04 Campo Magnetic

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Problemas resueltos de Electricidad y Magnetismo E.T.S.I.T. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Electrosttica-Vaco 1) Suponiendo una nube de electrones confinada en una regin entre dos esferas de radios 2 cm y 5 cm, tiene una densidad de carga en volumen expresada en coordenadas esfricas: Calcular la carga total contenida en dicha regin. 2)Sobredosplacasparalelaseindefinidas,separadasporunadistanciad,sedistribuyenrespectivamentelas densidades de carga superficiales: s,1=2 Cm-2, s,2=4 Cm-2 . Calcular el campo entre los dos planos y en el espacio a derecha e izquierda de los mismos. 3)Sobrelasemicircunferenciaindicadaenlafigurasedistribuyeuna densidad de carga lineal l=o cos . a)Calcular la carga total distribuida sobre la semicircunferencia.b)Calcular el campo en el punto O. 4)SobreunacapasemiesfricaderadioR,tenemosunadistribucin superficial de carga uniforme s=1 Cm-2.a) Calcular la carga total en la capa semiesfrica. b) Calcular el campo elctrico en el centro O de la figura. 5) En el centro de una placa de espesor d e indefinida en las otras dos direcciones, existe un hueco esfrico de radio a. En la placa, excepto el hueco, se distribuye una densidad de carga uniforme v. Calcular el campo en el punto A, a una distancia d/2 de la placa. rXYO RYZXOaAdd/2)3(2cos4810 3 = m CRv ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Electrosttica-Vaco 6)Tenemosuncilindroindefinidoderadioa,sobrelsedistribuyeunadensidaddecargaencoordenadas cilndricas v=o sen(r/a), siendo v=0 para r>a. a) Calcular el campo elctrico. b) Si situamos una carga negativa sobre el eje del cilindro, ser estable la situacin de equilibrio de dicha carga?. 7)Unaesferasetaladradiametralmente,dejandounhueco cilndricoderadiob=10-2a.Elhuecosepuedeconsiderar filiformeencomparacinconelradioadelaesfera.Enla esfera,salvoenelhuecocilndrico,sedistribuyeunadensidad de carga uniforme v. Aplicandoel principio de superposicin, calcular el campo elctrico E en el punto P. 8) Calcular y dibujar el campo y el potencial, E y V, en funcin de R para la distribucin esfrica de carga: > < =a R y a R paraa R a para a Rov2 / 02 /2 / 1) / ( 9) Sobreunplanoindefinido tenemos dos distribuciones de carga. Una densidad superficial de carga uniforme -s sobreuncrculoderadioRyotradesignocontrariossobreelresto.Aplicandoelprincipiodesuperposicin, calcular el campo elctrico sobre el eje perpendicular al crculo y que pasa por su centro. 10) Sobre un disco plano de radio R se distribuye una carga superficial que vara radialmente de la forma: 20rsi r RoRssi r R| |< |= \ .> siendo r la distancia al centro del disco. Calcular el potencial y el campo en el eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. 2ba2aOPElectrosttica PROBLEMAS DE ELECTROSTTICA - VACO ! Ejercicio 1 La carga total vendr dada por: = =vdv Qdvdq con ( ) d dRd sen R dv2= . Sustituyendoladensidaddecargaenvolumen,eintegradoenelvolumen especificado: ( ) ( ) C d sen d dRRQ 6020205 . 002 . 02810 8 . 1 cos110 3 = = Electrosttica ! Ejercicio 2 Figura 2.1 Figura 2.2 Para resolver el problema, dividiremos el espacio en tres zonas: 1)Zona comprendida entre los planos. 2)Zona a la derecha, y > d. 3)Zona a la izquierda, y < 0. Paraunasolalmina,porsimetra(porserinfinita),elcampoelctricoEes perpendicularaellaytienelamismamagnitudenamboslados.Laaplicacindel teoremadeGaussenelcilindrodelafigura2,colocndolodeformaqueseacortado por la lmina con las tapas paralelas a su superficie, se obtiene la relacin siguiente: 0 0212 = = E ds E Siendo ds la superficie en las tapas. Aplicando lo sabido para una lmina a las del problema, distinguimos tres regiones distintas: 1)Zona comprendida entre los planos. Enestazonaelcampototalserlasumadeloscamposdebidosacadaunade lasdistribuciones,teniendoencuentaquetienenlamismadireccinperosentidos opuestos. 2 1E E E! ! !+ =Sabemos que: ) (2011 yu E=!) (2022 yu E =! Electrosttica Sustituyendo en laecuacin anterior: ) (202 1yu E =! Sustituyendo los valores de 1 y 2 :0 0) (24 2 yyuu E ==! 2)Zona a la derecha de los planos, y > d. Se procede de forma similar al apartado anterior, con la condicin particular de que en esta zona los camposcreadosporlasdosdistribucionestienenlamisma direccin y sentido, es decir, los dos tienen sentido hacia y > 0.Sabemos que: ) (2011 yu E=! ) (2022 yu E=! Sustituyendo en laecuacin anterior: ) (202 1yu E +=! Sustituyendo los valores de 1 y 2 :0 03) (24 2 yyuu E=+=! 3)Zona a la izquierda de los planos, y < 0. Calculamoselcampodemanerasimilaraloscasosanteriores,peroahoralos campos tienen sentido hacia y < 0, por tanto: ) (2011 yu E =! ) (2022 yu E =! Sustituyendo en laecuacin anterior: ) (202 1yu E =! Sustituyendo los valores de 1 y 2 : 0 03) (24 2 yyuu E = =! Electrosttica ! Ejercicio 3 1)Paracalcularlacargatotaldistribuidasobrelasemicircunferencia,teniendoen cuenta la definicin de la densidad lineal de carga: lql= 0 1lim Con lo que la carga total distribuida es: = dl Q1 1Donde el dl para el problema en concreto es: d r dl =y la densidad lineal de carga es: cos0 1 = rd Q = cos0 1 Est claro que la integral ha de ser evaluada entre -/2 y /2: =220cos rd Q

r y o pueden salir de la integral al no ser dependientes de quedando: ( ) r sen r d r Q02202202 cos = = = 2)El campo en el punto O, en una distribucin lineal de carga, se calcula como: ( )( )||.|

\|=310 ''41'r rdl r rr E Teniendo en cuenta que- r = 0 - r = r (cos ax + sen ay) - dl = r d- l = o cos- Evaluando la integral entre -/2 y /2: ( )+ =22300) (cos cos410 rrdr a sen a rEy x Ahora los trminos no dependientes con se pueden sacar fuera de la integral, tanto las r como o, quedando lo siguiente: Electrosttica + =220320) (cos cos4) 0 ( d a sen arrEy x Est claro que por la simetra que presenta el problema las componentes en el eje y del campo se van a ir anulando unas con otras, por ello la integral que queda para el eje y se ha de anular: d a sen d arEy x + =2222200cos cos4) 0 ( Para la primera integral se opera con el ngulo doble: x x x xa a asena d2 4 4 422 22 cos 1cos2222222 = |.|

\|+ =

+ =+= La segunda es inmediata y como se haba dicho ha de anularse: ]y y ya a sen a d sen 0 cos22222= = Quedando la siguiente expresin para el campo: |.|

\|+ =y za arE 02 4) 0 (00 La segunda parte del problema tambin se podra haber hecho con la expresin que se dio en clase, la cual est un poco ms simplificada: ( ) ||.|

\|=Rardlr E210'41' Para utilizarla se ha de tener en cuenta la direccin y sentido del vector aR Electrosttica ! Ejercicio 4 1)La carga total en la capa semiesfrica. Sabemos que, para una densidad superficial de carga: =ss sds Q Para una semiesfera: =202024 d d sen R Qs [ ] [ ]20202cos 4 = R Qs 22 R Qs = 2)El campo elctrico en el centro O de la figura. Como podemos observar, la componente horizontal del campo se anula, quedando slo la vertical. ds dq = d d sen RRdE =2241 Calculamos el campo infinitesimal efectivo) ( cosz efa d dE E d!! = : ) ( cos412020za d sen d E!! = [ ] ) (2 4120220 zasenE!!

= ) (41za E!! = Electrosttica ! Ejercicio 5 < - - - - - > AE1! d/2A A A AE E E2 1! ! !+ =

< - - - - - - - - - -- - - - - - -> d donde E1A y E2A son, respectivamente, los campos en A debidos a una placa maciza con densidad de carga v y a una esfera a centrada con densidad v. Para calcular E1A, al ser una placa indefinida podemos aplicar GAUSS. E1A! !! ! aplicando el teorema de gauss: = S d E! !.oQv Electrosttica S d!

AE1! S d!

AE1! "--------------------! d AE1! =tapasS d E! !.+lateralS d E! !. como en la superficie lateralS d! es perpendicular a AE1! entoncesAE1! S d! =0 90 cos = dS Ela integral se anula. AE1!= = tapasE Cos ds E10 . . ( ) = = =tapas tapasS E S E dS E dS 2 2 .

12 .voQE S = - - - - > = = =V Vv v vS d dV dV Q . .. 1. .2 .vAod SE S = - - - - >ovAdE2.1=xovAadE!!2.1=E2A! !! !Enunadistribucindecargaconsimetraesfrica,elcampocreadoenel exterioresequivalentealcreadoporunacargapuntualenelcentro,devalorlacarga encerrada por la distribucin. .A A A d/2 " - - - - - ! S d! - v E2a AE2!Electrosttica = =VVVV VdV dV Q . 3.34. r Qv V = por la ley de Coulomb: 2.41dQEVO=! 232. . 4.34.drEOVA =! = 23. . 3.daov =.. . 3.23daov . xa! por elprincipio de superposicin: ||.|

\| =2.33.2.da dEovoVA!xa! 32.2 3.VAOd aEd| |= |\ .! . xa! Electrosttica ! Ejercicio 6 1)CalcularemoselcampoelctricomedianteGauss.Paraellohemosde considerar dos casos: a) Caso de superficie gaussiana con a > r

Aplicamos Gauss considerando la superficie gaussiana un cilindro interior de radio r: rL E ds E s d E s d E s d Es lateral tapas s 2 = + = !!!!!! El campo es radial. En las tapas,s d! es perpendicular aE!por lo que se anula. En lasuperficienaturals d!esparaleloaE!conloqueseanulaelcarctervectorialy consideramos a E como una constante. Tomando L = 1 y aplicando Gauss nos quedamos con la expresin: vQr 2 E = AhorabuscamosQv,lacargalibreencerradaporlasuperficiegaussiana, integrando v: I rdrarsen dz d rdrarsen dv Qr rovv v 000102002 2 = |.|

\|= |.|

\|= = Haciendo la integral I por Partes: L =1arE!ra!s d!s d!a>r Electrosttica u = r du= dr dv= drarsen |.|

\| v = |.|

\| arCosa Sustituyendo en la integral: drar aarCosar Qrrv|.|

\|

|.|

\| =cos00 |.|

\||.|

\|+|.|

\| =arsenaarraQv2cos Iarrarsena aQv=

|.|

\| |.|

\|= cosPor lo que nos queda:

|.|

\| |.|

\| =arrarsena aQv cos20 Que sustituyendo en la expresin de Gauss nos da el campo: ) ( cos0roaarrarsenar aE!!

|.|

\| |.|

\|= b) Caso pa