NÚMEROS. Revista de didáctica de las matemáticas Volumen 35, septiembre de 1998, páginas 67-70

El rincón de la calculadora gráfica A cargo de Francisco Puerta García

Más aplicaciones de las transformaciones

En un Rincón anterior1 destaqué la facilidad con que se pueden ligar los enfoques gráfico, numérico y algebraico usando la calculadora gráfica en la enseñanza de la función logarítmica. Hoy quiero aportar otro ejemplo, -muy cercano a lo que se trabaja en nuestra secundaria- de cómo se pueden usar las calculadoras gráficas para saber algo más sobre el comportamiento de las funciones más conocidas de los alumnos: las parábolas.

Me preguntaba un día si, con la calculadora gráfica, sería fácil explicar el

efecto de b en la gráfica de la parábola y= ax 2 +bx+c. Empecé dibujando

y = x2 + bx, con b variando en {0,1,2,3,4 }:

WINDOW Xl"ti n= -4. 7 XMax=2.7 Xscl=1 YMin=-4.1 YMax=2.1 Yscl=1 Xres=1

A primera vista nuestros alumnos pueden llegar a pensar que el valor de b

tiene un efecto importante en la forma de la parábola, pero con la ayuda de la calculadora gráfica podemos hacerles ver rápidamente que estas cinco pará­bolas son, en realidad, congruentes. Representando sólo la primera y última parábolas de la serie:

1 «Tratamiento Gráfico de la función logarítmica», NÚMEROS, Nº 31, 4 7-56, septiem­

bre de 1997.

Esta sección ofrece a los lectores un foro en el que exponer ideas, consultar dudas y debatir planteamientos didácticos relacionados con el uso de la nueva generación de calculadoras gráficas avanzadas en la enseñanza de las matemáticas. Esperamos que participes enviando tus consultas o aportaciones a la dirección indicada al final.

68 Francisco Puerta García

tl~t1 tl~t2 tl~t~ -...Y1=2X2+{0:o1:o2:- 3 :o4}X+1 'Y2EIX2+4X -... Y~ EIX 2 ,y ... = -...Ys:= -...Yii=

y utilizando las herramientas de dibujo disponibles en y [ DRAW] trazamos unos segmentos horizontales AB y A'B' que, como se ve en la siguiente figura, delimitan segmentos de parábola exactamente iguales.

Por lo tanto, cualquiera de ellas puede considerarse la trasladada de cualquier otra (en particular de y = x 2

), y podemos pedirles que utilicen las máquinas para descubrir la relación que hay entre el valor de b y la magnitud y dirección de la traslación2

• En una clase con calculadoras gráficas, el primer intento será siempre por tanteo, aprovechando la notación funcionaP que nos brinda la TI-83 en su editor de funciones.

2 Si no conocen los vectores, simplemente les pediremos que encuentren las coordenadas del vértice de la nueva parábola.

3 Que yo escribiré como la calculadora: y n = y n (x).

El rincón de la calculadora gráfica 69

Obsérvese la pantalla anterior: y 2 (x) = x 2 + 4x es la parábola de trazo grue­

so, e y 4 (x) = y 3 (x- k) + h representa la parábola obtenida al trasladar y 3 (x) = x 2

según el vector (k,h). (En la figura, k = h =-l.)

Fijándoseenque el vértice de y 2 = x 2 +4x estásituadoenelpunto (-2,-4),

asignamos a k y h los valores -4 y -2, respectivamente, y al pulsar los

alumnos ven que y 2 e y 4 se superponen, confirmando que, efectivamente,

y 2 = x 2 + 4x tiene la misma forma que y 3 = x 2 porque se obtiene de ella por

traslación. (Siguiente figura.)

Pero, además, observar que b=4, k==-2 y h=-4, invita a la siguiente conjetura: ¿será h igual a -b y k igual a -b/2? La calculadora permite descartarla en cuestión de segundos (v. siguiente figura), y continuar buscando la relación.

Cuando el trabajo experimental haya dado algunos frutos en forma de conjetu­ras como la anterior, la clase estará en condiciones de pasar al planteamiento algebraico que cierra y da generalidad a la situación investigada. Sustituyendo

2 Y3 =x en tendremos

y 4 = (x -k)2 +h = x 2 -2kx+k2 +h. Identificando coeficientes con y= x 2 +bx

70 Francisco Puerta García

{k

2 +h =o b

se tiene _ 2k = b , y despejando sale k = -2 -como la conjetura-, pero

b2 h= - -

4

Obtenemos, pues, que la gráfica de la función y= x 2 + bx coincide con la de

[ b b

2

) y = x 2 trasladada según el vector - 2, - 4 .

Llegados a este tipo de conclusiones no es dificil que embarquemos a algunos alumnos en la deducción algebraica del caso general y que luego comprueben

gráficamente que la parábola y = ax 2 + bx +e se superpone a la parábola

[b-B b

2-B

2)

y= ax 2 + Bx +e si la trasladamos según el vector ~, 4ª , pero inclu-

so aquellos alumnos que no hayan podido seguir sino los primeros tanteos ten­drán un grado de familiaridad con las propiedades de las funciones en general, y las parábolas en particular, mucho mayor que el de sus compañeros enseña­dos según el sistema tradicional.

Francisco Puerta García Instituto "Isabel de España" Tomás Morales, 39 35003 Las Palmas de G. C. fpgg@correo.rcanaria.es