1.∫0

1

ln ( x )dx

∫0

1

ln (x )dx

Aplicar integración por partes:∫u v '=uv−∫vu '

u=ln(x ) v '=1dx

u '=1xdx v=x

∫0

1

ln (x )dx=ln (x)∗x−∫ x∗1xdx

∫0

1

ln (x )dx=ln (x)∗x−∫dx

∫0

1

ln (x )dx=ln (x)∗x−x

[ ln (x)∗x−x ]01

Evaluo los limites

lim1

¿ (ln (1)∗1−1) - lim0

¿ (ln (0)∗0−0¿=−1−0=−1

2.∫2

∞1

( x−1 )2dx

∫2

∞1

( x−1 )2dx

Aplico la integración por sustitución

u=x−1 du=dx

∫2

∞1u2 du

∫2

∞

u−2du

u−2+1

−2+1 ]2

∞

u−1

−1 ]2

∞

−1u ]

2

∞

Cambio la variable u

−1x−1 ]

2

∞

Evaluo los limites

lim∞

−1x−1

−¿ lim2

−1x−1

=0−(−1 )=1¿

3.∫−∞

∞

e−5 xdx

∫−∞

∞

e−5 xdx

Aplico integración por sustitución

u=−5x

du=−5dx−du5

=dx

−15∫−∞

∞

eudu

−15eu]

−∞

∞

Cambio de variable

−15e−5x ]

−∞

∞

Evaluo los limites

lim∞ (−1

5e−5 x)−¿ lim

−∞ (−15e−5 x)=0−(−∞ )=∞ ¿

4.∫2

54+x

√x2−4dx

∫2

54+x

√ x2−4dx

∫2

54

√ x2−4dx+∫

2

5x

√x2−4dx

∫2

54

√ x2−4dx

4∫2

51

√ x2−4dx

Por sustitucion trigonometrica

√b x2−a x=√ ab sec uLuego

x=√ 41sec u=2 sec u

d x=2 sec u∗tan udu

Reemplazo

4 ⌊∫2

52 secu∗tanu

√(2 sec u)2−4⌋

4 ⌊∫2

5sec u∗tan u

√secu2−1⌋

Por identidad trigonometrica

secu2=tan 2u+1

Reemplazo

4 ⌊∫2

5sec u∗tan u

√ tan2u+1−1⌋

4 ⌊∫2

5sec u∗tan u

√ tan2u⌋

4 ⌊∫2

5sec u∗tan u

tan u⌋

4 ⌊∫2

5

sec u ⌋

Por la integral inmediata

4 ⌊ ln ( tan (u )+sec (u)) ⌋25

Realizo cambio de variable

4 ⌊ ln(√x2−42

+ x2 )⌋

2

5

∫2

5x

√ x2−4dx

Por sustitución Si u=x2−4

du=2 xdxdu2

=xdx

12∫

2

51

u12

du

12∗2

1u

12]

2

5

x

2

√ x2−4

√ x2−4 ]25

Finalmente

4 ⌊ ln(√x2−42

+ x2 )⌋

2

5

+√ x2−4 ]25

4 ln(√52−42

+ x2 )−4 ln(√22−4

2+ 2

2 )+√52−4−√22−4

4 ln(√21+52 )−0+√21−0

4 ln(√21+52 )+√21

5 .∫ sec2(√x )√x

dx

Por sustitución Si u=√x

du=1

2√ xdx 2udu=dx

2∫ sec2(u)dx

Es una integral inmediata

2 tan (u )+c

Cambio de variable

2 tan (√ x )+c

6∫1

41

(1+√ x)dx

Por sustitución Si u=√x

du=1

2√ xdx 2udu=dx

∫1

42u

1+udu

∫1

4

2− 21+u

du

∫1

4

2du−¿∫1

42

1+udu¿

Si v=1+u dv=du

2u ]14−2 ln (1+u ) ]1

4

Cambio la variable

2√x ]14−2 ln (1+√x ) ]1

4

2√4−2√1−2 ln ( 1+√4 )+2 ln (1+√1 )

4−2−2 ln (3 )+2 ln (2 )

2−2 ln (3 )+2 ln (2 )

2−ln (9 )+ln ( 4 )

7 .∫0

π2

se n2 (x ) cos ( x )dx

Por sustitución Si u=sen (x) du=cos ( x )dx

∫0

π2

u2du

u3

3 ]0

π2

sen ( x )3

3 ]0

π2

sen ( π2 )3

3−sen (0 )3

3=1

3−0=1

3

8 .∫ xe(x2−1 )dx

Por sustitución Si u=x2−1

du=2 xdx du2

=dx

12∫ e

ud u

12eu+c

Cambio la variable

12ex

2−1+c

9 .∫ 1

(x2+4 x+13)dx

Por sustitución trigonometrica

∫ 1

(x2+4 x+13)dx

∫ 1¿¿ ¿

Factorizo

∫ 1

( x+2 )2+9dx

Si u=x+2 du=dx

∫ 1

u2+9du

b x2±a la sustitucónde x es :

u=√a√bv=√9

√1v=3 v

u=3vdu=3dv

3∫ 1

(3 v )2+9dv

∫ 1

3v2+3dv

13∫

1

v2+1dv

Queda la integral inmediata de arctan(v)

13

arctan (v )+c

Cambio de variable

u=3v u3=v

13

arctan ( u3 )+cCambio de variableu=x+2

12

arctan ( x+23 )+c

10 .∫ 1

4−x2dx

Por fracciones parciales

∫ 1

4−x2dx

−∫ 1

x2−4dx

−∫ 1(x−2)(x+2)

dx

−∫ 14 (x−2)

− 14(x+2)

dx

−∫ 14 (x−2)

+∫ 14 (x+2)

dx

14 [−∫ 1

(x−2)+∫ 1

(x+2)dx]

Cambio de variable

Si u=x−2 v=x+2 du=dx dv=dx

14⌈−∫ 1

udu+∫ 1

vdv ⌉

14⌈−lnu+ ln v ⌉+c

Cambio de variable

14⌈−ln(x−2)+ ln (x+2)⌉+c

14⌈ ln ( x+2 )−ln (x−2)⌉+c

11.∫ x √x+1dx

Integración por sustitución

∫ x √x+1dx

Aplico la integración por sustitución

u=x+1 u−1=x du=dx

Cambio la variable

∫ (u−1 )∗u12du

∫u32−u

12 du

Aplico la regla de la suma

∫u32du−∫ u

12 du

u32+1

32+1

−u

12+1

12+1

+c

u52

52

−u

32

32

+c

2u

52

5−2u

32

3+c

Cambio de variable

2( x+1 )

52

5−2

(x+1)32

3+c

12.∫ 2 x

(x2−3x−10)dx

Se realiza por fracciones parciales

∫ 2x

(x2−3 x−10)dx

Saco la constante

2∫ x

(x2−3 x−10)dx

Factorizo el denominador

2∫ x( x−5 )∗( x+2 )

dx

Por fracciones parciales

2∫ 57 ( x−5 )

+ 27 ( x+2 )

dx

2 ⌈∫ 57 ( x−5 )

dx+∫ 27 ( x+2 )

dx ⌉

2 ⌈ 57∫

1( x−5 )

dx+ 27∫

1( x+2 )

dx ⌉

Si u=x−5 v=x+2 du=dx dv=dx

Cambio de variable

2 ⌈ 57∫

1udu+ 2

7∫1vdv ⌉

2 ⌈ 57

ln u+ 27

ln v ⌉+c

Cambio de variable

2 ⌈ 57

ln (x−5)+ 27

ln (x+2)⌉+c