TEORICA 5TEORICA 5

Desigualdad de Chebyshev

Ley de los Grandes Números

Covarianza Covarianza

Transformaciones de

Transformaciones den

AutorDr. Hernán Rey

Ultima actualización: Agosto 2010

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV

Sea X una VA. Se define Ye, con e >0, según:

Por qué utilizar la dispersión respecto de la media y no de otro valor?

En primer lugar, cuando minimizamos el error cuadrático medio (ECM) paraobtener la media, surge entonces que la varianza es el mínimo ECM. De

hecho, para cualquier constante a, el ECM se descompone como:

Otra buena razón será vista a continuación.

22

E X a Var X E X a

PITAGORAS

Sea X una VA. Se define Ye, con e >0, según:

1

0

XY

Xe

e

e

2 2 2X X Y Ye ee

Si existe la

varianza de X, 2

2

1P X E Xe

e

son todas VAsno negativas

2 2 2 2E X E X Y E Y P Xe ee e e

Y

Y

YX

20, 1E X E X Var X

21 1YYP X P E X

e e

Ahora veremos por qué el desvío estándar es un factor de escala “natural” para medir probabilidades de intervalos centrados respecto de la media.

Sea X la forma estándar de la VA Y.

Si se elige, Ye =1{X>e}, se observa que una de las colas de la distribución

satisface la misma cota, es decir P(X>e)E(X2)/e2

2

2 2

1 1Y

Y

YP X P E X

e e

e e

2

1Y YP Y e

e

La probabilidad de que una VA difiera de su media al menos 2no puede ser mayor a ¼. La probabilidad de que una VA

difiera de su media al menos 3 no puede ser mayor a 1/9.

2

nVar Yn

LEY DEBIL DE LOS GRANDES NUMEROS (WLLN)

1 n

n iY Yn

nE Y

La cota de Chebyshev puede resultar algogrosera en ciertos casos pero debe notarse que

esta cota es universal, en el sentido que NO DEPENDE DE LA DISTRIBUCION DE LA VA

Sean Yi VAs i.i.d. (independientes e idénticamente distribuidas) con media y desvío . Definamos:

nVar Yn

1n i

i

Y Yn

0, lim 0nn

P Ys sm

2

1nYP

n

e

e

nE Y

nse

2

2nP Yn

s

s

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4F

Yn

(x)

n=1

n=100

n=10000

n=1000000

f

También vemosque al estimaruna media conel promedio de

n observaciones,si se quiere

una precisión s,

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

x

Si se cumple esto decimos que la VA Ỹn

converge en probabilidad a . Esto justificapor qué es esperable que la media

coincida con el promedio de un gran númerode realizaciones independientes de la VA.

una precisión s,se requiere

n 1/s2

Si en general se tiene una VA Xn con media y desvío n,

2

1n

n

XP

e

e

n

se

2

2n

nP X

ss

2

nE X

Cuando la varianza 2n tiende a 0 con n tendiendo

a infinito decimos que la VA converge a la mediaen media cuadrática (L2). Si una VA converge L2 ,

entonces converge en probabilidad

La Ley Fuerte de los Grandes Números va aun más lejos y dice 1 m n

nP X

convergencia “casi segura”

EJERCICIO

1

1 n

n ii

Y Yn

1Y P A

nE Y P A

1

n

P A P AVar Y

n

s

( ) 1 1 ( ) 0iYp y P A y P A y k k 1 1

es la frecuencia relativa

de aparición del evento A

Sean X una VA y se define el evento A. Se efectúan n experimentos

independientes de X. Si en el i-esimo ocurre el evento A, Yi=1 y sino

Yi=0. Las variables Yi son i.i.d. y siguen una distribución Bernoulli:

2

1

1

nY P AP

P A P A

n

ee

n

1P A P A

n

se

2

1n

P A P AP Y P A

ns

s

Cuando n tiende a infinito, la frecuencia relativa de Aconverge en probabilidad a P (A). La WLLN permite

justificar la definición frecuentista de la probabilidad.

Se tienen dos monedas, una legal y otra con P(cara)=¾. Se elige una

moneda al azar y se la arroja n veces. Sea Sn el número promedio de

caras en los n tiros. Se desea saber cuántos tiros deberían hacerse parapoder estimar qué moneda se eligió con al menos 95% de certeza.

EJERCICIO

Si se observan un gran número de tiros, la cota de Chebyshev nos diceque la proporción de caras tiende a la probabilidad de cara de la moneda.

Se propone la siguiente regla: “Si la proporción de caras no supera 0.625,

arriesgo a moneda legal; si no, a falsa”. Necesitamos que P(error)<0.05

2

10.5 0.125

4 0.125nP S

n

2

30.75 0.125

16 0.125nP S

n

0.625 0.625n nP error P legal P S legal P falsa P S falsa

0.5 0.5

2 2

1 30.5 0.5 0.05

4 0.125 16 0.125n n

280n

COVARIANZA

, k X Y X YE X Y

k E X YTEOREMA

La covarianza entre X e Y se define como la esperanza del producto de las VAs “centradas”, es decir, se restan sus medias antes de multiplicarlas.

, X Y X YE X YEsto permite medir cómo varían ambas variables en conjunto.Cualitativamente, su signo indica una tendencia respecto al comportamientode las variables (si X,Y > 0, el incremento de una de las variables da lugar aun incremento lineal, en promedio, de la otra).Una expresión alternativa es:

k X YE X Y

, ,m m

m m

k k X YE X Y x y f x y dxdy

TEOREMA

X Y Y Xxf x dx yf y dy m m

m m

, 0X Y

Si X e Y son independientes

COROLARIO

Si la covarianza entre dos variables es nula, decimos queestán descorrelacionadas. LA INDEPENDENCIA ES MAS

FUERTE QUE LA DESCORRELACION (XY=0independencia)

Si X e Y son independientes:

EJEMPLO

1

1 12

Xf x x k 1

Sea X la corriente instantánea en un circuito con densidad:

Sea Y la potencia disipada en un resistor de 1 . Luego, Y=X2

2,

1, 1 1

2X Yf x y x y x k k 1 1

0 E XY

Las variables son dependientes pero están descorrelacionadas

1 1 1 3

2,

1 0 1

10

2 2X Y

xxy y x dydx dx

k 1

,0X X Y E XY

2, ,

1, 1 1

2X Y X Yxyf x y dydx xy x y x dydx

m m m m

m m m m

k k 1 1

Veamos ahora la varianza de la suma de dos variables.

2 22 X Y X Y X YE X Y E X Y

2 22 X Y X YE X E Y E X Y

2 2,2X Y X Y si las VAs están descorrelacionadas, la

varianza de la suma es la suma de las varianzas

En general, si X1,X2,…,Xm son independientes, 2

1 1

m m

i i i ii i

Var a X a Var X

k

,,i j

n m n m

i j X YCov X Y

Propiedad:

-

-

- -

-

-

,

,

X Y

X Y

X Y

, 1X Y

El resultado de la covarianza puede ser cualquier número real. Por eso, existe una definición normalizada denominada coeficiente de correlación:

,2 1 0

X Y

X Y

X YVar

,2 1 0

X Y

X Y

X YVar

,1 1 1 1

,i ji j X Y

i j i j

Cov X Y

Propiedad:

Si dos variables tienen el módulo de cercano a uno diremos que están altamente correlacionadas.

no discrimina la pendiente

Este coeficiente (conocido como correlación de Pearson) es sensible a relaciones lineales entre las variables ( =0 denota “independencia lineal”)

no captura relaciones no relaciones no lineales

cov ,

X

Y

U X

V Y

X YX Y E X Y E UV

Se debe ser cuidadoso y no creer que cuando la distribución es uniforme en cierto soporte, sólo cabe analizar las compensaciones de las diferentes áreas del soporte. Notar que al calcular la covarianza se busca resolver:

, ,X Y X Yuv f u v dvdu m m

m m

k este factor crece (en módulo) cuanto más lejos están los

puntos de (u,v)=(0,0)

0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.5

1

fXY(x,y)=1en el cuadrado unitario

, 0X Y 0 0.5 1

0

0.5

1

fXY(x,y)=3/2

fXY(x,y)=1/2

, 0X Y

0.5

0.5

U X

V Y

0.5

0.5

U X

V Y

U X U X

La importancia de que dos variables tengan no nulo es que conociendo el resultado de una de

ellas puedo realizar una predicción lineal de laotra, “reduciendo la incertidumbre” respecto alcaso donde no se observa la primera variable

, 0X Y , 0X Y

U X

V Y

U X

V Y

TRANSFORMACION DE VARIABLE UNIDIMENSIONAL (RR)

Asuma que X es una VA cuyo espacio muestral es y su función de distribución es FX (x). Sea y=W(x) una función de RR, cuyo dominio

contiene al rango de X.

Podemos conocer su función de

distribución FY (y)?

Para ello se utiliza el siguiente principio:

xX

WY

Al tener Al tener XX naturaleza aleatoria, la transformación de cada naturaleza aleatoria, la transformación de cada xx en un en un yy a través a través

de de WW, dará lugar a una nueva VA , dará lugar a una nueva VA Y=Y=WW(X)(X) cuyo espacio cuyo espacio muestralmuestral es es

X

WY

Para ello se utiliza el siguiente principio:“Dos sucesos equivalentes debentener asociada la misma probabilidad”

E A B

: ( )B x x AW

P E P A P B

, ,A Br r

yY

E r : ( )E X B B es la imagen de Ea través de la VA X

A es la imagen de Ba través de W

: ( )E Y A A es la imagen de E a través de la VA Y

WY

YP W P Y u F u P X u P X QW

Podemos ahora definir los eventos:

: ( )Q x x uW :W y Y u

P(XQ) puede obtenerse a partir de FX(x). Si X es discreta y se cuenta

con pX(x), P(XQ) surge de sumar las masas puntuales que se hallan

en Q. Si X es continua, P(X Q) surge de integrar fX(x) sobre la región

definida por Q.

Así, puede obtenerse la función de distribución de Y. Si se quiere la

Sea X una VA continua cuya densidad es:

EJEMPLO

1

2

x

Xf x e

Se quiere la densidad de Y=X2.

En primer lugar vemos que el soporte de X, que son todos los reales, es

mapeado por W(x) en los reales no negativos. Entonces, la distribución

de Y es nula para todo y<0.

Vemos también que la transformación no es biyectiva. Si ahora elegimos

el evento Y≤y, con y≥0,

densidad (y existe), sólo debe tomarse la derivada.

0 0YF y P Y y X X f

y

y=

W(x

)

1

y

0 0P y X P X y

0 0P Y y X P Y y X f f

P y X y

El planteo de equivalencia de sucesos es la base detoda transformación de variables, sin importar cómosean las variables o las funciones que las vinculan !!!

-1 0 1

y

xy y

1

1 02

x y

y

e dx e y

1

1

02

y

Y Y

df y F y e y

dy y

k 1

Y=

W(X

)

y

W(x)

Si la función Wes biyectiva, el mapeo entre los soportes de X e Y será uno a uno (cambio de variable). Luego, puede definirse el mapeo inverso:

1( )X YW

Si Wes estrictamente creciente:

,A y m

1,B yW m

XW-1(y) x

,B yW m

1

1

y

Y X XF y f x dx F y

W

W

m

11 1

Y X X

d ydf y F y f y

dy dy

WW W

Y=

W(X

)

y

W(x)

Si Wes estrictamente decreciente:

,A y m

1 ,B yW m

1

11

Y X

y

F y f x dx

F y

W

W

m

XW-1(y) x 11 XF yW

11

Y X

d yf y f y

dy

WW

11

Y X

d yf y f y

dy

WW

Por lo tanto, si Wes estrictamente monótona,

2

y

W1(x)

W2(x)

Retomemos el ejemplo previo. La función Y=X2 no es biyectiva. Sin embargo, podemos descomponerla en dos funciones biyectivas:

EJEMPLO

21 0x x xW k 1

22 0x x xW k 1

Para armar la densidad de Y, sólodebemos tener en cuenta los aportesde cada una de las funciones W

W 1W -2 -1.4142 -0.7071 0 0.7071 1.4142 2

0.5

x

11 y yW 1

2 y yW

1 1

1 21 11 2Y X X

d y d yf y f y f y

dy dy

W WW W

1 1 1 1 1

02 22 2 2

yx xY

x y x y

f y e e e yy y y

k k k 1

EJEMPLO

Si bien ir directamente de una densidad a otra puede ser más simple enalgunos casos (dado que no requiere el paso por las funciones dedistribución), en otros puede presentar complicaciones. Veamos un ejemplo.

Un fabricante de caños posee una máquina que produce piezas cuya

longitud X se distribuye según:

0xXf x e x k 1

Un cliente especial está dispuesto a pagar una gran suma de dinero por

100000 caños, pero la condición es que la longitud Y de los mismos estédistribuida según:distribuida según:

13 0 1/ 4 1/ 4 13Yf y y y k k 1 1

El costo que supondría apagar la máquina, recalibrarla, hacer los 100000caños, y luego volverla al estado original es excesivo. Sin embargo, justocuando estaba por rechazar el trabajo, uno de sus empleados le dice:“Podemos hacerlo. Sólo consiga una máquina de precisión para cortar100000 caños de la producción original”. Así lo hicieron y el jefe le dijo alempleado: “Todavía no entiendo cómo hiciste para satisfacer lasespecificaciones del cliente”. Qué fue lo que hizo el empleado?

11

111

1

0

3 1

y

yxP Y y y P X y e dx e

WWW

1

10 ln 4

3

xey x xW

k 1

0.25

1

1

W

Para analizar el problema hagamos primero un esquema que indique cómo deben ser las densidades mapeadas. Notar que para que los caños sean “cortables”, se requiere W(x) x x.

Luego, para todo 0 ≤ y ≤ ¼,

2 1 3 ln 4xy x e xW k 1

12

12

12

11

3

yx

y

P Y y y P X y

e dx eW

W

W

m

0 ln(4) 7

0

0.25

x

y

W2

W1

Resolverlo con la formula de lasdensidades requiere la resolución

de ecuaciones diferenciales

Si ahora analizamos ¼ ≤ y ≤ 1,

En la Teórica 3 vimos que si X~U(0,1), la transformación Y=FY-1(X) (siendo

ésta una inversa generalizada) da lugar a una VA con función de distribución

FY(y). Esta idea fue usada para simular una VA a partir de valores random.

Si pensamos en dicha transformación en forma inversa, si se tiene una VA

W con función de distribución FW(w), la transformación V=FW(W) da lugar

a una VA con distribución U(0,1).

De esta forma, surge un principio general para encontrar transformaciones

que permitan relacionar una VA X, con función de distribución arbitraria

FX(x), con una VA Y, con función de distribución arbitraria FY(y).

F k 1F k

X ~ 0,1Q U XF k

Y YF k

1Y Xy x F F xW

En el ejercicio anterior,

1 0xXF x e x k 1

2

3 0 1/ 4 1/ 4 1 13 3

Y

yF y y y y y

k k

1 1 1

1 20 3 / 4 3 3 / 4 1

3 3Y

uF u u u u

k k

1 1

Reemplazando, se llega al mismo resultado que antes

EJEMPLO

Qué sucede si la función no puede analizarse como biyectiva de atramos? Nuevamente, el concepto de sucesos equivalentes nos ayudará.

Un conversor analógico digital utiliza una función escalera. Si la entrada se distribuye según: 0 10 ,

50X

xf x x k 1

la salida será una VA discreta que sólo puede tomar los valores 0,1,…,9.

10

Para encontrar su función de probabilidad planteamos la equivalencia:

1 2 1

, 0,1, ,950 100

k

k

x kP Y k dx k

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

50 100k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

y

PY

(y)

Si y=W(x)=k en un intervalo donde fX(x)>0,

entonces habrá masa puntual en Y=k.

0

y

EJEMPLO

Otra posibilidad es la de transformar una VA continua en una mixta.

En un diodo Zener ideal, la relación entre la tensión Y y la corriente Xpuede observarse en la figura.

1 1Xf x x x k 1

Suponga que la corriente se distribuye según

Al recorrer a y desde - , lo primero que

aparece es Y = -a. Por equivalencia:

0

-a

xLuego, para los 1 ≥ y ≥ 0, Y=X

21 1

0 0 1 1 12 2 2

Y

yF y a y y y

k k k

1 1 1

aparece es Y = -a. Por equivalencia:

0

1

10

2P Y a P X xdx

2

0

1 0

10 1

2 2

y

Y

yF y P X y xdx xdx y

k

1

TRANSFORMACION MULTIDIMENSIONAL ( ) N

2 ,X Y

,x yWZ

, : ( , )B x y x y AW

2, ,A Br r E r

: ( ), ( )E X Y B

B es la imagen de E a través de la VA (X,Y)

A es la imagen de Ba través de W

: ( )E Z A A es la imagen de E a través de la VA Z=W(X,Y)

E A B P E P A P B : ( )E Z A A es la imagen de E a través de la VA Z=W(X,Y)

,ZP W P Z u F u P X Y uW

Podemos ahora definir los eventos:

, : ( , )Q x y x y uW :W z Z u

, continua

,, ,X Y

X Y

Q

P X Y Q f x y dxdy

, :B x y x y z ( , ]A z m

ZP A P Z z F z P X Y z

, ,X Y

B

f x y dxdy , ,X YB

p x y z

Una de las transformaciones esenciales es la suma de VAs. Sean X e Ydos VAs. Se desea hallar la distribución de Z=X+Y. Aplicamosnuevamente la idea de sucesos equivalentes:

Para cada valor de z, se define unrecinto que se encuentra por debajo

de una recta que corta al eje Y en

, ,z x

Z X YF z f x y dydxm

m m

, ,Z X Yf z f x z x dxm

m

Derivando...

0 z

0

X

Y

X+Y=z

de una recta que corta al eje Y en

Y=z y al X en X=z. La probabilidadpedida surge de integrar (o sumar) laconjunta en ese recinto. En el casocontinuo,

Z X Yf z f u f z u dum

m

A esta operación se la denomina integral de convolución y se utiliza en numerosas ramas de la matemática.

Z X Yf z f z u f u dum

m

Si X e Y son independientes…

numerosas ramas de la matemática.

La densidad de la suma de dos VAs independientesestá dada por la integral de convoluciónde las densidades de cada una de ellas.SE DEBE TENER ESPECIAL CUIDADO ALEVALUAR LOS LIMITES DE LA INTEGRAL

(ya que pueden depende de z y además se debever dónde las densidades son no nulas)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

z=0 z=2

z=3

EJEMPLO

( ) 3ZF z z 1

1

( ) 1 23

Xf x x k 1 ( ) 2 0 1Yf y y y k 1

( )ZF z P Z z

P X Y z

P Y z X

X e Y son VAs independientes. Hallar la distribución de Z=X+Y

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.2

0

x

z=-1

( ) 3ZF z z 1

0 2z

2 3z 1 2

2

2( ) 1

3Z

z z y

F z ydxdy

1

2

2

2 21 2

3 3z

z y y dy

321

9 3 9

zz

1 0z

31

0 1

12( )

3 9

z yz

Z

zF z ydxdy

1

0

2 1 1( ) (0)

3 9 3

z y

Z Z

y

F z F ydxdy z

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FZ(z

)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.1

Z

En este caso la conjunta tiene una únicaexpresión en todo su soporte. Si tuviese

más, daría lugar quizás a un mayor númerode expresiones diferentes a lo largo del

soporte de la VA Z.

EJEMPLOX e Y son VAs i.i.d. con distribución

uniforme en (0,1). Si X + Y < 1, entonces

W = X, si no, W = 2Y. Halle la función de

densidad de W.

Para poder aplicar la transformaciónes necesario saber en qué recintome encuentro. Descomponiendo a

W en (X+Y1)U(X+Y>1) yaplicando probabilidad total puede

Y1

W=X

W=2Y

aplicando probabilidad total puedeescribirse

1 1WF w P W w P W w X Y X Y f X10

1 / 2 1P X w X Y P Y w X Y f f

1 1P W w X Y W w X Y f f

1 / 2 1P X w X Y P Y w X Y f f

X

Y

1

1

0 wX

Y

1

1

0

w/2

21 1 1

0 1 12 2

ww w

k k 1 1

2

23 10 1 1 2 1 2

8 2 8W

wF w w w w w w

k k k

1 1 1

X1X10

2

1 10 2 2

2 2 2

ww w

k k

1 1

3

1 0 1 1 24 4

W

wf w w w w

k k

1 1

BONUS TRACKSBONUS TRACKS

Hace unas semanas vimos como estimar el valor de la integral de una función g(x): [0,1]→ [0,1]. Para ello generábamos números al azar en el cuadrado unitario y contábamos la fracción de puntos que aparecían por debajo de la curva. Ahora veremos otro método mejor.

EJERCICIO

Elijamos un gran número de valores de Xn: U(0,1). Luego, Yn= g(Xn)

1

0n XE Y g x f x dx g x dxm

m

1 222

Como g(x) está en [0,1], está en [0,1] y entonces |g(x)-|≤1

1 222

01nE Y g x dx

1

1 n

n ii

A Yn

2

2 2

1nP A

n n

s

s s

Si queremos que la probabilidad de que el valor de laintegral tenga exactitud ssea al menos p , elegimos

el n para que 1/(n s2) ≤ 1-p. El otro método nopermite controlar la exactitud de la estimación

La cota de Chebyshev puede ser muy conservadora. Una cota más ajustada es la de Chernoff.

COTA DE CHERNOFF

Sea X una VA con densidad fX(x). Se define Ye, con e >0, según:

1

0

XY

Xe

e

e

0, tX tt e e Ye

e

tX t tE e e E Y e P Xe e e tX t tE e e E Y e P Xe ee e

, 0t tXP X e E e tee

ln

0 0min min

tXt E et tX

t tP X e E e e

eee

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

P(X

e

)

X es N(0,1)

Resultado exactoCota de ChebyshevCota de Chernoff

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e

P(X

EJEMPLO

2 2,

1, 1X Yf x y x y

k 1

Las variables no son independientes. La media de cada marginal es 0. Luego,

2

2

1 1

,

1 1

10

x

X Y

x

xy dydx

Las variables son dependientes pero están descorrelacionadas

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

zEJEMPLO

X e Y son U(0,1) e independientes. Sean Z=X+Y y W=X-Y. Hallar la covarianza entre Z y W.

,

1, 1 1 2

2Z Wf z w w w z w k k 1 1

0W

,

2 2

Z W E ZW E X Y X Y

E X Y

como X e Y tienen la misma

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

w

, 0Z W

X e Y son independientes, y por lo tantodescorrelacionadas. Z y W siguen siendo

descorrelacionadas, pero claramenteson dependientes.

2 2E X Y como X e Y tienen la misma distribución,

Sea X el número de caras en los primeros dos tiros de una moneda legal y sea Y el número de caras en el tercer tiro. Hallar la distribución de X, Y, Z=X-Y, W=X*Y.

EJEMPLO

Y=0 Y=1

X=0 1/8 1/8

X=1 1/4 1/4

X=2 1/8 1/8

0 0, 0 0, 1 1/ 4P X P X Y P X Y

1 1, 0 1, 1 1/ 2P X P X Y P X Y

2 2, 0 2, 1 1/ 4P X P X Y P X Y

0 0, 0 1, 0 2, 0 1/ 2P Y P X Y P X Y P X Y

1 0, 1 1, 1 2, 1 1/ 2P Y P X Y P X Y P X Y 1 0, 1 1, 1 2, 1 1/ 2P Y P X Y P X Y P X Y

1 0, 1 1/ 8P Z P X Y

0 0, 0 1, 1 3 / 8P Z P X Y P X Y

1 1, 0 1, 1 3 / 8P Z P X Y P X Y

2 2, 0 1/ 8P Z P X Y

2 2, 1 1 / 8P W P X Y

0 0, 0 0, 1

1, 0 2, 0 5 / 8

P W P X Y P X Y

P X Y P X Y

1 1, 1 1 / 4P W P X Y

0

2

3

Z

Z=U

Z=U+1

EJEMPLO (el anterior de suma pero usando convolución)

Los límites de la integral dependen del valor de z=x+y que se esté analizando.

( ) 0 1 o 3f z z z

2

( ) ( ) 1 2 13

X Yf u f z u z u u u z u k k 1 1

1

( ) 1 23

Xf x x k 1

( ) 2 0 1Yf y y y k 1

-1 0 2

-1

0

U

( ) 0 1 o 3Zf z z z

2

1

2 11 0, ( ) 1

3 3

z

Zz f z z u du z

1

2 10 2, ( )

3 3

z

Z

z

z f z z u du

2

2

1

2 12 3, ( ) 1 2

3 3Z

z

z f z z u du z