APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 1 APUNTESDE FSICA I PRIMERA UNIDAD DE APRENDIZAJE. INTRODUCCIN A LA FSICA. MEDICIONES Y VECTORES CAPACIDADES A DESARROLLARSE EN LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: 1.ComprenderlaimportanciadelaFsicacomounaactividadmentaldelhombreparadescribiry explorar Universo. 2.Definir el campo de estudio de la Fsica, su mtodo y su aplicacin en beneficio del hombre. 3.Identificar, dominar e interrelacionar las diferentes clases de Magnitudes Fsicas. 4.Repasar los elementos matemticos ms importantes para el estudio de la Fsica. 5.Utilizar apropiadamente el Sistema Internacional de Unidades. 6.Aplicar correctamente las reglas bsicas del Anlisis Dimensional y sus principales usos. 7.Discriminar magnitudes escalares y vectoriales en la descripcin de los fenmenos fsicos. 8.Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores ACTITUDES ANTE EL REA Muestra seguridad y perseverando a resolver situaciones problemticas y comunicar resultados Muestra rigurosidad para representar reacciones, planear argumentos y comunicar resultados Toma la iniciativa para formular preguntas, buscar conjeturas y plantear situaciones problemticas Acta con honestidad en la evaluacin de su aprendizaje Valora aprendizajes desarrollados en el rea como pare de su prOceso formativo Colabora permanentemente en el logro de su aprendizaje, cumpliendo con las actividades propuestas por el profesor Valora la importancia del curso, como elemento importante en el desarrollo de su capacidad de razonamiento. Cumple con sus tareas en los plazos establecidos Porta materiales en buen estado y en los plazos establecidos Participa individual y grupalmente de manera activa en las diferentes actividades Respeta la opinin de sus compaeros Es creativo y ordenado en su participacin y presentacin de sus trabajos. CAPACIDADES FUNDAENTALES Pensamiento critico Pensamiento creativo Solucin de problemas Toma de decisiones MOTIVACION: Estudiarfsicaesunaaventurainteresanteyestimulante.Serunfsicooingenieroprofesionalesanms interesante. Es aun ms una de las actividades mas placenteras del saber humano desde que, en opinin del autor, nada atrae ms a la mente que aprender sobre el mundo en que vivimos y descubrir los secretos de la naturaleza. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 2 EL UNIVERSO INTRODUCCION LasobservacionesastronmicasllevaronaGalileoaobtenersusconclusionesquecondujeronal descubrimientodelprincipiodeinercia.Eladmiteque,encondicionesnormales,enelmedioterrestrees difcildemostrarqueuncuerpopuedemoverseuniformementeenlnearecta,mientrasnoseapliquen fuerzasexternas.Newtondescubrilaleydelagravitacinuniversal,medianteunanlisisminuciosodel movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y no por la observacin del fenmeno de atraccin mutua entre dos objetos sobre la superficie terrestre, puestos que estas fuerzas son extremadamente pequeas,; la ley de la gravitacin universal predice con gran precisin en movimiento de la Luna, el Sol y los planetas, y sobre ella se basa el logro tecnolgico de la puesta en rbita de los satlites artificiales. Eisntein postulo su teora generaldelarelatividadapartirdedatosobtenidossegnescalasastronmicas,dadalalimitacindelas escalas terrestres cuando es considerada la velocidad de la luz. Para Einstein, los instrumentos intelectuales de que dispone hoy en da, sin los cuales sera imposible el desarrollo moderno de la ciencia y la tecnologa, generalmente son consecuencia de observaciones de tipo astronmico. Lasobservacionesastronmicaspermitieronasmismoeldescubrimientodelosespectrosderadiaciny emisin y de muchos otros fenmenos registrados en la naturaleza. A su vez, los avances de la fsica terrestre hanpermitidoexploraryexplicarloquesucedeenlugaresmuylejanosdeluniverso,adistancias insospechadas de nuestro planta. Aunquebrevemente,nosocuparemosacontinuacindelestudiodelasconcepcionesmodernasdela estructuradeluniversoydelasteorasquepredominanhoyendaacercadesuorigenydesarrollo;el propsitodenuestroestudioconsisteenadoptarunavisincosmologca(delgriegocosmosygnos, generacin u origen), sobre ese enigmtico universo del que formamos parte. EL UNIVERSO. ANTECEDENTES HISTORICOS El filosofo griego Aristteles (384-322 a.C.) conceba la Tierra como el centro del universo, alrededor de la cual, en orbitas circulares, se movan el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas. Ms tarde, Ptolomeo (siglo IIdenuestraera)propusounmodelo,conocidocomosistemadeAristtelesyPtolomeoomodelo geocntrico. En cada esfera se movan la Luna, el Sol, Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno, que eran los nicos planetas conocidos en ese tiempo, y en la octava esfera se hallaban fijas las estrellas. EnelsigloXVIuncura,astrnomoymedicopolaco,NicolsCopernico(1437-1543),propusoenforma clandestina otro modelo: el Sol era el centro del universo, al tiempo que la Tierra y los planetas giraban a su alrededor en orbitas circulares (teora heliocntrica del universo). La Iglesia tenia como verdad nica la idea deununiversoenquelaTierrafueraelcentro(modelogeocntrico),ymantenaunaposicinfrreaa cualquier negacin en ese sentido, persiguiendo a los defensores de las ideas copernicanas. Es hasta el siglo XVIIcuandoGalileoGalilei(1564-1642),JohanesKepler(1571-1630)yTychoBrahe(1546-1601),cada uno por separado y basados en la observacin directa (Brahe), luego con la ayuda del telescopio (Galileo), y mediantelaincorporarondecuidadososclculosmatemticos(Kepler),compruebancomovalidalateora propuesta por Copernico. As Kepler descubre que las orbitas no eran circulares, sino elpticas (este termino proviene de elipse, que es una especie de circunferencia alargada), en uno de cuyos focos estaba el Sol; slo siendoelpticas,lograbanajustarsesusclculosalasobservacionesastronmicas.EncuantoaGalileo, aquellosfuerontiemposdifcilesparal,quienfueacusadodehereja,juzgadoporlaSantaInquisiciny condenadoprisin domiciliaria en Florencia, donde finalmente, muri ciego. Mstarde,IsaacNewton(1642-1727)quiennaceelmismoaoenquemuereGalileo,presentaunateora que explica el movimiento de los cuerpos en el espacio y en el tiempo, y desarrolla la complicada matemtica con que analiza esos movimientos, convirtiendo los principios fsicos en resultados directamente verificables por la observacin. LA GRAN EXPLOSION Todoslosesfuerzosexperimentalesrealizadoshastalafechaarrojanindiciosdequeeluniversocomenz como una bola de materia con densidad y temperatura extraordinariamente altas, que exploto violentamente hace unos 15 mil millones de aos. A partir de esa explosin, conocida como big bang, el universo comenz su expansin y evolucin en forma natural; tal expansin es fcilmente observable desde la Tierra, con el uso deinstrumentosapropiados.Lateoradelbigbangsuponeque,antesde la explosin, la distancia entre las galaxias era cero. Despus de la explosin, todo el material empez a expandirse y a enfriarse y, por efectos gravitacionales,seformaronconcentracionesdemateria,lascualesconstituyeronposteriormentelas galaxias. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 3 Labolademateriaprimitiva,decamosanteriormente,consistaenunaenormemasadedensidady temperaturaaltsimas;enesascondiciones,paralascapasexterioresseramuydifcilsepararseyescapar, dadalaenormefuerzagravitacionalqueaquellamasademateriaposea.Loexplicaremosmedianteun ejemplocomparativo:paraqueunproyectilpuedaescapardeafuerzadeatraccinterrestre,requiereun impulso inicial vertical, desde la superficie de la Tierra, que le imprima una velocidad mayor de 40 000 km/h (unos 11 000 m/s); esta velocidad se conoce como velocidad de escape, y en el caso del Sol, sta es de 617 000m/s.Pensemosahoraenlavelocidadmnimanecesariadeamateriadelaboladefuego,cuyamasa equivala a una cantidad inimaginable de veces la masa de la Tierra, para vencer su atraccin; sin embargo, debidoalaselevadsimastemperaturas,lasreaccionestrmicasenelinteriordelabolaprodujeronfuerzas tales que vencieron a las fuerzas gravitacionales, de modo que luego sobrevino la gran explosin. A partir de esemomento,eluniversoconsistaenenergaymateriaextraordinariamentecaliente,yconformese expandayenfriaba,eneltranscursodecientosdemilesdeaos,seformaronloselectronesyncleos, unindose luego para formar tomos. Terminar la expansin del universo en algn instante y vendr luego lacontraccinparavolveralaboladefuegoprimitiva?Nolosabemos;sinembargosontaleslas dimensioneseneluniversoque,enesteretroceso,senecesitaranmilesdemillonesdeaosparaquese produjera el gran colapso, o big crunch, como tambin se conoce. DESPLAZAMIENTO HACIA EL ROJO Un fenmeno interesante que se presenta ante nuestra vista con alguna frecuencia, lo constituye el arco iris; las gotas de agua suspendidas en el aire, por efecto de la refraccin, hacen que la luz blanca proveniente del Solsedescompongaenmajestuososcolores,queformanloqueseconocecomoespectroluminoso.Igual resultado se obtiene cuando la luz pasa a travs de un prisma ptico: la luz se presenta en los diversos colores que la componen, es decir, su espectro. Cuando los astrnomos enfocan con sus telescopios alguna estrella, pueden obtener de ella el espectro de luz correspondiente,ycomocadaelementoqumicoabsorbeunconjuntocaractersticodecolores,sepuede determinarloselementosqueconstituyenlaatmsferadelaestrella.Elanlisisespectraldelaradiacin luminosapermiteestudiarlacomposicinqumica,latemperaturasuperficial,elestadofsico(gravedad superficial,velocidadderotacin,etctera),laspropiedadesmagnticasylavelocidaddelaestrellaporel espacio. Cuando una fuente emite ondas, ya sea sonoras de luz o de radio, la frecuencia con que son detectadas )o sea, elnumerodevibracionesporsegundo)esconstante,siempreycuandolafuenteyreceptorestauna distancia fija; pero Qu sucedera en caso de que la fuente o el observador, o ambos se acercaran o alejaran entre ellos? Aqu interviene la presencia de un fenmeno conocido como efecto Doppler, que consiste en la variacindelafrecuencia,realopercibida,deunsistema(emisor)deondasdepropagacin,acausadel movimiento relativo de la fuente emisiva y del observador (receptor de ondas); de esta manera, si la fuente y elobservadorseaproximan,lafrecuenciaaumenta (es decir, llegan ms ondas por segundo al observador); por el contrario, si se alejan, la frecuencia es menor. Un ejemplo prctico de este principio es el caso de una motocicleta cuando se nos acerca por la carretera. Conforme se aproxima, su motor suena mas agudo, como consecuencia de una frecuencia mayorde las ondas sonoras, y a medida que se aleja produce un sonido ms grave,elmismocomportamientoseadvierteconlassirenasdelasambulancias.Lasondasderadioylas ondas de luz se comportan de igual forma. De acuerdo con la frecuencia de los pulsos de ondas de radio que reflejaunvehculo,elpolicadetransitodetermina,conlaayudadeunradar,lavelocidadconqueestese desplazaporlacarretera,astambin,cuandoesteprincipioseaplicaalasondasluminosas,elastrnomo determina si una estrella o una galaxia se acercan o se alejan y adems con qu velocidad lo hacen.

Laluztienediferentesfrecuencias,cadaunadelascualescorrespondealosdistintoscoloresqueelojo humanopuedaver;as,elextremorojodelespectrocorrespondealasfrecuenciasmsbajasyelextremo azul a las frecuencias ms altas, mayor y menor longitud de onda, respectivamente. El desplazamiento hacia el rojo, en relacin con la expansin del universo, puede explicarse de la siguiente manera:alobservarunaestrellaounagalaxia,elespectrodesuluzpresentauncorrimientohaciaelrojo, ello indica necesariamente que dicha estrella o galaxia se aleja de nosotros, y se acercara, en el caso de que laluzpresentaraensuespectrouncorrimientohaciaelazul. En 1929, el astrnomo estadounidense Edwin Hubble,descubriquelamayoradelasgalaxiasobservadas presentan un corrimiento hacia el rojo, y que, adems,cuantomslejosestunagalaxiaconmayorvelocidadsealeja;as,eluniversoestencontinua expansin, porque la distancia entre las galaxias aumenta ininterrumpidamente. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 4 LAS GALAXIAS Y SU ORIGEN Cuandoenunanocheclaraobservamoselcielonocturno,podemosadvertirunagranbandaluminosaque atraviesa la bveda celeste; sta es un asomo de la configuracin de la Va Lctea, el nombre de la galaxia a laqueelSolylosplanetasdesusistemapertenecen.Siunobservadorlacontemplaradesdeotragalaxia percibiralaVaLcteacomounaenormeconfiguracinenespiral.LaVaLcteatieneundimetro aproximado de cien mil aos luz (una ao luz es la distancia que recorre la luz en un ao, siendo su velocidad de 300 000 km/s) y se calcula que posee, aproximadamente, cien mil millones de estrellas. Una galaxia es una agrupacin de estrellas y nuestra galaxia, la Va Lctea, no es la nica, existen cientos de miles de millones de galaxias, cada una con cientos de miles de millones de estrellas; la estrella ms cercana despusdelSolestaproximadamenteacuatroaosluzdelaTierra;setratadePrximaCentauro.Esto significaquesuluztardacercadecuatroaosenllegarhastalaTierra.Otrasestrellasvisiblesestna algunos cientos de aos luz. De manera similar a como los planetas giran alrededor del Sol, las estrellas lo hacen alrededor del centro de la galaxia para no colapsarse (contraerse hacia el centro), debido a las fuerzas de atraccin gravitatoria entre suspartes;elSolgiraalrededordelcentrodelagalaxiaaunavelocidadde280km/sycompletarauna vuelta cada 200 millones de aos. Es precisamente este movimiento giratorio el que mantiene a las galaxias aisladas en el universo, con tamaos casi fijos, y separadas una de las otras por distancias de cientos de miles o de millones de aos luz, alejndose continuamente de ellas. Las galaxias se originaron posiblemente como a continuacin se describe. Mas de un milln de aos despus del big bang, el universo continuaba su expansin y enfriamiento, pero algunas zonas ms densas formadas por nubes de polvo mostraban una expansin retardada, debido posiblemente a la atraccin gravitatoria de la materiacircundanteyempezabana colapsarse (contraerse) de nuevo; conforme estas regiones se contraan, girabansobresimismascadavezmsrpido,delamismamaneraenqueunnio,porejemplo,sentado sobre una silla giratoria puede controlar la rapidez de su giro con solo extender o encoger sus brazos, o del mismo modo en que un patinador que se desliza sobre el hielo gira ms aprisa cuando encoge sus brazos, y ms lentamente cuando los extiende. Esa simple diferencia de la distribucin de la masa provoca variaciones en la rapidez de la rotacin; este principio se basa en la ley de conservacin del momento angular. As, la masaadquiriungirosuficientementerpidoparacompensarlaatraccingravitatoria,ytenerunaregin casi estable de forma de disco; a estas regiones se les llamo galaxias giratorias. Hay una variedad de tipos de galaxiaseneluniverso,ypuedenpresentarvariasformasesfricas,elipsoides,espirales(comolaVa Lctea), barradas e irregulares. LAS ESTRELLAS Sigamosconelprocesodeexpansinapartirdelbigbang.Lasnubesgalcticasestabanformadaspor regiones gaseosas, y aquellas cuya densidad era mayos atraan a las nubes vecinas, debido a la intensidad de sucampogravitacional.Deestamanera,unagrancantidaddehidrogenocomienzaacontraersesobresi mismo, los tomos chocan entre si cada vez con mayor violencia y el gas est tan caliente que los ncleos de hidrogenosefusionanparaformarncleosdehelio.Estareaccinprovocaeldesprendimientodeuna enormecantidaddeenergatrmicayradiantequehacequelanubedegasypolvobrille,ylaenerga adicionalaumentelapresindeexpansindelgas,hastaequilibrarlaatraccingravitatoriayfrenarla contraccin;hanacidounaestrellaquepermanecerestableporunlargoperiodo,siempreycuandolas fuerzas nucleares de expansin y las fuerzas gravitacionales de contraccin se equilibren. El resultado de las reaccionesnucleareseslaenergairradiadaenformadeluzycalor.Algunasestrellassonmuymasivasy tienencombustibleparamsdecienmillonesdeaos;otras,comonuestroSol,tienencombustiblepara aproximadamente cinco mil millones de aos, de manera que, considerando la escala del tiempo de los seres humanos, no debemos preocuparnos, pues tenemos Sol para rato. Nosedisponedepruebasdefinitivassobrelaformacindelasestrellas;suorigenpretendeexplicarsecon teorasmuydiversas,unadelascualeseslaexpuestaanteriormente.Peroesopiningeneralizadaquelas estrellasseformaronapartirdelacontraccindenubesdemasasenormesdehidrogenofro.Unavez conformadas,sonenormesmasasesfricas,quedurantelargotiempomantienensutamao,formay propiedades muy estables. De acuerdo con su tamao, las estrellas presentan diferencias abismales, desde las llamadas enanas, algunas delascualestienenundimetrocercanoaldelaTierra,hastalasdenominadasgigantes,cuyodimetro equivaleamsde1000 veces el dimetro del Sol; las enanas y las gigantes constituyen cerca del 10 % del total de las estrellas. Estos cuerpos celestes presentan tambin diferencias segn su masa, densidad, color y temperatura; la composicin qumica de las estrellas es similar en todas, y aunque el hidrogeno y el helio son APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 5 lassustanciasquepredominan,tambinintervienenensucomposicinotroselementosenunaproporcin insignificante; sus temperaturas superficiales varan desde los 2000 C a los 25 000 oC.

LAS ESTRELLAS DE HIDROGENO. SU EVOLUCION LasestrellasparecidasalSolconstituyenlamayoraeneluniversoy,porlomismo,seconocencomoestrellasdelasecuenciaprincipal;laestrelladeestascaractersticasproducesuenergamedianteel consumo de hidrogeno en el ncleo (el ncleo ocupa alrededor de un 15 % del volumen total de la estrella), a travsdereaccionestermonuclearesquesellevanacaboatemperaturaselevadsimas;laenvolturadela estrellanoproduceenerga,sinoquesololatransmite.Estasestrellassemantienenasdurantemillonesy miles de millones de aos. Cuando se agota todo el hidrogeno del ncleo, ste es ocupado en su totalidad por helio; el hidrogeno de las capasexterioresreaccionaexpandiendolaestrella,suradioaumenta500,1000omsveces,ysudensidad disminuye,producindose,comoconsecuencia,unaenormeesferaconunaatmsferaabundanteen hidrogeno; esta estrella se ha convertido en una gigante roja. Las estrellas gigantes se forman en un lapso de unos 5000 millones de aos, y luego agotan rpidamente las reservas de combustible nuclear. Al expulsar sus envolturasexteriores,quedaenellasslosupartedensacentralyenlaetapafinaldesudesarrollose conviertenenenanasblancas;enestaetapa,casanlasreaccionesenelncleo,seenfranaltranscurrirel tiempo, su radiacin disminuye y, finalmente, se hacen invisibles y mueren. Nuestro Sol se convertir, dentro de unos 5000 millones de aos, en una gigante roja y permanecer as durante centenares de millones de de aos.Llegandoatalpunto,suradiocreceralosuficienteparasobrepasarlaorbitaterrestreyevaporarla Tierra,; sufrir luego una contraccin prolongada, produciendo explosiones como una nova, para convertirse, finalmente en una enana blanca y luego morir, convertida en una enana negra.

LAS ESTRELLAS ENANAS BLANCAS Son estrellas con un tamao semejante al de la Tierra, an ms pequeas y una masa semejante a la del Sol; susuperficieesmuycalienteysubrillomuydbil.As,sonestrellasenprocesodeenfriamiento,decolor blanco,muypequeas,muycalientesyensusextraashayenormestemperaturasypresiones;cadavez emiten menos radiacin, y en su interior poseen una densidad mucho mayor que la del Sol. Ello significa que enuncentmetrocbicocabramsdeunatoneladadeesamateria;unobjetoparecidoaunlpiz,por ejemplo, compuesto de la materia de una enana blanca pesara cerca de diez toneladas. Una enana blanca es superdensa,demodoqueenunvolumenpequeoalmacenaunaextraordinariacantidaddemasa.Su densidad se estima aproximadamente en 109 kg/m3, lo cual quiere decir que un volumen de 1 m3 de materia tendra una masa de mil millones de kilogramos, o sea, un milln de toneladas. Puesto que una enana blanca haconvertidotodosuhidrogenoenhelioyste,asuvez,sehabrconvertidoenelementosmspesados, cesan las reacciones termonucleares y todos los procesos que causaban la liberacin de energa. Ahora, ms bien la estrella requiere que se le suministre energa. La enana blanca representa un estado al que llegar una estrella cuya masa sea similar o menor a la del Sol, en el proceso de su evolucin (lo mismo se cree que sucede con las estrellas de neutrones y con los agujeros negros). Se conocen ms de cien enanas blancas, las ms cercanas; pero se supone que en el universo existe una cantidad considerablemente grande de ellas. Una, de las primeras que se descubrieron, fue la compaera delaestrellamsbrillantedenuestrofirmamento,Sirio.Lasenanasblancaspuedenserestudiadas detalladamente porque son visibles, se encuentran en proceso de enfriamiento y su muerte se produce como un evento que no presenta espectacularidad alguna.

LAS ESTRELLAS GIGANTES ROJAS Las estrellas gigantes rojas son extraordinariamente grandes, su dimetro supera cientos de veces el del Sol, tienen gran luminosidad y una densidad millones de veces menor que la del Sol. CuandoelhidrogenodelncleodeunaestrellaordinariacomoelSolseagota,esporquesehaconvertido todoenhelio;laausenciadelasreaccionestermonuclearesdelhidrogeno provoca un desequilibrio del que surgeunacontraccingravitatoriaadicional,loqueprovocaalavezqueenelncleosegenerenotras reacciones nucleares como la del helio, en la que tres ncleos de este elemento (partculas alfa) se fusionan paraformarunncleodetomosdecarbono.Estoseconocecomoprocesotriplealfa.Lascapascalientes que envuelven al ncleo se dilatan, y en las capas exteriores permanece el hidrogeno intacto, al tiempo que suradioaumentacercade500vecessudimensinoriginal.Comolamasadelaestrellasemantienecasi constanteyelvolumenaumentaconsiderablemente,sudensidadser,enestasituacin,menosdeuna millonsima de la densidad original. Esta estrella que permanece as durante millones de aos es una gigante roja,deproporcionesinmensas.Conunncleomuycalienteysuparteexternarelativamentefraymuy luminosa. Se cree que finalmente se colapsar (se contraer) para convertirse en enana blanca. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 6

LAS ESTRELLAS NOVAS Noesfrecuenteobservarcambiossignificativosenelestadofsicodelasestrellas,porsercuerposmuy estables,sinembargo,sehanobservadovariacionesenalgunasestrellas,sobretodovariacionesfrecuentes delbrillo.Setratadeestrellasquelanzanviolentamentesumateria,liberandoenexplosionesenormes cantidadesdeenerga;lasnovassonuntipoparticulardeestrellasqueenuntiempomuycorto,unoodos das,incrementasuluminosidadconunarapidezextraordinariayexplotanrepentinamenteparalanzaral espacio una enorme cantidad de materia, en forma de una nube esfrica de gas; que se desplaza hacia fuera de la estrella con una rapidez cercana a los 600 km/s. Son estrella de una masa cercana a la del Sol, yapenas visible;eneseestado,seconocencomoprenovas.Enelestadodeexplosin,yaesunanova,ysu luminosidad es de 60 000 a 100 000 veces mayor que en el estado de la prenova. A partir de ese momento, empiezaadisminuir,peroenformamuylenta;lacapaqueseformaalrededordelaestrelladespusdela explosinseexpandemuyrpidoyadquieredimensionesconsiderables;estolahaceaparecercomouna estrella gigante cuya radio es ahora unas cien veces el radio de la prenova. La nube expulsada se expande, se enfrayenalgunosaosdesparecerporcompleto;sinembargo,estaestrellaquesufretanespectacular explosinpermanececasiinalteradaconrespectoasuestadooriginal,porqueexpulscercadeuna cienmilsimapartedesumasatotal;staeslacaractersticaprincipaldeunanova;sufrirexplosiones espectaculares y permanecer casi como en su estado original. En algunas han ocurrido explosiones hasta tres veces;expulsanmateria,peroahpermanecen.Estacantidaddemateriaexpulsadatanrpidamente correspondeaunacantidaddeenergatalque,denoserporlaexplosin,laestrellatardaraenemitida alrededor de diez mil aos.

LAS SUPERNOVAS El fenmeno de la supernova es, en el mundo de las estrellas, la explosin ms grandiosa y espectacular. Se tratadeestrellasmsmasivasqueelSol,aunquenonecesariamentemsgrande;consumieronsu combustibleylleganaunestadosecompresintalque,ensuinterior(ncleo),losncleosatmicosse tocan. La estrella comienza a dilatarse y en una violenta explosin que dura unos cuantos minutos, sus capas externassonarrojadasavelocidadesmayoresde5000km/s.Durantelaexplosin,lamasadelosgases lanzadospuedesuperarvariasveceslamasadelSol.Estallacantidaddeenergairradiadaporeste acontecimiento,quepodrasuperarenbrilloatodaslasestrellasjuntasdesugalaxia,conuna luminosidad aproximadademsde100milmillonesdevecesaladelSol.Elfenmenosupernovaessimilaraldeuna nova aunque a escalas mucho mayores. La supernova lanza al espacio una parte considerable de su masa en formatanviolentaqueprovocalaformacindeunanebulosairregular,yloquequedaenunaestrellacon unamasaaproximadaa1,5veceslamasadelSol.Esta estrella no se puede convertir en una enana blanca, sino que ser, finalmente, una estrella de neutrones o un agujero negro. Losastrnomoschinosregistraronunaexplosindesupernovaquefueobservadaenelao1054;esto significaqueelestallidoseprodujounosseismilaosantesde1054,yaquelaluztardaraesetiempoen llegar hasta nosotros. Los residuos de dicha explosin dejaron como resultado la Nebulosa del Cangrejo, que formapartedenuestragalaxia.Otrasdosexplosionesfueronen1572yen1604,explosionestanprximas quefueronobservadasasimplevista;en1885fuedetectadaotraexplosinsupernovaenlagalaxiade Andrmeda. El 23 de febrero de 1987 fue observada la supernova ms cercana en los ltimos cuatrocientos aos, a 50 000 aos luz de la Tierra, en la Nube de Magallanes, galaxia vecina a la Va Lctea. LAS ESTRELLAS DE NEUTRONES SonestrellascuyamasaesmayoraladelSol,enaproximadamente1,5o2vecesesamasa,ysuradioes cercano a los 15 o 20 km, por lo que su densidad media es de miles de millones de millones de toneladas por metrocbico,estoes,unadensidadaproximadaa1018kg/m3.Sonmspequeosquelasenanasblancasy tienen un periodo de rotacin (tiempo que tardan en dar una vuelta) de fracciones de segundo, de manera que dan varias vueltas en un segundo; las hay las que realizan 30 vueltas por segundo. Lamateriaqueconformaunaestrelladeneutronespresentaunestadodecompresindelosmximos posibles.Bajotalespresiones,losncleossetocanentresi,loselectronesylosprotonessefisionanyse originanlosneutrones.Elneutrneslaformamsestabledelamateriaenelestadodescrito;lamateria, entonces,noesteneste caso compuesta de protones, neutrones y electrones, sino solamente de neutrones; porestarazn,selellamaestrella de neutrones. Estas estrellas se conocen tambin como pulsares, porque segnlaconservacindelmomentoangular,ensurpidogiro,avelocidadeselevadsimasemiten radiacionesopulsacionesperidicas.Precisamentelospulsaresconstituyenlaevidenciadequeexisten estrellas de neutrones. De la misma forma, estas ultimas constituyen la explicacin de los plsares; periodos tanpequeosyregularesde0,03shacenquesepienseenpulsacionesqueprocedendeunaestrellade neutrones giratoria. Aquellas estrellas con masas de 2 a ms veces la masa del Sol son inestables, y algunas APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 7 quesecolapsanformanestrellasdeneutronesconunradiodepocoskilmetros,comomencionbamosal inicia de este apartado. Suponiendo que el Sol se colapsara de esa forma, efectuara una revolucin en torno asuejeen2diezmilsimasdesegundo,girandoaunavelocidadcasiigualalavelocidaddelaluz(elSol gira en torno a su eje una vez cada 25 das).

EL PULSAR Elpulsaresunafuenteemisoradeondasderadiodebajafrecuenciaemitidaenlapsosregularesymuy breves,quevande0,03sa3s;algunodeellos,muypocosentrelosconocidos,emitendestellosdeluz visible en sincronizacin perfecta con las ondas de radio. Sonobjetosmuypequeosqueemitenunacantidadenormedeenerga,ycomosondeltamaodelas estrellasdeneutrones,esposiblequeseanestrellasgiratoriasdeneutrones;deestamanera,suenorme energa cintica de rotacin es la fuente que produce la energa de radiacin; sta es una de las explicaciones razonablesdelaradiacin.Podramoscompararestosobjetoscelestesconunfaroluminosoquedespide destellos de luz en forma intermitente en lapsos iguales. Losplsaresfuerondescubiertosen1967porJocelinBell,unaestudiantedeinvestigacindeCambrigde, Inglaterra, quien crey que haba establecido contacto con seres extraterrestre; no se trataba de eso, sino de estrellasdeneutronesenrotacinqueemitanpulsosdeondasderadiomuycortos,deunsegundoo fracciones, rigurosamente peridicos. Esta fue la primera evidencia de que las estrellas de neutrones existan; larigurosidaddesuperiodofueexplicadaporlarapidezdesurotacin.En1969,sedetectoun plsar con destellos de radio y de luz visible en el centro de la Nebulosa del Cangrejo; es el periodo ms corto de todos losconocidos,0,033s,ycentellea30vecescadasegundo.SetratadelpulsardelCangrejo,quesehallaa 6000aosluzdelaTierrayemiteluz,rayosXyondasderadio.Enlosltimosaossehadetectadoun sistemallamadoPSR1913+16(PSRsonsussiglaseningles,laprimeradelascualesserefiereapulsar), formadopordosestrellasdeneutronesquegiranunaalrededordelaotraenformadeespiral.Enla actualidad estn registrados ms de 300 plsares. LOS QUASARES Las observaciones radioastronmicas permitieron el descubrimiento de estos maravillosos objetos celestes en 1963;sondeaspectosimilaralasestrellas,peroporlaenormedistanciaalaqueseencuentranaparecen comoobjetosbrillantesmuypequeos.Conundimetrodelordende1011km,emitenondasdeluzyde radioconunapotenciaquesuperacientosdeveceslapotencia,enconjunto,deloscentenaresdemilesde millones de estrellas que conforman una galaxia. Casi todos los quasares conocidos son objetos solitarios y congrandescorrimientoshaciaelrojo,loqueindicaqueestnalejndosedelaTierraavelocidades extraordinarias.Sirecibimosondasdeluzyderadioprovenientesdelosquasarescontantaintensidad,se desprende que estos objetos pueden producir energa en una forma gigantesca. Losquasaresseconocencomoobjetoscuasiestelares,esdecircomofuentesderadioemisinquese comportan como estrellas. Son fuentes poderosas de ondas de radio, pero estn tan lejos de nosotros que su observacinnonospuedeproporcionarevidenciassobrequprocesosfsicossellevanacaboparaliberar tan enormes cantidades de energa; al parecer, son cuerpos esfricos en rotacin compuestos de plasma en un campomagnticomuyfuerte.Seharequeridocompararalosquasaresconlosncleosdelasllamada galaxias activas, debido a la similitud de ambos como fuentes de radiacin electromagntica de excepcional potencia;sinembargo,sudiferenciaradiaenquelapotenciaderadiacindelosquasaresesmayor.Al mismotiempo,surgenmuchasideasquesuponenqueenelcentrodeestossepuedeencontraragujeros negrosspermasivos,yson,precisamente,losqueproporcionanlainmensacantidaddeenergaqueestos sorprendentescuerposcelestessoncapacesdeemitir.Todo lo anterior constituye suposiciones que podran ser desechadas o, de tener fundamento, guiarnos hacia hallazgos sorprendentes. AGUJEROS NEGROS Trataremosahoraalgunascaractersticasacercadeciertaszonasinvisibleseneluniverso,queprovocanen suscercanascomportamientosmisteriososdelamateriacircundante.Nosreferimosalosagujerosnegros, los objetos csmicos ms extraos en el universo, ya que no irradian luz y por lo tanto son invisibles. Se cree que los agujeros negros constituyen las etapas finales en la vida de las estrellas masivas, aquellas cuya masa equivalesa3omsveceslamasadelSol.Sesabequeseformaronapartirdelaexplosindeuna supernova; la materia resultante se contrae continuamente (se colapsa) hacia su centro de gravedad y forma un objeto gravitacional de una densidad tan extraordinaria que ni siquiera la luz puede escapar de l; es decir, los agujeros negros son objetos con mayores compresiones que las de las estrellas de neutrones, las cuales si permitenlasalidadelaluz.Elagujeronegroesunaestrellaqueseencuentraenprocesodecontraccin gravitatoriay,conformesecontrae,laintensidaddecampogravitatorioensusuperficieaumenta.Segn la APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 8 teoradelarelatividaddeEinstein,larapidezconqueviajalaluzenelvacinopuedesersuperadapor nada; es la mxima velocidad permitida en el universo (300 000 km/s); as si la luz no puede escapar de esta atraccin (reacurdese la velocidad de escape, a que nos hemos referido anteriormente), ningn otro objeto, partculaosealfsicalopuedehacer;poreso,unagujeronegronodejaescaparnada(nimateriani radiacin), y al mismo tiempo puede absorber la materia circundante para aumentar su masa. Una regin de estascaractersticasesloqueseconocecomoagujeronegro(tambinsueledenominarsehoyonegro);se trata de una regin de espacio-tiempo, desde donde no se puede escapar, y en donde todo es arrastrado hacia adentro, dada la enorme intensidad del campo gravitacional. Los agujeros negros no tienen tamao ni forma definida segn lo entendemos de manera convencional, pero tpicamente tienen unos 15 km de dimetro. Poseen masas que van desde unas tres veces la masa del Sol, a cientosdemillonesdevecesesacantidadyabsorbentodalamateriaoenergaqueseencuentraauna distancia crtica llamada horizonte de eventos. En esta zona u horizonte de sucesos, la materia es arrastrada hacia un remolino que la captura y la convierte en parte del espacio curvo del agujero negro. Lasondasgravitatoriasqueunagujeronegroemiteenelmomentodelcolapsoseranunaevidenciadesu existencia, si stas lograran ser detectadas, pero sta es una tarea que se ha tomado realmente difcil. As, en laactualidad,setrabajaenalconstruccindedetectoresdeondasgravitacionalesconunamayor sensibilidad.Laalternativamsviableparalocalizarunagujeronegroconsisteesubicarloenunsistema binariodeestrellasenelquegiranunaentornoalaotra,unabrillanteylaotrainvisible,yestaultima constantementeabsorbe,delaprimera,materiayradiacin.Elmaterialdelaestrella,alcaeralagujero negro, emite radiacin en rayos X que se puede detectar en la Tierra. Este el caso de la fuente Cisne X-1 el la constelacin del Cisne, descubierta en 1972, y desde 1974 considerada por los astrnomos como un agujero negro. Se encontr otro con caractersticas similares a Cisne X-1 en la Constelacin del centauro, Centauro X-3,yotrodenominadoLoboX-1enlaConstelacindelLobo.Secreequeexistenmuchosms,muy masivos, en los centros de algunos grupos nebulosos. Perolosagujerosnegrosnosonnegros!.ElfsicobritnicoStephenHawkingmostren1974quelos agujerosnegrosemitenradiacinconunatemperaturacaractersticadelamasaquestosmismosposeen. Estedescubrimiento caus gran sorpresa, pues el fuerte campo gravitacional de su superficie impide que lo que se encuentra dentro de l se escape incluyendo la luz. Hawking mostr que las partculas pueden vencer laenormeatraccindelasuperficiedelagujeronegroyescapar.Larevelacindeestosasombrosos resultadospermitiutilizarporprimeravezlasleyesdelamecnicacunticaenconjuncinconla relatividad general.

Este sorprendente hallazgo lo describe el propio Hawking de esta manera Descubr, con una gran sorpresa pormiparte,queelagujeronegroparecaemitirpartculasaunritmoconstante.Comotodoelmundo, entonces,yoaceptabaeldogmadequeunagujeronegronopodaemitirnada..Elaguajeronegrocreay emite partculas como si fuese un cuerpo calido ordinario, con una temperatura directamente proporcional a lagravedadeinversamenteproporcionalalamasa.Otrasinvestigacioneshanconfirmadoposteriormente este resultado.

EL ORIGEN DEL SISTEMA SOLAR NUESTRO SISTEMA SOLAR Nuestro sistema solar est conformado por el Sol y nueve planetas, stos a su vez, orbitados por satlites. Se considera que han transcurrido cerca de 4500 millones de aos desde el momento en que los planetas y el Sol seoriginaron.Laexplicacindelosdetallesdelaconstitucindenuestrosistemasolarenlaactualidades bastante satisfactoria (vase la tabla 1.1). Hemos llegado muchos ms lejos, segn podemos observar por lo tratadoenlosapartadosanterioresdeestecapitulo,peroelorigendeesteenjambreplanetario,deforma paralelaconelorigendenuestrouniverso,constituyeparalacienciauno de los mayores retos a los que se enfrenta. Los detalles del origen de nuestro sistema solar son los que no estn claros. Se cree que, por ser el Sol una estrelladesegundaotercerageneracin,seformapartirdelmaterial(gasypolvo)expulsadoporla explosin de una supernova. Lashiptesismodernasdelorigendelsistemasolarsesustentanenlaideade su formacin a partir de una nubedegasypolvo;unanubegiratoriadegas,quecontenalaspartculasdepolvo,restosdesupernovas anteriores,conformabanundiscoplano.Lamayorpartedelgasdelanubeseconcentrenformadeuna enorme bola de fuego, formada casi en su totalidad por elementos ms livianos, como el hidrogeno y el helio, convirtindoseenelSol.Laspartculasdepolvonoestabandistribuidashomogneamente,sinoquese APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 9 concentrabanenzonasespecificasparaformarmasasmsgrandes.Estasmasasestabanformadaspor elementos ms pesados de la nube original, y constituyeron los planetas. Tabla 1.1 NUESTRO SISTEMA SOLAR PLANETAPERIODO DE LA ORBITA (Aos) RADIO DE LA ORBITA (Km) MASA (Kg) DENSIDAD (kg/m3) RADIO (Km) PERIODO DE ROTACION (Dias) SATELITES CONCOCIDOS (Nmero) GRAVEDAD (m/s2) MERCURIO0,2415,79 x 107 3,28 x 10235600245058-3,6 VENUS0,6151,08 x 1084,83 x 102448606050243-8,9 TIERRA1,0001,49 x 1085,98 x 102455006370119,8 MARTE1,8822,28 x 1086,40 x 1023400033501,0223,8 JUPITER11,867,78 x 1081,90 x 1027130069 0000,411626,6 SATURNO29,461,43 x 1095,68 x 102670059 2500,431710,8 URANO84,012,87 x 1098,67 x 1025150023 4500,451510,5 NEPTUNO164,74,49 x 1091,05 x 1026120022 2500,66814,2 PLUTON248,95,93 x 1091,80 x 1022210011506,410,9 SOL (1)2 X 1081,92 x 10161,98 x 10301400696 00025,59272,6 LUNA (2)27,33 das3,82 x 1057,34 x 10223320174027,33-1,6 (1)Alrededor de la Va Lctea (2)Alrededor de la Tierra LA RADIASTRONOMIA Las ondas de radio son invisibles y, por lo tanto, imposibles de detectar por medio de telescopios comunes; por ello, es necesario utilizar antenas receptoras para captarlas igual que cualquier otra transmisin de radio. Las ondas de radio generan corrientes elctricas que fluyen en la antena y son transformadas en sonidos. Si seutilizanreceptoresdebidamentediseados,esposiblepenetrarenelespacioadistanciasdemilesde millonesdeaosluzycaptarlassealesemitidasenlaslongitudesdeondadelasradiofrecuencias provenientesdeunagalaxia,deunaestrella,deunplanetaodenuestroSol.Estosreceptoresseconocen comoradiotelescopiosy,cuantomayoressutamao,mayoreslacantidaddeondasderadioquepueden captar.Unapantallacncavadequeestnprovistosreflejanlasondasylasconcentraenlaantena.La radioastronomaesla ciencia que estudia la radiacin emitida por los cuerpos celestes en el dominio de las radiofrecuencias,desdeloslugaresmsrecnditosdeluniverso.,esdegranutilidad,porquedespusde detectarlasseales,seenfocanlostelescopiospticos,paradescubrirlafuentedelaqueprovienendichas seales.As,unradiotelescopioconstabsicamentedeunenormepantallacncavaquereflejalasondas recibidas y las concentra en una antena direccional, conectada a un receptor de radio sensible. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 10 INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA FISICA Lavidadetodoserhumanoesuncontinuobatallarcontraunaseriedeproblemasquesepresentanporla interrelacinestablecidaentreloshombres,yentreelhombreylanaturalezaquelorodea.Hablarde naturaleza aqu es hablar de Universo en un trmino ms general; saber qu lugar ocupamos; dnde y en qu momentonosencontramosesponerlaprimerapiedradeunhermosoeimpresionanteedificiollamado FSICA. La fsica es una de las creaciones ms sorprendentes de la mente humana: representa el esfuerzo permanente delhombrepararesolverproblemas,contestar,comprender,interpretar,predeciryaprovecharel comportamientodelanaturaleza.Enpocaspalabras,laFsicamedianteelpensamientonosllevahacialo desconocido;nuestrainteligencianospermiteliteralmentepenetrarenelfirmamento,llegandoanuevas fronteras en busca de conocimientos, de la compresin de un orden para el Universo. Albert Einstein dijo alguna vez: LA FSICA ES AVENTURA DEL PENSAMIENTO ELCOSMOS.Actualmenteloscientficosconsideranquenuestromundoytodoloquerodeaenun espacio-tiempounidossolidariamente,cuyaformapuedecambiarsegnelmodeloqueseutilicepara describirlo. La agrupacin de materia en el Cosmos da lugar a inmensos cuerpos brillantes constituidos por el 90 % por hidrgeno, y casi todo el resto por helio, los dos tomos ms simples que existen en la naturaleza. En su mayora, los cuerpos brillantes del Cosmos tienen dimensiones fabulosas y se denominan estrellas, las queseagrupanenGalaxias.NosotrosvivimosenunagalaxiallamadaVaLctea,endondeexistencien millones de estrellas, siendo una de ellas el Sol, el mismo que posee nueve planetas que giran a su alrededor. ElSolesuninmensohornoencuyasuperficielatemperaturaesdeunos6000grados.ElSolesnuestra principal fuente de energa y equivale a la explosin controlada de diez mil millones de grandes bombas de hidrgeno cada segundo y desde hace 5 000 millones de aos. LATIERRA.NuestroplanetaesunodelosnuevequegiranalrededordelSol,queconformanelsistema planetariosolar.LaedaddelaTierraesprcticamentelamismaqueladelSol,perosucomposicines abismalmentediferente,puescontienegrandescantidadesdehierro,nquel,oxgeno,cobre,etc;algoas comounapequeacontaminacinconcentradaenunlugardeterminado,desustanciaspococomunesalas que predomina en el resto del Cosmos, un pequeo lugar donde hay vida. ELHOMBRE.Es evidente que el Universo presenta un orden determinado, y los seres vivos que son ms queunacaractersticaadicionalaesteorden.Elhombreeslacriaturaquetienelafacultaddepensar, razonar y por ende comprender todo aquello que lo rodea. La necesidad del hombre por explicar todo lo que ocurre en el Cosmos ha devenido en la elaboracin de las ciencias. CIENCIA. Es el conocimiento cierto de las cosas por sus principios y causas. Est formada por un conjunto deconocimientoscoherenteslgicamenteordenadosymetdicamenteutilizadosquepermitenconocer, comprender, emplear, transformar y preveer fenmenos naturales y sociales. CIENCIASNATURALES.Designamosconestenombreaaquellascienciasqueseencargandeestudiar todos aquellos fenmenos fsicos, qumicos, biolgicos, astronmicos, etc. Entre las ms conocidas podemos citara:Fsica,Qumica,Biologa,Astronoma,Geologa,etc.Actualmentefenmenosdescubiertoshan obligado al hombre a interrelacionar algunas de estas ciencias originndose as otras como la Astrofsica, la fsico-qumica, la Bioqumica, la Biofsica, etc. FENMENO. Denominamos as a todo aquel cambio que se produce en el Universo. Estos cambios pueden ser del orden fsico, qumico, biolgico, social, poltico, etc. FENMENO FSICO. Es todo cambio que se produce en la naturaleza, en donde existe materia, energa y estas experimentan cambios con nfasis en la energa. FENMENOQUMICO.Esaqueltipodefenmenoendondeloscuerposparticipantesexperimentan cambiosradicalesensuestructurainterna,originndosenuevoscuerpos.Enlamayoradeloscasosestos fenmenos suelen ser irreversibles. FSICA: Es una ciencia cuyo objetivo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. Enfuncindeestasinteraccioneselcientficoexplicalaspropiedadesdelamateriaenconjunto,ascomo los otros fenmenos que observamos en la naturaleza. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 11 Caractersticas dela Fsica.Se interesa por lo que podemos ver y experimentar. Es experimental y depende de la observacin y la medicin. Es probablemente filosfica. Influye en nuestra cultura y costumbres. Est constituida por leyes cualitativas y cuantitativas. Emplealamatemticaparaexpresarsusleyescuantitativas,oseaquetraduceanmerossus razonamientos. Esunacienciadevastoalcance,desdeelanlisisdelaspartculassub-atmicashastalasdistantes galaxias. De la Fsica Clsica a la Fsica Moderna. SedenominaFsicaClsicaalaspautasyconceptosbsicosdesarrolladosenestacienciahastaantesdel ao 1900, porque este es el ao que postulan la teora de la relatividad y la teora cuntica, estas ideas dieron lugar a cambios profundos en los conceptos tradicionales denominndose a esta Fsica Moderna. Antesdelao1900,laFsicaseconceptuabacomounacienciaformadaporlassiguientesramas especializadas:lamecnica,queestudiatodolorelacionadoconelmovimientoylascausasquelo provocan, la termodinmica, que se ocupa de la relacin entre el calor y las restantes formas de energa; el electromagnetismo, que estudia la relacin entre los fenmenos elctricos y magnticos; la ptica, que trata de la naturaleza y el comportamiento de la luz y otras radiaciones; y la acstica, que estudia los fenmenos relacionados con el sonido, su produccin y sus propiedades. Este cuerpo coherente de conocimientos es lo que llamamos hoy la Fsica Clsica. La Fsica Moderna no invlida de ningn modo a la Fsica Clsica, sino que demuestra que la Fsica Clsica tienelmites,porejemploenlamecnicaclsicalasleyesconocidashastaantesdelao1900nopueden describir los fenmenos cuando las velocidades de las partculas son cercanas a la velocidad de la luz. Apartirdelao1900sellevaronacabodescubrimientosdegrantrascendenciaenlaFsicaAtmicay Nuclear.LaFsicaClsicanopodaexplicarlos,demaneraquesehizonecesarialaintroduccindevarios principios nuevos, que incluso contravenan algunos principios de la fsica Clsica. Estos nuevos principios se resumen en la Mecnica Cuntica, teora del movimiento de las partculas atmicas que intenta explicar los fenmenos en el tomo, y la Relatividad, teora que pretende explicar el comportamiento de los cuerpos avelocidadesmuygrandes,cercanasalavelocidaddelaluz.LafsicaCunticaylaFsicaRelativista constituyen lo que hoy denominamos Fsica Moderna. LaFsicaModernaeslaFsicadelasaltasvelocidadesmientrasquelaFsicaClsicaesaplicablea partculas cuyas velocidades son pequeas comparadas con la velocidad de la luz. FSICO. Es el cientfico que tiene como principal actividad desarrollar una actitud de investigacin frente a los fenmenos fsicos y descubrir las leyes o principios que los rigen. INGENIERO.Eslapersonaqueconociendolasleyesdelanaturaleza,ordenalascosasparaquese produzcan fenmenos o movimientos tiles, que sirvan para hacer cmoda la vida del hombre. RAMAS DE LA FSICA. Para un mejor estudio de los fenmenos fsicos, la Fsica se divide en ramas: a)Mecnica. Estudia el movimiento de los cuerpos. b)Calor: Estudia los fenmenos trmicos. c)Electricidad. Estudia los fenmenos elctricos d)Magnetismo. Estudia los fenmenos magnticos e)Electromagnetismo. Estudia la interrelacin entre la electricidad y magnetismo f)Acstica. Estudia el sonido. g)Optica. Estudia la luz. h)Fsica Nuclear. Estudia el tomo y sus componentes. i)FsicaModerna.Estudialateoradelarelatividadylascaractersticasondulatoriasdelaspartculas subatmicas. FSICA, CIENCIA Y TECNOLOGA. La ciencia procura comprender los fenmenos de la naturaleza y de la sociedad, y explicarlos mediante leyes, principios y teoras. La Fsica es esa parte de la ciencia que aborda los fenmenos propios de la naturaleza. La tecnologa moderna es el conjunto de medios desarrollados para APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 12 aplicar los conocimientos cientficos a las actividades humanas como son: Ingeniera, Medicina, Sociologa, etc. ELMTODOCIENTFICOOEXPERIMENTAL:Afindecumplirconsusobjetivoslafsica,como todaslascienciasnaturalespurasoaplicadas,dependendelaobservacinydelaexperimentacin.La observacinconsisteenunexamencrticoycuidadosodelosfenmenos,notandoyanalizandolos diferentesfactoresycircunstanciasquepareceninfluenciarlos.Laexperimentacinconsisteenla observacin del fenmeno bajo condiciones preparadas de antemano y cuidadosamente controladas. El mtodo cientfico sigue la siguiente secuencia: a)Observacin. Reconocimiento de un suceso y sus caractersticas. b)Medicin. Toma de datos de todas las magnitudes que participan. c)Control de variables. Conocimiento de las magnitudes que varan cuando se desarrolla el suceso. d)Hiptesis. Formulacin de una posible explicacin e)Experimentacin. Repeticin controlada del suceso, en donde se prueba la veracidad de la hiptesis. f)Formulacin de inferencias. Luego de mltiples experimentos podemos establecer un resultado general: LEY MATEMTICASAPLICADAALAFSICA.Paraaprovecharracionalmentelanaturalezayconservar assusrecursosesnecesarioconocerlasCienciasnaturales,yenparticularlaFsica.Dominarlamuybien nos evitar incurrir en excesos, fallas o malos clculos que a la postre perjudicaran nuestro medio ambiente, tal como viene ocurriendo actualmente en casi todo el mundo. Comoeslgico,parahacerclculoscorrectosesimprescindibletenerunconocimientobsicode Matemticas,queesunodelosobjetivosprincipalesdeestaunidaddeaprendizaje.Nodebesolvidarque una valiosa herramienta en el trabajo de laFsica es la Matemtica. REPASO DE MATEMTICAS PARA ALUMNOS DE FISICA Sepretendequeestosrepasosdematemticasseanunbreverepasodeoperacionesymtodos.Desdeel principio,convienequeseestcompletamentefamiliarizadoconlastcnicasalgebraicasbsicas,la geometra analtica y la trigonometra. Los repasos sobre clculo diferencial e integral son ms detallados y estn dirigidos a aquellos estudiantes que tienen dificultades en la aplicacin de los conceptos del clculo a las situaciones fsicas. SIMBOLOGA MATEMTICA =igual aproporcionalidades perpendicular diferente deyinfinito aproximadamente0(x,y)par ordenado mayor quepor tanto%porcentaje 0,lalnearectatieneunapendiente positiva,comoenlafigura1.Sia 0, b < 0; a < 0, b > 0; y a < 0, b < 0. Figura 2 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 17 EJERCICIOS l.Trcese las grficas de las siguientes lneas rectas: a) y = 5 x + 3 b) y = 2 x + 4c) y = 3 x 6 2.Encuntrese las pendientes de las lneas rectas descritas en el ejercicio l. 3.Encuntrese las pendientes de las lneas rectas que pasan a travs de los siguientes puntos: a) (0, 4) y (4, 2); b) (0, 0) y (2, -5), c) (5, 2) y (4, 2) Solucin de ecuaciones lineales simultneas Considrese una ecuacin del tipo 3x + 5y = 15, la cual tiene dos incgnitas, x y y. Dicha ecuacin no tiene unasolucinnica.Esdecir,(x=0,y=3),(x=5,y=0),y(x=2,y=9/5)sontodassolucionesaesta ecuacin. Siunproblematienedosincgnitas,unasoluci6nnicaesposiblesolosisetienendosecuaciones.En general,sielproblematienenincgnitas,susolucinrequierenecuaciones.Laformaderesolverdos ecuacionessimultneasqueimpliquendosincgnitas,xyy,esdespejardeunadelasecuacionesxen trminos de y y sustituir esta expresin en la otra ecuacin. EJEMPLO 2 Despeje las siguientes ecuaciones simultneas: (1)8 5 = + y x (2)4 2 2 = y xSolucin De la ecuacin (2), x = y + 2. Sustituyendo esto en la ecuacin (1) obtiene: 5 (y + 2) + y = 8 6 y = 18 y = 3 x = y + 2 =1 Solucin alternativa Multiplquese cada trmino en la ecuacin (1) por el factor 2 y sume el resultado a la ecuaci6n (2): 10 x + 2 y = 16 2 x 2 y =4 12 x = 12 x = l y = x 2 = 3 Dosecuacioneslinealescondosincgnitastambinsepuedenresolverpormtodogrfico.Silaslneas rectascorrespondientesalasdosecuacionessongrficasenunsistemacoordenadoconvencional,la intersecci6n de las lneas representa la soluci6n. Por ejemplo, considrense las dos ecuaciones: x y = 2 x 2 y = 1 stassongrficasen la Figura 3. La intersecci6n de las dos lneas tiene las coordenadas x = 5, y = 3. Esto representalasolucinalasecuaciones.Puedeverificarseestasolucinporlatcnicaanalticadescrita anteriormente. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 18 Figura 3 EJERCICIOS Resuelva los siguientes pares de ecuaciones simultneas que contienen dos incgnitas: EjercicioRespuesta 1.8 = + y x 2 = y x5 = x ,3 = y2. a T 10 98 = a T 5 49 = 65 = T , 27 , 3 = a3. 6 2 6 = + y x28 4 8 = y x2 = x ,3 = y Logaritmos Supngase que la cantidad x se expresa como una potencia de alguna cantidad a: ya x =(B.11) El nmero a se llama nmero base. El logaritmo de x con respecto a la base a es igual al exponente al cual se debe elevar la base de manera que satisfaga la expresi6n x = ay: x yalog = (B.12) Del mismo modo, el antilogaritmo de y es el nmero x: y anti xalog = (B.13) Enlaprctica,lasdosbasesmsutilizadassonlabase10,llamadalogaritmocomn,ylabasee=2.718., llamada logaritmo natural. Cuando el logaritmo comn se utiliza, x y10log = (o x = 10y) (B.14) Cuando el logaritmo natural se utiliza: x yeln = (o x = ey) (B.15) Por ejemplo, log10 52 = 1,716, as que el antilog10 1.716 = 101.716 = 52. Del mismo modo, lne 52 = 3.951, y su antiloge3.951 = e3.951 = 52. En general, obsrvese que se puede convertir entre base 10 y base e con la equivalencia . x xe 10log ) 302585 , 2 ( ln = (B.16) Finalmente, algunas propiedades tiles de los logaritmos son las siguientes: log(ab) = log a + log b log(a/b) = log a -log b log(an) = n log a ln e = 1 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 19 In ea = a aaln1ln = ||

\|... B.3GEOMETRIA La distancia d entre dos puntos cuyas coordenadas son (x1, y1) y (x2, y2) es: 21 221 2) ( ) ( y y x x d + = (B.17) La medida en radianes: la longitud del arco s (Fig. B.4) es proporcional al radio r, para el valor de medido en radianes. r s =(B.18) rs= Figura B-4 En la tabla B.2 se dan las reas y los volmenes de algunas formas geomtricas utilizadas en este texto: TABLA B.2 Informacin utilizada en geometra FormaFigurarea o volumen Rectngulo w A l = Circulo r ncia Circunfere 2 =2 24d r A = = Triangulo h b A21= Esfera 24 r A = 334r V = Cilindro l2r V = Caja rectangular ) ( 2 hw w h A + + = l lh w V l = La ecuacin de una lnea recta (Figura B.5) est dada por: b x m y + = (B.19) APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 20 Figura B-5 donde b es la interseccin con y y m la pendiente de la lnea. La ecuacin de crculo de radio R centrado en el origen es 2 2 2R y x = + (B.20) La ecuacin de una elipse con el origen como su centro (Fig. B.6) es: 12222= +byax(B.21) donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor. Figura B-6 La ecuacin de la parbola cuyo vrtice est en y = b (Figura B.7) es: b x a y + =2(B.22) Figura B-7 La ecuacin de una hiprbola rectangular (Figura B.8) es: te cons y x tan = (B.23) Figura B-8 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 21 B.4TRIGONOMETRIA Lapartedelasmatemticasquesebasaenlaspropiedadesespecialesdelostringulosrectossellama trigonometra.Pordefinicin,untringulorectoeselquecontieneunngulode90.Considreseel tringulo recto de la figura B.9, donde el lado a es opuesto al ngulo , el lado b es adjunto al ngulo y el ladoceslahipotenusadeltringulo.Lastresfuncionestrigonomtricasbsicasdefinidasparatales tringulos son las funciones seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). Figura B-9 En trminos del ngulo , estas funciones se definen por: cahipotenusaopuesto catetosen = = cbhipotenusaadyacente cateto= = cos(B 24) baadyacente catetoopuesto cateto= = tan El teorema de Pitgoras da la siguiente relacin entre los lados de un tringulo: 2 2 2b a c + = (B.27) De las definiciones anteriores y del teorema de Pitgoras, se sigue que: 1 cos2 2= + sen costansen= Las funciones cosecante, secante y cotangente estn definidas como: sen1csc =cos1sec =tan1cot = Las relaciones anteriores se siguen directamente de un tringulo recto mostrado en la figura B.9: = = =) 90 ( tan cot) 90 ( cos) 90 ( cos sensen Algunas de las propiedades de las funciones trigonomtricas son las siguientes: = = = tan ) ( tancos ) ( cos) ( sen sen APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 22 Figura B-10 Las siguientes relaciones se aplican a cualquier tringulo como el de la figura B.10: 180 = + + Ley de los cosenos: + + = + = + =cos 2cos 2cos 22 2 22 2 22 2 2b a b a cc a c a bc b c b a Ley de los senos: = = sencsenbsena La tabla B.3 lista un buen nmero de identidades trigonomtricas tiles. 1 cos2 2= + sen) cos 1 (2122 = senB sen A B A sen B A sen cos cos ) ( = 2 2cot 1 csc + =) cos 1 (212cos2+ =B sen A sen B A B A m cos cos ) cos( = 2 2tan 1 sec + =22 cos 12 sen = ||

\|||

\| = 2cos22B A B Asen B sen A senm cos 2 2 sen sen =2tan 1tan 22 tan=||

\| ||

\| += +2cos2cos 2 cos cosB A B AB A 2 2cos 2 cos sen = cos 1cos 12tan+=||

\| ||

\| += 2 22 cos cosA BsenB Asen B A EJEMPLO 3 Considrese el tringulo recto de la figura B.11, en el cual a = 2, b = 5, y c es desconocida. Figura B-11 Del teorema de Pitgoras, se obtiene 29 25 4 5 22 2 2 2 2= + = + = + = b a c 39 , 5 29 = = c Para determinar el ngulo , se observa que 400 , 052tan = = =ba De una tabla de funciones o de una calculadora, se obtiene 8 , 21 ) 400 , 0 ( tan1= = APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 23 dondetan1(0.400)eslanotacinparadecir"elngulocuyatangentees0.400",algunasvecesseescribe como arctan (0.400). EJERCICIOS l.En la figura B.12, determnese: a) el lado opuesto a O, b) el lado adyacente a , c) cos , d) sen y e) tan Figura B-12 Respuesta a) 3, b) 3, c) 4/5, d) 4/5 y e) 4/3 2. Enciertotringulorecto,losladosquesonperpendicularesunodelotrosonde5my7mde longitud. Cul es la longitud del tercer lado del tringulo? Respuesta 8.60 m 3. Un tringulo recto tiene una hipotenusa de 3 m de largo, y uno de sus ngulos es de 30. Cul es la longitud: a) del lado opuesto al ngulo de 30 y b) del lado adyacente al ngulo de 30? Respuesta a) 1.5 m b) 2.60 m B-5DESARROLLOS EN SERIE ( ) .....! 2) 1 (! 12 2 1++ + = + b an nb ana b an n n n ( ) .....! 2) 1 (1 12++ + = + xn nx n xn ! 3 ! 213 2x xx ex+ + + =......3121) 1 ( ln3 2+ = x x x x......! 5 ! 35 3 + =x xx x sen......! 4 ! 21 cos4 2 + =x xx 2......152! 3tan5 3< + + + = xx xx x Para x 0) += a xa xa a xdxln212 2(x2 a2 > 0) =) ln(212 22 2x ax adx x = =axaxsenx adx1 12 2cos (a2 x2 > 0) ) ln(2 22 2 + =a x xa xdx =2 22 2x ax axdx =2 22 2a xa xxdx ||

\|+ = axsen a x a x dx x a1 2 2 2 2 221 ( )2 / 32 2 2 221x a dx x a x = ( ) [ ]2 2 2 2 2 2 2ln21a x x a a x x dx a x + = ( ) ( ) = 2 / 32 2 2 231a x dx a x x =x a x aeadx e1 = x ax x axdx ) ln ( ln = ) 1 (2axaedx e xx ax a + =+) ln(1x cx ce b aac axe b adx = axaaxdx sen cos1 = ax senadx ax1cos ) (sec ln1) (cos ln1tan axaxadx ax = = = ) ( ln1cot ax senaaxdx + = ) tan ln(sec1sec ax axadx ax = ) cot ln(csc1csc ax axadx ax =aax sen xdx ax sen4222 + =aax sen xdx ax422cos2 = axa ax sendxcot12 = axa axdxtan1cos2 = x axadx ax ) (tan1tan2 = x axadx ax ) (cot1cot2 + = ax aax sen x dx ax sen2 21 11) ( = ax aax x dx ax2 21 11) (cos cos +=+2 2 22 / 3 2 2) (a x axa xdx APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 39 +=+2 2 22 / 3 2 21) (a x aa xdx x TABLA B.6. Probabilidad integral de Gauss e integrales relacionadas = =0021 2adx e Ix a(Integral de la probabilidad de Gauss) adx e x Ix a21012= = 3002241 2a dadIdx e x Ix a= = = 2103321 2a dadIdx e x Ix a= = = 5 20204483 2a daI ddx e x Ix a= = = 3 2120551 2a daI ddx e x Ix a= = = 0 2) 1 ( Ia ddInnnn = 1 1 2) 1 ( Ia ddInnnn =+ APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 40 MEDICIONES Y ANLISIS DIMENSIONAL A QU LLAMAMOS MAGNITUD? En nuestro universo sabemos por propia experiencia que hay cosas que pueden comparar entre s y otras no. Porejemplo,podemoscompararlaalturadeunrbolconlaalturadeunedificio,encambionopodemos compararelamorquesentimospornuestramadreconelquesentimospornuestroshijos.Poresto,todo aquelloqueseasusceptibleaaceptarunacomparacinconotradesumismaespecie,esuna magnitud. As entonces, la longitud (L), la masa (m), el tiempo (t), ,etc., son magnitudes. QU ES UNA CANTIDAD? Cuando nos fijamos en el largo de la pizarra, en la masa de carne de un cerdo o en la duracin de la clase, estamos hablando de cantidades. De esto diremos: Cantidad es una porcin definida de una magnitud A QU LLAMAMOS UNIDAD DE MEDIDA? Llamamosunidaddemedidaaaquellacantidadelegidacomopatrndecomparacin.Unamisma magnitud puede tener varias unidades de medida. QU ES LA MEDICIN? Siporsalvarlavidatuviramosqueaveriguarelanchoquetienelapuertadelaula,yusandonuestros zapatosencontramosqueenellacabencuatro,loquehabramoshechoessimplementeunamedicin. Luego: Medicin es la operacin realizada por el hombre, y que consiste e averiguar las veces en que unaunidaddemedidaestcontenidaenotracantidaddesumismaespecie.Porello,elresultadode toda medicin es un nmero. DE CUANTAS CLASES PUEDEN SER LAS MEDICIONES? Las mediciones pueden ser de dos clases: a)Medicin directa b)Medicin indirecta. MEDICINDIRECTA.Esaquellaqueserealizacomparandodirectamentelaunidaddemedidaconla cantidad a medir. Ejemplo. Para medir la longitud de una mesa de laboratorio debemos de tener en cuenta lo siguiente: a) Instrumento de medicin b) Precisin del instrumento de medicin c) Incertidumbre o error del instrumento de medicin MEDICIN INDIRECTA. Es la que se efecta por medio de una frmula y/o utilizando instrumentos de medicin. Ejemplo Para medir el rea de la mesa de laboratorio debemos tener en cuenta lo siguiente: a)Medir la longitud de la mesa b)Medir el ancho de la mesa c)Conocido el largo y el ancho de la mesa usar la frmula correspondiente para el rea: b A = a.b a APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 41 ERRORES DE MEDICIN Cuando contamos los alumnos del aula, encontramos a 55. En este caso nuestra medida de la poblacin del aulaesexactayprecisa.Siencambiousandounareglagraduadaenmilmetrosmedimosellargodel cuadernoyobtenemos255mmyfraccin(msomenos),nuestramedicinesimprecisa.As,si consideramos slo al 255 para nuestros clculos posteriores, lo que estaramos cometiendo seran errores de medicin Cuandoserealizandeterminacionesdecualquiernaturaleza,jamspuedellegarsealconocimiento verdaderodelamagnitudbuscada,seancualesfuerenlosinstrumentosempleadosylahabilidaddelos observadores. Los resultados que se obtienen son, pues aproximados y los ms precisos son los que ms se acercanalverdadero.Ladiferenciaentrelosvaloresaproximadosyelvalorverdadero,seranloserrores verdaderos, que tampoco se pueden conocer. Enlaprcticasebuscaelvalordelamagnitudllamadomsprobableomedio.Parallegaralsehacen varias determinaciones del valor de la magnitud y si los resultados no se diferencian mucho, se toma como valor ms probable el promedio de los valores as obtenidos: es decir, el cociente de dividir la suma de los valoresobservadosporelnmerodeobservaciones.Ladiferenciaentrecadaobservacinyelvalor medioeselerrordecadaobservacin.Estoserroresinevitables,sellamanfortuitosynodeben confundirseconlasequivocacionesniconloserroressistemticos,queserepitenconciertaregularidad, debido a los defectos de los instrumentos de medida o del observador. Conocidoelerrordeunamagnitudysuvalor,suerrorrelativoeslarelacinentreelerrorverdaderoo absolutoyelvalordelamagnitud.Enlaprcticaseempleesiempreunlmitesuperiordelerrorrelativo, pero nunca el verdadero error, pues hemos visto la imposibilidad de conocerlo. Alhaceroperacionesconcantidadesafectadasdeerrores,convienesabercualeslaparteexactadel resultado y para ello es bueno recordar que el error relativo de una suma, de una diferencia, de un producto, o de un cociente, es la suma de los errores relativos de sus trminos; el error de una potencia es el producto del exponente por el error de la magnitud; el error de la raz en cambio, es el cociente del error relativo del nmero por el ndice de la raz. Clculo de errores de una medicin directa Valor Medio o Valor ms Probable Si:

X1 , X2 , X3 , . . . . . . . . . . . . .X n, es un conjunto de n medidas de una magnitud fsica, el valor medio o valor ms probable de dicha magnitud es la media aritmtica de tales medidas, que se calcula usando la ecuacin: n ni nmXX . . . . . . . . . . X X XX3 2 1 =+ + +=( 1 ) Desviacin ( Xi ) de una medida es la diferencia entre la medida Xiy el valormedio Xm de las medidas tomadas. Esto es: Xi = Xi- Xm (2)

Error Absoluto de la medicin o desviacin estandar de una medicin de una serie denmedidas est dado por: ) 1 ()2= n niX (X(3) Valor real de la medicin. Al efectuar varias medidas de la misma magnitudX, el resultado de la medicin es el valormedio ms o menos el error medio del promedio, esto es: X = XmX (4) Error Relativo. Es el cociente entre el error medio y el valor medio o ms probable. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 42

mrXXe= (5) Error Porcentual. Es el error relativo multiplicado por 100. e% = er (100 )(6) Ejemplo. Alhacerladeterminacindeuna longitud utilizando un vernier se han obtenido los resultados siguientes en mm: 53.81, 53.83, 53.80, 53.82, 53.81, 53.81, 53.79, 53.82, 53.78 y 53.84. Calcular el valor ms probable? Solucin Utilizando tablas estadsticas tenemos: NLi (mm)Li (mm)(Li)2mm2 153.810.000.0000 253.830.020.0004 353.80-0.010.0001 453.820.010.0001 553.810.000.0000 653.810.000.0004 753.79-0.020.0004 853.820.010.0001 953.78-0.030.0009 1053.840.020.0004 a)Valor medio de la medicin: LLmmmmmii= = ==11010538111053 81., b)Error absoluto de la medicinLLn nmmmm mmii== = ==( )( ).. .21102210 0028900 000051 0 0056 c)Error relativo: eLLmmmmRm= = = 0 005653 810 0001.,, d)Error porcentual % 01 , 0 100 % = = x e eR e)El valor ms probable de la medicin es: L L L mmm= = ( , , ) 53 81 0 0056 Clculo de errores de una medicin indirecta

Sea R un a medicin indirecta que depende de X, Y y Z y esta dada por la siguienteexpresin: ) , , ( Z Y X f R = Se define el error absoluto de R a la siguiente expresin: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 43 ZZRYYRXXRR ||

\|+ ||

\|+ ||

\|= donde X, Y y Z son las incertidumbre absolutas de medir X, Y y Z directamente. Ejemplo 1: Si el volumen de un cilindro est dado por la siguiente expresin: h D V24= La incertidumbre absoluta del volumen es: hhVDDVV |||

\|+ |||

\|= h h DhD h DDV ((

|||

\|+ ((

||

\|= 2 24 4 h hh ddD D DD ddh V |||

\|+ |||

\|= ) (4) (42 2 h D D D h V + = ) 1 (4) 2 (42 h D D h D V + = 24 2 Ejemplo 2. Cul es la incertidumbre porcentual en el volumen de una esfera cuyo radio esm r ) 03 , 0 48 , 2 ( =Solucin Sabemos que el volumen de la esfera es: 3 3 389 , 63 ) 48 , 2 )( (3434m m r V = = = La incertidumbre absoluta del volumen de la esfera es: ( )3 2 2 2 332 , 2 ) 03 , 0 ( ) 48 , 2 )( ( 4 4 334) (34m m m r r r r r rr ddrrVV = = = = |||

\|= |||

\|= La incertidumbre porcentual es: % 63 , 3 10089 , 6332 , 2100 %33= == xmmxVVe APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 44 MAGNITUDES FSICAS En el Universo existen magnitudes de todo tipo: Fsicas, Qumicas, Biolgicas, Econmicas, .., etc. Nosotros slo estudiaremos los que se encuentran vinculados estrechamente con el proceso de enseanza y aprendizaje de la Fsica. Estas magnitudes se clasifican en dos formas: a)De acuerdo con su origen: i)Magnitudes Fundamentales ii) Magnitudes Auxiliares, iii) Magnitudes Derivadas b) De acuerdo a su naturaleza i)Magnitudes Escalares ii) Magnitudes vectoriales y iii) Magnitudes Tensoriales. MAGNITUDESFUNDAMENTALES.Sontodasaquellasquetienenlaparticularcaractersticadeestar presenteentodosocasitodoslosfenmenosfsicos.Estassonlabasedetodosistemadeunidades. Actualmenteparamuchoscientficosstasson:lalongitud,lamasa,eltiempo,latemperatura,lacorriente elctrica, la intensidad luminosa y la cantidad de substancia. MAGNITUDES AUXILIARES. Es un pequeo grupo que al medirse no se pueden comparar con ninguna de las magnitudes fundamentales. Ellas son: el ngulo plano y el ngulo slido. MAGNITUDESDERIVADAS.Ennmeroeselgrupomsgrande(ilimitado)enelquecadaunopuede definirse por una combinacin de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicacin, divisin,potenciacin y radicacin. Veamos algunos ejemplos: a)El rea de una superficie rectangular se consigue multiplicando dos longitudes. bA a b = . a b) El volumen de un cilindro se obtiene al multiplicar el rea de su base por su altura. h V A h r hDh D h = = = = . ( ) 2 2 22 4 D c)La densidad de un cuerpo est dado por el cociente obtenido al dividir su masa entre su volumen. =mV SISTEMA DE UNIDADES Durante la Revolucin Francesa (1790) se cre un sistema de unidades que debera ser simple y cientfico. El nombre metro fue asignado a la unidad de longitud, del vocablo griego METRON, que significa la medida. Es apartirdeestaunidadqueseestablecielsistemamtrico,elcualesunconjuntodeunidadesobtenidas mediante mltiplos y/o submltiplosde orden 10 de las unidades bsicas: metro, kilogramo y segundo. En la actualidadseutilizandosgrandessistemasdeunidades:ElSistemaInternacional(SI)yelsistemaingls (FPS) SistemaAbsoluto.Esunconjuntodeunidadesquedatadesde1820,basadoenelsistemamtrico,yque consideraba a la longitud, la masa y el tiempo como las magnitudes fundamentales, y cuyas unidades bsicas eran las que se indican: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 45 Sub SistemaLMT c.g.sCmGS M.K.S.MKg.S F.P.S.PieLbS Sistema Tcnico. Es un conjunto de unidades que considera como magnitudes fundamentales a la longitud, la fuerza y el tiempo., es muy empleado en muchos sectores de ingeniera. Sub SistemaLFT c.g.sCmgr-fS M.K.S.Mkg-fS F.P.S.Pielb-fS SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Apartirdel14deOctubrede1960,laonceavaConferenciaGeneraldePesasyMedidas(Organizacin InternacionalreunidaenPars,Francia)daaconoceroficialmenteunsistemadeunidadesbasadoenel sistemamtricodecimal,enelqueseconsideransiete(07)magnitudesfsicasfundamentalesydos(02) auxiliares o complementarias, las mismas que tendran slo una unidad bsica. La siguiente tabla muestra las siete magnitudes fundamentales del Sistema Internacional de Unidades (SI) MAGNITUD FUNDAMENTALUNIDAD BSICA NombreSmboloNombre Smbolo 1. LongitudLmetrom 2. MasaMkilogramokg. 3. TiempoTsegundos 4. Temperatura TermodinmicakelvinK 5. Intensidad de Corriente ElctricaIampereA 6. Intensidad LuminosaJcandelacd 7. Cantidad de SustanciaNmolmol Unidades Suplementarias de Sistema Internacional MAGNITUDES AUXILIARESUNIDAD BSICA NombreNombreSmbolo 1. ngulo PlanoRadianrad 2. ngulo SlidoEstereoradiansr NOTAIMPORTANTE.Almultiplicarvariasunidadesdemedida,elSIrecomiendautilizarelsiguiente orden: ( ) ............( , , ,..., exp cos) X m kgs KA cd mol radsr a b c i onentes numeria b c d e f g h i= = PREFIJOS UTILIZADOS POR EL SISTEMA INTERNACIONAL PREFIJOSIMBOLOFACTOR POR EL QUE SE MULTIPLICA LAS UNIDADES NOMBREDELVALOR NUMERICO M U L T I P L O S Yota Zeta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Y Z E P T G M K H D 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 Cuatrillon Mil trillones Trilln Mil billones Billones Mil millones Milln Mil CienDiez UNIDAD100 Uno APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 46 S U B M U L T I P L O S Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto Atto Zepto yocto d c m n p f a z y 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 Dcima Centsima Milsima Millonsima Mil millonsima Millonsima Mil millonsima Trillonesima Mil trillonesima Cuatrillonesima DEFINICIONES DE ALGUNAS UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Unidad de masa La unidad SI para lamasa, el kilogramo (kg.), se defini originalmente como la masa de un litro de agua a 4 C. Dificultades prcticas para obtener agua pura y el hecho de que en esta definicin inclua otra cantidad, la temperatura, lleg a ser reemplazado. La unidad SI de masa (1 kg.) se define actualmente como la masa de un cilindro de platino e iridio que se guarda en el Bur Internacional de Pesas y medidas de Svres, Francia. Con este estndar puede medirse la masa con una precisin de 1 en 108. A nivel atmico, es conveniente tener una unidadsecundariademasallamadaunidaddemasaatmicaunificada(u).Lamasadeundeuntomode carbono 12 es exactamente 12 u. la relacin entre estas unidades es 1 u = 1.66 x 10-27 kg. Unidad de tiempo La unidad SI para el tiempo es el segundo (s). Originalmente se defini como 1/86 400 de un da solar medio. (Al intervalo de tiempo en que el Sol alcanza el punto ms alto en das consecutivos recibe el nombre de da solar.Envirtuddelasvariacionesconlaestacinylasfluctuacionesalazar,setomaelvalormediodeun ao.)YaquelaraznderotacindelaTierrahadisminuidogradualmente,seeligieldasolarmedioel correspondiente al ao 1900. Este es un estndar difcilmente reproducible!.En 1967, se volvi a definir al segundo en trmino de cierta radiacin emitida por los tomos del cesio 133. Especficamente, en un segundo hay 9 162 631 770 vibraciones en la radiacin. El reloj atmico de cesio es tan estable que su precisin es de 1 s en 30 000 aos. Otras unidades secundarias del tiempo incluyen el minuto, la hora, el da, el ao y el siglo. Unidad de longitud La unidad SI de longitud es el metro (m). Originalmente se defini el metro (en el siglo XVIII) como la diez millonsimaparte(10-7)deladistanciadelEcuadoralPoloNorte.Ennuestrosiglo,peroantesde1960,se definicomoladistanciaentredosmarcasmuyfinasenunabarradeplatinoeiridioconservadaen condicionescontroladasenSvres,Francia.Elusodelabarraestndartenadosinconvenientes.Primero, aunquelamayoradelospasesindustrializadosdisponandecopiasdeestabarra,erapreferibletenerun estndar que pudiera reproducirse n un laboratorio bien equipado. Segundo, el ancho de las marcas se volvi unfactorlimitante.As,en1960elmetroestndarsemidiconlamayorprecisinentrminosdelnmero nmerodelongitudesdeondadelaluzanaranjadaemitidaporelkriptn86.Sedefinientonceselmetro como 1 650 763.73 longitudes de onda de esta luz. Cuando las tcnicas se mejoraron (a travs del desarrollo del lser) , la precisin con que poda especificarse la longitud de onda de kriptn se volvi una limitacin. En 1983 se redefini el metro como la distancia recorrida por la luz en el vaci en 1/299 792 458 segundo. Este estndar de longitud, que depende de la definicin del segundo define que la velocidad de la luz en el vaci es exactamente de 299 792 458 m/s. La velocidad de la luz se convirti as en un estndar primario, y cualquier mejora que se haga para medir el metro o el segundo se refleja automticamente en el otro. En el sistema britnico, usado todava en varios pases, las unidades base son la libra (lb) para la fuerza, el pie (ft)paralalongitudyelsegundo(s)paraeltiempo.Virtualmente,losdatoscientficosseexpresanenla actualidad en unidades SI. CONVERSIN DE UNIDADES A menudo es necesario convertir la unidad de una cantidad fsica. Por ejemplo, se desea convertir millas por hora(millas/h)ametroporsegundo(m/s).Dadoqueunamilla=1.609km.Larazn(1.609)/(1milla),que tieneelvalordeuno,sellamafactordeconversin.Empleandoapropiadamentetalesrazones,sepuede eliminar una de las unidades para obtener otra. Esto es: APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 47 smshorakmmmillakmhoramillashoramillasv 2 . 2 )36001)(11000)(1609 . 1)(10 . 5( 0 . 5 = = = Cuandoelestudiantesustituyaenunaecuacin,procurenomezclarunidadesSIconunidadesdelsistema britnico. NOTACIN EN POTENCIAS DE 10 Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS SupongaqueselepideaUd.comparareltamaodeuntomode0.0000000002m con el de un ncleode0.000000000000005m.Esdifcilmanejarestosnmerosexpresadosenestaforma.Conviene as, emplear la notacin de potencia de diez para expresar nmeros muy grandes o muy pequeos. As, pues el tamao del tomo es 2 x 10-10 m y el del ncleo 5 x 10-15 m; la razn de los tamaos es: 2 105 102510 0 4 10 4 10101510 15 5 4xxx x x += = = . A menudo es conveniente designar la potencia de diez por un prefijo en la unidad. Por ejemplo, la palabra kilo significa mil, de modo que 2.36 kN = 2.36 x 103 N; mili significa una milsima, de modo que 6.4 ms = 6.4 x 10-3 s. Losvaloresnumricosobtenidosapartirdemedicionessiempretienenalgunainexactitudoincertidumbre. Por ejemplo, el resultado de una medicin puede ser 15.6 m con una incertidumbre de 2 %. Como el 2 % de 15.6 es aproximadamente 0.3, el resultado es (15.6 0.3) m. El valor verdadero se encontrar entre 15.3m y 15.9m.Enlugardeunaespecificacinexplcitadelaincertidumbre,laprecisindeunresultadosuele indicarse por el nmero de dgitos retenidos. Decimos que 15.6 tiene tres cifras significativas, entendindose que la ltimacifra (6) puede no ser exacta. El resultado 15.624 tiene cinco cifras significativas, con laincertidumbre en el 4. Los ceros que sirven slo para indicar la potencia de 10 no cuentan, pero si los que se encuentranalfinal.Porejemplo,0.0002560tienecuatrocifrassignificativas.Elnmerodecifras significativas de 12 000 no est claro, mientras que 12 000.0 tiene, definitivamente, seis cifras significativas. Lanotacinenpotenciasde10estilenestoscasos.As,1.2x104tienedoscifrassignificativas,mientras que 1.200 x 104tiene cuatro. Para asegurarse de que los resultados no se especifiquen con precisin injustificada,puede emplearse la regla siguiente: En productos y divisiones, el nmero de cifras significativas en el resultado final deber ser igual al factor con el nmero de cifras significativas. As, por ejemplo, 36 479 2 614 856 387 6 4. ... .x= = Aunque las cifras extra pueden conservarse en los pasos intermedios, la respuesta ser de 2.6, esto es, con dos cifrassignificativas.Ensumasyrestas,sloseconservarelltimonmeroenloslugaresdecimales.As, 17.524+2.4-3.56=16.364=16.4.Amenosqueseindiquelocontrario,puedesuponersequetodoslos valores dados son lo suficientemente precisos como para que la respuesta final tenga tres cifras significativas. As, 5 m se tomar como 5.00 m ORDEN DE MAGNITUD Es necesario tener una idea clara de lo grande o pequeo que es un nmero escrito en notacin cientfica, al mismo tiempo que es importante referirnos a su orden de magnitud, o sea, a su valor aproximado, utilizando nicamente la potencia de 10; as, en: 1 000 000 = 106, su orden de magnitud es 106 (millones) 255 = 2,55 x 102, su orden de magnitud es 102 (centenas) 0,75 = 7,5 x 10-1, su orden de magnitud es 10- 1 (dcimas) 0,000 03 = 3 x 10-5. Su orden de magnitud es 10- 5 (cienmilsimas) Amenudoomosdecirquesontrilloneslasestrellaseneluniversooqueunamontaapesabillonesde toneladas. La palabra trilln y billn en realidad quiere decir muchos, muchsimos, .. si que tenga un sentido intuitivo de la razonabilidad de las afirmaciones. Aunque tales cifras rebasan nuestra imaginacin, es posible llegar a una estimacin burda del tamao de alguna cantidad. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 48 Para hacerlo el cientfico piensa en rdenes de magnitud. Esto significaque desea tener una idea aunque vaga deltamaodealgunacosaslodentrodeunfactorde10.Unaestimacindelordendemagnituddealgn fenmenocomplejo,implica,porlogeneral,conocimientosyexperienciaparasaberqueesimportantepara nuestroobjetivoyqunoloes.Resultairnicoqueenestacienciaexactacomoeslafsica,amenudoal fsicoselerespetapordarrpidasestimacionesdeordenesdemagnitud,estoes,porserinexactos.Esta habilidad le permite ahorrarse todo el palabrero de una presentacin, y juzgar mediante el clculo hecho en el reverso de un sobre si una teora es razonable. Paraobtenerunaestimacindelordendemagnitud,losdatosdeberntenerprecisamenteunacifra significativa. Por ejemplo: 1937 39 648 712 10 4 1091 102 13. ..( )( ) x x xx Paraciertospropsitosestoestarasuficientementecercanoalarespuestacorrecta,queseraalrededorde 881. Supongamos que un cientfico o un ingeniero desean medir alguna cantidad fsica o construir un instrumento. Al hacer un clculo del orden de magnitud basado en la sensibilidad de un instrumento, las propiedades de los materialesquevaautilizar,eltamaodelmismofenmeno,yassucesivamente,puedejuzgarsela factibilidad de un proyecto. Veamos un ejemplo al respecto. Ejemplo.Uningenieroquieredisearunmarcapasoparapacientescardiacos.Paraunamujerde20aos, cuntas veces deber el dispositivo latir para que la persona tenga una esperanza normal de vida? Solucin Se necesitan varios clculos: 1)Si la persona vive hasta los 75 aos, el dispositivo deber durar, por lo menos, 60 aos. 2)Cuntasvecesporsegundodeberlatireldispositivo?Elritmonormalenunapersonaesdeuna76 pulsaciones por minuto; es decir, alrededor de un latido por segundo. 3)Cuntos segundos hay en un ao?

( )( )( ).365 24 3600 3 107diasaohorasdiaseghoraxsegao 4)El nmero total de pulsaciones es: (.)(( )(.) 1 60 3 10 2 107 9pulsacionsegaos xsegaox pulsaciones Seraprudenteincluirunfactordeseguridadde,digamos,2,porejemplo.Enconsecuenciaelmarcapasos deber efectuar 4 x 109 pulsaciones antes de dejar de funcionar. Debecultivarseelhbitodeconocerlosrdenesdemagnituddecantidadesfsicasqueseusan frecuentemente, como el tamao de un tomo, del ncleo, la masa y la carga de un electrn, la velocidad de la luz, la masa y el radio de la Tierra, la distancia al Sol, etctera. Esto ayuda a desarrollar la visin y tambin evita que caigamos en respuestas absurdas. A menudo, despus de un clculo que implicara slo un pequeo error,unestudiantepodraafirmarqueladeflexindelelectrnenuntubodetelevisinesde10+12m.Un momento de reflexin revelara que esta cantidad es mayor que la distancia de la Tierra al Sol. APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 49 ANALISIS DIMENSIONAL El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto deleyes,reglasypropiedadesenuncampopropiamentematemtico.Talestudiosehacebsicamentepara descubrir valores numricos de los que en adelante llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen como exponentes de los smbolos de las magnitudes fundamentales. Un anlisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes fsicas nos permitir: 1)Relacionar una magnitud fsica con otras elegidas como fundamentales. 2)Establecer el grado de verdad de una frmula. 3)Elaborar frmulas empricas para fenmenos de simple desarrollo. FRMULAS EMPRICAS Esaquellarelacinobtenidaenbaseaunacomprobadadependenciadeunamagnitud(a)conotras magnitudes (b,c,d,..), las mismas que se podrn relacionar mediante una constante numrica (k), tal que: a k bc dx y z= donde x, y y z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad. FRMULAS DIMENSIONALES Designamosconestenombreaaquellasrelacionesdeigualdadmediantelascualesunamagnitudderivada quedaexpresadaenbasealasmagnitudesfundamentalesdeunmodogeneral.As,sixesunamagnitud derivada, se establece que [x] es la frmula dimensional de x, tal que: [ ] x LMT I J Na b c d e f g= Aqusedebereflexionarentornoa:Lasfrmulasdimensionalesseobtienenapartirdefrmulas matemticas o fsicas Ejemplos a)Para hallar la frmula dimensional del rea debemos de seguir el siguiente procedimiento: b i)Figura geomtrica: Rectnguloa ii) Frmula matemtica: A = a.b iii) Frmula dimensional: [A] = [a][b] = L L = L2 b)Para hallar la frmula dimensional del volumen de un cuerpo. i)Figura geomtrica: Paraleleppedoc ii) Frmula matemtica: V = a.b.cb iii) Frmula dimensional: [V] = [a] [b] [c] = L L L = L3 a ECUACIN DIMENSIONAL. Es aquella igualdad matemtica que muestra la relacin que existe entre una magnitud derivada y las que asume como magnitudes fundamentales. La dimensin de una magnitud fsica se representa del siguiente modo: Sea A la magnitud fsica, entonces, la dimensin de la magnitud fsica A o ecuacin dimensional de A es: [A] Ejemplos: 1.[Longitud] = L 2.[masa] = M 3.[tiempo] = T 4.[intensidad de corriente] = I 5.[temperatura] = 6.[intensidad luminosa] = J 7.[cantidad de sustancia] = N APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 50 REGLAS IMPORTANTES 1)Las magnitudes fsicas as como sus unidades no cumplen con las leyes de la adicin o sustraccin, pero si con las dems operaciones aritmticas. a)L2 +L2+L2=L2 b) LT-2-LT-2 =LT-2 2)Todos los nmeros en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y sus frmulas dimensionales es la unidad. a)[ ] 3 1 = b)[ ] 2 1 rad =c)[sen ] 45 1 =d)[log ] 55 1 = PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Toda ecuacin ser dimensionalmente correcta si los trminos que componen una adicin o sustraccin son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes. Si: A = B + C + D + E + Entonces dimensionalmente se debe cumplir que: [A] = [B] = [C] = [D] = .. FINES Y OBJETIVOS DEL ANLISIS DIMENSIONAL 1.Expresar las magnitudes derivadas en funcin de las denominadas magnitudes fundamentales 2.Comprobar la veracidad de las frmulas fsicas mediante el principio de homogeneidad dimensional 3.Determinar frmulas empricas a partir de datos experimentales ECUACINEMPRICA.Esaquellarelacinobtenidaenbaseaunacomprobadadependenciadeuna magnitud(a)conotra(b,c,d),lasmismasquesepodrnrelacionarmedianteunaconstantenumrica(k)tal que: a kb c dx y z= donde x, y, z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad. EJERCICIOS RESUELTOS 1.La potencia de una hlice de un helicptero viene dada por la siguiente frmula: P kRx y z= donde:kesunnmero,Reselradiodelahliceenm,eslavelocidadangularenrad/syesla densidaddelaireenkg/m3.Utilizandoanlisisdimensionalencontrarlaecuacinempricaparala potencia de la hlice. Solucin Sabemos que:P kRx y z= Dimensionalmente: [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )P kRP k RML T L T MLML T ML Tx y zx y zx y zz x z y==== 2 3 1 32 3 31 APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 51 Igualando exponentes: ParaM zParaL x zPara T y:::12 33== = Desarrollando el sistema de ecuaciones tenemos:5 = x ,3 = y ,1 = z Por tanto la ecuacin correcta es:P k R =5 3 2.Cincomedicionesdeunalongituddanencm:50,3;52,7;55,0;57,6y59,4.(a)Encontrarelvalor mediodelamediciny(b)Encontrarlaincertidumbreabsolutadelamedicin,(c)Encontrarla incertidumbrerelativadelamedicin,(d)Encontrarlaincertidumbreporcentualdelamedicin.(e) Qu valor tiene el periodo del pndulo simple para esta longitud promedio. Solucin Tabla estadstica: NLi (cm) L (cm)( L)2 cm2 150,3-4,722,09 252,7-2,35,29 355,00,00,00 457,62,66,76 559,44,419,36 275,053,5 a)Valor medio de la longitud: cmcmnLLi0 , 5550 , 275= = >= < b)Error absoluto de la longitud ( )cm cmcmN NLLi6 , 1 675 , 2205 , 52) 1 (222= = == c)Error relativo de la longitud 029 , 00 , 556 , 1= => 0 es perpendicular al vector b(6,-9,6). 117.Demustresequesilasumaydiferenciadedosvectorestienenelmismomdulo,entoncesson perpendiculares. 118.Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular al vector v = 2i + j 3k. 119.Dado el vector v = 4i j + 2k, calcular su proyeccin sobre la recta que pasa por los puntos A(0,1,2) y B(2,2,1). 120.Se tienen los vectores v1 = 2i 2j + k y v2 = i 2j, aplicados en el origen de coordenadas. Calcular lascomponentesdelvectoru,unitario,pertenecientealplanodeterminadoporv1yv2,y perpendicular al vector v = v1 2v2. 121.Dados los vectores a(2,1,-3) y b(1,0,-2); hllese un vector unitario que sea perpendicular a ambos. 122.Dadoslossiguientesvectores:a=1/7(2i+3j+6k),b=1/7(3i6j+2k),c=1/7(6i+2j3k), demustrese: (a) Que sus respectivos mdulos valen la unidad. (b) Que son perpendiculares entre si. (c) Que c es el producto vectorial de a por b. 123.Sielproductovectorialdedosvectoresaxb=3i6j+2kysusmdulosson4y7 , respectivamente, calcular su producto escalar. 124.Dadoslosvectores:a(2,-1,0),b(3,-2,1).Calcular:(a)(a+b).c(b)(ab)xc(c)(axb).c (producto mixto) = abc (d) (a . b)c (e) (a x b) x c (doble producto vectorial). 125.Dados los vectores: a(1,0,-1), b(1,3,0), c(2,-1,1) y d(0,-2,-1). Calcular: (a) (a . b) (c . d) (b) (a x b) . (c x d) (c) (a . b) (c x d) (d) (a x b) x (c x d). 126.Demustrese que si a + b + c = 0, se verifica que a x b = b x c = c x a. 127.Demostrar las identidades de Lagrange: (a x b)2 + (a . b)2 = a2 b2, siendo (a x b)2 = (a x b) . (a x b) y (a . b)2 = (a . b) (a . b) 128.Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifica: (axb)x(cxd) = (abd)c- (abc)d. 129.DefinidousistemadereferenciacartesianoenelplanoOXY;yeneldosvectoresunitarios cualesquiera u1 y u2 que forman los ngulos y respectivamente con la direccin positiva del eje OX.(a)Demostrarque:u1=cosi+senjyu2=cosi+senj(b)Calcularporaplicacindel productoescalardeu1yu2losvaloresdecos()(c)Calcularporaplicacindelproducto vectorial de u1 y u2 los valores de sen ( ). APUNTES DE FISICA I ING. ELECTRONICA MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICOUPAOSEMESTRE2011-1 78 130.Dadoslosvectoresa(1,3,-2yb(1,-1,0).Calcular:(a)Suproductovectorial.(b)Elreadel paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados. (c) Un vector c de modulo 6, perpendicular al plano en que se encuentra a y b. 131.Calcular el volumen del paraleleppedo de la figura sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1), expresado en metros. 132.Los tres vrtices de un triangulo son: A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular: (a) rea del triangulo, (b) Angulo A. 133.TresvrticesdeunparalelogramoABCDtienenporcoordenadasA(2,0,2),B(3,2,0),yD(1,2,-1). Calcular: (a) Las coordenadas del vrtice C. (b) rea del paralelogramo. (c) Angulo en B. 134.Deducir la ley de los cosenos de un triangulo, por medio del producto escalar. 135.Deducir la ley de los senos de un triangulo por medio del producto vectorial. 136.Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto. 137.Se tienen tres vectores no coplanares OA = a,OB = b y OC = c. Designamos por M el punto medio delsegmentorectilneoAByporGelbaricentrodeltrianguloABC.Sepideobtenerrazonaday sucesivamente: (a) Expresin de OM en funcin de a y b. (b) expresin de MC en funcin de OM y c, as como la de GC en funcin de MC. (c) Expresin de OG en funcin de a, b y c. TEORIA DE MOMENTOS 138.El origen de un vector es el punto A(3, -1,2) y su extremo B(1,2,1); calcular su momento respecto a C(1,1,2) 139.El punto de aplicacin del vector v(6, -3, 4) es el P(3, -6, 2) referidos a un sistema OXYZ. Calclese: (a) Momento del vector respecto al origen O. (b) Momento del vector respecto al punto O(2,3,1). 140.Hallarelvalordelaexpresin:axNcsiendo:a(2,-1,2);b(1,-2,1)yNcelmomentodelvectorb aplicado