01. Teoria Numeros Reales

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NÚMEROS REALES 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reales. Como ya sabes los números naturales surgen de la necesidad de contar, expresar medidas, para calcular y ordenar. El conjunto de los números naturales se simboliza mediante la letra . = {Los números enteros positivos más el cero} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Una deficiencia de los números naturales es que no siempre se puede restar ni dividir con ellos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarse mediante números naturales, como por ejemplo, la temperatura ambiente. Los números positivos y negativos sirven para expresar cantidades o posiciones fijas. También sirven para expresar variaciones de cantidad (subir-bajar, gasto-ingreso,...). Por este motivo, se amplia el conjunto de los números naturales con un nuevo conjunto numérico que es el de los números enteros, que se simboliza con la letra . = {Los números enteros positivos y negativos más el cero} = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. El conjunto de los números enteros no sirve para expresar cantidades inferiores a la unidad: medio kilo, tres cuartos de un trayecto,... Con lo cual se introduce un nuevo conjunto, el de los números racionales. Los números racionales: Se caracterizan porque pueden expresarse: - En forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros. - En forma decimal: O bien son enteros o bien tienen expresión decimal finita o periódica. Todo número racional tiene asociada una expresión decimal exacta o periódica, para obtenerla basta dividir el numerador entre el denominador. a /a ,b ,b 0 b = = {enteros y decimales finitos o periódicos} Una característica que tienen los números racionales es que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el conjunto de los números racionales es denso: Dados dos números racionales cualesquiera, tomando la media aritmética de ambos obtenemos un número racional comprendido entre los dos.

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NÚMEROS REALES 1

1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reales. Como ya sabes los números naturales surgen de la necesidad de contar, expresar medidas, para calcular y ordenar. El conjunto de los números naturales se simboliza mediante la letra ℕ.

ℕ = {Los números enteros positivos más el cero} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Una deficiencia de los números naturales es que no siempre se puede restar ni dividir con ellos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarse mediante números naturales, como por ejemplo, la temperatura ambiente. Los números positivos y negativos sirven para expresar cantidades o posiciones fijas. También sirven para expresar variaciones de cantidad (subir-bajar, gasto-ingreso,...). Por este motivo, se amplia el conjunto de los números naturales con un nuevo conjunto numérico que es el de los números enteros, que se simboliza con la letra ℤ .

ℤ = {Los números enteros positivos y negativos más el cero} = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. El conjunto de los números enteros no sirve para expresar cantidades inferiores a la unidad: medio kilo, tres cuartos de un trayecto,... Con lo cual se introduce un nuevo conjunto, el de los números racionales. � Los números racionales: Se caracterizan porque pueden expresarse:

− En forma de fracción, es decir, como cociente de dos números enteros.

− En forma decimal: O bien son enteros o bien tienen expresión decimal finita o periódica. Todo número racional tiene asociada una expresión decimal exacta o periódica, para obtenerla basta dividir el numerador entre el denominador.

a/ a , b , b 0

b = ∈ ∈ ≠

ℚ ℤ ℤ = {enteros y decimales finitos o periódicos}

Una característica que tienen los números racionales es que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números racionales. Por ello, se dice que el conjunto de los números racionales es denso:

Dados dos números racionales cualesquiera, tomando la media aritmética de ambos obtenemos un número racional comprendido entre los dos.

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NÚMEROS REALES 2

No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. Pueden encontrarse números que tienen una expresión decimal infinita no periódica.

� Ejemplo :

- La diagonal de un cuadrado de lado a.

- La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, el número π = 3,1415926535...

- La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular, el número φ = 1,6180339887....

- El número e, que es el límite de la sucesiónn

n1

a 1n

= +

: e = 2,71828845904…

Los números con infinitas cifras decimales no periódicas reciben el nombre de irracionales y su

conjunto se representa con la letra I. I = { números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas}

Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de los números reales y se simboliza con la letra ℝ.

Este conjunto engloba a todos los conjuntos de números estudiados hasta ahora.

NaturalesEnteros

Enteros negativos

Racionales Decimales exactosReales

PurosDecimales periódicos

Mixtos

Irracionales

� N ⊂ Z ⊂ Q

� R = {números racionales}∪ {números irracionales} = Q ∪ I

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NÚMEROS REALES 3

1.2. Representación sobre la recta

Una recta graduada es aquella en la que se han fijado dos elementos, el cero u origen, y la unidad, que representa al número 1.

Existe un método exacto para representar geométricamente los números irracionales de la forma n .

� Ejemplo :

Representamos 2 .

Trazamos sobre la recta real un triángulo de catetos 1 cm., en el que la hipotenusa, por el teorema de

Pitágoras es 2 . Con la ayuga de un compás lo situamos sobre la recta real.

De forma parecida podemos representar todos los números irracionales de la forma n , basándonos

en el teorema de Pitágoras.

� Ejemplo :

A continuación representamos de forma gráfica los números 4,3

Aunque no seamos capaces de representar exactamente, por métodos geométricos, la mayor parte de los números irracionales, la representación aproximada a partir de la expresión decimal será siempre fiable y suficiente para nuestras necesidades. Es fácil situar, sobre la recta real, los números enteros y los decimales exactos.

� Ejemplo :

Para representar el número 3,47 procederemos del siguiente modo:

2

2 0 1

1 3

2 0 1 3

1

0 2 2 1 3

2

A B

C

0 1

A B

C

0 1 2 A B

C

0 1

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NÚMEROS REALES 4

Si el número es irracional, habría que repetir este proceso “infinitas veces” para situarlo exactamente en su sitio. Si sólo lo efectuamos dos o tres veces, habremos aproximado el número hasta la segunda o tercera cifra decimal.

� Ejemplo 1:

Veamos algunos pasos para situar el número 2 = 1,4142135623730950488016887242097....

El número está situado en el tramo 1,4 y 1,5. Dividiendo este tramo en 10 partes iguales no situaríamos en el segundo tramo, ya que está situado entre los números 1,41 y 1,42. Volviendo a repetir el proceso, nos situaríamos ahora en el 5º tramo ya que estaríamos entre los números 1,414 y 1,415

1 2

1´4

1´5

1´41 1´42

� Ejemplo 2:

Representamos de forma aproximada mediante un intervalo de valores: 3,47484950.... » 3,47...

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NÚMEROS REALES 5

1.3. Propiedades Propiedades de la suma La suma de números reales verifica las siguientes propiedades:

� Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

� Conmutativa: a + b = b + a

� Elemento neutro: a + 0 = a

� Elemento opuesto: a + (– a) = 0 La resta de dos números, a – b, se define como la suma del minuendo, a, más el puesto del sustraendo, b:

a – b = a + (-b) Propiedades del producto El producto de números reales verifica las siguientes propiedades:

� Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c

� Conmutativa: a · b = b · a

� Elemento neutro: a · 1 = a

� Elemento inverso: 1a · 1

a=

El inverso de a se denota por a –1 = 1a

� Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c La división de dos números se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor:

a : b = a 1

a·b b

=

El opuesto de un producto ab se obtiene cambiando de signo uno de los dos factores:

– (a · b) = – (a) · b = a · (– b) CUESTIONES: 1. ¿Qué obtenemos si dividimos una fracción por su inversa? 2. Escribe de tres formas diferentes a – (b + c) y a – (b – c) 3. ¿Podría la suma de dos números racionales periódicos mixtos dar como resultado un número irracional? 4. ¿Cuál es el resultado de sumar un número racional y uno irracional? ¿por qué? 5. Encuentra dos números irracionales cuya suma sea racional. 6. Halla dos números irracionales cuyo producto sea racional.

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NÚMEROS REALES 6

1.4. Relación de orden Dados dos números a y b, decimos que:

� a < b (a menor que b) si a – b < 0

� a > b (a mayor que b) si a – b > 0

� a ≤ b (a menor o igual que b) si a – b < 0 ó a = b

� a ≥ b (a mayor o igual que b) si a – b > 0 ó a = b

La relación de orden entre números cumple las siguientes propiedades:

� Transitividad: Si a < b y b < c, entonces a < c

� Si se suma (o resta) una cantidad c a los dos miembros de una desigualdad, ésta se mantiene:

Si a < b → a + c < b + c, para cualquier valor real c

� Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad se mantiene:

Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c

� Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad se mantiene:

Si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c

CUESTIONES:

1. Dada la fracción a/b con a y b positivos y a > b, si aumentamos el numerador y el denominador en dos unidades, ¿la fracción aumenta, disminuye o se mantiene igual? 2. Si a > 0 y b < 0, ¿qué signo tienen los números a2, b2, –a + b, (a – b)2, a2 – b? 3. Di en qué casos se cumple que si a < b, entonces 1/a > 1/b. 4. ¿Existe algún caso en que el cuadrado de un número sea menor que dicho número? ¿Cuándo?

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NÚMEROS REALES 7

2. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

La ordenación de los números reales permite hablar del conjunto de números comprendidos entre dos números determinados. Hemos podido ver que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números reales. Para referirnos a todos estos números se utilizan los intervalos. 2.1. Tipos de desigualdades

� x > a: representa todos los números que son mayores que a.

� x < a: representa todos los números que son menores que a

� x ≥ a: representa todos los números mayores o iguales que a.

� x ≤ a: representa todos los números menores o iguales que a.

Una desigualdad es doble cuando aparecen dos signos de desigualdad:

� a < x < b: representa los números x tales que x > a y x < b

� a x b≤ ≤ : representa los números x tales que bx ≤ y ax ≥

� Ejemplos:

� 2 x 5− ≤ ≤ ⇒ Todos los números reales mayores o iguales que –2 y menores o iguales que 5

� x > 7 ⇒ Todos los números mayores que 7

� x 2≤ − → Todos los números menores o iguales que -2 2.2. Intervalos Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Cada intervalo viene determinado por sus extremos, siendo dos extremos en el caso de los segmentos o un extremo en el caso de semirrecta. Según incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

Nombre Desigualdad Intervalo Representación

x > a (a, + ∞ )

x < a (– ∞, a)

ax ≥ [a, + ∞ )

Semirrecta (intervalos no acotados)

ax ≤ (– ∞, a]

Intervalo abierto a < x < b (a, b)

Intervalo cerrado bxa ≤≤ [a, b]

a < x ≤ b (a , b]

Intervalo semiabierto a ≤ x < b [a, b )

b a

b a

b a

b a

a

a

a

a

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NÚMEROS REALES 8

Actividades resueltas

1.- Dado el intervalo (-4,7] escribe tres números enteros que pertenezcan a dicho intervalo y tres que no pertenezcan.

El intervalo (-4,7] está formado por todos los valores reales mayores que –4 y menores o iguales que 7.

Valores que pertenecen: -3, -2, 0, 4, 7

Valores que no pertenecen: -4, -5, 8, 12

2.- Representa los siguientes intervalos:

a) [2, 8] b) [-2, 5) c) [2, +∞) d) (-∞, 4) e) (-1, 2) f) (-5, 2]

3.- Escribe como intervalo los puntos de los siguientes segmentos:

[-12,-7) [ -3,+ ∞) ( 5, 8) (-∞, 13 ) 4.- Representa los intervalos (-2, 2) y [1, 4] y marca la zona común.

a) ¿Qué intervalo representa la zona común?

b) ¿Qué intervalo englobaría a todos los valores de ambos intervalos?

Los valores que pertenecen a la vez a ambos intervalos constituyen el intervalo intersección .

En nuestro caso serían los valores mayores o iguales que 1 y menores que 2:

(-2, 2) ∩ [1, 4] = [1, 2)

Los valores que pertenecen a uno de los dos intervalos constituyen el intervalo unión .

En nuestro caso serían los valores mayores que -2 y menores o iguales que 4:

(-2, 2) ∪ [1, 4] = (-2, 4]

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NÚMEROS REALES 9

2.3. Ampliación: Entornos � Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a – r , a + r).

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto:

� Er(0) = (-r, r) se expresa también | x |<0, o bien, -r < x < r.

� Er(a) = (a – r, a + r) se expresa también | x – a |<0, o bien, a – r < x < a + r.

� Se llama entorno reducido de centro a y radio r y se denota por E*(a,r) , al intervalo:

E*(a,r) = E(a,r) – {a} = (a – r , a + r) – {a} � Entornos laterales

� Por la izquierda: Er(a–) = (a – r, a)

� Por la derecha: Er(a+) = (a, a + r)

2.4. Conjuntos acotados � Un conjunto A de números reales está acotado superiormente por un número real M si todos los

elementos de A son menores o iguales que M:

A acotado superiormente por M ⇔ a M, a A≤ ∀ ∈

Dicho número M se llama cota superior de A. Si A está acotado superiormente, existen infinitas cotas superiores.

La menor de las cotas superiores se denomina supremo del conjunto A y se denota por sup A

Si existe alguna cota superior de A que pertenece al conjunto A se le denomina máximo del conjunto A. � Un conjunto A de números reales está acotado inferiormente por un número real N si todos los

elementos de A son mayores o iguales que N:

A acotado inferiormente por N ⇔ a N, a A≥ ∀ ∈

Dicho número N se llama cota inferior de A. Si A está acotado inferiormente, existen infinitas cotas inferiores.

La mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo del conjunto A y se denota por inf A

Si existe alguna cota inferior de A que pertenece al conjunto A se le denomina mínimo del conjunto A.

� Un conjunto A de números reales está acotado si lo está superior e inferiormente:

A acotado por M y N ⇔ N a M, a A≤ ≤ ∀ ∈

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NÚMEROS REALES 10

Actividades resueltas

Estudia la acotación de los siguientes conjuntos y halla en los casos que sea posible el máximo y el mínimo: a) A = { }x / x 2∈ ≤ℝ

Representamos gráficamente el conjunto A:

En la representación observamos que el conjunto está acotado superiormente pero no inferiormente.

Una cota superior puede ser cualquier número real que sea mayor o igual que 2. La menor de todas las cotas superiores es 2, que pertenece al conjunto A.

Por tanto, máx A = 2.

b) B = ) (2,4 1,6− ∩

Representamos gráficamente el conjunto B:

Gráficamente observamos que la intersección de los dos conjuntos es el intervalo I = (1,4).

Dicho conjunto está acotado inferior y superiormente ya que cualquier elemento x de I verifica 1 < x < 4.

No tiene ni máximo ni mínimo.

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NÚMEROS REALES 11

3. VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real indica la distancia de ese número al origen 0.

Distancia = 12 Distancia = 12

Distancia = 3 Distancia = 5

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

El valor absoluto de un número real a se representa por | a |:

� Si el número es positivo o 0, su valor absoluto es el mismo número: | a | = a

� Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número: | a | = – a

� Ejemplos:

| 12 | = 12 ; | 5 | = 5 ; | -3 | = 3 ; | -12 | = 12

3.1. Propiedades

� El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo: | a | = | –a |

� | x | = a ⇔ x = a±

� | x | < a ⇔ –a < x < a ⇔ ( )x a,a∈ −

� | x | > a ⇔ x > a ó x < –a ⇔ ( ) ( )x , a a,∈ −∞ − ∪ +∞

� El valor absoluto de un producto de varios números es igual al producto de los valores absolutos de cada factor:

| a · b | = | a | · | b |

� El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos

(desigualdad triangular):

| a + b | ≤ | a | + | b |

La igualdad se da cuando ambos números tienen el mismo signo.

3.2. Distancia entre dos puntos Se define la distancia entre dos números reales “a” y “b”, que denotaremos d(a,b), como el valor absoluto de la diferencia de esos números:

d(a,b) = |a – b|

� Ejemplos:

La distancia entre los números -4 y 7 es:

d(-4,7) = |7 – (-4)| = 11

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NÚMEROS REALES 12

3.3. Ecuaciones con valor absoluto

� | x – a | = b ⇔ x a b x a b

x a b x a b

− = → = + − = − → = −

� | x – a | < b ⇔ x a b x a b

a b x a bx a b x a b

− < → < + → − < < + − > − → > −

� | x – a | > b ⇔ x a b x a b

x a b x a b

− > → > + − < − → < −

Actividades resueltas

1.- Realiza las siguientes operaciones con valores absolutos indicadas a continuación:

a) |3 – 7| + 5 b) 5 - |6 – 3| + |1 – 7|

c) | | 7 + 2 – 13| - |4 – 9| | d) 5

712

5

4 −−−

a) |3 – 7| + 5 = | -4 | + 5 = 4 + 5 = 9

b) 5 – |6 – 3| + |1 – 7| = 5 – 3 + 6 = 8

c) | | 7 + 2 – 13| - |4 – 9| | = | | -4 | - |- 5| | = | 4 – 5| = 1

d) 5

712

5

4 −−− = 35

32

7

2

5

6 =−

2.- Indica qué valores de “x” cumplen las siguientes condiciones:

a) | x | = 4 b) | x | = 0 c) | x | = -2 d) | x | < 1 e) | x | > 4

a) Los valores de x son 4 y –4.

b) El único valor es 0.

c) No existe ningún valor ya que siempre el valor absoluto es positivo.

d) Hay que buscar en la recta real aquellos valores que disten menos de la unidad del 0. Por la derecha del 0 tenemos los valores que son menores que 1 y por la izquierda del 0, los valores que son mayores que –1.

e) Hay que buscar en la recta real aquellos valores que disten más de 4 unidades del 0. Por tanto, serían los valores mayores que 4 y los valores menores que –4.

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NÚMEROS REALES 13

4. APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL. ERRORES 4.1. Aproximaciones Al expresar un número real con muchas o infinitas cifras decimales, utilizamos expresiones decimales aproximadas, es decir, recurrimos al redondeo. Al realizar estas aproximaciones cometemos errores. Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas.

Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.

� Ejemplos :

� Sería absurdo decir que la capacidad de un pantano es 42.509.786 mil litros (8 cifras significativas). Es más razonable decir que tiene 42.500 millones de litros.

� Los presupuestos del estado se suele expresar en billones: 26,85 billones (4 cifras significativas) � El número π es un número irracional. Su valor es 3,141592653589793238... Como trabajar con ese

valor, a la hora de hacer cálculos, es imposible, suele tomarse un valor aproximado, que unas veces es 3,14 y otras, 3,1415.

� Lola ha calculado que la altura de un edificio son las dos terceras partes de otro que mide 50 m. Al

realizar los correspondientes cálculos matemáticos, obtiene una altura de 2/3 · 50 = 33,333...m. En la práctica, esta expresión decimal ilimitada se sustituye por un número decimal lo más sencillo posible, por ejemplo, 33,3 m o 33,33 m, dependiendo del grado de precisión exigido.

En el primer caso estamos dando una aproximación por defecto y en el segundo caso una aproximación por exceso.

Se aproxima un número cuando no se toman todas sus cifras o se sustituyen por ceros.

Una aproximación lo es por defecto cuando resulta que es menor que el valor exacto al que sustituye y por exceso cuando es mayor.

� Ejemplos :

Dar una aproximación con tres decimales por defecto y otra por exceso de la fracción 12

7.

Si pasamos a la forma decimal de dicha fracción obtenemos que 12

7= 1,714285714…

• Una aproximación por defecto es 1,714

• Una aproximación por exceso es 1,715

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NÚMEROS REALES 14

Una aproximación o valor aproximado de un número consiste en sustituirlo por otro próximo a él. Para ello se utilizan dos procedimientos: el redondeo y el truncamiento.

Para redondear un número entero o decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a dicho orden n, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5 se aumenta a una unidad y en caso contrario se mantiene, sustituyendo las cifras que vienen a continuación de la de orden n por ceros.

� Ejemplos:

Si queremos redondear el número 238 a las decenas observamos que la cifra siguiente (8) es mayor que 5, por tanto, reemplazamos el 3 por un 4 y completamos la siguiente por un cero. El número 238 redondeado hasta la decena es 240.

Igualmente podemos hacer con los números decimales:

� 13,25 redondeado a las décimas es 13,3.

� 12, 513333... redondeado a las centésimas es 12,51

� 2,645751... redondeado a las milésimas es 2,646.

El truncamiento hasta un orden n es sustituir las cifras que hay a continuación por ceros. Así, el número 428 truncado a las decenas es 420 y hasta las centenas es 400.

� Ejemplos:

Con los números decimales podemos decir:

� 13,25 truncado a las décimas es 13,2

� 12,513333... truncado a las centésimas es 12,51

� 2,645751... truncado a las milésimas es 2,645

Observa que el truncamiento no siempre proporciona la aproximación más exacta de un número con la cantidad de cifras deseadas, por lo que es preferible redondear.

Se llaman cifras significativas de un número a aquellas que se utilizan en la aproximación, contando desde la primera cifra no nula hasta la cifra redondeada.

El orden de la última cifra significativa de un número aproximado se dice que es su orden de aproximación.

� Ejemplo 1:

En las aproximaciones del ejemplo anterior, tenemos:

Aproximación Nº de cifras significativas Orden de aproximación 13,2 3 Décimas

12,51 4 Centésimas 2,645 4 Milésimas

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NÚMEROS REALES 15

4.2. Error absoluto y cotas de error en una aproximación Al usar las aproximaciones decimales, se simplifican los cálculos y los resultados, pero se pierde precisión y exactitud. Por eso conviene señalar el error cometido dando una cota del mismo. En el ejemplo inicial al escoger como altura del edificio el valor 33,3 se da una aproximación de la altura real cometiendo un error menor que una décima. Llamamos error absoluto de una aproximación a la diferencia en positivo entre el valor real y el valor aproximado.

� Ejemplo 1:

Vamos a redondear y truncar a la centésima el número 2,2375

Número: 2,2375 Aproximación Error absoluto

Redondeado a las centésimas 2,24 2,24 – 2,2375 = 0,0025

Truncado a las centésimas 2,23 2,2375 – 2,23 = 0,0075.

La mejor aproximación es la que tiene menor error absoluto. En este caso, 2,24 es la mejor aproximación.

� Ejemplo 2:

El número π =3,141592653....es un número irracional. Una aproximación a las centésimas es 3,14.

Al tener un número infinito de cifras decimales es imposible calcular el error absoluto, por este motivo, calculamos una cota del error. El número π está comprendido entre los valores: 3,14 < π < 3,15 Calculando la diferencia de los extremos de este intervalo determinamos una cota del error, es decir:

3,15 – 3,14 = 0,01

El error cometido es inferior a 0,01. Así, diremos que 0,01 es una cota del error absoluto cometido al tomar 3,14 como valor aproximado de π.

� Ejemplo 3:

Si π =3,141592653....y tomamos como aproximación 3,1416, ¿cuál es una cota del error absoluto cometido?

3,1415 < π < 3,1416.

La diferencia entre los extremos es 3,1416 – 3,1415 = 0,0001. Por tanto el error cometido es inferior a una diezmilésima.

� Ejemplo 4:

Dado el rectángulo de medidas 5 x 4 cm, calcular su diagonal con un error inferior a una milésima.

Por el teorema de Pitágoras: d2 = 52 + 42 = 34 ⇒ d = 34 = 6,403124237432...

Si tomamos como diagonal 6,403, el error cometido es 0,00012423....., que es inferior a una milésima.

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4.3. Error relativo y error porcentual

En muchas ocasiones interesa una medida más precisa que el error absoluto, que relacione el valor absoluto con el número dado. No es lo mismo que el error de medición es menor que 5 centímetros cuando medimos la altura de una persona o la altura de un árbol. Por eso se define el error relativo.

Se llama error relativo de una aproximación al cociente entre el error absoluto y el valor exacto

� Ejemplo 1:

Así, el error relativo en la aproximación del número 0,4375 a las centésimas es:

0´4375 0´44 0´0025

0´00570´4375 0´4375

error absolutoe

valor real

−= = = =

El error relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas demos correctamente.

Si indicamos el error relativo en tantos por ciento, estamos especificando el error porcentual de dicha estimación.

Para determinar el error porcentual sólo tenemos que multiplicar por 100 el error relativo.

� Ejemplo 2:

Calcular el error relativo y porcentual que se produce al aproximar 1

3 por 0,33.

• Error absoluto: 1

3- 0,33 =

1 33 100 99 1

3 100 300 300

−− = =

• Error relativo:

1 10 33 3 13 300 0 011 1 300 1003 3

,,

−= = = =

• Error porcentual es del 1%.

� Ejemplo 3:

Una balanza de peso no está equilibrada ya que marca 20 gr sin pesar nada. Pesamos dos objetos A y B en la balanza y obtenemos los siguientes pesos:

Objeto A: 60 gramos Objeto B: 2,2 Kg

El error absoluto cometido en ambas pesadas es la misma, sin embargo los errores relativos son distintos:

� Objeto A ⇒ 10/40 = 0,2 ( el peso real del objeto A es 60 – 20 = 40 gr)

� Objeto B ⇒ 10/2180 = 0,00458 (el peso real del objeto B es 2200 – 20 = 2180 gr)

En el objeto A cometemos un error del 20%, mientras que en el objeto B es un 0,4%.

Podemos decir que el valor 0,44 es una aproximación del número 0,4375 con un error inferior al 0,57%.

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NÚMEROS REALES 17

4.4. Aproximaciones en la calculadora Las calculadoras científicas suelen tener espacio en la pantalla para 8 ó 10 dígitos. De esta manera, cuando trabajamos con números irracionales, la calculadora nos proporciona un número aproximado.

En las calculadoras científicas podemos limitar el número de cifras decimales, encargándose ella de efectuar los redondeos correspondientes. Para ello, existe el modo FIX .

� Ejemplo 1 :

Si introducimos el número 123,4567 y queremos reducirlo a dos decimales, tecleamos

123 · 4567 MODE 7 2 Aparece en pantalla FIX 123.46

Si antes de introducir el número hacemos MODE | 7 | 3 aparece en pantalla FIX 0.000

quedando preparada para que cuando se introduzca el número decimal se aproxime con tres cifras decimales.

Para volver a la posición normal, tecleamos MODE 9 También podemos introducir un número en notación científica especificando el número de cifras significativas con las que queremos trabajar, pulsando MODE | 8 | n , siendo n el número de dígitos significativos

� Ejemplo 2:

Si hacemos:

123 · 4567 MODE 8 4 Aparece en pantalla SCI 1.236 02

Y pulsando MODE 9 volvemos al número a su forma original.

4.5. Propagación del error

Al tomar una aproximación de un número estamos cometiendo un error. Vamos a ver qué ocurre con dicho error cuando se opera con la aproximación.

� Ejemplo:

Dado un rectángulo de lados 3 x 5, vamos a construir un cuadrado de medida la diagonal de dicho rectángulo y calcularemos su perímetro . Además vamos a dar el resultado con una cota de error absoluto inferior a una milésima.

Por el teorema de Pitágoras, obtenemos que la medida de la diagonal del rectángulo es

22 53 + = 34 = 5,830951894...

Tomamos como medida de la diagonal 5,830, ya que el error es 0,00095..., inferior a una milésima.

El perímetro del cuadrado es 4 · 5,830 = 23,32.

El error absoluto es 4 34 - 23,32 = 0,0038, superior a una milésima.

Si tomamos como medida de la diagonal 5,8309, el perímetro es 23,3236 y el error será 0,0002, inferior a 0,001 cm.

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NÚMEROS REALES 18

Actividades resueltas

1.- Calcula el error absoluto y el error relativo que se produce al aproximar 6

1 por 0,17.

El error absoluto es 6

1 - 0,17 =

6

1-

100

17=

300

5160−=

100

3

300

9 = = 0,03

El error relativo es 18,0100

18

6

1100

3

== ⇒ El error relativo es del 18%.

2.- Redondea:

a) Hasta las milésimas el número 12,658742

b) Hasta las décimas el número 5,9067

c) Hasta las centésimas el número 1,3642

Calcula el error absoluto y relativo cometido en una de esas aproximaciones.

Vamos en primer lugar a determinar las aproximaciones indicadas.

Para calcular el error absoluto vamos a calcular la diferencia entre el valor real y la aproximación.

Para calcular el error relativo vamos a dividir el error absoluto entre el valor real

El error relativo es menor en la primera aproximación ya que es inferior a un diezmilésima.

Número Aproximación Error absoluto Error relativo

12,658742 12,658 0,000742 5,8 · 10-5 5,9067 5,9 0,0067 1,1 · 10-3

1,3642 1,36 0,0042 3,07 · 10-3

3.- Para operar con el número π se elige en la práctica el 3,1416. Redondea el número π = 3,141592653....con 1, 2, 3 y 4 cifras decimales, indicando el error cometido en cada caso, y justifica la elección de 3,1416 que se hace en la práctica.

Aproximación Error absoluto Aproximación Error absoluto

π = 3,1 0,041592653.... < 0,1 π = 3,14 Error: 0,001592653.... < 0,01

π = 3,141 0,000592653.... < 0,001 π = 3,1416 Error: 0,00000734.... < 0,000008

Este error es menor que 8 millonésimas, lo que da una buena aproximación para 4 cifras decimales.

4.- Elige 17 = 4,123105625... con el menor número de cifras para que el producto 8 · 17 de un error

menor que 1 milésima.

Calculando 8 17 = 32,984845004941....

a) Si 17 = 4,1 ⇒ 8 17 ≅ 32,8 ⇒ Error : 0,184845004....>0,001

b) Si 17 = 4,12 ⇒ 8 17 ≅ 32,96 ⇒ Error : 0,024845004.....>0,001

c) Si 17 = 4,123 ⇒ 8 17 ≅ 32,984 ⇒ Error : 0,000845004.....>0,001

d) Si 17 = 4,1234 ⇒ 8 17 ≅ 32,9848 ⇒ Error : 0,00045004.....< 0,001

Por tanto, hay que elegir 4 cifras decimales.