04 Hidro Cap IV Hidrologia Estadistica Has

Hidrologa Hernn ALCAYAGA

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Programa 1er semestre 2015

Capitulo IV:

Hidrologa Estadstica

Creo que nuestro clculo estadstico no fue

correcto!!!!

CAPITULO IV: HIDROLOGIA ESTADISTICA

INTRODUCCION: Conceptos de probabilidades en hidrologa

Algunos procesos hidrolgicos pueden ser predecibles y su comportamiento puede ser explicado mediante relaciones matemticas basado en leyes fsicas.

Dentro de ellos algunos contienen una parte determinstica (a travs de una ley fsica, generalmente de la mecnica) y otra parte aleatoria.

Otros procesos no contienen ninguna parte determinstica, es decir son completamente aleatorios. Estos slo pueden ser explicado mediante anlisis estadsticos.

Los procesos que slo pueden ser analizados mediante probabilidades se les llama procesos estocsticos.

En este ltimo caso se encuentran los eventos hidrolgicos extremos: caudales de crecidas y sequias y, en general los fenmenos de precipitacin (lluvias).

En estos procesos la variable temporal no est correlacionada: registros adyacentes no pueden explicar eventos anteriores o posteriores, es decir son independientes.

CAPITULO IV: HIDROLOGIA ESTADISTICA

INTRODUCCION: Conceptos de probabilidades en hidrologa

Variable aleatoria

Llamamos variable aleatoria X a aquella que puede tomar valores x1, ..., xi, , xn con las probabilidades p1, ..., pi, , pn (smbolo de variable aleatoria ser v.a.).

Caso discreto - caso continuo:

Se dice que una v.a. es discreta cuando ella puede solamente tomar un nmero finito de valores de valores.

Se dice que una v.a. es continua cuando ella puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo finito o infinito.

Para la v.a. continua, definimos la probabilidad elemental: probabilidad para la cual X est comprendida entre x y x+dx, la cual denotamos como f(x)dx. Al smbolo f(x) la llamaremos densidad de probabilidades.

La probabilidad que x est comprendida dentro del intervalo (x1, x2) es denotada como :

Para que f(x) represente verdaderamente una densidad de probabilidades, se deber cumplir que el valor de la integral extendida a todo el intervalo de variaciones posibles de x sea igual a 1. Supondremos en lo que sigue que la v.a. puede tomar todos los valores posibles desde - a +, sin considerar que esto es una condicin restrictiva.

Descripcion de muestras y variables aleatorias

Variable aleatoria: Corresponde a una variable (en nuestro caso: algo mesurable no constante para el periodo de anlisis) que puede tomar cualquier valor dentro de un dominio definido.

Muestra: es el conjunto de observacin de la variable aleatoria.

Poblacin: El conjunto de muestras forma una poblacin infinita que posee propiedades estadsticas constantes.

Espacio muestral: es el conjunto de todas las muestras posibles.

Evento: Subconjunto de un espacio muestral.

Los registros de variables meteorolgicas e hidrolgicas realizadas en estaciones de dominio publico o privado, nos permiten caracterizar los regmenes de precipitaciones y caudales (que finalmente son los que les interesan a los ingenieros)

Las series de tiempo (son solo muestras, aunque abarquen grandes periodos), son caracterizadas mediantes parmetros estadsticos o estadgrafos , los cuales permiten tener una idea del orden de magnitud de la variable.

Probabilidad de ocurrencia de un evento: es la probabilidad de que un evento (na) ocurra, cuando se hace una observacin (n), de la variable aleatoria. En este caso la frecuencia relativa de A es na /n. A medida que el tamao de la muestra aumenta la frecuencia relativa se acerca progresivamente a una estimacin ms aproximada de la probabilidad de ocurrencia del evento.

= lim

Descripcin de muestras y variables aleatorias

Principio bsicos de probabilidades:

a) Probabilidad total: SI el espacio muestral es est completamente dividido en m eventos o reas que no se superponen: A1, A2, A3, , Am, entonces se puede deducir que:

P(A1) + P(A2) + P(A3)+ + P(Am) = P() = 1

b) Complementariedad: Si A es complemento de A, entonces A = - A, por lo tanto:

P(A) = 1 - P(A)

c) Probabilidad condicional:

/ =( )

()


Frecuencia muestreo:

Decimos que un evento es favorable cuando l responde (cuanto toma, o alcanza) un valor que esperbamos, el cual habamos fijado antes (de manera arbitraria o no) de la prueba. Por ejemplo, en un anlisis de caudales en un ro, si estamos interesados en caudales superiores a 1000 m3/s, todo caudal que cumpla esta condicin ser un evento favorable.

Si disponemos de un muestreo de N eventos, obtenidos o por pruebas, o por observaciones realizadas a intervalos de tiempo regulares de un fenmeno natural, l puede contener n eventos favorables, es decir estos coinciden con el evento esperado. Por ejemplo, sobre un muestreo de 30 caudales medios anuales, encontramos que 5 son superiores a 1000 m3/s. Llamaremos frecuencia experimental, o simplemente frecuencia el cociente F=n/N , aqu 1/6 (1 una muestra de cada 6 supera los 1000 m3/s).

Ahora supongamos que contamos con otro muestra de 30 caudales observados en la misma estacin (decimos -en estadstica- que la muestra ha sido tomada de la misma poblacin). Encontraremos para los 1000 m3/s, una frecuencia experimental probablemente diferente, y ocurrir lo mismo para otros muestreos u observaciones que realizamos para en la misma estacin para otros 30 caudales (la frecuencia no ser la misma, pero ser cercana).


Parmetros estadsticos:

La estadstica nos permite contar con un numero indicadores que nos indiquen el comportamiento de un conjunto muy grandes de datos (observaciones), entonces un parmetro estadstico nos indica alguna caracterstica de la poblacin.

El valor esperado de una variable aleatoria es un parmetro estadstico que se conoce como media . Para una variable aleatoria X la media es E(X) y se calcula como el valor de x multiplicando por la funcin de densidad de

probabilidades f(x), integrando sobre el rango factible de la variable aleatoria: = =

,

este valor se conoce como el primer momento al rededor del origen de la variable aleatoria, es una mediada del punto medio de la tendencia central. La estimacin de la media de una muestra se denota por , y se

calcula como: =

=

La variabilidad de la media es caracterizado por la varianza 2,que corresponde al segundo momento alrededor

de la media: = =

, el valor de la varianza s para una muestra se calcula:

=

= , n-1 se utiliza para asegura que la estadstica no esta sesgada.

La simetra de una distribucin alrededor de una media se mide utilizando la asimetra u oblicuidad, que

corresponde al tercer momento al rededor de la media: =

, la asimetra

comnmente se denota con el coeficiente de asimetra: =1

3 3 una estimacin del coeficiente de

asimetra es: =

=

Tratamientos estadsticos las variables

Hemos visto que el registro de precipitaciones se realiza mediante fluvigrafos, pluvimetros, radares (estaciones hidromtricas y/o meteorolgicas) y satlites.

En la gran mayores de las situaciones no dispondremos de nuestros propios instrumentos, adems, si los tuviramos estos no tendras largos periodos (series de tiempo) para el diseo de obras.

En chile existen las Redes Hidrometeorolgicas que corresponden a sistemas organizados de estaciones que permiten recolectar datos de precipitaciones (y otros parmetros meteorolgicos).

Las estaciones hidromtricas y/o meteorolgicas con coberturas ms extensas (tiempo y espacial), son controladas por organismos estatales: DGA y DMC.

Otras redes mas reducidas (tiempo y espacio) corresponden a son empresas generadoras de energa elctrica, compaas mineras, Forestales y Universidades.

Tratamientos estadsticos datos AO COLINA LAG. MALLECO AO COLINA LAG. MALLECO1929 55 # 1966 46 283,4

1930 61 # 1967 29 112

1931 46 # 1968 18 96,8

1932 52 # 1969 27 117,9

1933 26 # 1970 52 72,1

1934 73 # 1971 69 92

1935 45 # 1972 58 50

1936 33 # 1973 27 11

1937 37 # 1974 57 56

1938 36 # 1975 31 59

1939 44 # 1976 26 80

1940 56 # 1977 33 65

1941 66 # 1978 52 101,5

1942 46 # 1979 63 113,5

1943 25 # 1980 31 126

1944 51 # 1981 86 201

1945 53 # 1982 61 109

1946 29 # 1983 & 106

1947 39 # 1984 & 141

1948 49 # 1985 & 122

1949 55 # 1986 & 153

1950 62 # 1987 & 108

1951 34 # 1988 & 110

1952 43 # 1989 & 99

1953 76 # 1990 & 96

1954 41 # 1991 & 110

1955 21 # 1992 & 136

1956 44 81 1993 & 110

1957 59 170 1994 & 85

1958 46 150 1995 & 89

1959 46 135 1996 & 98

1960 39 134 1997 & 143

1961 21 145 1998 & 70

1962 60 150 1999 & 98

1963 59 153,5 2000 & 73

1964 34 156,9 2001 & 100,5

1965 51 188,3 2002 & 200

2003 & 82

Precipitaciones Max. anuales en 24 Hrs. Precipitaciones Max. anuales en 24 Hrs.

Tratamientos estadsticos de los datos (lluvias): Histograma de frecuencias

10 50 90 130 170 210 250 290

Un histograma es una representacin discreta de la distribucin frecuencial de una poblacin

Para confeccionar un histograma debemos elegir primero los valores de las clases (rangos): Una regla para elegir el numero de intervalos de clases es: N=1+3,3*log(n); donde N: es el nmero de intervalos y n el tamao de la muestra. e.g.: n=48 -> N=6,55=7 intervalos

Elegimos el punto de partida (11) de tal forma de obtener anchos iguales: rango/N = (11-283,4)/7= 38,9(=40)

Podemos observar que las PP max anuales en 24 hrs mas frecuentes son del orden de las 91-130 mm

1966 283,4

1981 201

2002 200

1965 188,3

1957 170

1964 156,9

1963 153,5

1986 153

1958 150

1962 150

1961 145

1997 143

1984 141

1992 136

1959 135

1960 134

1980 126

1985 122

1969 117,9

1979 113,5

1967 112

1988 110

1991 110

1993 110

1982 109

1987 108

1983 106

1978 101,5

2001 100,5

1989 99

1996 98

1999 98

1968 96,8

1990 96

1971 92

1995 89

1994 85

2003 82

1956 81

1976 80

2000 73

1970 72,1

1998 70

1977 65

1975 59

1974 56

1972 50

1973 11

Frecuencia Frec. Accu. %

10 50 2 4,2

51 90 11 27,1

91 130 19 66,7

131 170 12 91,7

171 210 3 97,9

211 250 0 97,9

251 290 1 100,0

Rango

Frec. Relativa= 2/48; 11/48; 19/48.

Frec. Accu. % (91-130)= (2+11+19)/48 = 66,7%

Existe probabilidad de un 27% de que la PP max anual de 24 hrs. de L. Malleco sea inferior a 90 mm; un 67% inferior a 130 mm y un 98% inferior a 250 mm.

Tratamientos estadsticos de los datos (lluvias): Frecuencia acumulada e interpolacin

Existe probabilidad de un 50% de que la PP max anual de 24 hrs. de L. Malleco sea inferior a 116 mm

11

6

Tratamientos estadsticos de los datos: Funcin (ley) de probabilidad, densidad y funcin de distribucin

Ley de probabilidades de una variable

Despus de la definicin de la probabilidad (reparticin de una masa unitaria sobre un conjunto de puntos,

finitos o infinitos, discretos o continuos), toda funcin montona creciente que toma valores entre 0 y 1

para los lmites asignados a la variable, puede ser considerada como representante de una ley de

probabilidades.

Ley de probabilidades: llamada comnmente funcin de reparticin o de distribucin, F(x).

Dentro del caso continuo, si la derivada existe en cada punto, la funcin derivada se llama de densidad de

probabilidades, f(x) .

Funcin de densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa segn la cual dicha

variable aleatoria tomar determinado valor.

La probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre dentro regin especfica del espacio de

posibilidades estar dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro lmite de dicha

regin.


Ley de probabilidades de una variable

La funcin de densidad de probabilidad (PDF en ingls) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su

integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

La nocin de probabilidad correspondera a la de un juego de azar (tirage au sort en francs) y las leyes que

pretenden determinar la observacin o la experimentacin no estn construidas de cualquier manera (hay

una estructura).

El juego de azar ms simple podra ser el de cara y sello al lanzar una moneda en al que consideramos que

la variable aleatoria puede tomar los valores de 0 1 con la misma probabilidad 1/2.

Todas las otras leyes de probabilidades se deducen de este modelo (que es super simplificado, pero vlido)

y se van complicando progresivamente


Frecuencia muestreo:

En el caso continuo, calculamos, o la frecuencia de nmero inferior a (no excedencia) (n correspondiente al nmero, contenido en la muestra, un ranking ordenados de manera creciente), o la frecuencia de nmero superior a (n es el numero en un ranking ordenado de manera decreciente).

Valores de la variable aleatoria Fr

ecu

enci

a o

pro

bab

ilid

ad En el primer caso (probabilidad de no

excedencia) la frecuencia se denota como Fx F(x) -funcin de distribucin-: ella corresponde, para una poblacin infinita, a la probabilidad de

no excedencia:

. En el segundo caso

se denota la frecuencia como F1(x): ella es correspondiente a la probabilidad de

excedencia:

.

En general se designan, cuando se realizan los clculos, las probabilidades por los smbolos F(x) y F1(x) que les llamamos frecuencias tericas; F(x) es igualmente llamada funcin de reparticin o funcin de distribucin.

LEYES DE DISTRIBUCION DE PROBABILIADES

A continuacin se presentan las leyes de distribucin de probabilidades discretas (Binominal y de Poisson), posteriormente

algunas leyes de distribucin del tipo continuo (Gauss, Galton, Pearson, Exponencial) en la que se incluye la de valores

extremos (Gumbel, de dos componentes)

A) Funciones discretas

Ley o distribucin Binominal

Este modelo corresponde a una representacin de la realizacin de mltiples ensayos (pruebas o test) del tipo Bernoulli (el

tipo Bernoulli corresponde al modelo ms simple de una funcin de distribucin discreta, en el cual la variable aleatoria tiene

slo dos estados posibles: xito/fracaso. Cuando una variable aleatoria x puede tomar dos valores para n ensayos. La

probabilidad que la variable temo uno de los valores (xito/fracaso) es p. Entonces, si la variable x tiene una distribucin

binominal, ella puede ser descrita por la siguiente funcin de densidad:

= 1 , para x=0, 1, 2,, n.

Con:

=

!

! !

Donde:

p es la probabilidad de uno de los valores, definida como un xito, 0 p 1; n es el nmero de eventos y x nmero de xitos.


Ejemplo (tomado el libro hidrologa probabilstica de Varas y Bois)

Todas las obras de ingeniera se ven sometidas ocasionalmente a los efectos de sucesos de ocurrencia espordica, tales como

crecidas, terremotos, o huracanes. El proyectista siempre necesita evaluar los riesgos asociados al valor de diseo

seleccionado. Si se supone que la ocurrencia de estos fenmenos es independiente entre si y que la probabilidad de

ocurrencia permanece constante, cada uno de los sucesos corresponde a un ensayo tipo Bernoulli y su conjunto puede

representarse por la distribucin binomial.

Por ejemplo, supnga que la probabilidad de tener en un ao cualquiera una crecida mayor que un valor crtico seleccionado

como valor de diseo es 0,02. Cul ser, entonces la probabilidad de que se produzcan dos o ms crecidas mayores que el

valor crtico, durante los 30 aos de vida til de la estructura?.

SOL: Sea k el nmero de crecidas mayor que el valor crtico. Entonces k tiene una distribucin binomial con parmetros

p=0,02 y n=30. La posibilidad de tener dos o ms xitos en 30 ensayos es igual al complemento de la suma de no tener xitos

Pr(k=0) y de tener un xito Pr(k=1) :

p(k>2) = Pr(k=0) + Pr(k=1) = (0.02)0 (0.98)30 + 30(0,02)1 (0,98)29 = 0,872

Se tiene una probabilidad de p=1-0,872 = 0,13 de sobrepasar el valor del diseo crtico dos o ms veces durante la vida de la

estructura. Es preciso notar que la probabilidad de falla durante toda la vida til es alta, aun cuando la probabilidad de falla

en un ao cualquiera sea pequea.

= 1 , para x=0, 1, 2,, n.

=

!

! !


Ley o distribucin Poisson

La distribucin de Poisson representa los xitos ocurridos como si fueran puntos de una lnea continua. Esta lnea recta en

general representa una lnea de tiempo. La distribucin de Poisson permite en general representar situaciones en las cuales

hay una enumeracin, ya que la variable toma valores enteros positivos. El proceso de Poisson es la secuencia de tiempo

discreto de ocurrencia de eventos (que sobrepasan un umbral). La ley de Poisson expresa la probabilidad de observar un

nmero de n eventos (que superan, sobrepasan o exceden el umbral) durante una duracin determinada (que en ejemplo

especifico llamaremos td)

Posibles ejemplos de la utilizacin de esta distribucin es por ejemplo el nmero de intervalos de lluvia en un temporal,

clculo de probabilidades de crecidas de ros consideradas como raras, es decir caudales que se exceden donde T>10

aos.

La funcin de probabilidades de masa de Poisson es: =

! , para x=0, 1, 2,, n.

Donde:

= parmetro constante positiva

x = cualquier entero positivo

e = una constante = 2.7182


Ejemplo de aplicacin para la crecidas de un ro (tomado de los apuntes de Hydrologie statistique de R. Ababou)

Para el estudio de las crecidas de un ro se puede aplicar la Ley de Poisson en al caso de anlisis de eventos raros (poco

frecuentes) que pasen un cierto umbral, en este caso el parmetro se calcula mediante: =Td/Tr , con Td: periodo de

anlisis y Tr: periodo de retorno (umbral a exceder), luego la probabilidad de exceder x veces p (X=x)

= =

!

Para el ro lOued Mdez se requiere evaluar la probabilidad de observar al menos dos veces una crecida asociada a un

periodo de retorno de 25 aos (Tr=25 aos), para un periodo de observacin de 25 aos.

SOL: Para este problema Td= 25 aos, Tr=25 aos, x=2, luego =1.

La probabilidad de observar al menos dos caudales superiores a un Tr=25 aos para un periodo (Td) de previsin de 25

aos, es igual a la probabilidad de no observar 0 1 (ni 0 ni 1), 24772233

= 2 = 1 0 1 = 1 1 0 1

0!1 1 1

1!= 1 1 1 = 0,264

Entonces hay un 26% de chances de sobre pasar en dos ocasiones el caudal (umbral) asociado a un periodo de retorno 25

aos, sobre un periodo de 25 aos.

Los datos de registro de caudales en este ro mostraron que en realidad este caudal, Q(Tr=25 aos)=825 m3/s fue excedido

2 veces en 23 aos.


Ley de Gauss (distribucin normal o de Gauss, campana de Gauss):

Puede ser presentada como ley limite binominal para un nmero infinito de pruebas (de test). Esta es una de las distribuciones de mayor uso en anlisis estadsticos. Presenta una forma simtrica respecto del valor medio.

Funcin de densidad de probabilidades: =1

2()2

22

Entonces: = ()

=

()

Donde, : promedio (media); : desviacin estndar (tpica); 2: varianza; =3,1415; e=2,7182

Esta funcin presenta un valor mximo en: (, 1

2)


Ley de Gauss (distribucin normal o de Gauss, campana de Gauss):

La distribucin queda definida por dos parmetros: media () y desviacin estndar (), para cada valor de la media y desviacin estndar tendremos una f(x) distinta. Se representa N(, ) como una familia de funciones de densidad normales.

Ley de Gauss o distribucin Normal.

Tratamientos estadsticos de los datos : Funcin (ley) de probabilidad, densidad y funcin de distribucin

Ejemplo (tomado el libro hidrologa probabilstica de Varas y Bois)

Sea x una variable aleatoria con distribucin normal con promedio 2 y varianza 9. Cul es la probabilidad de que x sea mayor que 8?

SOLUCION:

= ()

=

()

Luego, prob(x8)=0,02275


Ley de Galton (Log-normal) Existen procesos fsicos y ambientales que no presentan una distribucin de probabilidades simtrica con respecto a su

valor medio es decir tiene un sesgo (en este caso ser a la derecha). En particular hay dos procesos que son de inters en ingeniera: la precipitacin y el rgimen de caudales.

Podemos generalizar la ley de Gauss y transformarla en asimtrica, mediante algunos cambios apropiados de variables. El ms conocido de estos cambios de variables consiste en tomar como variable gaussiana el logaritmo o una funcin lineal del logaritmo de la variable estudiada. As obtenemos la ley de Galton, llamada tambin distribucin Logartmica Normal (Log-normal o Ley de Gibrat-Gauss) para estos casos.

Esta distribucin corresponde a la de una variable aleatoria (precipitaciones o caudales) cuyo logaritmo est normalmente distribuido. Por lo tanto, si la variable X es una variable aleatoria con una distribucin normal, entonces X tiene una distribucin log-normal.

la trasformacin ms utilizada es, considerando el cambio de variable: y=log (x) =1

2

1

2

2

Atencin: y y y, no son las media y la desviacin estndar de x!!!!

Ley de Galton o distribucin Log-Normal, para el cambio de variable y = ln(x)


Ley de Galton (Log-normal)

Existen procesos fsicos y ambientales que no presentan una distribucin de probabilidades simtrica con respecto a su valor medio es decir tiene un sesgo (en este caso ser a la derecha). En particular hay dos procesos que son de inters en ingeniera: la precipitacin y el rgimen de caudales.

Podemos generalizar la ley de Gauss y transformarla en asimtrica, mediante algunos cambios apropiados de variables. El ms conocido de estos cambios de variables consiste en tomar como variable gaussiana el logaritmo o una funcin lineal del logaritmo de la variable estudiada. As obtenemos la ley de Galton, llamada tambin distribucin Logartmica Normal (Log-normal o Ley de Gibrat-Gauss) para estos casos.

Esta distribucin corresponde a la de una variable aleatoria (precipitaciones o caudales) cuyo logaritmo est normalmente distribuido. Por lo tanto, si la variable X es una variable aleatoria con una distribucin normal, entonces X tiene una distribucin log-normal.

Funcin de densidad de probabilidades: =1

2(ln ())2

22

Al tomar z=alog(x-x0)+b, la distribucin se trasforma en:

=1

2

Una forma de representacin ms sencilla es, considerando el cambio de variable: u= alog(x-x0)+b


Ley de Gumbel (o del valor extremo) Esta ley de distribucin ha sido creada para el estudio de distribucin de frecuencias de labores extremos (mximo o mnimos anuales). Corresponde a una funcin asimtrica como la log-normal (ley de Galton). Un evento extremo se define como cualquier v.a. que alcance o sobrepase un cierto nivel dado. Consideramos que sobre N observaciones de una serie de datos fluviomtricos o meteorolgicos dentro de cada ano, N puede ser considerada como eventos independientes. Si se designa por h(x) el nmero medio anual de valores diarios superiores a x, la probabilidad para que todos los valores diarios sean inferiores a x, (es decir para que el mximo anual sea

inferior a x) es igual a: 1 ()

, si N es suficientemente grande, se puede aproximar a : P=exp[-h(x)], con h(x)=exp(-b)

luego la funcin de distribucin ser:

= exp () O bien:

1 = 1

Esta distribucin de ha usado ampliamente para describir escurrimientos anuales. Los diagramas de distribucin de caudal

son generalmente asimtricos. Estos pueden ser aproximados de forma bastante cercana con la distribucin de Gumbel que

posee una asimetra fija de 1.14.

Es usada para calcular escurrimientos excedentes mximos anuales (MA), que se calculan eligiendo el escurrimiento MA

obtenido a partir de mediciones diarias. Para el caso de anlisis de caudales el parmetro b se calcula: = +0,45

0,7797, con x la

magnitud del caudal (m3/s), es el caudal promedio y la desviacin estndar del caudal.


Ley de Gumbel (o del valor extremo)

Parmetro b Probabilidad de excedencia Periodo de retorno (Intervalo de recurrencia) 0,367 0,50 2

1,367 0,20 5

2,250 0,10 10

2,970 0,05 20

3,199 0,04 25

3,902 0,02 50

4,601 0,01 100

5,296 0,005 200

Ejemplo : Si le caudal del ro Biobo en desembocadura tiene un caudal promedio de 1340 m3/s con una varianza de 58.400 m2/s. Calcule cul es la probabilidad de que el caudal sea igual o exceda los 2100 m3/s usando la distribucin de Gumbel

SOL: El primer paso es la estimacin del parmetro = +0,45

0,7797=21001340+0,45241,6

0,7797241,6= 4,61 entonces:

1 = 1

=0,999; este resultado se interpretan como: un caudal de esa magnitud (2100 m3/s) puede ocurrir aproximadamente 1 vez cada 100 aos (el periodo de retorno de Q=2100 m3/s es Tr=100 aos). La posibilidad que un cierto caudal sea excedido, o se observe para un perodo de retorno, es una funcin directa del parmetro b, entonces se puede determinar la probabilidad de forma inmediata en funcin de este parmetro .

El anlisis de frecuencia nos ayuda a determinar eventos extremos (sequias, tormentas de alta magnitud y caudales de crecidas). En general la magnitud de un evento es inverso a la frecuencia de ocurrencia. Para el anlisis de frecuencia de ocurrencia utilizamos las leyes o distribucin de probabilidad. En estos anlisis las hiptesis de trabajo (supuestos) son: i) eventos independientes; ii) distribucin idntica y; iii) el fenmeno que lo produjo es estocstico. El inters del ingeniero en estos anlisis es el diseo de presas, puentes, estructuras de crecidas, reconocimiento de reas de inundacin, etc.


PERIODO DE RETORNO

Por definicin un evento extremo ocurre s una v.a. X es mayor o igual que un cierto nivel xt. El intervalo de recurrencia es el

tiempo entre ocurrencias de X xt.

El periodo de retorno T Tr de un evento X xt es el valor esperado, su valor promedio medido sobre un nmero de

ocurrencias suficientemente grandes.

El periodo de retorno de un evento (caracterizado por una magnitud dada) tambin puede definirse como el intervalo de

ocurrencia promedio entre eventos que igualan o exceden una magnitud especifica.

EJEMPLO: Determine el Tr de un caudal anual de 8000 m3/s para un registro de caudales mximos anuales correspondiente al

ro Biobo en puente viejo, para el periodo 1982-2003. Este caudal de 8000 m3/s est asociado una altura de escurrimiento en

el ro donde est a la altura de la ciudad de Santa Juana existe desbordamiento. Ano

Caudal

(m3/s)

Ano

Caudal

(m3/s)

1982 6763 1993 8455

1983 9284 1994 7184

1984 6134 1995 5161

1985 6489 1996 2733

1986 8833 1997 7719

1987 5286 1998 1839

1988 4113 1999 4031

1989 6366 2000 7733

1990 5088 2001 10180

1991 11428 2002 10537

1992 7286 2003 11401


Ano de excedencia 1983 1986 1991 1993 2001 2002 2003 Promedio

Intervalo de

ocurrencia (anos)

3 5 2 8 1 1 (3+5+2+8+1)/6 = 3,3

2

5 2 8 1 2

3

4

5 6 7

1

1

SOL: Durante el periodo de registro (22 aos), el caudal de 8000 m3/s es excedido 7 veces y los intervalos de recurrencia que son 6 varan desde un ao (es decir esta caudal se super un ao y el siguiente tambin) hasta 8 aos (del 1993 al 2000). Por lo que aproximadamente el Tr asociado a este caudal ser: Tr=22/6= 3,6 aos. Entones en promedio una vez cada 3,6 aos santa Juana es inundada por el ro Biobo.

Tabla: Aos de excedencia e intervalos de ocurrencias


La probabilidad p = P(Xxt) de ocurrencia del evento Xxt en cualquier observacin puede relacionarse con el periodo de

retorno T en la siguiente forma: T=1/p; es decir la probabilidad de ocurrencia de un evento en el cualquier observacin es el

inverso de su periodo de retorno: P(Xxt) = 1/T.

Si retomamos el ejemplo del ro Biobo, la probabilidad de que el caudal mximo ese a igual o exceda los xt=8000 m3/s, en

cualquier anos es aproximadamente p=1/T = 1/3,6 = 0,278

A menudo otras preguntas son propuestas: cul es la probabilidad de que un evento con periodo de retorno de T aos

ocurra al menos una vez en N aos?

Para el clculo de esto, primero se considera la situacin de que no ocurra un evento de T aos en N aos. Esto requerir

una secuencia de N fallas sucesivas, de tal manera que:

P(X

Pruebas de bondad de ajuste a funciones de reparticin-distribucin

La bondad de ajuste de una distribucin de probabilidades puede hacerse comparando los valores tericos y muestrales de las funciones de frecuencia relativa y la frecuencia acumulada. En el caso de la funcin de frecuencia relativa se utiliza la prueba 2 (chi cuadrado).

() =

Donde el nmero de observaciones ni en el intervalo i se divide por el nmero total de observaciones n.

El valor terico de la frecuencia relativo es p(xi) = F(xi) - F(xi+1), la prueba estadstica 2 est dada por:

2 = ()

2

()=1

Donde m es el nmero de intervalos. Note que nfs(xi), es el nmero de ocurrencias (eventos) observadas dentro del intervalo i, mientras que np(xi) es el nmero de esperado de ocurrencias en el mismo intervalo.

Entonces la ecuacin anterior es la diferencia entre el numero de ocurrencias observadas y de ocurrencias esperadas al cuadrado, dividido por el nmero de ocurrencias esperadas en el intervalo, y despus sumados para cada intervalo, hasta m.


La distribucin 2 con grados de libertad es la distribucin para la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estndar independientes zi, esta suma es la variable aleatoria:

En la prueba = m p 1 , donde m es el nmero de intervalos y p es el nmero de parmetros utilizados en el ajuste de la distribucin propuesta. Se elige un nivel de confianza para la prueba, expresado usualmente como 1, donde se conoce como nivel de confianza.

Un valor tpico para el nivel de confianza es 95%. La hiptesis es nula para la prueba en que la distribucin de probabilidad propuesta se ajusta adecuadamente a la informacin. Esta hiptesis se rechaza (el ajuste se considera como inadecuado) si el valor de

es mayor que un valor lmite , determinado de la

distribucin 2 con grados de libertad como el valor que tiene la probabilidad acumulada de 1 .

2 =

2

=1

Grafico de la funcin chi-cuadrado con diferentes grados de libertad

= 2

= 4

= 8

= 16 = 32


EJEMPLO: Usando el mtodo de ajuste la distribucin normal a la precipitacin anual en la estacin College, Texas de 1911 a 1979. Grafique las funciones de frecuencia relativa y de probabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y probabilidad acumulada. Utilice la prueba 2 para determinar si la distribucin normal se ajusta adecuadamente a los datos.

Tabla: precipitaciones anual (pulg) para la estacin College en Texas, USA (Ven te Chow)

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