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GUA: LMITES DE FUNCIONES

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Srta. Marina Salam Salam

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INACAP 2002.

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2. LMITES DE FUNCIONES

2.1 INTRODUCCION El concepto de lmite de una funcin surge del siguiente problema. Si y = f(x) est definida en

un dominio D, x0 D, si x comienza a acercarse a x0 a cul nmero comienza a acercarse y =

f(x)?

Para contestar la pregunta basta considerar a y = f(x) definida solo en las inmediaciones de x0,

es decir, para valores de x muy prximos a x0, esto es para valores de x pertenecientes a una

vecindad (v(x0)) de x0. Puesto que x slo se acerca a x0, no interesa lo que ocurre justo en

x = x0.

La expresin x se acerca a x0 tambin se expresa diciendo: x tiende a x0, y se simboliza:

x x0.

El problema anterior quedara enunciado: si y = f(x) est definida en D, x0 D, si x x0. f(x) ?

Hay dos maneras de acercarse a x0 : por el lado izquierdo, es decir, por valores menores que

x0, y por el lado derecho o por valores mayores que x0.

Estas dos formas de acercarse a x0 puede llevar a resultados distintos.

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analicemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Con la grfica y una tabla de valores Qu le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3?

Resolucin:

La figura 2.1.1 corresponde a la grfica de esta funcin.

En ella podemos ver que entre ms cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los

valores de f(x) se encuentran ms cercanos a 12.

La tabla 2.1.1 de valores refuerza esa percepcin grfica

Tabla 2.1.1

Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5

f(x) 9,5 11,41 11,9401 11,994001 12,006001 12,0601 12,61 15,25 Hacia 12 por la izquierda 12 Hacia 12 por la derecha

Podemos ver que a medida que tomamos valores de x ms prximos a 3, tanto para valores

mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12.

Ejemplo 2. Con la grfica y una tabla de valores

Si f(x) =2 4

2

xx

, a qu valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?

Figura 2.1.1 f (x) = x 2 + 3

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Resolucin: Aqu tenemos la grfica de esa funcin.

Podemos ver que, an cuando la grfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2,4), las

imgenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. Tambin una tabla de

valores utilizando valores de x prximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la

derecha (mayores que 2), nos convence de esa situacin.

Tabla 2.1.2

Hacia 2 por la izquierda 2 Hacia 2 por la derecha x 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5

f(x) 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5 Hacia 4 por la izquierda 4 Hacia 4 por la derecha

As, de la tabla 2.1.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a 4 cuando los valores de

x se aproximan a 2.

Ejemplo 3. Consideremos ahora la funcin g(x) = xx

.

Figura 2.1.2

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En su grfica vemos que por la derecha de 0 las imgenes son 1, mientras que por la izquierda

de 0 las imgenes son -1, la grfica presenta un "salto" y entonces las imgenes no se acercan

a un mismo valor. Podemos ver que el lmite no existe.

Hagamos una tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera.

Tabla 2.1.3

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

g(x) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 Hacia -1 por la izquierda 1|-1 Hacia 1 por la derecha

Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0

entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1.

Esto es: la tendencia difiere segn el lado en que tomemos los valores.

Ejemplo 4. Crecimiento ilimitado

Ahora hagamos lo mismo para f(x) = 1x

, para valores de x cercanos a 0.

Figura 2.1.3

Figura 2.1.4

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En la figura 2.1.4 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la grfica de la

funcin "sube ilimitadamente" sin aproximarse a ningn valor en particular. Si vamos por la

izquierda de 0, la grfica de la funcin "baja ilimitadamente'' y tampoco se aproxima a ningn

valor en particular. La tabla tambin indica esa tendencia.

Tabla 2.1.4

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

g(x) -2 -10 -100 -1000 1000 100 10 2 Hacia ? por la izquierda ? Hacia ? por la derecha

Viendo la tabla 2.1.4 y pensando en valores de x an ms prximos a 0 es fcil convencerse

que si vamos por el lado derecho los valores de f(x) crecen ilimitadamente (se dice que crecen

sin cota) y si vamos por el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin

cota).

Comentario sobre los ejemplos anteriores

Estos cuatro ejemplos tienen cosas en comn y cosas en las cuales difieren:

En primer lugar, tienen en comn el hecho de que tenemos un valor dado de x (es decir un

valor de x previamente fijado) digamos x = x0 y, luego, consideramos valores de x cada vez

ms prximos a x0, tanto valores mayores que x0 (por la derecha) como valores menores que x0

(por la izquierda). Esta situacin se expresa diciendo que x tiende a x0 y simblicamente se

indica por:

0x x

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En el ejemplo 1, x tiende a 3;

en el ejemplo 2, x tiende a 2;

en los ejemplos 3 y 4, x tiende a 0.

En segundo lugar, en los ejemplos 1 y 2, a medida que nos aproximamos al valor dado de x, no

importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando

a un valor fijo . Decimos en este caso que f(x) tiende a y escribimos:

( ) f x

La situacin completa se expresa as:

"El lmite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a "

Simblicamente se escribe:

0x xlim f(x)

=

Se tiene entonces que:

( )2x 3lim x 3 12

+ =

2

x 2

x 4lim 4x 2

=

En el ejemplo 3 tenemos una situacin diferente. En este caso, cuando x tiende a 0 por la

derecha entonces g(x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x)

tiende a -1.

En estas circunstancias se dice que el lmite de g(x) cuando x tiende a 0 no existe.

Es decir

x 0

xlim no existe

x

Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco existe el lmite de f(x) cuando x tiende a 0, porque

la tabla no presenta tendencia hacia ningn valor fijo sino que las imgenes crecen o

decrecen sin lmite a medida que aproximamos x a 0. Esto es:

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x 0

1lim no existex

De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definicin intuitiva de lmite. Definicin 1: Decimos que el lmite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a si a medida

que x se acerca a x0 , ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a .

Esto se escribe

0

lim ( )

= x x

f x

La situacin anterior tambin se puede escribir como

0x x cuando ( ) f x

Esto se puede ver grficamente en la figuras 2.1.5

Ejemplo 5. Existencia de los lmites

Figura 2.1.5 0x x

lim f(x)

=

x0

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La figura 2.1.6 representa una funcin y = f(x).

A partir del dibujo tenemos

4 2

1 6

lim ( ) 1 , lim ( ) 1,5

lim ( ) 1 , lim ( ) 2,5

= =

= =

x x

x x

f x f x

f x f x

Por otra parte:

3

lim ( )x

f x no existe porque cerca de 3 la funcin crece sin cota.

4

lim ( )x

f x no existe porque: si nos aproximamos a 4 por la derecha, los valores de f(x) se

aproximan a 4, y si lo hacemos por la izquierda, los valores de f(x) se acercan a 3.

Cuando tratamos con los lmites debemos tener en consideracin una serie de situaciones:

2.1.6 y = f (x)

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1. El lmite de f(x) cuando tiende a x0 puede existir an cuando f(x0) no exista. Por ejemplo,

recuerde que si

f(x) =2 4

2

xx

entonces se tiene que 2

2

4lim 42

=

xxx

y sin embargo f(2) no existe (porque en x = 2 el denominador se hace cero).

2. Por el contrario, puede ser que f(x0) exista y sin embargo 0

lim ( )x x

f x no exista, tal es el

caso si consideramos x0 = 4 en el grfico anterior.

3. Puede ser que tanto 0

lim ( )x x

f x como f(x0) existan pero no sean iguales. En el grfico

anterior se tiene, por ejemplo,

f(2) = 2,5

y

2

lim ( ) 1,5

=x

f x

4. Finalmente, en muchas ocasiones existe el lmite de la funcin cuando x tiende a x0 y

este lmite es igual a f(x0). Por ejemplo, vimos antes que

( )23

lim 3 12

+ =x

x

y tambin, si f(x) = x2+3 entonces f(3) = 12.

De todo esto lo que debe quedar bien claro es: al calcular0

lim ( )x x

f x lo que interesa es "lo que

sucede con f(x) para valores de x muy prximos a x0 y no lo que sucede en x0 mismo". Es

decir, no importa si f(x0) existe o no existe, y si existiera no interesa quin sea; el lmite no tiene

que ver con f(x0) sino con los valores de f(x) para x cercano a x0.

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2.2 CALCULO DE LIMITES Hasta aqu hemos calculado lmites mediante la elaboracin de una tabla o viendo

grficas de funciones.

En las tablas hemos escrito valores de x suficientemente cercanos al valor x = x0 dado y

hemos consignado las correspondientes imgenes obtenidas mediante el uso de una

calculadora. A partir de estas imgenes hemos inferido el valor del lmite o hemos

determinado que no existe.

Esto est bien para introducir el concepto y tratar de aclarar su significado. En algunas

ocasiones esto nos permite tambin tener una idea bastante acertada del lmite, sin embargo el

uso grficas o de tablas para calcular lmites no es todo lo eficiente que quisiramos.

Bsicamente tenemos algunos problemas:

A veces no se conoce la grfica de una funcin, o es muy difcil de trazar.

Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboracin de la tabla utilizando

nicamente una sencilla calculadora.

No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.

Como sucede muy a menudo en matemticas, se puede tomar atajos que nos permiten

efectuar clculos ms rpidos y, a la vez, con la certeza de la validez de los resultados

obtenidos. En el caso de los lmites esto se logra con el uso adecuado de algunos teoremas

que daremos a continuacin como propiedades de los lmites.

Primeramente, daremos una definicin formal de lmites.

2.2.1 LMITES FINITOS: Definicin 1: Sea f una funcin numrica. Dado x0 , decimos que es el lmite de f en

el punto x0, si para cada > 0 existe >0, que en general depende de y

de x0 tal que si, entonces. En tal caso escribimos

0

0x xlim f(x) , o f(x) cuando x x

=

f(x) tiene sentido si x pertenece al dominio de f.

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PROPIEDADES DE LOS LMITES. 1)

0x xSi lim f(x)

= , entonces es nico

2) 0

0 , 0x xlim x x x

=

3) 0

, 0x xlim k k k , x

=

4) [ ]0 0 0x x x x x x

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

= siempre y cuando no aparezca la

indeterminacin -

5) [ ]0 0 0x x x x x x

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

= siempre y cuando no aparezca la

indeterminacin 0

6) 00

0

x x

x xx x

lim f(x)f(x)limg(x) lim g(x)

=

siempre y cuando no aparezca la indeterminacin

0 e0

7) [ ]

0 0x x x xlim k f(x) k lim f(x) con k 0

=

8) [ ]0 0

nn

x x x xlim f(x) lim f(x) con n 0

= siempre y cuando tenga sentido las potencias

que aparecen

9) [ ] x x00 0

lim g(x)g(x)

x x x xlim f(x) lim f(x)

= siempre y cuando tenga sentido las potencias

que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 0 0, 0 o 1

10) 0 0x x x x

lim f(x) lim f(x)

=

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A continuacin se da una serie de ejemplos que ilustran las propiedades indicadas.

Ejemplo 1. a)

5lim 2 2

=x

b) 1 12 2

3lim 2 2

=x

c) 12

lim 3,5 3,5

=x

Ejemplo 2.

a) 5

lim 5

=x

x

b) 3

lim 3

= x

x

c) 12

1lim2

=x

x

Ejemplo 3.

a) ( )3 3 3

lim 15 lim lim 15 3 15 18

+ = + = + =x x x

x x

b) ( )3 3 3

lim 15 lim lim 15 3 15 12

= = = x x x

x x

c) 5 5 5

lim 4 lim 4 lim 4 5 20

= = =x x x

x x

d) ( )( )

33

3

lim 1515 18 3lim15 lim 15 12 2

++= = =

x

xx

xxx x

e)3

3 32 2

lim lim 2 8

= = = x xx x

f) 11 122 2

4 2lim lim 4 2

= = = x xx x

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Ejemplo 4.

( )2 22 2 2 2

22

2 2 2 2

lim 2 3 lim lim 2 lim 3

lim lim 2 lim lim 3 2 2 2 3 4 4 3 11

+ + = + +

= + + = + + = + + =

x x x x

x x x x

x x x x

x x

Ejemplo 5.

2

2 23 3

33 3

lim lim 11 3 1 10lim 22 lim lim 2 3 2 5

+ + + = = = =+ + +

x x

xx x

xxx x

Ejemplo 6.

( )( )5

3 3 3325 25

lim 4 14 1 5 4 1 9 1 3 1 2 1lim3 1 4 225 2 1 27 12 1 lim 2 1

+ + + = = = = = =

++ + ++ + + +

x

xx

xx

x x

Si usted observa detenidamente estos ltimos cuatro ejemplos se dar cuenta que basta

evaluar la funcin en el valor hacia el que tiende x. Esto es cierto en muchos casos, como

sucede en los siguientes:

Ejemplo 7.

a) 2 2

x 2

x 1 2 1 5lim2 2 4x 2

+ += =

++

b) x 3

x 4 3 4 1lim3 5 8x 5

= =

++

Pero la evaluacin directa no siempre funciona. Consideremos nuevamente 2

2

4lim2

x

xx

Si intentamos evaluar en 2 obtenemos

y esta es una expresin indefinida.

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2.2.2 LMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS. Decimos que el limite es determinado si al evaluar la funcin en el valor hacia el que x

tiende se obtiene el valor del limite. En caso contrario se dice que es indeterminado.

Existen varias formas indeterminadas :

1) Indeterminacin 00

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer en factores el numerador

y el denominador.

Ejemplo.-

3

2x 1

x 1limx 1

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con

multiplicar y dividir por la expresin radical conjugada.

Ejemplo.-

x 0

xlim1 1 x

Cuando al intentar calcular un lmite se obtiene una forma indeterminada debemos analizar

otros aspectos de la funcin para encontrar el lmite propuesto.

Volvamos a 2

2

4lim2

x

xx

Lo que sucede aqu es que

( )2

lim 2 0

=x

x

y entonces la propiedad del lmite de un cociente no se puede aplicar porque el lmite del

denominador es igual a 0. Sin embargo, habamos dicho, mediante el uso de una tabla, que 2

2

4lim2

x

xx

= 4.

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Ser que la tabla nos enga o habr una manera de verificar que este valor es correcto?

La respuesta a esta pregunta est fundamentada en la siguiente propiedad

Teorema 1: Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a x0 y

si f(x) g(x)= en v(x0) excepto en x = x0

Si0x x

lim f(x)

= 0x x

entonces lim g(x)

=

En otras palabras, lo que est diciendo el teorema es que no importa lo que pase en x0 , si las

funciones coinciden para valores cercanos a x0 los lmites indicados son iguales.

En el siguiente dibujo se dan tres funciones que coinciden excepto en x0. Se ve en ellas que los

lmites cuando x tiende a x0 tienen que ser iguales.

Lo que todo esto significa es: si se logra transformar adecuadamente la funcin dada en otra

que sea equivalente a ella (salvo en el valor x0 dado) y si la funcin nueva tiene un lmite

determinado, entonces: ste es tambin el lmite de la funcin original.

Regresando una vez ms a 2

2

4lim2

x

xx

,

sabemos que ( ) ( )

( ) ( )2 2 24 2

2 2 +

= = +

x xx xx x

f (x)

x0 x0 x0

x x

f (x ) Plim f (x)

0

0

=

= x x

g(x )lim g(x)

0

0

=

= x x

h (x ) no existelim h(x)

0

0

=

Figura 2.2.1 f, g, h difieren en x0 pero tienen el mismo limite en x0

g (x) h (x)

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siempre que x sea distinto de 2. De esta manera, segn el teorema 1:

2

2 2

4lim lim ( 2 ) 2 2 42

= + = + =

x xx xx

tal como lo indicaba la tabla.

Clculo de lmites: mtodos A partir del ejemplo anterior vemos que con el objeto de realizar estas transformaciones se

utiliza los conocimientos del lgebra bsica tales como operaciones con fracciones racionales,

factorizacin de polinomios, racionalizacin y simplificacin de expresiones algebraicas en

general.

A continuacin se presenta varios ejemplos que ilustran estos procedimientos. En todos los

casos se trata de lmites indeterminados de la forma 00

. Cuando est calculando lmites haga

siempre en primer lugar la evaluacin porque si el lmite no es

indeterminado no es necesario realizar las transformaciones por ms "extraa" que sea la

funcin.

Primer mtodo: factorizar y simplificar Ejemplo 1.

( ) ( )( ) ( )( )( )

2

2x 3 x 3

x 3

x 3 x 3x 9lim limx 3 x 2x x 6x 3 3 3 6limx 2 3 2 5

+ =

+

+ += = =

+ +

Ejemplo 2.

( ) ( )( ) ( )

( )( )

23

2x 1 x 1

2

x 1

x 1 x x 1x 1lim limx 1 x 1x 1

x x 1 3limx 1 2

+ +=

+

+ += =

+

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Ejemplo 3.

( ) ( )( ) ( )

23

2x 2 x 2

2

x 2

x 2 x x 1x x 3x 2lim limx 3 x 2x 5x 6

x x 1 5lim 5x 3 1

+ +=

+

+ = = =

Segundo mtodo: racionalizar y simplificar Ejemplo 4. Calcular:

x 4

x 2lim

x 4

Resolucin: En los casos anteriores utilizamos factorizacin y simplificacin para obtener una

nueva funcin. Aqu lo ms conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos

tanto el numerador como el denominador de la fraccin por 2+x

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x 4 x 4

x 4 x 4

x 2 x 2x 2lim lim

x 4 x 4 x 2

x 4 1 1 1lim lim2 2 4x 2x 4 x 2

+=

+

= = = =

++ +

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Ejemplo 5.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x 3 x 3

2

x 3

x 3

6 x x 6 x x6 x xlim lim

3 x 3 x 6 x x

6 x xlim3 x 6 x x

2 xlim6 x x

2 36 3 3

56

+ + ++ =

+ +

+ =

+ +

+=

+ +

+=

+ +

=

Ejemplo 6. Calcular

x 1

x 5 2lim

x 1+

+

Resolucin: Aqu racionalizamos el denominador:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x 1 x 1

x 1

x 1

x 1

x 5 2 x 5 2x 5 2lim lim

x 1 x 1 x 5 2

x 5 4limx 1 x 5 2

x 1limx 1 x 5 2

1limx 5 2

1 141 5 2

+ + ++ =

+ + + +

+ =

+ + +

+=

+ + +

=+ +

= = + +

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Tercer mtodo: combinacin de los anteriores Ejemplo 7.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

22

x 2 x 2

2

x 2

x 2

x 2

x x 2 6 x 2x x 2lim lim6 x 2 6 x 2 6 x 2

x x 2 6 x 2lim

6 x 4

x 2 x 1 6 x 2lim

x 2

lim x 1 6 x 2

12

+ + ++ =

+ + + +

+ + +=

+

+ + +=

+

= + +

=

Ejemplo 8.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2x 1 x 1

x 1

x 1

1 x 1 x1 xlim limx 1 x 1 x 1 1 x

x 1lim

x 1 x 1 1 x

1limx 1 1 x

14

+=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

Ejemplo 9. Calcular

x 3

x 4 1lim

2x 7 1+

+

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Resolucin: En este caso procedemos por "doble racionalizacin", del siguiente modo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

x 3 x 3

x 3

x 3

x 3

x 4 1 x 4 1 2x 7 1x 4 1lim lim

2x 7 1 2x 7 1 2x 7 1 x 4 1

x 4 1 2x 7 1lim

2x 7 1 x 4 1

x 3 2x 7 1lim

2 x 3 x 4 1

2x 7 1lim

2 x 4 1

12

+ + + + ++ =

+ + + + + +

+ + +=

+ + +

+ + +=

+ + +

+ +=

+ +

=

Ejemplo 10. Calcular

x 0

1 1x 2 xlim

x

+

Resolucin: Transformamos la funcin utilizando las operaciones con expresiones algebraicas.

( )

( )

( )

x 0 x 0

x 0

x 0

x ( x 2 )1 1x x 2x 2 xlim lim

x x2

x x 2lim

x2 xlim

x x 21

+

++=

+

=

=

+

=

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Ejemplo 11. Calcular

h 0

x h xlim

h+

Resolucin: Observe que en este caso aparecen dos variables: x y h. Para efectos del clculo

del lmite es h la que hacemos variar hacia 0 (pues dice h tiende a 0), la x se trata como si fuera

constante. Tenemos entonces:

( ) ( )( )

( )( )

( )

h 0

h 0

h 0

h 0

h 0

x h xlim

hx h x x h x

limh x h x

x h xlim

h x h x

hlimh x h x

1limx h x

12 x

+

+ + +=

+ +

+ =

+ +

=+ +

=+ +

=

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2) Indeterminacin -

En la mayora de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

2

2x 1

x 1 xlimx 1 x 1

+

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y

dividir por la expresin radical conjugada.

Ejemplo.-

( )2xlim x x 1+ +

3) Indeterminacin 0

En la mayora de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo.-

2

2x 0

x 1xlimx 1 x

+

4) Indeterminacin

En la mayora de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor

potencia de x del denominador.

Ejemplos.-

22

2x x

x x4x x 1lim limxx 1+ +

++

+

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5) Indeterminaciones 0 0, 0 , 1

Para determinar estos lmites tendremos en cuenta que:

[ ]g(x)ln f(x) g(x) ln f(x)g(x)f(x) e e

= =

de donde resulta que: [ ]

x x0

0

lim g(x) ln f(x)g(x)x xlim f(x) e

=

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los mtodos anteriores

o por mtodos que aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminacin 1 podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente

igualdad:

[ ]x x0

0

lim g(x) f(x) 1g(x)x xlim f(x) e

=

Aplicar la igualdad anterior a la resolucin del siguiente lmite:

2

21 3x

2 x

2x 0

1 xlim1 x

+

+

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2.3 LIMITES LATERALES

Definicin 1: Sea y = f(x) definida en v(x0), para valores menores que x0, , entonces:

0x x

lim f(x)

=

( Para todo nmero real positivo se puede encontrar un

nmero real positivo de modo que si 00 x x< < debe ocurrir

f(x) < ).

En ste caso se dice que El lmite lateral por la izquierda de y = f (x) es ( el

nmero real ) cuando x tiende a x0 por la izquierda

Observaciones: 1: Usando smbolos:

( )0

0x xlim f(x) 0 0 : 0 x x entonces f(x)

= > > < < <

2: En una vecindad de x0. v(x0) , x esta casi coincidiendo con x0. 3: es un nmero que se escoge arbitrariamente, frecuentemente muy

pequeo. en general depende de y dado hay que encontrar .

4: La desigualdad 0 < x0 x indica que x solo puede acercarse a x0 por la

izquierda. Nunca puede coincidir con x0.

5: De f(x) < obtenemos : f (x) < < + , que indica que f(x)

solo puede variar entre dos nmeros determinados cuando x se acerca a x0.

6: De: 0 < x0 x < obtenemos x0 - < x, y como x < x0 entonces x0 - < x < x0.

Luego :

0x x

lim f(x)

= conduce a que dado > 0 >0 de modo que si x0 - <

x < x0 entonces f (x) < < + .

7: Si cambiamos por otro, es casi seguro que cambia .

8: Encontrado , si lo cambiamos por cualquier otro que sea menor, las desigualdades de la definicin se siguen cumpliendo.

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Definicin 2: Sea y = f(x) definida en v(x0), para valores mayores que x0, , entonces:

( )0

0x xlim f(x) 0 0 : 0 x x entonces f(x)

+

= > > < < <

En ste caso se dice que El lmite lateral por la derecha de y = f (x) es ( el nmero real ) cuando x tiende a x0 por la derecha

Observaciones: 1: Tal como antes:

f(x) < conduce a f (x) < < + , 0 < x x0 < y x0 < x

conduce a x0 < x < x0 + .

Luego, dado > 0 >0, de modo que si x0 < x < x0 + entonces

f (x) < < + .

2: Tal como antes, por lo general depende de . Tambin, si cambiamos por otro menor, las desigualdades de la definicin se siguen cumpliendo.

Definicin 3: Sea y = f(x) definida en v(x0), , entonces:

0 0 0x x x x x x

lim f(x) lim f(x) lim f(x) +

= = =

Cuando los lmites laterales de y = f (x) son iguales se dice que El lmite de

y = f (x) es cuando x tiende a x0

Observaciones:

1: ( )0

0x xlim f(x) 0 0 : 0 x x entonces f(x)

= > > < < <

2: De 00 x x< < obtenemos : x0 - < x < x0 + luego si x0 - <

x < x0 + entonces f (x) < < + .

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2.4 LMITES INFINITOS Y ASNTOTAS 2.4.1 LIMITES INFINITOS Ejemplo 1. Lmite infinito cuando x tiende a 0. Consideremos el siguiente lmite

x 0

1limx

Como podemos ver de la grfica, si hacemos variar x tendiendo a 0 (por la derecha y por la

izquierda), la grfica "sube" ilimitadamente.

Construyamos, adems, una tabla con valores de x cercanos a 0.

Tabla 2.4.1

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha

x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

1/|x| 2 10 100 1000 1000 100 10 2

Hacia ? por la izquierda ? Hacia ? por la derecha

De acuerdo con la grfica y con la tabla 2.4.1, a medida que nos aproximamos a cero tanto por

la derecha como por la izquierda tenemos que los valores de la funcin crecen

Figura 2.4.1 1f (x)x

=

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ilimitadamente. Esa situacin especial en la que f(x) crece ilimitadamente se expresa diciendo

que f(x) tiende a infinito. Escribimos

x 0

1limx

=

Una definicin de esta situacin sera la siguiente: Definicin 1: Sea y = f(x) definida en v(x0),

( )0

0x xlim f(x) k 0 : 0 x x entonces f(x) k

+

= + > < < > Se dice en ste caso:

y= f (x) tiende a ms infinito cuando x x0 por la izquierda.

( )0

0x xlim f(x) k 0 : 0 x x entonces f(x) k

+

+

= + > < < >

Se dice en ste caso :

y= f (x) tiende a ms infinito cuando x x0 por la derecha.

( )0

0x xlim f(x) k 0 : 0 x x entonces f(x) k+

= + > < < >

y

= f(x) tiende a ms infinito cuando 0x x

Ejemplo 2. Lmite infinito cuando x tiende a 0.

Considere 21f(x)

x= .

Realicemos una tabla de valores tomando x muy cercano a 0 Tabla 2.4.2

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,5

-1/x2 -4 -100 -10000 -1000000 -1000000 -10000 -100 -4 Hacia ? por la izquierda ? Hacia ? por la derecha

Es bastante claro, a partir de la tabla 2.4.2, que

2x 0

1limx

=

La figura 2.4.2 representa la grfica de esta funcin.

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Una definicin de esta situacin sera la siguiente:

Definicin 2: Sea y = f(x) definida en v(x0),

( )0

0x xlim f(x) k 0 : 0 x x entonces f(x) k

= > < < < < < <

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Tabla 2.4.3

Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha

x 0,5 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,5

1/(x-1) -2 -10 -100 -1000 1000 100 10 2

Hacia ? por la izquierda ? Hacia ? por la derecha

A partir de la tabla 2.4.3 podemos decir que

x 1

1limx 1

=

, x 1

1limx 1+

=

La grfica de esta funcin se representa en la figura 2.4.3.

Asntotas Verticales Las grficas de las situaciones dadas anteriormente tienen cierta caracterstica en comn: en los tres casos hay una recta vertical a la cual la funcin "se va acercando ". Estas rectas se llaman asntotas. As, la funcin

1f(x)x

=

Figura 2.4.3 f (x)

x=

1

1

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tiene una asntota vertical que es el eje y. Tambin la funcin

21f(x)

x

=

tiene al eje y como asntota vertical. Mientras tanto la funcin

1f(x)x 1

=

tiene a la recta x =1 como asntota vertical. En general, podemos dar la siguiente definicin: Definicin 3: Asntota vertical La recta x = x0 es una asntota vertical de f(x) si se cumple al menos una de las

siguientes posibilidades:

0 0 0 0x x x x x x x xlim f(x) , lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) ,

+ + = + = = + =

Los dos teoremas siguientes son muy tiles en el clculo de lmites infinitos.

Teorema 1. El lmite( )nx c

1limx c

1. Si n es un nmero entero positivo par, entonces( )nx c

1limx c

=

2. Si n es un entero positivo impar entonces ( )nx c

1limx c+

= +

y ( )nx c

1limx c

=

Ejemplo 4. Aplicacin del teorema 1. De acuerdo con el teorema anterior tenemos que

1. ( )2x 3

1limx 3

= +

(porque 2 es un nmero par).

2. ( )3x 4

1limx 4+

= +

(porque 3 es impar).

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3. ( )3x 4

1limx 4

=

(porque 3 es impar).

4. x 8

1limx 8

=

(aqu tenemos que el exponente del denominador es 1, que es impar).

Teorema 2. Operaciones con lmites infinitos Suponga que

0 0x x x xlim f(x) y que lim g(x)

= = (algn nmero ) entonces:

1. [ ]

0x xlim f(x) g(x)

+ = .

2. Si >0, entonces [ ]0x x

lim f(x) g(x)

= y 0x x

f(x)limg(x)

=

3. Si < 0, entonces [ ]0x x

lim f(x) g(x)

= y 0x x

f(x)limg(x)

=

4.0x x

g(x)lim 0f (x)

=

Teoremas anlogos se pueden dar para el caso de y tambin para cuando 0x x

+ y

0x x .

Ejemplo 4. Aplicaciones del teorema 1 y 2. Calcular los siguientes lm ites.

a. ( )2x 2

3xlimx 2

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b. 2x 12xlim

x 1+

c. 2x 32 xlimx 9

+

d. ( )2x 1

3lim 5xx 1

+ +

e. 2x 5x 6lim

x 5x+

Solucin: a. Observe que podemos escribir

( ) ( )2 23x 13 x

x 2 x 2=

y tenemos

( )2x 2 x 2

1lim 3 x 6, limx 2

= =

Entonces, por el punto 2 del teorema se tiene que

( )2x 2

3xlimx 2

=

b. En este caso:

( ) ( )22 x 2 x 2 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1x 1= =

+ +

y tenemos

x 1 x 1

2 x 1lim 1, limx 1 x 1+ +

= = +

Por lo tanto (punto 2 del teorema):

2x 1

2 xlimx 1+

=

Figura 2.4.4 ( )

xf (x)x

= 23

2

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c. Procedemos de modo parecido en este caso:

( ) ( )2x 2 x 2 x 2 1

x 3 x 3 x 3 x 3x 9+ + +

= = + +

y como

x 3 x 3

x 2 1 1lim , limx 3 6 x 3

+= =

+

entonces

2x 3

x 2limx 9

+=

d. Tenemos que

( )2x 1 x 13lim y lim 5x 5

x 1 = =

+

entonces, por el punto 1 del teorema,

( )2x 1

3lim 5xx 1

+ = +

e. Descomponemos la funcin de la siguiente manera

2x 6 x 6 x 6 1

x ( x 5 ) x x 5x 5x

= =

Ahora,

x 5 x 5

x 6 1 1lim , limx 5 x 5+ +

= =

y entonces, por el punto 3 del teorema:

2x 5

x 6limx 5x+

=

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Ejemplo 6. Asntotas verticales.

Determinar las asntotas verticales de

23x 1f (x)

2x 3x 2+

=+

Solucin: Podemos escribir

( ) ( )23x 1 3x 1f (x)

2x 1 x 22x 3x 2+ +

= = ++

Vemos que el denominador se hace 0 cuando x = - 2 o x = 12

de manera que hay dos posibles

asntotas verticales: x = - 2 y x = 12

.

Calculamos

( ) ( ) ( ) ( )1x 2 x

2

3x 1 3x 1lim lim2x 1 x 2 2x 1 x 2+ +

+ += =

+ +

y por lo tanto ambas rectas son asntotas verticales.

Ejemplo 7. Un cero del denominador que no es asntota vertical.

Determinar las asntotas verticales de 2

2x 9f(x)

x 5x 6

= +

Solucin: Tenemos

( ) ( )2 2

2x 9 x 9f(x)

x 3 x 2x 5x 6

= = +

Por lo tanto hay dos posibles asntotas verticales: x=3 y x=2.

Ahora calculamos

( ) ( )2

x 2

x 9limx 3 x 2+

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

x 3 x 3 x 3

x 3 x 3x 9 x 3lim lim lim 6x 3 x 2 x 3 x 2 x 2

+ += = =

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Lo anterior dice que la recta x = 2 es asntota vertical, pero x = 3 no es asntota vertical porque

el lmite considerado no es ni + ni - .

2.4.2 Lmites al infinito En lo que sigue vamos a estudiar los lmites infinitos para diversas funciones.

Aqu consideraremos un problema diferente al considerado en captulos anteriores. En ellos nos

hemos preguntado qu pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aqu nos

preguntaremos qu pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando

decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los lmites al infinito.

Ejemplo 8. Crecimiento ilimitado de x.

Sea 2x 5f(x)x 2

+=

, nos preguntamos:

a) Qu sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente? b) Qu sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez "ms abajo")

Solucin: La grfica de la funcin indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los

valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.

Figura 2.4.5 xf (x)x

+=

2 5

2

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a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la grfica: Tabla 2.4.4

Hacia

x 10 100 1000 10000 100000

f(x) 3,125 2,091836 2,009018 2,0009 2,00009

Hacia 2

Con la tabla 2.4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores

de f(x) se aproximan a 2.

La expresin "x crece sin cota" se simboliza con x y se dice que x tiende a infinito.

Toda la situacin anterior se escribe simblicamente como

x

2 x 5lim 2x 2

=

b) Para comprobar la respuesta tambin construiremos una tabla de valores. Tabla 2.4.5

Hacia x -10 -100 -1000 -10000 -100000

F(x) 1,25 1,911764 1,991017 1,9991 1,99991 Hacia 2

Nuevamente, a partir de la tabla 2.4.5 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2. La expresin "x decrece sin cota" se simboliza con x y se dice que x tiende a menos

infinito. La situacin anterior se escribe simblicamente como

x

2 x 5lim 2x 2

=

Podemos dar una definicin para estas situaciones.

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Definicin 4: ( )xlim f(x) k 0 : x k entonces f(x)+ +

= > > <

El lmite de y = f(x) es cuando x tiende a mas infinito.

Definicin 5: ( )xlim f(x) k 0 : x k entonces f(x)

= > < <

El lmite de y = f(x) es cuando x tiende a menos infinito.

Asntotas horizontales La figura 2.4.5 representa la grfica de

2x 5f(x)x 2

+=

Note que en el dibujo, adems de la asntota vertical x = 2, se observa otra recta a la cual la

grfica de la funcin se "va pegando": sta es la recta horizontal y = 2. Estas rectas se llaman

asntotas horizontales de la grfica de f(x) y estn estrechamente relacionadas con los lmite al infinito. De hecho, podemos dar la siguiente definicin:

Definicin 6. Asntota horizontal

Se dice que y = f(x) tiene una asntota horizontal en y = sixlim f(x)

= . La asntota puede

aparecer cuando x , x o en ambos casos.

Ejemplo 9. Dos asntotas horizontales. En la figura 2.4.6 se representa la grfica de una funcin f.

Figura 2.4.6 Asintotas horizontales

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Ah vemos que hay dos asntotas horizontales que son y = -3, y = 4. Tenemos xlim f(x) 4

= y

xlim f(x) 3

= .

El siguiente teorema nos sirve para calcular lmites al infinito. Teorema 3. Propiedades de los lmites al infinito

1. Si k es una constante entoncesxlim k k

= y xlim k k

= .

2. Si n es un nmero natural par entonces n

xlim x

= y nxlim x

=

3. Si n es un nmero natural impar entonces n

xlim x

= y nxlim x

=

4. Si m es un nmero natural par entonces m

xlim x

=

5. Si m es un nmero natural impar entonces m

xlim x

= y mxlim x

=

6. Si k es un nmero racional positivo y r es un nmero real arbitrario entonces

kx

rlim 0x

= y kxrlim 0

x = siempre que x k est definido.

Todo lo referente a las propiedades de los lmites vistas anteriormente es vlido si escribimos

+ o - en lugar de x0. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

Ejemplo 10.

a. xlim 439 439

= , por el punto 1 del teorema anterior tomando k = 439.

b. 2xlim x

= y 2xlim x

= , por el punto 2 del teorema, tomando n = 2 (par).

c. 5xlim x

= y 5xlim x

= , por el punto 3 del teorema, tomando n = 5 (impar).

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d. xlim x

= , por el punto 4 del teorema, tomando m = 2 (par).

e. 3xlim x

= y 3xlim x

= , por el punto 5 del teorema, tomando m = 3 (impar).

f. 4x42lim 0x

= y 4x42lim 0x

= , por el punto 6 del teorema, tomando r = 42 y k =4.

Ejemplo 11. Un mtodo para calcular ciertos lmites al infinito.

a. Calcular

3x

1lim 12x

+

Solucin: Tenemos

3 3x x x1 1lim 12 lim lim 12 0 12 12

x x + = + = + =

b. Calcular ( )2

xlim 3x 5x 6

+

Solucin: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos

casos del siguiente modo:

( )2 2 2x x5 2lim 3x 5x 6 lim 3x 1

3x x + = +

Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresin "sacando" el trmino de mayor

exponente, por esta razn dentro del parntesis quedan fracciones en las que aparece la

variable en el denominador. El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas

fracciones que acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el lmite solo va a depender

del trmino de mayor exponente. Entonces,

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2 22x x

5 2lim 3x 1 lim 3x3x x

+ = =

El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el clculo de

muchos de los lmites al infinito.

c. Calcular

2

2x

x 5x 4lim3x 2x 1

+ +

+

Solucin: Procedemos del siguiente modo:

1

22 22

2 2x x x22

1

5 4x 1xx 5x 4 x 1xlim lim lim

32 13x 2x 1 3x3x 13x 3x

+ + + + = = = + + +

Lmites al infinito de funciones polinomiales

El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de l las dos reglas siguientes.

Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x) = an xn + an-1 x n-1 + + a1 x + a0 (con an diferente de 0) entonces

( )n n-1 nn n-1 1 0 nx xlim a x + a x + + a x + a = lim a x y tambin

( )n n-1 nn n-1 1 0 nx xlim a x + a x + + a x + a = lim a x

Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x) = an xn + an-1 xn-1 + + a1x + a0 (con an distinto de 0) y q(x) = bm xm + bm-1 xm-1 + + b1x + b0 (con bm distinto de 0) entonces

n n-1 n

n n-1 1 0 nn n-1 nx xn n-1 1 0 n

a x + a x + + a x + a a xlim = lim

b x + b x + + b x + b b x

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y adems

n n-1 n

n n-1 1 0 nn n-1 nx xn n-1 1 0 n

a x + a x + + a x + a a xlim = lim

b x + b x + + b x + b b x

Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los lmites al infinito de un

polinomio basta considerar solo el trmino de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los

lmites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los

trminos de mayor grado de ambos polinomios.

Ejemplo 11. Clculo de asntotas horizontales.

Determinar las asntotas horizontales de las siguientes funciones

a) 3f(x) 2x 4x 1= +

b) 3

22x 4x 1g(x)

x x 1 +

= +

c) 3

5x 4x 1h(x)x x 1

+ +=

+

Solucin: a) ( )3 3

x xlim 2x 4x 1 = lim 2x

+ = (segn la regla 1).

Por otra parte ( )3 3x xlim 2x 4x 1 = lim 2x

+ =

De modo que f no tiene asntotas horizontales.

b) 3 3

2 2x x x

2x 4x 1 2xlim = lim lim 2x x x 1 x

+= =

+ (segn la regla 2).

3 3

2 2x x x

2x 4x 1 2xlim = lim lim 2x x x 1 x

+= =

+. Tampoco esta funcin tiene

asntotas horizontales.

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c) 3 3

5 5 2x x x

x 4x 1 x 1lim = lim lim 0 x x 1 x x

+ += =

+ (segn la regla 2).

3 3

5 5 2x x x

x 4x 1 x 1lim = lim lim 0 x x 1 x x

+ += =

+

Por lo tanto h tiene una asntota horizontal y = 0. 2.5 LMITES DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES. 2.5.1 Lmites de las funciones trigonomtricas.

Teorema 1: Si y = f(x) representa a una funcin trigonomtrica o a una funcin trigonomtrica inversa, con las restricciones adecuadas se verifica:

00x x

lim f(x) f(x )

=

Recuerde que el dominio de las funciones senx y cos x es todo , el dominio de tanx y secx

es n / n2 +

el dominio de cot x y csc x es { }n / n A partir de las grficas de las funciones trigonomtricas podemos deducir que ellas son

continuas en todo su dominio, de manera que si x0 pertenece al dominio de la funcin correspondiente, entonces se tiene:

0x xlim

sen x = sen x0 0x x

lim

cos x = cos x0

0x xlim

tan x = tan x0 0x x

lim

cot x = cot x0

0x xlim

sec x = sec x0 0x x

lim

csc x = csc x0

Por otra parte, si x0 no pertenece al dominio de la funcin entonces el lmite no existe. Ejemplo 1. Clculo de lmites con funciones trigonomtricas

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Como una aplicacin de lo anterior tenemos, por ejemplo, que

xlim

sen x = sen = 0

x4

lim

cos x = cos 2

4

=

x3

lim

tanx = tan 3

3

= x

6

lim cot x cot 36

= =

x4

lim

sec x = sec 2

4

= 3x2

3lim csc x csc 12

= =

Por otra parte, x

2

lim

( tanx ) no existe (vea la grfica de y = tan x) pero s podemos decir que

x2

lim tan x+

= y x

2

lim tan x

=

Tambin tenemos que:

xlim csc x

+ = y

xlim csc x

=

Ejemplo 2. Clculo de un lmite de funciones trigonomtricas con algebraicas

Calcular xlim

(x + x2 cos x).

Solucin: Utilizando las propiedades de los lmites estudiadas en captulos anteriores, tenemos:

Figura 2.5.1 2f (x) x x cos x= +

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xlim

(x + x2 cos x) = xlim

x + xlim

x2 . xlim

cos x

= + 2 (-1)

= - 2

Tenemos, igual que antes: si al evaluar no encontramos problemas entonces obtenemos el

lmite directamente. Pero, tambin, aqu podemos encontrar problemas. Piense en el siguiente

lmite:

x 0

sen xlimx

Tenemos una situacin especialmente difcil puesto que al evaluar obtenemos la forma

indeterminada 00

; con un agravante: no podemos ni factorizar, ni racionalizar, ni operar como lo

hacamos antes. Es evidente que aqu debemos utilizar otros mtodos. Dentro de un momento

aprenderemos cul es el valor de ese lmite y podremos utilizarlo para calcular otros parecidos.

Pero para llegar a ese valor antes veremos un teorema que nos ser de mucha utilidad.

Teorema 2. Teorema de intercalacin

Sea I un intervalo abierto que contiene a c y suponga que para todo x I (salvo tal vez para x =

c) se tiene que g (x) < f (x) < h (x), si adems x clim

g (x) = x clim

h (x) = L, entonces tambin x clim

f

(x) = L

Figura 2.5.2

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La figura 2.5.2 representa un ejemplo de las situacin que se da: la funcin h va por arriba, la

funcin g va por abajo y la funcin f va en medio de ellas. Si tanto h como g se acercan a un

mismo valor, a f no le queda otra que ir hacia ese valor puesto que queda intercalada entre

ellas. Por esta razn el teorema tambin es conocido con el nombre del teorema del sndwich.

Lo dicho anteriormente no es una demostracin del teorema, solamente es una idea intuitiva

basada en la situacin grfica.

Una demostracin intuitiva

La figura 2.5.3 representa el crculo trigonomtrico (centro (0,0) y radio 1). Consideremos

primero que 0 < x > 1

Tambin se puede llegar exactamente a la misma desigualdad si consideramos

-2 < x < 1 (hgalo usted).

Ahora, como x 0lim 1 1

= y x 0lim cos x cos0 1

= = , tenemos

x1 cos xsen x

> >

.... .......... .... ...

...1............ .... 1 ...

y, entonces, el teorema de intercalacin nos dice que tambin

x 0

sen xlim 1x

=

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Ejemplo 3. Otro lmite especial

Utilizar el lmite anterior para demostrar que x 0

cos x 1lim 0x

=

Solucin: En efecto, tenemos

( ) ( )( )x 0 x 0

cos x 1 cos x 1cos x 1lim limx x cos x 1

+=

+

( )2

x 0

cos x 1limx cos x 1

=

+

( )2

x 0

sen xlimx cos x 1

=

+

( )x 0sen x sen xlim

x cos x 1=

+

( )sen01

cos0 1=

+

1 0=

0=

Ejemplo 4. Clculo de lmites trigonomtricos: el caso sen(ax)ax

Calcular los siguientes lmites:

(a) x 0

sen 4xlim3x

(b) x 0

cos x 3x 1lim5x+

Solucin :

(a) Procedemos del siguiente modo:

( )x 0 x 0 x 0 x 0sen 4x 4sen 4x sen 4x sen 4x4 4lim lim lim lim

3x 3 4x 3 4x 3 4x = = =

Por la definicin de lmite se tiene que x 0 se puede sustituir por 4x 0. Por lo tanto

x 0 4x 0

sen 4x sen 4xlim lim 13x 4x

= =

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y, en definitiva,

x 0

sen 4x 4 4lim 13x 3 3

= =

(b) En este caso se agrupan los trminos en el numerador para buscar un lmite conocido:

x 0 x 0

cos x 3x 1 cos x 1 3xlim lim5x 5x + +

=

x 0

cos x 1 3lim5x 5

= +

x 0 x 0

cos x 11 3lim lim5 x 5

= +

1 305 5

= +

35

=

Ejemplo 5. Convertir senos y cosenos

Calcular t 0

t tan tlimsen t+

Solucin: Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresin en trminos de

seno y coseno. tenemos:

t 0 t 0

sen ttt tan t cos tlim lim

sen t sen t

++

=

t 0

t cos t sen tcos tlimsen t

+

=

t 0

t cos t sen tlimsen t cos t

+=

t 0

t cos t sen tlimsen t cos t sen t cos t

= +

t 0 t 0t 1lim lim 1 1 2

sen t cos t = + = + =

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En este ejemplo se utiliz

t 0

tlim 1sen t

= por qu esto es vlido?

2.5.2 Limites de las funciones logartmicas y exponenciales. De las grficas de estas funciones podemos deducir que ellas son continuas en todo su

dominio, de manera que si x0 pertenece al dominio de la funcin correspondiente, entonces se

tiene:

00

0

0x x

xxx x

lim ln x ln x

lim e e

=

=

y en general:

00

0

a a 0x x

xxx x

lim log x log x

lim a a

=

=

Basado en lo anterior tenemos: Teorema 3: Si y = f(x) representa a una funcin logartmica o a una funcin

exponencial, con las restricciones adecuadas se verifica: 0

0x xlim f(x) f(x )

= .

Otros dos teoremas importantes son:

Teorema 4: x

x 0

a 1lim lnax

=

Teorema 5: x 0

ln(a x) lna 1limx a

+ =

Figura 2.5.4 y = ln x, y = ex

son inversas

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Ejemplo 7. Clculo de lmites

x 3

x 1x 1

2 2x 8

x 2x 2

lim ln x ln3

1lim e ee

lim log x log 8 3

lim 3 3 9

=

= =

= =

= =

Ejemplo 8. Clculo de lmites Calcular los lmites: a) ( )x

x 2lim x 2

+

b) ( )( )2x 1lim x ln x 2 x + c)

x

x 4 2

x 2limlog x

d) ( )( )xx 0lim 3 ln x 2

+ +

Solucin: a) ( )x 2

x 2lim x 2 2 2 2 4 6

+ = + = + =

b) ( )( ) ( )22x 1lim x ln x 2 x 1ln 1 2( 1) ln1 2 0 2 2 + = + = = =

c) x 4

x 4 2 2

x 2 4 2 4 16lim 6log x log 4 2

= = =

d) ( )( ) ( )x 0

x 0lim 3 ln x 2 3 ln 0 2 1 ln2

+ + = + + = +

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El nmero e Un lmite que juega un importante papel en matemticas porque define un nmero especial es

el siguiente:

( )1x

x 0lim 1 x

+

Podemos hacer un estimado mediante una tabla de valores.

0

X -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0.0001 0.001 0.01 0.1

2.867972 2.731999 2.719642 2.718417 2.718145 2.716923 2.704813 2.5937425

De la tabla anterior vemos que, conservando hasta tres cifras decimales, el lmite es

aproximadamente igual a 2,718. Podramos seguir calculando para valores cada vez ms

cercanos a 0 y nos daramos cuenta que se van "estacionando" cada vez ms decimales pero

no lograremos capturar un cierto valor "conocido" como s sucedi en otras tablas que

elaboramos antes. Este lmite es el que define el conocido nmero e, base de los logaritmos

naturales y de la funcin exponencial natural. Es decir,

( )1x

x 0lim 1 x

+ = e

Funcin logartmica y su inversa

La funcin logartmica, que como mencionamos antes naci del estudio de la relacin entre las

progresiones aritmtica y geomtrica, durante el siglo XVII fue analizada a partir de la serie

obtenida por la integracin de

11 x+

John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Jean Bernoulli mostraron que la funcin

logartmica es la inversa de la funcin exponencial.

Figura 2.5.5

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Ya en el ao de 1742 el matemtico William Jones (1675--1749) haba dado una sistemtica

descripcin en estos trminos.

Euler defini las dos funciones as:

1n

x nn n

xe lim 1 y logx lim n x 1n

= + =

Esto fue presentado as en el libro Introduction in Analysis Infinitorum publicado en1748. Ejemplo 9. Clculo de un lmite exponencial

Calcular ( )1t

t 0lim 1 2t

+

Solucin: Utilizamos las propiedades de los lmites y el valor antes indicado. Adems, en este

caso, empleamos un "truco" que es til en el clculo de algunos lmites; es lo que se llama un

cambio de variable. En este caso, en el lugar de 2t vamos a escribir h, es decir, consideraremos

h = 2t. Pero hay que cambiar todas las partes variables en el lmite, esto es, en toda parte

donde aparece t debemos poner lo que corresponda en trminos de h. As, como h = 2t

entonces cuando t 0, tambin h 0 y adems 1 2t h

= . Haciendo todas estas sustituciones se

obtiene:

( ) ( )1 2t h

ht 0 02

lim 1 2t lim 1 h

+ = +

( )2h

h 0lim 1 h

= +

( )21

hh 0lim 1 h

= +

( )21

hh 0lim 1 h

= +

= e2 (porque ( )1h

h 0lim 1 h e

= + = )

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De modo exactamente igual al anterior, pero escribiendo x en el lugar de 2 obtenemos que

( )1

xhh 0lim 1 xh e

+ =

y en particular

1 1h x

h 0

hlim 1 ex

+ =

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Algunas aplicaciones

Introduccin Es innegable que algunas de las mejores inspiraciones en las matemticas en aquellas partes lo ms puras que uno pueda imaginar han venido de las ciencias naturales El hecho ms vitalmente caracterstico de las matemticas es, en mi opinin, su bastante peculiar relacin con las ciencias naturales o, de manera ms general, con cualquier ciencia que interpreta la experiencia en un nivel superior que el puramente descriptivo. (John von Newmann)

La msica es un ejercicio matemtico secreto, y la persona que la disfruta no se da cuenta que est manipulando nmeros. (Wilhelm Gottfried Leibniz)

Existe una gran cantidad de aplicaciones del Clculo a las ciencias fsicas y sociales. Sin

embargo, la mayora de las aplicaciones ms interesantes requieren de un nivel mayor de

matemticas y, de igual manera, de un conocimiento bastante amplio de otras ramas del que

hacer humano tales como la Fsica, la Qumica, la Biologa, la Economa, etc.

En este captulo solamente daremos un ligero vistazo a algunas de las ms simples, pero que

servir para comprender la importancia de las ideas del Clculo Diferencial e Integral en las

aplicaciones cientficas y tecnolgicas.

ALGUNAS SITUACIONES DONDE SE APLICAN LOS LMITES El inters compuesto est relacionado con e Posiblemente usted ha odo hablar de intereses compuestos. Normalmente, si tiene una cuenta

de ahorros en un banco, ste le paga intereses compuestos. Esto significa que

los intereses se calculan sobre el monto que usted ha depositado como ahorro y, tambin,

sobre los intereses que ya ha ganado al momento del clculo.

Entre ms corto es el perodo en que se calcule el inters, mayor ser el capital al final del ao.

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Llamemos con h la fraccin del ao en que se calculan los intereses. Por ejemplo, si el inters

se calcula mensualmente entonces h = 1/12. El capital al final del ao ser una funcin de h que

llamaremos C(h). Supongamos que la tasa de inters es r% anual; es relativamente sencillo

obtener la siguiente frmula para C(h):

C(h) = 1h

0rC(h) C 1 h

100 = +

donde C0 es el capital inicial (la cantidad de dinero que usted ahorra), suponiendo que no hace

ms depsitos durante el resto del ao.

Segn dijimos antes, entre ms corto sea el perodo en que se calcule el inters, mayor ser el

inters devengado; esto se puede interpretar diciendo que el mximo beneficio se obtendr si

hacemos tender h a 0, en otras palabras el mximo capital que podramos tener al final del ao

sera 1h

0h 0 h 0

rlim C(h ) lim C 1 h100

= +

r1

100h0 0h 0

rlim C 1 h C e100

+ =

Se dice que si el inters se compone continuamente, entonces el capital al final del ao ser r

1000C e

Ejemplo 10. Calculando un inters Si se colocan $10.000 a un inters compuesto continuamente del 24% anual, cul ser el

capital al cabo de un ao?

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Solucin: Segn lo comentado antes, el capital al final del ao ser

240.24100C 10.000 e 10.000 e 10.000 1.2712492 12712,49 pesos= = = =

Un caso en el que la resistencia del aire es importante Si uno se lanza desde un avin en el aire posiblemente no tendr un final muy feliz, a no ser

que utilice un paracadas que funcione adecuadamente. La idea bsica de un paracadas es

que, por su forma, el aire presenta una gran resistencia que funciona como una especie de

frenado. Desde luego, el frenado no es tanto como para quedar completamente suspendido en

el aire; {resistencia del aire} de manera que al caer al suelo con un paracadas se lleva cierta

velocidad (no tanta, para no sufrir un golpe fuerte).

Mediante algunos conocimientos de la fsica se puede demostrar que si un hombre se lanza a

una velocidad de 55 m/seg. hasta el momento de abrirse el paracadas y si la resistencia del

aire es proporcional al cuadrado de la velocidad, entonces la velocidad a la que baja el

paracaidista es

25,5 t

24,5 t5e 6v1,2 e

+=

Resulta que si se lanza desde una altura suficientemente grande, la velocidad comienza a

estabilizarse (esto en particular significa que casi no tendr aceleracin) y con esa velocidad

cae al suelo.

Efectivamente, si vemos qu sucede cuando t se hace cada vez mayor podemos calcular la

velocidad de estabilizacin: 25,5 t

24,5 tt t

5e 6 6lim v lim 51,21,2 e

+= = =

(esto es as porque 24,5 t

tlim e 0

= ).

Tenemos que: a medida que va bajando, la velocidad del paracaidista se hace cada vez ms

prxima a 5 m/seg.

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2.6 CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. 2.6.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO Al final de la seccin 2.1 se hicieron algunas observaciones sobre las posibles relaciones entre

la existencia de limite y el valor de la funcin.

Retomemos esas observaciones y veamos su significado grfico.

1) En esta grfica se tiene que:

lim ( )x c

f x

s existe

f(c) no existe

2) En estas grficas se tiene que:

lim ( )x c

f x

no existe

f(c) s existe

3) En esta grfica se tiene que:

lim ( )x c

f x

s existe

f(c) s existe, pero

lim ( ) ( )x c

f x f c

4) En esta grfica se tiene que:

lim ( )x c

f x

s existe

f(c) s existe y adems

lim ( ) ( )x c

f x f c

=

4

5

2.6. Figura 2.6.1

2 3Figura 2.6.2 Figura 2.6.3

Figura 2.6.4

Figura 2.6.5

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Un vistazo a las figuras anteriores nos permite darnos cuenta que, salvo en la ltima, en todas

las dems la grfica de la funcin presenta algn tipo de ruptura de la curva sobre el valor de

x=c. En otras palabras solamente la grfica del ltimo caso podra ser dibujada "sin levantar el

lpiz del papel". Esta ltima es la que intuitivamente llamaramos una funcin continua. Precisamente la definicin de continuidad est basada en la situacin que se presenta en este

ltimo caso.

Definicin 1: Diremos que la funcin y = f(x) es continua en x = x0 si: 1-. Existe f(x0), es decir, f(x) est definida en x = x0.

2-. Existe el 0x x

lim f(x)

.

3-. Ambos valores coinciden, es decir0

0x xlim f(x) f(x )

= .

Si f no es continua en x0 se dice que es discontinua en x0. Si tenemos en cuenta la definicin de lmite, podemos obtener la siguiente definicin

equivalente:

0 0 0y f(x) es continua en x x para cada 0 0 : x x f (x) f(x )= = > > < <

Teorema 1: Si y = f(x) es continua en x = x0 existe el 0x x

lim f(x)

(La demostracin es

inmediata)

Sin embargo, el teorema recproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

2x 1f(x)x 1

=

Ejemplo 1. Discusin sobre la continuidad de algunas funciones

1) Si tenemos una funcin constante f(x)=k, sabemos que para cualquier c se tiene lim ( )x c

f x

=k y

adems f(c)=k. Esto nos dice que es un funcin continua.

2) La funcin identidad f(x)=x tambin es continua pues f(c)=c y limx c

x c

= .

3) La funcin es 2 1( )

1xf xx

=

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discontinua en 1 porque f(1) no existe, pero

continua en todos los dems puntos. Por ejemplo f(2)=3 y 22

2

2 11 3lim ( ) 31 2 1 1

= = = =

xxf xx

En realidad, si al calcular un lmite cuando x tiende a x0 ste se obtiene por simple evaluacin

(es decir: no es un lmite indeterminado), entonces la funcin es continua en x0.

Ejemplo 2. Funciones continuas

Las siguientes funciones son continuas en todos los puntos de :

f(x) 3x 5x 1= +

2

2x 1g(x)

2x 4+

=+

25x 3h(x)x 2

=

+

2.6.2 CONTINUIDAD EN UN DOMINIO Definicin 2: y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del

intervalo abierto (a,b).

Definicin 3: y = f(x) es continua por la derecha en x = a six alim f(x) f(a)

+= .

y = f(x) es continua por la izquierda en x = b six blim f(x) f(b)

= .

Definicin 4: y = f(x) es continua en el [a,b] si: 1-. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).

2-. y = f(x) es continua por la derecha en x=a.

3-. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.

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Ejemplo 3. Funciones continuas y discontinuas

1) La funcin 23( )9

xf xx

=

es discontinua en x = 3 y en x = -3 pues no existen ni f(3) ni f(-3) (en

estos casos el denominador se anula). En todos los dems valores en la funcin es continua.

2))La funcin ( ) 1f x x= es continua para todo valor x > 1.

Continuidad en un intervalo

En general, decimos que una funcin es continua en si es continua para todo x en . Tambin decimos que es continua en un intervalo abierto I si es continua para toda x en I.

Nota: En el punto 2 del ejemplo anterior se tiene que el dominio de la funcin es el intervalo

[1,+ [. En ese caso no tiene sentido hablar de1

lim ( )x

f x

pues la funcin no est definida para

valores menores que 1. Pero en estas circunstancias diremos que f es continua en [1,+ [

porque es continua en ]1,+ [ y adems 1

lim ( ) (1)+

=x

f x f

Ejemplo 4. Continuidad de una funcin racional

Determinar en qu conjunto es continua la siguiente funcin:

x 5f(x)x 3

+=

Solucin: El dominio de esta funcin es - {3} y la funcin es continua en todo su dominio.

Ejemplo 5. Continuidad de una funcin con una raz en el denominador Determinar dnde es continua la funcin

2

xg(x)1 x

=

Solucin: Esta es una funcin continua en todo su dominio, es decir en ]-1,1[.

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Ejemplo 6. Continuidad de una funcin definida por partes

Determinar dnde es continua la funcin

Solucin:

Aqu tenemos una funcin definida por partes. Dentro de cada parte la funcin es continua, pero

podra haber problemas con los lmites en los puntos de divisin 0 y 2.

Tenemos

( )0 0

lim ( ) lim 2 1 1

= + =x x

h x x

( )20 0

lim ( ) lim 1 1+ +

= + =x x

h x x

y adems

h(0)=02+1=1,

por lo tanto la funcin es continua en 0.

Por otro lado,

( )22 2

lim ( ) lim 1 5

= + =x x

h x x

( )2 2

lim ( ) lim 3 1+ +

= = x x

h x x

Esto dice que

2lim ( )x

h x

no existe y por lo tanto h no es continua en 2.

Resumiendo la informacin decimos que h es continua en - {2}.

Fgura 2.6.6

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Ejemplo 7. Buscar la continuidad si hay un parmetro

Encontrar un valor de d para el cual la siguiente funcin sea continua en todo .

Solucin:

Dentro de cada parte la funcin es continua. Para que adems sea continua en 2, debemos

tener que

2 2(2) lim ( ) lim ( )

+ = =

x xf f x f x

Es decir,

4d 3 = 2d + 2

Resolviendo esta ecuacin resulta

4d -2d = 2+3

2d = 5

d = 52

Entonces si d = 52

se tiene que f es continua en todo .

Operaciones con funciones continuas.

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x = x0, se tiene entonces que:

1) f(x) g(x) es continua en x = x0.

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2) f(x) g(x) es continua en x = x0.

3) f(x)g(x)

es continua en x = x0 si g(x) 0 .

4) g(x)f(x) es continua en x = x0 suponiendo que f(x0 )>0 (para que tenga sentido la potencia).

Teorema 2: Si f(x) es continua en x = x0 y g(x) es continua en y = f(x0) ( )(x)g f es

continua en x = x0.

Lmite de una funcin compuesta

Teorema 3: y = g(u) , u = f(x), 0x x

lim f(x)

= , y = g(u) continua en u =

Entonces : ( )0 0x x x x

lim g f(x) g lim f(x) g( )

= =

2.6.3 DISCONTINUIDAD Se dice que una funcin y = f(x) es discontinua en x = x0 si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

Ejemplo 8. Discontinuidades de diferentes tipos

En la figura 2.6.7 se presenta una funcin f:

Podemos ver que la funcin presenta cuatro puntos de discontinuidad.

Figura 2.6.7 Diferentes tipos de discontinuidad

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En x=a se tiene que f(a) existe pero lim ( )x a

f x

no existe.

En x=b se tiene que f(b) no existe y lim ( )x b

f x

tampoco existe.

En x=c se tiene que f(c) no existe pero lim ( )x c

f x si existe.

En x=d se tiene que f(d) existe, lim ( )x d

f x tambin existe, pero lim ( ) ( )

x d

f x f d

Observando bien la grfica, podemos ver que las discontinuidades son de diferente tipo. En c y

en d la grfica solo representa una "leve" ruptura, solo se interrumpe en un punto. Mientras que

en a la grfica "salta" de un lugar a otro y en b la grfica "baja" indefinidamente. En los puntos

en los que la grfica solo se interrumpe en un punto sucede que el lmite existe, mientras que

en las otras circunstancias el lmite no existe. Con base en esto damos la definicin siguiente.

Definicin 5: A) Evitable: Cuando existe el 0x x

lim f(x)

pero no coincide con el valor de f(x0)

por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(x0).

B) De salto: Cuando existe el lmite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

C) Asinttica: Cuando alguno de los lmites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asinttica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los lmites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = x0, llamaremos verdadero valor de la

funcin en x = x0 al 0x x

lim f(x)

. Dicho valor es el que convierte a la funcin en continua.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x = x0, llamaremos salto de la funcin en x = x0

al valor 0 0x x x x

lim f(x) lim f(x)+

.

Ejemplo 9. Clasificando discontinuidades

Para la funcin cuya grfica se da en la figura 2.6.7 (ejemplo 1), las discontinuidades en x=c y

en x=d son evitables. Las discontinuidades en a y b son inevitables. Por otra parte, la

discontinuidad en a es una discontinuidad de salto.

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Los nombres que se dieron en la definicin anterior son bastante claros en cuanto a su

significado. Si se tiene una discontinuidad evitable en x=c bastara redefinir f(c)= x clim f(x)

para obtener una nueva funcin que s es continua en x=c (as se evitara la discontinuidad).

Esto no se puede hacer en el caso de discontinuidades inevitables.

Ejemplo 10. Calculando discontinuidades evitables e inevitables

Determinar cules son los puntos de discontinuidad de la funcin

Indicar cules son evitables y cules son inevitables.

Solucin: La funcin est definida en R- {1,3} tiene entonces dos puntos de discontinuidad: en x=1 y en x=3

Tenemos que

1lim ( ) 4

xf x

= y

1lim ( ) 4

xf x

+=

por lo tanto

1lim ( ) 4x

f x

=

y entonces en x=1 hay una discontinuidad evitable.

Por otra parte 3

lim ( ) 12x

f x

= y 3

lim ( ) 13+

=x

f x

por lo tanto

3lim ( )x

f x no existe

por lo que en x=3 hay una discontinuidad inevitable y es de salto (porque existen los dos lmites

laterales).

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Ejemplo 11. Redefiniendo una funcin

Determine los puntos de discontinuidad de la funcin 2 1( )

1

=

xf xx

y redefina la funcin para que sea continua en .

Solucin: La funcin es discontinua en x=1 y adems

( ) ( ) ( )2

1 1 1

1 11lim lim lim 1 21 1

+ = = + =

x x xx xx x

x x

La discontinuidad es evitable y si escribimos

obtenemos una funcin idntica a la funcin dada (salvo en x=1) y adems continua en x=1.

Funciones discontinuas aplicadas En esta seccin se introduce una aplicacin de las funciones discontinuas: la funcin de

Heaviside y su aplicacin en ingeniera.

Quizs a usted le parecieron extraas algunas funciones definidas "por partes" que

consideramos anteriormente en el contexto de la continuidad; sin embargo, algunas de ellas

son muy importantes en las aplicaciones. Aqu veremos algo con respecto a una funcin

discontinua muy til: la llamada funcin de Heaviside. Esta funcin es de especial importancia en la ingeniera elctrica. De hecho, se llama as en

honor de un ingeniero elctrico, Oliver Heaviside, quien hizo grandes aportes en la aplicacin

de las matemticas en la ingeniera elctrica.

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Definicin 6. La funcin de Heaviside Se llama funcin de Heaviside o funcin escaln unidad a la funcin H definida por

0 si t 0H(t)

1 si t 0

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bombillo que solo tiene dos estados: encendido o apagado; se puede asignar un nmero a cada

estado:

encendido = 1,

apagado = 0.

Si usted considera el momento exacto en que enciende la lmpara como el instante t=0,

entonces para los t "siguientes" (t>0) la lmpara estar encendida: 1; para los t "anteriores" al

encendido (t

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Ejemplo 12. La funcin pulso Suponga que deseamos, utilizando una funcin, describir una alarma que se activa en el

instante 6 seg. despus de alguna accin determinada y se desactiva 5 seg. despus (es decir:

a los 11 seg. despus de la accin).

Podemos Funcin pulso considerar que esta alarma corresponde a una funcin que vale 0

hasta antes del tiempo t = 6, luego, entre t = 6 y t = 11 vale 1 y vuelve a valer 0 para t > 11. Este

tipo de funciones se llaman funciones pulso y en el caso que nos ocupa se puede escribir como

0 si t 6p(t) 1 si 6 t 11

0 si t 11

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(Por qu?). De hecho todas las funciones con discontinuidades de "salto" se pueden escribir como suma o

resta de mltiplos de funciones de Heaviside trasladadas. Esto es muy til, por ejemplo, en el

anlisis del comportamiento de circuitos elctricos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar los lmites que se indican de las siguientes funciones :

( )2x 3

1 . lim 5x 3x 4

+

2

2x 2

x 2x2 . limx 4x 4

+

x a

3x a x a3 . lim

x a +

x 4

2x 1 34 . limx 2 2

+

( )

2

2x 4

x 165 . limx 4

2

2x 2

x 6x 86 . limx 5x 6

+

+

2

2x 3

x x 127 . limx 4x 3

+ +

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2

x 2

x 48 . limx 2

3x 64

x 89 . limx 64

3

x 1

x 110 . limx 1

+

+

x 0

4 x 211 . lim

x

3 2

2x 1

x x x 112 . limx x 2+

+

3

5x 1

1 x13 . lim1 x

3

4x 1

x 114 . limx 1

( )

( ) ( )x 23 x 1 315 . lim

x 2 x 2 x 1

3x 1

3 116 . limx 1x 1

1x

1x 0x

1 e17 . lim

1 e

+

1x

1x 0x

1 e18 . lim

1 e+

+

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( )x 0

ln 1 x19 . lim

x+

( )x x

x 0

a b20 . lim a , b 0x

>

x 0

tan x21 . limx

2x 0

1 cos x22 . lim

x

x 0

sen 5x23 . limsen 2x

x4

sen x cos x24 . lim1 tan x

2

x 0

1 cos x25 . limx

x 026 . lim tan x ctgx

3 2

3 2x

4x 7x x 627 . lim8x x x 3

+ +

+

x

128 . lim x senx

2x

1senx29 . lim

x 1

+

2

x

x 130 . lim

x 1+

+

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2

2x

x 1631 . limx 4

2

x

x 132 . lim

5 x 2+

+

( )2x33 . lim x 3x 1 x +

2

3 3x

x 334 . lim

x 1

+

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x x

x xx

e e35 . lime e

+

( )

2

2

x 2

2

36 . Dada :

x 2 si 0 x 22f(x)

82 si 2x

Calcular lim f(x) , es continua la funcion ?

37 . Analizar la continuidad de f(x), en , definida por :

tan x si x 0x 4sen x x si x 0

xa) f(x) b) f x 1 si 0 x 1

5 si x 0

x 1 si xx 1

<

( )

( )

2

3

1

38 . Definir f x , en los puntos de discontinuidad de modo que f(x)resulte continua (si es posible). Grafique.

x x 6 si x 3x 3

1 xa) f x b) f(x)1 x

5 si x 3

+= =+ =

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39-. Determinar la asintotas paralelas a los ejes y bosquejar la curva respecto a ellas:

2

3

2

2xa) yx 1

b) y x

8 3xc) y2x 4

1d) yx 9

=

=

=

=