04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016

8/17/2019 04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016

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115 115 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”

2°Sec - I Bim.

1 Líneas Geométricas

L1

L2

Es el conjunto de puntos ilimita dos

en sus extremos; es decir que no tiene

medida.

1. RECTA

Ejemplos:

Línea Recta AB

A

B

L

Línea Recta L

1.1 Tipos de Recta

1.1.1 Rectas Paralelas

1.1.2 Rectas Secantes

Son rectas que se intersecan en un

punto.

L1

L2

L1

L2

A

BSegmento AB

3 c m

PQ

1.1.2 Rectas Perpendiculares

Son rectas que forman un ángulo

de 90º.

Es una porción de recta que es

limitada en sus extremos.

2. SEGMENTO DE RECTA

Medida del segmento PQ

mPQ = PQ = 3 cm

Son rectas que no se intersecan en

ningún punto.

Ejemplos:

A B C D

Es un conjunto de puntos que tiene

origen y no tiene final.

3. RAYO O SEMIRRECTA

O

A

Rayo OA

AO

B

Rayo OA y Rayo OB

Indica cuántas rectas, segmentos yrayos ves en la siguiente figura:

B

O

A

C

F

D

E

Rectas : ________________

Segmentos : ________________

Rayos : ________________

Ejemplos:

Indica cuáles son los segmentos que

ves en los siguientes dibujos:

A B C

AB, BC y AC.

AB, BC, CD, AC, BD y AD.




3/27

Geometría

116 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”

Ejerc ic ios Propuest os

1) Relaciona correctamente.

a) Segmento AB

b) Rayo AB

c) Medida del segmento AB

d) Recta AB

( ) AB

( ) AB

( ) AB

( ) AB

2) Dibuja dos rectas paralelas quedisten 4 cm.

5) Dibuja un punto e indica cuánta srectas pasan por dicho punto.

6) Dibuja dos puntos e indicacuántas rectas pasan por esos dos

puntos.

11) D i b u j a d o s s e g m e n t o sperpendiculares que midan 4 y

3 cm.

12) Dibuja dos rectas secantes queformen un ángulo de 120°.

8) De la figura mostrada, indicacuántos segmentos hay.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 9 e) 10

A L C EI

9) De la figura mostrada, indicacuántos de los elementos

mencionados existen.

Rayos : … … … … …

Segmentos : … … …

Rectas : … … … … …

16) Ubica 4 puntos no colinealese indica cuántos segmentos se

forman al unir todos los puntos.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

13) D i b u j a d o s s e g m e n t o sperpendiculares, AB = 3

cm y BC = 4 cm. Utilizando

una regla graduada, indicaaproximadamente el valor de

AC.

a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm

d) 7 cm e) 8 cm

18) De la figura, indica cuántossegmentos existen.

a) 10

b) 18

c) 30

d) 35

e) 38

22) Indica cuántos segmentos hay enla siguiente palabra.

a) 15

b) 17

c) 18

d) 20

e) 21

24) D i b u j a d o s s e g m en t o sperpendiculares en uno de sus

extremos, de medidas 8 y 15 cm.

Calcula el menor recorrido para

ir de extremo a extremo.

a) 16 b) 17 c) 18

d) 20 e) 21

25) Imagínese una cajita de zapatose indica el número de segmentos

que pertenecen a la superficie.

a) 8 b) 10 c) 11

d) 12 e) 16

32) Según la f igura indica loverdadero.

a ) PQ = QR

b) PQ = 2QR

c) QR = 2PQ

d) PR = 2PQe) P Q + Q R = P R

P Q R

35) Calcula el perímetro de lasiguiente línea curva.

a) 9 b) 8 c) 16

d) 18 e) 15

2

4

3

37) Calcula el perímetro de lasiguiente línea mixta.

a) 3+ 16 b) 5+ 18 c) 16

d) 18 e) 4+ 14

2 44

6




4/27


2°Sec - I Bim.

Resoluc ión: Resoluc ión:


Aho ra resuelve tú

31) Si una línea curva mide 36m, ¿cuántoscuadrados se pueden formar de lado 3m?

a) 1 b) 2 c) 4

d) 3 e) 5

23) Dibuja dos segmentos perpendiculares en unode sus extremos, de medidas 6 y 8 cm. Calcula

la distancia (aprox.) de los extremos.

a) 10 cm b) 9 cm c) 8 cm

d) 6 cm e) 2 cm

17) De la figura, indica cuántossegmentos existen.

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

36) Indica el perímetro de la siguientelínea curva.

a) 20 b) 16 c) 24

d) 32 e) 18

4 8

2




5/27

Geometría


3) Relaciona correctamente.

a) Rayo PQ

b) Medida del segmento PQ

c) Semirrecta PQ

d) Recta PQ

( ) PQ

( ) PQ

( ) PQ

( ) PQ

10) De la figura mostrada, indicacuántos de los elementos

mencionados existen.

Rayos : … … … … …

Segmentos : … … …

Rectas : … … … … …

7) De la figura mostrada, indicacuántos segmentos hay.

a) 1 b) 3 c) 5

d) 6 e) 8

A B C D

28) Indica cuántos segmentos tienela siguiente palabra.

a) 28 b) 38 c) 48

d) 52 e) 42

33) Según la f igura indica loverdadero.

a ) AB = BC = C D

b) BC = CD

c) AD - BC = AB + CD

d) AB + BC = AD

e) AC - BC = CD

A C DB

21) Indica cuántos segmentos hay enla siguiente palabra.

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

Reforc emos en casa

4) Dibuja t res rectas paralelas quese encuentren a una distancia de

1 cm una de ot ra.

14) D i b u j a d o s s e g me n t o sperpendiculares, PQ = 5cm y

QR = 12cm. Utilizando la regla,

indica el valor (aprox.) de PR.

a) 13 cm b) 15 cm c) 16 cm

d) 17 cm e) 18 cm

15) Ubica tres puntos no colinealese indica cuántos segmentos se

forman al unir todos los puntos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

19) Dibuja 3 puntos colineales A,B y C, tal que AB = 3 cm y

BC = 1 cm.

20) D i b u ja c u a t r o p u n t o sconsecutivos: A, B, C y D, tal

que: AB = 1 cm, BC = 2 cm yCD = 1,5 cm.

27) Si una línea curva mide 25 m,¿cuánto medirá si la estiramos y

se convierte en una línea recta?

a) 50 m b) 30 m c) 35 m

d) 25 m e) 20 m




6/27


2°Sec - I Bim.

2 Operacionescon SegmentosI

En el capítulo ant erior estudiamos

las líneas geométricas y vimos que el

segmento es una de estas líneas. Re-

cordemos amigos que el segmento es

un concepto visto la clase anterior: esuna porción de recta limitada por dos

puntos llamados extremos.

Hemos tomado los puntos A y B de

la recta L, a esta porción de recta limi-

tada por dichos puntos la llamamos:

Segmento AB o segmento BA.

Se representa mediante la siguien-

te notación:

PQ : Segmento PQ o

QP : Segmento QP

P Q

La longitud o medida de un seg-mento es un número entero “positi-

vo”,

En los problemas que veremos la

clase de hoy lo representaremos de dos

maneras. Por ejemplo:

Si el segmento PQ tiene una longi-

tud de 5 cm, entonces:

I. m PQ = 5 cm II. PQ = 5 cm

A B

L

1. LONGITUD DE UN SEG-MENTO (MEDIDA)

P Q

5 cm

Notación

2. PUNTO MEDIO DEUN SEGMENTO

Es el punto que divide a un seg-

mento en dos segmentos parciales deigual longitud o medida. Vemos esto en

la figura.

A BM

Observación:Se dice también que “M” biseca al

segmento AB.

Veamos unos ejemplos para entendermejor lo expuesto hasta ahora.

Si AB = 3 y BC = 2, calcula“AC”.

Si AC = 8 y M es punto medio

de AC, calcula “AM”.

AM = MC, pero AM + MC = 8,

AM + AM = 8

2(AM) = 8

AM = 4

OJO: Si la figura es:

AC = AB + BCAB = AD - BDAC = AD - CDAD = AB + BC + CDC D = AD - ACBD = BC + CD

A B DC

“M” es el punto medio del segmento AB

mAM = mMB o AM = MB.

A M C

AC = AB + BC

AC = 3 + 2 AC = 5

A B C

Rpta.: d

1) En la figura mostrada:

AB = 2BC

CD = 8 AD = 20

Calcula BC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

A B C D

Resolución:

AB = 2BC AB = 2x (x)

3x + 8 = 20

3x = 12

x = 4

A B C D2x x 8

20




7/27

Geometría



QP SR

2) Indica verdadero (V) o falso (F).

a ) PQ+ QS= QR ( )

b) PR + RS= PS ( )

c) PQ = QR ( )

d) PS - PQ= QS ( )

BA DC

4) Si AB= BC= 2 y “C” es punto

medio de AD, calcula AD.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 10

QP SR

8) Si PR= QS= 7 y PS= 10, hallamQR.

a) 4 b) 4,5 c) 5d) 5,5 e) 6

BA DC

9) Si AC + BD= 12 y AD= 9, hallamBC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

BA C

x-1 x

11) Calcula el valor de “x” si AC = 11.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

14) Se tiene los puntos colineales“P”, “Q”, “R” y “S”, tal que

P Q = 2, QR = 5 y P S= 11.

Calcula la distancia entre los

puntos medios de QR y RS.

a) 3 b) 4,5 c) 5

d) 6 e) 7

BA DC

10

15

x

8

15) Calcula “x”.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

A DB

2x+ y x+ 2y

C

x+ y

15) Si AD = 24, calcula CD.

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

A DB

3x+ 2y x-y

C

x+ 4y

16) Si AD = 30, calcula “x+ y”.

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

A DB

6 4

C

8

17) De la figura, calcula la distanciaentre los puntos medios de AB y

CD .

a) 10 b) 11 c) 12

d) 14 e) 16

A CB

2x 3x

13) Si AC = 15, calcula “x”.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 10 e) 15

BA DC

9

11

22) Calcula CD si AB = 6.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 9

18) Se tienen los puntos colineales “P”,“Q” y “R”, tal que PQ + QR = 11

y PQ - QR = 5. Halla mPQ.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

P Q S

x + 9

R

x y - 3

24) De la figura, calcula PR - QS.

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

25) Se tiene los puntos consecutivos

“A”, “ B”, “C ” y “D ”, tal que:

- = .

Si (AC)(AB)= 16, calcula BC.

a) 16 b) 8 c) 4

d) 2 e) 1

1

AB

1

AC

1

BC




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2°Sec - I Bim.



Aho ra resuelve tú

BA DC

13) Si AB= 4, BC= 5 y CD = 6,calcula la distancia entre los

puntos medios de AB y CD.

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

QP SR

6

9

x

5

16) Calcula “x”.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

14) Si AD = 23, calcula “x”.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 9 e) 12

DB

3x x-2

C

x

A

17) Se tienen los puntos colinealesA, B y C, tal que AB + BC = 5

y AB - BC = 3. Halla m BC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5




9/27

Geometría


Reforcemos en casa

QP R

x 2x+ 5

12) Calcular “x” si PR= 20.

a) 5 b) 6 c) 8

d) 10 e) 15

A DB

5 3

C

7

18) Calcula la distancia entre lospuntos medios de AB y CD.

a) 9 b) 10 c) 12d) 16 e) 18

A CB

12) D e l a fi gu ra , A B = x AC = x + 3, calcula BC.

a) 2 b) x + 2 c) 3

d) x + 1 e) 2x + 3

BA DC

13

20

10

21) Calcula BC.

a) 2 b) 3 c) 6

d) 7 e) 10

1) De la figura mostrada, indicaverdadero (V) o falso (F).

a ) AB+ BC= AC ( )

b) AB . BC= AC ( )c) AB - AC= BC ( )

d) AC - BC= AC ( )

BA C

BA DC

3) Si AB= 3, BC= 5 y AD= 10,calcula CD .

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 8

BA DC

7) Si AC= BD= 5 y AD= 8, hallamBC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

OJ LE

10) Si JE + OL= 28 y JL= 22, hallamOE.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

A B DC

19) Calcula AC, si AB= 5, BD= 12y “C” es punto medio de BD.

a) 7 b) 9 c) 10

d) 11 e) 13

A B D

2 - x 6 + 3x

C

1 - 2x

21) De la figura, calcula AD.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 8 - x e) 6 + x

P Q S

3 - x

R

x - 1

22) Si “Q” es punto medio de PR,calcular QS.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 - x e) 6 + x

A B E

x - 2y

D

y + 1

C

8 - x y

23) De la figura, calcula AC + CE.

a) 10 b) 9 c) 8

d) 7 e) 6




10/27


2°Sec - I Bim.

3 Operacionescon SegmentosI I

En los problemas del día de hoy nostoparemos con situaciones como la si-guiente: 2mAB = 3mCD … Y ahora!!!… ¿ qué hacemos?

Pues bien, ahora sí presta muchísimaatención.Una manera sencilla de resolver esteproblema es la siguiente: Igualemos eseenunciado al Mínimo Común Múltiplo(MCM) de los coeficientes de las longi-tudes de los segmentos, es decir:2mAB= 3mCD= MCM (2, 3)= 6a… pero eso sí, siempre se igualará a lresultado del MCM de los coeficien-tes pero multiplicado por un escalarcualquiera, en nuestro caso pusimos elescalar “a”, de esta manera podremostrabajar las longitudes de los segmentos

AB y C D con coeficientes enteros.

1. PRODUCTO DE UN ESCA-LAR Y LA LONGITUD DEUN SEGMENTO

Bueno muchachos, ant es de em-

pezar este capítulo tenemos que saberla definición de la palabrita “escalar”.

Un escalar es simplemente un número

entero o fraccionario que para nuestro

tema de hoy lo utilizaremos para ser

coeficiente de la longitud de un seg-

mento, el cual también es un número.

Veamos lo expuesto gráficamente:

x

P Q

Si k < 1kx

A B

Si k > 1

kxC D

mAB es una frac-

ción de mPQ.

mCD es un múltiplo

de mPQ.

AB

BC

2

3

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece en las proporciones queguardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro

cuerpo, etc.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzadodel Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD =. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el

número áureo, por ejemplo: AC/AD = y CD/CA= . Hay un precedente a la cultura griega donde tam-

bién apareció el número de oro. En la gran pirámidede Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres

triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un

pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el

número áureo. En un pentágono regular está basada laconstrucción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia

Menor.Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de

crédito, en nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos

y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci, que sirvió para ilustrarel libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuáles han de ser las proporciones de las cons-trucciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el q ue

las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo seanproporciones áureas. Estirando manos y pies, y haciendo

centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cua-

drado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, enun cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos

de los dedos de ambas manos cuando los brazos estánextendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco.

Resulta que el cociente entre la altura del hombre (ladodel cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la

mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

* Si = y

AB + BC = 15, calcula BC - AB.

2mAB = 6a mAB = 3a 3mCD = 6a mCD = 2a

Se emplea este método para evitar el hecho de tener que traba jar con coeficientes

fraccionarios.

Veamos unos ejemplos antes de empezar con los ejercicios:

* Si 3m AB = 5m CD y

AB + CD = 16, calcula AB.




11/27

Geometría


Ejerc ic io s Propuest os

10) Del gráfico, calcula CD.

a) 12 b) 15 c) 18

d) 20 e) 25

A C D

31

B

7 3a 5a

4) De la la figura, QS = 8. HallamPS.

a) 9 b) 10 c) 12

d) 16 e) 18

P Q R S

5k 3k k

2) Se tienen los puntos consecutivos

P, Q y R, tal que = .

Si PR = 27, calcula PQ.

a) 12 b) 13 c) 15

d) 18 e) 24

PQ

QR

4

5

P

8) Si PQ = 2 y = , calcula

PR.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

QR

PR

1

3

Q R

P

6) Si 4(PQ) = 7(RS), QR = 6 y “Q”es punto medio de PS, calcula

PS.

a) 7 b) 14 c) 21

d) 28 e) 35

R SQ

12) De la figura:si 3(PQ) = 4(QR) = 24, calcula

“x”.

a) 10 b) 12 c) 13

d) 14 e) 18

A Q C

x

A B C

13) Si 2 (AB) + 3 (BC)= 36 y

= , calcula AC.

a) 7 b) 14 c) 18

d) 36 e) 43

ABBC 34

P Q R

14) Si 2(PQ)-QR= 9 y PQ= 2(QR),

calcula PQ.

a) 6 b) 8 c) 9

d) 12 e) 16

17) Se tienen los puntos consecutivosP, Q, R y S, tal que

2( PQ ) = 6( Q R) = R S. S i

PS = 30, calcula PQ.

a) 6 b) 9 c) 10

d) 12 e) 15

19) Se tienen los puntos colinealesA, B y C, tal que

7(BC) = 4(AC) = 28, calcula

AB.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 7 e) 14

A B DC

BC

CD21) De la figura, = y

= , además AD = 16.

Calcula AB.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3

4

CD

AD

1

2

23) Se tiene los puntos consecutivosP, Q, R y S tal que

= , donde “R” es punto

medio de PS y PS = 30. Calcula

QR.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 12

PQ

RS

2

5

24) Se tienen los puntos consecuti-vos T, R, I, G, O y S t al que

TR = 2(RI) = 3(IG) = 4(GO) =

OS. Si TS = 74, calcula RG.

a) 10 b) 16 c) 20

d) 32 e) 30

P Q R

20m

26) En la figura, calcula QR siPQ + 2QR = 80m.

a) 20 m b) 30 m c) 24 m

d) 32 m e) 40 m

A DB C

30) Calcula ACsi AC= CD= 2BC y AD= 60 m.

a) 10 m b) 20 m c) 30 m

d) 40 m e) 50 m




12/27


2°Sec - I Bim.



Aho ra resuelve tú

A C DB

15) Si 3(CD) = 5(BC), AB = 1 y “C”es punto medio de AD, calcula

AD.

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

A CB

27) Halla AB si AB = 2(BC) y AC + BC = 40m.

a) 20 m b) 10 m c) 30 m

d) 15 m e) 24 m

A DB C

29) Calcula CDsi AB= BC= 2CD y AC= 30 m.

a) 4 m b) 5 m c) 6 m

d) 7 m e) 9 m

A CB M

45) Halla BM, siendo M puntomedio de AC, AC = 20 m y

AB = 8 m.

a) 1 m b) 3 m c) 4 m

d) 2 m e) 5 m




13/27

Geometría


Reforc emos en casa

5) De la la figura, AL = 2(IC) yCE = 2(LI). Si AE = 9, halla

m LC.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

A L C EI

1) Se tienen los puntos consecutivos

A, B y C, t al que = .

Si AC = 10, calcula BC.

a) 3 b) 4 c) 6

d) 8 e) 9

AB

BC

2

3

3) De la la figura, AC = 15. HallamBD.

a) 27 b) 25 c) 22

d) 21 e) 18

A B C D

2x 3x 4x

9) Del gráfico, calcula BC.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

A C D

20

B

5k 3k 4

7) Si BC = 4 y = , calcula

AC.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 9 e) 10

AB

AC

3

5

A B C

11) De la la figura: si 2(AB) = 3(BC) = 6, calcula

“x”.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 9

A B C

x

16) Se tienen los puntos consecutivosA, B, C y D, ta l que

3(AB) = 2 (BC) = CD.

Si AD = 22, calcula BC.

a) 6 b) 5 c) 3

d) 2 e) 1

18) Se tienen los puntos colinealesP, Q y R, tal que

5(PQ) = 3(QR) = 30, calcula

QR - PQ.

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

PQ

QR20) De la figura, = y

= , además PS = 12.

Calcula QR.

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

1

3

QR

PS

1

2

P Q SR

A B C

12m

25) En la figura, calcula BCsi AB + 2(BC) = 30m.

a) 6m b) 7m c) 8m

d) 9m e) 10m

A DB C

28) Calcula BC si AB = BC = 3CDy AD = 35 m.

a) 5 m b) 10 m c) 15 m

d) 20 m e) 18 m

A CB M

46) Halla BM, siendo M punto mediode AC, AC = 36 m y BC = 20 m.

a) 5 m b) 4 m c) 1 m

d) 3 m e) 2 m




14/27


2°Sec - I Bim.

4 ÁngulosI

1. CONCEPTO

Es la unión de dos rayos en el que

se determina un punto común llamado

vértice.

O

E

A

B

I

Donde :

OA : Rayo

OB : Rayo

I : Punto perteneciente a la

región interna del ángulo.

E : Punto perteneciente a la

región externa del ángulo.

O : Vértice del ángulo.

m

AO B =

(Medida del ángulo AOB).

A

B

30ºO

m

AOB =

m

BOA =

Unidades:

: en grados sexagesimales.

* Aprendamos a leer los ángulos:

Notación

m

COD =

m

DOC =

O D

C

110º

2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es el rayo que divide el ángulo en

dos partes iguales.

Sea la figura:

O

B

P

A

1º = 1 grado sexagesimal

1º < > 60’

1’ = 1 minuto sexagesimal

1’ < > 60’’

1’’ = 1 segundo sexagesimal

1º < > 3600’’

Calcula 15º /2 en grados y minutos.

= 7º + .

= 7º 30'

= 7º + =

< > 7º 30'

Ejemplos:

152

12

12

60'1

7º +60'

2

15º

2

Si OP es bisectriz del AOB, enton-

ces: m AO P = m POB =

3. CLASIFICACIÓN DE LOSÁNGULOS

Ángulo Agudo

Según sus medidas, los ángulos se

clasifican en:

0º < < 90º

90º < < 180º

Ángulo Obtuso




15/27

Geometría


= 90º

Ángulo Recto

= 360º

Observamos algunos ejemplos de

ángulos agudos y obtusos.

* Ángulos Agudos 6º, 15º, 18º, 35º, 80º, 86º

* Ángulos Obtusos 100º, 108º, 118º, 120º, 158º, 170º

Da dos los siguientes ángulos, indica los

tipos de ángulo que son:

14º : … … … … … … … … … … … …

115º: … … … … … … … … … … … …

156º: … … … … … … … … … … … …

78º : … … … … … … … … … … … …

180º: … … … … … … … … … … … …

89,9º: … … … … … … … … … … … …

360º: … … … … … … … … … … … …

48º : … … … … … … … … … … … …

Utilizando el transportador, mide los

siguientes ángulos:

Ángulo Llano

Ángulo de una vuelta

=

=

=

=

= 180º

Rpta.: c

1) Calcular en grados y minutos.

a) 7º30' b) 9º30' c) 11º30'

d) 13º30' e) 25º

Resolución:

2) Calcula "x".

a) 50º b) 60º c) 70º

d) 80º e) 85º

Resolución:

Rpta.: b

= 11,5 11º30'

3x + 90 = 180

x = 30

46º

4

46º

4

x 2x

x 2x

GRAN ESFINGE DE GIZA

La Gran Esfinge de Giza es ungran monumento en la margenoccidental del río Nilo. La ca-beza es una representación delrey Kefrén y el cuerpo es el deun león. Fue construida durantela Cuarta Dinastía (2723 a.C - 2563 a.C).

Dimensiones Longitud: 73 metros Ancho: 20 metros Altura: 14 metros




16/27


2°Sec - I Bim.

2) Indica verdadero (V) o falso (F),según corresponda.

a) 93º es agudo. ( )

b) 125º es agudo. ( )

c) 180º es agudo. ( )

d) 80º es agudo. ( )

3) Indica qué tipo de ángulos son:

a) 105º … .… … … … … .....

b) 138º … .… … … … … .....

c) 1º … .… … … … … .....

d) 89º … .… … … … … .....

Utilizando el transportador

mide aproximadamente los


8)

=

9)

=

10)

=

16) Calcula en grados y minutos.

a) 3º10’ b) 3º15’ c) 3º20’

d) 3º30’ e) 3º50’

7º

2


a) 11º75’ d) 11º30’

b) 11º60’ e) 11º15’

c) 11º50’

45º

4

* G rafica aproximadamente lossiguientes ángulos:

20 ) Halla "x".

a) 160º b) 150º c) 45ºd) 100º e) 135º

45ºx

23) = 60º

24) = 105º

25) = 175º

30º - 2x

2x - 70º

S

Q

R

P

12) Si PQ es bisectriz del SPR ,calcula x.

a) 5º b) 6º c) 10º

d) 20º e) 25º

A

O B

28) Utilizando compás y regla trazala bisectriz del siguiente ángulo.

A

O B

29) Ut ilizando compás y regla trazala bisectriz del siguiente ángulo.

38) Calcula “” .

a) 50º b) 40º c) 80º

d) 60º e) 30º

100°

Calcula x.

a) 100º b) 110º c) 105º

d) 125º e) 115º

O

x

40°

Calcula si OC es bisectriz del

BOD.

a) 50º b) 40º c) 30º

d) 35º e) 45º

B

50°

C

OA D

65°





17/27

Geometría


39) Calcula “” .

a) 10º b) 18º c) 12º

d) 16º e) 20º

2 3

Calcula si OB es bisectriz del

AOC.

a) 60º b) 50º c) 55º

d) 65º e) 75º

B

50°

C

OA D

Halla “” .

a) 40º b) 30º c) 50º

d) 60º e) 70º

B C

OA D

100°

120°



Aho ra resuelve tú

A

B

CO

Halla m

BOC

si m

AOB = 2m

BOC y m

AOC = 72°.

a) 20º

b) 28º

c) 30º

d) 36º

e) 24º




18/27


2°Sec - I Bim.

5)

Utilizando el transportador

mide aproximadamente los


6)

7)

=

=

=

1) Indica verdadero (V) o falso (F),según corresponda.

a) Un ángulo agudo es menor

que 90º. ( )

b) Un ángulo llano tiene como

medida 360º. ( )

c) Un ángulo es obtuso cuando

es igual a 180º. ( )

d) Un ángulo recto tiene como

medida 90º . ( )

4) Indica qué tipo de ángulos son:

a) 66º . ..… … … .… ..........

b) 360º . ..… … … .… ..........

c) 180º . ..… … … .… ..........

d) 179º . ..… … … .… ..........

26) Utilizando un transportadormide un ángulo de 100º.

27) Utilizando un transportadormide un ángulo de 130º.

* G rafica aproximadamente lossiguientes ángulos:

P

O Q

30) Ut ilizando compás y regla trazala bisectriz del siguiente ángulo.

Ox3x - 20º

A

B

C

11) Si OB es bisectriz del AOC,calcula x.

a) 5º b) 10º c) 15º

d) 20º e) 30º


a) 6º b) 6º10’ c) 6º12’

d) 6º20’ e) 6º25’

31º

5


a) 17º d) 16º15’

b) 16º45’ e) 16º10’

c) 16º30’

67º

4

40) Halla “x”.

a) 20º b) 40º c) 60º

d) 50º e) 30º

2x x60°

Halla .

a) 10º b) 12º c) 15º

d) 18º e) 16º

4

Calcula m BOC

si m

AOC = 3m

BOC.

a) 30º b) 36º c) 40º

d) 48º e) 45º

BC

OA

Calcula .

a) 50º b) 70º c) 65º

d) 75º e) 60º

O

140°

110°

Reforc emos en casa




19/27

Geometría


5 ÁngulosI I

1. ÁNGULOS COMPLEMEN-TARIOS

No ta

Complemento de x = 90º - x

Cuando observamos en los

problemas la notación: “com-

plemento de x” , la vamos a

interpretar como la diferencia

entre 90º y el ángulo x.

= 90º

2. ÁNGULOS SUPLEMENTARI-OS

Suplemento de x = 180º - x

+ = 180º

No ta

Cuando observamos en los

problemas la notación: “su-

plemento de x”, la vamos a

interpretar como la diferencia entre 180º y el ángulo x.

3. ÁNGULOS CONSECUTIVOSO ADYACENTES

{ , } : ángulos consecutivos

Lado

Común

3. ÁNGULOS OPUESTOS POREL VÉRTICE

=

=

Veamos algunas aplicaciones acerca del

tema de hoy:

Complemento de 70º =

=Suplemento de 120º =

=

Complemento de 42º =

=

Suplemento de 135º =

=

Suplemento del Complemento de

40º

SC(40º)

=

Complemento del Complemento de

60º

CC(60º)

=

Siendo:

C(x)

= Complemento de x

S(x)

= Suplemento de x

C CC C … C(x)

= x

CCC … C(x)

= C(x)

= 90º - x

SSSS … S(x)

= x

SSSS … S(x)

= S(x)

= 180º - x

2n veces

2n+1 veces

2n veces

2n+1 veces




20/27


2°Sec - I Bim.

2x

20º

2) Del gráfico, calcula x.

a) 15º b) 20º c) 25º

d) 30º e) 35º

6) Si dos ángulos son complemen-tarios y uno es el triple del otro,

calcula el mayor de los ángulos.

a) 22,5º b) 45º c) 67,5º

d) 75º e) 90º

7) Si la diferencia de dos ángulossuplementarios es 20º, calcula el

menor de los ángulos.

a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º


11) Calcula x.

a) 16º b) 18º c) 21º

d) 24º e) 26º

3x - 42º

x

13) Calcula: CCC C(48º)

a) 52º b) 48º c) 42º

d) 60º e) 30º

14) Calcula: SSSS(100º)

a) 108º b) 100º c) 80º

d) 60º e) 30º

90º

180º

180º

90º 180º

90º

18) Calcula: E =

a) d)

b) e)

c)

SSS()

CCCC ()

20) Calcula x.

a) 30º b) 40º c) 50º

d) 60º e) 80º

110º

x20º 30º


a) 60º b) 70º c) 80º

d) 90º e) 100º

x

4

3+ 25º

32) Dos ángulos son complementariosy están en la relación de 4 a 5.

Calcula el menor de ellos.

a) 30º b) 60º c) 40º d) 50º e) 70º

34) Dos ángulos son suplementariosy están en la relación de 2 a 3.

Calcula el mayor de los ángulos.

a) 72º b) 36º c) 144º

d) 136º e) 108º

Q

S

R

P

T

24) Si m PQR= 60º, m PQT= 40º y QS es bisectriz del PQT, halla

m SQT.

a) 10º b) 20º c) 30º

d) 40º e) 50º

26) Calcula la diferencia entreel complemento de 20º y el

suplemento de 150º.

a) 10º b) 20º c) 30º

d) 50º e) 40º

2 3

80º

41) Halla el suplemento de .

a) 80º b) 160º c) 20º

d) 40º e) 100º

42) Calcula el complemento de x siOC es bisectriz de BOD.

a) 80º b) 160º c) 20º

d) 40º e) 100º

A O D

C

B

2x 20º

47) El complemento y el suplementode un ángulo están en relación

de 1 a 10. Calcula la medida de

dicho ángulo.

a) 10º b) 30º c) 80º

d) 40º e) 60º




21/27

Geometría


Aho ra resuelve tú



9) Si la diferencia de dos ánguloscomplementarios es 10º, calcula

el mayor de los ángulos.

a) 40º b) 50º c) 60º

d) 70º e) 80º

90º

180º 90º

90º 90º

180º

17) Calcula E =

a) d)

b) e)

c)

CCCC()

SS()

33) Dos ángulos son suplementariosy uno de ellos es el triple del otro.

Halla el mayor de ellos.

a) 120º b) 150º c) 160º

d) 135º e) 110º

4

39) Halla el complemento de .

a) 18º b) 36º c) 72º

d) 24º e) 30º




22/27


2°Sec - I Bim.

Reforc emos en casa


a) 5º b) 10º c) 18º

d) 22º e) 40º

x

4x

= 40º

3) Del gráfico, calcula si y soncomplementarios.

a) 60º b) 50º c) 40º

d) 30º e) 20º

4) Del gráfico, calcula si y sonsuplementarios ( = 50º).

a) 40º b) 60º c) 130º

d) 150º e) 160º

5) Si dos ángulos son complemen-tarios y uno es el doble del otro,

calcula el menor de los ángulos.

a) 30º b) 40º c) 60º

d) 80º e) 150º

8) Si la diferencia de dos ángulossuplementarios es 100º, calcula

el mayor de los ángulos.

a) 100º b) 110º c) 120º

d) 130º e) 140º

80º5x

12) Calcula x.

a) 14º b) 16º c) 18º

d) 20º e) 25º

15) Calcula: CCCCCCC(35º)

a) 35º b) 45º c) 55º

d) 65º e) 75º

16) Calcula: SSSSSSS(75º)

a) 75º b) 85º c) 95º

d) 105º e) 115º

60ºx

20º

19) Calcula x.

a) 20º b) 30º c) 40º

d) 50º e) 60º


a) 33º b) 66º c) 114º

d) 147º e) 150º

2

x

99º -

25) Halla la diferencia entre els u p l e m e n t o de 6 0 º y el

complemento de 70º.

a) 80º b) 90º c) 110º

d) 100º e) 120º

x10º

O

P

C

A

23) Si m AO C = 80º y OP esbisectriz del AOC, calcula x.

a) 15º b) 30º c) 40º

d) 65º e) 70º




23/27

Geometría


6 RectasParalelas

Ángulos formados pordos rectas paralelas yuna recta secante

Exteriores: 1, 2, 7, 8

Interiores: 3, 4, 5, 6

Alternos Internos: (3;6),(4;5)

Alternos Externos: (1;8),(2;7)Correspondientes: (1,5),(3,7),(4,8),(2,6)

Conjugados Interiores: (3,5),(4,6)

Conjugados Exteriores: (1,7),(2,8)

1 2

3 4

5 6

7 8

L1

L2

PROPIEDADES:

=

=

+ =180°

+ =180°

Ejemplos:

Resolución:

Si L1 //L

2, calcula + 2° .

a) 10° b) 15° c) 20°

d) 22° e) 25°

5= 100°

= 20° + 2° = 22°

Resolución:

x= 60°

80° L1

L2

2

x L1

L2

60°

Si L1 //L

2, calcula x.

a) 30° b) 40° c) 50°

d) 60° e) 70°

80°x L1

L22

100°

5

L1

L2

2= 80°

= 40°




24/27


2°Sec - I Bim.


2) Si L1 //L

2, ca lcula ‘‘x’’.

a) 15° b) 20° c) 25°

d) 40° e) 50°

100o

4x

L2

L1

5) Si L1 //L


a) 30° b) 35° c) 40°

d) 70° e) 140°

L2

L1

2x

140o

7) Si L1 //L2, ca lcula ‘‘x’’.

a) 16° b) 32° c) 80°

d) 100° e) 148°

x

148o

L2

L1

9) Si L1 //L


a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 60°

L2

L1

3x

60o

11) Si L1 //L


a) 20° b) 40° c) 50°

d) 60° e) 80°

3x

160° -x

L2

L1

13) Si L1 //L2, ca lcula ‘‘x’’.

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 50°

L2

L1

5x + 10°

3x - 70°

16) Halla si L1 //L

2.

a) 30° b) 32° c) 26°

d) 20° e) 25°

L2

L1

130o

2

21) Halla si L1 //L

2.

a) 30° b) 36° c) 40°

d) 32° e) 48°

L2

L13+ 20°

40°

22) Halla si L1 //L

2//L

3.

a) 120° b) 100° c) 110°

d) 130° e) 140°

4x

L2

L1

5x

L3

27) Halla x si L1 //L2.

a) 130° b) 150° c) 140°

d) 160° e) 120°

L2

L1 70°

x30°

28) Halla si L1 //L

2.

a) 30° b) 20° c) 35°

d) 45° e) 50°

L170°

L2

100°

29) Si L1 //L

2//L

3, calcula “x” .

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 60°

L2

L1 100

o

L3

60o

x




25/27

Geometría


31) Si L1 //L


a) 60° b) 80° c) 90°

d) 100° e) 120°

L2

L1

80o

x

20o

33) Si L1 //L

2//L

3, calcula “ x”.

a) 42,5° b) 67,5° c) 105°

d) 112,5° e) 125°

L2

L1

L3

3

x

5

35) Si L1 //L

2//L

3, calcula “x”.

a) 18° b) 28° c) 38°

d) 52° e) 60°

150o

L2

L1

58o

L3

x

42) Halla si L1 //L

2.

a) 90° b) 80° c) 100°

d) 95° e) 85°

L1

L2

40°130°

43) Halla x si L1 //L

2.

a) 26° b) 24° c) 32°

d) 36° e) 40°

L1

L2

60°

x

84°

49) Halla x si L1 // L

2 y además

AB= B C.

a) 40° b) 30° c) 35°

d) 45° e) 50°

L1

L2

45°

A C

x

B




26/27


2°Sec - I Bim.

Aho ra resuelve tú



25) Halla si L1 //L

2.

a) 10°

b) 18°

c) 20°

d) 24°

e) 36°

L1

L2 50°

150°

1) Si L1 //L


a) 10°

b) 20°

c) 30°

d) 40°

e) 80°

2x

40o

L2

L1

12) Si L1 //L


a) 30°

b) 40°

c) 50°

d) 60°

e) 80°

140° - x

L2

L1

2x - 40°

14) Si L1 //L


a) 50°

b) 30°

c) 20°

d) 10°

e) 5°

L2

L1

6x + 50°

100o




27/27

Geometría

140 “M arcandola difercia envalores hoy ysiempre”

Reforc emos en casa

3) Si L1 //L


a) 50° b) 55° c) 60°

d) 65° e) 70°

L2

L1

x

110o

4) Si L1 //L


a) 10° b) 15° c) 30°

d) 40° e) 60°

6) Si L1 //L


a) 12° b) 16° c) 18°

d) 20° e) 24°

L2

L1

5x

80o

8) Si L1 //L2, ca lcula ‘‘x’’.

a) 9° b) 35° c) 45°

d) 105° e) 135°

L2

L1

5x

135o

L2

L1

2x

120o

10) Si L1 //L


a) 5° b) 10° c) 15°

d) 12° e) 7,5°

L2

L1

8x

120o

20) Halla si L1 //L

2.

a) 25° b) 20° c) 24°

d) 18° e) 30°

L2

L1

6

30o

7

L2

L1

3

L3

23) Halla si L1 //L2//L3.

a) 36° b) 45° c) 48°

d) 50° e) 54°

26) Halla si L1 //L

2.

a) 40° b) 32° c) 36°

d) 45° e) 30°

L1

L2 40°

170°

30) Si L1 //L

2//L


a) 40° b) 50° c) 60°d) 70° e) 80°

L2

L1 120

o

L3

70o

x

8

x

2

L2

L1

L3

34) Si L1 //L

2//L

3, calcula “x”.

a) 60° b) 80° c) 138°

d) 144° e) 166°

32) Si L1 //L


a) 40° b) 50° c) 90°d) 130° e) 140°

L2

L1

70o

x

60o

50) Halla si L1 //L

2.

a) 32° b) 36° c) 54°

d) 27° e) 30°

L1

L2

54°

04 Geometría 2° I Bim Arcangel 2016

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