,

COMPOSICION DE ,

MOVIMIENTOS RECTILINEOS

eONTENIDOS

1. SIMULTANEIDAD DE VARIOS MOVIMIENTOS. PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA

2. COMPOSICiÓN DE DOS MOVIMIENTOS RECTILíNEOS y UNIFORMES 2.1. De la misma dirección. 2.2. De direcciones

cualesquiera.

3. COMPOSICiÓN DE DOS MOVIMIENTOS RECTILíNEOS UNIFORMEMENTE VARIADOS 3.1. Dl!Ma misma dirección. 3.2. De distinta dirección.

4. COMPOSICiÓN DE UN MOVIMIENTO RECTIlÍNEO UNIFORME Y OTRO RECTILíNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 4.1. Tiros.

5. COMPOSICiÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES

126

5.1. De la misma dirección. 5.2. De direcciones

perpendiculares.

En raras ocasiones un móvil se encuentra sometido a un solo movimiento; lo más frecuente es que sean varios los que actúan de forma simultánea y que es necesario considerar en su totalidad para obtener una información precisa acerca de la posición del móvil en cada instante. La suma vectorial de todos los movimientos elementales se conoce como com­posición de movimientos, y ése va a ser el tema central de estudio de esta Uni­dad didáctica, en la que para mayor sencillez consideraremos tan sólo algunos casos en los que los movimientos componentes sean rectilíneos. Sin embargo, no debemos olvidar que existen otros movimientos, como el helicoidal unifor­me, cuyo estudio se abordará en una Unidad posterior, que es consecuencia de la composición de un movimiento circular y otro rectilíneo, ambos uniformes.

Unidad 6 ....... ...... ....... ... . ................................................................. . 1. SIMULTANEIDAD DE VARIOS MOVIMIENTOS. PRINCIPIO DE

INDEPENDENCIA

Imagina que quieres atravesar un río nadando, con objeto de alcanzar la orilla opuesta. Si lo haces perpendicularmente a la corriente, verás que no tocas la orilla en un punto situado enfrente del de partida, sino un poco más abajo.

Esto se debe a que estás sometido simultáneamente a dos movimien­tos: el tuyo propio y el de arrastre de la corriente, dando como resultado otro movimiento, consecuencia de los dos.

Generalizando este ejemplo, podemos enunciar que:

Si un punto está sometido simultáneamente a varios movimientos ele­mentales, el movimiento resultante se obtiene al sumar vectorialmente los movimientos componentes.

Es decir, en cada instante:

• El vector posición resultante es la suma vectorial de los vectores posi­ción de los movimientos componentes:

(=(1 +(2

• La velocidad resultante es la suma vectorial de las velocidades de los movimientos componentes:

\1= \11 + \12

La expresión anterior es válida siempre que ninguna de las velocida­des componentes se aproxime al valor de la velocidad de la luz, pues en ese caso habría que aplicar las leyes de la Mecánica relati­vista.

• La aceleración resultante es la suma vectorial de las aceleraciones de los movimientos componentes:

8 =81 +82

Estas tres leyes de composición están basadas en el principio de Gali­leo de la independencia de movimientos:

Si un punto está sometido, por causas distintas, a movimientos simul­táneos, su cambio de posición es independiente de que los movimientos tengan lugar sucesiva o separadamente.

Por ejemplo, en el caso del nadador antes citado su cambio de posi­ción es AC, resultante de su esfuerzo, AB, y del arrastre de la corriente, AD.

11

Actividades

l . Cita uno o más ejemplos que pongan de manifiesto el principio de la in­dependencia de movimientos de Gali leo.

A D

• • B c

El nadador que sale de A alcanza la orilla opuesta del río en C.

127

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

tg e =

s = v t 1 1

128

2. COMPOSICiÓN DE DOS MOVIMIENTOS RECTILíNEOS Y UNIFORMES

Se pueden distinguir varios casos.

2.1. De la misma dirección y sentido , Es el caso de un nadador que avanza en la dirección y sentido de la co­

rriente de un río.

El movimiento resultante es rectilíneo y uniforme, de la misma dirección y sentido que los movimientos componentes.

La velocidad resultante vendrá dada por la expresión:

V=V1 +V2

y como los vectores v1 y v2 tienen la misma dirección y sentido, la celeridad resultante valdrá:

y el espacio recorrido:

2.2. De la misma dirección y sentidos contrarios

Es el caso de un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente.

El movimiento resultante es rectilíneo y uniforme, de la misma dirección que los movimientos componentes, siendo su sentido el correspondiente al movimiento que tenga mayor celeridad.

Como en este caso v1 y v2 tienen sentidos opuestos, la celeridad resul­tante vendrá dada por:

2.3. De direcciones cualesquiera

Como v = v1 + V2 , Y v1 Y v2 son constantes, también lo será v (tanto en mó­dulo como en dirección y sentido). Por lo tanto, el movimiento resultante se­rá también rectilíneo y uniforme, siendo su celeridad:

I v = ~ v~ + v~ + 2 v 1 . V 2 . cos 8 I

donde 8 es el ángulo que forman las direcciones de los dos movimientos componentes.

Un caso particular interesante se produce cuando las dos direcciones son perpendiculares, como, por ejemplo, cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente. Al ser 8= 90°, resulta:

siendo el espacio recorrido: I s=~

Unidad 6 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ~ I

y como 51 = V1 t y 52 = V2 t, quedará finalmente: I 5=~.t La dirección del movimiento resultante se deduce de la figura:

...-_____________________________ Ejemplos I 1. Una canoa, que vamos a considerar puntual, atraviesa perpendicularmente un río de 50 m de ancho, con

una velocidad de 4 mis. La velocidad de la corriente es de 3 mis. Calcular:

a) El tiempo que tardará la canoa en llegar a la orilla opuesta.

b) En qué punto de la orilla opuesta atracará.

c) La velocidad real de la canoa y el espacio recorrido por ella.

d) El espacio recorrido por la canoa en ese tiempo si navegara en el sentido de la corriente.

e) El espacio recorrido si navegara en sentido contrario a la corriente.

Solución:

a) El tiempo que tardará la canoa en cruzar el río es:

t = 51 = 50 m = 12,5 s v1 4 mis

b) Calculemos, ahora, el espacio recorrido por la canoa en la dirección de la corriente:

52 =V2 • t=3 mis · 12,55=37,5 m

c) La velocidad real de la canoa es: v = ~v~ + v~ = ~( 4 mis t + ( 3 mis t = 5 mis

y el espacio recorrido por ella: 5 = V . t = 5 mis · 12,55 = 62,5 m

d) Si la canoa navegara en el sentido de la corriente: v = v1 + v2 = 4 mis + 3 mis = 7 mis, yen consecuencia:

5 = V . t = 7 mis· 12,5 s = 87,5 m

e) Y si la canoa navegara en sentido contrario: v' = v1 - v2 = 4 mis - 3 mis = 1 mis. Y, por lo tanto:

5'=v'· t= 1 mis ·12,5 s= 12,5 m

e Rctividades :::> l. Si aumenta la velocidad del agua de un río, un nadador, ¿tardará más o menos tiempo en cruzarlo?

2. El agua discurre por el cauce de un río de 160 m de anchura con una velocidad de 10 mis. En dirección perpen­dicular a una de sus orillas sale una barca con una velocidad de 4 mi s respecto a tierra. Simultáneamente, si­guiendo el mismo centro del río y desde un punto situado 1 km aguas abajo del primero, sale otra barca nave­gando a contracorriente, la cual se cruza con la primera en el punto medio del río, a igual distancia de ambas orillas. Con estos datos, se pide calcular:

al El tiempo que tardan en cruzarse las dos barcas.

bl El espacio que recorre la segunda barca hasta que se cruza con la primera.

cl La velocidad de la segunda barca respecto al agua.

Resultados: al t= 20 s; bl 52 = 800 m; cl V2 a = 50 mi s

129

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

130

3. COMPOSICiÓN DE DOS MOVIMIENTOS RECTILíNEOS UNIFORMEMENTE VARIADOS

3.1. De la misma dirección

Ya que:

y

resulta:

que es la ecuación de un movimiento uniformemente acelerado, en el que el espacio inicial, velocidad inicial y aceleración inicial son, respectivamente, la suma algebraica de las magnitudes correspondientes a los movimientos compon.entes. En efecto, si hacemos: so, ± S02 = so; va, ± V 02 = va' y

a, ± a2 = ao' se obtiene:

con lo que queda demostrado lo que anteriormente afirmamos.

3.2. De distinta dirección

Como es lógico, la aceleración resultante es la suma vectorial de las ace­leraciones componentes, siendo el movimiento resultante rectilíneo y unifor­memente variado. En efecto, considerando que ambos movimientos parten del reposo, es decir: va, = V02 = O, tenemos:

1 2 S, = -a, ·t

2

Por eliminación del tiempo entre las dos ecuaciones, en virtud del princi­pio de la independencia de movimientos, se obtiene la ecuación de la tra­yectoria:

G±J2 S2 =_ ·s,

a,

que es la ecuación de una recta.

Si los dos movimientos son perpendiculares, la aceleración del movi­miento resultante es:

a = ~a~ + ~ = cte

tratándose, por lo tanto, de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, de ecuación:

1 2 S =-a ·t

2

4. COMPOSICiÓN DE UN MOVIMIENTO RECTILíNEO UNIFORME Y OTRO RECTILíNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

4.1. De la misma dirección

El movimiento resultante es uniformemente variado. En efecto:

de donde, por suma, se obtiene:

Un caso importante dentro de este tipo lo constituye el lanzamiento ver­tical de proyectiles en el vacío 1. En efecto, el proyectil se encuentra someti­do a dos movimientos rectilíneos: uno uniforme, debido al impulso producido por la explosión de la pólvora que lanza el proyectil, y otro uniformemente va­riado, a causa del campo gravitatorio terrestre. Se cumple que:

v=vo-g·t

1 2 S=So+vo ·t--g ·t

2

En un movimiento de ascenso de este tipo interesa conocer con frecuen­cia la altura máxima -Ymáx- que puede alcanzar el proyectil.

Como es lógico, el proyectil alcanzará su máxima altura cuando su velo­cidad sea cero, cumpliéndose en ese instante que:

O=vo-g ' t

de donde: t = Vo

9

y, sustituyendo en la ecuación del espacio recorrido:

s = y , = v . Vo _ 2 g . vg max o 9 2 g2

Simplificando y efectuando operaciones:

La altura máxima que alcanza un proyectil lanzado verticalmente en el vacío es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad de lanzamiento.

1 Con ello queremos indicar la ausencia total de rozamientos con el aire, así como también despreciamos los posibles efectos de la aceleración de Coriolis, que considera­remos en una Unidad posterior.

Unidad 6

131

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

I Ejemplos

1. Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil con una velocidad inicial de 80 mis. Considerando 9 = 10 m/s2

, ¿qué altura máxima alcanzará y qué tiempo invertirá en alcanzarla?

Solución:

Cuando alcance la altura máxima, v = O mis. Por lo tanto:

de donde: t = 8 s.

El espacio recorrido en ese tiempo será:

o también:

O mis = 80 mis - 10 m/s2. t

4.2. De direcciones perpendiculares

Es el caso de un proyectil disparado horizontalmente en el vacío con una velocidad Vx desde una cierta altura H. El móvil está sometido simultáneamente a dos movi­mientos: uno horizontal, rectilíneo y uniforme, de avan­ce, con la velocidad vx' y otro vertical, rectilíneo y uni­formemente variado, sin velocidad inicial, de caída.

.~----------------------------~~X x =Vx" t (mov. rect. unif.)

Movimiento de un proyectil disparado horizontalmente.

Elegiremos un sistema plano de ejes coordenados, con origen en el punto del suelo situado verticalmente debajo del de lanzamiento, y con el eje OX horizontal en el sentido del avance y el OY vertical ascendente. Al ser simultáneos los dos movimientos, el tiempo de avance es igual al tiempo de caída, cumpliéndose para cada movimiento elemental que:

132

Caída: 1 2

Y = H - 2" 9 . t (puesto que 9 es negativa)

Avance: x=vx ' t

El máximo alcance - Xmáx - que logra el proyectil se calcula hallando el

tiempo que tarda en caer y sustituyéndolo en la expresión general del avance.

. ~. Cuando el proyectil llegue al suelo: y = O ~ t = V 9 y en consecuencia:

Vemos que:

En un tiro horizontal el alcance depende de la velocidad de salida del proyectil y de la altura desde donde se dispara.

Unidad 6

La velocidad con que el proyectil llega al suelo será la resultante vectorial de la velocidad vertical conseguida en la caída (vy = 9 . t) Y de la velocidad horizontal constante de avance ( vx )' siendo su módulo:

Si () es el ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal, se cumple:

La trayectoria seguida por el móvil corresponde a una parábola .

...-_____________________________ Ejemplos I 1. Un avión, que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 300 mis, deja caer una bomba. Calcular:

a) El tiempo que tardará la bomba en llegar al suelo.

b) El alcance máximo del disparo.

c) La velocidad de la bomba en el instante de llegar al suelo.

Solución:

a) El tiempo de caída es: t = ~2 H = 2 ·2000 m = 20 s 9 10m/s 2

b) La velocidad horizontal de la bomba es la que lleva el avión en el momento de soltarla. Esta velocidad horizontal Vx = 300 mis se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento. El alcance mdximo del

disparo será:

Xmáx = Vx . t = 300 mis · 20 s = 6000 m = 6 km

c) Como Vx = 300 mis, y vy = 9 . t = 10 m/s2 . 20 s = 200 mis, la velocidad de la bomba al llegar al suelo es:

v = ~( 300 mis t +( 200 mis t = 360 mis

4.3. De direcciones cualesquiera

Es el caso de un proyectil -u otro objeto cualquiera-lanzado en el vacío con un cierto ángulo de inclinación a sobre la horizontal.

Elegiremos un sistema plano de ejes coordenados, con origen en el punto de lanzamiento. La velocidad de salida va se descompone en dos componentes rectangu-

lares: una vertical ( va) que dará origen a un movimiento y

rectilíneo uniformemente variado de subida y bajada, so-bre el que influye la gravedad; y otra horizontal (va)' que

x

originará un movimiento rectilíneo y uniforme de avance.

y

Como se puede deducir de la figura, los valores de estas componentes rectangulares de la velocidad serán, en el instante de salida:

v t de x=2 t de Ymáx

x x

133

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

134

y en un instante cualquiera del movimiento:

Los desplazamientos horizontal y vertical experimentados por el móvil corresponderán a las ecuaciones paramétricas siguientes:

Desplazamiento horizontal: x= vx · t= va· cos a· t

1 2 1 2 Desplazamiento vertical: y = V Oy· t -"2 g . t = va sen a· t -"2 g . t

• Cálculo de la ecuación de la trayectoria:

Eliminando el tiempo entre las ecuaciones paramétricas del movimiento, se obtiene:

9 X2 y = x tg a - --=----

2 vg cos2 a

que es la ecuación de una parábola con el eje de simetría paralelo al eje de ordenadas y la concavidad dirigida hacia abajo.

• Cálculo de la velocidad del proyectil:

El módulo de la velocidad (celeridad) del proyectil en un punto cualquiera de su trayectoria vendrá dado por:

v = ~v; + v~ = ~vg . cos2 a + (va . sen a - g . t r =

= ~ vg + g2 . t2 - 2 va . 9 . t . sen a

Teniendo en cuenta la ecuación del desplazamiento vertical , la expresión anterior se convierte en:

I v = ~v~ - 2 g . y I

que pone de manifiesto que la celeridad del móvil es función exclusiva de la altura.

• Cálculo de la altura máxima (o flecha):

El proyectil alcanzará su máxima altura cuando la componente vertical de la velocidad (vy) sea cero. De aquí podemos deducir el tiempo que tardará en conseguir dicha altura. En efecto:

O=va · sen a -g · t

y, por lo tanto:

t _ va . sen a Ymáx - 9

Sustituyendo este valor del tiempo en la ecuación del desplazamiento vertical:

Unidad 6 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• er, f •

1 2 2

Y vo·sena vo·sen a

máx = Vo . sen a . 9 - "2 9 . g2

y, efectuando operaciones, se llega a:

v2. sen2 a y. = _0"--__ _

max 2 9

• Cálculo del alcance final:

El tiempo de avance del proyectil, llamado tiempo de vuelo, tv' es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura, puesto que lo que tarda en subir es igual al tiempo que invierte en bajar:

Considerando esto, el alcance del proyectil se calculará sustituyendo el tiempo de vuelo en la ecuación del desplazamiento horizontal:

X _ 2 Vo . sen a _ v~ . 2 sen a . cos a

. - Vo . cos a· - -"-------max 9 9

y como 2 sen a· cos a= sen 2a, resulta finalmente:

x . = v~ . sen 2 a max 9

También se puede obtener el alcance haciendo y= O en la ecuación de la trayectoria, obteniéndose así dos soluciones:

2 v~ . sen a . cos a v~ . sen 2 a x2

= = -"----9 9

la primera de las cuales corresponde al punto de partida O y la segunda equivale a la distancia OA buscada. El máximo alcance posible para una velocidad dada se logrará cuando sen 2a= 1; es decir, cuando 2a= 90° , y, por lo tanto, cuando a= 45°. La altura máxima conseguida en este ca­so es: Ymáx = v~ /4 g, y el alcance vale: Xmáx = v~ / 9 ; es decir, con un án­gulo de lanzamiento de 45° la altura máxima es igual a la cuarta parte del alcance.

Tiene gran importancia en Balística (ciencia que estudia el movimiento de los proyectiles y las condiciones que lo determinan) la posibilidad de lograr el mismo alcance horizontal con un tiro alto y con uno bajo para una velocidad inicial dada, y, por lo tanto, llegar a obtener una caída casi verti­cal o casi horizontal del proyectil. En artillería se distinguen los tiros por elevación de los tiros rasantes, siendo los ángulos correspondientes com­plementarios, ya que como sen 2a= sen (180° - 2a) = sen 2 . (90° - a), en ambos casos el alcance es el mismo, confundiéndose los dos lanza­mientos cuando a= 45°.

135

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

I ·EjemPIOS

1. Se dispara un proyectil con una velocidad de 400 mis, formando un ángulo de 30° con la horizontal. Cal­cular:

a) Componentes rectangulares de la velocidad e9 el instante de la salida.

b) Tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura.

c) Altura máxima alcanzada.

d) Alcance del proyectil.

Solución:

Vo =vo ·sen30o=400m/s·1/2=200m/s y

b) La máxima altura se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero:

ty

=vo ·sena=400m/s.1/2 =20s máx 9 10 m/s 2

c) Aplicando la ecuación del desplazamiento vertical:

y, = v~ . sen2

a = ( 400 mi s )2 . 1 I 4 = 2 000 m max 2 9 2 . 1 O mi s 2

d) El tiempo de vuelo será el doble del invertido en alcanzar la altura máxima:

tv = 2 ·20 s = 40 s

y aplicando la ecuación del desplazamiento horizontal:

Xmáx = 200 13 mis· 40 s = 8 000 13 m

o también, aplicando la fórmula del alcance final:

13 2 (400 mi s )2 . ~ X ' = Vo . sen 2 a = 2 = 8 000 13 m

max 9 10 m/s 2

e Actividades ::::>

136

1. Desde un punto situado a 100 m sobre el suelo se dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad de 400 mI s. ¿Cuánto tiempo tardará en caer? ¿Cuál será su alcance? ¿Cuál es el valor de la velocidad al llegar al suelo?

Resultado: t=4,47 s; Xmáx = 1 789 m; v=402,5 mIs 2. Cuando se dispara un cuerpo oblicuamente, ¿cuál será su celeridad en el punto más alto de la trayectoria?

3. Un futbolista lanza un balón con un ángulo de 3r respecto a la horizontal y con una velocidad inicial de 20 mIs. Un segundo jugador, situado 20 m delante de él, en la dirección y sentido de la bolea, echa a correr para hacerse con el balón en el mismo instante en que aquéllo lanza. ¿Qué velocidad debe llevar el jugador para al­canzar el balón en el instante antes de que toque el suelo?

Resultado: v= 7,69 mIs

5. COMPOSICiÓN DE DOS MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES

Se pueden distinguir cuatro casos: a) que tengan la misma dirección y la misma frecuencia; b) que tengan la misma dirección y frecuencias algo dife­rentes; c) con direcciones diferentes y la misma frecuencia; d) con direccio­nes diferentes y frecuencias diferentes.

5.1. De la misma dirección (la misma base) y de la misma frecuencia

Consideremos una partícula puntual sometida simultáneamente a dos mo­vimientos armónicos simples, de la misma dirección y la misma frecuencia:

s, =A, . sen (2nvt+ ((>,)

S2 = A2 . sen (27rV t + ((>2)

donde ((>, y ((>2 representan las fases iniciales. Aplicando el principio de la in­dependencia de los movimientos, citado al comienzo de esta Unidad, como los desplazamientos tienen lugar en la misma dirección, resulta, por suma de las anteriores ecuaciones:

s=s, +s2=A, . sen (27rVt+ ((>,) +A2 · sen (2nvt+ ((>2)

Lógicamente, el movimiento resultante (armónico simple) ha de tener la misma frecuencia y la misma dirección que los componentes, y su ecuación será:

s =A . sen (27rV t + ((»

El cálculo de la amplitud, A, y de la fase inicial, ((>, del movimiento resul-

Unidad 6

tante se puede llevar a cabo trigonométricamente, pero resulta más cómodo y

recurrir a la llamada construcción de Fresnel (1788-1827), que se basa en que los movimientos armónicos simples se pueden considerar como las proyecciones sobre el diámetro de una circunferencia (base), de un movi-miento circular uniforme. De acuerdo con ello, para componer dos movi­mientos armónicos simples de la misma dirección y frecuencia se dibujan a partir del punto O dos vectores OA, y OA2, de módulos iguales, respectiva­mente, a las amplitudes de los movimientos componentes y cuyas direccio­nes formen con la perpendicular a la base ángulos ((>, y ((>2' respectivamente. Por consiguiente, el ángulo entre los vectores será ((>, - ((>2' Y aplicando el teo­rema del coseno:

A2 = A~ + ~ - 2 A, . ~ . cos a = A,2 + ~ + 2 A, . ~ . cos (((>, - ((>2 )

ya que los ángulos ex Y ((>, - ((>2 son suplementarios.

Por lo tanto: I A = ~ A~ + ~ + 2 A, . ~ . cos (((>, - ((>2)

Además, en la figura se puede ver claramente que:

t _ OB _ EB+OE g((>- AB - AC+CB

A,G+OE

AC+A,E

A, . sen ((>, + ~ . sen ((>2

A, . cos ((>, + ~ . cos ((>2

Cuando los dos vectores giran con la misma velocidad angular, como sucede en este caso, ya que los dos movimientos componentes tienen la misma frecuencia, como el paralelogramo de la figura es indeformable, el vector resultante, diagonal del paralelogramo, ha de girar con la misma velo­cidad que los dos vectores componentes. En consecuencia, el movimiento resultante ha de ser también armónico simple, de la misma frecuencia y di­rección que los componentes.

o D E B x

Construcción de Fresnel.

Fíjate

Si las amplitudes de los dos mo­vimientos componentes son iguales, el movimiento resultante tendrá de amplitud:

2 A- cos <P, - <P2 2

Y su fase inicial valdrá:

<P _ <P, + <P2 0- 2

137

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

Pulsaciones.

138

Casos particulares:

• Si ({J1 - ({J2 = 2 k n, como cos ( ({J1 - ({J2 ) = 1, se cumple:

Se dice entonces que los dos movimientos están en fase.

Dos movimientos armónicos simples, de igual frecuencia y que se propagan en la misma dirección, en el caso de que su diferencia de fase sea un múltiplo par de n, producen otro movimiento armónico simple de igual frecuencia y cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes de aquéllos.

• Si ({J1 - ({J2 = (2 k + 1 ) ·n, como cos (({J1 - ({J2 ) = - 1 , se cumple:

Dos movimientos armónicos simples, de igual frecuencia y que se propagan en la misma dirección, en el caso de que su diferencia de fase sea un múltiplo impar de n, producen otro movimiento armóni­co simple de igual frecuencia y cuya amplitud es igual a la diferen­cia de las amplitudes de aquéllos.

5.2. De la misma dirección y de frecuencias poco diferentes (pulsaciones)

Si suponemos, para mayor sencillez, que los dos movimientos compo­nentes están en fase en el instante inicial y sus amplitudes son idénticas:

S1 =A · sen 2nv¡ t

S2 =A . sen 21CV2 t

el cálculo del movimiento resultante conduce a:

(V-v) (v+v) s=2A ·cos2n T t · sen2n T t

El movimiento resultante tiene la frecuencia v1 + v2 , intermedia entre las

2

1 2T ·T . dos componentes, siendo el período T = - = 1 2 , Y la amplitud resul-

v T,+T2

tante: A' = 2 A- cos 2n ( v1 ; v2

}

Obsérvese que esta amplitud varía con el tiempo con una frecuencia:

V1 -V2

2 dando lugar a un fenómeno que se conoce con el nombre de pulsaciones, que aparece representado en la figura, en la que la curva en rojo indica el movimiento resultante.

Unidad 6 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 1'

5.3. De direcciones perpendiculares y de la misma frecuencia

Consideremos una partícula en movimiento, tal que sus coordenadas x e y corresponden a dos movimientos armónicos simples en torno al origen. La posición del móvil P vendrá dada por r = x 7 + y 7, siendo:

x=A, . sen (2nvt+ ({J,)

y=A2 · sen (2nvt+ ({J2)

Eliminando el tiempo entre estas dos ecuaciones, se obtiene:

Esta ecuación corresponde, en general, a una elipse de centro en el ori­gen de coordenadas e inscrita en un rectángulo d~ lados 2A, y 2A2 , Y cuya forma y orientación depende del valor de la diferencia de fase 8= ({J, - ({J2 de los dos movimientos componentes.

El movimiento resultante es armónico simple sólo en los casos 8= 2 kn y 8 = (2k + 1 ) . n, en los cuales la elipse degenera en una línea recta.

• Si 8 = ({J, - ({J2 = 2 kn ~ sen (({J, - ({J2) = O Y cos (({J, - ({J2) = 1, con lo que la ecuación anterior se reduce a:

x: + r: -2 xy = [~ _ L] 2 = O A, A;; A, · ~ A, ~

de donde: I y~f\x l A,

que es la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordena­

das y cuya pendiente es: tg a, = r = ~ (la recta ab de la figura) . x A,

• Si 8 = ({J, - ({J2 = (2 k + 1 ). n ~ sen (({J, - ({J2) = O Y cos (({J, - ({J2) = - 1 , con lo que la ecuación anterior se reduce a:

x: + r: + 2 xy = [~ + L] 2 = O A, A;; A,·~ A, ~

que corresponde a una recta (a'b') de ecuación:

Su pendiente es: tg a2 = r = - ~A . Se trata, por lo tanto, de una rec-x 1

ta simétrica de la anterior respecto al eje de abscisas.

~b~'~ __ ~~-+Y-==-____ ~ a

2A 2 -+--------"""*'-'-r--'-------+ ..... o x

.........,-j<'------=~+--=----~ a' b 2A,

139

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

140

• Si 8 = ({J1 - ({J2 = (2 k ± ~)- n (caso intermedio), se verifica que:

sen2 (({J1 - ({J2) = 1 Y cos (({J1 - ({J2) = O, adquiriendo la ecuación de la

trayectoria la forma: #

Ésta es la ecuación de una elipse de centro en el origen y de ejes los co­ordenados. Cuando A1 = A2 = R (ambos movimientos armónicos tienen la misma amplitud), la elipse queda convertida en una circunferencia, de cen­tro en el origen de coordenadas y de ecuación:

Si las amplitudes de dos movimientos armónicos perpendiculares y de

la misma frecuencia son iguales y su diferencia de fase es (2 k ± X) n , el

movimiento resultante es circular y de igual amplitud y frecuencia.

Si no se verifica ninguna de estas condiciones, el movimiento será elípti­co, teniendo la elipse su centro en el origen de coordenadas. Siempre que A1 > A2 , el eje mayor de la elipse estará situado en el primer cuadrante si la diferencia de fase cumple la condición:

( 2 k - ~ )- n < (({J1 - ({J2) < (2 k + ~ )- n

mientras que estará en el segundo cuadrante cuando se verifique:

En lo que respecta al sentido en que el móvil describe la elipse, si sen (({J1 - ({J2) > O, el movimiento será en el sentido de las agujas del re­loj; mientras que si sen (({J1 - ({J2 ) < O, el sentido será el contrario. En la figura siguiente puede verse un resumen de los distintos casos posi­bles, indicándose, además, el sentido en el que se desplaza el móvil.

Unidad 6

.--_____________________________ Ejemplos I 1. Componer gráficamente dos movimientos armó­

nicos simples perpendiculares, de ecuaciones:

x = 1 O . sen (2t + n/2 )

y

-8

y=8· sen (2t+n/4) 3

7~~~----~------------~~--~~~~x

Solución:

Se trata de dos movimientos armónicos simples de bases perpendiculares y de la misma frecuen­cia, cuya composición dará lugar a una elipse.

Para cada uno de los movimientos componentes utilizaremos la construcción de Fresnel, trazando circunferencias de radios (o diámetros) propor­cionales a las amplitudes respectivas, y dibujan­do a partir de su centro los vectores representí?ti­vos de las amplitudes de los dos movimientos,

5

2

orientados adecuadamente de acuerdo con sus fases iniciales. Posteriormente, y a partir de los afijos de los vectores, se dividen las dos circunferencias en un mismo número de partes iguales (en nuestro caso, ocho), numerando los puntos de división sucesivamente en sentido horario.

A continuación, los puntos rotulados con el mismo número se proyectan en un sistema de ejes coordena­dos (X, Y). Uniendo los puntos de intersección obtenidos resulta una elipse, que constituye la representa­ción gráfica del movimiento resultante.

5.4. De direcciones perpendiculares y de frecuencias diferentes: curvas de Lissajous

En este caso, la ecuación de la trayectoria es:

X2 y2 2 xy -+----·cosep' = sen2 ep' A; ~ A1·~

análoga a la considerada en el apartado anterior, con la única diferencia de que, mientras antes ep1 - ep2 era constante, ahora ep' no lo es, pues va varian­do con el tiempo. Si las frecuencias de los dos movimientos son muy pare­cidas, la trayectoria es una elipse que se va modificando, y que no se cierra en el primer período, sino al cabo de varios, originando unas curvas, llama­das curvas de Lissajous2

, que se repiten con una frecuencia igual a la dife­rencia entre las frecuencias de los movimientos componentes, y que siem­pre están inscritas en un rectángulo de lados 2 A1 Y 2 A2 •

Si estas frecuencias guardan entre sí la relación ~ = ~ = ~ siendo a y v2 (()2 b

b dos números primos entre sí, los dos movimientos se encontrarán en la mis­ma situación que al comienzo tras haber realizado a y b vibraciones, respecti­vamente, volviendo a repetirse el fenómeno y originándose una trayectoria en forma de curva cerrada, con b puntos de contacto con los lados del rectángu­lo paralelos al eje de abscisas y a con los paralelos al eje de ordenadas.

2 Realmente, también son curvas de Lissajous las elipses consideradas en el apartado anterior, si bien las verdaderamente típicas son las que provienen de la composición de movimientos armónicos perpendiculares y de frecuencias diferentes.

¿Quién fue Lissajous?

El físico francés Jules Antoine Lissajous nació en Versalles en 1822 y murió en Plombieres-Ies­Dijon en 1880. Realizó investiga­ciones acerca del movimiento vi­bratorio y acústica, e inventó el dispositivo que permite la visión de las figuras que llevan su nom­bre. Estudió también las vibracio­nes transversales en las láminas delgadas flexibles, y estableció un sistema de telegrafía por me­dio de señales luminosas.

141

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS ........................................................................................

Curvas de Lissajous.

142

En la figura se indica el aspecto de las curvas de Lissajous para los valores más significativos de w/w2 y q/, en el caso A 1 =A2•

Las curvas de Lissajous se pueden obtener gráficamente de la forma que se ilustra en los ejemplos siguientes:

I Ejemplos

1. Componer gráficamente dos movimientos armónicos sim­ples perpendiculares y de ecuaciones respectivas:

x= 10· sen 3t y = 5 . sen (t - nl2 )

Solución:

Construyamos dos circunferef")cias de diámetros propor­cionales a las amplitudes (en este caso, la primera de do­ble diámetro que la segunda) y dispongámoslas como se ve en la figura. En el instante inicial (t = O) el móvil se en­cuentra en la posición (O, - 5), como se deduce al susti­tuir t = O en las ecuaciones del enunciado. Señalemos con el número "O" las posiciones iniciales de los dos movi­mientos componentes y tracemos las perpendiculares a los ejes X e Y desde dichos puntos. La intersección nos da el punto "O" de la curva de Lissajous. Dividamos la cir­cunferencia correspondiente al movimiento de mayor fre­cuencia en cuatro partes: es la correspondiente a la pro­yección sobre el eje OX. La otra, cuya frecuencia es la tercera parte de la anterior, se divide en doce partes. Las intersecciones de las proyecciones de los puntos de divi­sión nos van dando los distintos puntos de la curva, com­pletándose el ciclo cuando el primer movimiento haya da­do tres vueltas a la circunferencia y el segundo una.

/C 6

0-12

y

6

x

12-0

0-4-8-12

11-7-3-----------~---------- 1-5-9 , ,

2-6-10

Unidad 6 .........•.......•...•.•.............. ..................•..••.........•..•............•... ......

2. Componer gráficamente dos movimientos armónicos simples perpendiculares y de ecuaciones respectivas:

x=6· sen (3nt-n/4) y = 1 O . sen (2 nt + n/3 )

Solución: Procediendo de forma análoga a la explicada en el ejemplo anterior, se obtiene la curva de Lissajous de la figura.

y

1-13 1 -- --- -- 2--14-- --- -- -- --- -- -- --- -- --- --- --- ---:- -24: --- ---- 13 - -- - --- -:-2-- -:-- ---- ---7.,..---+--~------ - --- - -- - -- - -- - -- - -- - - - -- -- -- : -- - .0-----·--·- '--'--'-12, -- --;-- -- -----

, ' : :

22-10 1--__ ---' __ *'" _____ -+ <I:1 ~ __ . _______ . ___ _____ _ ; ____ '1.~ ____ ____ !_-----",..-+--+

7-19

x

19 :

~ :1-9-17

24-16-8-Q 2-10~18

23-15-7 3-11-19

22-14-6 4-12-20

5-13-21

e Actividades :::::> 1. Utilizando la construcción de Fresnel, obtener la amplitud y la fase ini­

cial del movimiento armónico resultante de la composición de los dos siguientes, de la misma base:

S1 = 20 . sen nt

S2 = 20 {3 . sen (nt - ni 2 ) .

Resultado: A=40; <p= -rc/3

2. Componer gráficamente dos movimientos armónicos simples de bases perpendiculares y de ecuaciones:

x= 10 . sen (4t+ ni 4)

y=8· sen (2t-nI2)

143

laboratorio

1. DETERMINACiÓN EXPERIMENTAL DEL VALOR DE LA ACELERACiÓN DE LA GRAVEDAD

144

Material:

V Altímetro (barómetro graduado para medir alturas).

V Cronómetro.

V Bolita metálica.

Método:

• Determinar, por medio del altímetro, la altura sobre el suelo a la que se encuentra el punto desde el que se va a dejar caer la bolita: puede ser, por ejemplo, la terraza de tu casa.

• Si no se dispone de un altímetro, se puede recurrir a otros métodos para medir la altura, como, por ejemplo, una cuerda lastrada en su extremo.

• Dejar caer la bolita desde el punto elegido, a la vez que otra persona cronomet~a el tiempo invertido en la caída.

• Repetir la experiencia varias veces y anotar los resultados en una tabla como la siguiente:

18 experiencia

28 experiencia

38 experiencia

48 experiencia

h t g=2hle valor medio de 9

• Representar gráficamente h en función de t y en función de t2• ¿Cómo son las gráficas obtenidas? ¿Cómo

se pueden interpretar conociendo las ecuaciones del movimiento de caída libre?

• Los distintos valores de 9 obtenidos al repetir la experiencia probablemente difieran bastante en sí. Explicar las causas que pueden motivar estas diferencias y arbitrar posibles soluciones.

2. ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL

Material:

ti Tablero y papel milimetrado.

ti Raíl acanalado, ligeramente curvo.

ti Bola de acero.

ti Soporte desplazable con pinza (clip).

ti Cartulina blanca y papel carbón (tiras).

Método

laboratorio

-"" , ! ! ! I i

" 1, 1 ,'1 ,

1 ,1 ,1 I W' L 1: 1 I ! ~' -- -"( -'-Tt -J II : ' , : I I I l ' , III,'! i! v ni" i i i II I

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¡

- Construir un tablero de madera cuadriculado pegándole una lámina de papel milimetrado como se indica en la fi­gura.

- Disponer un eje-soporte que sujete al raíl acanalado de forma que pueda variarse el ángulo de inclinación hasta conseguir que quede perfectamente horizontal la «rampa» de lanzamiento de la bola.

- Colocar una tira de papel blanco en el soporte móvil y, sobre ella, otra tira de papel carbón, sujetándolas con un clip.

- Fijar el soporte móvil en una posición próxima a la rampa, anotando esta posición en el papel milimetrado. Convie­ne procurar que dicha posición coincida con uno de los trozos verticales gruesos del papel.

- Dejar caer la bolita desde una altura determinada. La bolita chocará contra el soporte móvil y marcará su impacto en la cartulina.

- Desplazar el soporte hacia posiciones más alejadas, cuidando de que los desplazamientos siempre sean iguales. Repetir los lanzamientos de la bolita siempre desde la misma altura hasta que ya no colisione con el soporte móvil.

- Representar en un papel milimetrado los impactos, anotando en ordenadas los desplazamientos horizontales.

- Construir la gráfica correspondiente a la trayectoria.

- Proyectar los puntos de impacto sobre cada uno de los ejes y deducir consecuencias respecto al movimiento de caí-da y al movimiento de avance.

145

COMPOSICiÓN DE MOVIMIENTOS RECTILíNEOS

lictividc:u;les de Síntesis

1. Un barco efectúa el servicio de pasajeros entre dos ciudades A y B, situadas en la misma ribera , de un río y separadas por una distancia de 75 km. Se supone que la velocidad propia del bar­co y la de la corriente del río son constantes. Si en ir de A a B tarda 3 horas y en volver de B a A invierte 5 horas, deducir las velocidades del barco y de la corriente.

Resultado: vbarco = 20 km/h; vcorriente = 5 kmlh

2. Teniendo en cuenta la resistencia del aire, si lanzamos un cuerpo hacia arriba, ¿empleará más tiempo en subir o en bajar?

3. Desde un punto situado a 10 m sobre er suelo se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 mIs. ¿Qué altura alcan­zará? ¿Con qué velocidad llegará al suelo?

Resultado: Ymáx = 55 m; v= 33,2 mis

4. A una altura h del suelo se lanzan simultánea­mente dos bolas con la misma velocidad, una verticalmente hacia arriba y la otra verticalmen­te hacia abajo. La primera llega al suelo 5 se­gundos más tarde que la segunda. ¿Con qué ve­locidad fueron lanzadas las bolas?

Resultado: va = 25 mis

5. Un avión que vuela horizontalmente a la veloci­dad de 200 mis deja caer tres bombas con inter­valos de 1 s. Dibuja en un esquema la posición del avión y de las tres bombas 1 s, 2 s y 3 s des­pués de haber lanzado la tercera.

6. Un avión que vuela a una altura de 2 km lleva una velocidad de 100 mis. ¿A qué distancia ho­rizontal del blanco debe soltar una bomba para que explosione exactamente en ese punto?

Resultado: x= 2 000 m

7. En un instante determinado dos aviones están situados en la misma vertical, uno de ellos al cuádruple de altura que el otro. Los dos preten­den bombardear el mismo objetivo. ¿Cuál ha de ser la velocidad del más alto, si la del más bajo es de 400 mis?

Resultado: v= 200 mis

8. Desde 20 m de altura se dispara horizontalmen­te un proyectil con una velocidad de 600 mis. Calcula:

146

a) El tiempo que tardará en llegar al suelo.

b) El alcance del disparo.

c) La celeridad del proyectil en el instante de llegar al suelo.

Resultados: a) t= 2 s; b) Xmáx = 1 200 m; c) v= 600,33 mis

9. ¿De qué forma se puede alcanzar un blanco con dos ángulos de tiro diferentes?

10. El movimiento plano de un punto material pe­sado se refiere a unos ejes cartesianos, de ma­nera que el eje OX es horizontal y OYes verti­cal, siendo el sentido del semieje positivo hacia arriba. La velocidad inicial es vo= 100 m . S - 1 y forma un ángulo n/4 con el semieje de abscisas positivo. Tómese g= 10 m . S-2. Hallar la ecua­ción de la curva descrita por el punto material.

Resultado: y= x-10- 3 X2 (SI)

11. Se dispara un proyectil con una velocidad de 600 mis, formando un ángulo de 60° con la horizontal.

a) ¿Qué altura máxima alcanzará?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarla?

c) ¿Qué velocidad tendrá en dicho punto?

Resultados: a) Ymáx = 13500 m; b) t=30{3 s; c) v= 300 mis

12. Desde la cima de un acantilado situado a 100 m de altura sobre el nivel del mar se lanza un pro­yectil con un ángulo de inclinación de 45° sobre la horizontal y con una velocidad inicial de 200 mis. ¿Cuál será la celeridad del proyectil al cho­car contra el agua?

Resultado: v= 204,9 mis

13. Se golpea una pelota de golf de manera que su velocidad inicial forma un ángulo de 45° con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a una dis­tancia de 180 m del punto en que se lanzó. Cal­cular su velocidad inicial y el tiempo durante el cual ha estado en el aire.

Resultado: va = 42,4 mis; tv = 6 s

14. Un artillero situado al nivel del mar desea que su disparo, efectuado con un ángulo de eleva­ción de 45°, rebase justamente la cumbre de una colina de 350 m de altura. Determina la ve­locidad mínima necesaria para ello, sabiendo

Unidad 6

Actividades de Síntesis

que la distancia horizontal entre la cumbre de la colina y el artillero es de 1 500 m.

Resultado: va = 140 mis 15. Un niño de 1,5 m de altura y que está parado a

15 m de distancia de una valla de 5 m de altura lanza una piedra con un ángulo de inclinación de 45° sobre la horizontal. ¿Con qué velocidad mínima debe lanzar la piedra para que pase por encima de la valla?

Resultado: va= 14 mis

16. Una pelota se desliza por un tejado que tiene un ángulo de inclinación de 30° sobre la horizontal, de manera que llega a su extremo con una velo­cidad de 10 mis. La altura del edificio es de 40 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado, 30 m. Determinar si la pelota llegará directamen­te al suelo o chocará antes con la pared opuesta.

Resultado: Cae directamente al suelo

17. Un proyectil disparado formando un ángulo de 53° por encima de la horizontal alcanza un edifi­cio alejado 43,2 m en un punto que se encuentra 13,5 m por encima del punto de lanzamiento.

a) Calcu'lar la velocidad del disparo.

b) Hallar el tiempo de vuelo del proyectil.

c) ¿Cuál es la celeridad del proyectil cuando choca contra el edificio?

Resultados: a) va = 24,3 mis; b)tv =3s;

c) v= 18 mis

18. En el mismo instante en que una partícula que se mueve en el plano XY pasa por el origen de coordenadas, animada de una velocidad va en el sentido positivo del eje OY, se le comunican dos aceleraciones constantes y del mismo mó­dulo "a", una dirigida en el sentido positivo del eje OX y la otra en el sentido negativo del eje OY. Hallar:

a) La ecuación de la trayectoria descrita por la partícula.

b) El punto del plano XY en que la velocidad de la partícula es mínima.

v2

Resultados:a) X2+ y2 +2XY -2: x=O;

b) (vUa a, 3 v~/8 a)

19. Un punto material está sometido simultánea­mente a dos movimientos armónicos simples sobre los ejes OX y OY, ambos de frecuencia v= 0,5 s - l, y de ecuaciones respectivas:

x= 4 . sen wt (SI)

y= 6 . sen (wt+ JZi3) (SI)

Hallar la celeridad del punto material al cabo de 2 segundos.

Resultado: v= 5n mis

20. Utilizando la construcción de Fresnel, obtener la amplitud y la fase inicial del movimiento armó­nico resultante de la composición de los dos si­guientes, de la misma base:

S1 = 4· sen (wt+ JZi3)

S2 = 6 . sen (wt+ JZi2)

Resultado: A = 9,67; q>= 78°

21. Dos movimientos armónicos simples de la mis­ma base tienen de ecuaciones:

S1 = 5 . sen (3nt+ JZi2 )

S2 = 4 · sen (3m+ Kn)

siendo K cualquier valor del intervalo [- 1, + 1]. Hallar:

a) Amplitud y fase inicial del movimiento armó-nico resultante cuando K= -1/2. '

b) Valores de K que hacen máxima y mínima la amplitud del armónico resultante.

Resultados: a) A = 1; q>= JZi2; b) Amplitud máxima cuando K= 1/2;

Amplitud mínima cuando K = -1/2

22. Al componerse dos movimientos armónicos simples perpendiculares entre sí, de la misma amplitud y período y con una diferencia de fase de 2JZi3, ¿cuál es la ecuación de la curva de Lis­sajous obtenida?

Resultado: 4x2 + 4y2 + 4 xy- 3 A 2 = O (una elipse)

23. Componer gráficamente dos movimientos ar­mónicos simples de bases perpendiculares y de ecuaciones:

x= 3· sen (2nt- JZi4)

y=5· sen (3nt+JZi3)

147