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• Oración.

• Clase Álgebra de Boole.

SISTEMAS DIGITALESClase 2: Álgebra de Boole.

Docente: Ing. Herbert Cardona.

Facultad de Ingeniería

Escuela de Electrónica.

TEOREMAS DEL

ALGEBRA DE BOOLE

ALGEBRA DE BOOLE ING. HERBERT CARDONA

OPERACIONES Y PROPIEDADES BASICAS.

Operación Representación Símbolos

Suma F = a + b

Multiplicación F = a · b , F = ab , F = a * b

F =

, F =

Complementación o inversión.

a

b · a

En el álgebra de Boole sólo existen tres operaciones:

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ALGEBRA DE BOOLE

Propiedades básicas:

Propiedad / Operación

Suma Multiplicación

Asociativa a + b + c = a + (b + c) a · b · c = (a · b) · c

Conmutativa a + b = b + a a · b = b · a

Distributiva a + (b · c) = (a + b) · (a + c) a · (b + c) = a · b + a · c

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ALGEBRA DE BOOLEPostulados Básicos de las operaciones

básicas :Operación

0 + 0 = 01 + 0 = 1

0 · 0 = 0 1 · 1 = 1 a · 1 = a1 · 0 = 0 a · 0 = 0 a · a = a

Complementación o inversión.

Multiplicación

Postulados BásicosSuma 1 + 1 = 1

a 0 a =+1 1 a =+

a a a =+1 a a =+

0 a a =⋅

10= 01= aa =

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Nombre de Ley Forma Básica Forma Dual Ley de Absorción aaba =+ a)ba(a =+⋅ Teorema de De

Morgan ⋅⋅⋅=+++ cba)cba(

+++=⋅⋅⋅ cba)cba(

Leyes de Transposición ( ) ( )bacacaba +⋅+=⋅+⋅

( ) ( )babababa +⋅+=⋅+⋅

( ) ( )bacacaba ⋅+⋅=+⋅+ )()(

( ) ( )babababa ⋅+⋅=+⋅+ )()( Leyes varias

)cb(acabaababa

cabacbaba

baaba

babaa

+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅

⋅+⋅=⋅⋅+⋅+=+

+=⋅+

Teoremas y Leyes

Booleanas:

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DEMOSTRACION DE TEOREMAS

• Los teoremas del álgebra de Boole son demostrables por Método de Inducción Completa.

• Este método consiste en comprobar que: la relación entre los elementos que el teorema define, se cumplen en todos los casos posibles y para esto se utilizan las Tablas de Verdad.

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FORMAS CANONICAS DE UNA FUNCION BOOLEANA

Las ecuaciones booleanas pueden adoptar dos estructuras o formas típicas, denominadas formas canónicas.

• Ecuación Minterm: (SOP) Es una suma de términos en forma de productos de la variables.

• Ecuación Maxterm: (POS) Es un productos de términos en forma de suma

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REPRESENTACION ALGEBRAICA.

• SOP

X = A/BC + /AB/C + ABC

F = AB + A/B

• POSZ = (/A+B+C) (A+/B+/C) (/A+/B+/C) (A+/B+C)

Y = (/A+B+C+D) (A+/B+/C+/D) (/A+/B+C+D) (A+B+C+D) (/A+B+/C+/D) (/A+/B+/C+/D)

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Obteniendo una ec. algebraica. booleana.

F(C,B,A)= /C·/B·A + /C·B·/A + /C·B·A + C·B·/A.

F(C,B,A)= (C + B + A) (/C + B + A) (/C + B + /A) (/C + /B + /A)

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REPRESENTACION NUMERICA.

• POS

• f(d,c,b,a)= Π(3,4,5,6,8,9,11,13,14,15)

• F(d,c,b,a)= Π(0,1,2,3,4,8,9,11,13,15)

• SOP

• f(d,c,b,a)= Σ(3,4,5,6,8,9,11,13,14,15)

• F(d,c,b,a)= Σ(0,1,2,3,4,8,9,11,13,15)

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Obteniendo una ecuación numérica.

F(C,B,A)= Π(0,2,3,7)F(C,B,A)= Σ(1,2,3,6)

COMO CONVERTIR UNA ECUACION NUMERICA A OTRA.

EJERCICIO LABORATORIO

• De la siguiente función lógica:

F(z,y,x)= x'y'z'+x'yz+x'yz'

• Dibuje el circuito (ckto) lógico

• Obtenga la TV.

• Simplifique la función, dibuje el ckto y obtenga la TV.

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FIN

Universalidad de las Compuertas

• Cualquier Expresión puede implantarse con Compuertas AND,OR,NOT.

• Cualquier Expresión puede implantarse con Compuertas NAND y NOR.

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NAND Y NOR

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