*CONTENIDOEl transformador ideal.Sistema por unidad.Circuito equivalente del transformador real.

*El TRANSFORMADOR IDEAL

*TRANSFORMADOR BSICO MONOFSICO DE DOS DEVANADOSFigura 3.15711

* Para un transformador ideal se asume lo siguiente:1).- Los devanados tienen cero resistencia, por lo tanto, las prdidas (I 2R) en los devanados son cero.2).- La permeabilidad ( C ), del ncleo, es infinita, lo cual corresponde a una reluctancia cero del ncleo.3).- No hay dispersin de flujo, es decir, el flujo (C ) ntegramente est confinado en el ncleo y enlaza ambos devanados.4).- No existen prdidas en el ncleo. 4

* Una representacin esquemtica de un transformador ideal de dos devanados es mostrada en la figura 3.2.Figura 3.2712531516

* Para un transformador ideal, ( C ) es considerada infinita, lo cual hace que la reluctancia (RC ) sea cero, por lo que en base a la Ley de Ampere, tenemos: En la prctica, los devanados y ncleo de un transformador de potencia estn contenidos dentro de un recipiente cerrado y la direccin de los devanados no son visibles. 1148

* Una forma convencional para informar sobre la forma en que estn enrollados los devanados, son las marcas con puntos en una terminal de cada devanado. Estas marcas son llamadas marcas de polaridad. La ecuacin 3.1 est escrita para corriente I1 entrando por la terminal con marca de polaridad y la corriente I2 saliendo por la terminal con marca de polaridad.

* Tal como se dijo I1 e I2 estn en fase, puesto que: Si la direccin seleccionada para I2 fuera invertida, entonces I1 estara 180 fuera de fase con I2 .13

* La ley de Faraday expresa que el voltaje e (t) inducido, a traves de un devanado de N vueltas, por un flujo (t) que enlaza al devanado variando con respecto al tiempo, es: Asumiendo un flujo senoidal en estado estable con frecuencia constante ( ) y representando a e(t) y (t) por sus fasores E y , la ecuacin 3.3 se convierte en :

* Para un transformador ideal, asumimos que el flujo total esta confinado al ncleo, enlazando ambos devanados. De la ley de Faraday, los voltajes inducidos a travs de los devanados de la figura 3.1 son:12

* Dividiendo las ecuaciones 3.5 y 3.6, tenemos: Las marcas de polaridad mostradas en la figura 3.2 indican que los voltajes E1 y E2, tienen su polaridad positiva en las terminales marcadas, por lo que ambos voltajes estn en fase. Si la polaridad es cambiada para uno de los voltajes en, E1 estar desfasado 180 con respecto a E2.13

* La relacin de vueltas ( a t ) est definida como: Usando la ecuacin 3.8 en las ecuaciones 3.2 y 3.7, las relaciones bsicas para un transformador ideal monofsico de dos devanados son:

* Derivadas de las ecuaciones 3.9 y 3.10, se pueden obtener dos relaciones adicionales, relacionadas con la potencia compleja y la impedancia, como sigue:155051

* La potencia compleja que entra al devanado 1 en la figura 3.2, es:. Usando las ecuaciones 3.9 y 3.10, tenemos:. Esto es, en un transformador ideal no se tiene prdidas de potencia real o reactiva.21

* Si una impedancia Z2 es conectada a travs del devanado 2 del transformador ideal de la figura 3.2, entonces:. Esta impedancia cuando es medida desde el devanado 1, es:.21

*EJEMPLO 3.1 a).- El voltaje a travs del devanado de 480 V. Un transformador monofsico de dos devanados, de 20 KVA , 480 / 120 V , 60 Hz nominales; el devanado de 480 V est conectado a una fuente de 480 V y alimenta una impedancia de carga conectada al devanado de 120 V La carga absorbe 15 KVA: a 0.8 f.p. atrasado, cuando el voltaje de la carga es de 118 V. Asumiendo que el transformador es ideal, calcule lo siguiente:.b).- La impedancia de la carga.c).-La impedancia de la carga referida al devanado de 480 V.d).- La potencia real y reactiva suministrada al devanado de 480 V. 18

* a).- El circuito de la figura 3.3 muestra el devanado 1 que representa al devanado de 480 V y el devanado 2 que representa al devanado de 120 V. Figura 3.3171920

* Seleccionando al voltaje de carga E2 como el voltaje de referencia: La relacin de vueltas es: Y el voltaje a travs del devanado 1 es:

*b).- La potencia compleja S2 , absorbida por la carga, es: Despejando la corriente de carga I2 , es:

* La impedancia de carga es:c).-De la ecuacin 3.14 la impedancia de carga referida al devanado de 480 V, es:d).-De la ecuacin 3.12 , tenemos:

* Por lo tanto, las potencias real y reactiva entregadas al devanado de 480 V, son:

*CIRCUITOS EQUIVALENTES PARA EL TRANSFORMADOR REAL

* La figura 3.4 muestra un circuito equivalente de un transformador real monofsico de dos devanados, el cual difiere del transformador ideal por lo siguiente:.1).- Los devanados tienen resistencia.2).- La permeabilidad ( C ), del ncleo, es finita.3).- El flujo magntico (C ) no esta enteramente confinado en el ncleo.4).- Existen prdidas de potencia real y reactiva en el ncleo.

*CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR REAL MONOFSICO DE DOS DEVANADOS (1)Figura 3.4242627

* La resistencia R1 esta incluida, en la figura , en serie con el devanado 1, para considerar las prdidas (I2R) en ese devanado. Una reactancia X1, llamada reactancia de dispersin del devanado 1, es tambin incluida en serie con el devanado 1, para considerar el flujo de dispersin del devanado 1. Este flujo de dispersin es la componente del flujo que enlaza al devanado 1, pero no enlaza al devanado 2; esto causa una cada de voltaje I1(jX1), la cual es proporcional a I1 y adelanta a I1 por 90.

* Hay tambin una prdida de potencia reactiva I12X1, asociada con esa reactancia de dispersin. Similarmente, hay una resistencia R2 y una reactancia X2 en serie con el devanado 2. El circuito equivalente de la figura 3.4, el cual incluye la derivacin en paralelo con admitancia (Gc - jBm) Mohs, permite considerar las prdidas en el ncleo y las prdidas por magnetizacin. Note que cuando el devanado 2 esta abierto (I2 = 0) y cuando un voltaje senoidal V1 es aplicado al devanado 1, entonces la corriente I1 tendr dos componentes, la corriente de prdidas en el ncleo IC y la corriente de magnetizacin Im.

* Asociado con Ic , existe una prdida de potencia real. Esta prdida de potencia real considera, las prdidas dentro del ncleo por corrientes de histresis y eddy.

* Las prdidas por histresis ocurren porque una variacin cclica de flujo dentro del ncleo requiere energa que se disipa en forma de calor. Las prdidas por histresis pueden reducirse mediante el uso de acero especial con alto grado de aleacin al silicio para la fabricacin del ncleo. Las prdidas por corrientes de Eddy ocurren porque se inducen dentro del ncleo corrientes perpendiculares al flujo, llamadas corrientes de Eddy. Estas prdidas pueden reducirse mediante la construccin del ncleo con hojas de lmina de acero.

* Asociado con Im, hay una prdida de potencia reactiva. Esta prdida de potencia reactiva es requerida para magnetizar el ncleo. El fasor suma (IC + Im ) es llamado la corriente de excitacin Ie .

* Las figura 3.5, 3.6 Y 3.7 muestran tres alternativas como circuito equivalente para un transformador real monofsico de dos devanados.

*R2 y X2 son referidos al devanado 1Figura 3.5CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR REAL MONOFSICO DE DOS DEVANADOS (2)

*Despreciando ahora la corriente de excitacin, e integrando las resistencias y las inductancias.Figura 3.6CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR REAL MONOFSICO DE DOS DEVANADOS (3)

*Figura 3.7CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR REAL MONOFSICO DE DOS DEVANADOS (4)Despreciando la corriente de excitacin y tambin las prdidas en los devanados I 2R

*EL SISTEMA POR UNIDAD

* Los parmetros de un sistema de potencia, tales como, voltaje, corriente, potencia e impedancia, son frecuentemente expresados en por unidad ( p.u.) o en %, referidos a valores base especificados. Por ejemplo, si un voltaje base de 20 Kv se especifica, entonces el voltaje de 18 Kv es 18 / 20 = 0.9 p.u. 90 %. Los clculos pueden entonces hacerse, con cantidades en p.u. , en vez de las cantidades reales.

* Una ventaja del sistema por unidad es que si las cantidades base se especifican apropiadamente, el circuito equivalente del transformador puede simplificarse. El transformador ideal puede ser eliminado, de tal manera que voltajes, corrientes e impedancias y admitancias externas expresadas en p.u. no cambian cuando ellas son referidas desde uno u otro lado del transformador. Esta puede ser una ventaja significativa, sobre todo en sistemas de potencia, donde pueden encontrarse cientos de transformadores.

* El sistema p.u. nos permite evitar la posibilidad de cometer errores significativos de calculo, cuando referimos cantidades de un lado al otro de un transformador. Otra ventaja del sistema por unidad es que las impedancias en p.u. de equipo elctrico similar, se ubican en un estrecho rango numrico cuando las capacidades nominales de los equipos son usados como valores base.

* Adicionalmente, los fabricantes usualmente especifican la impedancia de mquinas y transformadores en p.u. en %. Las cantidades en p.u. son calculadas como sigue: Donde la cantidad real es el valor de la cantidad en unidades reales. El valor base tiene las mismas unidades que la cantidad real, por lo tanto la cantidad en p.u. se hace adimensional.45

* Tambin, el valor base es siempre un nmero real, por lo tanto. el ngulo de la cantidad en p.u. es el mismo que el de la cantidad real. Dos valores base independientes pueden seleccionarse arbitrariamente en un punto del sistema de potencia. Usualmente el voltaje base VbaseLN y la potencia compleja base Sbase1 , se seleccionan para un circuito monofsico o para una fase de un circuito trifsico.

* Entonces, para que las leyes elctricas sean vlidas en el sistema por unidad, las siguientes relaciones deben usarse para otros valores base.445256

* Por convencin adoptaremos las siguientes dos reglas para cantidades base:..1.- El valor de Sbase1 es el mismo para todo el sistema en estudio.2.-La relacin de los voltajes base para cada lado de un transformador debe ser seleccionada de tal manera que sea la misma que la relacin de los voltajes nominales del transformador. Con estas dos reglas una impedancia en p.u. permanece inalterable cuando se refiere a uno u otro lado del transformador.

*EJEMPLO 3.3 Un transformador monofsico de dos devanados es de 20 KVA, 480 / 120 volts, 60 Hz nominales. La impedancia de dispersin equivalente del transformador, referida al devanado de 120 volts, denominado como devanado 2, es Zeq.2 =0.052578.13.. Usando los valores nominales del transformador como valores base, Determinar la impedancia de dispersin en p.u., referida al devanado 2 y referida al devanado 1. 4445

* Los valores de Sbase, Vbase1, y Vbase2, son los correspondientes a los valores nominales del transformador: Usando la ecuacin 3.18, la impedancia base en el lado de 120 volts del transformador, es:

* Entonces, usando la ecuacin 3.15, la impedancia de dispersin en p.u., referida al devanado 2 es: Si Zeq2 es referida al devanado 1:.46

* La impedancia base en el lado de 480 volts del transformador, es: Y la reactancia de dispersin en p.u. referida al devanado 1, es:

* Por lo tanto, la impedancia de dispersin en p.u. no cambia cuando se refiere del devanado 2 al devanado 1. Esto se obtiene por la especificacin:.

* Por lo anterior, un transformador monofsico ideal o un transformador monofsico real en el cual sus impedancias serie y paralelo se representen en valores en por unidad, se pude representar como se muestra en la figura 3.8.

*CIRCUITOS EQUIVALENTES EN P. U. DE TRANSFORMADORES MONOFSICOS DE DOS DEVANADOSFigura 3.8a).- Transformador ideal en p.u.b).- Transformador real despreciando la corriente de excitacin en p.u.b).- Transformador real incluyendo todas sus prdidas, en p.u.53

* El transformador ideal, mostrado en la figura 3.8-a, satisface la relacin p.u. E1p.u. = E2p.u. e I1p.u. = I2p.u., lo cual puede derivarse de lo siguiente. Primero dividiendo la ecuacin 3.10 por Vbase1. Entonces, usando:.

* Similarmente dividiendo la ecuacin 3.9 por Ibase1.53

* Entonces, usando la ecuacin 3.17 :. 53

* Finalmente, sustituyendo la ecuacin 3.23 en la ecuacin 3.22, tenemos :. Por lo tanto, el embobinado del transformador ideal de la figura 3.2 es eliminado del circuito p.u. en la figura 3.8-a.

* Cuando nicamente un componente, tal como un transformador, es considerado, usualmente se seleccionan como valores base, los valores nominales de placa de ese componente.

* Sin embargo, cuando varios componentes son involucrados, los valores base del sistema pueden ser diferentes a los valores nominales de placa de un componente en particular. Es entonces necesario convertir la impedancia en p.u. de ese dispositivo de los valores nominales de placa al nuevo sistema de valores base. Para convertir el valor de una impedancia en p.u., referida a unos valores base (viejos o de placa), a un valor referido a otros valores base (nuevos), se usa:.

* O, de la ecuacin 3.18.

*EJEMPLO 3.4 En el circuito monofsico representado por el diagrama unifilar de la figura 3.9, se identifican tres zonas. Las zonas estn conectadas por los transformadores T1 y T2, cuyos valores nominales se muestran tambin. Usando valores base de 30 KVA y 240 volts en la zona 1:.a).- Dibuje el circuito en p.u. b).- Determine las impedancias y el voltaje de la fuente en p.u.c).- Determine la corriente de la carga en p.u. y en amperes. Despreciando la resistencia y la admitancia en paralelo de los devanados del transformador.

*DIAGRAMA UNIFILAR DEL CIRCUITO PARA EL EJEMPLO 3.4Zona 1T130KVA240 / 480 voltsXeq =0.10 p.u.T220KVA460 / 115 voltsXeq =0.10 p.u.VS =2200 voltsXLinea = j 2 ZCarga =0.9+j0.2 Figura 3.9Zona 3Zona 26959

* Primero se determinan los valores base en cada zona. Sbase = 30 KVA es la misma para todo el sistema. Tambin Vbase1 = 240 volts esta especificado para la zona 1. Y

* Las impedancias base en zonas 2 y 3, son:. Y la corriente base en la zona 3, es:.

* Despus, se calculan las impedancias del circuito en por unidad usando los valores base del sistema. Puesto que Sbase = 30 KVA es la misma que los KVA nominales del transformador T1, y Vbase 1 = 240 volts es el mismo que el voltaje nominal del transformador del lado de la zona 1, la reactancia de dispersin del transformador T1 es la misma que su valor de placa X T1 p.u. = 0.1 por unidad.

* Sin embargo la reactancia de dispersin en p.u. del transformador T2 deber convertirse de su valor de placa nominal a la base del sistema. Usando la ecuacin 3.40 y Vbase2 = 480 volts.

* Alternativamente, usando Vbase3 = 120 volts. La lnea, est localizada en la zona 2, por lo que tiene una reactancia en p.u.:

* Y la carga, la cual esta localizada en la zona 3, tiene una impedancia en p.u.:. El circuito en p.u. se muestra en la figura 3.10, donde los valores base para cada zona, las impedancias en p.u y el voltaje de la fuente en p.u. se incluyen.

*CIRCUITO MONOFSICO EN P. U. PARA EL CIRCUITO DEL EJEMPLO 3.4Zona 1Zona 2Zona 3Vbase1 = 240 VVbase2 = 480 voltsVbase3 = 120 voltsSbase = 30 KVAI S p.u.I Cargap.u.j0.10p.u.j0.2604p.u.j0.1378p.u.VSp.u. =0.91670p.u.ZCargap.u. =1.875+j0.4167p.u.Figura 3.10Sbase = 30 KVA

* La corriente de carga en p.u., es fcilmente calculada desde la figura 3.10 como sigue:.

* La corriente de carga real ser:. Note que el circuito equivalente en p.u. de la figura 3.10 es relativamente fcil de analizar, puesto que los devanados del transformador ideal fueron eliminados por la apropiada seleccin de los valores base.c

* Circuitos trifsicos balanceados, pueden resolverse en por unidad con bases monofsicas, despus de convertir las impedancias de carga en a sus equivalentes en Y. Los valores base pueden seleccionarse en bases monofsicas o en bases trifsicas. Las ecuaciones 3.27 a 3.32 son vlidas para circuitos trifsicos representados por una fase. Usualmente se seleccionan Sbase 3 y Vbase LL, donde los subndices 3 y LL indican trifsica y lnea a lnea, respectivamente. Por lo tanto las siguientes relaciones deberan usarse para los otros valores base:.

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*BIBLIOGRAFIAApplied Protective Relaying .Westinghouse Electric Corporation. Elements of Power System Analysis.William D. Stevenson, Jr.Fundamentos de Proteccin de Sistemas Elctricos por Relevadores.Gilberto Enrquez HarperElectrical Power Systems(Design and Analysis) .Mohamed E. El-Hawary (IEEE Press).