Corriente Alterna

La corriente alterna debe su nombre aque su forma de onda es sinusoidal,como se muestra en la figura. Estoimplica que la señal crece desde cerohasta un máximo positivo, luegocomienza a decrecer pasando por ceroy llegando a un máximo negativo. Luegovuelve a crecer hasta llegar a cerocompletando un ciclo.

De allí se inicia un nuevo ciclo el que serepetirá indefinidamente.

La característica de la corrientealterna es que no tiene un valorconstante, sino que varía cíclica operiódicamente.

Algunos valores típicos de señales sinusoidales

Valor instantáneo: Magnitud de una forma de onda en algún instante de tiempo.Se denota por letras minúsculas (e1, i2).

Amplitud peak o pico: Valor máximo de una forma de onda medido a partir de suvalor promedio o medio. Se denota por letras mayúsculas (Vm, Im)

Valor peak o pico: Valor máximo instantáneo de una función medido a partir delnivel cero.

Valor peak to peak: Denotado por Vp-p o Ep-p, es valor entre los peak positivo ynegativo de la forma de onda

Las ecuaciones de onda del voltaje y la corriente sinusoidales son

v(t) = Vmax sen (wt) o i(t) = Imax sen (wt)Donde:v(t); i(t) = valores instantáneos de voltaje (corriente)Vmax; Imax = valor máximo o amplitud de voltaje (corriente)w = frecuencia angular (rad/seg)t = tiempo (seg)

Las ondas de voltaje o corrientessinusoidales son señales que no sedetienen después de completar un ciclo,sino que continúan repitiéndose mientrasel generador esté funcionando.

Así, cuando se cierra el interruptor en elcircuito de la figura, el valor de la onda devoltaje que se aplica depende del valorinstantáneo de la señal de voltaje en elmomento en que se cierra el interruptor.Este instante se toma como tiempo cero yel éste se mide a partir de ese momento.

Angulo de fase inicial

e(t) = Emáx sen (wt)

e(t) = Emáx sen (wt + β)

e(t) = Emáx sen (wt – β)

Las ecuaciones anteriores difieren en elángulo β que es el ángulo dedesplazamiento respecto al valor cero dela onda. Este ángulo recibe el nombre deángulo de fase inicial o fase de la onda.

Si el desplazamiento es hacia la izquierda,el ángulo de fase es positivo.

Si el desplazamiento es hacia la derecha,el ángulo de fase es negativo.

Angulo de fase inicial

Un generador de corriente continua entrega energía en forma constante, encambio un generador de corriente alterna entrega energía en forma pulsante. Sise hace circular una corriente sinusoidal de valor máximo Im por una resistenciaen un tiempo dado, generará menos calor que si por la misma resistenciacirculara una corriente continua de valor constante Im. Por ello, paradeterminar la eficacia de la energía entregada por una señal periódica, se tomacomo referencia el equivalente continuo de la señal.

Al equivalente continuo de una señal periódica se le llama valor eficaz, valorefectivo o valor rms de la señal

El valor efectivo o rms de una señal periódica se calcula como:

Todos los instrumentos de corriente alterna (Voltimetros, amperímetros,wattmetros) miden valores eficaces. Los datos de placa de equipos eléctricos(motores, generadores, transformadores) están dados en valores eficaces.

Valor eficaz, efectivo o rms

2

máxef

II

2

máxef

VV

En un circuito eléctrico se pueden medir y calcular distintos voltajes ycorrientes, los que pueden estar en fase o desfasados.Dos señales están en fase si sus ángulos de fase inicial son iguales.Dos señales están desfasadas si sus ángulos de fase inicial son diferentes.El ángulo de desfase entre dos señales desfasadas es el ángulo relativo entreellas.

Señales eléctricas en fase y desfasadas

Señales en fase.Diagrama fasorial ygráfica en el dominio deltiempo

Señales desfasadas.Diagrama fasorial ygráfica en el dominio deltiempo

Cuando existe un desfase entre dos señales, entonces es posible establecer lacondición de adelanto o de atraso de una señal respecto de la otra.Si se tienen tres señales desfasadas, su gráfica en el dominio del tiempo será:

Condición de atraso o adelanto de una señal respecto a otra

Observando la gráfica se puede decirque:a) La señal v3(t) está adelantada (parte

antes) respecto a las señales v2(t) yv1(t)

b) La señal v2(t) está atrasadarespecto de v3(t) y adelantadarespecto de v1(t)

c) La señal v1(t) está atrasadarespecto a las otras dos señales

Dibujando el diagrama fasorial, las señalesquedarán representadas como:Un observador “vería” pasar primero al fasorv3(t), luego a v2(t) y finalmente a v1(t) , lo queconcuerda con la gráfica anterior.

Algebra Compleja

El álgebra compleja es una herramienta muy útil para analizar circuitoseléctricos en estado estacionario. Esta álgebra simplifica la operaciónmatemática de las cantidades sinusoidales.

El álgebra compleja está relacionada con los números complejos, los queinvolucran los números reales e imaginarios.

Se define la unidad imaginaria como j = √-1 y los números imaginarios se escribenusando esta notación:

22;1 jj

Se define un eje imaginario sobre el cualse ubican los números imaginarios. Deesta forma, los números complejos seescriben en un plano cartesiano como elde la figura:

93;42 jj

Algebra Compleja

Un número complejo es de la forma z = a + jb. EL componente a se denominaparte real y el componente b se denomina parte imaginaria. Si la parte real escero, entonces el número es imaginario puro y si la parte imaginaria es cero,entonces el número es real puro.

Cualquier número complejopuede ser representado enel plano cartesiano, planoortogonal, plano rectangularo plano complejo, ubicandola parte real en el ejehorizontal y la partecompleja en el eje vertical.De esta forma el ejehorizontal se denomina ejereal, y el eje vertical sedenomina eje imaginario.

Ejemplos:Z1 = 4 + j3Z2 = -3 + j2Z3 = 0 + j4Z4 = 2 + j0

Distintas representaciones de un número complejo

Si tenemos un número complejo de la forma z = a + jb y su representación en elplano complejo, entonces puede ser definido un vector desde el origen hasta elpunto z. Este vector tiene una longitud (módulo) y un ángulo respecto del ejereal.

Aunque el vector puede representarse en distintas formas, se usarán sólo dos deellas: forma polar y forma rectangular:

z = a + jb = r/φDondea = componente real del número complejob = componente imaginaria del número complejor= módulo del número complejoφ = ángulo del número complejo, en grados o radianes

Las relaciones entre ellos son:

22 bar

a

btg 1

cosra

senrb

Operaciones aritméticas con números complejos

Las operaciones aritméticas posibles de realizar con números complejoscorresponden a la suma, resta, multiplicación y división.

SUMA Y RESTA DE NUMEROS COMPLEJOSPara sumar y restar números complejos, éstos se deben representar en su formarectangular.

Sean los números complejos z1 = a1 + j b1 y z2 = a2 + jb2

La suma es: z3 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)

y la resta es: z4 = (a1 - a2) + j(b1 - b2)

En consecuencia, para sumar (o restar) números complejos se procede de lasiguiente manera: Sumar (o restar) reales con reales e imaginarios conimaginarios.

Ejercicios: Sumar y restar los números complejos:a) z1 = 2 + j4 y z2 = 5 + j1b) z3 = -3 + j8 y z4 = 2 – j3

Operaciones aritméticas con números complejos

MULTIPLICACION Y DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOSPara multiplicar y dividir números complejos, éstos se deben representar en suforma polar.

Sean los números complejos z1 = r1 /φ1 y z2 = r2 /φ2

La multiplicación es z3 = z1 * z2 = (r1 * r2) /φ1 + φ2

Y la división es: z4 = z1/z2 = (r1/r2) /φ1 - φ2

En consecuencia, para multiplicar números complejos se procede de la siguientemanera: Se multiplican los módulos y se suman los ángulos.Para dividir números complejos se procede de la siguiente manera: Se dividenlos módulos y se restan los ángulos.

Ejercicios: Multiplicar y dividir los números complejos:a) z1 = 5 /45° y z2 = 8 /72°b) z3 = 3 /-37° y z4 = 12 /43°

Respuesta de los elementos pasivos (R, L y C) a corrientes alternas

En un circuito eléctrico, siempre existirán elementos activos (denominadasfuentes, ya sean de corriente o de voltaje) que proporcionan energía o potenciaal circuito y elementos pasivos que consumen esta energía o disipan estapotencia. Los elementos pasivos eléctricos son la Resistencia (R), la Inductancia(L) y la Capacitancia (C).

Cuando se aplica una señal eléctrica de entrada a un elemento, como por ejemplouna corriente, se podrá obtener una respuesta de éste en forma de un voltaje.De la misma forma si se aplica un voltaje, la respuesta será una corriente.

En adelante veremos las distintas respuestas de los elementos pasivos a señalessinusoidales o corrientes alternas.

Respuesta de R a corrientes alternas

Si aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia, surespuesta será

RivR

Tanto el voltaje v como la corriente i tienen lamisma forma de onda, con los mismos ángulos, loque se conoce como v e i en fase. (Se sabe quetienen la misma forma de onda y los mismosangulos, ya que el argumento del coseno es igualtanto para la i como para el v

También se puede dibujar fasorialmente de laforma:

tRI cos

Respuesta de L a corrientes alternas

Cuando aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Bobina, lafem de autoinducción o Inductancia se opondrá a las variaciones de la corriente,produciéndose un desfase entre la corriente y el voltaje.

En la bobina aparece un efecto de oposición ala circulación de la corriente denominado“Reactancia Inductiva” (equivalente a laResistencia), que se mide en Ω y que dependede la frecuencia angular (ω) y de lainductancia (L) de la bobina:

Aquí, la corriente y el voltaje estándesfasados en 90°, adelantándose el voltaje ala corriente.

fLLX L 2

ijXv LL

Respuesta de C a corrientes alternas

Cuando aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a un Condensador,la Capacitancia se opondrá a las variaciones de la corriente, produciéndose undesfase entre la corriente y el voltaje.

En el condensador aparece un efecto deoposición a la circulación de la corrientedenominado “Reactancia Capacitiva”(equivalente a la Resistencia), que se mide en Ωy que depende de la frecuencia angular (ω) y dela capacitancia (C) del condensador:

Aquí, la corriente y el voltaje están desfasadosen 90°, retrasándose el voltaje con respecto ala corriente.

fCCC

X 2

11

ijXv CC

Circuito RL serie

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia en seriecon una Inductancia (Bobina)

IRVR

TfXcon

IXV

L

LL

22

LR VVV

222222)()( LLLR XRIIXIRVVV

22

LXRZ

R

Xtg

IR

IXtg

V

Vtg LL

R

L 111

fLXcon L 2

Circuito RC serie

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia enserie con una Capacitancia (Condensador)

IRVR

CC IXV CR VVV

2222)()( CCR IXIRVVV

22

CXRIV 22

CXRZ

RC

Xtg

IRC

IXtg

RV

CV

tg

111

fCCX

2

1

Circuito RLC serie

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia en seriecon una Inductancia y una Capacitancia

IRVR

CC IXV

2)(2C

XL

XRZ R

XXtg

IR

XXItg

V

VVtg CLCL

R

CL

111 )(

2)(22)(2)(2)(2C

XL

XRIC

IXL

IXIRC

VL

VR

VV

CLR VVVV

TfXcon

IXV

L

LL

22

Circuito RL paralelo

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia eInductancia en paralelo

R

VR

I

LX

VL

I

22

LX

V

R

VI

21

21

LXR

VI

21

211

LXRZ

LX

Rtg

RI

LI

tg

11

22R

IL

II

Circuito RC paralelo

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia y unaCapacitancia en paralelo

R

VR

I

CX

VC

I

22

CX

V

R

VI

21

21

CXR

VI

21

211

CXRZ

CX

Rtg

RIC

Itg

11

22C

IR

II

Circuito RLC paralelo

Aplicamos una corriente de la forma i = I cos (ωt + β) a una Resistencia,Inductancia y Capacitancia en paralelo

R

VR

I

LX

VL

I

CX

VC

I

2)(2C

IL

IR

II

211

211

CX

LXRZ

R

Z

IR

Icos

Potencia en redes con CA

En general Potencia P = V*I. En un circuito RL, RC o RLC, la potenciaes disipada por la Resistencia R, ya que la inductancia pura o lacapacitancia pura no consumen potencia.

En el diagrama podemos distinguir tres potencias diferentes:

P = VRI Potencia Activa (Watts)Q = VLI Potencia Reactiva (Volt-Amper reactivos,VAr)

(bobina, +Q) Potencia Reactiva Inductiva (VAr inductivo)(condensador, -Q) Potencia Reactiva Capacitiva (VAr capacitivo)

S = VI Potencia aparente (Volt-Amper, VA)

Si consideramos el diagrama fasorial V-I deun circuito RL serie y multiplicamos cadafasor de voltaje por el fasor corriente, eldiagrama queda como se muestra en lafigura.

Potencia en redes con CA

Se puede ver que el ángulo se mantiene, los fasores pasan a llamarseP, Q, S y el diagrama se denomina P-Q.

En este caso queda:

P = S cos φ

Q = S sen φ

El valor cos φ se denomina “factor de potencia”

Este diagrama P-Q también se llamatriángulo de potencias.

Podemos proyectar el fasor S,potencia aparente, sobre los ejes P yQ

Potencia en redes con CA

Como la potencia útil (que hace movermotores, encender iluminaciones, etc.), esla potencia activa, P, entonces se buscaque el ángulo φ sea pequeño.

La legislación chilena (D.S. 327, Art. 294)indica que el factor de potencia debe serdel 93%.

Al existir bobinas y condensadores en un circuito, aparece la potenciareactiva Q, la cual debe ser controlada.