53

Capítulo 4

Diseño de filtros digitales1 Diseñar un filtro consiste en encontrar su función de transferencia (realizable y estable) para su posterior realización mediante una estructura adecuada. En la mayoría de las aplicaciones, el objetivo que se pretende lograr con el diseño de un filtro digital, es desarrollar un sistema discreto cuya respuesta temporal y/o respuesta en frecuencia, sea una aproximación a una determinada especificación del tipo de respuesta deseada para el filtro. 4.1 Especificaciones de filtros digitales. Cuando se diseña un filtro siempre existirá un compromiso entre su respuesta temporal y su respuesta en frecuencia, como se muestra en la Figura 4.1, para el caso de un filtro pasa bajo ideal. Dependiendo de la aplicación, en el proceso de diseño se le dará más importancia al comportamiento del filtro en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia, es decir, el objetivo de aproximar la respuesta del filtro a una cierta especificación de respuesta, dependerá de dicha aplicación. En esta sección y en las siguientes, se presenta el proceso de diseño de filtros digitales, atendiendo a su comportamiento en el dominio de la frecuencia como objetivo principal de diseño. 1 El contenido de este capítulo se basó en: Universidad de Antioquia, Apuntes del curso “Tratamiento digital de Señales”

54

En el dominio de la frecuencia, las especificaciones que determinan el objetivo de diseño de los filtros son básicamente de dos tipos: el comportamiento de la respuesta en frecuencia del filtro en la banda de paso (especificaciones en la banda de paso), y el comportamiento de la respuesta en frecuencia del filtro en la banda de rechazo (especificaciones en la banda de rechazo). Las especificaciones en las bandas de paso y de rechazo se dan con ciertas tolerancias. La banda de transición permite que la magnitud disminuya del valor de la banda de paso al

valor de la banda de rechazo. Por ejemplo, la respuesta en magnitud normalizada )( ωjeG

para un filtro pasa-bajo se muestra en la Figura 4.2.

Figura 4.1. Filtro pasa-bajo ideal. Representación del filtro en el dominio de la frecuencia (a), y en

el dominio del tiempo (b). Respuestas en frecuencia ideal (magnitud) (c), y su correspondiente respuesta transitoria (d) a una entrada impulso. Respuesta en frecuencia poco selectiva (magnitud)

(e), y su correspondiente respuesta transitoria ideal (f) a una entrada impulso.

Figura 4.2. Gráfica de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo (escala lineal)

55

A partir de la gráfica de la respuesta en magnitud del filtro pasa-bajo se definen los siguientes términos: Banda de paso: pω≤ω≤0

Banda de transición: sp ω<ω<ω

Banda de rechazo: π≤ω≤ωs

pω = frecuencia límite de la banda de paso.

sω = frecuencia límite de la banda de rechazo.

pδ = valor pico del rizo permitido en la banda de paso.

sδ = valor pico del rizo permitido en la banda de rechazo. En la banda de paso, definida por pω≤ω≤0 , se requiere que la magnitud se aproxime a la unidad con un error de pδ± , es decir:

ppj

p )e(G ω≤ωδ+≤≤δ− ω 11 (4.1) En la banda de rechazo, definida por π≤ω≤ωs , se requiere que la magnitud se aproxime a cero con un error de sδ , es decir:

π≤ω≤ωδ≤ωss

j para)e(G (4.2) Puesto que )e(G jω es periódica y la magnitud )e(G jω de un filtro de coeficientes reales es una función par, las especificaciones se definen solamente para el intervalo de frecuencia π≤ω≤0 . Para cubrir un rango dinámico más amplio en la gráfica de la respuesta en magnitud del filtro que se va a diseñar, generalmente el eje de las ordenadas, acotado linealmente en la Figura 4.2, se transforma en un eje con acotamiento logarítmico mediante la función

1020log , como se muestra en la Figura 4.3. Cuando se utilizan dB’s para describir las especificaciones de la respuesta en magnitud del filtro, se pueden utilizar las siguientes relaciones, las cuales se muestran en la Figura 4.3: Función de pérdida:

[ ]dB)e(Glog)( jω−=ως 1020 (4.3) Valor pico en dB del rizo en la banda de paso:

[ ]dBpp )1(log20 10 δα −−= (4.4)

56

Atenuación mínima en dB en la banda de rechazo:

[ ]dBss )(log20 10 δα −= (4.5)

Figura 4.3. Gráfica de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo (escala logarítmica)

Alternativamente, las especificaciones de diseño de un filtro digital se pueden dar en función de la respuesta en magnitud (con escala lineal), mediante los parámetros mostrados en la Figura 4.4.

Figura 4.4. Gráfica alternativa de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo (escala lineal)

En este caso, se supone que el valor máximo de la respuesta en frecuencia de la magnitud es igual a 1, y la máxima desviación de dicha respuesta en magnitud en la banda de paso (denotada por 211 ε+/ ), está dado por el valor mínimo de ésta en la banda de paso, como se muestra en la Figura 4.4. El valor máximo permitido de la magnitud en la banda de rechazo se denota por A/1 .

57

Nuevamente, cuando se utilizan dB’s para describir estas especificaciones alternas de la respuesta en magnitud del filtro, se pueden utilizar las siguientes relaciones, las cuales se muestran en la Figura 4.5: Valor máximo normalizado de la ganancia

[ ]dB0 (4.6) Atenuación máxima en la banda de paso:

[ ]dB

+−=

210max1

1log20ε

α (4.7)

o bien:

[ ]dB

+= 2

10max 1log20 εα

( ) [ ] 1221log20 10max <<≅−−= ppp paradB δαδα (4.8)

Atenuación mínima en dB de la banda de rechazo:

[ ]dBAs )/1(log20 10−=α (4.9)

Figura 4.5. Gráfica alternativa de la respuesta en magnitud normalizada para un filtro pasa-bajo (escala logarítmica)

En la mayoría de las aplicaciones, las frecuencias de paso pf y de rechazo sf se especifican en Hz, junto con la frecuencia de muestreo del filtro digital. Puesto que las técnicas de diseño de filtros usan las frecuencias angulares pω y sω , es necesario normalizar las frecuencias críticas antes de aplicar los algoritmos de diseño. Para una frecuencia de muestreo TF en Hz y para frecuencias de paso y de rechazo pf y sf en Hz, respectivamente, las frecuencias angulares normalizadas en radianes están dadas por:

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TfF

fF p

T

p

T

pp π=

π=

Ω=ω 2

2 (4.10)

TfF

fF s

T

s

T

ss π=

π=

Ω=ω 22 (4.11)

donde T es el período de muestreo, es decir, TF/T 1= . 4.2 Filtros IIR y FIR Los filtros IIR (Infinite Impulse Response o Respuesta al Impulso Infinito) y los filtros FIR (Finite Impulse Response o Respuesta al Impulso Finito) constituyen las dos grandes clasificaciones de los sistemas discretos en general, los cuales requieren estudiarse por separado debido a sus características particulares y a los métodos de análisis y diseño que son propios de cada uno de ellos. En esta sección se presentan brevemente y en forma comparativa, algunos de los conceptos más importantes relacionados con dichos filtros, los cuales pueden servir como un primer paso en la selección y diseño de éstos de acuerdo a la aplicación específica. 4.2.1 Selección de filtros IIR y FIR En el dominio de la frecuencia, si la linealidad de la fase es el factor más importante en el comportamiento del filtro que se va a diseñar, un filtro FIR es la opción adecuada, que además tiene la ventaja de ser estable con coeficientes cuantificados. De no ser así, conviene usar un filtro IIR, ya que en la mayoría de los casos el orden del filtro será menor que el del FIR equivalente. En la Tabla 4.1 se muestra un resumen de los criterios de selección para los filtros IIR y FIR.

Tabla 4.1. Criterios de selección para filtros IIR y FIR

4.2.2 Métodos de diseño Los métodos de diseño de los filtros IIR y de los filtros FIR son diferentes debido a las características de cada uno de ellos. A continuación se presenta una descripción general de dichos métodos para cada tipo de filtro.

59

4.2.2.1 Métodos de diseño de filtros IIR. Para filtros IIR, el método de diseño más usado se basa en el diseño de los filtros analógicos. Las especificaciones del filtro digital se convierten a especificaciones de un filtro analógico pasa-bajo prototipo, se determina la función de transferencia del filtro analógico que satisface las especificaciones, y finalmente se transforma a la función de transferencia del filtro digital. Para la transformación del filtro analógico en el filtro digital deseado, se propone un método basado en el mapeo entre los dominios s de la Transformada de Laplace y z de la Transformada Z, de tal manera que se mantengan las propiedades fundamentales de la respuesta en frecuencia, es decir, la función de mapeo debe ser tal que:

(1) El eje imaginario ( Ωj ) en el plano s se mapea al círculo unitario ( ωje ) del plano z. (2) Una función de transferencia analógica estable, se transforma en una función de transferencia digital estable.

Las transformaciones más comunes entre los filtros analógicos y digitales son:

(a) La invarianza al impulso. (b) La transformación bilineal.

4.2.2.2 Métodos de diseño de filtros FIR. El diseño de filtros FIR se basa en una aproximación directa de la respuesta en magnitud especificada en el dominio de la frecuencia, a través de lograr una determinada respuesta al impulso unitario en el dominio temporal. Entre los métodos de diseño se cuentan el de ventanas y el de muestreo en frecuencia. Otros métodos se basan en técnicas iterativas de optimización para minimizar el error entre la respuesta en frecuencia deseada y la del filtro generado por computadora. En la Tabla 4.2 se muestra un resumen de los métodos de diseño presentados para filtros IIR y FIR.

Tabla 4.2. Métodos de diseño para filtros IIR y FIR

Más adelante se presentan, de manera más detallada, el método de la transformación bilineal para el diseño de filtros IIR y el método de ventanas para el diseño de filtros FIR.

60

4.2.3 Estimación del orden de filtros IIR Para el diseño de un filtro IIR pasa-bajo )z(G basado en un filtro analógico pasa-bajo, el orden del filtro digital )z(G depende del orden del filtro analógico )(sHa en que se basa. Al transformar )(sHa a )z(G se obtiene el orden de )z(G . El orden de )(sHa depende de las especificaciones del filtro y del tipo de respuesta del filtro deseado, que puede ser Butterworth, Chebyshev, Bessel, Elíptico, etc. 4.2.4 Estimación del orden de filtros FIR Para el diseño de un filtro FIR existen varias fórmulas para estimar el valor mínimo de la longitud (orden) del filtro N a partir de las especificaciones pω , sω , pδ y sδ . Una fórmula aproximada es la fórmula de J. F. Kaiser, dada por la siguiente expresión:

( )( ) πω−ω

−δδ−≅

26141320 10

/.log

Nps

sp (4.12)

de donde se observa que N es inversamente proporcional al ancho de la banda de transición. Existen otras fórmulas que tratan de ser más precisas. Si el filtro diseñado con el valor de N estimado no satisface las especificaciones, hay que aumentarlo hasta que se satisfagan. 4.2.5 Escalamiento de la función de transferencia digital Después de que el filtro digital FIR o IIR ha sido diseñado, es necesario escalar la magnitud de la función de transferencia ( )zG para que pueda llevarse a la práctica. Esto se logra multiplicando la función de transferencia por una constante de escala K , tal que la magnitud máxima de la función de transferencia escalada ( ) ( )zKGzG =1 en la banda de paso sea igual a la unidad, es decir, la función de transferencia escalada tiene una ganancia máxima de 0 dB. En el caso de una función de transferencia de un filtro pasa-bajo, la constante K se ajusta al valor ( )11 LPG/K = , lo que implica una ganancia de 0 dB para 0=ω . Para una función de transferencia correspondiente a un filtro pasa-alto, ( )11 −= HPG/K , que da 0 dB en

π=ω . Para una función de transferencia de un filtro pasa-banda, ( )cjPB eG/K ω= 1 , donde

cω es la frecuencia central. Y para una función de transferencia de un filtro de rechazo de banda, K típicamente se escoge como el recíproco de ( ) ( )[ ]11 RBRB G,Gmax − . 4.3 Diseño de filtros IIR Los dos métodos de diseño de los filtros IIR presentados en la sección 4.2.2, difieren en la función de mapeo que se realiza entre los dominios de s y z. A continuación se mencionan

61

los criterios de diseño de ambos métodos, así como la función de mapeo que los caracteriza.

• Método de Invarianza al Impulso para el diseño de filtros IIR. El objetivo de este método es desarrollar una función de transferencia IIR cuya respuesta al impulso sea exactamente igual a la versión muestreada uniformemente de la respuesta al impulso de la función de transferencia analógica prototipo. La función de mapeo entre los dominios de s y z es:

sTez = (4.13) donde T es el período de muestreo. Esta función de mapeo no es uno a uno y puede producir suplantamiento ("aliasing"), por lo que no se estudiará.

• Método de la Transformación Bilineal para el diseño de filtros IIR. En este método se trata de obtener una función de transferencia IIR cuya respuesta en frecuencia sea una aproximación a la respuesta en frecuencia de la función de transferencia analógica prototipo. La función de mapeo entre los dominios de s y z es:

+−

= −

−

1

1

112

zz

Ts (4.14)

donde T es el período de muestreo. Esta función de transformación sí produce un mapeo uno a uno entre los dominios de s y z. 4.3.1 Método de la Transformación Bilineal para el diseño de filtros IIR El método de la Transformación Bilineal, al producir un mapeo de un punto en el plano s a un solo punto en el plano z, y viceversa, permite que la función de transferencia del filtro digital IIR resultante, represente una buena aproximación al filtro analógico prototipo. La transformación del plano s al plano z está dada por la expresión definida en (4.14). La relación entre la función de transferencia digital ( )zG y la función de transferencia analógica prototipo ( )sH está dada por:

( ) ( )

+−

= −

−=1

1

112

zz

Ts

a sHzG (4.15)

El procedimiento de diseño del filtro digital IIR es el siguiente: 1. Primero se aplica la Transformación Bilineal inversa a las especificaciones del filtro digital para obtener las especificaciones del filtro analógico prototipo ( )sH a . 2. ( )sH a se diseña para satisfacer las especificaciones del filtro analógico obtenidas en el punto anterior.

62

3. Se aplica la Transformación Bilineal de la ecuación (4.15) para obtener ( )zG a partir de ( )sH a .

Puesto que T no influye en la obtención de ( )zG , se usará 2=T para simplificar el procedimiento de diseño y trabajar, de esta manera, con una función de Transformación Bilineal normalizada. La Transformación Bilineal inversa para T = 2 está dada por:

ssz

−+

=11 (4.16)

Obsérvese qué pasa para 0Ω= js , en la expresión siguiente:

0

0

11

Ω−Ω+

=jjz (4.17)

tiene magnitud igual a la unidad, lo cual implica que un punto en el eje imaginario en el plano s se mapea en un punto del círculo unitario en el plano z. En el caso general, para

00 Ω+= js σ , resulta:

( )( )

( )( ) 00

00

00

00

11

11

Ω−σ−Ω+σ+

=Ω+σ−Ω+σ+

=jj

jjz (4.18)

Por lo tanto:

( ) ( )( ) ( )2

02

0

20

202

11

Ω+σ−Ω+σ+

=z (4.19)

lo que implica que un punto en la mitad izquierda del plano s con 00 <σ , se mapea a un punto dentro del círculo unitario en el plano z, ya que |z| < 1. De igual manera, un punto en la mitad derecha del plano s con 00 >σ , se mapea a un punto fuera del círculo unitario en el plano z, ya que |z| > 1. Cualquier punto en el plano s se mapea a un solo punto en el plano z y viceversa. Este mapeo se muestra en la Figura 4.6.

63

Figura 4.6 Mapeo de la transformación bilineal: (a) eje imaginario del plano s al círculo unitario del plano z; (b) semiplano izquierdo del plano s al interior del círculo unitario en el plano z; (c)

semiplano derecho del plano s al exterior del círculo unitario en el plano z La relación exacta entre el eje imaginario en el plano s y el círculo unitario en el plano z está dado por:

ω−

ω−

+−

=Ω j

j

ee

Tj

112 (4.20)

o

ω

=Ω2

2 tanT

(4.21)

Ω

=ω −

22 1 Ttan (4.22)

La gráfica de (4.21) para T = 2, se muestra en la Figura 4.7.

64

Figura 4.7. Mapeo de ω vs Ω a través de la Transformación Bilineal (T = 2) De la Figura 4.7 se puede ver que el mapeo entre ω y Ω no es lineal. Esto introduce una distorsión en el eje de frecuencia llamada deformación de frecuencia (warping), por lo que para desarrollar un filtro digital que cumpla con una respuesta en magnitud específica, primero hay que predeformar (prewrap) las frecuencias críticas ( pω y sω ) para encontrar las equivalentes analógicas ( pΩ y sΩ ) usando la relación de la ecuación (4.21), diseñar el prototipo analógico ( )sH a usando las frecuencias críticas predeformadas, y luego transformar ( )sH a usando la Transformación Bilineal para obtener la función de transferencia del filtro digital ( )zG . Hay que tomar en cuenta que la Transformación Bilineal conserva la respuesta en magnitud del filtro analógico solamente si la especificación requiere magnitud constante por partes (piecewise). Sin embargo, la respuesta en fase del filtro analógico no se conserva después de la deformación. 4.3.2 Conversión de filtros digitales pasa-bajo a otros tipos de filtros Para el diseño de filtros digitales IIR, se utilizan siempre como prototipos de diseño, filtros analógicos pasa-bajo normalizados, por lo que el filtro digital resultante también es pasa-bajo. Esto es así por la facilidad que representa el diseño de dichos filtros digitales a partir

65

de filtros analógicos pasa-bajo prototipos, para los cuales existen funciones de transferencia normalizadas, ecuaciones y tablas de coordenadas de polos y ceros, y familias de curvas normalizadas para cada tipo de respuesta (Butterworth, Chebyshev, Bessel, Gaussian, elípticos, etc). Al diseñar un filtro es necesario, por lo tanto, modificar las características de éste para satisfacer las especificaciones iniciales de diseño. Estas modificaciones se realizan en dos fases: transformar el filtro pasa-bajo diseñado en el tipo de filtro requerido, y desnormalizar los valores originales del diseño de dicho filtro pasa-bajo. Las transformaciones que se pueden realizar del filtro pasa-bajo prototipo son las siguientes: 1. pasa-bajo a pasa-bajo. 2. pasa-bajo a pasa-alto. 3. pasa-bajo a pasa-banda. 4. pasa-bajo a rechaza banda. 4.4 Diseño de filtros FIR Para el diseño de filtros FIR existen varios métodos, como ya se mencionó en la sección 4.2.2, los cuales son el método de ventanas, el de muestreo en frecuencia y otros métodos que se basan en técnicas iterativas de optimización para minimizar el error entre la respuesta en frecuencia deseada y la del filtro generado por computadora En esta sección se presenta solamente el método de ventanas, en sus dos versiones: ventanas fijas y ventanas ajustables. 4.4.1 Método de ventanas para el diseño de filtros FIR El método de diseño de filtros FIR más sencillo es el método de ventanas. Este método se basa en obtener la respuesta en frecuencia del filtro ( )ωjeH como una aproximación a la respuesta en frecuencia ideal deseada ( )ωj

d eH , mediante una determinada respuesta al impulso unitario ( )nh en el dominio temporal, a través de los pasos mostrados gráficamente en la Figura 4.8.

66

Figura 4.8. Ejemplo gráfico para mostrar el diseño de un filtro pasa-bajo FIR mediante el método

de ventanas. A continuación se describe con más detalle cada uno de los pasos mostrados en la figura anterior, para el diseño de filtros FIR mediante el método de ventanas: 1. Este método comienza con una respuesta en frecuencia ideal deseada que puede representarse por:

( ) ( )∑∞

−∞=

−ω =n

jwnd

jd enheH (4.23)

donde ( )nhd es la secuencia correspondiente a la respuesta al impulso de dicha respuesta en frecuencia ideal. Por ejemplo, para un filtro ideal pasa-bajo como el mostrado en la Figura 4.9, su respuesta en frecuencia de la magnitud ( )ωj

d eH está dada por la siguiente expresión:

( )

π≤ω<ωω≤ω

=ω

c

cjd ,

,eH

01

(4.24)

67

donde cω es la frecuencia de corte del filtro.

Figura 4.9. Respuesta en frecuencia de la magnitud ( )ωjd eH para un filtro pasa bajo ideal, y su

respuesta impulsional ( )nhd respectiva. 2. La respuesta al impulso ( )nhd , asociada a la respuesta en frecuencia ideal deseada

( )ωjd eH , es una secuencia infinita que también puede representarse en función de la

respuesta en frecuencia ideal ( )ωjd eH como:

( ) ( ) ωπ

= ∫π

π−

ω deHnh jdd 2

1 (4.25)

Por ejemplo, para el mismo filtro ideal pasa-bajo con la respuesta de magnitud ( )ωj

d eH

mostrada en la Figura 4.10, su respuesta al impulso ideal ( )nhd está dada por la siguiente expresión:

( ) ( )[ ]( )

≠

=

−−=

Qn

Qn

QnQnnh

c

cc

c

d

ωω

πω

πω

sin (4.26)

donde cω es la frecuencia de corte del filtro y Q es la posición relativa de la muestra central de la secuencia ( )nhd , como se puede observar en la Figura 4.10.

Figura 4.10. Respuesta impulsional ideal ( )nhd para un filtro pasa-bajo ideal, y su respectiva

respuesta en magnitud ( )ωjd eH .

68

3. Como la realización de un filtro FIR se basa en una secuencia finita de la respuesta al impulso, se propone una aproximación FIR a la respuesta al impulso ideal ( )nhd , la cual se llamará ( )nh , y se obtendrá mediante una ventana cuya función será la de truncar la secuencia infinita ideal ( )nhd . La expresión siguiente representa este proceso:

( ) )()( nnhnh d ω= (4.27) donde ( )nω es la secuencia de la ventana de duración finita. Los criterios para seleccionar la ventana ( )nω son los siguientes: (a) La secuencia de la ventana ( )nω debe tener P = (2Q + 1) muestras que sean simétricas con respecto a la muestra central ( )Qω . Esto significa que la función de retardo de grupo correspondiente a dicha ventana, será una constante (= Q) para πω < . (b) La secuencia de la ventana ( )nω debe ser tan corta como sea posible en duración, de tal manera que el número de cálculos requeridos sea mínimo. (c) El espectro de la ventana )( ωj

R eW debe ser tan angosta como sea posible, para que la

respuesta en frecuencia real )( ωjeH se asemeje lo más posible a la respuesta en

frecuencia ideal deseada )( ωjd eH , ya que )()()( ωωω j

Rj

dj eWeHeH ∗= y

)()( ωω jd

j eHeH = solo cuando )( ωjR eW es un impulso unitario.

Observación: Los criterios (b) y (c) están en conflicto, ya que las ventanas cuyas secuencias son de duración más corta producen espectros )( ωjeW que son más anchos y viceversa, como se muestra en la Figura 4.11 para una ventana rectangular con diferentes duraciones.

69

Figura 4.11. Ventanas rectangulares de diferente duración y sus espectros de magnitud respectivos. 4. Si se considera el caso en que la ventana )(nω consta de (2Q + 1) muestras, es decir,

Qn 20 ≤≤ , entonces la secuencia truncada )(nh tendrá también (2Q + 1) muestras. Puesto que la multiplicación en el dominio del tiempo discreto es equivalente a la convolución en el dominio de la frecuencia, se puede llegar a la siguiente expresión:

πωαπ

αωππ

αω <= −−∫ deWeHeH jj

dj )()(

21)( )( (4.28)

El proceso de convolución en el dominio de la frecuencia y de multiplicación en el dominio del tiempo se ilustra en la Figura 4.12.

70

Figura 4.12. Ilustración del proceso de convolución en el dominio de la frecuencia y del proceso de multiplicación en el dominio del tiempo.

En la figura anterior se muestra, en la parte izquierda (dominio de la frecuencia), el proceso de la convolución de la respuesta en frecuencia ideal deseada )( ωj

d eH con el

espectro de la ventana rectangular )( )( αω −jR eW , generando el espectro real )( ωjeH del

filtro FIR como una aproximación a la respuesta deseada. En la parte derecha de la misma figura (dominio del tiempo), se muestra el proceso de la multiplicación de la respuesta impulsional ideal )(nhd con la ventana rectangular )(nwR , generando la respuesta impulsional )(nh . 5. En la Figura 4.13 se puede observar que la respuesta en frecuencia de la magnitud

)( ωjeH presenta rizado tanto en la banda de paso como en la de rechazo. Estos rizos se

deben precisamente al empleo de la ventana rectangular )(nwR , ya que ésta presenta una transición abrupta de uno a cero en las muestras n = 0 y n = 2Q, como puede verse en la misma Figura 4.13, lo cual hace que la magnitud del espectro de dicha ventana

)( )( αω −jR eW presente lóbulos laterales de amplitud considerable (sin importar la longitud

P de la ventana )(nwR , como puede verse en la Figura 4.11), los cuales son los causantes

71

del rizado en la magnitud de )( ωjeH . En la teoría de series de Fourier, este comportamiento oscilatorio cerca de la banda de paso se conoce como el fenómeno de Gibbs. Para reducir este fenómeno se pueden usar otro tipo de ventanas )(nw que presenten transiciones más graduales de uno a cero en las muestras n = 0 y n = 2Q.

Figura 4.13. Espectro de magnitud )( ωjeH de un filtro FIR pasa-bajo con rizo en las bandas de

paso y rechazo debido al empleo de una ventana rectangular )(nRω 4.4.2 Método de Ventanas Fijas Existen muchos tipos de ventanas para truncar la secuencia del impulso unitario )(nhd

generado por la respuesta en frecuencia ideal deseada )( ωjd eH . Algunas de ellas son más

suaves que la ventana rectangular, lo que permite disminuir un poco el rizado que se produce en las bandas de paso y rechazo. Las ventanas que se usan más comúnmente son de longitud 2Q + 1, y se presentan a continuación: 1. Rectangular:

≤≤

=casootroen

Qnn

20,0,1

)(ω (4.29)

2. Hamming:

QnQQ

nn ≤≤−

+

+=12

2cos46.054.0)( πω (4.30)

72

3. Hann (Hanning):

QnQQ

nn ≤≤−

+

+=12

2cos121)( πω (4.31)

4. Blackman:

QnQQ

nQ

nn ≤≤−

+

+

+

+=12

4cos08.012

2cos5.042.0)( ππω (4.32)

En las figuras 4.14 y 4.15 se muestran cada una de las ventanas definidas anteriormente, así como sus espectros de magnitud respectivos. Estas gráficas se realizaron en MATLAB. En las Figuras 4.14 y 4.15 se puede ver que los espectros de cada ventana se caracterizan por tener un lóbulo principal centrado en 0=ω , seguido de una serie de lóbulos laterales con amplitudes descendentes. Dos parámetros que ayudan a predecir el desempeño de la ventana en el diseño de un filtro FIR es el ancho del lóbulo principal y el nivel relativo del lóbulo lateral. El ancho del lóbulo principal ML∆ es la distancia en frecuencia entre los mínimos más cercanos en ambos lados del lado del lóbulo principal, y el nivel relativo del lóbulo lateral

slA es la diferencia en dB entre las amplitudes del lóbulo lateral mayor y el lóbulo principal.

Figura 4.14 Ventanas Rectangular y Hamming y sus espectros respectivos.

73

Figura 4.15 Ventanas Hanning y Blackman y sus espectros respectivos.

El espectro de magnitud )( ωjeW de la ventana rectangular tiene el lóbulo principal más

angosto, por lo que, para una longitud dada de esta ventana )(nw , debería generar las

transiciones más abruptas de )e(H jω en la discontinuidad de )( ωjd eH , es decir,

)( ωjeH debería aproximarse más a )( ωjd eH en las discontinuidades, generando filtros

más selectivos. Sin embargo, el primer lóbulo lateral está a solo 13 dB por debajo del pico

principal, dando lugar a rizos de )( ωjeH de tamaño considerable alrededor de las

discontinuidades de )( ωjd eH , como puede observarse en la Figura 4.13.

Las otras ventanas caen suavemente a cero, y se puede observar que los lóbulos laterales se reducen significativamente; sin embargo, el precio que se paga es un lóbulo principal más

ancho, que ocasiona transiciones más anchas en las discontinuidades de )( ωjd eH ,

haciendo que los filtros FIR resultantes sean menos selectivos.

74

4.4.3 Método de Ventanas Ajustables: Ventana de Kaiser Los métodos de diseño de filtros FIR mediante ventanas fijas son sencillos, pero no proporcionan un buen control de las especificaciones de la respuesta en frecuencia, como son la frecuencia de corte, la magnitud del rizo en la banda de paso y la atenuación mínima en la banda de rechazo. Otro tipo de ventanas tales como la de Kaiser y la de Dolph-Chebyshev son más flexibles, en el sentido de que se pueden diseñar para cumplir con algunas de las especificaciones de respuesta en frecuencias mencionadas anteriormente. La ventana ajustable más usada es la de Kaiser, cuya expresión es la siguiente:

QnQI

QnInw

o

ok ≤≤−

−

=)(

)/(1)(

2

β

β (4.33)

donde β es un parámetro ajustable, e )(uIo es la función de Bessel modificada de orden cero, que puede expresarse como una serie de potencias:

2

!)2/(1)( ∑

+=

ruuI

ro (4.34)

Como puede verse, la serie anterior es positiva para todos los valores reales de u . En la práctica es suficiente manejar veinte términos para obtener una buena aproximación de

)(uIo . El parámetro β controla la atenuación mínima sα , es decir, el rizo sδ en la banda de rechazo. Existen fórmulas para estimar β y la longitud del filtro N, a partir de las especificaciones de sα y del ancho de la banda de transición f∆ :

215021

50

,0),21(07886.0)21(5842.0

),7.8(1102.04.0

<≤≤

>

−+−

−=

s

s

s

ss

s

paraparaparq

αα

ααα

αβ (4.35)

≤+∆

>+∆

−

≅21,1922.0

21,136.14

95.7

s

ss

paraf

parafN

α

αα

(4.36)

Conviene hacer notar que la ventana de Kaiser no proporciona control independiente sobre el rizo pasa-banda pδ . Variando la longitud del filtro 2Q +1 y β se puede definir un compromiso entre la amplitud de los lóbulos laterales y el ancho del lóbulo principal. En la Figura 4.16 se muestran las ventana de Kaiser para 63,0 y=β , y una longitud del filtro N=20, así como los espectros de magnitud correspondientes a cada una de ellas. La Figura 4.17 presenta, en forma comparativa, los espectros de magnitud de las ventanas

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citadas anteriormente. En la Figura 4.18 se muestran las ventanas de Kaiser para 6=β y longitudes de N = 10, 20 y 40, y en la Figura 4.19 se presentan, en forma comparativa, los espectros de magnitud de dichas ventanas.

Figura 4.16 Ventanas de Kaiser para 63,0 y=β , y una longitud del filtro de 20=N , y los espectros de magnitud correspondientes.

76

Figura 4.17 Gráfica comparativa de los espectros de magnitud de la ventana Kaiser para 63;0 y=β

Figura 4.18 Ventanas de Kaiser para 6=β y longitudes de 4020,10 yN = , y sus espectros de

magnitud respectivos.

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Figura 4.19 Gráfica comparativa de los espectros de magnitud de la ventana Kaiser para 6=β y

longitudes de 4020,10 yN = El procedimiento de diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser se muestra en la Figura 4.20. A continuación se describen cada uno de los pasos mostrados en la Figura 4.20 para el diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser: 1. Como primer paso hay que establecer las especificaciones de la respuesta en frecuencia deseada, definiendo los valores de la frecuencia límite de la banda de paso pω , la

frecuencia límite de la banda de rechazo sω y la atenuación mínima en la banda de rechazo sα , como se muestra en la Figura 4.21. 2. La frecuencia de corte del filtro pasa-bajo, se encuentra basándose en la simetría de la aproximación de la respuesta en frecuencia de la magnitud en la banda de transición, calculándose mediante la media aritmética de las frecuencias pω y sω , es decir:

2sp

cωω

ω+

= (4.37)

78

Figura 4.20 Procedimiento de diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser

79

Figura 4.21 Especificaciones para el diseño de un filtro digital pasa-bajo El ancho de la banda de transición ∆f se calcula como:

πωω

2psf

−=∆ (4.38)

3. Para obtener los parámetros β y Q para la ventana de Kaiser )(nwk , se procede de la siguiente manera: - Para obtener el valor de Q, se determina la longitud del filtro N mediante (4.36) a partir de los valores de sα y f∆ , seleccionando el valor entero impar mayor al que resulta de la estimación de N. Con este valor de N se calcula Q a través de la siguiente expresión:

21−

=NQ (4.39)

- β se calcula de la expresión definida en (4.35) usando el valor especificado de sα . Los valores de los coeficientes de la ventana Kaiser )(nwk , se pueden obtener con MATLAB mediante el comando ),( βNkaiserw = . 4. Finalmente, a partir de la respuesta al impulso del filtro pasa-bajo ideal definida por:

[ ] nnnh cLP πω /)sin()( = , -∞≤n≤∞ y de la ventana Kaiser )(nwk , se obtienen los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro FIR, por el método de las ventanas, de la siguiente manera:

QnQnwn

nnh kc

t ≤≤−= ),(.)sin()(πω (4.40)

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Se hace notar que el filtro FIR resultante no es causal, pero se puede convertir en causal retardando los coeficientes del filtro Q muestras. Puesto que Q es par, el filtro retardado será un filtro FIR de fase lineal Tipo I. 4.5 Diseño de Filtro Digital para el Radar de la Universidad de Piura La señal que envía el radar hacia la atmósfera tiene una frecuencia de 49.92 MHz, pero cuando regresa a la antena la frecuencia de la señal es de )92.49( f∆± MHz. Esta variación en la frecuencia )( f∆± es la que nos indica como varían las velocidades de los vientos en la atmósfera, y es sólo esa variación la que se analiza mediante las fórmulas del efecto Doppler. La señal que regresa a la antena del radar se compara con una señal de frecuencia constante e igual a 49.92 MHz. Como resultado de esta comparación se obtiene una señal cuya frecuencia es igual a la variación f∆ . Teóricamente esta variación de frecuencia f∆ nos debería indicar solamente cómo varían las velocidades de los vientos en la atmósfera, pero debido a que existen ruidos que se mezclan con la señal que regresa a la antena del radar, la nueva señal obtenida de la comparación entre la señal enviada a la atmósfera y la señal recibida por la antena debe ser filtrada para eliminar los posibles ruidos existentes. Entonces para el diseño del filtro se debe considerar un filtro pasa bajo cuya frecuencia de corte coincida con el valor máximo de )( f∆± que se desea analizar. El radar realiza mediciones de vientos de hasta 300.3 m/s para la ionósfera, lo que equivaldría en frecuencia a 100 Hz, el cual es el máximo valor de )( f∆± . Entonces la frecuencia de corte quedaría definida a ese valor. Además se debe tener en cuenta que todas las señales que se encuentren más allá de la frecuencia de corte son consideradas como ruido y deben ser atenuadas o eliminadas ya que no constituyen información relevante para el análisis de las velocidades de los vientos de altura. Para el diseño del filtro digital se hizo uso del software Matlab, específicamente de la herramienta fdatool2 (Filter Design & Analysis Tool). Con ella el diseño del filtro es muy sencillo, y no debemos realizar ningún cálculo engorroso. 4.5.1 Especificaciones de diseño Teniendo en cuenta las características principales de los métodos conocidos, lo primero es seleccionar el método de diseño que se va a emplear en el filtro digital. Por esto se utilizará el método de diseño IIR, ya que el orden del filtro resultante será mucho menor que un filtro equivalente diseñado por el método de FIR. Además utilizaremos la aproximación de Chebyshev tipo I, por ser una de las más simples. En cuanto al orden del filtro, dejaremos que Matlab calcule automáticamente el mínimo orden, pero sin dejar de cumplir con las especificaciones dadas. 2 Para más información sobre esta herramienta ingresar a www.mathworks.com o tipear "help fdatool" en la ventana principal de Matlab.

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Como ya se dijo anteriormente, el tipo de respuesta que tendrá el filtro digital será del tipo pasa bajo, con una frecuencia de corte de aproximadamente 100 Hz. Existen además otras especificaciones de frecuencia y magnitud que debemos definir. Estos parámetros se ven más claramente en la siguiente figura:

Figura 4.22. Parámetros de frecuencia y magnitud para filtros IIR Chebyshev tipo I donde: Apass: Fluctuación dentro de la banda de paso. Astop: Atenuación dentro de la banda de filtrado Fpass: Frecuencia que indica el final de la banda de paso Fstop: Frecuencia que indica el inicio de la banda de filtrado Fs: Frecuencia de muestreo. La máxima frecuencia que atenuará el filtro será Fs/2. Se han considerado las siguientes especificaciones de frecuencia y magnitud para el diseño del filtro digital:

Tabla 4.3. Especificaciones de magnitud y frecuencia para el diseño del filtro digital

Parámetro Valor Apass 1 dB Astop 50 dB Fpass 150 Hz Fstop 200 Hz Fs 100 MHz

El valor de Apass que se ha escogido es el menor posible (1 dB), de tal manera que no existan muchas fluctuaciones en la banda de paso, ya que de lo contrario si elegimos un valor mayor se podrían atenuar o amplificar señales que en realidad se desea que pasen sin ser afectadas por el filtro. El valor de la atenuación dentro de la banda de filtrado (Astop) ha sido elegido según el máximo valor de ruido extraído de los reportes de las medidas de los vientos de altura. Los valores de Fpass y Fstop han sido elegidos de tal manera que el filtro deje pasar libremente a la señal de 100 Hz, y que además atenúe al resto de señales que se

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encuentren cerca de este valor. La frecuencia de muestreo Fs ha sido elegida en 100 MHz para conseguir que la máxima frecuencia que atenúe el filtro esté cercana a 50 MHz que es la frecuencia de trabajo del radar. Ahora con todos estos parámetros se procede a diseñar el filtro. 4.5.2 Cálculo del filtro digital Con todos los parámetros de diseño ya especificados, el cálculo del filtro se realizará utilizando la herramienta fdatool de Matlab. Una vez ingresados los parámetros especificados, las características del filtro calculado son las siguientes:

Tabla 4.4. Características del filtro digital calculado

Tipo de respuesta Pasa bajo Método de diseño IIR - Chebyshev tipo I Orden del filtro 9

Secciones 5 Estructura Direct-Form II, Second-Order Sections

Estable Sí Fs 100 MHz

Fpass 150 Hz Fstop 200 Hz Apass 1 dB Astop 50 dB

4.5.3 Modelo del filtro digital calculado El filtro digital cuenta con 5 secciones de segundo orden o SOS's (del inglés Second Order Seccions), unidas en cadena una con la otra. Debido a que el orden del filtro es 9, entonces esto quiere decir que la última sección será tan sólo de primer orden. Cada sección se acopla a la siguiente mediante un valor de escala tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 4.23. Esquema del diagrama de bloques del filtro digital calculado

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Los coeficientes de cada sección se encuentran en la matríz SOS, la cual es una matríz de orden M por 6, donde M es el número de secciones de segundo orden del filtro. Cada fila de la matríz SOS contiene los coeficientes del numerador y denominador (bik y aik) de la sección correspondiente del filtro. La matríz SOS correspondiente calculada por Matlab se muestra a continuación

−−−−−−−−−

=

=

099998.0101199997.02112199998.02112199998.02112199999.021121

aaabbbaaabbbaaabbbaaabbbaaabbb

SOS

352515352515

342414342414

332313332313

322212322212

312111312111

Los valores de escala se encuentran en la matríz S, la cual es un vector columna con M+1 valores de escala. Estos valores son usados entre las secciones de segundo orden del filtro y cada valor es usado por una sección diferente, de acuerdo al diagrama de la figura 4.23. Es posible considerar a los valores de escala como las ganancias correspondientes a cada una de las secciones del filtro. La matríz S calculada por Matlab, se muestra a continuación:

=

=

16-e 7.508210-e 3.161410-e 9.73899-e 1.72199-e 2.2101

ssssss

S

6

5

4

3

2

1

El diagrama de bloques completo de este filtro digital se explica en el Apéndice A. 4.5.4 Análisis de la respuesta del filtro digital Una vez que ya sido calculado el filtro digital, ahora se procederá a analizar la respuesta del filtro. Para esto simularemos varias señales senoidales de distintas frecuencias y evaluaremos la capacidad de filtrado del filtro digital. La señal de entrada )t(x estará dada por 4 ondas senoidales de 100 Hz, 1000 Hz, 1 MHz y 10 MHz; todas con amplitudes de 50.

[ ])t102(sen)t102(sen)t102(sen)t102(sen50)t(x 7632 ππππ +++×= (4.41) A continuación se muestran las gráficas de la señal a la entrada y a la salida del filtro. Nótese cómo la señal de entrada oscila debido a las componentes de alta frecuencia con las que cuenta, y en cambio la señal ya filtrada es prácticamente igual a una onda senoidal de 100 Hz de frecuencia (con período de 0.01 segundos). Esto claramente es debido a la acción del filtro, el cual se ha podido demostrar que funciona correctamente, dejando pasar

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libremente las componentes de bajas frecuencias (de acuerdo a las especificaciones de diseño) y filtrando las de altas frecuencias.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Tiempo

Am

plitu

d

Señal de entrada del fitro digital

Figura 4.24. Señal de prueba antes de ser filtrada

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-60

-40

-20

0

20

40

60

Tiempo

Am

plitu

d

Señal a la salida del filtro digital

Señal 4.25. Señal de prueba después de ser filtrada

85

4.5.5 Recomendaciones al momento de implementar el filtro digital Existen dos maneras de implementar filtros digitales: mediante software y mediante hardware. La implementación mediante hardware tiene como ventaja principal la rápida velocidad con que se ejecuta la etapa de filtrado y como principal desventaja el costo alto que implica. En cambio para la implementación mediante software sucede lo contrario: el costo es menor pero el tiempo que toma en realizar la etapa de filtrado es relativamente mayor. Para el caso del radar no habría mayores implicancias en optar por la implementación por software, ya que no se requieren resultados "en tiempo real". La velocidad con que se realice el muestreo de datos no tiene ninguna relación con el tiempo que tarde en realizarse el filtrado de la señal, ya que la primera depende de la velocidad con que cuente el dispositivo que se utilice para muestrear la señal (por ejemplo una tarjeta de adquisición de datos) y la segunda depende de la velocidad con que ejecuten las instrucciones del algoritmo de filtrado. Si es que el algoritmo de filtrado se implementa en una PC, entonces la velocidad con que se ejecute el algoritmo de filtrado dependerá de la cantidad de instrucciones que tenga el algoritmo y de la velocidad del procesador de la PC que se utilice. Por tanto se recomienda solo utilizar la cantidad de instrucciones necesarias así como también contar con una PC que sea adecuada para este tipo de tarea. Debido a que para implementar el filtro digital es necesario hacer modificaciones dentro del software y hardware con el que cuenta actualmente el radar, no se ahondará más en este tema

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