02. Prueba Chi Cuadrado Tablas 2xn

7/23/2019 02. Prueba Chi Cuadrado Tablas 2xn

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1

Cuando se quiere establecer la relación entre variables cualitativas vamos a comparar la

frecuencia de presentación de un efecto en dos o más muestras, o grupos de estudio. En

estas situaciones debemos utilizar pruebas de contraste de hipótesis para la comparación

de proporciones.

Ejemplos:

- La frecuencia de aparición de cáncer de cuello uterino está asociada al nivel deestudios de las pacientes, de forma que la incidencia del proceso disminuye al

aumentar el nivel de estudios de las mujeres.

- La frecuencia de cáncer pancreático en varones está asociada a la edad del

paciente (medida como variable categórica, por intervalos de edad), de forma

que la incidencia del proceso aumenta al aumentar la edad de los pacientes.

Para la comparación de proporciones, entre dos o más muestras, los tests de contraste

de hipótesis más utilizados habitualmente en Ciencias de la salud son:

-

Test de ji-cuadrado de Pearson.- Test exacto de Fisher.

- Test de ji-cuadrado de Mc Nemar

- Test de ji-cuadrado de tendencia lineal.

En temas anteriores, en el análisis epidemiológico de datos, hemos utilizado la prueba

de ji-cuadrado y sus variantes (Mantell-Haenszael) para establecer si la relación causal

entre dos variables no era explicada exclusivamente por el azar, eran estadísticamente

significativas.

En este capítulo nos vamos a centrar en la prueba de Ji-cuadrado de Pearson, aplicable acualquier situación y tipo de estudio epidemiológico, en el que se comparen dos o más

proporciones; tanto para tablas de 2x2 como para tablas de NxM.

En la Universidad de Salamanca, vamos a considerar que la proporción de hombres y

mujeres entre los estudiantes, es la misma, es decir el 50% son hombres y el 50% son

mujeres.



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2

En un estudio descriptivo, realizado en una muestra (A) de 30 alumnos de segundo de

medicina, que el 66,7% eran mujeres (20 mujeres) y el 33,3% varones (10

varones).

Los cálculos realizados para llegar a estos resultados han sido:

1) Proporción de mujeres = 20/30=0,667 (66,7%)2) Proporción de hombres= 10/30=0,333 (33,3%)

La frecuencia observada en los estudiantes de segundo de medicina, NO se corresponde

con la distribución teórica de la universidad de Salamanca: la proporción de mujeres es

mayor que la de hombres. Esta diferencia puede ser debida al azar (error

aleatorio debido al muestreo) y no a la existencia de una diferencia real entre el número

de hombres y mujeres en los estudiantes de segundo de medicina.

En los estudiantes de segundo de medicina,

: Si esta distribución fuera cierta, en nuestra muestra de 30

alumnos, el número de hombres sería de 15 y el de mujeres, también, de 15.

Los cálculos realizados para llegar a esta conclusión han sido:

1) Número de mujeres = 0,50*30= 152) Número de hombres = 0,50*30= 15

La entre los casos observados y los esperados han sido de 5 (20-15) para las

mujeres y de -5 (10-15) para los varones.

Los cálculos realizados para llegar a esta conclusión han sido:

1) Diferencia casos en mujeres = 20-15=5

2) Diferencia casos en hombres = 10-15=-5

Entre los estudiantes de segundo de medicina, seleccionamos otras dos muestras

representativas de tamaño igual a 30 y encontramos un porcentaje de mujeres del 53,3%

en la muestra B y del 96,7% en la muestra C. Las diferencias entre los casos observados

y esperados en cada una de ellas, se encuentran recogidos en la tabla siguiente:

Hombres Mujeres

(53,3% mujeres)

-1 1

(66,7% mujeres)

-5 5

(96,7% mujeres)

-13 13



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3

Analicemos los resultados y contestemos a las siguientes preguntas:

- ¿

?.

Respuesta: la muestra B, ya que la proporción de mujeres (53,3%) es similar a la

teórica y la diferencia entre lo Observado y lo Esperado es pequeña (|1|).

- ¿

?.

Respuesta: la muestra C, ya que la proporción de mujeres (96,7%) es muy superior

a la teórica y la diferencia entre lo Observado y lo Esperado es grande (|13|).

:

- Al analizar las diferencias (bservado-sperado) de las tres muestras

aleatorias de alumnos de segundo de medicina, encontramos que las muestras

en las que la diferencia se alejan más de la hipótesis teórica de

igual distribución de los alumnos por sexo en la Universidad de Salamanca.

Las diferencias no pueden ser explicadas exclusivamente por el azar (la

variabilidad del muestreo), hay otra causa que explica esa mayor variabilidad,

en este caso el sexo de los alumnos de segundo de medicina que es diferente:

hay más mujeres que hombres.

- Al analizar las diferencias (bservado-sperado) de las tres muestras

aleatorias de alumnos de segundo de medicina, encontramos que las muestras,

en las que la , se aproximan más a la hipótesis teórica de

igual distribución de los alumnos por sexo en la Universidad de Salamanca.

Las diferencias pueden ser explicadas sólo por el azar (la variabilidad del

muestreo), no hay ninguna otra causa que explica esa variabilidad, en este caso

el sexo de los alumnos de segundo de medicina no es diferente: hay igual

proporción de mujeres que de hombres.

: La prueba de ji-cuadrado cuantifica esta diferencia y determina si es lo

suficientemente grande (o pequeña) como para ser explicada exclusivamente por el azar

(variabilidad propia del muestreo) o por la existencia de otro factor que determine la

existencia de una diferencia real.

: El cálculo del ji-cuadrado se realiza con la fórmula:



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4

Dónde:

- Obs: es la frecuencia absoluta observada en cada una de las casillas.

- Esp: es la frecuencia absoluta esperada en cada una de las casillas.

Para explicar los pasos a seguir en el análisis vamos a tener en cuenta los datos

obtenidos en un estudio epidemiológico diseñado con el fin de determinar si la

incidencia de tuberculosis era mayor en pacientes VIH+ que en los VIH-. En el estudio

se analizaron los datos obtenidos en una muestra representativa de 40 usuarios a drogas

por vía parenteral (UDVP) que formaban parte de un programa de mantenimiento con

metadona.

Los resultados ervados se encuentran en la tabla siguiente:

OBSERVADOS Tuberculosis

Sí No Total

VIH Positivo 15 6 21

VIH Negativo 6 13 19

Total 21 19 40

En la muestra de estudio se registraron 21 casos de tuberculosis, es decir el 52,5%(21/40) de los UDVP presentaban tuberculosis. Observaron que la tuberculosis era más

frecuente en pacientes VIH+ (71.4%) que en los VIH- (31.6%).

Los cálculos han sido:

- La frecuencia de tuberculosis en los pacientes VIH(+) fue del 71.4% (15/21).

- La frecuencia de tuberculosis en los pacientes VIH(-) fue del 31.6% (6/19).

Los investigadores pretendían establecer si las diferencias eran debidas al azar o si

realmente los pacientes VIH+ tenían mayor frecuencia de tuberculosis que los VIH-.

Para contestar a la pregunta, realizaron una prueba de contraste de hipótesis para

variables cualitativas, la prueba del “chi-cuadrado”, siguiendo los pasos expuestos acontinuación:

1. Cálculo de las frecuencias eradas, para cada una de las casillas de la tabla de

contingencia, en el caso de que no hubiera diferencias, es decir que la frecuencia de

tuberculosis, en los dos grupos de pacientes, fuera similar a la de la población (52,5%),

tal y como recoge la tabla siguiente:



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5

ESPERADOS Tuberculosis

Sí No Total

VIH Positivo (a)

[(21/40)*21]

(b)

[(19/40)*21]

21

VIH Negativo (c)

[(21/40)*19]

(d)

[(19/40)*19]

19

Total 21 19 40

Por ejemplo, en la casilla (a): En pacientes VIH (+), el número de casos de tuberculosis

erado, suponiendo que tienen la misma frecuencia de la enfermedad (0,525) que la

población, sería de 10.5 (=0,525*21).

En el resto de las casillas los efectivos Esperados se han calculado de la siguiente

forma:

Esperados (a) = 0.525*21= 11

Esperados (b) = 0.475*21= 10

Esperados (c) = 0.525*19= 10

Esperados (d) = 0.475*19= 9

En la mayoría de los libros de texto puede encontrar la siguiente fórmula para el cálculo

de los efectivos esperados de cada una de las casillas:

2. Cálculo de las diferencias entre ervados y erados, para cada una de las

casillas de la tabla de contingencia. En el ejemplo fueron:


Sí No Total

VIH Positivo 4 -4

VIH Negativo -4 4

Total



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6

3. Cálculo del ji-cuadrado experimental a partir de los datos de nuestro estudio,

siguiendo la fórmula de cálculo:

4 :

El valor experimental calculado se compara con el valor teórico tabulado para 1 grado

de libertad y un nivel de significación α del 5% o del 1%. Si el valor experimental es

mayor que el teórico, decimos que las diferencias observadas no son debidas al azar,las

diferencias son significativas, existe otro factor que explica esa diferencia.

El valor del χ2 tabulado para un nivel α=0.05 es de 3.8 y para un nivel de α=0.01 es de

6.6 (ver anexo sobre el manejo de las tablas de la distribución de chi-cuadrado).

En el ejemplo, 6.3520 es mayor que 3.8, por lo que podemos decir que el azar no

explica por sí solo la diferencia de casos de tuberculosis detectado en los grupos de

estudio, la frecuencia de tuberculosis es mayor en los pacientes VIH+ que en los VIH-,

con una probabilidad de error (p) menor de 0,01. Si lo obtenemos a partir de las tablas

podemos obtener el valor de p más preciso. Los programas de ordenador proporcionan

directamente el p-valor exacto (p=0,0117).

El fundamento y los cálculos realizados son similares. La diferencia es que ahoratenemos un factor de exposición con tres categorías. Para comprender los cálculos

vamos a tener en cuenta el siguiente estudio epidemiológico diseñado con el fin de

determinar si la tuberculosis es más frecuente en usuarios a drogas por vía parenteral

según su nivel de estudios. En la investigación se analizaron los datos recogidos en una

muestra representativa de 242 usuarios a drogas por vía parenteral (UDVP) que

formaban parte de un programa de mantenimiento con metadona.



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Los resultados ervados se encuentran en la tabla siguiente:


Sí No TotalSin estudios 23 29 52

Estudios primarios 54 99 153

Estudios superiores 11 26 37

Total 88 154 242

En la muestra de estudio se registraron 88 casos de tuberculosis, es decir el 36.36%

(88/242) de los UDVP presentaban tuberculosis [el 63.64% no presentaron tuberculosis;

154/242]. Observaron que la tuberculosis era menor a medida que aumentaba el nivel de

estudios:

- La frecuencia de tuberculosis en los pacientes “sin estudios” fue del

44.23% (23/52).

- La frecuencia de tuberculosis en los pacientes con “estudios

primarios” fue del 35.29% (54/153).

- La frecuencia de tuberculosis en los pacientes con “estudios

superiores” fue del 29.73% (11/37).

Los investigadores pretendían establecer si las diferencias eran debidas al azar o si

realmente los pacientes con menor nivel de estudios tenían mayor frecuencia detuberculosis. Para contestar a la pregunta, realizaron una prueba de contraste de

hipótesis para variables cualitativas, la prueba del “chi-cuadrado”, siguiendo los

siguientes pasos:

1. Cálculo de las frecuencias eradas, para cada una de las casillas de la tabla de

contingencia, en el caso de que no hubiera diferencias, es decir que la frecuencia de

tuberculosis, en los tres grupos de pacientes, fuera similar a la de la población (36,36%),

tal y como recoge la tabla siguiente:


Sí No TotalSin estudios (a)

[(88/242)*52]

(b)

[(154/242)*52]

52

Estudios primarios (c)

[(88/242)*153]

(d)

[(154/242)*153]

153

Estudios superiores (e)

[(88/242)*37]

(f)

[(154/242)*37]

37



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8

Total 88 154 242

Los efectivos Esperados para cada una de las casillas se han calculado de la siguiente

forma:

Esperados (a) = 0.3636*52= 18.9Esperados (c) = 0.3636*153= 55.6

Esperados (e) = 0.3636*37= 13.5

Esperados (b) = 0.6364*52= 33.1

Esperados (d) = 0.6364*153= 97.4

Esperados (f) = 0.6364*37= 23.5

2. Cálculo de las diferencias entre ervados y erados, para cada una de las

casillas de la tabla de contingencia.

3. Cálculo del ji-cuadrado experimental a partir de los datos de nuestro estudio,siguiendo la fórmula de cálculo:

4 :

Comparamos los valores experimentales y teórico para unos grados de libertad y un

determinado nivel de significación (5% o 1%). Si el valor experimental es mayor que el

teórico decimos que las diferencias observadas no son debidas al azar.

Hay que tener en cuenta que, en las tablas de 2x3, los grados de libertad son y el valor

del ji-cuadrado es de 5,99, para un nivel de significación del 5%, y de 9,21, para un

nivel de significación del 1%.

En el ejemplo, el valor experimental es inferior que el valor teórico para un nivel de

significación del 5%, por lo tanto las diferencias en la frecuencia de presentación de

tuberculosis según el nivel de estudios de UDVP son debidos al azar (pueden ser

explicados exclusivamente por el azar).



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La prueba de hipótesis de comparación de dos o más proporciones obtenidas en

muestras independientes requiere:

- Las variables analizadas sean variables cualitativas: MxN

.

Es necesario comprobar que se cumplen las condiciones de aplicación de la prueba. En

este sentido los programas de ordenador proporcionan, debajo de las tablas de

significación, el porcentaje de celdas que cumplen estas condiciones. En este sentido es

necesario tener en cuenta los siguientes aspectos:

1. En las tablas de 2x2, ninguna de las casillas de la tabla debe tener efectivos menoresde 5.

Si no se cumple este requisito, tendremos que determinar la significación estadística

mediante el Test Exacto de Fisher que realiza el cálculo exacto de la significación.

2. En las tablas de NxM, puede permitirse, como máximo, un 20% de casillas en las que

no se cumpla este requisito (los efectivos esperados sean menores de 5).

3. Hay que tener en cuenta que el número esperado depende del tamaño de la muestra

(del número de efectivos observado en cada uno de ellos). Cuando no se cumpla el

requisito, para poder aplicar la prueba tendremos que aumentar el número de casos de

las casilla; ¿cómo?: agrupando categorías.

Veamos un ejemplo, supongamos que en el caso anterior, los datos observados fueran

los recogidos en la tabla siguiente:


Sí No

Sin estudios 23 29

Estudios primarios 54 99

Estudios superiores 2 4

Observe que hay dos casillas con valores menores de 5. Es de suponer que los valores

esperados para estas casillas serán también menores de 5. No se cumplirían las

condiciones de aplicación de la prueba, para solucionarlo agrupamos las categorías

primarios y superiores en una única categoría de “con estudios”:


Sí No

Sin estudios 23 29

CON estudios 56 103



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. En las unidades correspondientes al análisis de datos en losdiferentes diseños de estudios epidemiológicos hemos visto como obtener e interpretar

las pruebas de significación estadística chi-cuadrado con el programa SPSS. Estos pasos

están resumidos en la figura expuesta a continuación:

2. Programa permite calcular el chi-cuadrado de Pearson a partir de los datos

recogidos en una tabla NxM.

Además de las posibilidades de cálculo vistas en unidades anteriores (Análisis de tablas

de 2x2 y 2xN simples), el programa permite calcular el chi-cuadrado para todo tipo de

situaciones en las que se comparan dos variables cualitativas con K categorías cada una

de ellas (tablas de 3x3, 3x5, 5x4, etc…), independientemente del diseño de estudio

realizado (descriptivo, analítico o experimental). Los pasos a seguir en el análisis son

los siguientes:



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Una vez abierto el programa, seleccionar el método de análisis de Tablas de

contingencia MxN.

En la ventana que aparece es necesario, antes de introducir los datos de la tabla

de contingencia, establecer las condiciones del análisis. Es importante indicar: el

tamaño de la tabla (número de filas y de columnas), la escala de medida de la variables

(nominal y ordinal) y la forma de presentación de los resultados (en números absolutoso porcentajes calculados según las filas o las columnas).

Solicitar la realización y visualización de los cálculos clicando en los iconos de

calculadora y de folio en blanco.

Analizar los resultados. El programa proporciona un amplio listado de

información. En este momento lo que nos interesa es determinar si las diferenciasobservadas en la frecuencia de presentación de las diferentes categorías de las variables



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analizadas son estadísticamente significativas. Para ello nos fijamos en dos

informaciones:

1. Si se cumplen o no las condiciones de aplicación. El programa proporciona el

porcentaje de celdas con frecuencias esperadas menores de 5: [% de celdas con

frecuencia esperada <5: 0,0%].

Recuerde que, en las tablas de 2x2, la frecuencia esperada, en todas las casillas, debe ser

igual o superior a 5 y que, en las tablas de NxM, la frecuencia esperada debe ser igual o

superior a 5 en, al menos, el 80% de las casillas.

2. El valor del chi-cuadrado calculado y la significación exacta (valor de p) para un

número determinado de grados de libertad.

Para practicar, abra el programa y siga los pasos expuestos, utilice los datos de la figura

del paso 2 y compruebe los resultados proporcionados.

Se diseña un estudio epidemiológico para establecer la

asociación entre la aparición de crisis asmáticas y el consumo de tabaco. Los resultados

del estudio fueron:

Crisis asmáticas

Sí No Total

Fumador (a) 26 (b) 74 100

No fumador (c) 16 (d) 84 100Total 42 158 200

Determine si la frecuencia de crisis asmáticas es significativamente mayor en fumadores

que en no fumadores. Se recomienda que realice los cálculos manualmente y,

posteriormente los compruebe con el programa Epidat.

Compruebe con Epidat los resultados de los estudios

utilizados en esta unidad como ejemplo para explicar el procedimiento de cálculo del

chi-cuadrado para tablas de 2x2 y 2x3.

Prueba Ji-cuadrado de Pearson

Ji-cuadrado gl Valor p

----------- -------- --------

2,1701 2 0,3379



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Los grados de libertad de una tabla de contingencia se obtienen teniendo en cuenta el

número de categorías de las variables comparadas. La forma general de establecerlos es

teniendo en cuenta el diseño de la tabla de contingencia:

:

En una tabla de 2x2, hay 1 grado de libertad [(2-1)*(2-1) = 1]

En una tabla de 2x3, hay 2 grados de libertad [(3-1)*(2-1) = 2]

Nota: El contraste siempre es bilateral.

Grados de libertad (g.l.) = (número de filas - 1)*(número de columnas – 1)

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