03 relaciones

Relaciones y

Funciones

Trabajo Práctico Nº 3Relaciones y Funciones

1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A.

2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A C y B D.Observe que A x B C x D.b) Suponiendo que A x B C x D ¿se sigue de esto necesariamenteque A C y B D ?. Explique.

3) Sean A = { x N / 1 x 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R A x Bmediante (x,y) R x + y 5.

i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1.

TP N� 3 Relaciones y Funciones.doc



4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones R A x B ; S B x C, definidas por :

(x,y) R y = x2 y (y,z) S z = y/2Se pide : i) Determinar R y S por extensión.

ii) Definir la composición S º R A x C por extensión.iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.

5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia.

R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 }S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x N0 / x 3 }

6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una relación binaria definida enA /(a,b) R1 el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R1reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?.




7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que :

R = {(a, b) / a b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es

relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ?

8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos ,tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ?¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ?¿ es una relación de orden ?

9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, quepretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de latransitividad : x R y x R y y R x x R x




10) a) Determinar si el conjunto P = { A1; A2 } constituye una partición de Z con A1 = {x Z : 2 x} y A2 = { x Z : 2 x } b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ;

Q = { N; Z- }

11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 3} C = {3} Clasificar en M la relación “ ”.

12) Analizar si (N, ) y (N, ) son láttices.

13) Representar gráficamente las siguientes relaciones :a) f : R R / f(x) = -5 x b) g : Zpares Z / g(x) = c) h : N N / h(x) = 2 x + 3

x2

1





14) Sean las relaciones fi : R R con i = 1,2, . . . . 6 dadas por lasfórmulas :

f1(x) = - 3 x + 4

f2(x) = - x2 + 4 x – 3 f4(x)=

f3(x) = log 2 ( 2x - 3 )

f6(x) = f5(x) =

0x2si1x

0xsi3

0xsi1x

3

1xsixln

1x0si1

0xsi2x

3x

2

a) Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación resulte una función

b) Represente gráficamente cada una de las fi

c) Clasifique cada una de las fi

d) En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f-1


Conjunto de partes Se escribe P(A)

y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío

se lee “partes de A”

Sea A { a, b, c }

P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c} }

• a

• b

• c

• a

• b

• c

• a • b

• a • c

• b • c

{a}

{b}

{c}

{a,b}

{a,c}

{b,c}

•a • b • c {a, b, c}

A

{ } =

entonces el conjuntos de partes de A es:

El número de elementos que

conforman P(A) es 2n

donde n = A

A se lee cardinal del conjunto A y es igual a

la cantidad de elementos que tiene el

conjunto A

Producto Cartesiano

Dado un conjunto A = { a, b }

• aA

y un conjunto B = { 1, 2 }

• 1

BEl producto cartesiano A x B se forma con todos los pares ordenadosposibles conformados por elementos del conjunto A en el primer lugar del

par ordenado y elementos del conjunto B en el segundo lugar del par ordenado

• b • 2

A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1),(b, 2) }

También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados

a b A

B

2

1(b, 1)

(b, 2)

(a, 1)

(a, 2)

A x B En el eje de abscisas (x) el conjunto A

En el eje de ordenadas (y) el conjunto B

y los pares ordenados en las intersecciones de las perpendiculares a cada uno de los ejes, que

pasan por los elementos involucrados

1) Si A = { 1, 2 }

Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A)

P(A) xA = { ( ,1); ( ,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) }

observa que en cada par ordenado, el 1er elemento P(A)

y el 2do elemento A

2) a) Si A = { a } B = { 2 } C = { a, b } D = { 1, 2 }

ubicamos ahora A C y B D• a

C• 1

B• b • 2

AD C x D = { (a,1); (a,2); (b,2) }(b,1);

a b A

B

2

1(b, 1)

(b, 2)

(a, 1)

(a, 2)

A x B

A x B = { (a,2) }

entonces A x B C x D

el único par ordenado de AxB; (a,2) CxD

C x D

en ejes cartesianos

P(A) = { ; {1}; {2}; {1,2} }

1 2

2 b) Si A x B C x D ¿se sigue de esto necesariamente que A C y B D ?. Explique.

Si a A (a, b) A x B,

Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del

producto cartesiano A x B

Por la consigna del ejercicio A x B C x D , entonces . . .

si (a, b) A x B entonces (a, b) C x D luego a C, luego A C

Análogamente puede hallarse que B D

si b B (a, b) A x B, a A

por la consigna del ejercicio A x B C x D , entonces . . .

si (a, b) A x B entonces (a, b) C x D luego b D, luego B D

b B

si el elemento a pertenece al conjunto A entoncesal producto cartesiano A x B

el par ordenado (a, b) pertenece para todo elemento b que pertenece al conjunto B

Relaciones Dado un producto cartesiano A x B,

si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad,

existe una relación R

• 1A

• 2

B

• 2 • 3

Sean A = { 1, 2 } y B = { 2, 3 }

Definimos R A x B : (x,y) R y = 2x

En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) }

De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede

suceder que ningún par ordenado verifique la condición

en el par (1, 2) x = 1 y = 2

Analizamos

2 = 2 1 entonces (1, 2) R

en el par (1, 3) x = 1 y = 3 3 2 1 entonces (1, 3) R en el par (2, 2) x = 2 y = 2 2 2 2 entonces (2, 2) R

en el par (2, 3) x = 2 y = 3 3 2 2 entonces (2, 3) R

R = { (1, 2) }

Y = 2 x

Y B

incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y)que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A

y que el elemento y pertenece al conjunto B

A x B (x,y) R : x A

La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será:

R = { (x, y) / x A y B y = 2x }

Observe que la definición por comprensión considera:

los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y)

a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x A ; y B

cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado y = 2x

B

3

2(2, 2)

(2, 3)

(1, 2)

(1, 3)

R A x B

A x B

Ejes cartesianos

La relación se representa en ejes cartesianos,

1 2 A

en diagrama de Venn y en tablas

• 1

A

• 2

B

• 2 • 3

2 3

1 x -

2 - -

BA

R

Diagramas de Venn Tabla de R

3) Si A = { x N / 1 x 5 }

B = { 3, 4, 5 }

por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5 }

Se define R A x B mediante (x,y) R x + y 5. • 1

A

• 5

B

• 3

• 3

R

• 2

• 4

• 5

• 41 + 3 = 4 5 (1, 3) R1 + 4 = 5 = 5 (1, 4) R

1 + 5 = 6 5 (1, 5) R2 + 3 = 5 = 5 (2, 3) R2 + 4 = 6 5 (2, 4) R2 + 5 = 7 5 (2, 4) R3 + 3 = 6 5 (3, 3) R3 + 4 = 7 5 (3, 4) R3 + 5 = 8 5 (3, 5) R

4 + 3 = 7 5 (4, 3) R4 + 4 = 8 5 (4, 4) R4 + 5 = 9 5 (4, 5) R

5 + 3 = 8 5 (5, 3) R5 + 4 = 9 5 (5, 4) R

5 + 5 = 10 5 (5, 5) R

R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3) }

en Diagrama de Venn

1 2 3 4 5 A

B

5

4

3(1,3)

(1,4)

(1,5)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

A x B

R

En Gráfico cartesiano

R-1 se conforma con los pares ordenados de R, pero cambiando

el orden de los elementos en cada par

Si (x,y) R entonces (y,x) R-1

R-1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) }

R-1 = { (y, x) BxA y + x 5 }

Composición de Relaciones

Sean los conjuntos A; B y C

Y entre ellos se establecen relaciones

R: A B y S: B C

Definimos la composición de R y S, que se escribe S R Como una relación que va de A en C

(a, w) S R (a, 2) R y (2, w) S

A B Ca

b

1

2

v

w

S R = { (a, w) }

Puede suceder:C

a

b

1

2

v

w

A B

Entonces:

S R = { (b, w); (b, v) }

R S

R S

S R

4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 }

A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4);

(3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) }

de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x2 surge que

1

23

4

5

1

4

16

6

R = { (1,1); (2,4); (4,16) }

A B

(x,y) R y = x2 ; R A x B

(y,z) S z = y/2 ; S B x C

14

6

16

2

3

8

10

BC

B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10); (6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) }

S = { (4,2); (6,3); (16,8) }

analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2 surge que

y la relación R A x B ;

C = {2 ;3 ;8 ;10}

S B x C, definidas por :

1

23

4

5

1

4

16

6

A B

S = { (y,z) B x C / z = y/2 }

2

3

810

C

El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos

los elementos del primer conjunto (A), que intervienen

en la relación

La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación

Dm R = { 1, 2, 4 } Im R = { 1, 4, 16 }

Dm S = { 4, 6, 16 } Im R = { 2, 3, 8 }

1

4

16

6

B

R

S

Si R = { (x,y) A x B / y = x2 }

El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los

elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación

La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación

S R es la composición de dos relaciones

Sean R: A B S R = S[R]

Que se lee S cerito R ó R compuesta con S

1

23

45

1

4

166

A B

2

3

8 10

C1 4

16

6

BR S

Se conforma con los elementos de A y de CDe manera que (x,z) S R (x,y) R (y,z) S

(1, 1) R pero 1 B no se relaciona con ningún elemento de C

(2,4) R y (4,2) S entonces (2,2) S R 3 A no se relaciona con ningún elemento de B

5 A no se relaciona con ningún elemento de B(4,16) R y (16,8) S entonces (4,8) S R

S R = { (2,2); (4,8)}

1

23

45

1

4

16

6

A B2

3

810

CR S

Dm S R = { 2, 4 }

Im S R = { 2, 8 }

y S: B C

Propiedades de las RelacionesCuando decimos que una Relación R está definida en A2 , decimos que :

Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por elementos x A y elementos y A

si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no)

puede suceder que :

Cada elemento del conjunto A se relaciona

consigo mismo

A•a

•b

x

Es Reflexiva

Si algún(os) elemento(s) deA se relaciona(n) consigo

mismo.

A

•a •b

Es No reflexiva

x

Si ningún elemento de A se relaciona consigo mismo

A

•a •b

Es Arreflexiva

x

para todo elemento x se verifica quesi x pertenece al conjunto A

entoncesel par ordenado (x, x)

pertenece a la Relación R

x A: (x, x) R

existe(n) xtal quex pertenece al conjunto A

y el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R

/ x A (x, x) R

para todo elemento x se verifica quesi x pertenece al conjunto Aentonces el par ordenado (x, x) no

pertenece a la Relación R

: x A (x, x) R

5-6 117-8-9

5 6 7 8 9 11

Es Simética

Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, el par simétrico

también pertenece a la relación

A

•a •b

x y A : (x, y) R

Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que

también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no

A

•a •b

•c

Es No simétrica

x y A

Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene par simétrico que también

pertenece a la relación

A

•a •b

•c

Es Asimétrica

x y A : (x, y) R (y, x) R

Es AntisimétricaSi en cada par de elementos de

A, (x,y) que admite simétrico, sucede que x = y

A

•a •b

(y, x) R •c

/ (x, y) R (y, x) R

x y A : (x, y) R (y, x) R x = y

•c

5-6 117-8-9

5 6

7 8

9 11

Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y) R y (y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R

A

•a •b

•c

x,y,z A : (x,y) R

Es transitiva

Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y) R y (y,z) R pero el par ordenado (x, z) R (otros no)A

•a •b

•c

•d

x y z A / (x,y) R

Es No transitiva

A

•a •b

•c

•d

Es Atransitiva

Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y) R y (y,z) R entonces el par ordenado (x, z) R

x y z A : (x,y) R

(y,z) R (x,z) R

(y,z) R (x,z) R

(y,z) R (x,z) R

5-6 117-8-9

5 6 7 8 9 11

Clasificación de las RelacionesSi R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva

Es Relación de Equivalencia

Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva

Es Relación de Orden amplio

Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .

Es Relación de Orden parcial

a, b / (a, b) R (b, a) R

dicho de otra manera, hay pares

ordenados de elementos que no se

relacionan entre sí de ninguna forma

en caso contrario . . .

Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . .

Es Relación de Orden total

a b (a, b) R (b, a) R dicho de otra manera, todos los elementos diferentes se relacionan

entre sí al menos de una forma

Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva

Es Relación de Orden estricto

5-6 117-8-9

5 6 7 8 9 11

5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 }

Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de VennA

-3

-2-1

0En el diagrama de Venn y en la definición por

extensión se aprecia que hay elementos que se relacionan consigo mismo

Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3) R

entonces x A / (x, x) R la relación es No Reflexiva

En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3) R pero (-3,-1) R ; pero también hay

pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1) R y (0, 0) R.

Escribir x, y A / (x, y) R (y, x) R la relación es No simétrica

Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo

Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica

( -1, -1 ) R ( -1, -3 ) R ( -1, -3 ) R

( -2, 0 ) R ( 0, 0 ) R ( -2, 0 ) R Es transitiva

No es Relación de Equivalencia

( -1, -1 ) R ( -1, -1 ) R ( -1, -1 ) R

( 0, 0 ) R ( 0, 0 ) R ( 0, 0 ) R 5 b

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Clasificación

5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x N0 / x 3 }

Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn

A

3

21

0

En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que todos los elementos del

conjunto A se relacionan consigo mismo

x: x A (x, x) R la relación es Reflexiva

En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2) R ; pero (2, 3) R pero también hay pares ordenados que tienen

simétrico, como: (1, 1) R y (0, 0) R.

x, y A / (x, y) R (y, x) R la relación es No simétrica

Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo

Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica

( 3, 3 ) R ( 3, 2 ) R ( 3, 2 ) R

( 3, 2 ) R ( 2, 1 ) R ( 3, 1 ) R Es No transitiva

Podemos escribir

pero . . .

No es Relación de Equivalencia

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Clasificación

6) (a,b) R1 el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b.

Asumimos que A es un conjunto de libros que en precio y cantidad de hojas es tan

amplio como sea posible

Por ejemplo . . .

Libro 1 $ 30 60 hojas




Libro 5 $ 12 70 hojasR1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1);

Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva

La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga menos hojas que el libro 1.

(1, 5) R (5,4) R (1,4) RPor ejemplo . . .

entonces necesariamente el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que

el libro c (a, c) R

y en general, si un libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b

(a, b) R

y el libro b cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (b, c) R

( a, b ) R ( b, c ) R ( a, c ) R

Es transitiva

(3,2); (3,4); (3,5); (5,4) }

Si (1,2) R (2, 1) R. Es Asimétrica

Es Relación de Orden Estricto

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Clasificación

7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que :

R = { (a, b) / a b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }.

Los elementos que conforman los pares ordenados son sucesiones de ceros y unos, por ejemplo :

00; 01; 010; 000; 100; 1010; 00110010; 1110100; etc. . .

R es un conjunto infinito . . . porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos

Sabido es que cada cadena tendrá exactamente la cantidad de ceros

que ella misma tiene

así, afirmamos que :

x: x A (x, x) R la relación es Reflexiva

si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y (x, y) R

la cadena y tendrá igual cantidad de ceros que la cadena x

(y, x) R la relación es Simétrica

si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y

y la cadena y tiene igual cantidad de ceros que la cadena zentonces la cadena x tiene igual

cantidad de ceros que la cadena z

(x, y) R (x, z) R(y, z) R la relación es Transitiva

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Clasificación

Por tanto R es Relación de Equivalencia

8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}.

La relación R está conformada por pares ordenados de números enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea

un entero positivo imparEn primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén conformados por el mismo elemento , por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4)

En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar

luego, la relación es Arreflexiva

Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado positivo, solamente si x > y, en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo

x: x A (x, x) R

x y A : (x, y) R luego, la relación es Asimétrica

Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z

Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar,

(x,y) R

si z es par

(y,z) R x – z será entero positivo par

y – z entero positivo impar

pero (x,z) R

Si x es impar e y es par x – y será entro positivo impar,

(x,y) R

si z es impar

(y,z) R x – z entero positivo par

pero (x,z) R

y – z entero positivo impar

luego, la relación es Atransitiva

(y, x) R

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

Clasificación

9) El razonamiento falso dice que:

si x R y x R y y R x x R x de otra manera

( x, y ) R

el par ordenado ( x, y ) pertenece a la relación R

x R x

porque la relación debe ser simétrica (por hipótesis)

x R y y R x

y también transitiva por hipótesis

Si una relación es simétrica y transitiva . . . es reflexiva

Supongamos una relación definida en AA

a x

y

Igualmente, ahora decimos que si

( y, x ) R y R yy R x x R y

Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia de la simetría y de la transitividad

Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún otro, no se establecen la simetría ni la transitividad

(por ejemplo el elemento a)

Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo

Observa que la relación definida en A es simétrica y transitiva, pero No Reflexiva

( x, y ) R (y,x) R (x,x) R

Reflexiva

Simétrica

Transitiva

PARTICION DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer una partición de A

A

12

43

Conformando con los elementos de A subconjuntos Ai ; Aj ; . . . .

A1

A2

A3

5

Así tenemos por ejemplo

A1 = { 1; 4 } A2 = { 2; 3 } A3 = { 5 }

Donde:

Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto vacío (tienen algún elemento) Ai

La intersección entre todos los subconjuntos tomados de a dos, es vacía. Ai Aj =

La unión de todos los subconjuntos es igual al conjunto particionado . . . Aj Aj . . = A

1) A1 ; A2 ; A3

2) A1 A2 = A1 A3 = A2 A3 =

3) A1 A2 A3 = AP = {A1; A2; A3 } es partición de A

10) a) A1 = {x Z : 2 x} y A2 = { x Z : 2 x } con P = { A1; A2 }

A1 está conformado por todos los números enteros que son divisibles por 2

A1 = { enteros pares}

A2 está conformado por todos los números enteros que no son divisibles por 2

A2 = { enteros impares}

1) A1 y A2 2) A1 A2 = 3) A1 A2 = A

P = { A1; A2 } es partición de Z (números enteros )

b) Evaluar si Q = { N; Z- } es partición de Z

Son subconjuntos de Q N (naturales)

Z- (enteros negativos)

1) N y Z- 2) N Z- = 3) N Z- Z

porque en N están todos los enteros positivos (Z +) y en (Z-) los enteros negativos pero . . . 0 N y 0 Z-

si un entero es par, no es impar; y viceversa

los enteros pares con los impares; conforman la totalidad de los elementos del conjunto de

números enteros

Q = { N; Z- } NO es partición de Z

(no verifica la tercera condición)

11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, dondeA = {1, 2, 3, 4} B = {1, 3} C = {3}

A

1

2

3 4C

B

escribimos por extensión la relación “ ” definida en M

todo conjunto está incluido en sí mismo

cada elemento se relaciona consigo mismo

Es Reflexiva

si A B y B A; A B No Simétrica

Si C B ; y B A C A

Transitiva

Es una Relación de Orden Amplio

(A,A); (B,B); (C,C); ( , );

el conjunto vacío está en todos los conjuntos

( ,C); ( ,B); ( ,A);(C,B); (C,A); (B,A) }R = {

La Relación en diagrama de Venn será :

C

BA

M

AntisimétricaPero al ser reflexiva, cada par reflexivo, tiene simétrico, entonces . . . en la relación de inclusión

siempre está presente la transitividad . . .

LATTICESUn conjunto ordenado es láttice si cualesquiera dos elementos en el

conjunto tienen

Cota Superior Mínima

y única

Cota Inferior Máxima y única

Un conjunto es ordenado si sus elementos se vinculan mediante una

relación de orden

Sea A = { a, b, c, d, e, f, g }

Reflexiva Antisimétrica Transitiva

Relación de ordena

db

c

e f

g

Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo

unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre sí, por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e) R pero (b,a); (d,a);

(e,c) R

y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los elementos que se vinculan a través de los segmentos

y se define en él la relación R

(a,b) R (b,e) R (a,e) R

(a,c) R (c,f) R (a,f) R

por ejemplo :

(a,f) R (f,g) R (a,g) R

R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g)}

(a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (a,g); (b,e); (b,g); (c,e); (c,f); (c,g); (d,f); (d,g); (f,g);(e,g);

Sea el conjunto ordenado A

a

db

c

e f

g

en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica y transitiva)

Tomando dos elementos cualesquiera, por ejemplo

para (a,b) c. s. mím. = b

para (b,c)

c. i. Máx. = a

para (e,f)

se aprecia que, efectivamente para dos elementos cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas

siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso, el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula)

R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g); (a,b); (a,c); (a,d);

(a,e); (a,f); (a,g);(b,e); (b,g);(c,e); (c,f); (c,g); (d,f);

(d,g)} (f,g);

(e,g);

para (c,d)

para (b,g)

para (d,e)

c. s. mím. = e

c. i. Máx. = a

c. s. mím. = g

c. i. Máx. = c

c. s. mím. = f

c. i. Máx. = a

c. s. mím. = g

c. i. Máx. = b

c. s. mím. = g

c. i. Máx. = a

Si analizáramos la misma relación pero en un conjunto B = { a, b, c, d }

a

db

c

Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d) tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas

Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única(elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra)

Entonces en este caso NO hay Láttice

Observa que las retículas están abiertas

Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) }

De manera que los pares reflexivos se representan

Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea (que se entiende siempre en un solo sentido –hacia abajo-)

Si analizamos la relación por extensión veremos que se trata de una relación transitiva

Pero . . .

Tampoco son Láttice retículas como

a

d

b

c

d

bca

e fEllo se debe a que hay pares de elementos

que no tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx

12 a) Analizar si (N, ) es Láttice

N = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . }

el conjunto N está conformado por

1

4

2

3

5

.

.

( N, ) significa que N es un conjunto ordenado según la relación

cada elemento se relaciona consigo mismo, es reflexivo

La relación es antisimétrica. (1,2) R; (2,3) R; (1,3) R; . . . . .

y transitiva es apreciable que entre los elementos 3 y 4

la cota superior mínima es 5 la cota inferior máxima es 2

y así sucesvamente, para cualquier par de valores (m, n)

entre los elementos 2 y 5

la cota superior mínima es 4

la cota inferior máxima es 3

habrá cota superior mínima = n

si tomamos un par de valores donde m = n

Se verifica entonces que ( N, ) es láttice

(por ser relación de orden)

y cota inferior máxima = m

coinciden las c.s.mín = c.i.Máx = m = n

12 b

12 b) Analizar si (N, /) es Láttice 1

23

9

1218

6 4

5Analizaremos para algunos elementos de N y trataremos de “generalizar” las situaciones que encontremos, basándonos en propiedades conocidas

1 divide a cualquier natural, entonces comenzamos con el 2 y el 3

vinculamos al 2 y 3 los naturales que son múltiplos precisamente de 2 y 3 que son el 4; 6 y 9

e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos (divisibles solamente por sí mismos y por la unidad)

y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9 el 12 y el 18 por ejemplo

y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito;

Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre hay una cota inferior máxima única ( 1 )

cada natural es divisible pos sí mismo, entonces es reflexiva

por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15

1

23

9

1218

6 4

5Pero lo que parece no estar claro es si hay cota superior mínima

(única)

la retícula parece no cerrarse cuando los valores crecen (parte

inferior del grafo)

Pero tenga presente que cada vez que aparezcan en la retícula dos vértices (elementos) que parezcan “no cerrarse”; sin dudas habrá algún número natural que resulta divisible por ambos, por ejemplo el producto de ambos

36Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N { m, n }

Puede suceder

que m = n ó bien que

m n

Si m = n coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n

Si m n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n}

Luego ( N, ) es Láttice

Si analizamos (N0, )

Es fácil advertir que 0 no divide a 0Luego ésta no es una

relación reflexiva y por ello no es de orden

entonces ( N0, ) NO es Láttice

15

FUNCIONES

Una relación R A x B es función . . .

Si verifica dos condiciones: Existencia Unicidad

Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B

Simbólicamente a A1

2

3

2

3

4Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B

Simbólicamente (a, b) f

A B

A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3,4 }

R : (a, b) b = a + 1

: b B / (a, b) f

para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verificaque existe un elemento b que pertenece al conjunto Btal que el par ordenado (a, b) pertenece a f

Dados dos conjuntos

definimos en el producto cartesiano A x B una Relación

y

(a, c) f b = c

Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a fentonces b es igual a c

Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B

13a 13b

13 14

14 i 14 ii 14 iii

14 iv 14 v 14 vi

13c

1

2

3

2

4

A BEn situaciones como

también se verifica que

para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia)

cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad)

Situaciones como . . .

Es función

1

2

3

2

4

A B

no verifica la condición de existencia

el elemento 2 A pero no tiene un correspondiente en B

NO es función

1

2

3

1

3

4

A B

2

En el caso . . . no verifica la condición de unicidad

el elemento 1 A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B )

NO es función

13 14

13a 13b

14 i 14 ii

14 iii 14 iv

14 v 14 vi

13c

Clasificación de funcionesUna función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes

del dominio tienen imágenes diferentes

1

2

3

2

3

4

A B

En este caso tenemos función inyectiva

x1 x2 A : x1 x2 f(x1) f(x2)

Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B

Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son

Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un

antecedente en el dominio

En este caso tenemos función sobreyectiva

Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A

Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA

y B, x A / y = f(x)

13 14

13a 13b

14 i 14 ii

14 iii 14 iv

14 v 14 vi

13c

Puede suceder que . . .1

2

3

2

3

4

A B

se verifica que 1 2 pero f(1) = f(2) = 2

función NO inyectiva

asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite antecedente en el conjunto A

función NO sobreyectiva

1

2

3

2

4

A B

Si . . . se verifica que 1 2 pero f(1) = f(2) = 2

función NO inyectiva

pero todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A

función sobreyectiva

1

2

3

2

4

A B

31

cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B

función inyectivapero no todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A

función NO sobreyectiva13 14

13a 13b

14 i 14 ii

14 iii 14 iv

14 v 14 vi

13c

Para representar cualquier función se debe conocer . . .

Cuál es el dominio donde está definida la función . . .

y cuál es la imagen que se corresponde con el dominio de la función

Dm Im y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x) . . .

Y = f(x)

x yesto se hace asignándo valores xi en la

expresión y = f(x); encontrando el resultado yi que le corresponde a f(xi)

el dominio de la función son los valores que puede tomar xi en f(x)

La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor

del dominio de la función

recuerde siempre que: si un valor del conjunto “de salida A” no tiene

imagen, la expresión no es función (Existencia)

Representación Gráfica de Funciones

Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son

imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función

(Unicidad)13 14

13a

13b

14 i 14 ii

14 iii 14 iv

14 v 14 vi

13c

Podemos representar gráficamente una función en un par de ejes coordenados

en el eje de abscisas (x) el dominio N

En el eje de ordenadas (y) la imagen N

1 2 3 4 N

N

5

4

3

2

1

Sea f

x x + 1 y

Si la misma ley de variación (y = x + 1) estuviera definida de R R

Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x

La función ahora es f : R R / f(x) = x + 1

Sea la función f que va de Naturalesen Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1

: N N / f(x) = x + 1

y confeccionamos una tabla, asignándole

valores a x para hallar valores de y

si 1 1 + 1 2

si 2 2 + 1 3

si 3 3 + 1 4

si 4 4 + 1 5

el dominio ahora será Reales

R

R

y la imagen también Reales

debemos unir todos los puntos obtenidos

x

y

13 14

13a

13b

14 i 14 ii

14 iii 14 iv

14 v 14 vi

13c

13 a) Para representar f: R R / f(x) = - 5 x

Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales

Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y

Trazamos un par de ejes coordenados

y confeccionamos una tabla de valores

x - 5 x Y

1 -5 · 1 - 5

-1 -5 · (-1) 5

0 -5 · 0 0

2 -5 · 2 -10

-2 -5 · (-2) 10

Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos

identificados

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

13 b 13 c

13 b) Para representar g: Zpares Z / g(x) =

reconocemos el dominio y la imagen de la relación

Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros


y confeccionamos una tabla de valoresx Y

2 ½ · 2 1

-2 ½ · (-2) - 1

4 ½ · 4 2

-4 ½ · (-4) - 2

Y la relación queda representada por

puntos porque va de Enteros pares en

Enteros.

(no corresponde el trazado de linea

llena)

x2

1

x2

1

- 6 ½ · (-6) - 3

6 ½ · 6 3

0 ½ · 0 0

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

13 c

13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N

Primero reconocemos cual es el dominio En este caso tanto el dominio como la imagen son el

conjunto de los números naturales (N)Significa que serán pares ordenados

de la relación aquellos en los que x N y resulta de aplicar x en h(x), que

también h(x) N


Y confeccionamos una tabla de

valores para g(x)

x 2x + 3 Y

1 2 · 1 + 3 5

2 2 · 2 + 3 7

3 2 · 3 + 3 9

4 2 · 4 + 3 11

5 2 · 5 + 3 13

Y la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales

y cual es la imagen de la relación

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4

consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real

entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ]

de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales

entonces Im = { x / x R } Im = [ - ; ]


y confeccionamos una tabla de valores

x - 3 x + 4 Y

1 - 3 · 1 + 4 1

-1 - 3 · (-1) + 4 7

2 - 3 · 2 + 4 - 2

Cada valor del dominio (x) tiene un valor diferente en

la imagen (y)

InyectivaTodos los elementos de la imagen (eje y) admiten un antecedente en el dominio

(eje x)

SobreyectivaPor ser una función

inyectiva y sobreyectiva

Es función biyectiva

es una función que va de Reales en

Reales

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi

14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3

consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real

entonces Dm = { x / x R } Dm = [ - ; ]

Trazamos un par de ejes coordenados y para

confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función

(raíces)

x - x2 + 4x - 3 Y

1 - 12 + 4 · 1 - 3 0

3 - 32 + 4 · 3 - 3 0

2 - 22 + 4 · 2 - 3 1

Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola

)1(2

)3)(1(444 2

2

12164

3

1

2

1

x

x

con estos valores empezamos la representación gráfica

El vértice de la parábola estará en un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda

y a la derecha de los ya hallados

0 - 02 + 4 · 0 - 3 - 3

4 - 42 + 4 · 4 - 3 - 3

-1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 - 8

5 - 52 + 4 · 5 - 3 - 8

y finalmente trazamos la curva uniendo todos los puntos ( R R )

Funciones

Rep. GráficaClasificación

14 iii 14 iv 14 v 14 vi

La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica

tiene el dominio en Reales

Dm = { x / x R }

De observar el gráfico, vemos que la relación no tiene valores de y mayores que 1

Im = { x / x R x 1 }

en el gráfico y en la tabla se nota que hay valores diferentes del dominio (x)

que tienen la misma imagen (y);

f(0) = - 02 + 4 · 0 – 3 = - 3

f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = - 3

No Inyectiva

con solo un par de valores del dominio que

admita la misma imagen, es

suficiente para que la función

sea No InyectivaIgualmente es posible ver que, de los elementos del conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores

o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función

No Sobreyectiva

por ejemplo

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)

Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :

cbloga bac ejemplo : 8238 32log

Las calculadoras en general, con la tecla Log x entregan valores

de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10

y con la tecla Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )

Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe . . .

plantear la siguiente expresión : xloga

NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base

¿ en la tecla de la calculadora falta la base ?

alogxlog con la calculadora (que

resuelve solo logaritmos decimales), podemos resolver

un logaritmo que no es decimal

Ejemplo : calcula log2 8 =

82log2

8

loglog

30102999570

9030899870

,,

3

14 iv 14 v 14 vi

14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)

x [log(2x-3)]/log2 Y

2 0/0,301030 0

2,5 0,301030/0,301030 1

3,5 0,602060/0,301030 2

5,5 0.903090/0,301030 3

9,5 1,204120/0,301030 4

Vamos a confeccionar una tabla de valores

1,75 –0,301030/0,301030 -1

si x = 1,5 trazamos entonces en x = 1,5 la asíntota de la función

investigamos qué pasa a la izquierda de la asíntota, por ejemplo para x = 0

porque no existe ningún valor al se cual pueda elevar 2 y obtener

como resultado un negativo

recuerda que :

)x(log 322 2

32

log)xlog(

1,65 –0,522879/0,301030 -2,26

1,55 -1/0,301030 -3,32

2x – 3 = 0

Sabemos que el log 0

siempre que 2x – 3 > 0

habrá algún valor para f(x)

2x – 3 toma valores negativos y la función no está definida

en esos valores ( x < 1.5 )trazamos la curva

con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico

x toma solamente valores mayores que 1,5 entonces:

Dm = { x / x R x 1,5 }

Im = { x / x R }

Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor diferente en la imagen (eje y)

Función Inyectiva

Todos los elementos del codominio (eje y) son imagen de la función -admiten un antecedente en el dominio (eje x)-

Función Sobreyectiva

Por ser una función inyectiva y sobreyectiva

Es función biyectiva

En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen antecedente en x

Recuerda que siempre es conveniente empezar a representar una función logarítmica localizando

la asíntota

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

0x2si1x

0xsi3

0xsi1x

3

14 iv) Si f(x) =

En primer lugar reconocemos que x no puede tomar valores

menores que -2

En consecuencia Dm = {x/x R x –2 } Dn = [-2 ; )

Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”

Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN

DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO

si x > 0 la ley de variación es x - 1

si x = 0 la función vale 3

si x 0 la función vale x3 + 1

La representación gráfica se realiza como para cualquier

otra relación

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 v 14 vi

x y = x - 1 Y

1 1 - 1 0

3 3 – 1 2

Para x > 0 f(x) = x - 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin

ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc

si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1

debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a –1, pero sin ser y = -1

Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy

próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = – 1 en x = 0

Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarsae de una ley de

variación lineal y comprobamos que hay “al menos” tres puntos alineados

En x = 0 la función vale 3

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

x y = x3 + 1 Y

-1 (-1)3 + 1 0

-2 (-2)3 + 1 - 7

Para x < 0 f(x) = x3 + 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin

ser igual a 0, toma por ejemplo valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc

si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 (con esta ley de variación)

debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0, y se

acerca a 1, pero sin ser y = 1Representamos ese punto con un círculo que

significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy

próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0

Unimos los tres puntos hallados con uina curva de parábola cúbica solo para valores

comprendidos en el intervalo [-2; 0)

y tenemos así la representación gráfica de la función

0x2si1x

0xsi3

0xsi1x

3

f : Dm Im / f(x) =

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

El dominio de la función ya fue encontrado [ -2; )

Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de

– 7 a

Im = { x / x R x -7 } Im = [-7; )

Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo

para x= 1 ó x = - 1; y = 0

La función es No inyectiva

Como la función está definida de Dm R

y resulta que la Imagen no es igual a Rsino que Im R

La función es No sobreyectiva

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

1ln

101

02

xsix

xsi

xsix

14 v) Si f(x) =En primer lugar

reconocemos que x puede tomar valores que van de - a +

En consecuencia Dm = {x/x R } Dn = (- ; + )

Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”

Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN

DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO

si x < 0 la ley de variación es 2x

si 0 x 1 la función vale 1

si x > 0 la ley de variación es lnx

La representación gráfica se realiza como para cualquier

otra función

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 vi

x ln x y

4 ln 4 1,39

8 ln 8 2,08

Para x > 0 f(x) = ln x

Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a 0

debemos entender que si x se acerca a 1 con valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0

representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por

derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1

Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación logarítmica

luego, estudiamos qué sucede con los valores de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] -

para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1

si x = 0 y = 1

si x = 1 y = 1

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x

Confeccionamos tabla de valores

x 2x y

-1 2-1 1/2

-2 2-2 1/4

Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1

debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0 ; y se acerca a

1, pero sin ser y = 1

representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero

sin ser necesariamente y = 1 en x = 0

Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2x)

Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1

y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y

Im = { y / y R y > 0 } Im = (0; )

Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1

La función es No inyectiva


y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im R


Dm = { x / x R } Dm = (- ; )

Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0 admiten algún antecedente en el eje x

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 vi) Si f(x) =

En primer lugar reconocemos que x no puede tomar el valor - 3

3x

2en ese caso tendríamos 2 / 0; así podemos decir que para x = - 3 no existe un valor finito de la función


Luego confeccionamos tabla de valores, para x próximos a –3 por derecha

x y3x

2

- 2 2/(-2+3) 2

- 1 2/(-1+3) 1

0 2/(0+3) 2/3

1 2/(1+3) 1/2

2 2/(2+3) 2/5

-2,5 2/(-2,5+3) 4

-2,6 2/(-2,6+3) 5

y estudiamos qué sucede a la izquierda de x= –3

x y3x

2

- 4 2/(-4+3) - 2

- 5 2/(-5+3) - 1

- 6 2/(-6+3) -2/3

- 7 2/(-7+3) -1/2

- 8 2/(-8+3) - 2/5

-3,5 2/(-3,5+3) - 4

-3,6 2/(-3,6+3) - 5

x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteada

Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado

trazamos una asíntota en x = -3

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

Cualquier valor del eje x -3 tiene un correspondiente en el eje y

Im = { y / y R y 0 } Im = (- ; 0) (0; )

No Existen valores diferentes del dominio que tengan la misma imagen

La función es inyectiva


y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}


Dm = { x / x R x - 3 } Dm = (- ; -3) (-3; )

los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0

todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas

f : R R / f(x) = –3x + 4 y f : R > 1,5 R / f(x) = log2 (2x – 3)

y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa

para hallar la inversa de la función, f : R R / f(x) = –3x + 4

transformamos el dominio en imagen

f-1 : R Ry viceversa

y = –3x + 4 y - 4 = –3xmultiplico todo por (-1) y permuto

los miembros (para ordenar)

3x = 4 - y luego despejo x3

4 yx y efectúo ahora un cambio

de variables (x por y)

3

4 xy La ley de variación así obtenida, es la ley

de variación de la función inversa

3

41 x)x(f/

en la ley de variación hacemos pasajes de términos, para despejar x

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

3

411 x)x(f/RR:fRepresentamos gráficamente

en el mismo gráfico que hemos representado

43x)x(f/RR:f

confeccionamos una tabla de

valores

x f-1(x)3

4 x

4 3

44 0

- 2 2

- 8 4

3

24 )(

3

84 )(

trazamos la recta, que también va de R R

tenga siempre presente que los puntos de una función cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

para hallar la inversa de la función, f : Dm R / f(x) = log2(2x-3)

transformamos el dominio en imagen

f-1 : R R > 1,5

y viceversa

luego despejamos la incógnita x de la ley de variación de f= log2(2x-3)

y = log2(2x – 3) 2y = 2x - 3 permuto los miembros (para ordenar)

luego despejo xyx 232

y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)

2

32xy

La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa

2

321x

)x(f/

Dm = { x / x R x > 1,5 } entonces

f : R > 1,5 R / f(x) = log2(2x-3)

recuerde que: logab = c ac = b

322 yx 2

32y

x

recordemos que ya hemos hallado

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

Representamos gráficamente

en el mismo gráfico que hemos representado

)x(log)x(f/R.R:f 3251 2

confeccionamos una tabla de valores

X f-1(x)2

32x

0 2

320 unimos los puntos con trazo continuo porque

f-1 va de R R

2

3251 11

x)x(f/,RR:f

también aquí f-1 es equidistante de f

respecto de la bisectriz del primer cuadrante

y finalmente podemos trazar la asíntota de f-1 que es y = 1,5

recuerde que f tiene asíntota en

x = 1,5

porque aunque tomemos valores muy pequeños de x, f-1 será siempre 1,5

2

1 2

3212,5

2 2

322

3,5

4 2

324

9,5

-1 2

32 1

1,75

-4 2

32 4

1,53

-10 2

32 10

1,5001

borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo

Funciones

Rep. Gráfica

Clasificación

Es hora de descansar ! ! !

Momento propicio para

establecer nuevas relaciones . . .

Pero recordá, puede descansar solamente el que antes trabajó (estudió)

Debe trabajar el hombre

para ganarse su pan,

pues la miseria en su afán

de perseguir de mil modos.

Llama a la puerta de todos

y entra en la del haragán.

Martín Fierro (José Hernández)

03 relaciones

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