). .................................................................................................................... 37

Figura 18. Relaciones entre el parámetro de esfuerzo efectivo de Bishop y la succión normalizada por el valor de entrada de aire (Fuente: Khalili & Khabbaz, 1998). ..... 37

Figura 19. Vista tridimensional de las superficies de cedencia en el espacio de esfuerzos. (Fuente: Alonso et al, 1990). .................................................................................. 38

Figura 20. Variación de las relaciones de esfuerzos del estado crítico con el grado de saturación – Sr – (Fuente: Toll, 1990). .................................................................... 39

Figura 21. Envolvente de falla para suelos parcialmente saturados (Fuente: Gasmo et al, 2000). .................................................................................................................... 40

Figura 22. Variación de la resistencia al corte con respecto a la succión matricial (Fuente: Tekinsoy et al, 2004).............................................................................................. 42

Figura 23. Comparación de envolventes de succión calculadas con datos experimentales (Fuente: Tekinsoy et al, 2004). ............................................................................... 42

Figura 24. Curva de retención de humedad del suelo (Modificado de: Andersen et al, 2003). .................................................................................................................... 44

Figura 25. Relación entre la succión y la humedad para un suelo arenoso con bajo contenido de arcilla (Fuente: Croney, 1952). .......................................................... 45

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Figura 26. Variación del valor de entrada de aire con la relación de vacíos inicial (Fuente: Zhou & Yu, 2005). ................................................................................................. 46

Figura 27. Variación del grado de saturación residual (Sr0) con el valor de entrada de aire (Fuente: Zhou & Yu, 2005)..................................................................................... 46

Figura 28. Curvas de retención para especimenes compactados con diferentes humedades iniciales (Fuente: Zhou & Yu, 2005). ...................................................................... 47

Figura 29. Curvas de retención para especimenes con diferentes historias de esfuerzo (Fuente: Zhou & Yu, 2005)..................................................................................... 47

Figura 30. Curva de retención de agua para tres arenas (Fuente: Donado & Colmenares, 2006). .................................................................................................................... 49

Figura 31. Valores experimentales y teóricos a partir de la granulometría para la curva de retención de la arena #350 (Fuente: Fredlund et al, 1997)...................................... 50

Figura 32. Efecto de los cambios de humedad en el módulo resiliente (Fuente: Zapata et al, 2007). .................................................................................................................... 51

Figura 33. Función de conductividad en términos de la succión (Andersen et al, 2003)........... 53 Figura 34. Esquema de las funciones de contenido de agua y conductividad hidráulica

(Fuente: Šimůnek et al, 1995). ............................................................................... 57 Figura 35. Distribución de presiones y mallas adaptable refinadas para t = 10.0. (Fuente:

Wilderotter, 2002) .................................................................................................. 61 Figura 36. Distribución de presiones y mallas adaptable refinadas para t = 75.0. (Fuente:

Wilderotter, 2002) .................................................................................................. 61 Figura 37. Variación de la presión de poros con la profundidad en una columna

homogénea de suelo (Fuente: Avellaneda & Colmenares, 2003). ............................. 64 Figura 38. Modelo Mualem – Van Genuchten de las funciones hidráulicas del suelo de la

Figura 37 (adaptado de Avellaneda & Colmenares, 2003). ...................................... 65 Figura 39. Variación temporal de la presión de poros con la profundidad en una columna

homogénea de suelo dividida en 100 elementos de 0.6 cm. .................................... 65 Figura 40. Variación temporal de la presión de poros con la profundidad en una columna

homogénea de suelo dividida en 100 elementos de 0.3 cm. y 50 elementos de 0.6 cm. .................................................................................................................. 66

Figura 41. Variación temporal de la presión de poros con la profundidad en una columna homogénea de suelo dividida en 10 elementos de 6.0 cm. ...................................... 67

Figura 42. Carga de presión contra elevación para q / ksat = 1.0. ............................................ 69 Figura 43. Contenido volumétrico de agua contra elevación, q / ksat = 1.0............................... 69 Figura 44. Carga de presión contra elevación para q / ksat = 0.5. ............................................ 70 Figura 45. Carga de presión contra elevación para q / ksat = 0.1. ............................................ 71 Figura 46. Dominio de análisis y propiedades hidráulicas (Fuente: Cho & Lee, 2002).............. 72 Figura 47. Distribución de presiones de agua de los poros (Pa) para ksat = 0.18 m / h

(Fuente: Cho & Lee, 2002)...................................................................................... 72 Figura 48. Distribución de presiones de agua de los poros (m) para ksat = 0.18 m / h ............. 73 Figura 49. Vista isométrica del modelo analizado con la distribución inicial de carga de

presión (dimensiones en metros) ............................................................................ 74 Figura 50. Distribución inicial de cargas de presión (t = 0 día) ................................................ 75 Figura 51. Distribución final de cargas de presión (t = 1.0 día) en la sección media del

modelo 3D (y = 60 m) ............................................................................................. 76 Figura 52. Distribución final de cargas de presión (t = 1.0 día) en el modelo 2D...................... 76 Figura 53. Estabilidad del modelo 2D para I = 1.0 m/día y D = 1.0 día ................................... 78 Figura 54. Estabilidad del modelo 2D según la intensidad para D = 1.0 día ............................ 79 Figura 55. Estabilidad del modelo 2D según la duración para I = 1.0 m/día ........................... 79 Figura 56. Estabilidad de la sección media del modelo 3D según la intensidad para D = 1.0

día ......................................................................................................................... 80 Figura 57. Estabilidad de la sección media del modelo 3D según la duración para I = 1.0

m/día .................................................................................................................... 81 Figura 58. Comparación del F.S. 2D contra 3D según la intensidad para D = 1.0 día.............. 81 Figura 59. Comparación del F.S. 2D contra 3D según la duración para I = 1.0 m/día............. 82 11

Figura 60. Modelo bidimensional de talud infinito................................................................... 85 Figura 61. Arena. Modelo de Pradel & Raad versus análisis numéricos ................................... 85 Figura 62. Avance del frente húmedo en la arena para dos tasas de infiltración en 0.2 días.... 86 Figura 63. Arcilla. Modelo de Pradel & Raad vs. Análisis numéricos........................................ 87 Figura A. 1. Esquema de la función de respuesta al esfuerzo del agua (Fuente: Šimůnek et

al., 1995) ............................................................................................................. 102 Figura A. 2. Esquema de la función de distribución del potencial de extracción de agua

b(x, y, z) en la zona radicular del suelo (Šimůnek et al, 1995)............................... 103

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1. INTRODUCCIÓN En el ejercicio de la Ingeniería se reconoce con frecuencia que los métodos disponibles para el análisis de los materiales terrestres son aproximaciones a sus características y comportamiento reales. No obstante, el reconocimiento de tales restricciones constituye el primer paso para su superación mediante la implementación de nuevos modelos de mayor complejidad para describir los problemas. Un caso ilustrativo de lo anterior corresponde a la mecánica de suelos parcialmente saturados, en la cual existen soluciones teóricas desde hace varias décadas cuya aplicación sólo ha sido posible hasta épocas relativamente recientes. De acuerdo con Fredlund & Rahardjo (1993) los suelos parcialmente saturados “representan un desafío debido a las diferencias fundamentales de su naturaleza y comportamiento”, los cuales están fuertemente influenciados por los procesos de evapotranspiración y precipitación en la interfase suelo – atmósfera. Como parte del componente atmosférico, el ciclo hidrológico ha sido reconocido como causante de deslizamientos desde los primeros días de la mecánica de suelos (Andersen et al., 2003) y es evidente la ocurrencia de deslizamientos asociados con lluvias en la mayoría de los paisajes montañosos (Iverson, 2000). En ese orden de ideas, el desarrollo de herramientas que permitan la modelación del comportamiento de taludes sometidos a cambios medioambientales es fundamental para la comprensión de los procesos de inestabilidad y para la formulación de estrategias de mitigación y control de los mismos. 1.1. Definición del problema en estudio De acuerdo con Iverson (Op. Cit., 2000), el enfoque tradicional en la predicción de deslizamientos activados por lluvia comprende los siguientes elementos: “(…)

a. Identificación de terrenos susceptibles al deslizamiento. b. Medición de la intensidad y duración de las lluvias que causan la falla del talud. c. Establecimiento de métodos empíricos, sin marco teórico, que expliquen el

fenómeno o permitan hacer predicciones. De acuerdo con lo anterior, existe un desconocimiento de la influencia del proceso hidrológico en la inestabilidad de los taludes en aspectos como: a. Localización, tiempo y tasas de deslizamiento. b. Variación de los riesgos por deslizamiento en respuesta a los cambios climáticos o

el uso del suelo. Por lo tanto, se requiere establecer modelos que consideren la susceptibilidad al deslizamiento en función de los siguientes aspectos:

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a. Variables topográficas, geológicas e hidrológicas. b. Cambios en el uso del suelo. c. Potencial de deslizamiento por presiones del agua subterránea.

• Influencia de la lluvia en el agua subterránea, la cual modula el nivel freático y causa un flujo paralelo al talud.

• Redistribución de las presiones del agua subterránea normales al talud y asociadas con la infiltración temporal de la lluvia.

d. Consideración de medios estratificados y heterogéneos. e. Principio de esfuerzo efectivo.

(…)” De forma concordante con lo anterior, Fredlund & Rahardjo (Op. Cit., 1993) plantean el problema de los taludes naturales sujetos a continuos cambios medioambientales de la siguiente forma: “(…) Los ingenieros pueden verse abocados a investigar la estabilidad actual de un talud y predecir lo que sucedería si la geometría del talud o las condiciones ambientales cambiasen. Una importante proporción de las superficies de deslizamiento puede estar por encima del nivel freático, es decir, puede pasar por suelos parcialmente saturados con presiones de poros negativas y será necesario establecer:

1. El efecto sobre la presión de poros de los cambios de geometría. 2. El efecto sobre la presión de poros de las precipitaciones prolongadas y qué tan

bien se pueden predecir dichas presiones. 3. El cambio potencial de una superficie de deslizamiento debido a la precipitación. 4. El efecto de descartar las presiones de poro negativas en el análisis de la

estabilidad del talud. 5. El factor de seguridad en equilibrio límite del talud como función del tiempo.

(…)”. De la misma forma, si se considera el análisis de riesgo de deslizamiento, Dai et al (2002) indican que se requiere el conocimiento de los factores determinantes de la probabilidad de ocurrencia del mismo de acuerdo con dos categorías (Hong et al, 2006): “(…)

1. Las variables preparatorias que hacen al terreno susceptible a fallar (incluyendo topografía, tectónica, historia geológica, tasas de meteorización, usos del suelo, etc.)

2. Los factores dinámicos detonantes (lluvia, sismo y rotura de glaciares). (…)”. A partir de los elementos planteados por estos autores se define el problema específico sobre el cual se desarrolla este trabajo, el cual puede enmarcarse en la siguiente hipótesis: “La respuesta hidrológica de un talud, y por ende su estabilidad, dependen de la intensidad de la lluvia, la precipitación antecedente, su acumulación y duración; del flujo lateral en el talud; y de las propiedades hidráulicas de los suelos y rocas in situ”. 14

1.2. Justificación del estudio En la Figura 1 se presenta la distribución del tipo de desastres ocurridos en Latinoamérica y el Caribe entre 1970 y 1999 (IDB, 2000). Salvo por las tormentas propias del Caribe, la zona andina colombiana está expuesta a todos los eventos siendo importante la proporción de los deslizamientos. Debe recordarse que estos eventos no son totalmente independientes entre sí y pueden presentarse de forma conjugada y unos como consecuencia de otros.

Figura 1. Distribución del tipo de desastres en Latinoamérica y el Caribe (Fuente: IDB,

2000) Los deslizamientos generados por lluvia producen pérdidas humanas y materiales cuyos efectos no se identifican de forma precisa en muchas ocasiones (Hong et al, 2006). La región andina colombiana aloja una parte importante de las actividades económicas y sociales del país, cuya protección demanda una mayor comprensión de los deslizamientos, incluyendo aquellos causados por la lluvia. Así, es evidente la necesidad de implementar nuevas herramientas de modelación que permitan extender la comprensión del comportamiento de los taludes frente a la variación temporal de las condiciones de flujo. 1.3. Antecedentes del estudio Los antecedentes de este trabajo corresponden a numerosas investigaciones desarrolladas sobre la relación lluvia – deslizamiento – estabilidad de taludes en las últimas dos décadas. Existen dos tendencias en los documentos consultados: los estudios para la definición de umbrales de lluvias detonantes de deslizamientos y el análisis numérico – factorial de la estabilidad de taludes específicos sometidos a condiciones reales o simuladas de interacción con la atmósfera.

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En el segundo capítulo de este documento se presenta una síntesis de varias referencias que fueron evaluadas para establecer una aproximación al estado del conocimiento dentro de las dos tendencias referidas. 1.4. Alcance del estudio En esta investigación se analizará la respuesta hidrológica de taludes en casos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, mediante la solución numérica de la ecuación de Richards que describe el flujo en medios parcialmente saturados. En el desarrollo de este estudio se han empleado versiones del código de dominio público SWMS_3D (Šimůnek et al., 1995) hasta su presente desarrollo en el programa HYDRUS (PC–Progress, 2006). Los casos unidimensional y bidimensional tienen por objeto verificar los resultados obtenidos con valores calculados o publicados. El caso tridimensional trata de ser una representación más precisa de la realidad y se analizará su divergencia con los resultados bidimensionales. El impacto de la respuesta hidrológica sobre las condiciones de estabilidad será establecido mediante el método del equilibrio límite. No se realizarán análisis acoplados o desacoplados de deformaciones por el método del elemento finito. Las propiedades de los materiales empleados en los análisis se tomarán de los catálogos de los programas empleados o de las referencias consultadas. La presentación de resultados de investigaciones locales tiene por objeto recalcar la aplicabilidad en el corto plazo de este tipo de análisis en el medio colombiano. 1.5. Contenido del estudio En el segundo capítulo se presenta una exposición de estudios antecedentes sobre el tema tratado desde las perspectivas de las relaciones lluvia – deslizamiento y la modelación numérica de casos específicos de flujo y estabilidad. En el tercer capítulo se presenta un marco teórico general sobre las propiedades mecánicas e hidráulicas de los suelos parcialmente saturados. En el cuarto capítulo se presenta la derivación de la ecuación de Richards y la estrategia resumida para su solución numérica en el código SWMS_3D (Šimůnek et al, 1995) con comentarios sobre algunos aspectos que han sido objeto de investigaciones adicionales. El procedimiento detallado de solución, implementado en el software SWMS_3D, se expone en un apéndice de este documento. En el quinto capítulo se presentan resultados numéricos obtenidos para algunos casos publicados en las referencias consultadas y otros propuestos por primera vez en este trabajo. Estos últimos corresponden a: (1) la evaluación de los resultados de flujo transiente y estabilidad entre un análisis tridimensional y uno bidimensional para un talud homogéneo, y (2) evaluación del modelo de Pradel & Raad con los análisis numéricos y su aplicación en el análisis de estabilidad de talud infinito.

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En el sexto capítulo se presenta un procedimiento propuesto para el análisis de la respuesta hidrológica de taludes considerando las líneas de trabajo identificadas y la perspectiva del autor a partir de los desarrollos realizados. En el séptimo capítulo se presentan las conclusiones de este estudio y en el octavo las referencias consultadas. Los apéndices contienen las observaciones del autor sobre el proceso de compilación del código SWMS_3D y la solución numérica de la ecuación de Richards en el mismo.

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2. ESTUDIO DE LA RELACIÓN LLUVIA – DESLIZAMIENTO Como se mencionó en el capítulo anterior, los antecedentes de este trabajo corresponden a numerosas investigaciones desarrolladas sobre la relación lluvia – deslizamiento en las últimas dos décadas. La gran cantidad de estudios existentes indica la relevancia del tema, por lo cual los trabajos referenciados deben considerarse como ilustrativos antes que como un compendio detallado sobre el tema. Se observan dos tendencias en los documentos consultados: los estudios para la definición de umbrales de lluvias detonantes de deslizamientos y el análisis numérico – factorial de la estabilidad de taludes discretos mediante la simulación por computador. 2.1. Definición de umbrales para lluvias detonantes de deslizamientos 2.1.1. Estudio de Cuadros et al para Manizales En 2003, Cuadros & Siza, dirigidos por Rodríguez Pineda en la Universidad Nacional de Colombia, analizaron varios modelos de relaciones lluvia – deslizamiento para la ciudad de Manizales, Colombia, sobre una base de datos de 37 años. Entre sus conclusiones se pueden mencionar: a. Se deben analizar de forma independiente los dos periodos de lluvias típicos de

Manizales. b. El modelo de Guidicini e Iwasa se ajusta mejor a las condiciones locales y permite

elaborar cartas de amenaza para cada periodo lluvioso como se ilustra en la Figura 2.

c. El umbral de amenaza se acerca a los valores de precipitación acumulada media

multianual de la ciudad, lo cual es indicativo de su alta vulnerabilidad a la ocurrencia de deslizamientos causados por lluvia.

d. Se determinó la validez limitada del umbral formulado por Terlien para Manizales

con la lluvia antecedente de 25 días. En la Figura 3 se observan numerosos deslizamientos “severos”, “desastrosos” y “catastróficos” por debajo de dicho umbral.

2.1.2. Estudio de Guzzetti et al para el programa europeo RISK AWARE En 2005, Guzzetti et al presentaron un resumen de relaciones mundiales, regionales y locales para definir umbrales intensidad – duración de lluvias detonantes de deslizamientos, algunos de los cuales se presentan en el Cuadro 1.

18

Figura 2. Carta de amenaza para el primer período lluvioso (enero – junio) en Manizales

(Fuente: Cuadros et al, 2003)

Figura 3. Relación entre lluvia diaria, precipitación acumulada de 25 días y magnitud del

deslizamiento para Manizales (Fuente: Cuadros et al, 2003)

19

Entre los antecedentes de este estudio es de interés anotar que se menciona el trabajo realizado por Terlien en Manizales (1998) como ejemplo del efecto de la lluvia antecedente. Debe reiterarse la limitación de dicho trabajo de acuerdo con los análisis de Cuadros et al (2003). Como producto de esta investigación, sus autores propusieron nuevos umbrales mundiales de intensidad – duración de lluvias detonantes de deslizamientos, obtenidos mediante análisis bayesiano y estratificados mediante el sistema de zonificación climática de Köppen (Figura 4).

Cuadro 1. Umbrales de intensidad contra duración para el inicio de deslizamientos

Autor Zona Extensión Tipo de deslizamiento Ecuación

Caine (1980) Mundial Global Todos 0.39D82.41I −⋅=

0.167 h. < D > 500 h. Ec. 1

Innes (1983) Mundial Global Flujo de detritos.

0.49D93.4I −⋅= 0.1 h. < D > 100 h.

Ec. 2

Cancelli & Nova (1985)

Valtellina, norte de Italia Local Deslizamientos

de suelo.

0.78D67.44I −⋅= 0.1 h. < D > 1,000 h.

Ec. 3

Ahmad (2003) Jamaica oriental Regional Deslizamientos superficiales.

-0.26D5.11I ⋅= 1 h. < D > 150 h.

Ec. 4 Fuente: Resumido de Guzzetti et al, 2005.

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

1,000.00

0.10 1.00 10.00 100.00 1,000.00 10,000.00Duración - D - (h.)

Inte

nsid

ad -

I - (m

m./h

.)

Tropical húmedo Seco de latitud mediaSubtropical húmedo templado de latitud media Templado de latitud media

I = 22.21 x D-0.55

I = 67.41 x D-0.69

I = 2.81 x D-0.16

I = 3.43 x D-0.40

Figura 4. Umbrales inferiores de la relación intensidad – duración para el inicio de

deslizamientos (Adaptado de Guzzetti et al, 2005)

20

2.1.3. Estudio de Giannecchini en Toscana En 2005, Giannecchini propone relaciones locales de intensidad, duración y lluvia normalizada, con la ocurrencia de deslizamientos para Toscana (Italia) sobre una base de datos de eventos entre 1975 y 2002. En la Figura 5 y en la Figura 6 se definen umbrales superior e inferior considerando la siguiente clasificación de eventos: (A): eventos que indujeron muchos deslizamientos y flujos, (B): eventos que indujeron algunos deslizamientos y pequeños flujos locales, y (C): sin información sobre efectos inducidos. Es interesante anotar que los umbrales propuestos no incluyen un evento excepcional identificado por su autor el 8 de junio de 1984, ni se menciona en el artículo alguna estrategia para posibles eventos similares en el futuro.

Figura 5. Relación entre la intensidad y la lluvia normalizada con umbrales superior e

inferior (Fuente: Giannecchini, 2005)

Figura 6. Relación entre la duración y la lluvia normalizada con umbrales superior e

inferior (Fuente: Giannecchini, 2005)

21

2.1.4. Estudio de Hong et al sobre la misión NASA – TRMM En 2006, Hong et al propusieron el empleo de la información obtenida por la misión de medición satelital de lluvias tropicales de la NASA (TRMM) para la evaluación del riesgo de deslizamientos. Esta propuesta involucra técnicas de procesamiento de imágenes para definir la topografía de terrenos susceptibles a deslizamiento y su asociación con datos de lluvia. En la Figura 7 se presenta el umbral mundial de intensidad – duración de la lluvia detonante de deslizamientos (TMPA: Análisis de Precipitación basado en Múltiples Satélites de la Misión de Medición de Lluvias Tropicales de la NASA)

Figura 7. Intensidad y duración de la lluvia para los deslizamientos ocurridos en el

periodo operacional del TRMM (1998 - presente). (Fuente: Hong et al, 2006) Es interesante anotar que, por tratarse de productos estadísticos, los umbrales locales cuentan con mayor aceptación como herramienta para la interpretación de la relación lluvia – deslizamiento en un entorno determinado. El hecho de que los autores de umbrales “mundiales” los estratifiquen por zonas climáticas, o complementen su formulación con información adicional sobre pendiente y cobertura, representa un proceso de regionalización en aras de un mejor ajuste. 2.2. Análisis numérico y factorial de la estabilidad de taludes discretos 2.2.1. Estudio de Vaughan sobre infiltración en taludes no saturados En 1985, Vaughan presentó un análisis para el cálculo de presiones de poro debidas a la infiltración en taludes parcialmente saturados. En dicho análisis se estableció la existencia de un umbral para diferentes taludes a partir del cual se activan los deslizamientos causados por lluvia. Concluyó que los taludes que tengan una capa superficial de baja permeabilidad y no erosionable no alcanzarán la condición umbral propuesta. El análisis no consideraba la relación entre la conductividad hidráulica y la humedad – succión.

22

2.2.2. Estudio de Carvajal et al sobre lluvia y estabilidad de taludes En 1988, Carvajal y Buitrago, dirigidos por González García en la Universidad Nacional de Colombia, desarrollaron herramientas de modelación de flujo para la “Investigación de Deslizamientos de la Red Vial Nacional”. Establecieron como elementos críticos para la estabilidad: la intensidad de la lluvia, el flujo lateral procedente de la parte alta de las cuencas (condiciones de frontera), el efecto de la lluvia antecedente sobre la posición del nivel freático inicial del análisis, la reducción de las presiones de poros negativas (succión), el efecto perjudicial de las grietas de tracción y el efecto beneficioso de los sistemas de drenaje. Se destaca el empleo de parámetros hidráulicos (conductividad hidráulica y contenido volumétrico de agua) en función de la succión. 2.2.3. Manual del TRL para el diseño hidrológico de taludes En 1997, el TRL británico (Transport Research Laboratory) realizó un diagnóstico sobre el estado del conocimiento de los factores involucrados en la estabilidad de taludes parcialmente saturados en zonas tropicales de acuerdo con las condiciones de Hong Kong (Cuadro 2). Nótese que el elemento peor calificado corresponde al conocimiento sobre las condiciones de flujo y las presiones de poro. Cuadro 2. Estado del conocimiento sobre varios aspectos de la predicción de estabilidad

de taludes para las condiciones de Hong Kong

Aspecto Estado del arte actual para las condiciones de Hong Kong Calificación general del

conocimiento

Métodos de análisis de estabilidad

Se considera satisfactorio el método de análisis de Jambu (1954, 1973) para superficies no lineales. Factores de seguridad de 1.2 a 1.4 se consideran satisfactorios. A menudo, la información computacional se trata incorrectamente.

Muy Buena

Geometría de la falla

La geometría post falla se define con facilidad. Con frecuencia es difícil definir una superficie potencial de falla para el diseño, especialmente con geologías complejas.

Buena a Muy Buena

Geología

Los procedimientos de investigación en campo son adecuados, pero las descripciones son generalmente malas. Los perfiles de meteorización compleja son difíciles de describir. Mala comprensión de la influencia de las características geológicas en la hidrogeología.

Regular

Resistencia al corte

La diferencia entre las resistencias de la masa y la muestra no está bien entendida. Comúnmente se emplean ensayos de laboratorio para determinar la resistencia saturada de las muestras en términos de esfuerzos efectivos, pero existen dudas sobre la aplicabilidad de los resultados. Las mediciones de resistencia in situ son limitadas. Se reconoce el efecto debilitante de las estructuras heredadas. Se desconoce el efecto de los bloques y cantos.

Regular a Mala

23

Aspecto Estado del arte actual para las condiciones de Hong Kong Calificación general del

conocimiento

Flujo subterráneo y presiones

de poro

Existen correlaciones útiles entre deslizamientos y lluvia. Hay dificultad para predecir los cambios rápidos en las presiones de poros debidos a la lluvia para efectos de diseño. Se han hecho limitados intentos para modelar el flujo subterráneo. La mejor estrategia para diseño es extrapolar las medidas in situ. Se han hecho progresos en la instrumentación de campo. La tubificación es importante para el flujo de agua.

Mala

Fuente: TRL, 1997. El documento tiene el formato de una Nota Vial (Road Note) o manual para su uso práctico y contiene cartas para la determinación del factor de seguridad de taludes con una variedad de geometrías y condiciones de frontera. El modelo de flujo consideró tres escenarios de conductividad hidráulica saturada aunque independiente de las condiciones de succión – humedad. El análisis de estabilidad se realizó con el método de Bishop y el aporte de la succión a la resistencia al corte se estimo con un límite superior de 20 kPa. En la Figura 8 se presenta un esquema de los factores involucrados en la preparación de las cartas de estabilidad y en la Figura 9 la carta correspondiente a una lluvia de 250 mm con 24 horas de duración.

Figura 8. Resumen del rango de condiciones cubiertas en el desarrollo de las cartas de

diseño (Fuente: TRL, 1997)

24

En la carta de diseño se evidencia que la conductividad hidráulica influye de forma notoria en el factor de seguridad. Para las conductividades hidráulicas baja e intermedia (10-7 y 10-6 m/s) se observa la influencia del nivel freático antecedente y la altura del talud en la reducción del factor de seguridad. Para la mayor conductividad hidráulica considerada (10-5 m/s), el factor de seguridad se hace prácticamente insensible a las condiciones iniciales del nivel freático y el talud es inestable en un amplio rango de las condiciones analizadas.

Figura 9. Carta de diseño para una lluvia de 250 mm en 24 horas (Modificado de: TRL,

1997) 2.2.4. Estudio de Ng & Shi sobre infiltración y estabilidad de taludes En 1998, Ng & Shi presentaron una de las referencias más citadas en el análisis de estabilidad de taludes parcialmente saturados. Se estudiaron los efectos de la intensidad y duración de la lluvia y de la conductividad hidráulica del suelo sobre el factor de seguridad. En la Figura 10 se observa la reducción del factor de seguridad con el incremento de la intensidad de la lluvia (181, 267 y 394 mm) para tres niveles freáticos iniciales (61, 62 y 63 m) y una duración de 24 horas (1 día). El factor de seguridad es menor cuando el nivel freático inicial se encuentra más cerca de la superficie del talud.

25

Los resultados de la Figura 11 están basados en la curva de intensidad – duración de la lluvia para un periodo de retorno de 10 años en las condiciones de Hong Kong. El factor de seguridad decrece con la duración de la lluvia hasta cierto “valor crítico” (Δf1), que corresponde al ascenso del nivel freático inicial, y a partir de allí se incrementa de forma sutil pues la intensidad de la lluvia aplicada se reduce con la duración de acuerdo con la curva IDF empleada. Al final de cada simulación se aplica una “tormenta” de 148 mm y dos horas de duración, lo cual produce una reducción adicional del nivel freático (Δf2) que no puede interpretarse como independiente de la lluvia antecedente pues todos los análisis partieron de un nivel freático común.

Figura 10. Factor de seguridad versus intensidad de la lluvia (Fuente: Ng & Shi, 1998)

En la Figura 12 se observa que el factor de seguridad es menor para valores pequeños de conductividad hidráulica, aunque es poco sensible a dicho parámetro. El comportamiento de la conductividad hidráulica sobre el factor de seguridad es complejo pues sus casos teóricos extremos (permeabilidad nula o muy elevada) tienen el mismo efecto favorable sobre la estabilidad al impedir la generación de presiones de poros. Es interesante anotar que estos resultados son opuestos a la tendencia encontrada en el estudio del TRL (Op. Cit., 1997)

26

Figura 11. Factor de seguridad versus duración de la lluvia (Fuente: Ng & Shi, 1998)

Figura 12. Factor de seguridad versus permeabilidad saturada del suelo (Fuente: Ng & Shi,

1998) En términos generales los autores concluyeron:

27

a. La infiltración debida a la lluvia causa la reducción de la succión matricial y un incremento del contenido de agua y la permeabilidad del suelo de las zonas no saturadas.

b. Se pueden desarrollar niveles freáticos colgados por encima del nivel freático

existente. En ocasiones, el nivel freático principal no se eleva y la inestabilidad de los taludes se asocia sólo con la reducción o pérdida de la succión.

c. La localización del nivel freático inicial y la lluvia antecedente tienen efectos

significativos en la estabilidad del talud, lo cual debilita las metodologías que buscan una intensidad de lluvia crítica que por sí sola detone el deslizamiento.

2.2.5. Estudio de Gasmo et al sobre infiltración y estabilidad En 2000, Gasmo et al analizaron el efecto de la infiltración en la estabilidad de un talud de suelo residual mediante los programas SEEP/W (flujo) y SLOPE/W (estabilidad). Establecieron que la mayor parte de la infiltración ocurre en la corona del talud. También simularon periodos de evaporación y precipitación encontrando un impacto medible sobre el factor de seguridad. 2.2.6. Estudio de Cho & Lee sobre infiltración e inestabilidad de taludes En 2001, Cho & Lee simularon la respuesta acoplada de flujo y deformación bidimensional de un talud. El acople propuesto corresponde a una forma modificada de la ecuación de Alonso y Lloret (en Cho & Lee, 2001) que asocia la relación de vacíos con el esfuerzo neto y la succión matricial. De acuerdo con los autores, el análisis con elemento finito permite una mejor comprensión de los mecanismos de falla asociados con la infiltración. Las condiciones de estabilidad se obtienen del análisis del campo de esfuerzos y es notorio el efecto de la heterogeneidad de la conductividad hidráulica del suelo por ser una función no lineal de la succión. Si cerca de la superficie del talud se dificulta el flujo debido a una baja conductividad hidráulica, la superficie de falla tiende a desplazarse hacia la cara del talud ya que la reducción de la succión matricial induce una pérdida de resistencia al corte. Este comportamiento se puede modelar adecuadamente con esfuerzos efectivos y superficie plana. Si la inestabilidad evoluciona a medida que el agua se infiltra, significa que existen zonas de falla local que no deberían ser ignoradas. 2.2.7. Estudio de Cho & Lee sobre un modelo alternativo de infiltración En 2002, Cho & Lee presentaron una ecuación de infiltración basada en el modelo de Green–Ampt para el análisis de estabilidad de talud infinito. Las predicciones del modelo propuesto se compararon con la solución de los programas SEEP/W y SLOPE/W encontrándose un ajuste mejor que el de las predicciones de la solución obtenida con el modelo de Pradel & Raad (Figura 13).

28

Figura 13. Comparación de los métodos aproximados con los análisis numéricos para

taludes de 30° (izquierda) y 40° (derecha) (Fuente: Cho & Lee, 2002) 2.2.8. Estudio de Tsaparas et al sobre infiltración y estabilidad En 2002, Tsaparas et al presentaron el análisis de un talud con los programas SEEP/W y SLOPE/W para evaluar el impacto sobre la estabilidad de la intensidad de la lluvia, la distribución de la lluvia antecedente, las condiciones iniciales y la conductividad hidráulica saturada. El talud analizado se encuentra en la Universidad Tecnológica de Nanyang (Singapur), está formado por un limo arcilloso de origen residual con grado 6 de meteorización y se encuentra instrumentado. Las conclusiones principales del estudio son: a. Se determinó como caso crítico una lluvia de 240 mm con 16 horas de duración y

una distribución uniforme de la lluvia antecedente durante cinco días. b. Los taludes muy permeables (ksat = 10-4 m/s) no son susceptibles a la influencia de

pequeñas cantidades de lluvia antecedente; la infiltración durante un evento importante de lluvia se afecta si el talud está compuesto de suelos moderadamente permeables (ksat = 10-5 m/s); y para una conductividad hidráulica muy baja (ksat = 10-6 – 10-7 m/s) las presiones de poro pueden permanecer inalteradas durante el evento de lluvia pero acercarán a valores positivos después del final del periodo húmedo.

2.2.9. Estudio de Andersen et al sobre deslizamientos inducidos por lluvia En 2003, Andersen et al realizaron un estudio numérico sobre suelos no saturados y deslizamientos inducidos por lluvia. En este se reitera la identificaron de los elementos del problema: (1) Los factores hidrológicos de la respuesta de un talud frente a la lluvia: intensidad de la lluvia, precipitación antecedente, acumulación total y duración; (2) la limitación de las relaciones empíricas pues incluyen la definición de un criterio umbral; y (3) las variaciones espaciales en la conductividad hidráulica debidas a los cambios en los tipos y espesores de los suelos.

29

Se establecieron las siguientes conclusiones sobre el desarrollo antecedente sobre el problema: a. Las lluvias cortas e intensas disparan deslizamientos pequeños y superficiales que

pueden crecer. b. Las lluvias de larga duración disparan deslizamientos grandes y profundos. c. La lluvia antecedente influye en el aumento de las presiones de poro durante una

precipitación. d. Las condiciones geológicas complejas afectan la respuesta hidrológica de los

taludes. e. Ningún método (lluvia acumulada total contra tiempo, intensidad contra duración,

intensidad contra lluvia acumulada) es aplicable de forma general para predecir los deslizamientos en taludes.

En este estudio se consideró la realización de análisis de flujo bidimensionales pero se descartaron por su “complejidad”. Los análisis definitivos se hicieron con un modelo unidimensional de la corona del talud con SEEP/W y el estudio de estabilidad con SLOPE/W. Los autores presentan el análisis retrospectivo de dos casos de inestabilidad cuyos parámetros hidráulicos fueron obtenidos de las bases de datos de los programas empleados. 2.2.10. Estudio de Zhan & Ng sobre el mecanismo de infiltración En 2004, Zhan & Ng presentaron un análisis paramétrico para un modelo unidimensional monocapa y bicapa para describir el mecanismo de infiltración en los suelos parcialmente saturados. De sus análisis concluyeron que: a. La pendiente de la curva de retención de humedad del suelo y la conductividad

hidráulica saturada tienen un efecto mayor en la respuesta de la presión de poros que la capacidad de almacenamiento del suelo (θs – θr).

b. En suelos relativamente secos la conductividad hidráulica (kw) está controlada por

la pendiente de la curva de retención de humedad, mientras que en suelos con bajos valores de succión está controlada por la permeabilidad saturada (ksat).

c. Los efectos de la tasa de infiltración antecedente sobre la presión de poros son más

significativos que aquellos de la tasa de infiltración subsiguiente. d. Cuando un perfil de suelo relativamente permeable se somete a una lluvia fuerte,

las presiones de poros negativas pueden reducirse de forma considerable en todo el perfil. Si además se presenta una lluvia antecedente fuerte, las presiones de poros negativas podrían incluso desaparecer.

30

2.2.11. Estudio de Kim et al sobre estabilidad de taludes en Corea En 2004, Kim et al estudiaron un caso representativo para la península de Corea con deslizamiento inducido por el avance del frente húmedo. Se emplearon los modelos de talud infinito y el de infiltración de Pradel & Raad, de uso extendido en dicho país y del cual se sospecha que sobrestima el factor de seguridad. Los autores establecieron que existe una coincidencia entre los resultados de Pradel & Raad y la solución numérica rigurosa de acuerdo con la succión (ψ) que se considere en el frente húmedo del modelo simplificado (Figura 14). También se determinó una reducción importante del factor de seguridad cuando el frente húmedo alcanza una profundidad de 120 cm., valor que transformado en carga de presión es semejante a la cohesión efectiva empleada en los análisis (c’ = 10 kPa). Los autores no concluyen sobre esta tendencia pues emplearon un solo tipo de suelo en el estudio.

Figura 14. Variación de la profundidad de la banda húmeda con la lluvia para un suelo SW

con diferentes succiones (ψ) en el frente húmedo (Fuente: Kim et al, 2004)

31

Figura 15. Influencia del espesor de la banda húmeda (zw) en el factor de seguridad

(Fuente: Kim et al, 2004) 2.2.12. Cartas de estabilidad de Huat et al para Malasia En 2006, Huat et al presentaron cartas de estabilidad de taludes para condiciones representativas de Malasia de acuerdo con una serie de simplificaciones sobre los materiales, el modo de falla y la duración e intensidad del evento de lluvia crítico. En la Figura 16 se presenta una de dichas cartas.

Figura 16. Variación de los coeficientes de estabilidad f y s (Fuente: Huat et al, 2006)

Los coeficientes de estabilidad obtenidos se emplean para obtener el factor de seguridad en la siguiente ecuación:

32

bsfFS φtan+= Ec. 5

Donde: FS: factor de seguridad. f & s: parámetros de estabilidad que dependen de la pendiente, el número de

estabilidad y la altura del talud. φb: ángulo que define el incremento de la resistencia al corte por el incremento de la

succión. El empleo extendido de estas cartas particulares (como las cartas de Taylor, Hoek, Duncan, etc.) es improbable considerando los numerosos factores locales involucrados en su elaboración. 2.2.13. Estudio de Gavin & Xue sobre infiltración En 2007, Gavin & Xue compararon los resultados de un modelo de infiltración basado en las ecuaciones de Green–Ampt con los resultados de aplicar el método del elemento finito (MEF). Concluyeron que: a. Los modelos simples son útiles pues las soluciones con el MEF, aunque rigurosas,

son susceptibles a la precisión de los datos de conductividad hidráulica. b. El modelo Green–Ampt subestima el tiempo necesario para la formación del frente

húmedo por lo cual se propone un modelo simplificado de la zona húmeda con saturación parcial y conductividad hidráulica del orden del 50% de la saturada.

c. Dentro del frente húmedo existen dos zonas, una controlada por la intensidad de la

lluvia y otra controlada por la distribución de la succión. De esta sección se puede concluir que los análisis de flujo y estabilidad de taludes parcialmente saturados han evolucionado involucrando geometrías complejas y reconociendo la variación de los parámetros hidráulicos del suelo con la succión. La mayor parte de los estudios corresponden a modelos no acoplados de flujo – equilibrio límite sin análisis de deformaciones. En varias investigaciones se ha adoptado el empleo de los programas SEEP/W y SLOPE/W de la empresa canadiense GEOSLOPE. El estudio de Cho & Lee (Op. Cit., 2001) propone un modelo propio acoplado de flujo y deformaciones. En esa misma línea de acción, el Centro Internacional de Métodos Numéricos de la Universidad Politécnica de Cataluña (España) ha desarrollado el programa Code_BRIGHT para la solución acoplada de problemas termo–hidro– mecánicos sobre la plataforma de preprocesamiento y postprocesamiento GID (Universidad Politécnica de Cataluña, 2008). Persisten los esfuerzos para adaptar modelos sencillos de infiltración como Green–Ampt o Pradel & Raad pues se reconocen las complejidades del método numérico. La principal dificultad de los modelos de infiltración simplificados radica en el empleo de valores de conductividad hidráulica insensibles a los cambios de succión.

33

Evidentemente, existen más referencias sobre los temas mencionados pero se considera que la información presentada es representativa de la evolución del estado del arte en las áreas descritas. En el desarrollo del marco teórico se emplearon otras fuentes que facilitan al lector la compresión del documento, incluyendo los antecedentes anteriormente expuestos. El conjunto de todas las publicaciones y herramientas consultadas se presenta en la bibliografía al final del documento.

34

3. PROPIEDADES DE LOS SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS 3.1. Propiedades mecánicas El estudio de las propiedades mecánicas corresponde a la definición del estado de esfuerzos, las relaciones constitutivas esfuerzo – deformación y la resistencia al corte de los suelos parcialmente saturados. A continuación se presenta un marco de referencia básico sobre estos temas: 3.1.1. Estado de esfuerzos Para la definición del estado de esfuerzos puede considerarse la estructura de suelo compuesta por cuatro fases: sólidos, agua, aire e interfase aire – agua o membrana contráctil, propuesta por Fredlund & Rahardjo (Op. Cit., 1993). La membrana contráctil se considera como una fase independiente porque tiene propiedades diferentes a las de los materiales contiguos en la estructura. De acuerdo con los autores citados, su implementación es conveniente para explicar el comportamiento mecánico pues los sólidos y la membrana contráctil entran en equilibrio bajo la acción de las cargas mientras que las fases de agua y aire fluyen. La ecuación de equilibrio para la estructura del suelo en la dirección y es de la forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0*

*

=∂∂

−+−−+∂∂

+

+∂

∂+

∂−∂

++∂

−∂+

∂

∂

yfuunFFgn

yunn

zyuufnn

yu

x

waca

syw

syssa

sc

zywacw

ayxy

ρ

τστ

Ec. 6 Donde: τxy: esfuerzo cortante en el plano x en la dirección y. σy: esfuerzo normal total en la dirección y (o en el plano y). μa: presión del aire en los poros. f*: función de interacción entre el equilibrio de la estructura del suelo y el

equilibrio de la membrana contráctil. (σy – ua): esfuerzo normal neto en la dirección y. nw: porosidad relativa a la fase agua. nc: porosidad relativa a la membrana contráctil. μw: presión del agua en los poros. (μa – μw): succión matricial. τzy: esfuerzo de corte en el plano z en la dirección y. ns: porosidad relativa a las partículas del suelo. g: aceleración de la gravedad.

35

ρs: densidad de las partículas de suelo. Fwsy: fuerza de interacción entre la fase agua y las partículas de suelo en la

dirección y. Fasy: fuerza de interacción entre la fase aire y las partículas del suelo en la

dirección y. Se pueden escribir ecuaciones similares para las direcciones x & z, y obtener tres grupos independientes de esfuerzos normales que gobiernan el equilibrio de la estructura del suelo y la membrana contráctil: (σi – μa) con i = x, y, z, (μa – μw) – succión matricial –, y (μa) – presión del aire –. Al comparar esta ecuación de equilibrio con la forma tradicional de la mecánica de sólidos se aprecia la incorporación de varios parámetros nuevos: a. Las presiones del aire y del agua de los poros para obtener el esfuerzo efectivo. La

primera se puede tomar igual a la presión atmosférica (o nula) y la segunda es medible.

b. Las porosidades relativas a las fases de sólidos, aire y agua, que pueden obtenerse del diagrama de fases aunque se requiere separar el agua que constituye la membrana contráctil del agua total.

c. Las fuerzas de interacción entre las diferentes fases. Esta propuesta para la definición del estado de esfuerzos, aunque conceptualmente sólida, no es de extensa aplicación considerando las referencias consultadas para este estudio. La complejidad para definir las relaciones volumétricas de la membrana contráctil y las fuerzas de interacción entre las fases podría explicar esta situación. En 1959 Bishop propuso una relación más sencilla para la determinación del esfuerzo efectivo en problemas geotécnicos con suelos parcialmente saturados (Lu & Likos, 2004):

( ) ( )waa μμχμσσ −+−=' Ec. 7

Donde: σ': esfuerzo efectivo. (σ – ua): esfuerzo normal neto. μa: presión del aire en los poros. (μa – μw): succión matricial. Χ: parámetro del esfuerzo efectivo, 1.0 para suelos saturados y 0.0 para

suelos secos. Experimentalmente, se ha establecido la relación entre el parámetro de esfuerzo efectivo de Bishop y el grado de saturación como se ilustra en la Figura 17:

36

Figura 17. Resultados experimentales que ilustran la dependencia del parámetro de esfuerzo efectivo de Bishop con el grado de saturación (Fuente: Lu & Likos, 2004).

Hay un renovado interés en la Ec. 7 y se ha propuesto una relación para obtener Χ en función de la succión, (μa – μw), normalizada al valor de entrada de aire del material, (μa – μw)b, como se ilustra en la Figura 18.

Figura 18. Relaciones entre el parámetro de esfuerzo efectivo de Bishop y la succión

normalizada por el valor de entrada de aire (Fuente: Khalili & Khabbaz, 1998).

37

3.1.2. Modelos constitutivos Es posible plantear un modelo constitutivo conceptualmente sólido y acorde con la ecuación de equilibrio propuesta por Fredlund & Rahardjo (Ec. 6), el cual estará sujeto a las mismas complejidades ya mencionadas. En las referencias consultadas se cita de forma reiterada la investigación de Alonso et al (1990) en la cual proponen un modelo de endurecimiento elasto–plástico empleando como campos de esfuerzos efectivos independientes el exceso del esfuerzo total sobre la presión del aire y la deficiencia de la presión de agua (succión). Para condiciones isótropas de esfuerzo el modelo se caracteriza por dos curves de cedencia (LC: carga – colapso; y SI: incremento de succión) cuyas leyes de endurecimiento están controladas por la deformación plástica volumétrica total. Estas curvas se convierten en superficies de cedencia cuando se introduce un tercer eje (que considera el esfuerzo cortante, q) para modelar estados triaxiales de esfuerzo. En la Figura 19 se presentan las superficies de cedencia en el espacio de esfuerzos p, q, s.

Figura 19. Vista tridimensional de las superficies de cedencia en el espacio de esfuerzos.

(Fuente: Alonso et al, 1990). Otro modelo constitutivo para suelos parcialmente saturados fue propuesto por D. G. Toll (1990) como una relación entre el esfuerzo cortante, el exceso del esfuerzo total sobre la presión de aire y la deficiencia de la presión de agua (succión). Las contribuciones del esfuerzo total y la succión al esfuerzo cortante se pueden expresar mediante dos relaciones de esfuerzos dependientes del grado de saturación:

38

( ) ( )wawaa MpMq μμμ −+−= Ec. 8

Donde: q: esfuerzo cortante (“desviador”) = σ1 – σ3. Ma: relación de esfuerzo total. p: esfuerzo principal promedio = (σ1 + σ2 + σ3) / 3. (p – μa): exceso del esfuerzo total sobre la presión de aire. Mw: relación de succión. (μa – μw): succión matricial. Los valores de las relaciones de esfuerzo total y de succión se determinan experimentalmente como una función del grado de saturación (Figura 20).

Figura 20. Variación de las relaciones de esfuerzos del estado crítico con el grado de

saturación – Sr – (Fuente: Toll, 1990). Estos modelos constitutivos son extensiones de la mecánica de suelos del estado crítico a los suelos parcialmente saturados. No tienen una aplicación específica en este trabajo, pues no se realizarán análisis de deformaciones, y se presentan sólo con la intención de ofrecer un marco teórico integral.

39

3.1.3. Resistencia al corte La resistencia al corte de los suelos parcialmente saturados se puede expresar como una extensión del modelo de Mohr–Coulomb considerando un aporte adicional de resistencia debido a la succión matricial. En 1978, Fredlund, Morgenstern & Widger definieron la resistencia al corte en términos del exceso del esfuerzo total sobre la presión del aire y la succión matricial como variables de estado independientes (Mahalinga-Iyer & Williams, 1995 y Khalili & Khabbaz, 1998):

( ) ( ) bwaac φμμφμστ tan'tan' −+−+=

Ec. 9 Donde: τ: resistencia al esfuerzo cortante. c': cohesión efectiva. σ: esfuerzo total. μa: presión del aire en los poros. φ': ángulo efectivo de fricción interna. μw: presión del agua en los poros. φb: ángulo de fricción interna con respecto a la succión matricial (μa – μw). Al incorporar el efecto de la succión matricial, la envolvente de falla de Mohr–Coulomb deja de ser una línea y se convierte en un plano tangente a todos los círculos de falla como se ilustra en la Figura 21.

Figura 21. Envolvente de falla para suelos parcialmente saturados (Fuente: Gasmo et al,

2000).

40

Otra propuesta considera el estado de esfuerzos definido por la Ec. 7, para expresar la resistencia al corte de la siguiente forma (Khalili & Khabbaz, 1998):

( ) ( )[ ] 'tan' φμμχμστ waac −+−+= Ec. 10

Donde: τ: resistencia al esfuerzo cortante. c': cohesión efectiva. σ: esfuerzo total. μa: presión del aire en los poros. φ': ángulo efectivo de fricción interna. μw: presión del agua en los poros. Χ: parámetro del esfuerzo efectivo de Bishop. Varios autores han postulado que la relación entre la resistencia al corte y la succión matricial no es lineal y está influenciada por las características hidráulicas del suelo parcialmente saturado (ver sección 3.2). Vanapalli propone que el aporte de la succión a la resistencia al corte es función del ángulo efectivo de fricción interna y del contenido volumétrico de agua normalizado por la capacidad de almacenamiento del material (Tekinsoy et al, 2004):

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

×−=rs

rwaus θθ

θθφμμτ 'tan

Ec. 11 Donde: τus: resistencia al corte por succión. (μa – μw): succión matricial. φ’: ángulo efectivo de fricción interna. θ: contenido volumétrico de agua. θs: contenido volumétrico de agua en saturación. θr: contenido volumétrico de agua residual. (θs – θr ): capacidad de almacenamiento. Tekinsoy et al (Op. Cit., 2004) proponen una relación empírica que explica la variación no lineal del aporte de la succión a la resistencia al corte en función del ángulo efectivo de fricción interna y el valor de entrada de aire del material:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +×+=

at

atsataevus p

pp μφμτ ln'tan

Ec. 12 Donde: τus: resistencia al corte por succión. φ’: ángulo efectivo de fricción interna. μaev: valor de entrada de aire.

41

pat: presión atmosférica. Se requiere como valor de referencia para la condición saturada.

μs: succión. La diferencia primordial entre las expresiones de Vanapalli y Tekinsoy et al radica en que la primera requiere la determinación total de la curva de retención de humedad, mientras que la segunda sólo necesita el valor de entrada de aire del material, es decir, un estudio parcial de la relación succión – humedad en una trayectoria de secado. En la Figura 22 se observa la relación no lineal entre la resistencia al corte y la succión representada por los modelos descritos.

Figura 22. Variación de la resistencia al corte con respecto a la succión matricial (Fuente:

Tekinsoy et al, 2004). Tekinsoy et al compararon los resultados de la Ec. 12 con valores experimentales, logrando un ajuste notable con su modelo (modelo logarítmico en la Figura 23).

Figura 23. Comparación de envolventes de succión calculadas con datos experimentales

(Fuente: Tekinsoy et al, 2004).

42

Mahalinga-Iyer & Williams (Op. Cit., 1995) investigaron en laboratorio la relación entre la succión matricial y la variación del esfuerzo cortante y el ángulo φb para muestras compactadas de suelos lateríticos derivados de basalto y caliza. Es interesante anotar que en sus resultados combinan y validan los modelos de resistencia al corte de Fredlund et al y el modelo constitutivo de Toll, planteando que las relaciones de esfuerzo total, Ma, y succión, Mw, corresponden a las tangentes de φ’ y φb,

spectivamente.

.2. Propiedades hidráulicas

or de entrada de aire. A continuación se definen estos y otros lementos:

.2.1. Curva de retención de humedad del suelo

re 3 En el numeral anterior se evidencia la relación entre las propiedades mecánicas e hidráulicas de los suelos parcialmente saturados mediante conceptos como la succión matricial y el vale 3

la porosidad, el grado de saturación y los pesos specíficos de sus componentes.

4 se ilustran los siguientes lementos de interés en dicha la curva (Lu & Likos, 2004):

de retención presenta histéresis entre los procesos de humedecimiento y secado.

En condiciones de saturación parcial la presión de poros es función de la humedad del suelo. El contenido de agua se expresa de forma volumétrica (θ = volumen de agua / volumen total), la cual difiere de la forma gravimétrica de uso común (ω = peso del agua / peso de sólidos). Mediante un diagrama de fases del suelo se pueden relacionar estas expresiones a través de e La expresión gráfica de la relación entre la presión de poros y el contenido de agua se denomina curva de retención de humedad del suelo o curva característica suelo – agua (SWCC: soil – water characteristic curve). En la Figura 2e a. La curva

b. El contenido saturado de agua (θs) corresponde al estado en el cual todos los vacíos

en la matriz de suelo están llenos de agua. Usualmente, se mide sobre la curva de secado.

ingresar en los poros más grandes del suelo y se inicia el proceso de desecación.

uiriéndose grandes incrementos de succión para remover agua adicional del suelo.

c. El valor de entrada de aire [AEV, μaev ó (μa – μw)b], también denominado “presión de

entrada de aire” o “presión de burbujeo”, corresponde al valor de succión (sobre la curva de secado) a partir del cual el aire comienza a

d. El contenido residual de agua (θr) corresponde a la situación en la cual el agua

reside en los poros como meniscos aislados, req

43

Figura 24. Curva de retención de humedad del suelo (Modificado de: Andersen et al,

2003). La obtención de curvas de retención de humedad es un procedimiento que data de un siglo atrás (Buckingham, 1907) y sus aplicaciones en ingeniería son extensas como se deduce, por ejemplo, de los trabajos de Croney (1952) sobre la relación entre la humedad y la succión – logaritmo de la carga de presión en centímetros, pF – (Figura 25). El producto de los estudios de Croney es el concepto de “humedad de equilibrio de la subrasante”, necesario para establecer los valores de diseño de la fundación de los pavimentos en las sucesivas Notas Viales de 1962 a 1993. En la actualidad, aún se emplean procedimientos empíricos para estimar la humedad de equilibrio mediante correlaciones con la clasificación de los suelos (Vásquez Varela, 2002). Zhou & Yu (2005) resumen el efecto de cuatro elementos que afectan la curva de retención de humedad de los suelos: a. Efecto de la relación de vacíos inicial: a menor relación de vacíos inicial se tiene un

valor de entrada de aire mayor y un grado de saturación residual mayor. La densidad superior del suelo implica, para bajas relaciones de vacíos, que se pueden asumir cambios pequeños en la saturación a baja succión (Figura 26). El valor de entrada de aire y el grado residual de saturación pueden asociarse empíricamente con la relación de vacíos (Figura 27).

b. Efecto del contenido inicial de agua: la curva de retención es más pendiente a

mayor humedad inicial. El valor de entrada de aire se incrementa con el contenido de aire inicial. La resistencia al secado es baja en especimenes compactados con una humedad menor que la óptima comparada con la de especimenes compactados con la humedad óptima o superior. Para suelos con alta humedad inicial el efecto

44

del secado es notorio, especialmente a baja succión. Las curvas con diferentes humedades iniciales tienden a converger en altos valores de succión (Figura 28).

Figura 25. Relación entre la succión y la humedad para un suelo arenoso con bajo

contenido de arcilla (Fuente: Croney, 1952). c. Efecto del estado de esfuerzos: los suelos sujetos a altas presiones presentan

grados de saturación mayores para succiones por encima del valor de entrada de aire. A medida que se incrementa la succión, la humedad se reduce con tasas diferentes. A mayor carga aplicada, la tasa de reducción de la humedad es menor. El punto en el cual la humedad comienza a reducirse de forma significativa indica el valor de entrada de aire. La historia de esfuerzos no parece afectar de forma notable la forma de la curva de retención, aunque el valor de entrada de aire se incrementa y la tasa de cambio de la saturación se reduce con el incremento del esfuerzo neto total (Figura 29).

45

Figura 26. Variación del valor de entrada de aire con la relación de vacíos inicial (Fuente:

Zhou & Yu, 2005).

Figura 27. Variación del grado de saturación residual (Sr0) con el valor de entrada de aire

(Fuente: Zhou & Yu, 2005). d. Efecto de los valores elevados de succión: la curva de retención es similar a altas

succiones sin importar las condiciones iniciales de humedad o el historial de esfuerzos. Vanapalli et al han propuesto que las fuerzas internas entre los agregados se resisten al secado con succiones elevadas; se presume que la película de agua es tan delgada que todo el fluido está en el rango de influencia de los campos osmótico y de adsorción. Así, la estructura del suelo y su agregación parecen tener una influencia despreciable en el comportamiento de la curva de retención para el rango superior de succión.

Del último literal se concluye que cuando la succión es muy grande se pueden ignorar los efectos de la humedad inicial y del historial de esfuerzos. Esto presenta alguna

46

coincidencia con las investigaciones de Fredlund y Xing, quienes reportan un límite de succión de 1.0 GPa para la humedad nula, el cual es coincidente con mediciones de Croney & Coleman (1961) y un análisis de termodinámica de Richards (1965) (Fredlund & Xing, 1994).

Figura 28. Curvas de retención para especimenes compactados con diferentes humedades

iniciales (Fuente: Zhou & Yu, 2005).

Figura 29. Curvas de retención para especimenes con diferentes historias de esfuerzo

(Fuente: Zhou & Yu, 2005). La obtención de la curva de retención de humedad no es un proceso ajeno a las complejidades de la exploración y evaluación geotécnica de materiales. En ocasiones, los ensayos de laboratorio sólo pueden realizarse en un rango limitado de humedad cercano a las condiciones de trabajo, por lo cual diferentes autores han propuesto relaciones matemáticas para ajustar un número finito de datos a un modelo (Lu & 47

Likos, 2004). En el Cuadro 3 se presentan algunos de estos modelos succión – humedad y las distribuciones de tamaños de poros asociadas con ellos.

Cuadro 3. Modelos de la curva de retención y distribuciones de poros correspondientes Nombre del

modelo Modelo Distribución del tamaño de los poros (ψ)

Gardner (1956).

DBrsrSe −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=μθθ

θθ

Ec. 13

Tamaño de poros constante.

Función lineal de la humedad

(Fredlund & Xing, 1994).

μθθθθ DB

rsrSe −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

Ec. 14

2μA

Ec. 15

Brooks & Corey (1964).

ne DB

rsrS μθθθθ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

Ec. 16

( )1+mAμ

Ec. 17

Brutsaert (1966). ( )ne ars

rSμθθ

θθ+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=1

1

Ec. 18

( )( )[ ]( )[ ]2

1

1 n

n

a

aan

μ

μ

+

−

Ec. 19

Distribución normal.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=s

erfcrsrSe 22

1 ψμθθθθ

Ec. 20

Distribución normal.

Van Genuchten

(1980). ( )[ ]mnears

rSμθθ

θθ

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=1

1

Ec. 21

( )( )

( )[ ]( )1

1

1+

−

+mn

n

a

amna

μ

μ

Ec. 22

McKee & Bumb (1987)

(Boltzman).

( )Be e

rsrS μ

θθθθ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

Ec. 23

Distribución exponencial.

Fredlund & Xing (1994). ( )[ ]{ }mne

aersrS

μθθθθ

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=ln

1

Ec. 24

( )( )

( )[ ] ( )[ ]{ }( )1

1

ln+

−

++mnn

n

aeaea

amn

μμ

μ

Ec. 25 Adaptado de: Fredlund & Xing (1994), Lu & Likos (2004) y Zhou & Yu (2005). En el cuadro anterior θs y θr son los contenidos volumétricos de agua saturado y residual, μ es la succión para el contenido volumétrico de agua θ, Se es el grado efectivo de saturación, “erfc” es una función de error y e es el número de Euler. Los símbolos no definidos corresponden a variables que se determinan con el ajuste matemático de los datos.

48

En el modelo de Van Genuchten, por ejemplo, un valor bajo de m corresponde a una pendiente moderada para succiones bajas y a una pendiente fuerte para succiones altas. El parámetro n está relacionado con el índice de distribución del tamaño de poros: poros de tamaño uniforme tienen valores mayores de n y la curva es más pendiente en la zona de desecación. El parámetro α no afecta la forma de la curva, pero la traslada hacia las regiones de succiones altas o bajas (Zhou & Yu, 2005). En el Cuadro 4 se presenta un resumen de los parámetros hidráulicos para la función de Van Genuchten considerando cinco clases texturales de suelo del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos (USDA).

Cuadro 4. Parámetros hidráulicos para la función de Van Genuchten Clase textural θr (L3L-3) θs (L3L-3) α (1/cm.) n (-) ksat (cm./día)

Arena 0.045 0.430 0.145 2.68 712.8 Limo 0.034 0.460 0.016 1.37 6.00 Arcilla arenosa 0.100 0.380 0.027 1.23 2.88 Arcilla limosa 0.070 0.360 0.005 1.09 0.48 Arcilla 0.068 0.380 0.008 1.09 4.80

Fuente: PC-Progress, 2006. El ajuste de datos experimentales con un modelo matemático de curva de retención puede ilustrarse con los resultados obtenidos en investigaciones realizadas por Donado & Colmenares (2006) en la Universidad Nacional de Colombia (Figura 30).

Figura 30. Curva de retención de agua para tres arenas (Fuente: Donado & Colmenares,

2006).

49

Una propuesta alternativa para la definición de curvas de retención de humedad fue presentada por Fredlund et al (1997) a partir del análisis de las fracciones del suelo y su relación con materiales de referencia consignados en una base de datos. El modelo para representar la curva granulométrica es:

( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

7

1ln

1ln1

ln

1

m

r

r

gmgna

p

dddd

dg

e

dP

Ec. 26 Donde: Pp(d): Porcentaje que pasa un tamaño de grano particular, d. ga: Parámetro de ajuste que corresponde al quiebre inicial de la curva

granulométrica. gn: Parámetro de ajuste que corresponde a la máxima pendiente de la curva

granulométrica. gm: Parámetro de ajuste correspondiente a la curvatura de la curva granulométrica. d: Diámetro de la partícula (mm). dr: Diámetro de la partícula residual (mm). dm: Diámetro mínimo de partícula (mm). De acuerdo con los autores, las curvas de retención derivadas del análisis granulométrico suelen tener un comportamiento errático. Sin embargo, a partir del modelo propuesto se obtienen ajustes como el que se ilustra en la Figura 31.

Figura 31. Valores experimentales y teóricos a partir de la granulometría para la curva de

retención de la arena #350 (Fuente: Fredlund et al, 1997). Esta propuesta está limitada a la disponibilidad comercial de la base de datos con las propiedades hidráulicas de las fracciones de referencia.

50

La aplicación de correlaciones también se propone en la modelación de efectos ambientales para el análisis y diseño de pavimentos de la nueva metodología empírico – mecanicista de la AASHTO, la cual corresponde a la evolución de los esfuerzos de Croney planteados medio siglo atrás. El “Modelo Climático Integrado Mejorado” es una metodología de análisis unidimensional acoplado de flujo de agua y calor que emplea la siguiente forma del modelo de Fredlund & Xing (Zapata et al, 2007):

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= cfbf

f

sat

r

r

aheh

hh

ln1045.11ln

1ln1

5

θθ

Ec. 27 Donde: θ: contenido volumétrico de agua. h: succión matricial. e: número de Euler (2.71828) af, bf, cf y hr: parámetros de ajuste de la curva de retención del suelo. Los parámetros de ajuste del modelo pueden estimarse de correlaciones con la granulometría y el producto del índice plástico y la proporción que pasa el tamiz No. 200, si la jerarquía del análisis lo permite. El modelo climático permite cuantificar el efecto del medioambiente sobre los parámetros mecánicos del pavimento como el módulo resiliente normalizado en función del grado de saturación relativo (Figura 32).

Figura 32. Efecto de los cambios de humedad en el módulo resiliente (Fuente: Zapata et

al, 2007).

51

3.2.2. Coeficiente de conductividad hidráulica El análisis del flujo de la fase fluida del suelo parcialmente saturado requiere una ley que relacione la tasa de flujo con el potencial de flujo. El potencial de flujo de agua define su energía (capacidad para hacer un trabajo) con referencia a un datum. La energía total se expresa por unidad de peso y se denomina carga hidráulica de acuerdo con la ecuación de Bernoulli para flujo permanente – steady state – de fluidos incompresibles y no viscosos (Harr, 1962 y Fredlund & Rahardjo, 1993):

gv

gzh w

w

ww 2

2

++=ρμ

Ec. 28 Donde: hw: carga hidráulica o carga total. z: carga gravitacional: elevación considerando el eje z en la dirección de la

gravedad. μw: presión del agua de los poros. ρw: densidad del agua. g: aceleración de la gravedad. μw/ρwg: carga de presión. vw: velocidad de filtración en la dirección z. vw² / 2g: carga de velocidad. En suelos saturados, la ley de Darcy postula que el flujo de agua a través de una masa de suelo es proporcional al gradiente de carga hidráulica, es decir, a la pérdida unitaria de energía debida a la resistencia viscosa dentro de los poros del suelo:

zh

kv www ∂∂

−=

Ec. 29 Donde: vw: velocidad aparente de flujo del agua. kw: conductividad hidráulica: coeficiente de permeabilidad con respecto a la

fase agua. ∂hw / ∂z: iwz: gradiente de la carga hidráulica en la dirección z. El signo negativo indica que el agua fluye en la dirección de la carga hidráulica decreciente. La ley de Darcy no describe las condiciones dentro de cada poro individual pues sólo representa el equivalente estadístico macroscópico de las ecuaciones de movimiento de Navier – Stokes para el flujo viscoso de agua y su validez depende de un número de Reynolds pequeño – flujo laminar – (Harr, 1962). La conductividad hidráulica, kw, es relativamente constante para suelos saturados (ksat) pero varía de forma importante con la succión en suelos parcialmente saturados como se ilustra en la Figura 33.

52

Figura 33. Función de conductividad en términos de la succión (Andersen et al, 2003)

El Cuadro 5 presenta algunas relaciones entre la conductividad hidráulica y la succión matricial que se ajustan al comportamiento ilustrado.

Cuadro 5. Relaciones entre la conductividad hidráulica y la succión matricial Nombre del

modelo Modelo Símbolos

Richards (1931)

buuak waw +−×= )( Ec. 30

a y b: constantes.

Gardner (1958)

nwa

satw uu

kk)(1 −+

=

Ec. 31 n: constante.

Brooks & Corey (1964)

( )( ) ( bwawa

wa

bwasatw

bwawasatw

uuuuparauuuu

kk

uuuuparakk

−>−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

×=

−≤−=

)()(

)(η

)

Ec. 32

η = 2 + 3λ

Fuente: Fredlund & Rahardjo (1993) y Lu & Likos (2004). En el cuadro anterior: kw: conductividad hidráulica. ksat: conductividad hidráulica en condición saturada. (ua – uw): succión matricial. (ua – uw)b: valor de entrada de aire. λ: índice de distribución del tamaño de los poros: pendiente negativa de la

curva de grado de saturación contra la succión matricial. ρw: densidad del agua. g: aceleración de la gravedad.

53

En el citado “Modelo Climático Integrado Mejorado” para el análisis y diseño de pavimentos (Zapata et al, 2007) se proponen algunas ecuaciones para la estimación de la conductividad hidráulica saturada de acuerdo con parámetros comunes del suelo: Para suelos plásticos:

( ) ( ) 105.0249.0log932.7361.00376.0014.7log IPIPLLk ddsat ⋅⋅+⋅−⋅−⋅−= χχ Ec. 33

Donde: ksat: conductividad hidráulica saturada (cm./s). LL: límite líquido (%). IP: índice plástico (%). χd: peso unitario seco (lb. /pie3). Para suelos no plásticos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×−×+×+×

− ×=5.110.00092.0049.03.5

6 20010

606010

1010P

DDDD

satk Ec. 34

Donde: ksat: conductividad hidráulica saturada (cm. /s). Si ksat > 10 cm. /s, se reduce a este

valor. D10: tamaño de partículas correspondiente a un pasante de 10% (mm). D60: tamaño de partículas correspondiente a un pasante de 60% (mm). P200: porcentaje de partículas que pasan el tamiz No. 200 (0.075 mm). 3.2.3. Ensayos de laboratorio para definir las propiedades hidráulicas Lu & Likos (2004) presentan sendos capítulos sobre los ensayos disponibles para la medida de la succión y la conductividad hidráulica. En el Cuadro 6 y el Cuadro 7 se presentan unos listados de los mismos. En la medida de la succión en campo, Thielen & Springman (2006) identificaron problemas en la operación de los tensiómetros a partir de valores de succión mayores que 80 kPa, aunque el comportamiento medido es coherente para la reducción de la succión con el incremento de la humedad. Para estos autores es posible construir curvas de retención con la información de campo (incluyendo el comportamiento histerético), y estas se ajustan con las propuestas por las bases de datos a través de clasificación textural. Yagi et al (2000) observaron que diferentes dispositivos miden valores divergentes de succión, sobre todo en puntos superficiales de un mismo suelo; encontraron que la tasa de desarrollo de la succión se incrementa hacia la superficie y que la reducción de la misma se da con un periodo de retraso con respecto al evento de lluvia que incrementa el contenido de agua del suelo. 54

Cuadro 6. Técnicas comunes para medir la succión del suelo

Componente de succión

medido Técnica / Sensor Rango práctico

de succión (kPa)

Laboratorio /

Campo

Tensiómetros 0 – 100 Laboratorio y campo

Técnicas de traslación de ejes 0 – 1,500 Laboratorio Sensores de conductividad eléctrica / térmica 0 – 400 Laboratorio y

campo

Succión matricial

Método del papel filtro con contacto Rango total Laboratorio y campo

Psicometría con termocupla 100 – 8,000 Laboratorio y campo

Higrómetros de espejo 1,000 – 450,000 Laboratorio Sensores de resistencia / capacitancia Rango total Laboratorio Control de humedad con presión constante 4,000 – 400,000 Laboratorio

Control de humedad con dos presiones 10,000 – 600,000 Laboratorio

Succión total

Método del papel filtro sin contacto 1,000 – 500,000 Laboratorio y campo

Fuente: Lu & Likos (2004). Deutscher et al (2000) midieron succiones significativas (hasta 60 kPa) en taludes instrumentados en Singapur en temporada seca. Sin embargo, establecieron que este perfil de succión es muy susceptible a eventos de lluvia (incluso pequeños) hasta una profundidad de 3.0 m., por lo cual recomiendan considerar perfiles de presiones de poro positivas e hidrostáticas para los análisis de estabilidad.

Cuadro 7. Técnicas comunes para medir la conductividad hidráulica del suelo. Tipo de flujo Técnica Laboratorio / Campo

Método de carga constante Laboratorio Método de flujo constante Laboratorio Método de centrifugación Laboratorio

Permanente (Steady – state)

Método de la corteza (crust method) Campo Método de infiltración horizontal Laboratorio Métodos de flujo:

- Varias etapas - De una etapa - Directo en varias etapas - Método continuo

Laboratorio No permanente (Transiente)

Método del perfil instantáneo Campo Elaborado a partir de Lu & Likos (2004). Existen instrumentos de campo para la medida de la conductividad hidráulica como el permeámetro de Guelph, un ensayo de flujo permanente y carga constante (PC-Progress, 2006); o procedimientos como el propuesto por Álvaro J. González a partir de las ecuaciones de Green–Ampt (González, 1987). De acuerdo con Donado & Colmenares (Op. Cit., 2006) la conductividad hidráulica muestra una variabilidad natural errática que difícilmente puede ser representada por

55

funciones deterministas. La medición de la conductividad hidráulica mediante el ensayo de carga hidráulica constante propicia la presencia de regímenes de flujo turbulentos que van en contra de las suposiciones de la ley de Darcy. 3.2.4. Parámetros hidráulicos en el código SWMS_3D En el código SWMS_3D las propiedades hidráulicas del suelo parcialmente saturado se describen mediante las ecuaciones de Van Genuchten modificadas para flexibilizarlas cerca de la saturación y permitir un valor de entrada de aire no nulo. Los parámetros θr y θs se reemplazan por los parámetros extrapolados θa ≤ θr y θm ≥ θs como se ilustra en la Figura 34. Esta aproximación conserva el significado de θr y θs como cantidades medibles y asume que la función de conductividad hidráulica se ajusta a un valor medido, kk, para un contenido de agua θk ≤ θs (Šimůnek et al, 1995).

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<⋅+

−+

=

ss

smnam

a

hh

hhhh

θα

θθθθ 1

Ec. 35

( ) ( )( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<<−

−−+

≤

=

ss

skks

kskk

krs

hhK

hhhhh

KKhhK

hhhKK

hK

)(

Ec. 36 Donde:

( ) ( )( ) ( )

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

××=kr

r

ek

e

s

kr FF

FFSS

KKK

θθθθ

Ec. 37

( )m

m

am

aF⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=1

1θθθθ

θ

Ec. 38

111 >−= nnm

Ec. 39

rs

reS

θθθθ−−

=

Ec. 40

56

rs

rkekS

θθθθ

−−

=

Ec. 41 h: carga de presión. θr: contenido de agua residual. θs: contenido de agua saturado. ksat: conductividad hidráulica saturada.

Figura 34. Esquema de las funciones de contenido de agua y conductividad hidráulica

(Fuente: Šimůnek et al, 1995).

57

4. MODELACIÓN DE FLUJO EN SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS Para el análisis del flujo no permanente en suelo parcialmente saturado se emplea la ecuación propuesta por L. A. Richards, la cual corresponde a la aplicación conjunta de la ley de la conservación de la masa para la humedad del suelo y la ley de Darcy para el flujo con conductividad hidráulica variable en función de la succión. La tasa de flujo de entrada al interior de un volumen de control unitario es igual a la tasa de cambio en el almacenamiento más la tasa de flujo de salida. Matemáticamente esta relación es altamente no lineal debido a que la conductividad hidráulica del agua es función de la succión y ésta a su vez es función de contenido volumétrico de agua (Avellaneda & Colmenares, 2003). Esto se expresa con las siguientes ecuaciones: a. Ecuación de conservación de masa en un volumen unitario de suelo: Volumen de entrada = Volumen de salida +

Volumen relacionado con los cambios de humedad + Volumen extraído por las raíces

Ec. 42 La validez de esta ecuación se basa en las siguientes suposiciones: (1) el flujo es incompresible, (2) se puede despreciar el efecto de componentes de energía como la osmótica, eléctrica y magnética, (3) es aplicable la mecánica del medio continuo, y (4) se pueden despreciar los efectos de temperatura. b. Componentes tridimensionales de la ecuación de cambio volumétrico: Considerando un elemento infinitesimal (dx, dy, dz) y un intervalo de tiempo muy pequeño (dt) los componentes de la ecuación de cambio volumétrico son: Volumen de entrada en la dirección x:

dtdzdyvx ⋅⋅⋅ Ec. 43

Volumen de entrada en la dirección y:

dtdzdxvy ⋅⋅⋅ Ec. 44

Volumen de entrada en la dirección z:

dtdydxvz ⋅⋅⋅ Ec. 45

58

Volumen de salida en la dirección x:

dtdzdydxxvv x

x ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

Ec. 46 Volumen de salida en la dirección y:

dtdzdxdyyv

v yy ⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+

Ec. 47 Volumen de salida en la dirección z:

dtdydxdzzvv z

z ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+

Ec. 48 Donde vx, vy, vz son componentes de la velocidad de flujo. El cambio de humedad (ΔVw) se puede obtener con los contenidos volumétricos de agua inicial y final (θf – θi):

dzdydxVVVV ifTifwiwfw ⋅⋅−=−=−=Δ )()( θθθθ Ec. 49

Igualando la diferencia entre los volúmenes de entrada y salida en cada dirección con el cambio del contenido de agua se obtiene:

( ) ( ) ( ) 0,,,,,,,,, =+∂∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂S

tzv

yv

xv tzyxtzyxtzyx θ

Ec. 50 Donde S permite representar, por ejemplo, la tasa de extracción de agua de las raíces en un volumen infinitesimal de suelo. La velocidad tridimensional de flujo puede expresarse mediante la ecuación de Darcy en función de la carga hidráulica total, H, con vectores unitarios .

^^^,, zyx

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∧∧∧

zzHy

xHx

xHhkv zyx )(),,(

Ec. 51

59

c. Formas de la ecuación de Richards: Combinando la Ec. 50 y la Ec. 51 se obtiene la forma mixta de la ecuación de Richards, es decir, en función del contenido de agua y la carga de presión:

Szhhk

zyhhk

yxhhk

xt−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

=∂∂ 1)()()(θ

Ec. 52 El lado derecho de esta ecuación puede escribirse de la siguiente forma:

thgm

tm

t ww

w ∂∂

=∂∂

=∂∂ ρ

μθ 22

Ec. 53 Donde: mw2: es el coeficiente de cambio volumétrico del suelo con respecto al cambio en la

succión, es decir, la pendiente de la curva de retención. ρ: densidad del agua. g: aceleración de la gravedad. Y se obtiene la ecuación de Richards sólo en términos de la carga de presión:

Szhhk

zyhhk

yxhhk

xthgmw −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

=∂∂ 1)()()(2ρ

Ec. 54 Avellaneda & Colmenares (Op. Cit., 2003) indican que la selección de cualquiera de las dos formas anteriores de la ecuación de Richards afecta el rango de oscilación de la presión de poros durante el proceso de solución numérica. La estrategia para la solución numérica de la ecuación de Richards se presenta en un apéndice de este documento. 4.1. Modelación del efecto de la vegetación Como se indicó previamente, en la Ec. 54 el término S representa una tasa de extracción de agua debida, por ejemplo, al efecto de las raíces de las plantas. La modelación de este proceso ha sido objeto de numerosas investigaciones y constituye un aspecto a profundizar en el estudio de la respuesta hidrológica de taludes. A continuación se presentan algunas conclusiones representativas de estos estudios: a. Greenwood et al (1996) indican que los efectos teóricos esperados de la vegetación

son la reducción de la presión de poros y el incremento de la cohesión del suelo en función del potencial de penetración de las raíces. Sin embargo, para establecer el

60

efecto de la vegetación sobre la estabilidad de taludes se requiere una ventana de observación de varios años para diferenciarlo de otros efectos medioambientales.

b. En el mejoramiento del análisis numérico, Wilderotter (2002) combina el modelo de

flujo, basado en la ecuación de Richards, con un modelo de crecimiento de raíces y demuestra que el método del elemento finito adaptable es una contribución importante para escalar los cálculos desde el nivel de la raíz individual al nivel del sistema completo de raíces. En la Figura 35 y en la Figura 36 se presenta la adaptación de la malla de elementos finitos y distribución de presiones (sin escala en la referencia) para dos momentos en la evolución automatizada del sistema radicular.

Figura 35. Distribución de presiones y mallas adaptable refinadas para t = 10.0. (Fuente:

Wilderotter, 2002)

Figura 36. Distribución de presiones y mallas adaptable refinadas para t = 75.0. (Fuente:

Wilderotter, 2002)

61

c. Arora (2002) indica que la modelación dinámica de la vegetación es importante por su influencia en los balances de agua y energía en la superficie del terreno a través

de la transpiración, la intercepción y la evaporación de la precipitación asociada con las hojas. Las principales características de la vegetación que afectan los balances de agua y energía son la relación del área del terreno cubierta por las hojas, la conductancia de los estomas, la profundidad de las raíces, el albedo y la rugosidad de la superficie.

d. Braud et al (2005) indican que el análisis de la extracción de agua por las raíces

mediante el potencial de evapotranspiración determina una eficiencia en el contenido de agua, un almacenamiento de agua y una evapotranspiración significativamente menores que los reales.

4.2. Experiencias en la solución numérica de la ecuación de Richards El esquema basado en elementos finitos no es la única estrategia de solución para la ecuación de Richards. Entre la vasta oferta de soluciones disponibles se pueden citar algunas investigaciones como: e. Carvajal et al (Op. Cit., 1988) emplearon el método de diferencias finitas en los

programas SUBSUP y SUBTRI de la Universidad Nacional de Colombia. Los trabajos de Baker & Scott (2001) también emplean el método de las diferencias finitas en soluciones unidimensionales de código abierto.

f. Marinelli & Dunford (1999) desarrollaron una solución unidimensional de baja

carga computacional a partir del método de Ruge Kutta, cuya principal desventaja radica en el diseño interactivo del esquema de iteración de acuerdo con las condiciones particulares del problema.

g. Avellaneda & Colmenares (Op. Cit., 2003) indican que la solución numérica de la

ecuación de Richards mediante el método de los elementos finitos puede presentar una oscilación de la presión de poros en el espacio cuando se estudia el proceso de infiltración en un suelo con un contenido de agua inicial cercano al valor residual. Proponen como estrategia de solución el uso de funciones de forma no distribuidas linealmente para un mejor ajuste de los factores de ponderación en el elemento finito.

h. Kumar (2004) empleó las reglas de ponderación de Reynolds sobre una forma de la

ecuación de Richards que sustituye la carga de presión por la difusividad hidráulica [D(θ)] para modelar el efecto del flujo lateral en medios estratificados y demostró que este puede ser muy significativo para cierto rango de pendientes y propiedades de los suelos. En la discusión posterior, el autor indicó la diferencia entre estratificación y heterogeneidad, ya que esta última característica no permite el uso de la ecuación de Richards en términos de difusividad pues la función no es continua en las interfases entre materiales diferentes (Talbot et al., 2004).

62

5. EJEMPLOS NUMÉRICOS En este capítulo se presenta la comparación de los resultados obtenidos con el código SWMS_3D – HYDRUS (1995 – 2006) para casos unidimensionales y bidimensionales tomados de las referencias del estudio y dos casos de análisis originales como extensión de las investigaciones antecedentes presentadas en este documento. Las comparaciones unidimensionales se realizan con los casos de Avellaneda & Colmenares (2003) y Andersen et al (2003). La simplicidad de la geometría se aprovecha para evaluar varios aspectos sobre la discretización espacial y temporal y el contraste de las condiciones de fronteras prescritas. La comparación bidimensional se realiza con los resultados reportados por Cho & Lee (2001). Por otra parte, en el primero de los casos originales se busca evaluar la diferencia entre las distribuciones de presiones de poro calculadas para un dominio tridimensional frente a uno bidimensional y su impacto sobre la estabilidad evaluada en una sección transversal de dicho medio. En el segundo caso original se evalúa la solución de Pradel & Raad con el fin de establecer si es posible ajustarla con los resultados del análisis numérico, más allá de la asignación local de un valor corregido de succión en el frente de avance húmedo (Kim et al., 2004). 5.1. Caso reportado por Avellaneda & Colmenares Avellaneda & Colmenares (Op. Cit., 2003) ilustran el problema de la inestabilidad numérica en el proceso de infiltración unidimensional mediante el ejemplo de la Figura 37. La parte (a) corresponde al esquema del problema, incluyendo los parámetros hidráulicos y las condiciones de frontera. Las partes (b) y (c) presentan las soluciones con funciones de forma distribuidas linealmente y agregadas, respectivamente, en el método del elemento finito. En la Figura 37(b) se identifica una irregularidad en la solución de la ecuación de Richards, ya que al avanzar el frente húmedo se incrementan el contenido volumétrico de agua y el valor de la carga de presión negativa, lo cual es físicamente imposible. La solución obtenida con funciones de forma agregadas, Figura 37(c), no presenta la inestabilidad numérica pero no satisface la formalidad del método numérico pues mezcla funciones de forma agregadas y funciones de forma lineales para otras variables. Avellaneda & Colmenares (2003) desarrollan soluciones no lineales que arrojan resultados numéricamente correctos y conceptualmente sólidos. El mismo problema se analiza mediante el código SWMS_3D considerando los parámetros hidráulicos de la propuesta original de Van Genuchten y la información de la Figura 38. Se realizan tres análisis para establecer el efecto de los cambios en la definición de la discretización espacial y temporal del problema.

63

Figura 37. Variación de la presión de poros con la profundidad en una columna

homogénea de suelo (Fuente: Avellaneda & Colmenares, 2003).

64

1.E-101.E-091.E-081.E-071.E-061.E-051.E-041.E-031.E-02

-1000 -800 -600 -400 -200 0

h (cm)

K (c

m /

s)

(a) Conductividad hidráulica

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-1000 -800 -600 -400 -200 0

h (cm)

θ (c

m3 /

cm3 )

(b) Curva de retención

Figura 38. Modelo Mualem – Van Genuchten de las funciones hidráulicas del suelo de la Figura 37 (adaptado de Avellaneda & Colmenares, 2003).

5.1.1. Análisis para 100 elementos (0.6 cm.) y cuatro tiempos En la Figura 39 se presentan los resultados de la discretización y análisis de la columna de suelo en 100 elementos uniformes de 0.6 centímetros y el perfil de succión para los tiempos indicados de estudio. Los perfiles son coincidentes con los obtenidos en la Figura 37(c). El código SWMS_3D no presenta, en este caso específico, problemas de inestabilidad numérica y emplea el método del elemento finito de Galerkin con funciones de base lineales.

-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-500

0

0 20 40

Profundidad (cm)

Pres

ión

(cm

)

60

0.5 horas 1.9 horas3.8 horas 6.0 horas

Figura 39. Variación temporal de la presión de poros con la profundidad en una columna

homogénea de suelo dividida en 100 elementos de 0.6 cm.

65

5.1.2. Análisis para 150 elementos (100 @ 0.3 y 50 @ 0.6 cm.) y seis tiempos Para este análisis se densificó la red de elementos finitos en los 30 centímetros superiores del modelo y se analizaron dos tiempos más (12.0 y 24.0 horas). Los resultados para los cuatro tiempos originales (0.5, 1.9, 3.8 y 6.0 horas – Figura 40) son semejantes a los presentados en la Figura 37(c), por lo cual no parece que el refinamiento de la malla haya incidido en el ajuste de los resultados. La variación de la presión de poros para los dos últimos tiempos (12.0 y 24.0 horas) se presenta en la zona con la malla menos densa y tampoco se observan señales de inestabilidad numérica.

-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-500

0

0 20 40 6

Profundidad (cm)

Pres

ión

(cm

)

0

0.5 horas 1.9 horas3.8 horas 6.0 horas12.0 horas 24.0 horas


homogénea de suelo dividida en 100 elementos de 0.3 cm. y 50 elementos de 0.6 cm. 5.1.3. Análisis para 10 elementos de 6.0 cm. y seis tiempos Para establecer la sensibilidad de los resultados a una malla menos refinada, se modeló un tercer caso donde se emplearon elementos de 6.0 centímetros de espesor, es decir, 10 veces más grandes que los elementos del planteamiento original. En los resultados de la Figura 41 no se evidencian problemas de inestabilidad numérica en el avance del frente húmedo, es decir, se respetan las propiedades del suelo. Sin embargo, debe notarse la importante variación de estos resultados en comparación con los obtenidos en los dos análisis anteriores. Por ejemplo, para una profundidad de 60 centímetros, la presión para la simulación de 24 horas se redujo de – 2,000 cm. a cerca de -250 cm.

66

-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-500

0

0 20 40

Profundidad (cm)

Pres

ión

(cm

)

60

0.5 horas 1.9 horas3.8 horas 6.0 horas12.0 horas 24.0 horas


homogénea de suelo dividida en 10 elementos de 6.0 cm. En el desarrollo de este primer ejemplo los resultados obtenidos por el código SWMS_3D coinciden con los valores de la referencia de Avellaneda & Colmenares (2003). El único análisis que presentó divergencias corresponde al modelo de malla gruesa, lo cual indica que el estudio de dominios complejos requerirá identificar las limitaciones computacionales con el fin de definir mallas finas en las zonas de interés si se quieren obtener datos válidos acerca de la variación de la presión de poros. Las soluciones se obtienen satisfaciendo en todo momento las propiedades hidráulicas del material. 5.2. Caso reportado por Andersen et al. En el capítulo 3 de la referencia de Andersen et al (2003) se evalúa la sensibilidad de diferentes parámetros en un problema de infiltración unidimensional mediante el programa SEEP/W. Se modeló una columna de 10.0 m. de alto con base cuadrada de 1.0 m. x 1.0 m. El suelo empleado corresponde al #5 de la librería de suelos del programa SEEP/W, descrito como un limo arenoso. En el Cuadro 8 se presentan los parámetros hidráulicos del material, para el modelo de Van Genuchten, obtenidos por retrocálculo a partir de la información de la referencia. La columna de suelo se discretizó en 55 elementos verticales distribuidos de la siguiente forma: 25 elementos superiores de 20 cm., 10 elementos centrales de 10 cm. en la zona de avance potencial del nivel freático, y 20 elementos inferiores de 20 cm. Andersen et al discretizaron la sección transversal de 1.0 m² en arreglos de 5 67

elementos de 20 cm. por lado (25 en total). El autor de este estudio evaluó dicho caso y una alternativa en la cual la sección transversal tiene un elemento de 1.0 cm. de ancho por 1.0 cm. de largo y obtuvo los mismos resultados en todos los análisis pero con tiempos de cómputo significativamente menores.

Cuadro 8. Propiedades hidráulicas del suelo empleado por Andersen et al (2003) Parámetro Unidad Valor

Contenido de agua residual (-) 0.13 Contenido de agua saturado (-) 0.45

α (alfa) (-) 0.005 n (-) 3.6

Permeabilidad saturada (m / s) 4.8 x 10-7 Permeabilidad saturada (cm. / día) 4.1472

Fuente: Elaboración propia. Las condiciones de frontera se definen de la siguiente forma: (1) por la superficie superior ingresa un flujo en función de la permeabilidad saturada del material, y (2) la superficie inferior es de filtración, es decir, la carga de presión es 0 m. durante toda la simulación y la condición inicial de la succión en la cara superior es hidrostática (– 10 m.). En el Cuadro 9 se presentan algunos de los análisis realizados por Andersen et al con los parámetros definidos anteriormente. Se evaluará la sensibilidad de la relación entre el flujo superior (q) y la permeabilidad saturada (ksat). La unidad de tiempo empleada por Andersen et al es el “segundo”, mientras que en las corridas realizadas con SWMS_3D se empleó el “día”.

Cuadro 9. Estudio parcial de parámetros de Andersen et al (2003).

Corrida Figura ksat (cm. / día)

NAF (cm.) Succión máxima (cm.) q / ksat

1 Figura 42 4.1472 1,000 1,000 1.0 2 Figura 44 4.1472 1,000 1,000 0.5 3 Figura 45 4.1472 1,000 1,000 0.1

Fuente: Adaptado de Andersen et al (2003). 5.2.1. Tasa de flujo igual a la permeabilidad saturada En la Figura 42 se observa que con el transcurso del tiempo la columna se satura progresivamente pero no se desarrollan presiones de poro positivas. El sistema se encuentra en “flujo libre”, evacuando por la parte inferior la misma cantidad de agua que ingresa por la parte superior. En la Figura 43 se presenta la variación del contenido volumétrico de agua (θ) a lo largo de la simulación. Este valor oscila entre el contenido residual de 0.13 en el momento inicial del análisis hasta el contenido saturado de 0.45 en el final de la simulación a los 90 días. Las curvas responden, obviamente, al modelo Van Genuchten con los parámetros de finidos en el Cuadro 8.

68

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

-1,000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100Carga de presión (cm)

Ele

vaci

ón (c

m)

0 día 1 día 7 días 15 días 30 días 60 días 90 días

Figura 42. Carga de presión contra elevación para q / ksat = 1.0.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

θ (cm3 / cm3)

Ele

vaci

ón (c

m)

0 días 1 día 7 días 15 días 30 días 60 días 90 días

Figura 43. Contenido volumétrico de agua contra elevación, q / ksat = 1.0.

69

5.2.2. Tasa de flujo igual 0.5 veces la permeabilidad saturada En la Figura 44 se observa el mismo descenso progresivo de la succión inicial pero con menor intensidad que en el caso anterior, lo cual es compatible con un flujo prescrito menor. No se desarrolla la condición de “flujo libre” a través de la columna de suelo y la succión mínima en la parte superior está alrededor de – 110 cm. al final de la modelación.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

-1,000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100Carga de presión (cm.)

Ele

vaci

ón (c

m.)

0 días 1 día 7 días 15 días 30 días 60 días 90 días

Figura 44. Carga de presión contra elevación para q / ksat = 0.5. 5.2.3. Tasa de flujo igual 0.1 veces la permeabilidad saturada En la Figura 45 se reitera el descenso progresivo de la succión inicial de la columna de suelo como en los casos anteriores pero con menor intensidad, lo cual es compatible con un flujo superior menor que la permeabilidad saturada. La succión mínima en la parte superior, al final de la modelación, está alrededor de – 210 cm.

70

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1,000

-1,000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100Carga de presión (cm.)

Ele

vaci

ón (c

m.)

0 días 1 día 7 días 15 días 30 días 60 días 90 días Figura 45. Carga de presión contra elevación para q / ksat = 0.1.

En el estudio de Andersen et al se presentan varias simulaciones adicionales con flujos en la frontera superiores a la conductividad hidráulica saturada del suelo. En dichos análisis la condición de empozamiento no se presenta pues el programa SEEP/W se “reinicia automáticamente” a una condición hidrostática con el nivel freático en la parte superior de la columna (h = 0 cm.). Esta condición también se puede representar en SWMS_3D con una frontera atmosférica con carga máxima positiva nula (en lugar de la frontera de carga inicial prescrita) y una tabla de distribución de flujo superior en la cual el balance atmosférico simule cada una de las relaciones q / ksat empleadas. Los resultados obtenidos son idénticos para todos los tiempos por debajo del umbral de saturación total de la columna de suelo, es decir, el código SWMS_3D replica los resultados publicados en dos referencias para los casos unidimensionales. 5.3. Caso reportado por Cho & Lee En este estudio se analiza un talud con las características y propiedades hidráulicas que se ilustran en la Figura 46. El nivel freático inicial se asume horizontal en la cota 10 m. del modelo. La distribución inicial de presiones se asume directamente proporcional a la distancia vertical desde el nivel freático con un límite de -60 kPa. Se aplicó un flujo de 0.02 m / h (5.556x10-6 m/s) durante 66 horas para simular el efecto de una lluvia de larga duración.

71

En la Figura 47 se presentan los resultados obtenidos por Cho & Lee (2002) y en la Figura 48 los resultados obtenidos por el autor de este estudio con el programa HYDRUS (código SWMS_3D). Los resultados son prácticamente iguales y sirven además para establecer que las condiciones de frontera empleadas por Cho & Lee son de flujo nulo en los bordes derecho, izquierdo e inferior.

( )[ ]

( )( ) 7.15

5.35

101118.0

10511

wa

wars

r

hmkμμ

μμθθθθ

−×+=

−×+=

−−

−

−

Figura 46. Dominio de análisis y propiedades hidráulicas (Fuente: Cho & Lee, 2002)

a) Estado inicial

b) 66 horas después

Figura 47. Distribución de presiones de agua de los poros (Pa) para ksat = 0.18 m / h (Fuente: Cho & Lee, 2002)

72

a) Estado inicial

b) 66 horas después

Figura 48. Distribución de presiones de agua de los poros (m) para ksat = 0.18 m / h 5.4. Estudio de un modelo tridimensional de flujo El propósito de este análisis es comparar la respuesta hidrológica de una sección transversal de un modelo tridimensional con aquella obtenida del análisis bidimensional de la misma sección. Igualmente, se evalúan las diferencias en el factor de seguridad frente al deslizamiento en ambos casos. 73

En la Figura 49 se presenta un dominio tridimensional de flujo definido por tres secciones típicas a lo largo del eje y. Las secciones extremas tienen una elevación de 35 m. desde la base del modelo y pendiente de 2H: 1V en la cara del talud; la sección intermedia (y = 60 m.) tiene 30 m. de elevación y pendiente 1H: 1V en la cara del talud. Las condiciones de frontera lateral y de la base son de flujo nulo mientras que la cara superior del mismo (corona, talud y pata) está sometida a diferentes intensidades y duraciones de flujo como representación de la lluvia.

Figura 49. Vista isométrica del modelo analizado con la distribución inicial de carga de

presión (dimensiones en metros) En el Cuadro 10 se presentan las propiedades hidráulicas y de resistencia para el estudio posterior de la estabilidad de la sección intermedia.

Cuadro 10. Propiedades del dominio tridimensional Tipo de parámetro Parámetro Valor

θs (-) 0.43 θr (-) 0.045

α (1/m) 14.5 n 2.68

Hidráulicos (Van Genuchten)

ksat (m/día) 7.128

74

Tipo de parámetro Parámetro Valor Peso unitario χ (kN/m3) 20.0

c' (kPa) 50.0 Resistencia φ (°) 25.0 Fuente: Elaboración propia.

En la Figura 50 se presenta la distribución inicial de presiones de poro asumida, la cual considera una variación hidrostática desde un valor de +10 m. en el fondo del modelo hasta -20 m. en la corona del talud (nivel freático en la pata). Esta condición es idéntica para los análisis tridimensional y bidimensional.

Figura 50. Distribución inicial de cargas de presión (t = 0 día)

Se somete el dominio a un flujo en la cara superior con intensidad de 1.0 m/día durante 1.0 día y se evalúa la distribución de cargas de presión de poros al final de este periodo. En la Figura 51 se presentan los resultados en la sección transversal del dominio tridimensional y en la Figura 52 los correspondientes a la sección analizada bidimensionalmente.

75

Figura 51. Distribución final de cargas de presión (t = 1.0 día) en la sección media del

modelo 3D (y = 60 m)

Figura 52. Distribución final de cargas de presión (t = 1.0 día) en el modelo 2D

Las respuestas en la corona y en la cara del talud son similares en ambos modelos pues se observa la reducción de la succión. Nótese que la distribución de las presiones

76

de poro negativas bajo la corona del talud tiene, en ambos modelos, un aspecto similar al caso antecedente analizado de Cho & Lee (sección 5.3). Las diferencias entre los dos modelos son mayores en la pata del talud, donde se observa un incremento mayor de la carga de presión en el modelo bidimensional (7.5 m.) frente al modelo tridimensional (2 m.). Este ascenso del nivel freático inicial depende del almacenamiento de agua asociado con las fronteras inferior y laterales impermeables y es indicativo del efecto tridimensional sobre el flujo que se desconoce en los análisis habituales. Es un hecho taxativo que la distribución y variación temporal de las presiones de poro afectan la estabilidad de los taludes. Habitualmente, los análisis de estabilidad se hacen sobre una hipótesis única que representa un escenario pesimista de la posición del nivel freático en el talud y, en ocasiones, dicho análisis se refina con la solución numérica de la condición de flujo permanente del talud para un tiempo único. A continuación se presentan los resultados de los análisis de estabilidad sobre la sección definida previamente, considerando la variación espacial y temporal de las presiones de poros de acuerdo con diferentes combinaciones de intensidad y duración del flujo que representa la lluvia como se indica en el Cuadro 11.

Cuadro 11. Escenarios analizados de intensidad – duración Duración (día) Intensidad (m/día)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

1.000

0.125 0.250 0.500 0.750 1.000 1.500

1.0

1.750 Fuente: Elaboración propia.

Los análisis de estabilidad se realizaron con el método de Bishop en el programa SLIDE 5.0 (Rocscience, 2008) mediante la importación de los datos de presiones de poros calculadas con el código HYDRUS. Debe aclararse que las presiones de poros negativas se ignoran en SLIDE si no se obtienen con sus subrutinas integradas de flujo, por lo anterior, los cambios observados en los factores de seguridad sólo corresponden a incrementos de las presiones de poros positivas y no a la reducción de la succión. En el desarrollo del estudio de estabilidad se observó que la superficie de falla crítica es diferente para todos los análisis, por ello se definió como sección de control un círculo tangente a la pata del talud y con radio igual a la altura del mismo. Del mismo modo, para las superficies de falla variables se definió una profundidad mínima de 1.0

77

m. y una retícula de centros hasta la altura media del talud con el fin de descartar círculos superficiales de pocos metros en la pata del mismo. Para mayor ilustración sobre los modos de falla considerados, en la Figura 53 se presentan las superficies analizadas sobre la distribución de presión de poros calculada bidimensionalmente para un intensidad de 1.0 m/día durante 1.0 día.

Figura 53. Estabilidad del modelo 2D para I = 1.0 m/día y D = 1.0 día

Los resultados obtenidos con la superficie de falla crítica de cada caso se agruparon bajo la denominación de “superficie variable” y los obtenidos para la superficie de control se agruparon bajo la denominación de “superficie fija”. En la Figura 54 y en la Figura 55 se presentan los resultados de estabilidad sobre distribuciones espaciales y temporales de las presiones de poros calculadas con el modelo bidimensional. En la Figura 54 se observa que el factor de seguridad se reduce con el incremento de la intensidad para una duración constante de 1.0 día. La “superficie fija” nunca representa la situación crítica. La marcada reducción del factor de seguridad de las “superficies variables”, a partir de una intensidad de 1.0 m/día, corresponde a superficies poco profundas y cercanas a la pata donde se presentan incrementos importantes de la presión de poros. En la Figura 55 se observa una tendencia semejante del factor de seguridad con la duración de la lluvia para una intensidad constante de 1.0 m/día. La “superficie fija” es más estable que las “superficies variables”, estas además presentan una fuerte reducción del factor de seguridad a partir de un intensidad de 1.0 m/día al concentrarse superficialmente en la pata del talud.

78

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80Intensidad (m/día)

Fact

or d

e se

guri

dad

Superficie variable Superficie fija

Figura 54. Estabilidad del modelo 2D según la intensidad para D = 1.0 día

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50Duración (día)

Fact

or d

e se

guri

dad


Figura 55. Estabilidad del modelo 2D según la duración para I = 1.0 m/día

79

En la Figura 56 y en la Figura 57 se presentan los resultados de estabilidad sobre distribuciones espaciales y temporales de las presiones de poros calculadas con el modelo tridimensional. En la Figura 56 se observa la reducción del factor de seguridad con el incremento de la intensidad de la lluvia para una duración constante de 1.0 día. Las “superficies variables” de falla son sistemáticamente menos estables que la “superficie fija”, pero no se presentan caídas abruptas del factor de seguridad.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80Intensidad (m/día)

Fact

or d

e se

guri

dad


Figura 56. Estabilidad de la sección media del modelo 3D según la intensidad para D = 1.0 día

En la Figura 57 se observa que el factor de seguridad se reduce con al aumento en la duración de la lluvia para una intensidad constante de 1.0 m/día. De nuevo, las “superficies variables” son menos estables que la “superficie fija” y no se presentan reducciones abruptas del factor de seguridad. Empleando los resultados de la sección de control o “superficie fija” se compara la variación del factor de seguridad con los incrementos de la intensidad (Figura 58) y la duración (Figura 59) para los análisis de flujo bidimensional y tridimensional. Como es lógico, al partir de las mismas condiciones iniciales, el factor de seguridad inicial es idéntico para ambos modelos de flujo. La reducción del factor de seguridad con los incrementos de la intensidad o la duración de la lluvia es menor con las distribuciones de presiones de poros calculadas con el modelo tridimensional.

80

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50Duración (día)

Fact

or d

e se

guri

dad


Figura 57. Estabilidad de la sección media del modelo 3D según la duración para I = 1.0 m/día

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80Intensidad (m/día)

Fact

or d

e se

guri

dad

para

sup

erfi

cie

de f

alla

por

la

pata

del

tal

ud

2D 3D Figura 58. Comparación del F.S. 2D contra 3D según la intensidad para D = 1.0 día

81

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50Duración (día)

Fact

or d

e se

guri

dad

para

sup

erfi

cie

de f

alla

por

la

pata

del

tal

ud

2D 3D

Figura 59. Comparación del F.S. 2D contra 3D según la duración para I = 1.0 m/día Esta diferencia se debe primordialmente a los mayores incrementos en las presiones de poros positivas en la pata del talud, es decir, al mayor ascenso del nivel freático inicial que predice el modelo bidimensional comparado con el tridimensional. En la igualdad de condiciones establecidas, la diferencia sólo puede asociarse con la geometría de los dominios considerados en cada caso. En conclusión, los análisis de estabilidad realizados sobre distribuciones de poros calculadas tridimensional y bidimensionalmente presentan, en términos generales, las mismas tendencias: a. La superficie crítica de falla no es única para todos los análisis, su posición varía de

acuerdo con la distribución espacial y temporal de las presiones de poro. Por lo anterior, es útil definir una superficie de falla de control para evaluar la variación del factor de seguridad con los diferentes parámetros del flujo no permanente.

b. Para una duración constante, el factor de seguridad se reduce con el incremento de

la intensidad de la lluvia. c. Para una intensidad constante, el factor de seguridad se reduce con el incremento

de la duración de la lluvia. d. No existe una relación constante entre el producto de intensidad por duración de la

lluvia con el factor de seguridad, es decir, no tiene el mismo efecto sobre la

82

estabilidad una lluvia con intensidad de 1.5 m/día durante 1.0 día que una lluvia con intensidad de 1.0 m/día durante 1.5 días.

e. De acuerdo con los resultados obtenidos, la variación temporal de la distribución de

presiones de poros de un dominio tridimensional difiere de aquella de un dominio bidimensional. Si se extiende este comportamiento al ascenso del nivel freático debido a la lluvia, podría considerarse que los análisis bidimensionales son conservadores para el estudio de la variación temporal de la estabilidad de taludes.

5.5. Evaluación del modelo de Pradel & Raad En esta sección se analiza el modelo de infiltración unidimensional de Pradel & Raad (1993) con el fin de establecer la relación entre sus resultados y los obtenidos con la modelación numérica. El modelo está basado en las ecuaciones de Green – Ampt y calcula la profundidad del frente de humedecimiento de un suelo a partir de la intensidad y duración de la lluvia mediante las siguientes expresiones:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +×−

−=

ψψψθθ w

wsat

zzk

isT ln

Ec. 55 Donde: T: duración de la lluvia (T). θs: contenido volumétrico saturado de agua del suelo (-). θi: contenido volumétrico inicial de agua del suelo (-). ksat: conductividad hidráulica saturada del suelo (L/T). zw: profundidad del frente húmedo medida desde la superficie (L). ψ: succión del frente de avance, carga de presión de poros negativa antes de que el

suelos se vuelva saturado (L). La tasa de infiltración del agua en el suelo se define como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

w

wsat z

zk ψν

Ec. 56 Donde: ν: tasa de infiltración de agua en el suelo (L/T). ksat: conductividad hidráulica saturada del suelo (L/T). ψ: succión del frente de avance, carga de presión de poros negativa antes de que el

suelos se vuelva saturado (L). zw: profundidad del frente húmedo medida desde la superficie (L). La intensidad de la lluvia, I, debe ser mayor que la tasa de infiltración en el suelo, ν, para que se alcance la profundidad del frente húmedo, zw, en el tiempo prescrito por la Ec. 55. Combinando la Ec. 55 y la Ec. 56 se obtiene:

83

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +×−

−=

w

www z

zzzT

isI ψψ

ψψθθ ln(min)

(min)

Ec. 57 Donde: I(mín.): intensidad mínima de la lluvia para producir la saturación a la profundidad zw

(L/T). T(mín.): duración mínima de la lluvia producir la saturación a la profundidad zw (T). En la Ec. 57 está implícita la conductividad hidráulica saturada como constante en el modelo, lo cual constituye una de sus limitaciones. Se propone el análisis del avance del frente húmedo en una arena y una arcilla cuyas propiedades hidráulicas se resumen en el Cuadro 12.

Cuadro 12. Parámetros hidráulicos de los suelos de estudio

Suelo θs θr α (1/m) N

Succión del frente

húmedo (m)

Conductividad hidráulica

saturada (m/día) Arena 0.430 0.045 14.5 2.68 0.0495 7.128 Arcilla 0.380 0.068 0.8 1.09 0.3162 0.048

Fuente: Maidment (1993) & PC-Progress (2008). Los resultados del modelo de Pradel & Raad se comparan con la modelación de flujo bidimensional en un talud de 4 m. de espesor y 107.7 m. de longitud, con pendiente 1H: 0.4V y un perfil hidrostático inicial de presiones de poro desde la base del material (Figura 60). La superficie del talud se sometió a tres intensidades de flujo: 0.1, 0.5, 1.0 veces la conductividad hidráulica saturada, ksat. Para cada análisis se ajustó el tiempo de modelación para obtener la variación de las presiones de poro en todo el perfil. En la Figura 61 se presentan los resultados obtenidos para la arena. Las líneas continuas corresponden al modelo de Pradel & Raad y los círculos a la modelación numérica. Cada color esta asociado con uno de los escenarios de infiltración modelados. A primera vista, existe cierto ajuste entre los resultados, pero la variación temporal de las presiones de poro en cada modelo responde a procesos diferentes. Para las intensidades de 0.1 ksat y 0.5 ksat, el avance del frente húmedo minimiza (pero no anula) los valores iniciales de succión del material. En la primera etapa se reportan los tiempos en los cuales se minimizó la succión en diferentes profundidades (“reducción de la succión h 0”). En la segunda etapa el frente húmedo alcanza el NAF existente (zw = 4.0 m) “rebota” contra el y causa su ascenso (“NAF asciende”).

84

Figura 60. Modelo bidimensional de talud infinito

0.01

0.10

1.00

10.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00Profundidad del frente húmedo, zw (m)

Dur

ació

n (d

ía)

0.71283.5647.128

I (m / día)

Arena: ksat = 7.128 m/día

Reducción de la succión h 0

Fond

o de

l est

rato

NAF asciende

Figura 61. Arena. Modelo de Pradel & Raad versus análisis numéricos

85

En la Figura 62 se ilustra la diferencia entre los procesos de infiltración en la arena para una tasa de 0.1 ksat y 1.0 ksat con una duración de 0.2 días. El primer valor sólo reduce la succión, mientras que el segundo genera un perfil de presiones positivas.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0-4.00 -3.50 -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

Carga de presión (m)

Prof

undi

dad

(m)

Condición inicial: 0 días I = 0.5ksat, D = 0.2 días I = 1.0ksat, D = 0.2 días

Perfil hidrostático

Figura 62. Avance del frente húmedo en la arena para dos tasas de infiltración en 0.2 días En general, para la intensidad de 1.0 ksat, el avance del frente húmedo corresponde a un nivel freático que deja tras de sí un perfil de presiones de poros positivas hasta la superficie. Sin embargo, dicho perfil de presiones positivas es menor que el hidrostático teórico (Figura 62) lo cual tiene relevancia para el cálculo del esfuerzo efectivo en la estabilidad. En resumen, el ajuste del modelo de Pradel & Raad con los resultados de modelación numérica sólo se presenta en la condición I = ksat. Además, no puede asumirse que el perfil de presiones positivas a partir del punto de avance del frente húmedo sea de tipo hidrostático. En la Figura 63 se presentan los resultados obtenidos de la modelación con la arcilla. Para una tasa de infiltración de 0.1 ksat se presenta el comportamiento de “reducción de la succión h 0 – ascenso del NAF”, pero las duraciones tienen diferencias de un orden de magnitud con las obtenidas con el modelo de Pradel & Raad. Los análisis para tasas de infiltración de 0.5 ksat y 1.0 ksat presentan el avance de un frente húmedo, sin generar presiones de poros positivas, hasta una profundidad máxima de 0.45 metros y con duraciones diferentes. Estas son las únicas respuestas asimilables al avance de un frente húmedo y se representan como círculos (rojos y

86

verdes) en la Figura 63. Estos casos no presentan ninguna relación con los resultados del modelo de Pradel & Raad y la modelación numérica fue infructuosa para duraciones mayores a las reportadas.

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00Profundidad del frente húmedo, zw (m)

Dur

ació

n (d

ía)

0.0048

0.024

0.048

I (m / día):

Arcilla: ksat = 0.048 m/día

Fond

o de

l est

rato

NAF asciende

Reducción de la succión h 0

Figura 63. Arcilla. Modelo de Pradel & Raad vs. Análisis numéricos

Con el fin de comprender las respuestas obtenidas, se implementaron varias estrategias sobre la modelación numérica variando las condiciones de frontera, el incremento del tiempo, el tamaño de los elementos finitos e incluso las condiciones iniciales sobre el dominio bidimensional original. También se replicaron las condiciones del problema en un análisis unidimensional, lo cual permitió extender la duración de la modelación y reducir el tiempo de procesamiento computacional. Todas las alternativas arrojaron valores semejantes a los presentados en la Figura 63, es decir, una profundidad máxima del frente húmedo de 0.45 metros para tasas de infiltración iguales o mayores que 0.5 ksat. A priori, este resultado parece representar lo propuesto por Vaughan (1985) sobre la ausencia del umbral de falla en materiales no erosionables y muy impermeables. Cho & Lee (2001) indican un comportamiento similar para fallas superficiales en materiales de baja conductividad hidráulica. Es interesante anotar que una revisión detallada de las referencias muestra el empleo frecuente de materiales de alta conductividad hidráulica como arenas (Cho & Lee, 2002) y estériles de minería (Anderson et al, 2003), u horizontes residuales de 87

conductividad hidráulica intermedia en los análisis numéricos. La interpretación de respuestas como las obtenidas para la arcilla debe apoyarse en análisis de terrenos instrumentados para establecer si se trata de un problema del método numérico o una representación adecuada del comportamiento de materiales de baja conductividad hidráulica.

88

6. PROCEDIMIENTO PARA EL ESTUDIO DE LA RESPUESTA HIDROLÓGICA DE TALUDES A lo largo de este documento se identifican diferentes tendencias de trabajo en la modelación numérica de la respuesta hidrológica de taludes. Se considera oportuno, a partir de la experiencia acumulada en este ejercicio, proponer un derrotero sencillo pero riguroso de los elementos generales que deben considerarse en análisis de este tipo. La esencia del procedimiento propuesto combina las líneas de acción en la investigación de la relación lluvia – deslizamiento que se identificaron en secciones anteriores. El procedimiento consta de cuatro elementos principales que abarcan los aspectos relevantes del talud como problema geotécnico, es decir, la definición del perfil y sus propiedades, el proceso de “carga” implícito en el régimen hídrico de la zona, el empleo de métodos de análisis para la modelación y la necesidad del seguimiento en el tiempo para el ajuste de las hipótesis de trabajo.

Procedimiento propuesto para el estudio de la respuesta hidrológica de

taludes.

1. Identifique las condiciones del entorno. Los deslizamientos activados por lluvia obedecen a complejas interacciones con su entorno. Su estabilidad está íntimamente ligada con su génesis dentro del entorno particular. Para una adecuada modelación de la respuesta hidrológica del talud es necesario conocer dos aspectos:

a. El clima: Es de interés conocer los ciclos anuales y multianuales de

precipitación como factor principal que afecta la estabilidad del talud en su entorno. Esta información debe comprender como mínimo: i. Los regimenes de precipitación anual y multianual para establecer el

punto de los ciclos respectivos en los cuales se encuentra la zona y su asociación con procesos de inestabilidad.

ii. El régimen de evapotranspiración para la modelación del sistema suelo –

planta – atmósfera. En el futuro inmediato será pieza fundamental en la evaluación y formulación de usos del suelo.

iii. Las relaciones existentes lluvia – deslizamiento. La experiencia local no

debe subestimarse. Es necesario conocer las relaciones lluvia – deslizamiento empleadas en el entorno específico y el historial de su eficacia en la predicción de procesos posteriores a su formulación.

89

iv. Las investigaciones locales constituyen un insumo para establecer metodologías que pudieran adaptarse mejor de acuerdo con la experiencia acumulada.

v. Las adaptaciones de trabajos foráneos en ausencia de información local.

Es viable aplicar modelos compatibles con la zona en función de su similitud climática, por ejemplo, a través del sistema de clasificación de Köppen citado en este trabajo.

vi. La relación de la precipitación actual con los registros históricos. En

ocasiones la información obtenida no está actualizada, por lo cual es conveniente verificar la representatividad de algunos productos como las curvas de intensidad – duración – frecuencia (IDF) o los umbrales de lluvia – deslizamiento frente a los eventos que se presentan en el momento del análisis.

b. Modo de falla típico de los taludes de la zona: Dentro de los estudios

antecedentes se han identificado patrones que asocian la morfología de los deslizamientos con el tipo de evento de lluvia que pudo detonarlos. En general, los deslizamientos superficiales se asocian con lluvias de baja duración y los deslizamientos profundos con eventos más prolongados. Debe tenerse en cuenta que esta escala de duración subjetiva debe concretarse en cifras para cada entorno específico. Una aproximación general al tipo de deslizamiento que permita colegir el evento de lluvia asociado con el mismo requiere definir si el deslizamiento es:

i. Superficial o profundo.

ii. Deslizamiento de masas intactas o flujos.

2. Identifique con precisión las circunstancias del evento.

Generalmente, cuando se quiere establecer las circunstancias de un deslizamiento específico se emplea una hipótesis de respuesta hidrológica steady state para obtener parámetros residuales de resistencia. Una mejor aproximación del problema debería considerar las condiciones de flujo variable y su relación con el clima, lo cual requiere conocer: a. El tiempo y lugar precisos del evento. Esta información permite asociar el

proceso de inestabilidad con los eventos de lluvia apropiados.

b. Los eventos antecedentes. Una sucesión de eventos similares (morfología o génesis) pueden ser indicativos de la progresión en el tiempo del proceso de inestabilidad de interés y ayudan a mejorar su definición temporal.

90

3. Obtenga la mayor cantidad de propiedades por medición directa.

Esta recomendación no requiere mayor explicación y es uno de los pilares del ejercicio correcto de la Geotecnia. Sin embargo, ningún profesional del área es ajeno a las dificultades propias del proceso de obtención de muestras y parámetros representativos del perfil del suelo. En la modelación de la respuesta hidrológica de taludes la complejidad se incrementa por el número de parámetros adicionales. a. Laboratorio. En el laboratorio es importante:

i. Reconocer las limitaciones de los ensayos existentes. En el análisis de

flujo de agua en los suelos existe una extensa literatura sobre las ventajas y desventajas de la pruebas de laboratorio, incluso las más sencillas, en la representación de los materiales in situ. Las condiciones de frontera de las muestras en laboratorio son uno de los aspectos de mayor discordia.

ii. Interactuar con los profesionales de otras áreas. La ingeniería agrícola ha

acumulado una amplia experiencia en el estudio de los suelos en condiciones de saturación parcial. En el futuro inmediato se deberá interactuar con biólogos con el fin de incorporar los procesos de suelo – vegetación – atmósfera de forma precisa. Los ingenieros químicos investigan el transporte de solutos y su efecto en el flujo de agua en el terreno.

b. Instrumentación en campo. Estas pruebas cuenta con mayor aceptación en

términos de representatividad. Si embargo, no deben olvidarse los problemas de precisión, heterogeneidad y mantenimiento de los instrumentos. Dentro del marco teórico se citaron algunas experiencias en el área con resultados complejos. Se pueden citar como ejemplo:

i. Los análisis de pruebas de infiltración. La información antecedente ilustra

el interés existente en el medio por lograr mediciones de parámetros en campo. Dentro de estas técnicas vale la pena mencionar la propuesta por el Profesor Álvaro J. González (Op. Cit., 1987).

ii. La modelación inversa de ensayos de campo. Los métodos numéricos

permiten simular las pruebas de campo con el fin de definir los parámetros hidráulicos de los materiales como, por ejemplo, el programa HYDRUS 3D y sus rutinas de retrocálculo para el permeámetro de Guelph.

4. Proponga modelos simples e incremente el grado de complejidad sólo si

es necesario para una representación adecuada del problema.

El empleo apropiado de los métodos numéricos depende de la calidad de la información aplicada y de la comprensión que el usuario tenga de sus alcances

91

y limitaciones. Es deseable aplicar el principio de la cuchilla de Occam para aproximarse al problema, por ejemplo:

a. Los análisis 1D pueden ser adecuados para depósitos superficiales como

los suelos derivados de cenizas volcánicas, los cuales presentan dimensiones en planta considerablemente superiores a su espesor. También deberían considerarse en entornos de origen lacustre como la Sabana de Bogotá en donde la hipótesis unidimensional ha sido tradicionalmente empleada con buenos resultados.

b. Los análisis 2D generan resultados conservadores y compatibles con el

método del equilibrio límite como se evidenció en los casos numéricos de este documento. El estudio de la respuesta hidrológica de presas o jarillones de protección exige el empleo de las dos dimensiones. La migración a los modelos tridimensionales, aunque deseable, debe ir de la mano con mayores progresos en la investigación de parámetros y el acople de los modelos de flujo multifase (aire, agua, solutos) y deformación (respuesta mecánica).

Fuente: Elaboración propia.

92

7. CONCLUSIONES 1. El estudio de los deslizamientos está justificado debido a su impacto sobre los seres

humanos en términos de vidas y pérdidas económicas. 2. La lluvia es reconocida como un factor desencadenante de deslizamientos en todos

los entornos montañosos del mundo debido a su influencia en la distribución espacial y temporal de las presiones de poros. Los procesos de inestabilidad pueden producirse por la reducción de la succión o por la generación de presiones de poros positivas que reducen o anulan el esfuerzo efectivo en el suelo.

3. Se pueden identificar dos tendencias en el estudio de la relación entre la lluvia y los

deslizamientos:

a. La primera tendencia corresponde a la formulación de relaciones estadísticas para identificar umbrales empíricos entre las características de la precipitación (intensidad, duración, acumulación) y la ocurrencia de deslizamientos. Existen relaciones en escalas mundial, regional y local; aunque se percibe una tendencia hacia la regionalización de los umbrales para mejorar la validez de sus predicciones. En el futuro inmediato, las relaciones lluvia – deslizamiento se enriquecerán con la información de sensores remotos sobre pendientes y coberturas, así como de una mejor determinación temporal de los eventos gracias a programas como el TRMM de la NASA.

b. La segunda tendencia corresponde al análisis numérico, sobre casos específicos, de la interacción entre los taludes y el medio que los rodea para condiciones representativas del entorno de sus autores (Corea, Hong Kong, Malasia, Noruega, etc.). Los análisis de flujo y estabilidad de taludes parcialmente saturados han evolucionado involucrando geometrías complejas y reconociendo la variación de los parámetros hidráulicos del suelo con la succión. Actualmente, la mayor parte de los estudios corresponden a modelos no acoplados de flujo – equilibrio límite sin análisis por deformaciones. De forma paralela, persisten los esfuerzos para mejorar modelos sencillos de infiltración pues se reconocen las complejidades del método numérico.

4. Para el estudio de la respuesta hidrológica de taludes existe un marco teórico sólido

en la literatura sobre los suelos parcialmente saturados. Las áreas que requieren un mayor esfuerzo en el futuro inmediato son la difusión, la formación y la implementación rutinaria de las pruebas de laboratorio para el análisis de problemas geotécnicos donde estas condiciones sean representativas.

5. En el desarrollo de este trabajo se empleó el código abierto SWMS_3D para el

análisis de flujo y la interfaz HYDRUS para la preparación de datos y presentación de resultados. Se presentan resultados de validación con casos publicados que demuestran las capacidades del código. Los análisis de estabilidad se realizaron con el programa SLIDE 5.0.

93

6. Se realizó el análisis comparativo de flujo y estabilidad frente al deslizamiento de

un dominio homogéneo tridimensional y su simplificación bidimensional observándose las siguientes tendencias:

a. La superficie crítica de falla no es única en el tiempo, su posición varía de

acuerdo con la distribución espacial y temporal de las presiones de poro. Por lo anterior, es útil definir una superficie de falla de control para evaluar la variación del factor de seguridad con los diferentes parámetros del flujo no permanente.

b. Para una duración constante, el factor de seguridad se reduce con el

incremento de la intensidad de la lluvia.

c. Para una intensidad constante, el factor de seguridad se reduce con el incremento de la duración de la lluvia.

d. No existe una relación constante entre el producto de intensidad por duración

de la lluvia con el factor de seguridad, es decir, no tiene el mismo efecto sobre la estabilidad una lluvia con intensidad de 1.5 m/día durante 1.0 día que una lluvia con intensidad de 1.0 m/día durante 1.5 días.

e. De acuerdo con los resultados obtenidos, la variación temporal de la

distribución de presiones de poros de un dominio tridimensional difiere de aquella de un dominio bidimensional. Si se extiende este comportamiento al ascenso del nivel freático debido a la lluvia, podría considerarse que los análisis bidimensionales son conservadores para el estudio de la variación temporal de la estabilidad de taludes.

7. Se evaluó el modelo de infiltración de Pradel & Raad sobre una arena y una arcilla,

obteniéndose un ajuste aceptable para la primera y respuestas completamente divergentes para la segunda. La interpretación de los resultados del método numérico sobre materiales de baja conductividad hidráulica debería apoyarse en datos de terrenos instrumentados para obtener una representación adecuada de la realidad.

8. La divergencia entre los resultados de los análisis numéricos y el modelo de Pradel

& Raad constituye un recordatorio de las limitaciones latentes en ambos modelos, a pesar de los numerosos reportes de la literatura sobre su uso extensivo y exitoso. La validez de una u otra aproximación dependerá de su calibración en el estudio de casos representativos del entorno geotécnico en el cual se aplican.

9. Finalmente, y a partir de los elementos analizados en este trabajo, se ha sugerido

un procedimiento general para el estudio de la respuesta hidrológica de taludes en la evaluación del impacto del medioambiente sobre su estabilidad.

94

8. BIBLIOGRAFÍA 1. ALONSO, E. E.; GENS, A. & JOSA, A. A constitutive model for partially

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APÉNDICE. CÓDIGO SWMS_3D A.1. Observaciones sobre el código en lenguaje FORTRAN El código SWMS_3D está escritos en el formato fijo del lenguaje de programación FORTRAN (FORTRAN fixed form source file) y es de dominio público de conformidad con lo establecido por Šimůnek et al (1995). Se probaron varios intérpretes y compiladores para la obtención del ejecutable SWMS_3D.EXE. Sólo Microsoft FORTRAN Power Station 4.0 produjo resultados satisfactorios al reconocer funciones como “getdat” y “gettim”, desconocidas para otros compiladores, y líneas de código en múltiples renglones vinculadas mediante el conector “!” el cual permite escribir instrucciones en más de 80 columnas. Las mencionadas funciones de obtención de fecha (getdat) y hora (gettim) del sistema se emplean para determinar el tiempo de análisis de un problema particular y no afectan sus resultados específicos, por lo tanto, pueden eliminarse del código con el debido seguimiento de antecedentes y consecuentes. En el compilador con licencia GNU, G77, el ejecutable obtenido presenta conflictos con el sistema operativo Windows, aún cuando se hayan eliminado o sustituido las funciones no estandarizadas del código, o bien, se genera un programa con errores en tiempo de ejecución pues se truncan las líneas de código vinculadas con el símbolo “!”. En las líneas iniciales del código principal y de las diferentes subrutinas de los objetos vinculados en la ejecución se dimensionan los arreglos del número de nodos, elementos y materiales, entre otros. Las dimensiones empleadas por defecto son suficientes para analizar los ejemplos incluidos en la distribución del código (Šimůnek et al, 1995). Sin embargo, es posible incrementar el tamaño de estos arreglos para la definición de mallas de elementos finitos más densas con la única limitante de que el ejecutable compilado no podrá superar cierto tamaño en función del sistema operativo. Por otra parte, el programa HYDRUS es una interfaz (escrita en C++) de preprocesamiento y postprocesamiento de datos para el código SWMS, recompilado en FORTRAN por sus autores bajo la denominación HYDRUS. La interfaz es un producto comercial con derechos reservados de PC–Progress y su código no está disponible. A.2. Modelación del flujo de agua en medio parcialmente saturado A continuación se presenta la estructura y estrategia de solución numérica para la ecuación de Richards en el código SWMS_3D. Esta parte del documento corresponde integralmente a la referencia de Šimůnek et al (1995), siendo el aporte del autor esta versión castellana. 100

A.2.1. Ecuación de Richards en el código SWMS_3D En el código SWMS_3D la ecuación de Richards se expresa de la forma mixta:

SKxhKK

xtAiz

j

Aij

i

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

∂∂

=∂∂θ

Ec.A. 1 Donde: θ: contenido volumétrico de agua (L3L-3). h: carga de presión (L). S: término sumidero o sifón para simular raíces o drenes (T-1). xi (i = 1, 2, 3): coordenadas espaciales (L). t: tiempo (T). KijA: componentes de un tensor adimensional KA que representa la

posible naturaleza anisótropa del medio. K: función de conductividad hidráulica no saturada (LT-1) dada por la

siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )zyxhKzyxKzyxhK rs ,,,,,,,, =

Ec.A. 2 Donde: Kr: conductividad hidráulica relativa (--). Ks: conductividad hidráulica principal saturada (LT-1). El valor de KijA debe ser positivo y menor o igual que la unidad. Para un medio isótropo los elementos diagonales de KijA son iguales a la unidad y los otros elementos son cero. A.2.2. Extracción de agua por las raíces El volumen de agua removida por unidad de tiempo de un volumen unitario de suelo debido a la extracción causada por las plantas, S, se define como:

( ) ( ) pShahS =

Ec.A. 3 Donde: a(h): respuesta del agua frente al esfuerzo. Función adimensional de la carga de

presión del agua del suelo (0 ≤ a ≤ 1). Sp: tasa potencial de extracción de agua (T-1). La extracción de agua es nula cerca

de la saturación o para el punto de marchitamiento, y óptima entre las cargas de presión h2 y h3 (Figura A. 1).

101

Carga de presión, h Figura A. 1. Esquema de la función de respuesta al esfuerzo del agua (Fuente: Šimůnek et

al., 1995)

La tasa potencial de extracción de agua, Sp, en una zona radicular irregular (Figura A. 2) se puede expresar como:

( ) ptp TSzyxbS ,,=

Ec.A. 4 Donde: St: superficie del suelo asociada con la transpiración. Tp: tasa potencial de transpiración. b(x, y, z): distribución normalizada de extracción de agua (L-3) definida por:

( ) ( )( )∫Ω Ω

=

R

dzyxbzyxbzyxb

,,',,',,

Ec.A. 5 Donde: ΩR: región ocupada por la zona radicular. b’(x, y, z): función de distribución prescrita arbitrariamente. La normalización de la distribución de la extracción garantiza que b(x, y, z) se integre como la unidad en el dominio de flujo:

( ) 1,, =Ω∫ΩR

dzyxb

Ec.A. 6 La tasa potencial de extracción de agua, Sp, está relacionada con la tasa potencial de transpiración, Tp, mediante la expresión:

102

ppt

TdSS R

=Ω∫Ω1

Ec.A. 7 La distribución real de la extracción de agua se obtiene como:

( ) ( ) ( ) ptTSzyxbzyxhazyxhS ,,,,,,,, =

Ec.A. 8 De donde se obtiene la tasa de transpiración real, Ta, mediante integración:

( ) ( )∫∫ ΩΩΩ=Ω=

RR

dzyxbzyxhaTdSS

T pt

a ,,,,,1

Ec.A. 9

Figura A. 2. Esquema de la función de distribución del potencial de extracción de agua

b(x, y, z) en la zona radicular del suelo (Šimůnek et al, 1995)

A.2.3. Condiciones iniciales y de frontera La solución de la ecuación de Richards requiere el conocimiento de la distribución inicial de la carga de presión, h, dentro del dominio de flujo, Ω:

( ) ( ) 0,,,,, 0 == tparazyxhtzyxh

Ec.A. 10 Donde: h0: función prescrita en x, y & z. El código SWMS_3D implementa tres tipos de condiciones de frontera independientes del sistema: a. Condiciones de frontera con carga de presión específica (tipo Dirichlet) de la forma:

103

( ) ( ) ( ) Dzyxparatzyxtzyxh Γ∈= ,,,,,,,, ψ

Ec.A. 11 b. Condiciones de frontera de flujo específico (tipo Neumann) dadas por:

( ) ( ) NiAiz

j

Aij zyxparatzyxnK

xhKK Γ∈=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

− ,,,,,1σ

Ec.A. 12 c. Condiciones de frontera de gradiente específico:

( ) ( ) GiAiz

j

Aij zyxparatzyxnK

xhK Γ∈=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂ ,,,,,2σ

Ec.A. 13 Donde: ΓD, ΓN y ΓG: segmentos de frontera de los tipos Dirichlet, Neumann y

gradiente específico, respectivamente. ψ (L), σ1 (LT-1) y σ2 (--): funciones prescritas en x, y, z, t. ni: componentes de un vector unitario externo normal a las

fronteras ΓN y ΓG. El código implementa la condición de frontera tipo gradiente sólo en términos de un gradiente hidráulico unitario vertical (σ2 = 1) para simular el drenaje libre de un perfil de suelo relativamente profundo, por ejemplo, para situaciones en las cuales el nivel freático está situado muy por debajo del domino de interés. Además de las condiciones de frontera independientes del sistema, el código considera tres condiciones adicionales de frontera dependientes del sistema, las cuales no pueden especificarse a priori. La primera condición de frontera dependiente del sistema involucra las interfases suelo–aire expuestas a condiciones atmosféricas. El flujo potencial de fluido a través de estas interfases está controlado exclusivamente por condiciones externas y el flujo real depende de las condiciones de humedad del suelo. Las condiciones de frontera de la superficie del suelo pueden variar de flujo prescrito a carga de presión prescrita (y viceversa). En ausencia de empozamiento superficial, la solución numérica de la Ec.A. 1 se obtiene limitando el valor absoluto del flujo de tal forma que se satisfacen las siguientes condiciones:

EnKxhKK i

Aiz

j

Aij ≤⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

Ec.A. 14 104

Y

sA hhh ≤≤

Ec.A. 15 Donde: E: tasa potencial máxima de infiltración o evaporación bajos las condiciones

atmosféricas presentes. h: carga de presión en la superficie del suelo. hA & hs: cargas de presión mínima y máxima permitidas bajo las condiciones

prevalecientes del suelo. El valor para hA se determina de las condiciones de equilibrio entre el agua del suelo y el vapor de agua atmosférico, mientras que hs generalmente se iguala a cero. El código SWMS_3D asume que cualquier exceso de agua se remueve de inmediato. Cuando se alcanza cualquiera de los extremos de la Ec.A. 15 se emplea una condición de frontera con carga de presión prescrita para calcular el flujo real. La segunda condición de frontera dependiente del sistema es una superficie de filtración a través de la cual el agua sale de la parte saturada del dominio de flujo. En este caso, la longitud de la superficie de filtración no se conoce a priori. El código asume que la carga de presión siempre es cero a lo largo de la superficie de filtración y que el agua que deja la zona saturada a través de ella se remueve de forma inmediata. La tercera condición de frontera dependiente del sistema corresponde a los drenes. De forma similar a la superficie de filtración, el código asume que siempre que un dren se localice en la zona saturada la carga de presión a lo largo del mismo será cero. Cuando el dren se ubica en la zona no saturada se comporta como un sumidero o fuente nodal con recarga cero. A.3. Solución numérica de la ecuación de flujo de agua en el código SWMS_3D La solución de la ecuación de flujo con las condiciones iniciales y de frontera que se prescriban se obtiene mediante el método del elemento finito de Galerkin, con funciones de forma lineales, considerando los siguientes elementos: A.3.1. Discretización del espacio La región de flujo se divide en una red de elementos tetraédricos definidos por los nodos de sus esquinas. La función de la carga de presión h(x, y, z, t) se aproxima mediante una función h’(x, y, z, t) de la siguiente forma:

( ) ( )∑=

=N

nnn thzyxtzyxh

1,,,,,' φ ( )

Ec.A. 16 Donde:

105

φn: funciones de forma lineales que satisfacen la condición φn (xm, ym, zm) = δnm. hn: coeficientes desconocidos que representan la solución de la ecuación de

Richards en los puntos nodales. N: número total de nodos. El método de Galerkin postula que el operador diferencial asociado con la ecuación de Richards es ortogonal a cada una de las N funciones de forma, esto es:

0=Ω⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

∂∂

−∂∂

∫Ω

dSKxhKK

xt nAiz

j

Aij

i

φθ

Ec.A. 17 Aplicando la primera identidad de Green y sustituyendo h por h’, se obtiene:

∑ ∫ ∑ ∫

∑ ∫

Γ Ω

Ω

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−+Γ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

e en

i

nAizii

Aiz

j

Aij

e i

n

j

Aijn

e e

e

sSx

KKdnKxhKK

dxx

hKKt

φφφ

φφθ

'

'

Ec.A. 18 Donde: Ωe: dominio ocupado por el elemento e. Γe: segmento de frontera que coincide con el elemento e. Las condiciones de frontera de tipo flujo (Neumann) y tipo gradiente pueden incorporarse de forma inmediata en el esquema numérico especificando una integral de superficie en la Ec.A. 18. Tras definir algunas presunciones simplificadoras (que se discuten más adelante) e integrar sobre los elementos, el procedimiento da un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias dependientes del tiempo y con coeficientes no lineales. En forma matricial, estas ecuaciones están dadas por:

[ ] { } [ ]{ } { } { } { }DBQhAdt

dF −−=+θ

Ec.A. 19 Donde:

106

( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

+++++=

Ω∂∂

∂∂

=

∑

∑ ∫Ω

nmnmAyzmnmn

Axz

nmnmAxymn

Azznm

Ayynm

Axx

e e

e j

m

i

ni

Aijinm

cddcKbddbK

bccbKddKccKbbK

VK

dxx

KKAe

36

φφφ

Ec.A. 20

( )∑∫∑ ++=Ω∂∂

=Ω e

nAzzn

Ayzn

Axz

i

ni

e

Aizin dKcKbKKd

xKKB

e6

φφ

Ec.A. 21

∑ ∫ ∑Ω

=Ω=e e

enmnnmnm

e

VdF4

δφδ

Ec.A. 22

∑ ∫ ∑Γ

−=Γ−=e e

nnnlln

e

LdQ σφφσ1

Ec.A. 23

( )∫ ∑∑Ω

+=Ω=e e

ne

nle

ln SSVdSD 420

φφ

Ec.A. 24 Donde: Variables con raya superior: valores promedio en el elemento e. Subíndices i y j: índices de direcciones espaciales (i, j = 1, 2, 3). Rangos: l = 1, 2…N; m = 1, 2…N; n = 1, 2…N. Para los elementos tetraédricos con vértices en los nodos 1, 2, 3 y 4:

107

( )( ) ( )( )( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(( )( ) ( )(

( ) ( ) ( ) 414414414

121313124

424141423

343131342

242323241

131212134

414242413

313434312

232424231

121313124

424141423

343131342

242323241

dzzcyybxxV

yyxxyyxxdyyxxyyxxdyyxxyyxxdyyxxyyxxd

zzxxzzxxczzxxzzxxczzxxzzxxczzxxzzxxczzyyzzyybzzyyzzyybzzyyzzyybzzyyzzyyb

e −+−+−=

−−−−−=−−−−−=−−−−−=−−−−−=

−−−−−=−−−−−=−−−−−=−−−−−=−−−−−=−−−−−=−−−−−= )

))))))))))

−−−−−=

Ec.A. 25

4443214321 SSSSSKKKKK +++

=+++

=

Ec.A. 26 La Ec.A. 23 es válida para una condición de frontera de tipo flujo. Para una condición de frontera de tipo gradiente, la variable σ1 en la Ec.A. 23 debe reemplazarse por el producto de la conductividad hidráulica K y el gradiente prescrito σ2 = 1. Ve es el volumen del elemento e, K y S son la conductividad hidráulica promedio y el valor promedio de extracción de agua por las raíces en el elemento e, respectivamente; y Ln es el área del segmento de frontera conectado con el nodo n. El símbolo σn en la Ec.A. 23 representa el flujo (LT-1) a través de la frontera en la vecindad del nodo de frontera n (positivo cuando se dirige afuera del sistema). El flujo de frontera se asume uniforme sobre cada segmento de frontera. Los elementos del vector Qn son cero en todos los nodos internos que no actúan como fuentes o sifones de agua. El procedimiento numérico que lleva a obtener la Ec.A. 19 incorpora dos importantes presunciones adicionales a aquellas relacionadas con la aproximación de Galerkin al elemento finito. Una presunción corresponde a las derivadas del tiempo de los valores nodales del contenido de agua, las cuales son ponderadas de acuerdo con:

108

∑ ∫

∑ ∫

Ω

Ω

Ω

Ω∂∂

=

en

en

n

e

e

d

dt

dtd

φ

φθθ

Ec.A. 27 Esta presunción implementa la acumulación de masa, la cual se ha demostrado que mejora la tasa de convergencia del proceso iterativo de solución (Neumann, 1973 en Šimůnek et al, 1995). Una segunda presunción en el esquema numérico se relaciona con el tensor de anisotropía KA, el cual se toma constante en cada elemento. Por contraste, en un tiempo dado se asume que el contenido de agua (θ), la conductividad hidráulica (K), la capacidad de agua del suelo (C) y la tasa de extracción de agua de las raíces (S) varían linealmente en cada elemento e. Por ejemplo, el contenido de agua se expande en cada elemento de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )∑=

∈=4

1,,,,,,,,

nennnn Vzyxparazyxzyxzyx φθθ

Ec.A. 28 Donde: n: esquinas del elemento e. La ventaja de la interpolación lineal es que no se requiere de integración numérica para evaluar los coeficientes de la Ec.A. 19. A.3.2. Discretización del tiempo La integración de la Ec.A. 19 en el tiempo se logra mediante la discretización del dominio del tiempo en una secuencia de intervalos finitos y la sustitución de las derivadas del tiempo por diferencias finitas. Se emplea un esquema de diferencias finitas implícito (hacia atrás) para las condiciones saturada y no saturada:

[ ]{ } { } [ ] { } { } { } { }jjjjjj

jj DBQhAt

F −−=+Δ−

++++

1111 θθ

Ec.A. 29 Donde j+1 denota el nivel de tiempo actual en el cual se esta considerando la solución, j se refiere al nivel previo de tiempo y Δtj = tj+1 – tj. La Ec.A. 29 representa el conjunto final de ecuaciones algebraicas por resolver, el cual es altamente no lineal dado que θ y los coeficientes A, B, D y Q (para las condiciones de frontera tipo gradiente) son funciones de la variable dependiente, h. Nótese que, en contraste con un esquema totalmente implícito, los vectores D y Q son evaluados en el nivel de tiempo anterior lo que en algunos casos puede mejorar la tasa de convergencia. 109

A.3.3. Estrategias para la solución numérica de la ecuación de flujo de agua A.3.3.1. Proceso de iteración Dada la naturaleza no lineal de la Ec.A. 29 se emplea un proceso iterativo para obtener la solución de la ecuación matricial global en cada nuevo incremento de tiempo. Para cada iteración, primero se deriva un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de la Ec.A. 29, el cual, luego de incorporarle las condiciones de frontera, se resuelve empleando la eliminación Gaussiana o el método del gradiente conjugado. Luego de la inversión, los coeficientes en la Ec.A. 29 son reevaluados empleando la primera solución, y se resuelven una vez más las nuevas ecuaciones. El proceso iterativo continúa hasta que se obtiene un grado de convergencia satisfactorio, es decir, hasta el cambio absoluto entre dos iteraciones sucesivas de la carga de presión (o del contenido de agua), en todos los nodos del dominio saturado (o no saturado), es menor que la tolerancia prescrita para la carga de presión (o para el contenido de agua). El primer estimado de las cargas de presión desconocidas en cada incremento de tiempo se obtiene mediante la extrapolación de las mismas en los dos niveles de tiempo previos. A.3.3.2. Discretización del término de almacenamiento de agua El proceso de iteración es extremadamente sensible al método empleado para evaluar el término del contenido de agua (Δθ/Δt) en la Ec.A. 29. El código SWMS_3D emplea el método de iteración modificado de Picard, propuesto por Celia et al, el cual ha mostrado excelentes resultados en términos de minimizar el error de balance de masa. El método de conservación de masa expande el término del contenido de agua en dos partes:

[ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { }j

jkj

j

kj

kj

j

jj

tF

tF

tF

Δ−

+Δ−

=Δ− ++

+++ θθθθθθ 11

111

Ec.A. 30 Donde k+1 y k denotan los niveles de iteración actual y anterior, respectivamente; y j+1 y j los niveles de tiempo actual y anterior, respectivamente. Nótese que el segundo término en el lado derecho de la Ec.A. 30 es conocido antes de la iteración actual. El primer término en el lado derecho puede expresarse en términos de la carga de presión, de forma que la Ec.A. 30 se convierte en:

110

[ ]{ } { } [ ][ ] { } { } [ ]{ } { }j

jkj

j

kj

kj

jj

jj

tF

thh

CFt

FΔ−

+Δ−

=Δ− ++

++

++ θθθθ 11

11

11

Ec.A. 31 Donde: Cnm: δnm.Cn.

Cn: valor nodal de la capacidad de agua del suelo. El primer término en el lado derecho de la Ec.A. 31 debe desaparecer al final del proceso de iteración si la solución numérica converge. Esta característica garantiza errores de balance de masa relativamente pequeños en esta solución. A.3.3.3. Control de los intervalos de tiempo Se consideran tres discretizaciones del tiempo en el código SWMS_3D: (1) discretizaciones del tiempo asociadas con la solución numérica, (2) discretizaciones del tiempo asociadas con la implementación de las condiciones de frontera, y (3) discretizaciones del tiempo que proveen impresión de los resultados de la simulación. Las discretizaciones (2) y (3) son mutuamente independientes e involucran intervalos de tiempo variables. La discretización (1) comienza con un incremento de tiempo prescrito de forma inicial, Δt, el cual se ajusta automáticamente en cada nivel de tiempo de acuerdo con las siguientes las reglas de Mls (1982) y Vogel (1987): a. La discretización (1) debe coincidir con los valores de tiempo resultantes de las

discretizaciones (2) y (3). b. Los incrementos de tiempo no pueden ser menores que un valor preseleccionado,

Δtmin, ni exceder un incremento máximo, Δtmax, (esto es: Δtmin ≤ Δt ≤ Δtmax). c. Si, durante un incremento de tiempo particular, el número de iteraciones necesario

para alcanzar la convergencia es ≤ 3, el incremento de tiempo para el siguiente intervalo se multiplica por una constante entre 1.1 y 1.5. Si el número de iteraciones es ≥ 7, se multiplica Δt para el siguiente nivel de tiempo por una constante entre 0.3 y 0.9.

d. Si, durante un incremento de tiempo particular, el número de iteraciones se hace

mayor que un máximo prescrito (usualmente entre 10 y 50) se finaliza el proceso iterativo para ese nivel de tiempo, se reduce el incremento de tiempo a Δt/3 y se reinicia el proceso iterativo.

A.3.3.4. Condiciones de frontera con carga de presión Las ecuaciones de elemento finito correspondientes a los nodos Dirichlet pueden, al menos al principio, eliminarse de la ecuación matricial global. Una aproximación alternativa y numéricamente simple es reemplazar las ecuaciones de elemento finito de

111

Dirichlet por expresiones dummy de la forma (Neumann, 1974 en Šimůnek et al, 1995):

nmnmh ψδ =

Ec.A. 32 Donde: δnm: delta de Kronecker. ψn: valor prescrito de la carga de presión en el nodo n. Los valores de hn en todas las otras ecuaciones de igualan a ψn, y los términos apropiados que contienen ψn en el lado izquierdo de la matriz se incorporan en el vector conocido del lado derecho de la ecuación matricial global. Si esta modificación se hace apropiadamente, preservará la simetría de la ecuación matricial y se aplica sólo si se emplea la eliminación Gaussiana para resolver la ecuación matricial. Al emplear el método de gradiente conjugado, la ecuación de elemento finito que representa el nodo Dirichlet se modifica de forma que el lado derecho de esta ecuación se hace igual a la carga prescrita de presión multiplicada por un número muy grande (1030) y el término del lado izquierdo de la ecuación que representa el nodo Dirichlet se hace igual a dicho número. Luego de resolver para todas las cargas de presión, el valor del flujo Qn puede calcularse de forma explícita y precisa con la ecuación original de elemento finito asociada con el nodo n. A.3.3.5. Condiciones de frontera con flujo y gradiente Los valores de los flujos Qn en los puntos nodales a lo largo de las fronteras de flujo y gradiente prescritos se calculan de acuerdo con la Ec.A. 23. Los nodos internos que actúan como fuentes o sumideros tienen valores de Qn iguales a la tasa impuesta de inyección o extracción. A.3.3.6. Condiciones de frontera atmosféricas y superficies de filtración Las fronteras atmosféricas se simulan aplicando condiciones de carga de presión prescrita o de flujo prescrito dependiendo del cumplimiento de la Ec.A. 14 o la Ec.A. 15. Si la Ec.A. 15 no se satisface, el nodo n se convierte en una frontera de carga prescrita. Si, en cualquier punto durante el análisis, el flujo calculado excede el valor especificado de flujo potencial en la Ec.A. 14, al nodo le será asignado un flujo igual al valor potencial y será tratado como una frontera de flujo prescrito. Deben identificarse a priori todos los nodos que se cree serán parte de una superficie de filtración. Durante cada iteración, la parte saturada de una superficie potencial de filtración se trata como una frontera con carga de presión prescrita nula, mientras que la parte no saturada se trata como una frontera con flujo prescrito nulo. Las longitudes de los segmentos de superficie se ajustan continuamente durante el proceso de iteración hasta que la totalidad de los valores calculados de Q (Ec.A. 23), a lo largo de la parte saturada, y de h, a lo largo de la parte no saturada, sean negativos

112

indicando que el agua está abandonando la región de flujo solamente a través de la parte saturada de la superficie de frontera. A.3.3.7. Tratamiento de drenes La representación de drenes como condiciones de frontera implementa los resultados de experimentos eléctricos análogos desarrollados por Vimoke y Taylor (1962) quienes postularon que los drenes pueden representarse por puntos nodales en una malla regular de elementos finitos, considerando que se hagan ajustes en la conductividad hidráulica de los elementos vecinos. Los ajustes se plantean como:

ddrain CKK ×=

Ec.A. 33 Donde: Kdrain: conductividad ajustada (LT-1). Cd: factor de corrección (--) que se determina de la relación entre el radio

efectivo del dren, d (L), y la longitud del lado del cuadrado, D (L), formado por los elementos finitos que rodean el nodo del dren en un plano perpendicular al mismo. Se calcula como:

CBAZZC

dd ×−×−×−+×

≈=12.048.034.248.6log138 10

00

0

'0

ρεμ

Ec.A. 34 Donde: Z’0: impedancia característica del espacio vacío (≈ 376.7 ohms). μ0: permeabilidad del espacio vacío. ε0: permitividad del espacio vacío. Z0: impedancia característica de una línea de transmisión a lo largo del dren. Los

coeficientes en la Ec.A. 34 están dados por:

12

12

8

8

4

4

067.01067.01

163.01163.01

405.01405.01

−

−

−

−

−

−

×−×+

=×−×+

=

×−×+

==

d

d

d

d

d

dd

CB

AdD

ρρ

ρρ

ρρρ

Ec.A. 35 Donde: d: diámetro de drenaje efectivo: se calcula con el número y tamaño de las

pequeñas aberturas en el tubo de drenaje. D: lado del cuadrado en la malla de elementos finitos que rodean el drenaje y

tienen la conductividad hidráulica ajustada.

113

El método de implementación del drenaje a través de condiciones de frontera da una predicción eficiente y precisa de la carga hidráulica en el área que rodea el drenaje, así

como de su tasa de flujo. A.3.3.8. Evaluación del balance de agua El código SWMS_3D realiza cálculos del balance de agua en los tiempos prescritos para varias regiones preseleccionadas del dominio de flujo. La información del balance de agua consiste en el volumen real de agua, V, y la tasa de entrada o salida de flujo, O, de la subregión. V y O están dadas por:

∑+++

=e

lkjieVV

4θθθθ

Ec.A. 36 Y

tVVO oldnew

Δ−

=

Ec.A. 37 Donde: θi, θj, θk y θl: contenidos de agua evaluados en las esquinas del elemento e. Vnew y Vold: volúmenes de agua en la subregión calculados en los niveles de

tiempo actual y anterior. El error absoluto en el balance de masa se calcula como:

∫∑∫Γ

−+−=t

nn

t

attwa dtQdtTSVV

000ε

Ec.A. 38 Donde: Vt y V0: volúmenes de agua en el dominio de flujo en los tiempos 0 y t,

respectivamente, calculados con la Ec.A. 36. El tercer término en el lado derecho de la Ec.A. 38 representa la cantidad total de agua extraída por las raíces de las plantas, y el cuarto término da el flujo acumulado a través de los nodos, nΓ, localizados a lo largo de las fronteras del dominio de flujo o en nodos internos sumidero/fuente. La precisión de la solución numérica se evalúa en términos del error relativo, εrw (%), en el balance de masa del agua como se indica a continuación:

100,max 0

×

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=

∑ ∫∑∫ΩΩe

t

nn

t

atee

t

waw

r

dtQdtTSVVr

εε

Ec.A. 39 114

Donde: Vte y V0e: volúmenes de agua en el elemento e en los tiempos 0 y t, respectivamente. El código no relaciona el error absoluto con el volumen de agua en el dominio de flujo, si no con el máximo valor entre dos cantidades: La primera representa la suma de los cambios absolutos en el contenido de agua en todos los elementos y la segunda es la suma de los valores absolutos de todos los flujos que entran y salen del dominio. Este criterio de error es mucho más estricto que el criterio usual que involucra el volumen total de agua en el dominio de flujo. Lo anterior debido a que los flujos de frontera acumulados son a menudo mucho más pequeños que el volumen en el dominio, especialmente al comienzo de la simulación. A.3.3.9. Cálculo de los flujos nodales Cuando se resuelve la ecuación de flujo, las componentes de flujo se calculan en los tiempos prescritos para impresión. Las componentes x, y, z de los flujos nodales se calculan en cada nodo n de acuerdo con:

nAzzn

Azyn

Azx

zn

nAyzn

Ayyn

Ayx

yn

nAxzn

Axyn

Axx

xn

e

Azz

e

lzlk

zkj

zji

zi

e

nz

e

Ayz

e

lylk

ykj

yji

yi

e

ny

e

Axz

e

lxlk

xkj

xji

xi

e

nx

dKcKbK

dKcKbK

dKcKbK

KV

hhhhNKq

KV

hhhhNKq

KV

hhhhNKq

n

n

n

++=

++=

++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

×++++

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

×++++

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

×++++

−=

∑

∑

∑

χ

χ

χ

χχχχ

χχχχ

χχχχ

6

6

6

Ec.A. 40 Donde: Ne: número de subelementos en adyacentes al nodo n. A.3.3.10. Extracción de agua por las raíces de las plantas El código SWMS_3D considera que la zona radicular está compuesta por todos los nodos, nr, para los cuales la distribución del potencial de extracción de agua por las raíces es mayor que cero.

115

Se presume que la tasa de extracción de agua por las raíces varía linealmente en cada elemento; esto implica el empleo de la Ec.A. 24 para el término de extracción de agua

por las raíces, Dn, en la ecuación matricial global. La tasa total de transpiración por unidad de longitud de superficie del suelo se calcula para todos los elementos dentro de la zona radicular como:

∑=e

et

a SVS

T 1

Ec.A. 41 A.3.3.11. Evaluación de las propiedades hidráulicas del suelo Al inicio de la simulación numérica se genera para cada tipo de suelo en el dominio de flujo una tabla con contenidos de agua, conductividades hidráulicas y capacidades específicas de agua con base en un grupo dado de parámetros hidráulicos. Los valores de θi, ki y Ci de la tabla se evalúan con las cargas de presión prescritas, hi, dentro de un intervalo específico (ha, hb). Los elementos de dicha tabla se generan de tal forma que:

.1 consthh

i

i =+

Ec.A. 42 Lo cual significa que el espaciamiento entre dos valores de carga de presión consecutivos se incrementa de forma logarítmica. Los valores de las propiedades hidráulicas θ(h), k(h) y C(h) se calculan durante el proceso de la solución iterativa empleando una interpolación lineal entre los valores de la tabla. Si un argumento h está por fuera del intervalo prescrito (ha, hb), las características hidráulicas se evalúan de forma directa con las funciones hidráulicas. A.3.3.12. Implementación de la anisotropía de la conductividad hidráulica Al asumir que el tensor de anisotropía de la conductividad hidráulica (KA) es simétrico, se hace posible definir, en cualquier punto del dominio de flujo, un sistema de coordenadas locales para las cuales el tensor KA es diagonal. Los elementos diagonales K1A, K2A y K3A de KA se conocen como los componentes principales de KA. El código permite variar la orientación de las direcciones principales locales de cada elemento. Para este propósito, los ejes locales de coordenadas se rotan de forma que coincidan con las direcciones principales del tensor KA. Para cada elemento se especifican los componentes principales K1A, K2A y K3A, junto con los cosenos de los ángulos entre las direcciones principales del tensor KA y los ejes del sistema global de coordenadas. Las componentes principales localmente determinadas, K1A, K2A y K3A, se transforman al sistema global de coordenadas (x, y, z) al comienzo de la simulación mediante las 116

siguientes reglas:

332332322213121

331332312213111

231332212212111

333332323213131

232332222212121

131331212211111

aaKaaKaaKK

aaKaaKaaKK

aaKaaKaaKK

aaKaaKaaKK

aaKaaKaaKK

aaKaaKaaKK

AAAAyz

AAAAxz

AAAAxy

AAAAzz

AAAAyy

AAAAxx

++=

++=

++=

++=

++=

++=

Ec.A. 43 Donde: aij: coseno del ángulo entre la dirección principal i del tensor KA y el eje j del

sistema global de coordenadas. A.3.3.13. Análisis de flujo permanente (steady – state). Todos los problemas de flujo temporal se resuelven con el avance del tiempo hasta alcanzar un valor prescrito del mismo. El problema permanente (steady – state) puede resolverse de la misma forma, es decir, con el avance del tiempo hasta que dos soluciones sucesivas difieran en menos de lo establecido para la tolerancia de la carga de presión. El código implementa una forma más rápida de obtener la solución del flujo permanente sin tener que pasar por un gran número de intervalos de tiempo. Dicha solución, para un grupo de condiciones de frontera impuestas, se obtiene directamente con un grupo de iteraciones en el primer intervalo de tiempo al igualar a cero el término de la derivada del tiempo en la ecuación de Richards. A.4. Descripción del anexo digital Adjunto a este documento se entregan en medio digital los programas SWMS_3D.EXE y GENER3D.EXE para la solución de problemas tridimensionales de flujo en continuos hexaédricos parcialmente saturados. También se anexa el código fuente compilado por el autor y los ejemplos de la distribución original. Para mayor información sobre el código SWMS_3D se puede visitar el sitio: http://www.ars.usda.gov/Services/docs.htm?docid=8962

117

http://www.ars.usda.gov/Services/docs.htm?docid=8962

060808 Modelación Numérica de La Respuesta Hidrológica de Taludes (1)

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