04 Matrices

7/25/2019 04 Matrices

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MATEMATICA I. Ejercicios propuestos. MATRICES.

Dondequiera que haya un número está la

belleza.Proclo.

CAPÍTULO

4.

MATRICES.

4.1.- OPERACIONES CON MATRICES.

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.

1.

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"1#

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x x x x

x x x x

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x x

x x

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1

x x

x x

x x

x x

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1" A , determine-

a* I A A $$" +− * I A A &"

" −+

c* I A −" d* I A A "'

"

+−

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%&

"1 A y

−

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1" B , encuentre-

a* "*+ B A+ * "" " B B A A ++

c* *+*+ B A B A −×+ d* "" B A −

1$. /adas

−

=1

1

q

p A y

−−

=1"

11 B , determine p y q para que-

a*"""*+ B A B A +=+ *

""*+*+ B A B A B A −=−×+

/etermine los 0alores de las 0ariales para las cuales las ecuaciones matriciales siuientes

son 02lidas.

1!.

−

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−1%

"

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t

z y

x

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z v

v

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11

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11

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x

yvu

vw

vu

z

t

y

x

4.2.- SISTEMAS DE ECUACIONES.

Resuel0a el sistema dado +si la soluci3n e4iste* usando el m5todo de reducci3n de

renlones.

"%.

=+=+

&"&

1"

x y

y x"'.

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q p

q p

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z y x

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z y x

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&&"

&&"

1

w z y

w z x

w y x

z y x

4.3.- MATRIZ INVERSA.

En los prolemas siuientes encuentre la in0ersa de la matri6 dada.

&1.

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"1#&

#111

1111

%&1"

Para la matri6 M que se indica, encontrar 1− M y mostrar que I M M =× −1 . Si la in0ersa

no e4iste, escriirlo.

&)

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&$.

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#1#

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M &!.

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#11

11"

M %".

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1#1

1"#

#11

M

Resuel0a los siuientes sistemas de ecuaciones determinando la in0ersa de la matri6 de

coeficientes.

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"1

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x x

x x%%.

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=−+

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r q p

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r q p

r q p

r q p

4.4.- DETERMINANTES.

Calcule los determinantes siuientes.

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x x

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/etermine x en cada caso.

%#

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(#. )'"

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x(1. &

1

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+

x x

x'". &

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+

− x x x

x x

(&. 1

#1#

"

"1" =

+ x x

x x

Por medio de la rela de Cramer resuel0a los sistemas de ecuaciones siuientes.

(%.

−=+=−1&$&

!'"

x y

z y('.

=−=− x y

y x

&*1+%

'*+"((.

+=+= x y

y x

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=+

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"

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vu

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=−+=+−

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z y x

z y x

z y x

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z y x

z y x

z y x

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=+−=−=+

1""%&

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wvu

wu

wv

$1.

=+−=+=−

1"'&

)&

'"

r q p

q p

r p

a* Encuentre la matri6 de cofactores para cada una de las siuientes matrices. * Encuentre

los determinantes de las matrices siuientes empleando el m5todo del desarrollo de

cofactores.

$".

− −("

'& $&.

− −'%

"& $%.

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11"

$'.

"1"

#1#

%"%

/etermine la in0ersa de las siuientes matrices, usando el m5todo de la matri6 de

cofactores.

$(.

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4.5.- APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES.

!&. +Costos de suministros* 7n contratista calcula que los costos +en ol80ares* de adquirir

y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes

localidades est2n dados por las matrices siuientes +una matri6 por cada localidad*.

Concreto Madera Acero

A 9

"# &' "' Costos de material

! 1# (Costos de

transportaci3n


: 9

"" &( "% Costos de material

) ) ! Costos de

transportaci3n


C 91! &" "( Costos de material11 ! ' Costos de

transportaci3n

Escria la matri6 que representa los costos totales de material y de transportaci3n por

unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.

!%. El in0entario +en alones* de una peque;a tienda de pinturas al inicio de una semana

est2 dado por la matri6 A.

<ero :lanco Rojo

A 9!# $" %'

'# '! (#

Sus 0entas durante la semana est2n dadas por la matri6 :.

<ero :lanco Rojo

%"

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: 9(' $# &)

"$ %$ &'

Escria el in0entario al t5rmino de la semana.!'. +Comercio internacional* El comercio entre tres pa8ses I, II y III durante 1)!( +en

millones de d3lares estadounidenses* est2 dado por la matri6 => ia A = , en donde ia

representa las e4portaciones del pa8s i al pa8s .

=

#1%"1

1!#1$

"#1(#

A

El comercio entre estos tres pa8ses durante el a;o 1)!$ +en millones de d3lares

estadounidenses* est2 dado por la matri6 :.

=

#1("%

"##1!

1)1$#

B

a* Escria una matri6 que represente el comercio total entre los tres pa8ses en el periodo de

dos a;os, 1)!( y 1)!$.

* si en 1)!( y 1)!$, 1 d3lar estadounidense equi0al8a a ' d3lares de ?on @on, escria la

matri6 que representa el comercio total durante los " a;os en d3lares de ?on @on.

!(. +Matri6 de producci3n* 7na empresa produce dos tipos de caf5 en tres tama;os

distintos. a producci3n +en miles de unidades* en su planta de la localidad A est2 dado por-

Tama;o 1 Tama;o " Tama;o &

Tipo 1 "# "! &#

Tipo " 1( "" "#

Mientras que la producci3n +en miles* en su planta de la localidad : est2 dada por-

Tama;o 1 Tama;o " Tama;o &Tipo 1 &# %# &(

Tipo " "% "# "!

a* Escria la matri6 que represente la producci3n total de amas plantas.

%&

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* El erente de la empresa planea arir una tercera planta en una localidad C, la cual

tendr8a una capacidad de "#B m2s que la locali6ada en :. Escria una matri6 que

represente la producci3n en la localidad C.

c* Cu2l ser2 la producci3n total en las tres localidadesD

!$. +Matrices de producci3n* 7na empresa produce tres tama;os de cintas

manetof3nicass en dos calidades diferentes. a producci3n +en miles* en su planta de

alencia est2 dada por la matri6 siuiente-


Calidad 1 "$ &( &#

Calidad " 1! "( "1

a producci3n +en miles* en su planta de Maracay est2 dada por la matri6 siuiente-


Calidad 1 &" %# &'

Calidad " "' &! %#

a* Escria una matri6 que represente la producci3n total de cintas en amas plantas.

* El due;o de la empresa planea arir una tercera planta en Caracas, la cual tendr2 una 0e6

y media la capacidad de la planta en 0alencia. Escria la matri6 que representa la

producci3n en la planta de Caracas.

c* Cu2l ser2 la producci3n total de las tres plantasD

!!. Cer0ecer8a FRG posee una planta uicada en :arquisimeto, la cual posee la producci3n

siuiente-

:otellas Tipo Pilsen- &# Tipo iHt- "#

atas Tipo Pilsen- %# Tipo iHt- &#

Sif3n Tipo Pilsen- 1# Tipo iHt- "#

a producci3n est2 e4presada en miles de litros. a /irecti0a planea arir una nue0a planta

en Matur8n, con una producci3n que e4ceda a la de :arquisimeto en un &'B. Calcular-

a* a capacidad por rei3n de la planta de Matur8n.

* a capacidad total de las dos plantas.

%%

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!). +Matrices de producci3n* 7n faricante de 6apatos los produce de color nero, lanco

y caf5 para ni;os, damas y caalleros. a capacidad de producci3n +en miles de pares* en la

planta de Ciudad :ol80ar est2 dada por la matri6 siuiente-

?omre Mujeres <i;os

<ero &# &% "#

Caf5 %' "# 1(

:lanco 1% "( "'

a producci3n en la planta de San 5li4 est2 dada por-

?omre Mujeres <i;os

<ero &' &# "(

Caf5 '" "' 1!

:lanco "& "% &"

a* /etermine la representaci3n matricial de la producci3n total de cada tipo de 6apato en

amas plantas.

* Si la producci3n en Ciudad :ol80ar se incrementa en un '#B y la de San 5li4 en un

"'B, encuentre la matri6 que representa la nue0a producci3n total de cada tipo de cal6ado.

c* Cu2l es la producci3n total de 6apatos lancos para mujeresD

)#. 7na f2rica de 6apatos uicada en Caracas posee la siuiente matri6 de producci3n

+paresJmes*-

Marr3n Kris <ero

Sandalias 1### 1'## 11##

Lapatos 1'## "### &###

:otas '## 1## !##

Se piensa arir dos nue0as plantas, una uicada en Maracaio con una producci3n que

e4ceda en 1'.'B a la de Caracas, y otra en :arcelona con una capacidad del $'B de la de

Caracas. Calcular-

a* as matrices de producci3n de Maracaio y :arcelona.

* a matri6 producci3n total de las & plantas.

%'

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)1. 7n comerciante de tele0isores a color tiene cinco tele0isores de "( puladas, cuatro de

1! puladas y die6 de 1" puladas. os tele0isores de "( puladas se 0enden en :s ('#

cada uno, los de "# puladas en :s ''# cada uno, los tele0isores de 1! puladas en :s &##

cada uno. E4prese el precio de 0enta total de su e4istencia de tele0isores como el producto

de dos matrices.

)". +Costos de materias primas* 7na empresa usa cuatro diferentes materias primas M 1,

M", M& y M% en la elaoraci3n de su producto. El número de unidades de M1, M", M& y M%

usadas por unidad del producto son %, &, " y ' respecti0amente. El costo por unidad de las

cuatro materias primas es de :s ', :s $, :s ( y :s &, respecti0amente. E4prese el costo

total de las materias primas por unidad del producto como el producto de dos matrices.

)&. +Costo de adquisiciones* 7na empresa de consultor8a tiene oficinas en :arcelona y

Caracas. a primera tiene ' sillas, $ escritorios y % m2quinas de escriir. a oficina en

Caracas posee 1" sillas, 1( escritorios y ! m2quinas de escriir. Si las sillas tienen un costo

de :s 1# cada una, las mesas de :s 1' y las m2quinas de escriir :s "## cada una, e4prese

las cantidades totales astadas en estos art8culos en las dos oficinas en t5rminos de

productos de matrices.

)%. +Tarifas de contratistas* 7na peque;a empresa constructora cora :s ( la Hora por un

cami3n sin conductor, a :s "# la Hora por un tractor sin conductor y a :s &# la Hora por cada conductor. a empresa utili6a la matri6 A para di0ersos tipos de traajo.

I II III I

A9

1 1 1 " Cami3n

" # 1 1 Tractor

& 1 & % Conductor

a* Si P es la matri6 de precios que fija la empresa, con [ ]1#"#(= ! , determine el

producto A ! × e interprete sus elementos.

* Supona que en un peque;o proyecto la empresa utili63 "# Horas del tipo I y &# Horas

del traajo del tipo II. Si S denota la matri6 de oferta-

%(

7/25/2019 04 Matrices



=

#

#

&#

"#

"

/etermine e interprete los elementos de " A× .

)'. +Costos de suministros* 7n contratista puede adquirir las cantidades requeridas de

madera, ladrillos, concreto, 0idrio y pintura de cualesquiera tres pro0eedores. os precios

que cada pro0eedor fija a cada unidad de estos cinco materiales est2n dados en la matri6 A.

=

'1(')

'"'%)

%"$'!

A

En esta matri6, cada renl3n se refiere a un pro0eedor y las columnas a los materiales. El

contratista tiene la pol8tica de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier ora

particular al mismo pro0eedor a fin de minimi6ar los costos de transportaci3n. ?ay tres

oras en construcci3n actualmente- la ora I requiere "# unidades de madera, % de ladrillo,

' de concreto, & de 0idrio y & de pintura, la ora II requiere 1', #, !, ! y " unidades

respecti0amente y la ora III requiere &#, 1#, "#, 1# y 1" unidades, respecti0amente.

/ispona de esta informaci3n en una matri6 : 'N& y forme la matri6 producto B A× .

Interprete los elementos de este producto y úselos con el prop3sito de decidir cu2l pro0eedor deer8a usar en cada ora.

)(. 7na compa;8a elaora tres productos, cada uno de los cuales requiere de determinada

cantidad de materia prima y mano de ora. En la matri6 R se resumen las necesidades por

unidad de cada producto.

Materia prima 1 Materia prima " Materia prima & Mano de ora

" % ' ' Producto A

R 9 & " & ! Producto :

1 & ' % Producto C

as necesidades de materia prima se estalecen en liras por unidad, y las necesidades de

mano de ora, en Horas por unidad. os costos de los tres tipos de materias son ", & y 1.'

%$

7/25/2019 04 Matrices



ol80ares por lira respecti0amente. os costos por mano de ora, son de ' ol80ares por

Hora. Sup3nase que se 0an a producir '##, 1### y %## unidades de los productos A, : y C.

a* Efectúe una multiplicaci3n matricial con la que se calculen las cantidades totales de los

cuatro recursos que se requieran para elaorar los productos A, : y C.

* Calcule el costo total cominado de producci3n.

Sistemas e e!"a!i#$es.

7tilice el m5todo- a* Reducci3n de renlones * Cramer y c* In0ersa de matri6 de

coeficientes para resol0er los prolemas siuientes.

)$. +Punto de equilirio del mercado* a ecuaci3n de demanda de cierto producto es

"'" =+ x p y la ecuaci3n de la oferta es '& =− x p , en donde p es el precio y x es la

cantidad demandada o suministrada seún sea el caso. Calcule los 0alores de x y p en el

punto de equilirio del mercado.

)!. +Punto de equilirio del mercado* as ecuaciones de la demanda y la oferta de cierto

art8culo son "##'& =+ x p y '(&$ =− x p , respecti0amente. /etermine los 0alores de x

y p en el punto de equilirio del mercado.

)). as ecuaciones de demanda y oferta de cierto art8culo son '" =+ x p y 11"& =− x p

respecti0amente. /etermine los 0alores de x y p en el punto de equilirio del mercado.

1##. +Asinaci3n de maquinarias* 7na empresa produce tres productos A, : y C los que procesa en tres m2quinas. El tiempo +en Horas* requerido para procesar una unidad de cada

producto por las tres m2quinas est2 dado por-

A : C

M2quina I & 1 "

M2quina II 1 " %

M2quina III " 1 1

Se dispone de la m2quina I por !'# Horas, la II por 1"## Horas y la III por ''# Horas.

Cu2ntas unidades de cada producto deer8an producirse con ojeto de emplear todo el

tiempo disponile de las m2quinasD

M#e%# I$s"m# & P'#"!t#.

1#1. a tala siuiente da la interacci3n entre dos sectores de una econom8a Hipot5tica

%!

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Industria I Industria II/emandas

finales

Producci3n

total

Industria I "# '( "% 1##

Industria II '# ! "" !#

Insumos primarios

&# 1(

a* Encuentre la matri6 insumo O producto A.

* Si en ' a;os las demandas finales camian a $% ene l caso de la industria I y a &$ para la

industria II, cu2nto deer2 producir cada industria a fin de satisfacer esta demanda

proyectadaD

1#". a interacci3n entre los dos sectores de una econom8a Hipot5tica est2n dados en latala

Aricultura:ienes

manufacturados

/emandas

finales

Producci3n

total

Aricultura "%# "$# )# (##

:ienes

manufacturados&## )# (# %'#

Mano de ora (# )#

a* Encuentre la matri6 de insumo O producto A.

* Supona que en & a;os la demanda de productos ar8colas decrece a (& unidades y se

incrementa a 1#' unidades para ienes manufacturados. /etermine el nue0o 0ector de

producci3n que satisfaa estas nue0as demandas.

c* Cu2les son los nue0os requerimientos de mano de ora para cada sectorD

1#&. a tala da la interacci3n entre dos sectores de una econom8a Hipot5tica.

P /emandas

finales

Producci3n

total

P (# $' (' "##

!# &# %# 1'#

Mano de

ora(# %'

%)

7/25/2019 04 Matrices



a* /etermine la matri6 de insumo O producto A.

* Encuentre la matri6 de producci3n si las demandas finales camian a 1#% en el caso de P

y a 1$" para .

c* Cu2les son los nue0os requerimientos de mano de oraD

1#%. a interacci3n entre dos industrias P y que interan una econom8a Hipot5tica est2n

dadas en la tala (.

Industria P Industria

/emanda

del

consumidor

Producci3n

total

Industria P %( &%" $" %(#

Industria &"" 11% 1&% '$#

Mano de

ora)" 11%

a* Encuentre la matri6 insumo O producto A.

* /etermine la matri6 de producci3n si las demandas de los consumidores camian a 1")

en el caso de P y a "1% por lo que respecta a .

c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de mano de ora para las dos industriasD

1#'. En la tala aparece la interacci3n entre los di0ersos sectores de una econom8a

Hipot5tica.


finales

Producci3n

total

Industria I ! '" "# !#

Industria II '( "( %! 1&#

Insumos

primarios1( '"

a* /etermine la matri6 insumo O producto A.

* Supona que en " a;os las demandas finales camian a '! unidades en el caso de la

industria I y a $) para la industria II. Cu2nto deer8a producir cada industria a fin de

satisfacer estas demandas proyectadasD

'#

7/25/2019 04 Matrices



c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de insumos primarios de las dos industrias en "

a;osD

1#(. a interacci3n en di0ersos factores de una econom8a Hipot5tica est2 dada en la tala

siuiente.


finales

Producci3n

total

Industria I 1"# &!% )( (##

Industria II %"# "!! "'" )(#

Insumos primarios

(# "!!

a* Qtena la matri6 insumo producto A. * Supona que en ' a;os las demandas finales camian a 1%# unidades en el caso de la

industria I y a "!$ para la industria II. Cu2nto deer2 producir cada industria con ojeto de

satisfacer las demandas proyectadasD

c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de insumos primarios de las dos industrias en '

a;osD

1#$. a tala da la interacci3n entre tres sectores de una econom8a Hipot5tica.

Industria I Industria II Industria III

/emandas

finales

Producci3n

total

Industria I "# %# &# 1# 1##

Industria II &# "# )# (# "##

Industria III %# 1## (# 1## &##

Insumos primarios

1# %# 1"#

a* /etermine la matri6 insumo O producto.

* Supona que en ' a;os las demandas finales camian a 1'#, "!# y %"# para las

industrias I, II y III respecti0amente. Cu2nto deer2 producir cada industria a fin de

satisfacer las demandas proyectadasD

c* Cu2les ser2n los nue0os requerimientos de insumos primarios para las tres industrias en

' a;osD

'1

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1#!. a interacci3n entre tres industrias que interan una econom8a Hipot5tica est2n dadas

en la siuiente tala.

Industria I Industria II Industria III /emandasdel

consumidor

Producci3ntotal

Industria I 1( &# "# 1% !#

Industria II &" 1' !# "& 1'#

Industria III "% $' %# (1 "##

Insumos de

mano deora

! &# (#

a* Cu2l es la matri6 insumo O producto AD

* Supona que en & a;os el consumo de la demanda cami3 a "# unidades en el caso de la

industria I, a '# para la industria II y a $# en el caso de la industria III, cu2nto deer8a

producir cada industria dentro de & a;os a fin de satisfacer esta demanda proyectadaD

c* Cu2les son los nue0os requerimientos de insumos en mano de ora para las tres

industrias en el lapso de & a;osD

1#). a interacci3n entre tres industrias A, : y C est2 dada por la tala siuiente.

Industria A Industria : Industria C /emandasfinales

Producci3ntotal

Industria A (# 1( !# %% "##

Industria : (# %! "# &" 1(#

Industria C %# &" (# (! "##

Insumos primarios

%# (% %#

a* /etermine la matri6 insumo O producto A.

* Si las demandas finales camian a '#, (# y !# unidades para los productos A, : y Crespecti0amente, cu2les ser2n los ni0eles de producci3n requeridos con ojeto de

satisfacer estas nue0as demandasD

11#. a interacci3n entre los tres sectores de una econom8a son las siuientes.

'"

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Industria

Primaria

Industria

SecundariaAricultura

/emandas

finales

Producci3n

total

Industria

Primari% 1" & 1 "#

IndustriaSecundari

! ) ( $ &#

Aricultura " & & $ 1'

Insumos primarios

( ( &

a* /etermine la matri6 insumo O producto.

* Si las demandas finales con respecto a los productos industriales secundarios se

incrementan a 1# unidades, determine los nue0os ni0eles de producci3n para los & sectores.

c* Si la demanda final en el caso de los productos industriales primarios cae a cero, calcule

los nue0os ni0eles de producci3n de los tres sectores.

'&

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