04 derivadasxxxx
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DERIVADAS
Anival Torre
ANIVAL TORRE
1
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Recta tangente y derivada
Ecuación de la recta tangente¿Cómo encuentro la pendiente?Derivada de orden superiorFormato de derivadasAplicación de la derivadaAplicación de la 1º derivadaAplicación de la 2º derivada Uso de la derivada
2
ANIVAL TORRE
![Page 3: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/3.jpg)
Integrales
Integrales definidosTeorema fundamental del cálculoDescomposición de fracciones parcialesIntegrales definidas
3
ANIVAL TORRE
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Recta tangente y derivada
a x h
La tangente es la recta que toca o corta en un solo punto a la gráfica de la función.
• Recta secante: cualquier recta que pasa por dos
puntos de una recta.
Por un punto de la curva
pasan infinitas secantes.
Recta normal: es la perpendicular a la recta tangente
Pendiente de la recta tg: derivada de
la función
Para definir la pendiente de la recta tangente
(pendiente de la gráfica) en el punto se emplea el
concepto de límite.
x
y
4
ANIVAL TORRE
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ax
bym
Pendiente: inclinación de una recta tg
El límite de la pendiente de una recta secante se define como la pendiente de una recta tangente
La pendiente se halla al derivar la
función.
bmxyLT
yxfm
5
ANIVAL TORRE
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Nos sirve para hallar la
constante : b
a b x
y 6
ANIVAL TORRE
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Ecuación de la recta tangente
HllanoLmiii
eDecrecientOLmii
CrecienteALmi
mxf
T
T
T
0
0
0
Aquí cambia la pendiente de la derivada.
7
ANIVAL TORRE
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Tipos de limites
0min adordenoax
xfx
by
lim
cmxy
x
xf
xm
lim
Limite vertical
Limite horizontal
Limite oblicuo
mxxfx
b
lim
8
ANIVAL TORRE
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h
xfhxf
hxf
dx
xdfxf
h
xfhxf
hxf
h
afhaf
haf
h
afhaf
h
ahx
hax
ax
afxf
ax
ax
afxf
axM T
0
lim
0
lim
0
lim
0
lim
0)(
lim
lim
2222
22
3
3
33
3
23
3
2
0
lim
3
0
lim
0
lim
3
:
xxxx
h
xxhxx
h
h
xx
h
hxhxf
ppfxxf
h
xfhxf
hxf
xxf
xx
ejm
9
ANIVAL TORRE
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Formato de derivadas
x
xx
x
ee
aaa
xx
xctgxx
xtgxx
xxctg
xxtg
xsencox
xxsen
xnx
xx
xx
nn
)13
1)12
0#)11
)10
ln.)9
2
1)8
.csccsc)7
.secsec)6
csc)5
sec)4
)3
cos)2
)1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
)23
.)22
)21
1ln)20
1
1csc)19
1
1sec)18
1
1)17
1
1)16
1
1arccos)15
1
1)14
g
gfgf
g
f
gfgfgf
gfgf
xx
xxxarc
xxarc
xxarcctg
xxarctg
xx
xxarcsen
10
ANIVAL TORRE
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( )[ ]xnarcsen 32ln
721
hospitalcong
f
g
flim
Derivadas
xsen ln
10110
1010
xx
x
Tiene que ser lineal.
5
3 4 6
1
2 3 4
11
ANIVAL TORRE
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xn
x
nb
n
x
bb
ln1
ln
1log
0ln
01ln
4
55
52
5
52
11
ln1
1
ln3
ln
xxxx
xarcsen
xarcsen
12
ANIVAL TORRE
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xxarcsenx
x
x
xarcsen
xxarcsen
xarcsenxxarcsenx
xxarcsen
x
xxarcsen
x
112
1
ln
ln
2
2
2
Ejercicio:
13
ANIVAL TORRE
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Como encuentro la pendiente?
112
31 2
xxy
xy
yxfm
bmxyLT
La encontramos derivando la función.14
ANIVAL TORRE
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Ejemplo: en el pto de abscisa se esta evaluando la pendiente, porque por ahí pasa pendiente.
yxmxy
xyLb
b
bxyL
m
xy
v
xy
T
T
,6
666
126
6
6
12
3,1
31 2
15
ANIVAL TORRE
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xe
yey
yexey
yxyyee
yxyye
yxyyxe
yxe
xyxe
xyxe
yHallar
yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
1
1
1.
11.
1.
1
:
yxy
yy
yyxyy
yyyxyy
yyxyxy
xyxy
xyxy
xyxy
yHallar
23
1
123
123
1.2
0
3
3
:
2
3
32
32
33
23
23
23
16
ANIVAL TORRE
![Page 17: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejercicio:
xx
xn ln1
ln
ln.)
.1
1)
2
aaii
arctgi
Pasos:1)Variable2)Logaritmo a ambos lados3)Desarrollo4)Derivarlas (ln y)5)y’ /y
17
ANIVAL TORRE
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zz
f
xx
e
xsen
dx
cx
b
xx
a
x
f
f
e
e
d
d
c
c
b
b
a
a
z
z
fedcbaz
fe
dcbaz
sol
xx
xarctgxxtgxsenz
23222
59
33
592
313
2
111
25
2
19
21seccos
2
159
ln2
1ln7lnln5ln9lnlnln
7
...
:
21.1cos7
231 18
ANIVAL TORRE
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Derivada de orden superior
62cos8
62432cos2
22)4
241012
104'''55)3
124)2
4)1
222
33333
2
324
234
34
x
xxsenxx
xxsenxxsen
x
xxxx
xxx
xx
xxsen
sen
2cos2
.cos
xx eex !101010
!nx
nn
Propiedad: n e N
FACTORIAL
19
ANIVAL TORRE
![Page 20: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/20.jpg)
1!11
nn
n
hxnhx
1
11
11
2019
2019
16151
19!126
9
261
19
2619
19
7)
123!1
1!123!1
1
2
3
1
1
2
2
1)
3!193
1)
!191
)
!15)
nn
nn
nnn
nnnn
nnn
xn
xx
x
x
xe
xxn
xnxn
xxxxd
xx
c
xx
b
xxa
Propiedad:
Ejemplos:
20
ANIVAL TORRE
![Page 21: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/21.jpg)
La derivada existe, porque por este pto
pasa una recta tg
En este intervalo la
función es +
0 xf
xf xf
(+) (-)
xf
xf
0 xf
En este intervalo la func. es -
21
ANIVAL TORRE
![Page 22: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/22.jpg)
En los extremos y esquinas y esquinas
pasan infinitas tg.
a b
c
d e f
g
h i
En los extremos y picos no existe la
derivada
Extremos relativo son los ptos. donde la función
alcanza un máximo o un mínimo
22
ANIVAL TORRE
![Page 23: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/23.jpg)
PC. ={a, b, c, d, e, f, g, h, i}
Extremo= {a, i}
Esquina={d}
Max={b, f, h}
Min={c, e, g}
{h} Max. Absoluto
{b, f} Max. Relativo
{c} Min. Absoluto
{e ,g} Min. Relativo Ext. Relativo
Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento:
<a, b>
<e, f>
<c,d>
<g,h>
<b, c>
<d, e>
<f, g>
<h, i>
23
ANIVAL TORRE
![Page 24: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejm:
1,3..
013
1
3
0963
00
963
293
2
2
3
CP
xxxf
x
x
xx
f
xxxf
xxxxf
-1 3
++-
intervalo Signo (f ’) crecimiento
,3
3,1
1, +
-
+
C
D
C
Max. (-1, 7)
Min. (3, -25)
24
ANIVAL TORRE
![Page 25: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/25.jpg)
Pasos a tener en cuenta en la tabla
A la función fraccionaria aplicar el caso general.
Trabajar por intervalo dando cualquier valor.
En la gráfica se empieza colocando los signos por la derecha, pero si la función es negativa se empezara con el signo negativo.
Se repite el signo cuando el exponente tiene multiplicidad par.
25
ANIVAL TORRE
![Page 26: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/26.jpg)
Uso de la derivada
Se utiliza para maximizar y minimizar funciones.
otro de los fines consiste en trazar la grafica en las funciones.
26
ANIVAL TORRE
![Page 27: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/27.jpg)
Aplicación de la derivada
Optimizar func.
Grafica func. 1) Aplicación de la primera derivada.
2) Asíntotas.
3) Aplicación de la segunda derivada.
4) Intersecciones con los ejes.
1) Aplic. 1 Derv.
Ptos. Críticos
xf
xf 0
a) Intervalo de crecimiento(+ crece; - decrec.)
b) Signo () el que toma la derivada
c) Crecimiento
d) Extremos relativos. (ptos. Donde la func. alcanza max y min)
27
ANIVAL TORRE
![Page 28: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/28.jpg)
3) Aplic. 2 deriv.
2) Asíntota
Asíntota horizontal
Asíntota vertical
Asíntotas oblicua
bmxy
adordenoax
xfx
by
0min
lim
mxxfx
b
lim
x
xf
xc
lim
Posibles puntos de inflexión
xf
xf 0 Ptos de concavidad
Signo (f ´´ )
Concavidad (concavo - convexo)
Ptos. De inflexion.
4) ptos. De intersección X = 0 , y = 0
28
ANIVAL TORRE
![Page 29: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/29.jpg)
Ejercicios: aplicación de la 1 derivada
1,2,1..
1
21
1
441
1
43
1
42131
1
21213:
1
2
3
2
3
2
4
23
4
32
4
322
2
3
CP
x
xxxf
x
xxxxf
x
xxxf
x
xxxxxf
x
xxxxxfSol
x
xxf
,2
2,1
1,1
1,
+
-
+
+
C
D
C
C
Intv. Cerc. signo Crecmt.
> Max. (-1,-3/4)
>> M
in. ( 1, )
Extm. relativo
29
ANIVAL TORRE
![Page 30: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/30.jpg)
Asíntotas
2
6lim:
12
3lim
1
2lim
lim
..)
2
2
3
x
xhóspital
x
x
xy
x
x
x
xby
HorizontalAa
2:..
21
22
1
12lim
1
2lim
lim
1
1
2lim
:.)
1
:.)
2
33
2
23
2
3
2
3
xyOA
xx
xxx
x
xxx
x
xx
x
x
mxxfx
c
m
xx
x
xm
cmxy
OblicuaAc
ax
VerticalAb30
ANIVAL TORRE
![Page 31: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/31.jpg)
1,2...01
62
1
213132
1
213112221
1
132112122
4
4
6
2
6
2232
IPPx
xxf
x
xxxxxxf
x
xxxxxxxxf
x
xxxxxxxxf
Aplicación de la 2 derivada31
ANIVAL TORRE
![Page 32: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/32.jpg)
21
+- -
Interv. Conc. Signo ( f ´´) concavidad Ptos. Infelx.
-
-
+
-
-
+(2,6)
32
ANIVAL TORRE
![Page 33: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/33.jpg)
-1-2
-2
-3/4
2
3
6
1 3 2
4
2C
O
N
C
A
V
o
Grafico: unir inf.
33
ANIVAL TORRE
![Page 34: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/34.jpg)
Secciones Próximas
3 5 6 7 9 10 12
4
6
7
10
12
15
-6
Tiene 11 seccione
s
Esas secciones son
: extremos, intersecciones con el eje “x” y al grafica.
Trigo
Espárrago
34
ANIVAL TORRE
![Page 35: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/35.jpg)
En la grafica anterior se muestra el nivel de ingreso por la exportación de espárrago y trigo (tonelada, millones de dólares).
Exprese matemáticamente ambos modelos:
1210,302
3
109,355
96,10
65,7616
53,2
53
2
13
30,4
xx
xx
x
xx
xx
xx
xt
Ej.
(9, 10) (10,15)
M=5/1=5
Y= 5x+b
10= 5(9)+b
10 = 45+b
-35 = b
Y= 5x-35
35
ANIVAL TORRE
![Page 36: 04 derivadasxxxx](https://reader038.fdocuments.ec/reader038/viewer/2022103116/559005491a28ab462e8b46f1/html5/thumbnails/36.jpg)
Gracias
36
ANIVAL TORRE