03 Metodos Numericos Para Calular f
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utpl utpl \ ucg ucg \ centro de investigaciones en ingeniería hidráulica centro de investigaciones en ingeniería hidráulica & saneamiento & saneamiento www.utpl.edu.ec www.utpl.edu.ec Hidráulica de tuberías Hidráulica de tuberías Redes ramificadas Métodos numéricos aplicados al cálculo del aplicados al cálculo del coeficiente de fricción Holger Benavides Muñoz 1. Diseño de redes ramificadas o abiertas 1.2 Modelos matemáticos para redes ramificadas. ramificadas. Conferencia 03: “Métodos numéricos aplicados al cálculo del coeficiente de fricción” Contenidos : Punto fijo. Newton - Raphson 05/10/2007 [email protected] 2 Newton Raphson. Ejercicios de aplicación. Apoyo ofimático al cálculo (Excel – solver).
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Hidráulica 1 05/10/2007
utplutpl \\ ucgucg \\ centro de investigaciones en ingeniería hidráulica centro de investigaciones en ingeniería hidráulica & saneamiento& saneamiento
www.utpl.edu.ecwww.utpl.edu.ec
Hidráulica de tuberíasHidráulica de tuberías
Redes ramificadasMétodos numéricos
aplicados al cálculo delaplicados al cálculo del coeficiente de fricción
Holger Benavides Muñoz
1. Diseño de redes ramificadas o abiertas
1.2 Modelos matemáticos para redes ramificadas.ramificadas.
Conferencia 03: “Métodos numéricos aplicados al cálculo del
coeficiente de fricción”Contenidos:
Punto fijo.Newton - Raphson
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Newton Raphson.Ejercicios de aplicación.Apoyo ofimático al cálculo (Excel – solver).
Hidráulica 1 05/10/2007
BibliografíaSALDARRIAGA, J. 2000. Hidráulica de tuberías. Bogotá, Col., McGraw – Hill. 592 p.
SOTELO, G. 1987. Hidráulica General, vol. I, fundamentos. México, Limusa. 561 p.
MATAIX, C. 1982. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2ª de. México, HARLA.660 P.
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PEREZ, R. 1993. Dimensionado óptimo de redes de distribución de agua ramificadas. Universidad Politécnica de Valencia. Tesis doctoral.
Reconocimiento y agradecimiento: Dr. Ing. Rafael Pérez García. GMMF.
Darcy - WeisbachLa expresión para el cálculo de pérdidas en sistemas de tuberías a presión es:
Modelos matemáticos
sistemas de tuberías a presión es:
f = factor de fricción
252
2 82
QDgLf
gV
DLfhf
=
=
π
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L = longitud de tuberíaD = diámetro internoQ = caudal
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Cálculo del factor de fricción.
Para tubos lisos o rugosos en la zona de transición o turbulenta (para Re > 4000), se utiliza la ecuación de Colebrook-White para determinar el factor de
Modelos matemáticos
de Colebrook White para determinar el factor de fricción f de forma implícita de la ecuación de Darcy-Weisbach. Mediante un sencillo cálculo iterativo de punto fijo o por el método de Newton - Raphson, cuya convergencia está asegurada para los valores de Re y habitualmente empleados en redes de
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y pdistribución.
+−=
fDf Re51.2
7.3log21
10ε
Velocidad en función de pérdidas
⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅
⋅⋅⋅−=
f
f
hDgDLv
DLhDg
V251.2
7.3log
2210
ε
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1
+−=
fDf Re51.2
7.3log21
10εCÁLCULO DE f POR TANTEOS
Re ε D(m) (m)
300000 0.0002 0.7
fx 1=
+−=
fDxg
Re51.2
7.3log2)( 10
ε
f i x g(x) f i+1
0 0.0010000 31.6227766 6.9324627 0.02080771 0.0208077 6.9324627 7.7379073 0.01670142 0.0167014 7.7379073 7.6956645 0.01688533 0.0168853 7.6956645 7.6978297 0.01687584 0.0168758 7.6978297 7.6977186 0.01687625 0.0168762 7.6977186 7.6977243 0.01687626 0.0168762 7.6977243 7.6977240 0.01687627 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762
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8 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.01687629 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762
10 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762
CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSONModelos matemáticos
( )
fx 1=
+−=
fDf Re51.2
7.3log21
10ε
( )( ) 1'1 −
−−=+
i
iiii xg
xxgxx
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( )
+⋅
−=
fD
xg
Re51.2
7.3
Re51.2
10ln2)(' ε
+−=
fDxg
Re51.2
7.3log2)( 10
ε
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CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSON
Re ε D(m) (m)
308405 0.000001522 0.1522
Modelos matemáticos
f i x g(x) g'(x) Xi+1 f i+1
0 0.00100000 31.62277660 7.16982156 -0.02718175 7.81690675 0.016365531 0.01636553 7.81690675 8.35668789 -0.10658855 8.30469522 0.014499492 0.01449949 8.30469522 8.30619189 -0.10056864 8.30605513 0.014494743 0.01449474 8.30605513 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494744 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494745 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494746 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494747 0 01449474 8 30605514 8 30605514 0 10055280 8 30605514 0 01449474
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7 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494748 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494749 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474
10 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474
Ejemplo de cálculoCalcular el Q de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC de 293 mm de diámetro. Longitud: 730m, y con una carga gravitacional de: 43.5 m. Se asume
Modelos matemáticos
, y g gque la rugosidad absoluta (ε) en m es: 0.0000015. Por coefc. global de pérdidas menores se espera un Kfm: 11.8. La densidad del agua: 998.2 kg/m³. Viscosidad dinámica (µ): 0.001005 Kg/(m.s).
Viscosidad cinemática ( ) 0 001005 / 998 2
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Viscosidad cinemática (ν): 0.001005 / 998.2 =
Viscocidad cinemática: 1.00681E-06 m2/s
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Modelos matemáticos
⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅
⋅⋅⋅−=
f
f
hDgDLv
DLhDg
V251.2
7.3log
2210
ε
V 2
−=
+ gVKHh fmif 2
2
1
Q = 0.31250 m3/s
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Deber
Practicar cálculos (a mano y encomputadora) para el cálculo de fcomputadora) para el cálculo de f(Colebrook – White)
Al menos 2 ejc. por los métodos de punto fijo Al menos 2 ejc. por el método de N-R.
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