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ANLISIS DE DATOS EN INGENIERAVARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADESIng. Rodrigo Wadnipar, M. Sc.

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23. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (10HT, 5 HP)3.1 Variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad, distribucin de probabilidad acumulada.3.2 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta, propiedades.3.3 Distribuciones de probabilidad discreta especiales (Binomial, Hipergeomtrica, Poisson, Binomial Negativa, Geomtrica, Uniforme Discreta)3.4 Distribuciones de probabilidad continua y sus distribuciones de probabilidad.3.5 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua, funcin de distribucin.3.6 Distribuciones de probabilidad continua especiales (Normal, Exponencial, Uniforme continua)3.7 Aproximaciones entre las distribuciones de probabilidad.3.8 Relacin entre las distribuciones de Poisson y Exponencial.

333BibliografaStatistics for Engineering and the Sciences. Mendenhall William. Pearson Prentice-Hall,2007. Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., YE, Keying. Octava edicin Editorial PEARSON Educacin.Probabilidad y estadstica aplicadas a la ingeniera. Montgomery, Douglas C. y George C. Runger. Editorial Limusa Wiley.

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIALa estadstica realiza inferencias acerca de las poblaciones y sus caractersticas.Por ejemplo, el espacio muestral que ofrece una descripcin detallada de cada posible resultado, cuando se prueban tres componentes electrnicos, se escribe como:S = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}Donde N denota no defectuoso y D defectuoso. 4

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Evidentemente, nos interesa el nmero de no conformes que se presenten.A cada punto en el espacio muestral se le asignar un valor numrico de 0, 1, 2, 3.Estos valores son, por supuesto, cantidades aleatorias determinadas por el resultado del experimento.Esos valore se pueden ver como valores que toma la variable aleatoria X. Una variable aleatoria es una funcin que asocia un nmero real con cada elemento del espacio muestral.

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CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Utilizamos una letra mayscula, digamos X, para denotar una variable aleatoria; y su correspondiente letra minscula, x en este caso, para uno de sus valores.En el ejemplo de la prueba de componentes electrnicos, la variable aleatoria X toma el valor de x = 2 para todos los elementos en el subconjuntoE = {DDN, DND, NDD} del espacio muestral S. Esto es, cada valor posible de X representa un evento que es un subconjunto del espacio muestral para el experimento dado.6

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CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)

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Simulacin del ejemplo de tres componentes electrnicos.Componente electrnico defectuoso para # aleatorio 0,5

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Ejemplo 3.1 WSe sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo, de una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el nmero de bolas rojas, son:

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CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Ejemplo 3.2 WEl empleado de un almacn regresa tres cascos de seguridad al azar a tres trabajadores de un taller siderrgico que ya los haban probado. Si Smith, Jones y Brown, en ese orden, reciben uno de los tres cascos, liste los puntos mustrales para los posibles rdenes de regreso de los cascos, y encuentre m de la variable aleatoria M que representa el nmero de asociaciones correctas. Solucin: Si S, J y B representan, respectivamente, los cascos de Smith, Jones y Brown, se tiene:9

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CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)En cada uno de los ejemplos anteriores, el espacio muestral contiene un nmero finito de elementos.Cuando se lanza un dado hasta que salga un 5, obtenemos un espacio muestral con una secuencia de elementos interminables, S = {F, NF, NNF, NNNF, NNNNF,}, donde F y N representan, respectivamente, la ocurrencia y la no ocurrencia de un 5. Sin embargo, incluso en este experimento el nmero de elementos puede ser igual a todos los nmeros enteros, de manera que hay un primer elemento, un segundo, un tercero y as sucesivamente, y en este sentido se pueden contar.10

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Hay casos en los que la variable aleatoria es categrica por naturaleza y se utilizan las llamadas variables ficticias o indicadoras.Un buen ejemplo de ello es el caso en que la variable aleatoria es binaria por naturaleza, como se indica a continuacin:Ejemplo 3.3 WConsidere la condicin en que los componentes llegan de la lnea de ensamble y se clasifican como no conformes y conformes. Defina la variable aleatoria X mediante11

CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Ejemplo 3.4 WLos estadsticos utilizan planes de muestreo ya sea para aceptar o para rechazar lotes de materiales. Suponga que uno de los planes de muestreo implica el muestreo independiente de 10 artculos de un lote de 100 de ellos, donde hay 12 no conformes.Sea X la variable aleatoria definida como el nmero de artculos que estn no conformes en la muestra de 10. En este caso, la variable aleatoria toma los valores de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

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CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Ejemplo 3.5 WSuponga que un plan de muestreo implica el muestro de artculos hasta cuando se encuentre uno no conforme. La evaluacin del proceso depender de cuantos artculos consecutivos se observan.En este aspecto, sea X una variable aleatoria que se define como el nmero de artculos observados hasta cuando salga uno no conforme.Se asigna N a conforme y D a no conforme; los espacios mustrales son S = (D) dado que X = 1 S = (ND) dado que X = 2, S = (NND) dado que X = 3, S = (NNND) dado que X = 4, y as sucesivamente.

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CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA (continuacin)Ejemplo 3.6 WEl inters se centra en la proporcin de personas que responden a cierta encuesta por correo. Sea X tal proporcin. X es una variable aleatoria que toma todos los valores de x para los cuales 0