AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

Resumen

Para el equilibrio se consideran las fuerzas: inercial, de fricción viscosa, y también el gradiente de presión, bajo la hipótesis de la dependencia de la velocidad libre de una potencia de la coordenada longitudinal. Con la participación de la viscosidad y del gradiente de presión se determinan dos jerarquías de longitudes independientes. Se obtiene que el coeficiente de arrastre se comporte como una potencia del inverso del número de Reynolds indexado; y la potencia depende tanto del índice de ocupación espacial, como del exponente de la velocidad libre; el primero como manifestación de la viscosidad, y el segundo, del gradiente de presión. Alternativamente, la fuerza de fricción puede describirse como la derivada fraccional de una potencia del número de Reynolds indexado, donde el orden de la derivada dependen del índice de ocupación espacial, en tanto la potencia depende del índice de ocupación espacial y de la potencia de la velocidad libre.

La existencia de la solución de similaridad presenta una disyuntiva, porque sólo una de las dos jerarquías de longitudes puede quedar libre. Con la libertad de la segunda jerarquía, la asociada al gradiente de presión, surgen dos formas genéricas para los fragmentos de fondo. Con su extensión periódica y la acción de la fuerza de fricción como derivada fraccional pueden transformase unas en otras, y después es posible describir el levantamiento y la entrega de los vórtices horquillas y de embudo.

1. Introducción

El objetivo del presente artículo es contribuir en la descripción de la fuerza de fricción entre corrientes y fondos. En efecto, se explica tanto el decaimiento con el crecimiento del número de Reynolds, como la meseta del coeficiente de arrastre; se obtienen las formas particulares de un fragmento del fondo que aporte la rugosidad, para extenderlas periódicamente; y describir la interacción de los vórtices con esas formas de fondo.

Se expone la ecuación Navier-Stokes fraccional, (Mercado et al., 2009), y luego se estudia la aproximación de la capa límite, (Mercado, 2010).

Se aborda primero el problema de la fuerza de fricción y luego se estudian las condiciones de existencia de una solución de similaridad.

En el estudio de la fuerza de fricción, se considera la contribución de la fuerza del gradiente de presión al equilibrio, junto a la fuerza de fricción viscosa y la fuerza inercial. Se admite como hipótesis que la velocidad libre dependa de la coordenada longitudinal, y ello se hace a través de una velocidad libre o exterior que se comporta como una potencia de la coordenada longitudinal, (White, 2006).

El resultado muestra que el coeficiente de arrastre se describe como una potencia negativa del número de Reynolds indexado. La potencia depende tanto del índice de ocupación espacial como del exponente de la velocidad libre, y además en forma acoplada; el primero como manifestación de la viscosidad, y el segundo, del gradiente de presión; en tanto los dos exponentes definen también dos jerarquías de longitudes, (Chester et al., 2007).

Se estructura la ecuación del momentum. De la ecuación de continuidad se obtiene una expresión para la velocidad transversal, que reintroducida en la ecuación del momentum, la transforma en una ecuación integro-diferencial para la velocidad principal. Con una transformación de escala similar al caso de la ecuación de Blasius, se introduce un coeficiente que cambia el cociente de la velocidad sobre la viscosidad; se obtiene una ecuación diferencial para la función subpotencial, que depende de otros 3 coeficientes; el último de los cuales resulta ser nulo, la diferencia de los dos primeros se normaliza a la unidad, lo que produce el cuarto coeficiente. Y se obtiene una ecuación Falkner-Skan fraccional, la cual contiene su versión clásica en el límite cuando el índice de ocupación espacial tiende a la unidad y el movimiento en la capa límite se hace laminar. Para el rango de interés, se obtiene un debilitamiento de la velocidad exterior, y por tanto un aumento del espesor de la capa límite, (White, 2006).

Para la existencia de una solución de similaridad, los coeficientes de la ecuación plantean una disyuntiva. O bien, como primera opción, el índice de ocupación es estrictamente menor que la unidad, siendo la única posibilidad de independizar los coeficientes de la coordenada longitudinal; lo que significa que la velocidad libre se comporte en forma lineal con dicha coordenada; que arroja como consecuencia que el exponente de la velocidad media en la pendiente hidráulica sea también la unidad, como ocurre con el modelo de variación de la presión con la velocidad en el flujo laminar de Hagen-Poiseuille; quedando libre la primera jerarquía de longitudes, y fija la segunda. En la segunda opción, el índice de ocupación espacial es la

COEFICIENTE DE ARRASTRE Y ECUACIÓN DE FALKNER-SKAN

Mercado Escalante Roberto, Guido Aldana Pedro, Sánchez Sesma Jorge, Íñiguez Covarrubias Mauro

Inst. Mexicano de Tecnología del Agua - IMTA, P. Cuauhnáhuac # 8532, CP 62550, Jiutepec, Mor., México

rmercado@tlaloc.omta.mxpedroguido@tlaloc.imta.mx

jsanchez@tlaloc.imta.mxmic@tlaloc.imta.mx

AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

unidad, entonces los coeficientes se hacen independientes de la coordenada longitudinal, y el coeficiente de arrastre puede asumir el comportamiento de una potencia del inverso del número de Reynolds; en la forma conocida para el régimen laminar, tanto para la subcapa viscosa como para la subcapa de mezcla; y quedando libre la segunda jerarquía de longitudes, en tanto se fija la primera. Por tanto, los resultados son compatibles con el conocido descenso del coeficiente de arrastre con el incremento del número de Reynolds.

Una meseta para el coeficiente de arrastre, característica del movimiento turbulento, se obtiene para el valor negativo del exponente de la velocidad exterior, e igual al inverso del índice de ocupación espacial; lo que alternativamente, puede lograrse si el índice de ocupación espacial tiende a cero. En tanto, que el exponente de la velocidad media en la pendiente hidráulica asume su valor máximo 2, como ocurre en el modelo de variación de la presión con la velocidad del flujo turbulento, que se expresa en la fórmula de Chézy; y se aplica, por ejemplo, en la ecuación de Manning, (Rouse, 1946).

Con la ecuación Falkner-Skan resultan dos tipos de formas de fragmentos: una cuña con elevación dado por un ángulo positivo o antihorario; o una depresión dado por un ángulo negativo u horario. Se establece su extensión periódica y se le representa como serie de Fourier. La fuerza de fricción actuando sobre esas formas como derivada fraccional transforma unas en otras, por ejemplo desde la onda triangular hasta la onda rectangular; en tanto la integral fraccional lo hace en sentido inverso.

Para estas formas periódicas se introducen dos longitudes características: el periodo y la altura de la rugosidad; y es posible describir la interacción del fluido con los distintos valores de periodicidad, abriendo también la posibilidad de describir el levantamiento de los vórtices nudos horquillas desde estas formas y su posterior entrega a la corriente principal, que eventualmente emergen en la superficie del fluido como bursting, o bien el comportamiento intermitente de “eyecciones y barridos”, (Clifford et al., 1993).

2. Métodos

Ecuación fraccional de Navier-Stokes

El movimiento del fluido se describe desde el punto de vista Eureliano, considerando un volumen de fluido limitado por una superficie de frontera; su momentum se da por , calculado por unidad de volumen. Se considera la interacción

por fricción. El gradiente fraccional se expresa por

, la difusividad del momentum es la -viscosidad

cinemática , así que el flujo de Darcy de momentum es

(1)

La composición del esfuerzo de fricción viscosa y la presión

conforma el tensor , que da la ley de

deformación. Así la divergencia del esfuerzo es el cambio

de momentum por unidad de volumen

.

Se incorpora una fuerza potencial externa, por unidad de volumen, del tipo . Se toma en cuenta la incompresibilidad. Se hace explícita la derivada material modificando el aporte advectivo

, (Sommerfeld,

1950). Y se describe la dinámica de la evolución del campo de velocidades como la contradicción entre la vorticidad y la viscosidad; en tanto que al otro término se le interpreta como la restricción que contiene la ecuación de Bernoulli, (Mercado et al., 2009),

(2)

Al coeficiente los autores también lo llaman viscosidad

fraccional debido a sus unidades, y puede compararse con la viscosidad turbulenta de Boussinesq, y por tanto, emerge el

número de Reynolds indexado , siendo el

índice de ocupación espacial,

3. Ecuaciones de capa límite

Las ecuaciones de la capa límite surgen de la ecuación fraccional de Navier-Stokes como una aproximación inducida por la premisa de su espesor relativamente delgado. Ésta se expresa como: la dirección principal para la velocidad es la de aguas abajo y con un gran gradiente de velocidad vertical, comparado con el longitudinal, que lleva a la velocidad a cumplir la condición de no deslizamiento en el fondo del canal; y por el contrario, los gradientes de presión son leves en la dirección vertical comparados con los fuertes en la longitudinal, (Landau & Lifshitz, 1987).

Se definen las variables adimensionales identificando apropiadamente las longitudes y velocidades características. De la ecuación del momentum y la de la divergencia nula, y buscando la invarianza de forma, se obtienen las variables adimensionales, cuyas expresiones definen la relación de renormalización para las coordenadas y las velocidades, (Mercado, 2010).

(3)

(4)

(5)

AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

(6)

Por lo que la transformación de renormalización refleja también la hipótesis esencial de la delgadez de la capa límite, cuyo espesor es una función decreciente con el número de Reynolds indexado. Análogamente, para el cambio de escala

de la velocidad vertical se tiene , lo que

muestra que la velocidad vertical decrece también con el crecimiento del número de Reynolds indexado. Así mismo, se constata que al tomar el límite cuando el índice de ocupación espacial tiende a 1, se recupera la transformación de renormalización por cambios de escala de la ecuación clásica de Navier-Stokes. La versión estacionaria se escribe

(7)

La ecuación de la capa límite bidimensional

, en su

versión estacionaria o permanente es

; y la

conservación de la masa en su forma de divergencia nula

, con la condición

, donde es la

velocidad libre o exterior, (Landau & Lifshitz, 1987), por o que la ecuación del momentum adquiere la forma (8), junto a la divergencia nula (9),

4. Ecuación Falkner-Skan fraccional

En la aproximación Falkner-Skan está presente el gradiente longitudinal de la presión y su contribución al equilibrio; a través de permitir que la velocidad libre o exterior dependa de la coordenada longitudinal. En la aproximación Blasius se asume nulo el aporte del gradiente de presión, y el equilibrio se establece sólo entre la fuerza viscosa y la fuerza inercial.

El método consiste en combinar la ecuación del momentum con la conservación de la masa, para luego buscar una variable de similaridad análogo a lo elaborado en la ecuación de Blasius.

Para ello de la ecuación de continuidad se obtiene una expresión para la velocidad transversal

, donde se

asume que es al menos localmente integrable. Luego en la del momentum

; y con , se tiene la nueva

versión de la ecuación del momentum (10), que refleja el equilibrio entre la fuerza inercial y la que resulta de la composición entre la fuerza viscosa con la del gradiente de presión:

(10)

5. La fuerza de fricción

Se aborda el estudio de la fuerza de fricción y se quiere ver de qué manera se manifiesta el gradiente de presión longitudinal cuando se admite que la velocidad libre varía como una potencia de la coordenada longitudinal, que es denotada por ; y también cómo lo hace el esfuerzo

viscoso. Conviene dividir la tarea en dos casos: el que se estudia en el caso de Falkner-Skan fraccional; y el

que conduce a la ecuación Blasius fraccional.

El esfuerzo

El esfuerzo se concibe proporcional al gradiente fraccional de la deformación. Se aplica la aproximación de la capa límite, por lo que predomina el gradiente longitudinal, que se expresa por el gradiente transversal del potencial de la velocidad, mismo que surge en la búsqueda de una solución de similaridad para la ecuación Falkner-Skan.

Por tal razón, el esfuerzo se calcula como

. Con el aporte del teorema

fundamental del cálculo y la regla de la cadena, para derivadas de orden entero, se obtiene

. Por lo que intervienen

tres factores primordiales: la integral fraccional que se

denota por ; una potencia de

la velocidad exterior, y otra potencia de la coordenada longitudinal, por tanto, resulta

(8)

(9)

AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

, mismo que se rescribe

como coeficiente de arrastre local,

(11)

El resultado se valora observando su comportamiento cuando . En efecto se observa que

, lo que corresponde al

comportamiento conocido, en donde el coeficiente desciende cuando crece la coordenada longitudinal, y lo hace proporcional a la potencia del inverso del número de Reynolds, (Rouse, 1946).

El parámetro , representa una

longitud para cada valor particular del índice de ocupación espacial . Por tanto, la interacción del fluido se da con una jerarquía de longitudes, la cual tiene dos extremos para el

número de Reynolds indexado; si , se tiene ; y

el otro extremo, si , es .

La fuerza de fricción, por unidad de longitud binormal, se

calcula por , se introduce el esfuerzo,

representando la velocidad libre por , se

reagrupan los diferentes factores en el coeficiente ,

y se obtiene que el coeficiente de arrastre resulta ser proporcional a una potencia recíproca del número de Reynolds indexado, estando la potencia representada por

y se le ha denominado exponente de

Blasius,

(12)

Una primera consecuencia es que el exponente de la velocidad en la pendiente hidráulica no es fija sino que asume el valor ; y por tanto, la ley de variación de la presión con la velocidad tiene exponente

, con lo que varía con la

viscosidad y con el gradiente de presión a través de y .

Como dimensión el exponente debe ser positivo, lo que restringe el rango de variación del exponente a la unión

de intervalos . En tanto como

exponente, en la ley de variación de la presión con la

velocidad, su valor máximo debe ser , por lo que

.

Es posible la representación , porque

existe un tal que , siempre que

. Además, se observa que si se acerca a cero, por la

derecha, el valor de puede llegar a ser bastante alto. Esta representación constituye una generalización del resultado experimental de Blasius, (Mercado et al., 2011).

El resultado experimental de Blasius también queda contenido en la representación

, porque si se

tiene . Este modelo reproduce además el modelo

laminar de Hagen-Poiseuille con , que produce .

Se obtiene la meseta en el coeficiente de arrastre con el valor . Lo que implica que en la pendiente hidráulica ,

el exponente de la velocidad media es 2; lo que corresponde al modelo turbulento en donde la variación de la presión con la velocidad se expresa por la fórmula de Chézy, y es asumida en la ecuación de Manning. Alternativamente, el mismo resultado se obtiene si .

Puede describirse el coeficiente de arrastre como el resultado de la acción de la derivada, de cierto orden fraccional, sobre una potencia del recíproco del número de Reynolds indexado, lo que produce el exponente de Blasius.

En efecto, existe un coeficiente que depende de y

tal que la derivada de orden del recíproco

del número de Reynolds indexado elevado a la potencia

reproduce el coeficiente de arrastre

(13)

Solución de similaridad

Se quiere ahora encontrar una solución de similaridad para la ecuación Falkner-Skan, y se sigue un método análogo al de

la ecuación de Blasius , con la

particularidad que la velocidad exterior varía aguas abajo. Se observa que la velocidad adimensional longitudinal con respecto a la velocidad libre queda representada por la

derivada de la función subpotencial , (White,

2006).

AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

Se introduce la variable de similaridad por

, donde es

una constante. En la ecuación del momentum se calculan y superponen las dos contribuciones de la aceleración inercial,

luego se suprime el término y se sustrae

; lo que finalmente produce

.

Para la expresión del esfuerzo viscoso se obtiene

.

Por tanto, finalmente la ecuación del momentum queda:

(14)

De donde,

(15)

La que se ha denominado ecuación Falkner-Skan fraccional,

junto a las dos condiciones de contorno y

; siendo el coeficiente principal y el

secundario, (White, 2006).

Para el coeficiente principal su relación explícita con la

coordenada longitudinal es

. En tanto,

para el coeficiente secundario resulta

.

En consecuencia, la ecuación Falkner-Skan contiene dos coeficientes, denominados principal y secundario. Para que exista la variable de similaridad se requiere que estos coeficientes se hagan independientes de la coordenada longitudinal ; emergen por tanto dos opciones: o bien

y , lo que deja la primera jerarquía libre; o bien

y arbitrario, y queda la segunda libre.

Para la denominada segunda opción, con , se

produce , luego , y

; y resulta la ecuación Falkner-Skan clásica

.

Si el gradiente de presión longitudinal es

negativo o favorable, debido a que los signos de y de

coinciden; mientras que en el caso contrario ,

el gradiente de presión es positivo o desfavorable.

6. Fondo y vórtices

Los vórtices o estructuras coherentes que se forman cerca del fondo son los patrones de flujo más significativos de la capa límite. En general, una estructura coherente puede definirse como un patrón de flujo con un tiempo de vida y una extensión en el espacio mayor que el promedio de las escalas de turbulencia en un flujo. En sus investigaciones, Kaftory (1993) y Guido (2007) observaron la ocurrencia de este fenómeno, aplicando técnicas ópticas de medición no intrusivas como la anemometría láser Doppler y la velocimetría por imágenes de partículas (PIV por sus siglas en inglés) en flujo en canales sin y con transporte de sedimentos. Las formas de fondo ocasionan un rompimiento de la capa límite desarrollada y una recirculación aguas abajo de las mismas, cuya principal característica es la baja velocidad del fluido y la formación de vórtices que finalmente se desprenden e incorporan al flujo de alta velocidad, por encima de la capa cortante. Kaftory (1993) comenta que han sido observadas tres tipos de estructuras: barridos de baja velocidad muy cerca del fondo o pared, vórtices con forma de herradura u horquilla que aparecen a alturas un poco mayores y eyecciones de fluido desde el fondo al flujo medio (fenómeno conocido como bursting), que se complementa con barridos de flujo desde la zona media hacia la región de la pared.

La forma del fondo se aproxima realizando una extensión periódica de los fragmentos que resultan del análisis de la ecuación de Falkner-Skan clásica, los cuales tienen la forma de una elevación o cuña con ángulo positivo o antihorario; o bien una depresión de ángulo horario; los dos siendo circuidos por el flujo inviscoso. Entonces, la forma de fondo se aproxima por una serie de Fourier.

Por ejemplo, la onda rectangular, de período espacial y

altura , se representa por con

. Sin embargo, para

realizar las representaciones gráficas conviene usar los filtros de Lanczos para regularizar la aproximación en las esquinas, debido a que se sabe que la convergencia de la misma falla en dichas esquinas. Así que se introduce como filtro la

x50 100 150

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

g= 0.51020

AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

función , y en particular

se escoge . Los fragmentos regularizados se

describen por . La

derivada fraccional de esos fragmentos, de tipo Weyl y de

orden , resulta

y

Dichos fragmentos se representan normalizados por

y con período , se grafican por

, y se ilustran para tres valores

de . Así para son rectángulos de altura unitaria; para

los mismos tiene una forma similar a las aletas

de tiburón; y para se obtiene un tren de onda triangular. Las figuras 1, 2 y 3 muestran la evolución que produce la acción de la integral fraccional, desde los rectángulos, pasando por las formas de aleta, hasta los triángulos. Y por supuesto, la derivada fraccional realiza la transformación en orden inverso.

Con la representación de la rugosidad por medio de series de Fourier, como la onda rectangular y su evolución inducida por los diversos órdenes de la integral fraccional, se tienen dos longitudes: el periodo y la altura de la rugosidad.

Figura 1. Gráfica de fragmentos para .

Puede considerarse la razón de las dos longitudes . Por lo que resultan, entonces, por lo menos dos tipos de situaciones: es relativamente alto con respecto a , luego

. Lo que permite que vórtices se anuden circundando cada fragmento y se extiendan hasta el siguiente, que eventualmente podría estar muy distante. Estos vórtices podrían describirse como nudos vórtices

horquillas. El tamaño del vórtice nudo podría ser del

orden de la longitud de periodicidad, o bien , o tal vez

un múltiplo de ella para dar lugar a los vórtices anidados. Estos vórtices horquillas son levantados por la corriente, se reproducen formando vórtices anudados y posteriormente se integran a la corriente del flujo medio externo, así que alimentan la capa libre de corte desde la zona de separación del flujo, (Clifford et al., 1993).

En el otro extremo es relativamente bajo con respecto a ,

o sea . Los eventos anteriores tienen poco espacio en donde desarrollarse y el flujo se comporta de forma rasante.

Figura 2. Gráfica de fragmentos para .

Figura 3. Gráfica de fragmentos para .

7. Conclusiones

AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA

ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012AMH

El equilibrio en la capa límite se determina por el triángulo dinámico de las fuerzas: inercial, viscosa, y gradiente de presión; por lo que se obtiene el coeficiente de arrastre y resulta representado por una potencia del recíproco del número de Reynolds indexado; y a la potencia se le denominó exponente de Blasius.

El exponente de Blasius es función tanto del índice de ocupación espacial, lo cual refleja la viscosidad; como del exponente de la velocidad libre, que trasluce el gradiente de presión.

El resultado también exhibe una estructura multifractal, donde la resolución se da por el recíproco del número de Reynolds indexado y el exponente de Blasius por el espectro de dimensiones.

Alternativamente, la fuerza de fricción se describe como un operador dado a través de una derivada fraccional cuyo orden depende tanto del índice de ocupación espacial como de la potencia de la velocidad libre.

La existencia de una solución de similaridad presenta una disyuntiva, o bien el índice de ocupación espacial es estrictamente menor que la unidad, lo que significa que la velocidad exterior es lineal con la coordenada longitudinal; y por tanto, que la pendiente hidráulica se da de acuerdo con el flujo de Haggen-Poiseuille. O bien, el índice de ocupación espacial es la unidad, y se tiene el caso del régimen laminar de movimiento; caso en que la interacción entre el fluido y la frontera presenta sólo una longitud característica. Sin embargo, el exponente de la velocidad exterior queda libre y puede asumir cualquier valor diferente de cero, pero debido a la compatibilidad con la descripción como dimensión multifractal, se excluye el intervalo . Esta libertad del exponente de la velocidad exterior, permite considerar diversas formas para los fragmentos de fondo que pueden ir desde un rectángulo hasta un triángulo.

La acción del fluido sobre las formas de fondo puede describirse por medio de la actuación de la integral fraccional que eventualmente puede cambiar la forma de los fragmentos periódicos desde el rectángulo hasta el triángulo pasando por etapas intermedias, como las formas de aleta de tiburón; mientras, por supuesto, la derivada fraccional realiza la transformación en orden inverso.

Referencias

Chester, S.; Meneveau, C.; Parlange, M.B. (2007). “Modeling turbulent flow over fractal trees with renormalized numerical simulation”. Journal of Computational Physics. No. 225, pp. 427-448.

Clifford, N.J.; French, J.R.; Hardisty, J. (1993). Turbulence, Perspectives on flow and sediment transport. 13 Sand Transport Response to Fluctuating Wind Velocity, pp. 304-334.

Guido, P. (2007). Estudio experimental del transporte de partículas sólidas en flujo turbulento. Tesis Doctoral. UNAM.

Kaftory, D. (1993). Structures in the turbulent boundary layer and their interaction with particles. PhD Thesis. University of California, Santa Barbara.Landau L. D., E. M. Lifshitz, (1987). Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford, pp. 539.

Mercado, J.R.; Guido, P.; Sánchez, J.; Íñiguez, M.; González, A. (2011). “Analysis of the Blasius' formula and the Navier-Stokes fractional equation”. Memorias XVII Congreso Nacional de la DDF; del 8 al 11 de noviembre, en Guadalajara, Jalisco. Aceptado Abril 2012.

Mercado, J.R.; Íñiguez, M.; Brambila, F.; Ojeda, W. (2011). “Perfil del agua sobre el cimacio y las ecuaciones Reynolds fraccionales”. Tecnología y Ciencias del Agua (antes Revista Hidráulica en México). Fecha de recepción: 27 de Abril, 2011. Artículo Sometido.

Mercado, J.R. (2010). “Ecuación Blasius fraccional”. Congreso Latinoamericano de Hidráulica, Punta del Este, Uruguay. Artículo publicado en las Memorias, bajo la referencia 237.

Mercado, J.R.; Ramírez, J.; Perea, H.; Íñiguez, M. (2009). “La ecuación Navier-Stokes fraccional en canales de riego”. Revista de Matemática: Teoría y Aplicaciones, (International Journal on Mathematics: Theory and Applications). Artículo sometido, fecha de recepción: junio 14, 2009; RMTA-082-2009.

Rouse, H. (1946). Elementary Mechanics of Fluids, Dover, Publ., New York, pp. 376.

Sommerfeld, A. (1950). Mechanics of Deformable Bodies, Academic Press, N. York, pp. 396.

White, F.M. (2006). Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, New York, pp. 629.