02-Investigacion Operativa I- Ing Industrial Fundamentos de Programación Lineal (1)

8/17/2019 02-Investigacion Operativa I- Ing Industrial Fundamentos de Programación Lineal (1)

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I


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"Los que mandan generalmentemueven las manos y dicen 'Heconsiderado todas las alternativas'.Pero eso es casi siempre basura.

Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas lascombinaciones."

George B. Dantzig el creador de la programaci!n lineal enuna entrevista publicada en #e $ollege %at#ematical

&ournal marzo de ()*.


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2. FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lin al !"ili#a !n mo$ lo ma" m%"icopara r pr & n"ar l pro'l ma (! & &"!$ia.La pala'ra lin al n l nom'r & r )i r a la )orma $

la& *pr &ion & ma" m%"ica& $ &" mo$Programación no & r )i r a la programación ncomp!"a$ora+ m%& 'i n &, n & ncia, !n &inónimo $plan ar.

A&-, laprogramación lin al &igni)ica plan ación $ac"i i$a$ & r pr & n"a$a por !n mo$ lo ma" m%"iclin al.


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2. FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

El /"il $ &arrollo ac"!al $ la PL para lo& n gocio& 0 la in$!&"ria, a"ri'!0 al $oc"or G org D. Dan"#ig, !n ma" m%"ico (!pr & n"ó &! m1"o$o Simpl *, como !n proc $imi n"o &i&" m%para r &ol r !n pro'l ma $ programación lin al. D!ran" l a o $3456, G org Dan"#ig 7con Mar&8all 9oo$ 0 &!& a&ocia$o&:, &

oc!pó $ !n pro0 c"o n la F! r#a A1r a $ lo& E&"a$o& Uni$o&,c!al $io por r &!l"a$o la '/&(! $a $ !na "1cnica capa# $ r &ol rlo& pro'l ma& $ plan ación mili"ar . La & ncia $ &a&in &"igacion & con&i&" n con&i$ rar la& in" rr lacion & nac"i i$a$ & $ !na gran organi#ación como !n mo$ lo $ PL,

0 $ " rminar l programa $ op"imi#ación minimi#an$o 7oma*imi#an$o: !na )!nción o'; "i o lin al. Dan"#ig in$icó (! &n! o n)o(! " n$r-a amplia& aplicacion & n lo& pro'l ma& $ ln gocio&, como oc!rr ac"!alm n" .


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La programación Lin al & !&a n la& &ig!i n" & %r a


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2.3. DEFINICIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lin al & !na "1cnica ma" m%"ica (! no&p rmi" $ " rminar la m ;or a&ignación $ lo& r c!r&o&limi"a$o& $ la mpr &a, $ "al man ra (! la )!ncióno'; "i o, $ ' ma*imi#ar& o minimi#ar& , c!an$o &

con&i$ ran !n con;!n"o $ r &"riccion &.


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2.3.3. Conc p"o& '%&ico&

Para r &ol r pro'l ma& $ In &"igación $ Op racion & pm $io $ PL $ ' mo& prim ro *plicar la& carac" r-&"ica&com!n & $ "o$o& lo& mo$ lo& $ PL 0 la& &!po&icionma" m%"ica& (! & aplican a llo=

F!nción O'; "i o. La programación lin al & !n proc &o $op"imi#ación. Con !na &ola )!nción o'; "i o, la c!al *pr &ama" m%"icam n" lo (! & in" n"ama*imi#ar , 7por ; mplo la&ganancia& o !"ili$a$ &: ominimi#ar 7por ; mplo, lo& co&"o& o l$ &p r$icio: n ca$a ca&o.


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2.3.3. Conc p"o& '%&ico&>aria'l $ $ ci&ión.R pr & n"a a(! lla& & l ccion & (! &"%n 'a;o l con

$ la p r&ona (! "oma la& $ ci&ion &. R &ol i n$opro'l ma & o'"i n n &!& alor & óp"imo&.

La& aria'l & p! $ n & rn$óg na& 7a(! lla& (! l mo$ lo "ra"a $ *plicar0 & conoc n "am'i1n como aria'l & $ p n$i n" &: o

*óg na& 7a(! lla& )! r#a& *" rior & al mo$ lo c!0a& magni"!$ & in" r i n n como $a"o& 0 "am'i1n &l & $ nomina aria'l & in$ p n$i n" &:. E&"a& $

*pr &ion & "i n n & n"i$o /nicam n" $ n"ro $con" *"o $ !n mo$ lo &p c-)ico, p! & !na

aria'l n$óg na n !n mo$ lo $a$o, p! $ m!0'i n & r *óg na n o"ro. Por ; mplo, !na aria'l $$ ci&ión po$r-a & r l n/m ro $ !ni$a$ & $ !npro$!c"o (! & $ ' n )a'ricar n l &ig!i n" m &.

La programación lin al & 'a&a n la &!po&ición $ (! la& aria'l & $$ ci&ión &on con"in!a&.


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2.3.3. Conc p"o& '%&ico&

R &"riccion &.Son limi"acion & (! r &"ring n la& & l ccionp rmi&i'l & para la& aria'l & $ $ ci&ión. Calimi"ación p! $ *pr &ar& ma" m%"icam n" c!al(!i ra $ &"a& "r & )orma&=R &"ricción m nor ig!al (! 7 ? : impon !n limi"

&!p rior a ci r"a )!nción $ la& aria'l & $$ ci&ión. Por ; mplo, l n/m ro m%*imo $ cli n"a lo& c!al & & po&i'l a" n$ r.R &"ricción ma0or ig!al (! 7 @ : impon !n limi"in) rior a ci r"a )!nción $ la& aria'l & $ $ ci&ió

Por ; mplo, la pro$!cción $ ci r"o pro$!c"o $ '*c $ r o ig!alar a la magni"!$ $ la $ man$a.R &"ricción ig!al (! 7 : Por ; mplo, (! lin n"ario )inal &i mpr $ ' & r ig!al al in n"ainicial m%& la pro$!cción m no& la& n"a&.


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2.3.3. Conc p"o& '%&ico&

R gión )ac"i'l . To$o pro'l ma $ PL $ ' " n r !na o aria&r &"riccion &. Con&i$ ra$a& n con;!n"o, &r &"riccion & $ )in n !na r gión )ac"i'l , la c!ar pr & n"a "o$a& la& com'inacion & p rmi&i'l & $

aria'l & $ $ ci&ión. En la ma0or par" $ lo& ca&o&la r gión )ac"i'l con"i n !n n/m ro m!0 gran$ $&ol!cion & po&i'l &. La m "a $ la p r&ona (! "om$ ci&ion & con&i&" n ncon"rar la m ;or &ol!ción.

Par%m "ro.La )!nción o'; "i o 0 la& r &"riccion & &on )!ncion & $aria'l & $ $ ci&ión 0 lo& par%m "ro&. U

par%m "ro, "am'i1n llama$o co )ici n" o con&"an"& conoc n con c r"i$!m'r . Por ; mplo, !nprograma$or $ comp!"a$ora& p! $ &a' r $an" mano (! la ; c!ción $ !n programa $&o)"Bar r (! rir% "r & 8ora&, ni m%& ni m no&.


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2.3.3. Conc p"o& '%&ico&

Lin ali$a$. La )!nción o'; "i o 0 la& c!acion & $ r &"ricció&on lin al &. La lin ali$a$ implica proporcionali$a0 a$i"i i$a$+ no p! $ 8a' r n lla pro$!c"o& npo" ncia&7por ; mplo, 3 *3*2 , *D3 : $ la& aria'l & $

$ ci&ión.

No n ga"i i$a$. Signi)ica (! la& aria'l & $ $ ci&ión $ ' n &po&i"i a& o c ro. Por ; mplo, !na mpr &a(! )a'rica a!"o& ;am%& po$r% pro$!cir !nn/m ro n ga"i o $ a!"o&.


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Gra)icación $ c!acion & 0 $ &ig!al$a$ & lin al &

C!an$o & gra)ica !na c!ación, & g n ra !na r c"a &o'r l; $ coor$ na$a&.

La& $ &ig!al$a$ & g n ran !n plano al gra)icarlo &o'r l ; $ cor$ na$a&.Pa&o& para la gra)icación $ !na $ &ig!al$a$=a. D " rminar $o& p!n"o& (! p rmi"an gra)icar !na r c"a,'. D " rminación $ l plano (! $a la $ &ig!al$a$.


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a. Tomar $ la $ &ig!al$a$, la par" $ la c!ación, para$ " rminar $o& p!n"o& (! p rmi"an gra)icar !na r c"a, (! & r-a

l l-mi" $ l plano.En l ca&o $ (! n la c!ación l "1rmino con&"an" )! &c ro, la r c"a pa&a por la in" rc pción $ lo& ; &. Por lo "an"o

!no $ lo& p!n"o& & r-a 7 , :.El o"ro p!n"o & o'" n$r-a $an$o !n alor $i) r n" $c ro a !na $ la& aria'l &.Si la con&"an" )! & $i) r n" $ c ro, & proc $ $ la &ig!i nman ra=

Para l prim r p!n"o, & 8ac c ro !na $ la& aria'l & 0& $ &p ;a la o"ra aria'l .Para l & g!n$o p!n"o, & 8ac c ro la o"ra aria'l , 0& $ &p ;a para la aria'l (! (! $a p n$i n" .

Pa&o& para la gr%)ica $ !na $ &ig!al$a$=


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'. D " rminación $ l plano (! $a la $ &ig!al$a$.

S &cog !n p!n"o $ pr! 'a, $ 'a;o o &o'r la r c"a 0 & ri)ica &i&a"i&)ac la $ &ig!al$a$.Si &a"i&)ac la $ &ig!al$a$, l plano & )orma para l la$o (! &

nc! n"ra l p!n"o $ pr! 'a &cogi$o.Si no &a"i&)ac la $ &ig!al$a$, l plano & )orma para l la$o con"rarioa $on$ & nc! n"ra l p!n"o $ pr! 'a con r &p c"o a la r c"a ol-mi" $ l plano.

Pa&o& para la gr%)ica $ !na $ &ig!al$a$=


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2. .3. I$ n"i)icación $ la& aria'l & $ $ ci&iónEl prim r pa&o n la )orm!lación $ l pro'l ma & i$ n"i)icar laria'l & $ $ ci&ión, a m n!$o &impl m n" llama$a&aria'l &, !na # $ " rmina$o&, proporcionan la &ol!ción a

pro'l ma.

Carac" r-&"ica claPa!"a& g n ral & para i$ n"i)icar aria'l & $ $ ci&ión

!1 l m n"o& a) c"an lo& co&"o& 0 o ganancia& 7 n g no'; "i o glo'al:

!1 l m n"o& p! $ l gir 0 o con"rolar li'r m n" H!1 $ ci&ion & "i n (! "omarH

2. . FORMULACIÓN DE UN PRO LEMA DE PROGRAMACIÓN LINEA


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2. .2. I$ n"i)icación $ lo& $a"o& $ l pro'l ma

La )inali$a$ $ r &ol r !n pro'l ma & proporcionar lo&alor & r al & para la& aria'l & $ $ ci&ión (! 8a

i$ n"i)ica$o. S r (!i r conoc r ci r"a in)ormación paraa0!$ar a $ " rminar &o& alor &



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2. . . I$ n"i)icación $ la )!nción o'; "i o

E*pr &ar l o'; "i o organi#acional glo'al n )ormama" m%"ica !&an$o la& aria'l & $ $ ci&ión 0 lo& $aconoci$o& $ l pro'l ma. La )!nción o'; "i o & cr a n "r

"apa&=E&"a'l c r la )!nción o'; "i o n )orma r'al.Don$ & a a$ c!a$o $ &compon r l o'; "i o 7por ; mpl

&!ma, $i) r ncia:.

E*pr &ar la& can"i$a$ & in$i i$!al & ma" m%"icam n!&an$o la& aria'l & $ $ ci&ión 0 o"ro& $a"o& conoci$o& pro'l ma



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2. .5. I$ n"i)icación $ la& r &"riccion &La& r &"riccion & &on con$icion & (! la& aria'l & $ $ c$ ' n &a"i&)ac r para con&"i"!ir !na &ol!ción ac p"a'l . Lar &"riccion & por lo g n ral &!rg n $ =Limi"acion & )-&ica&7por ; mplo, l n/m ro limi"a$o $ 8ora&

$ "ra'a;o:R &"riccion & imp! &"a& por la a$mini&"ración7por ; mplo,

$ man$a $ l pro$!c"o:R &"riccion & *" rna&7por ; mplo, la mpr &a no p! $

n$ r m%& $ ci r"a can"i$a$ n l m rca$o:R lacion & implica$a& n"r aria'l &7por ; mplo, n !n

pro'l ma $ in r&ión la proporción $ $in ro a in r"ir $ '&!mar 3.



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Mo$ lo $ Programación Lin al


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O'& r acion &i: ai; , ' i , 0 c ; &on alor & (! & a&!m conoci$o&ii: * ; &on aria'l & $ $ ci&ión (! & $ & a 8allar, $ "al man(! op"imic n 7 J :iii: la c!ación 7 J : & conoc como )!nción o'; "i oi : la c!ación 7 K : & conoc como con;!n"o $ r &"riccion &

: la c!ación 7 0 : & conoc como aria'l & $ $ ci&ión

Mo$ lo $ Programación Lin al


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a. Form!lación $ $i "aUna $i "a $ ' con" n r al m no& 3 !ni$a$ & $car'o8i$ra"o& 0 2 $ pro" -na&. El alim n"o A con"i n 2!ni$a$ & $ car'o8i$ra"o& 0 5 $ pro" -na&+ l alim n"o con"i n 2 !ni$a$ & $ car'o8i$ra"o& 0 3 $ pro" -na&. Si

l alim n"o A c! &"a 3.2 por !ni$a$ 0 l . por!ni$a$,

C!%n"a& !ni$a$ & $ ca$a alim n"o $ ' n comprar&para minimi#ar l co&"oH

c!%l & l co&"o m-nimoH

A. REGION FACTI LE NO ACOTADA


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Sol!ción

>aria'l & $ $ ci&ión

S a Q3 n N. $ !ni$a$ & $ alim n"o& A comprar S a Q2 n N. $ !ni$a$ & $ alim n"o& comprar



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Sol!ciónF.O co&"o min 3.2 Q3 . Q2

S!; "o a

2Q3 2Q2 3 r (! rimi n"o m-nimo $ car'o8i$ra"o&5Q3 3Q2 2 r (! rimi n"o m-nimo $ pro" -na&

Q3, Q2



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Sol!ciónTa'!lan$o para ca$a !na $ la& r c"a&, p! & !&" $ &a' (! por $o& p!n"o& pa&a !na r c"a



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Sol!ciónIn" r& cción $ la& r c"a& L3 0 L22Q3 2Q2 35Q3 3Q2 2r &ol i n$o l &i&" ma $ c!acion & & o'"i n =Q3 5Q2 5 R mpla#an$o n 3.2 Q3 . Q2 En l p!n"o 7 ,2 : 3.2 7 : . 72 : 3En l p!n"o 75,5: 3.2 75: . 75: En l p!n"o 7 , : 3.2 7 : . 7 : 4.R &p! &"a= min. Óp"imo con !n plan $ compra=

Q3= 5 !ni$a$ & $ l alim n"o AQ2= 5 !ni$a$ & $ l alim n"o


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. SOLUCIÓN MVLTIPLE


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5

2

52

3

3 W

W

Q3 Q2 5

Q2 2

Q3 3

Q3 Q2

Q2

Q3


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C. REGIÓN FACTI LE >ACXAEl ; mplo &ig!i n" il!&"ra !na &i"!ación n la (! no(! *i&" &ol!ción óp"ima


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C. REGIÓN FACTI LE >ACXA

5

2

52

3

3 W

W


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Sol!ciónUn p!n"o )ac"i'l 7*3, *2 : $ ' " n r *3 @ , *2 @ ,&"ar &o'r la r c"a &!p rior o por ncima $ l3 = *3 Y

*2 @ 5 0 &o'r o por $ 'a;o $ la r c"a in) rior l2 = *3

Y 2*2 ? 2 . Sin m'argo, no *i&" n "al & p!n"o&. Da(!- (! la r gión )ac"i'l & a ac-a 0, por lo "an"o,&" pro'l ma no " nga &ol!ción óp"ima.

Si mpr (! la r gión )ac"i'l $ !n pro'l ma $P.L. & a ac-a, no *i&" &ol!ción óp"ima.

C. REGIÓN FACTI LE >ACXA


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Ma* z x 3 x 2&.a.

x 3 2 x 2 ? 2 x 3 5 x 2 ?

x 3, x 2 ≥

D. SOLUCIÓN ÓPTIMA VNICA


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Sol!ción= por $o& p!n"o& pa&a !na r c"a n"onc &=l 3 = x 3 2 x 2 Ta'!lan$o &i= x 3


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Sol!ción= *i&" !na &ol!ción /nica



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Un )a'rican" $ ;!g! " & pr para !n programa $ pro$!cciónpara $o& n! o& ;!g! " &, al)a 0 ' "a, !"ili#an$o la in)ormaciónconc rni n" a &!& "i mpo& $ pro$!cción $a$o& n la "a'la (!&ig! . Por ; mplo, ca$a al)a r (!i r $ 2 8ora& n la m%(!ina

A. La& 8ora& $i&poni'l & mpl a$a& por & mana &on= Pop ración $ la m%(!ina A, 6 8ora&+ para , 5 8ora&+

para " rmina$o, 4 8ora&.Si la& !"ili$a$ & n ca$a al)a 0 ca$a ' "a &on $ 5 0 r &p c"i am n" , C!%n"o& $ ca$a ;!g! " $ ' pro$!cir por& mana con l )in $ ma*imi#ar la !"ili$a$H C!%l & r-a la !"ili$m%*imaH

E. EZEMPLO


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E. EZEMPLOM%(!ina A M%(!ina T rmina$o

Al)a 2 8ora& 3 8ora 3 8ora

"a 3 8ora 3 8ora 8ora&

>aria'l & $ $ ci&ión= S a=Q3 l n!m ro $ ;!g! " & a pro$!cir $ l ;!g! " al)aQ2 l n/m ro $ ;!g! " & a pro$!cir $ l ;!g! " ' "a


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E. EZEMPLO


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EZEMPLO 32=

>aria'l & $ D ci&ión= S a=Q3 El n/m ro& $ 'ol&a& a comprar m #cla IQ2 El n/m ro& $ 'ol&a& a comprar m #cla II

F. EZEMPLO

M #cla

N!"ri n"I II R (! rimi n"om-nimo

A 2 22 32C 5 32 25

Co&"o 5 W


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F.O. Min C 5Q3 WQ2 &.a. 2Q3 2Q2 ≥

Q3 2Q2 ≥ 325Q3 32Q2 ≥ 25 Qi ≥ i 3,2

F. EZEMPLO


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Sol!ción=

L3= 2Q3 2Q2 7 , 5 :75 , : L2= Q3 2Q2 32 7 , :72 , : L = 5Q3 32Q2 25 7 , 2 :7 , :

F. EZEMPLO

Q3 Q25

5

Q3 Q2

2

Q3 Q22


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F. EZEMPLO


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F. EZEMPLO


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F. EZEMPLOF.O. Min C 5Q3 WQ2 En l p!n"o A 7 , : 573 4. 4: W7 . 5: En l p!n"o 73 , : 573 : W7 : 34 En l p!n"o C 7 , 3 : 57 : W73 : 36 En l p!n"o D 7 , : 57 : W7 : 25

Rp"a=Q3= 'ol&a& $ la m #cla IQ2= 3 'ol&a& $ la m #cla II Co&"o m-nimo óp"imo 36


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S ri $ pro'l ma& 2. R &! l a ca$a !no $ lo& &ig!i n" & programa& lin al & !&an$o l

m1"o$o gr%)ico.In$i(! &i lo& pro'l ma& &on=

a: Óp"imo&= & $ cir (! "i n !na &ol!ción óp"ima.': In)ac"i'l &= & $ cir, (! no *i&" n alor & $ la& aria'l & (!

&a"i&)agan "o$a& la& r &"riccion & &im!l"%n am n" .c: Ilimi"a$o&= & $ cir, (! *i&" n alor & )ac"i'l & $ la& aria'l & (!

8ac n la )!nción o'; "i o "an gran$ o "an p (! a como & $ & .

To$o programa lin al & óp"imo, in)ac"i'l o ilimi"a$o.

S i $ 'l & 2


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S ri $ pro'l ma& 2.

S i $ 'l & 2


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S ri $ pro'l ma& 2.


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+... trata la planeaci!n de las actividades para obtener un

resultado !ptimo esto es el resultado que me,or alcance lameta especi-icada seg/n el modelo matemático0 entre todas lasalternativas de soluci!n.1

2rederic3 4. Hiller

De-iniciones de PL

“... es un problema de minimizar o ma imizar una !un"i#n linealen la presen"ia de res$ri""iones lineales del $ipo dedesi%ualdad&i%ualdad o ambas.'

%o3#tar 4. Bazaraa


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5barca los m6todos de soluci!n de una gran variedad de problemas de la siguiente naturaleza7 se tiene algunacantidad tal como un costo o un tiempo0 que tiene una-unci!n lineal de cierto n/mero de variables lineales. 4erequiere a su vez que estas variables satis-agan unsistema de igualdades y desigualdades lineales. 8snecesario #allar valores no negativos de las variables que#agan má9ima o m:nima a la cantidad dada.

A. S. Basarov

De-iniciones de PL


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De-iniciones de PL

“... es una $("ni"a ma$em)$i"a para en"on$rar los me*ores usos

de la or%aniza"i#n. El ad*e$i+o lineal se usa para des"ribir larela"i#n en dos o m)s +ariables& una rela"i#n ,ue es dire"$a -pre"isamen$e propor"ional. El $(rmino pro%rama"i#n se re!iereal uso de "ier$as $("ni"as ma$em)$i"as para ob$ener la me*orsolu"i#n posible a un problema ,ue in+olu"ra re"ursoslimi$ados.'

;ic#ad


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Supuestos

Divisibilidad

Limitaciones

No suboptimiza

Proporcionalidad

Aditividad

Determinístico

Estático

4upuestos y limitaciones de la PL


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Ca$a m! co=[ Pro$!c !n ' n )icio n "o $ \.[ R (!i r 2 8ora& $ "ra'a;o $ aca'a$o.[ R (!i r 3 8ora $ "ra'a;o $ carpin" ria.

Ca$a "r n=[ Pro$!c !n ' n )icio n "o $ 2 \.[ R (!i r 3 8ora $ "ra'a;o $ aca'a$o.[ R (!i r 3 8ora "ra'a;o $ carpin" ria.

E*emploG p ""o EIRL., man!)ac"!ra m! co& 0 "r n & $ ma$ ra.

Ca$a & mana G p ""o p! $ $i&pon r $ =[ To$o l ma" rial (! n c &i" .[ Solam n" 3 8ora& $ aca'a$o.[ Solam n" 8ora& $ carpin" ria.Tam'i1n=[ La $ man$a $ "r n & p! $ & r c!al(!i ra 7&in l-mi" :.[ La $ man$a $ m! co& & como m!c8o 5 .

G p ""o (!i r ma*imi#ar &!& ' n )icio&.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?


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Variables deDe"isi#n

* n $ m! co& pro$!ci$o& a la & mana0 n $ "r n &

pro$!ci$o& a la & mana

un"i#n Ob*e$i+o. En c!al(!i rPPL, la $ ci&ión a "omar &como ma*imi#ar 7normalm n" l' n )icio: o minimi#ar 7 l co&" :$ alg!na )!nción $ la&

aria'l & $ $ ci&ión. E&"a)!nción a ma*imi#ar o minimi#ar

& llama!un"i#n ob*e$i+o.

Ma* # * 20

El o'; "i o $ G p ""o & l giralor & $ * 0 para

ma*imi#ar * 20. U&ar mo&la aria'l # para $ no"ar l

alor $ la )!nción o'; "i o. La)!nción o'; "i o $ G p ""o &=

E&" pro'l ma & !n ; mplo "-pico $ !n pro'l ma $ programación lin al 7PPL:.

Res$ri""ionesSon $ &ig!al$a$ & (!limi"an lo& po&i'l &

alor & $ la& aria'l &$ $ ci&ión.En &" pro'l ma la&r &"riccion & i n n

$a$a& por la$i&poni'ili$a$ $ 8ora&$ aca'a$o 0 carpin" r-a0 por la $ man$a $m! co&.Tam'i1n &! l 8a' rr &"riccion & $ &igno ono n ga"i i$a$=

* @ 0 @


57/86

Res$ri""i#n /0 no m%& $ 3 8ora& $ "i mpo $ aca'a$o p! $ n & r !&a$a&.

Res$ri""i#n 10 no m%& $ 8ora& $ "i mpo $ carpin" ria p! $ n & r !&a$a&.

Res$ri""i#n 20 limi"ación $ $ man$a, no $ ' n )a'ricar& m%& $ 5 m! co&.

E&"a& "r & r &"riccion & p! $ n *pr &ar& ma" ma"icam n" por la&&ig!i n" & $ &ig!al$a$ &=

Res$ri""i#n /0 2 * 0 ? 3

Res$ri""i#n 10 0 ? Res$ri""i#n 20 ? 5

C!an$o x y cr c n, la )!nción o'; "i o $ G p ""o "am'i1n cr c . P ro nop! $ cr c r in$ )ini$am n" por(! , para G p ""o, lo& alor & $ * 0

&"%n limi"a$o& por la& &ig!i n" & "r & r &"riccion &=

R &"riccion &

A$ m%&, " n mo& la& r &"riccion & $ &igno= * @ 0 @


58/86

* @ 7r &"ricción $ &igno: 0 @ 7r &"ricción $ &igno:

M! co Tr n

n )icio 2

Aca'a$o 2 3 ≤3

Carpin" r-a 3 3 ≤

D man$a ≤ 5

Formulación matemática del PPL

Ma* # * 207)!nción o'; "i o:

2 * 0 ? 3 7aca'a$o:

* 0 ? 7carpin" ria:

* ? 5 7$ man$a m! co&:

Variables de De"isi#n * n $ m! co& pro$!ci$o& a la & mana 0 n $ "r n & pro$!ci$o& a la & mana


59/86

Ma* # * 20 7)!nción o'; "i o:

S!; "o a 7&.a=:

2 * 0 ? 3 7r &"ricción $ aca'a$o:

* 0 ? 7r &"ricción $ carpin" ria:

* ? 5 7r &"ricción $ $ man$a $ m! co&:

* @ 7r &"ricción $ &igno:

0 @ 7r &"ricción $ &igno:

Para l pro'l ma $ G p ""o, com'inan$o la& r &"riccion & $ &igno* @ 0 @ con la )!nción o'; "i o 0 la& r &"riccion &, " n mo& l&ig!i n" mo$ lo $ op"imi#ación=

Form!lación ma" m%"ica$ l PPL


60/86

R gión )ac"i'l

* 5 0 2 &"% n la r gión

)ac"i'l por(! &a"i&)ac n "o$a& la&r &"riccion & $ G p ""o.

Sin m'argo, * 3W, 0 6 no &"%n la r gión )ac"i'l por(! &"

p!n"o no &a"i&)ac la r &"ricción $carpin" ria

]3W 6 ^.

Res$ri""iones de Gepe$$o

1 3 - 4 /55 6res$ri""i#n !inalizado7 3 - 4 85 6res$ri""i#n "arpin$er9a7

4 :5 6res$ri""i#n demanda7

; 5 6res$ri""i#n si%no7

- ; 5 6res$ri""i#n si%no7

La re%i#n !a"$ible $ !n PPL & l con;!n"o $ "o$o& lo& p!n"o& (!

&a"i&)ac n "o$a& la& r &"riccion &. E& la r gión $ l plano $ limi"a$a por &i&" ma $ $ &ig!al$a$ & (! )orman la& r &"riccion &.


61/86

Sol!ción óp"ima

La ma0or-a $ PPL "i n n &olam n" !na &ol!ciónóp"ima. Sin m'argo, alg!no& PPL no "i n n &ol!ciónóp"ima, 0 o"ro& PPL "i n n !n n/m ro in)ini"o $&ol!cion &.

M%& a$ lan" r mo& (! la &ol!ción $ l PPL $G p ""o & * 2 0 . E&"a &ol!ción $a !n alor $

la )!nción o'; "i o $ =# * 20 _2 2_ 3 \

C!an$o $ cimo& (! * 2 0 & la &ol!ción óp"ima, &"amo&$ici n$o (! , n ning/n p!n"o n la r gión )ac"i'l , la )!nción o'; "i o"i n !n alor 7' n )icio: &!p rior a 3 .

Para !n pro'l ma $ ma*imi#ación, !na solu"i#n#p$ima & !n p!n"o n la r gión )ac"i'l n l c!al la

)!nción o'; "i o "i n !n alor m%*imo. Para !npro'l ma $ minimi#ación, !na &ol!ción óp"ima & !np!n"o n la r gión )ac"i'l n l c!al la )!nción o'; "i o"i n !n alor m-nimo.

S p! $ $ mo&"rar(! la solu"i#n#p$ima $ !n PPL

&"% &i mpr n la)ron" ra $ la r gión)ac"i'l , n !n 1r"ic7&i la &ol!ción &/nica: o n !n& gm n"o n"r $o&

1r"ic & con"ig!o& 7&i8a0 in)ini"a&&ol!cion &:

R pr & n"ación Gr%)ica $ la& r &"riccion


62/86

R pr & n"ación Gr%)ica $ la& r &"riccion

2* 0 3

C!al(!i r PPL con &ólo $o& aria'l &p! $ r &ol r& gr%)icam n" .

Por ; mplo, para r pr & n"argr%)icam n" la prim ra r &"ricción,1 3 - 4 /55 =Di'!;amo& la r c"a 2* 0 3

2

2 5

5

3

`

Q

El gimo& l & miplano (!c!mpl la $ &ig!al$a$= l p!n"o7 , : la c!mpl 72_ ? 3 :,a&- (! "omamo& l & miplano(! lo con"i n .

Di'! l ió ) "i'l


63/86

Di'!;ar la r gión )ac"i'l

P! &"o (! l PPL $ G p ""o "i n $o& aria'l &, & p! $ r &ol rgr%)icam n" . La r gión )ac"i'l & l con;!n"o $ "o$o& lo& p!n"o& (!&a"i&)ac n la& r &"riccion &=

1 3 - 4 /55 7r &"ricción $ aca'a$o:

3 - 4 85 7r &"ricción $ carpin" r-a: 4 :5 7r &"ricción $ $ man$a:

; 5 7r &"ricción $ &igno:

- ; 5 7r &"ricción $ &igno:

>amo& a $i'!;ar la r gión )ac"i'l (! &a"i&)ac &"a& r &"riccion &.

Di'! l gió ) "i'l


64/86

`

Q

2

2 5

5

3 2* 0 3Res$ri""iones

1 3 - 4 /55

3 - 4 85

4 :5

; 5

- ; 5


T ni n$o n c! n"ala& r &"riccion & $&igno 7 ; 5& - ; 57,no& (! $a=

Di'! l gió ) "i'l


65/86

`

Q

2

2 5

5

3

* 0

Res$ri""iones

1 3 - 4 /55

3 - 4 85 4 :5

; 5

- ; 5


Di'! l gió ) "i'l


66/86

`

Q

2

2 5

5

3

* 5Res$ri""iones

1 3 - 4 /55

3 - 4 85 4 :5

; 5

- ; 5




67/86

`

Q

2

2 5

5

3 2* 0 3

* 0

* 5

La in" r& cción $"o$o& &"o&& miplano&7r &"riccion &: no&$a la r gión)ac"i'l


R giónFac"i'l

>1r"ic & $ la r gión )ac"i'l


68/86

`

Q

2

2 5

5

3 2* 0 3

* 0

* 5

R gión

Fac"i'l

La r gión )ac"i'l 7al &"arlimi"a$a por r c"a&: & !n

pol-gono.En &"a ca&o, l pol-gono A CDE.

A

C

D

EComo la &ol!ción óp"ima

&"% n alg!no $ lo&

1r"ic & 7A, , C, D o E:$ la r gión )ac"i'l ,calc!lamo& &o& 1r"ic &.

>1r"ic & $ la r gión )ac"i'lRes$ri""iones

1 3 - 4 /55

3 - 4 85 4 :5

; 5

- ; 5

>1r"ic & $ la r gión )ac"i'l


69/86

R giónFac"i'l

E7 , :

72 , :

C75 , 2 :

75 , : A7 , :

>1r"ic & $ la r gión )ac"i'lLo& 1r"ic & $ la r gión )ac"i'l&on in" r& ccion & $ $o& r c"a&.

El p!n"o D & la in" r& cción $ la&r c"a&2* 0 3 * 0

La &ol!ción $ l &i&" ma * 2 ,0 no& $a l p!n"o D.

2

2 5

5

3

`

Q

D

& &ol!ción $ < :5

- < 5

2* 0 3

* 5

* 0

C & &ol!ción $* 52* 0 3

E & &ol!ción $* 0 *

R &ol!ción gr%)ica


70/86

`

Q

2

2 5

5

3

R giónFac"i'l

7 , :

72 , :

75 , 2 :75 , :

7 , :

Ma* # * 20

# # 3

# 3

Para 8allar la&ol!ción óp"ima,$i'!;amo& la& r c"a&

n la& c!al & lo&p!n"o& "i n n l

mi&mo alor $ #.La )ig!ra m! &"ra

&"a& lin a& para# , # 3 ,# 3

R &ol!ción gr%)ica

R &ol!ción gr%)ica


71/86

R giónFac"i'l

7 , :

72 , :

75 , 2 :

75 , :

7 , :

Ma* # * 20

# # 3# 3

La /l"ima r c"a $ #(! in" r& ca 7"oca:la r gión )ac"i'lin$ica la &ol!ción

óp"ima para l PPL.Para l pro'l ma$ G p ""o, &"ooc!rr n l p!n"oD 7* 2 , 0 ,# 3 :. 2

2 5

5

3

`

Q

R &ol!ción gr%)ica


72/86


73/86

mo& i$ n"i)ica$o la r gión )ac"i'l para lpro'l ma $ G p ""o 0 '!&ca$o la &ol!ciónóp"ima, la c!al ra l p!n"o n la r gión )ac"i'lcon l ma0or alor po&i'l $ #.


74/86

Re"uerda ,ue0

[ =a re%i#n !a"$ible en "ual,uier PP= es$)limi$ada por se%men$os 6es un pol9%ono&a"o$ado o no7.

[ =a re%i#n !a"$ible de "ual,uier PP= $ienesolamen$e un n>mero !ini$o de +(r$i"es.

[Cual,uier PP= ,ue $en%a solu"i#n #p$ima$iene un +(r$i"e ,ue es #p$imo .


75/86

Un pro'l ma $ minimi#ación

Dorian A!"o )a'rica 0 n$ coc8 & 0)!rgon "a&.La mpr &a (!i r mpr n$ r !nacampa a p!'lici"aria n T> 0 "i n (! $ ci$ircomprar lo& "i mpo& $ an!ncio& n $o& "ipo&

$ programa&= " l no la& 0 )/"'ol.

[ Ca$a an!ncio $ l programa " l no la& & i&"o por millon & $ m!; r & 0 2millon & $ 8om'r &.[ Ca$a par"i$o $ )/"'ol & i&"o por millon & $ m!; r & 0 millon & $ 8om'r &[ Un an!ncio n l programa " l no la& c! &"a W . \ 0 !n an!ncio $ l )/"'ol

c! &"a 3 . \.[ Dorian A!"o (!i&i ra (! lo& an!ncio& & an i&"o& por lo m no& millon & $m!; r & 0 25 millon & $ 8om'r &.Dorian A!"o (!i r &a' r c!%n"o& an!ncio& $ ' con"ra"ar n ca$a "ipo $programa para (! l co&" $ la campa a p!'lici"aria & a m-nimo.

Form!lación $ l pro'l ma=


76/86

[ Ca$a an!ncio $ l programa

" l no la & i&"o por millon & $m!; r & 0 2 millon & $ 8om'r &.[ Ca$a par"i$o $ )/"'ol & i&"o por millon & $ m!; r & 0 millon & $8om'r &.[ Un an!ncio n l programa $" l no la c! &"a W . \ 0 !nan!ncio $ l )/"'ol c! &"a 3 . \.[ Dorian A!"o (!i&i ra (! lo&an!ncio& & an i&"o& por lo m no& millon & $ m!; r & 0 25 millon & $8om'r &.Dorian A!"o (!i r &a' r c!%n"o&

an!ncio& $ ' con"ra"ar n ca$a "ipo$ programa para (! l co&"o $ lacampa a p!'lici"aria & a m-nimo.

Cora#ón7*:

F/"'ol70:

m!; r & 6x + 3y ≥

8om'r & 2 2x + 8y ≥25

Co&"o3. \ W 3 W * 3 0

Form!lación $ l pro l ma=

Form!lación $ l pro'l ma=


77/86

>aria'l & $ $ ci&ión= * n $ an!ncio& n " l no la& 0 n $ an!ncio& n )/"'ol

Min # W * 3 0 7)!nción o'; "i on 3. \:

&.a= * 0 @ 7m!; r &:

2* 0 @ 25 78om'r &:

*, 0 @ 7no n ga"i i$a$:

Form!lación $ l pro l ma=

Di'!;amo& la r gión )ac"i'l


78/86

Q

`

2 5 3 32 35

35

32

3

5

2

Min # W * 3 0

&.a. * 0 @

2* 0 @ 25

*, 0 @

* 0

2* 0 25

Di !;amo& la r gión )ac i l .

l l l $ l ó ) l


79/86

Q

`

2 5 3 32 35

35

32

3

5

2

La r gión )ac"i'lno &"% aco"a$a

R giónFac"i'l

Calc!lamo& lo& 1r"ic & $ la r gión )ac"i'l =

A

C

El 1r"ic A & &ol!ción $ l&i&" ma * 0

* Por "an"o, A7 , 3 :

El 1r"ic & &ol!ción $* 0 2* 0 25

Por "an"o, 75, 2:

El 1r"ic C & &ol!ción $2* 0 250

Por "an"o, C732, :

R &ol mo& por l m1"o$o anal-"ico


80/86

R giónFac"i'l

&o o& po o$o a a co

A7 , 3 :

75, 2:

C732, : Q

`

2 5 3 32 35

35

32

3

5

2

>1r"ic # W * 3 0

A7 , 3 : # W _ 3 _3 3 3

75, 2: # W _5 3 _2

2 2 5C732, : # W _32 3 _

El co&"o m-nimo & o'"i n n .

Sol!ción=* 5 an!ncio& n " l no la&0 2 an!ncio& n )!"'olCo&"o # 5 7mil \:

E al!amo& la )!nción o'; "i o # n lo& 1r"ic &.

R & l & l 1" $ %)i


81/86

R giónFac"i'l

R &ol mo& por l m1"o$o gr%)ico

A7 , 3 :

75, 2:C732, :

Q

`

2 5 3 32 35

35

32

3

5

2

El co&"o m-nimo& o'"i n n lp!n"o .

Sol!ción=* 5 an!ncio& n " l no la&0 2 an!ncio& n )!"'olCo&"o # 5 7mil \:

Min # W * 3 0

&.a. * 0 @ 2* 0 @ 25

*, 0 @

5


82/86

N/m ro in)ini"o $ &ol!cion & óp"ima&


83/86

N/m ro in)ini o $ &ol!cion & óp ima&

ma* # * 20

&.a=

C!al(!i r p!n"o 7&ol!ción: &i"!a$on l & gm n"oA? p! $ & r !na

&ol!ción óp"ima $ # 32 .

Con&i$ r mo& l &ig!i n"pro'l ma=

* 20 ? 32* 0 ? W

* , 0 @

3

3 2 5

2

5

W

W

`

Q

# # 3

# 32

A

C

R giónFac"i'l

Sin &ol!cion & )ac"i'l &


84/86

Sin &ol!cion & )ac i l &

&.a=

ma* # *3 2*2

No e is$e re%i#n !a"$ible

Con&i$ r mo& l &ig!i n"

pro'l ma=

* 20 ? 32 * 0 ? W * @ 0 @

* , 0 @

3

3 2 5

2

5

W

W

`

Q

No *i&"R gión Fac"i'l

0 @

* @

* 0 ? W

* 20 ? 32


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86/86

GRACIAS

02-Investigacion Operativa I- Ing Industrial Fundamentos de Programación Lineal (1)

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