05-Criterio de Lane

Teoría Económica de Recursos No Renovables

Modelo de Beneficio Económico

• Suponga una función de beneficio del tipo:

)( tttt qCqp tq Ritmo de producción de metal en periodo t

tp Precio del producto en periodo t

)( tqC Costo de producción como función de la cantidad producida

Modelo Económico Simple

• Se simplifican las restricciones para realizar la extracción total

• La utilidad marginal descontada debe ser constante a través de la vida del proyecto

T

tttMax

1

sa

01

RqT

tt

T

t

T

tttt qRL

1 10

0' tttq

L

01

0 RqL T

tt

''2

2'1 ... n

n

Teoría de Hotelling

• Si existe mercado para solamente comercializar qt

• Mercado de competencia perfecta– No existe asimetría ni de información ni tecnológica

• La extracción mineral para que sea óptima debe generar un perfil de precios que aumente en valor absoluto en la misma tasa que la tasa de descuento utilizada en la industria

nn

tt pppp ...22

1'

Modelo a Optimizar

• Si se desea optimizar el valor presente neto del proyecto o plan de producción

T

ttttt qCqpMax

1

)(

sa

ttt qRR 1

t Factor de actualización de los flujos obtenidos en el periodo t

tR Recursos Remanentes en el periodo t

Tt ..1

Solución

• Supuestos

• Langrangiano

1R Conocida la envolvente de reserva base inicial

T Es un parámetro en la optimización y no una variable

T

t

T

ttttttttt RRqqCqpL

1 11)(

Solución del Langrangiano

0

tqttt

Cpq

L

tttt

qRRL

10

T

t

T

ttttttttt RRqqCqpL

1 11)(

tqt Cp

El valor óptimo de producción se produce cuando la utilidad marginalEs igual al costo marginal más un costo de depreciación del activo mineral

Definición de Mineral

• Mineral es todo aquel porción de un yacimiento minero que paga sus costos de producción y el costo de oportunidad

• Definición económica• Si embargo se debe

diseñar con una envolvente económica que pudiese contener material estéril en su interior Cuerpo Mineralizado

o Mena

Roca de Caja

Definición

• Criterio optimizante que pretende incorporar el costo de oportunidad tanto en la definición de la envolvente económica como en la definición de mineral en el tiempo

Enlazando la Teoría de Lane

• El óptimo de producción se produce en el punto donde la estrategia de producción paga los costos marginales y de oportunidad

tdT

dVV

**

Ley de corte marginal

ametalurgicón recuperaci

($/metal) metal del precio

($/metal) torefinamien costo

($/t) planta costo

($/t) mina costo

)(*

3

2

1

3

21

R

P

c

c

c

cPR

ccLc

P Lc

P Lc

Parámetros formulación algoritmo de Lane

Etapas del proceso Capacidad máxima Costos unitarios

Mina M m

Proceso H h

Mercado K k

f costos fijos $/añop precios $/metalgc Ley de corte %metalgm Ley media %metaly Recuperaciónd Costo de capital

tfxhmxygkpC )(

Flujo de caja

x, proporción de mineral con respecto al material removido

Formulación algoritmo de Lane

td

WCV

)1(

x, t C, flujo de caja

W

VValor Presente

tfxhmxygkpC )(

Flujo de caja

Sea V el valor máximo de los flujos de caja actualizado. W el valor máximo de los flujos de caja actualizados después de extraer Q

Si t es pequeño, entonces

tdd t 1)1(

(1)

(2)

(3)

Valor Remanente

x, proporción de mineral con respecto al material removido


tVdCWVv

tVdfxhmxygkpv )()(

Incremento marginal del VAN 3 en 2

Incremento marginal del VAN 4 en1

(4)

•Lo anterior representa el incremento marginal del VAN que conduce a maximizarlo siguiendo una estrategia determinada

•El parámetro dV representa el costo de oportunidad de postergar los flujos de caja futuros en el periodo t. Integrando el valor del dinero en el tiempo

•La formula anterior sin embargo considera un escenario económico constante en el tiempo


Incorporando las condiciones variables del mercado en la formula anterior

dT

dVVdF

tdT

dVVdfxhmxygkpv

)()(

• F: corresponde al costo de oportunidad.• Este costo se compone de dos partes

• El costo de asignar capital a un bien en vez de invertir en un bien alternativo (dV)• La variación de valor de este bien debido a condiciones variables en el mercado (-dV/dT)

Resolución de la formulación anterior

• El valor óptimo del VAN (V) es función de la ley de corte

• La ley de corte a través de v es función del valor óptimo del VAN (V)

• La manera de resolver este problema es a través de múltiples iteraciones asumiendo un valor V=0, en la primera iteración

Datos

• Costo mina 1.32$/t• Costo planta 3.41 $/t• Capacidad de mina 12 millones toneladas al año• Capacidad de tratamiento 3.9 millones

toneladas al año• Capacidad de venta 900 toneladas al año• Costos fijos 11.9 millones al año• Precio 60$/kg• Recuperación 87%• Costo de oportunidad 15.2 millones

Ley de corte una capacidad máxima mina

ykp

hg

Mt

m

)(

1

tdT

dVVdfxhmxygkpv

)()(

0

M

Ffxhmxygkpv

)()(

))(( cggfx

tkggm /07.087.0 60

41.3

0][ vNPVMax

Ley de corte una capacidad máxima planta

ykpHFf

hg

H

xt

h

)(

)()(

H

xFfxhmxygkpv

)()(

0][ vNPVMax

tkggh /2.00.87 60

9.3)2.159.11(41.3

Ley de corte una capacidad máxima mercado

yKFf

kp

hg

K

xygt

k

k

))(

(

H

xygFfxhmxygkpv

)()(

tkggk /13.0)0.879.0

)2.159.11(- 60(

41.3

Rajo Subterránea

Tomar en consideración que cuando se trata de una mina subterránea todo el costo de mina es considerado proceso ya que cada tonelada extraída se procesa por lo tanto h incluye el costo de mina

Ejemplo de aplicación

• Una mina mediana Plomo-Zinc con una capacidad de planta de 1.3 millones de toneladas/año

• El cuerpo mineralizado es potente, semi vertical y consistente en la corrida por varios kilómetros

• Método de explotación Sub Level Caving• El valor de plomo es secundario y se convierte la ley de

plomo a Zinc dividiendo por 2• Ley media Zinc equivalente 14%• Las recursos son estimadas de esta manera y el control

se realiza basada solamente utilizando Zinc equivalente• La dilución es del orden del 15% y la recuperación

minera del orden del 88%

Ejemplo de aplicación

• Existen dos tipos de leyes de corte– Aplicada a las paredes del caserón HW, FW.

Define el material a perforar– Aplicada en el punto de extracción definiendo

el punto de extracción óptimo

• El potencial valor del proyecto es 150M$, utilizando una tasa de descuento 15% antes de impuestos

Datos necesarios

Perforación y tronadura $/t 3.6Carguío $/t 1.5Transporte $/t 3.2Acarreo (pique) $/t 6.8Molienda $/t 11.4

Total $/t 26.5

Costos fijos $/año 15.3Capacidad de planta t/año 1.3Recuperación metallúrgica % 81Precio Zn $/conc. 650 Primer añoPrecio Zn $/conc. 750 luego

Seguros y transporte $/t ZN 35

Resolución

• Tonelaje modelado debe ser corregido por 1.15 y la ley por 0.88/1.15=0.77 de modo de simular la situación en la mina

• Sobre estos valores se deben calcular las leyes de corte

Resolución

$5.2215015.0 MF

VdF

ykpHFf

mhgh

)(

)()(

Cálculo de F para precios constantes

El cálculo de la ley de corte para una capacidad de planta fija

%6.9579

6.55

81.0)35750(3.1

)5.223.15()5.26(

hg

El cálculo de la ley de corte para HW y FW

Resolución

Perforación y tronadura $/t 3.6Carguío $/t 1.5Transporte $/t 3.2Acarreo (pique) $/t 6.8Molienda $/t 11.4

Total $/t 22.9

%0.9579

52

81.0)35750(3.1

)5.223.15()9.22(

hg

Ley de corte en los puntos de extracción. Perforación y tronadura es un costo incurrido

Los valores de leyes de corte son altos producto que el valor residual (150M$) es alto, es decir, la oportunidad es alta. Si estuviésemos al fin de la vida de la mina

%0.6579

7.34

81.0)35750(3.1

)3.15()9.22(

hg

Resolución

%0.481.0)35750(

)9.22(

mg

Mas aún si la planta está ociosa la ley de corte a utilizar es aquella limitada por la capacidad de la mina

Efecto del cambio de condiciones económicas o del mercado. Supongamos que el precio del concentrado disminuye a 650 $. El cambio de utilidad anual producto de la caída del precio es

$7.143.1*81.0*14.0*)35650(3.1*81.0*14.0*)35750( M

Resolución

$2.137)15.01(

7.14150 M

$8.12)2.137150( MdT

dV

$8.78.122.13715.0 MFdT

dVVdF

Valor presente del depósito a 650$

Valor presente al esperar un año para partir la explotación es 150 M$. Entonces

La ley de corte de los puntos de extracción es ahora

%2.8498

7.40

81.0)35650(3.1

)8.73.15()9.22(

hg

Producto de la baja de precios, la ley de corte debe bajar de modo de ser consecuente con el modelo económico

Tarea

• Resolver Jueves 12 de abril

• Repetir estimación de la envolvente económica utilizando el concepto de Lane suponiendo una capacidad de planta constante

Política de Leyes de Corte

Método iterativo para la optimización del VAN

New

Active

T, $

Closed dptst, $, gi

Remaining ValueVi

• Abrir nuevos recursos• Calcular reservas utilizando leyes de corte• Cerrar reservas que no pagan ley de corte• Simular la extracción del periodo• Calcular el valor remanente del depósito• Pasar al próximo periodo del plan • Al final calcular vector de costos de

oportunidad• Adherir costos de oportunidad a la

estructura de costos• Repetir el programa de producción

Iteración 1

Step Current tons $Value Cu Used-new Revenue Profit Wt Oct

1 183,050 15.9 1.996 3 2,919,365 2,919,365 10,730,724 5.862 183,050 16.0 1.997 0 2,921,512 2,921,512 8,882,285 4.853 183,050 7.6 1.300 0 1,391,415 1,391,415 8,379,099 4.584 183,050 2.5 0.877 1 462,398 462,398 8,754,610 4.785 183,050 5.8 1.153 1 1,067,322 1,067,322 8,562,749 4.686 183,050 7.9 1.327 1 1,451,375 1,451,375 7,967,649 4.357 183,050 7.5 1.288 0 1,364,235 1,364,235 7,400,179 4.048 183,050 4.4 1.030 0 799,055 799,055 7,341,142 4.019 183,050 3.0 0.913 0 540,757 540,757 7,534,498 4.1210 183,050 5.1 1.092 2 934,640 934,640 7,353,308 4.0211 183,050 7.8 1.318 0 1,430,197 1,430,197 6,658,442 3.6412 270,000 14.48159 1.873 2 3,910,029 3,910,029 3,414,257 1.8713 270,000 11.1 1.6 0 2,991,085 2,991,085 764,598 0.4214 230,494 2.844505 0.904 0 655,643 655,643 185,415 0.1015 81,625 2.49869 0.875 0 203,957 203,957 0 0.00

a 0.1DV 0Cap 183,050NPV 12,409,171Net DV costs $6.00

Iteración 2


1 183,050 15.9 1.996 3 2,919,365 2,919,365 11,816,720 6.462 183,050 16.0 1.997 0 2,921,512 2,921,512 10,076,881 5.503 183,050 12.8 1.734 2 2,343,786 2,343,786 8,740,783 4.784 183,050 7.9 1.327 1 1,451,375 1,451,375 8,163,486 4.465 183,050 7.5 1.292 0 1,374,377 1,374,377 7,605,457 4.156 183,050 7.5 1.293 1 1,375,122 1,375,122 6,990,881 3.827 183,050 10.2 1.520 1 1,874,756 1,874,756 5,815,213 3.188 183,050 13.9 1.825 1 2,543,706 2,543,706 3,853,028 2.109 183,050 15.9 1.993 1 2,913,460 2,913,460 1,324,871 0.72

10 74,355 19.6 2.300 0 1,457,358 1,457,358 0 0.001,721,805 1.692 0 0 0 0 0.00


Iteración 4


1 183,050 15.9 1.996 3 2,919,365 2,919,365 12,119,382 6.622 183,050 16.0 1.997 0 2,921,512 2,921,512 10,409,809 5.693 183,050 12.8 1.734 2 2,343,786 2,343,786 9,107,003 4.984 183,050 7.9 1.327 1 1,451,375 1,451,375 8,566,328 4.685 183,050 7.5 1.292 0 1,374,377 1,374,377 8,048,584 4.406 183,050 7.5 1.293 1 1,375,122 1,375,122 7,478,320 4.097 183,050 10.2 1.520 1 1,874,756 1,874,756 6,351,396 3.478 183,050 13.9 1.825 1 2,543,706 2,543,706 4,442,830 2.439 183,050 10.3 1.528 0 1,892,513 1,892,513 2,994,600 1.6410 170,790 11.1 1.594 1 1,901,043 1,901,043 1,393,016 0.7611 115,680 11.2 1.600 0 1,294,969 1,294,969 237,349 0.1312 74,612 2.799999 0.900 0 208,914 208,914 52,170 0.0313 20,495 2.8 0.9 0 57,387 57,387 0 0.00

2,029,028 1.577 0 0 0 0 0.000 0 0 0 0.00


Extracción de recursos basados en políticas de leyes de corte

0

2

4

6

8

10

12

E1N1 E2N1 E3N1 E4N1 E5N1 E6N1 E7N1 E8N1 E9N1 E10N1

Draw Point Sequence

HO

D-S

lice

s

Scheduling_OC Reserves_OC BHOD

13.7M$

14.7M$

11.9M$

Costo de oportunidad para distintas iteraciones

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Period #

Op

po

rtu

nit

y C

ost

($/

t)

OC_1 OC_2 OC_3 OC_4

Optimum Shut Off

Value Policy

Programas de producción resultantes

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Period #

Gra

de-

Sch

edu

led

%C

u

Grades Cu_1 Grades Cu_2 Grades Cu_3 Grades Cu_4

Múltiples iteraciones y su influencia en el programa de producción

Incorporación del componente dV/dT

Vt Wt dV dV/dT Oct

12,721,023 12,474,513 1,272,102 -246,510 8.309,979,814 10,051,010 997,981 71,196 5.068,103,285 8,181,601 810,328 78,316 4.007,024,005 7,565,354 702,401 541,348 0.886,310,133 6,905,616 631,013 595,483 0.195,808,757 6,863,295 580,876 1,054,538 -2.596,048,845 7,208,837 604,885 1,159,991 -3.036,661,790 8,070,175 666,179 1,408,385 -4.057,723,333 9,272,557 772,333 1,549,223 -4.247,877,226 8,920,520 787,723 1,043,294 -1.407,389,207 8,536,830 738,921 1,147,623 -2.234,460,392 4,807,741 446,039 347,349 0.541,335,172 1,335,172 133,517 0 0.73364,283 364,283 36,428 0 0.20

0 0 0 0 0.00

Evalúa recursos remanentes utilizando precios del periodo t+1

Efecto de variación de precios en una política de leyes de

corte

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Period #

Rev

enu

e F

acto

r $/

%C

u

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Gra

de-

%C

u

Revenue Factor

OC(without -dV/dt)_Grade

OC(with -dV/dT)-Grade

Ejercicios

• Suponga que la función de costo está dad por

• Y el precio está dado por

• Obtenga una relación para el costo de oportunidad en el tiempo. Explique

2)( bqaqC

pPt

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