01-Muestreo1

MUESTREO Y PREPARACIÓN DE MUESTRAS DE MINERALES

HUGO CARCAMO G.

Estadística aplicada al Muestreo

Medidas de Tendencia Central

Media Aritmética.- Si se tienen n valores de n mediciones, la media aritmética se obtiene sumando estos valores y dividiendo por el número total de datos.

n

iiXn

X1

1

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

4 + 8 + 4 + 6 + 7 + 5 +6 +8 +7 + 6 10

Observación.- Este estadístico es poco robusto a la presencia de datos anómalos

La media aritmética es 6,1

X


Mediana.- Los resultados se ordenan de menor a mayor, Si el total de datos es un número impar, entonces la mediana corresponde al valor central de estos datos. Si el total de datos es un número par, entonces la mediana corresponde al promedio de los dos datos centrales.

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

4 4 5 6 6 6 7 7 8 8

La mediana es 6

Observación.- Este estadístico es mucho más robusto a la presencia de datos anómalos que la media aritmética.


Moda.- Es el número que más se repite en la serie

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

4 4 5 6 6 6 7 7 8 8

La moda es 6


Media Cuadrática.- Los datos se elevan al cuadrado y después se suman.

n

iiC X

nX

1

21

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

2,6CX

)6786576484(10

1 2222222222 CX


Media Geométrica.- Se determina el logaritmo a cada resultado, después se suman y se dividen por el número de datos.

n

iiG X

nX

1

log1

log

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

)6log7log8log6log5log7log6log4log8log4(log10

1log GX

7734,0log GX 7734,010GX 9,5GX


x~

x~ Mediana

x Media Aritmética

x̂ Moda

Medidas de Dispersión

Desviación estándar.- Estima la dispersión de los resultados alrededor de su valor medio y se expresa como:

1

)(1

2

n

xxs

n

ii

donde n-1 son los grados de libertad, es decir el número de estimaciones independientes que pueden obtenerse a partir de un conjunto específico de datos.

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

110

)1,66(.....)1,68()1,64( 222

s 449,1s

n

xxs

n

ii

1

2)(población Muestra

Varianza.- Es la desviación estándar al cuadrado, y se expresa como:

donde n-1 son los grados de libertad, es decir el número de estimaciones independientes que pueden obtenerse a partir de un conjunto específico de datos.

1

)(1

2

2

n

xxs

n

ii

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

110

)1,66(.....)1,68()1,64( 2222

s

100,22 s

Recorrido o Rango.- Es la diferencia entre el resultado más alto y el más bajo.

R = xsup – xinf

Observación.- La desventaja de utilizar este estadístico, es que cuando se considera un número grande de datos, existe más probabilidad de obtener valores anómalos que distorsionen el recorrido. Por lo tanto es un estadístico poco robusto en comparación a la desviación estándar y a la varianza.

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

Rango = 8 – 4

Rango = 4

Desviación Estándar Relativa.- También conocida como Coeficiente de Variación. Es un estadístico que relaciona la desviación estándar con la media aritmética

x

sDER

x

sCV

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

4 + 8 + 4 + 6 + 7 + 5 +6 +8 +7 + 6 10

X

110

)1,66(.....)1,68()1,64( 222

s 449,1s

1,6X

1,6

449,1CV 238,0CV

Error Relativo.- Es un estadístico que relaciona el rango estándar con la media aritmética

x

RER

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

1,6

48 RE 656,0RE

Varianza Relativa.- Es un estadístico que relaciona la varianza con la media aritmética al cuadrado, o en otras palabras es la desviación estándar relativa al cuadrado.

2

2

x

sVR

2

x

sVR 2CVVR 2DERVR

Ejemplo:

Datos: 4, 8, 4, 6, 7, 5, 6, 8, 7, 6

21,6

100,2VR 056,0VR

Algunos Ejemplos de aplicación

Variabilidad del Error Relativo Absoluto entre Duplicados en base al Promedio de los Resultados

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121

Nº correlativo según Tabla Nº 1

% E

rro

r re

lativ

o A

bso

luto

Promedio + 1 sigma

Promedio + 3 sigmas

Promedio + 2 sigmas

Promedio

0,01 <= %Cu T < 0,50

0, 50 <=%Cu T < 1,00

1, 00 <=%Cu T < 5,00

La desviación estándar no es aditiva

Cuando se deben sumar los errores, lo que se deben sumar son las varianzas, no las desviaciones estándar.

Ejemplo:

Error de Muestreo 1°: 15 %



Error Total = (0,15)2 + (0,08)2 + (0,04)2

Error Total = 17,5 %

La desviación estándar como medida del error

Cuando queremos expresar la d.e. en función de la confianza o probabilidad tenemos que tomar en cuenta el tipo de distribución

Propiedades de la Distribución Normal

68 %

95 %

99,7 %

Población y Muestra

Población.- es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia).Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.

Muestra.- es un subconjunto suyo al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones)Debería ser “representativo”Esta formado por miembros “seleccionados” de la población (individuos, unidades experimentales).

Cuando nos referimos a variables de la población hablamos de parámetros. En cambio cuando nos referimos a las variables de las muestras hablamos de “estadísticos “ o “estadígrafos”.

Teorema Central del Límite

X11

X21

…

Xn1

X1

X2

…

Xn

X1

X2

…

Xn

2XnX

………………..

1X

X N(,2/n)

X U(,2)

Teorema Central del Límite

X X

Cuando se determina la varianza de un número pequeño de muestras que tienen una distribución normal, la varianza puede que no represente la curva de Gauss. En este caso, se utiliza el factor de corrección t - student

t-student

Distribución t-student

zt

Cuanto , entonces t z

Conceptos básicos relacionados con el Muestreo de Minerales

LOTE

Se refiere a una cantidad de materia a ser muestreada, cuya composición se quiere estimar.

Ejemplos:

30.00 Toneladas de mineral en un acopio

3 m de profundidad en una mina subterránea

500 toneladas de concentrado que pasan a través de una correa transportadora

1 par de cátodos de cobre

1 submuestra del laboratorio.

Es la cantidad definida de material, cuya calidad se presume uniforme.

INCREMENTO

Una cantidad de materia seleccionada mediante un dispositivo de muestreo en una sola operación.

MUESTRA

Una cantidad de materia que es extraída de un lote, a menudo obtenida mediante la reunión de distintos incrementos o fracciones del lote

CARGAMENTO

Es la cantidad de material entregado en una sola partida. El cargamento puede consistir en uno o más lotes o partes de lotes.

Ejemplo:

- El cargamento de una motonave- El cargamento de un tren- El cargamento de un acopio de material en canchas.

PROTOCOLO DE MUESTREO

Es un procedimiento de tipo secuencial que tiene por objeto visualizar los pasos que se deben de seguir hasta conseguir el producto.

PROTOCOLO DE MUESTREO

Lote

Muestra Primaria S1 Rechazo Primario

Muestra Primaria Preparada S´1

Muestra Secundaria S2

Muestra Secundaria Preparada S´2

Rechazo Secundario

Muestra para Laboratorio S3

Submuestra analítica S4

Rechazo Terciario

Muestra Terciaria Preparada S´3

Rechazo Terciario

Análisis S4

Resultado Final

COMPONENTE

Se refiere a una parte elemental o a un constituyente que puede ser separado y cuantificado mediante análisis.

Existen componentes químicos y componentes físicos.

Ejemplos:

El contenido de cobre en un concentrado.

La proporción de partículas bajo 150 mallas Tyler en un mineral.

Componente crítico

Es un componente químico o físico de interés cuya proporción es altamente relevante que debe ser estimada.

HETEROGENEO Y HOMOGENEO

Se refiere a una parte de materia

Heterogéneo Homogéneo

REPRESENTATIVIDAD

Una muestra es representativa cuando representa una masa mayor de material con sesgo y precisión dentro de límites aceptables.

% CuMuestreo

Preparación

Análisis Químico

ESPECÍMEN

Es una parte del lote que se ha obtenido sin respetar las reglas de la teoría del muestreo, que se basa en el concepto de equiprobabilidad.

Un especímen no debe usarse nunca para representar un lote, y debe ser denominado en todo momento como tal.

Su propósito es sólo cualitativo

En el fondo es una muestra no representativa

SESGO

La diferencia entre el centro de la distribución de los valores medidos y el valor real.

Otra definición:

La diferencia estadísticamente significativa entre la media de los resultados y un valor de referencia aceptado (ISO 13293)

La existencia de sesgo siempre está relacionada con un muestreo incorrecto

Usualmente, cuando se ha realizado un muestreo correcto no se espera encontrar sesgo en una cantidad significativa

DE + EE + WE + PE = NO SIGNIFICATIVO

PRECISIÓN

El grado de dispersión de los valores medidos

(JI 8100:1992)

Diferencia entre insesgado y exacto

(Según Pierre Gy)

La media del error no es igual a cero

La media del error es igual a cero

INSESGADOEXACTO

MUESTRA EQUITATIVA

Una muestra es equitativa cuando es reproducible y suficientemente exacta para satisfacer los requerimientos del cliente.

Representaciones gráficas de los conceptos de Exactitud y Precisión en el Muestreo

No es real. Un caso límite nunca encontrado

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B

CuT (Lab A, Lab B) 1:1

El Muestreo es exacto, insesgado, y perfectamente reproducible.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B


El Muestreo es exacto y es reproducible

El muestreo no es exacto, porque no existe correlación entre ambas series de resultados.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B


El Muestreo no es reproducible.

Este caso no es real. El sesgo puede deberse a un error analítico.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B

CuT (Lab A, Lab B) 1:1 Lineal (CuT (Lab A, Lab B))

El Muestreo está sesgado, pero es reproducible (Sesgo Absoluto).

Este caso no es real. El sesgo puede deberse a un error analítico y no de muestreo.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B


El Muestreo está sesgado, pero es reproducible (Sesgo Relativo).

Este caso no es real. Puede deberse a un error analítico.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B

CuT (Lab A, Lab B) 1:1 Lineal (CuT (Lab A, Lab B))

El Muestreo está sesgado y es reproducible, pero sigue una ley desconocida

Este es el caso más frecuente encontrado en muestreo..

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Lab B


El Muestreo está sesgado y no es reproducible.

TIPOS DE MUESTREO

Muestreo aleatorio.- Todas las unidades que constituyen el universo a estudiar, tiene la misma probabilidad de ser tomadas como muestra.

Muestreo sistemático.- Se toman los incrementos a intervalos fijos en cantidad o en tiempo a partir del lote.

Muestreo estratificado.- Se divide el lote en distintos estratos, luego se toman los incrementos al azar a partir de cada estrato

Muestreo en dos etapas.- Es el muestreo que se lleva a cabo en dos etapas. En una primera etapa se seleccionan al azar las unidades primarias de muestreo y en una segunda etapa se toman incrementos al azar de las unidades seleccionadas.

Palas de Muestreo

Palas de Muestreo

ALGUNOS DISPOSITIVOS MANUALES DE MUESTREO

Capacidad de las palas para toma de incrementos

Palas para reducción mediante incrementos

ALGUNOS DISPOSITIVOS MANUALES DE MUESTREO

Tamaño de partícula de la muestra,número de la pala para reducción por incrementos y espesor de la muestra extendida

Métodos de División de muestra

MÉTODOS DE DIVISIÓN (SEGÚN JIS 8100 : 1992)

Métodos de división por incrementos

Método de cono y cuarteo

Método de la pala alternada

Métodos de división por rifles

Métodos de división mediante aparatos mecánicos

DIVISIÓN POR INCREMENTOS (SEGÚN JIS 8100 : 1992)

Esparcir la muestra gruesa ya chancada en una superficie limpia y lisa formando un rectángulo como el de la figura. El espesor deberá estar de acuerdo a tabla JIS

Dividir la muestra en 20 partes iguales formando una cuadrícula 5 x 4

a) Caso en que se lleva la división sobre una muestra bruta de una consignación (Ejemplo: arreglo de 20 partes)


Tomar una palada completa de muestra al azar de cada una de las 20 partes insertando la pala hasta el fondo de la muestra y luego combinar las 20 paladas.


Esparcir el incremento en una superficie limpia y lisa formando un rectángulo como el de la figura. El espesor deberá estar de acuerdo a tabla JIS

b) Caso en que se lleva la división sobre incrementos individuales tomados de una consignación (Ejemplo: arreglo de 4 partes)

Dividir la muestra en cuatro cuartos.


Tomar una palada al azar una a la vez, de cada división, empujando la pala de incremento hasta el fondo de la muestra y reúnala en una muestra aparte

MÉTODO DE LA PALA ALTERNADA (SEGÚN JIS 8100 : 1992)

Apilar una muestra ya molida formando un cono sobre una superficie dura, limpia y plana

Repetir la operación de 1 en otro lugar una vez más


a) Tomar una palada de muestra del cono y espárzala a lo largo formando una capa delgada

b) Formar una pila grande depositando la capa larga delgada arriba de la anterior

Tomar una palada de muestra una por una desde los alrededores de la pila grande y amontone alternadamente las paladas de muestra en dos conos, como se muestra en 5


Guardar un cono de los dos y descartar el otro

Repetir el procedimiento del 1 al 5 con la mitad de la muestra

MÉTODO DE CONO Y CUARTEO (SEGÚN JIS 8100 : 1992)

Apilar una muestra ya molida formando un cono sobre una superficie dura, limpia y plana

Aplastar el cono de 1 y repetir la operación anterior una o dos veces más en otro lugar.


Aplastar el cono, empujando desde la cima hacia abajo en forma vertical y luego dividir la muestra en 4 partes iguales a partir del centro.


Retener dos sectores diagonalmente opuestos A y A´. y descartar B y B´.

Repetir la operación de 1 a 5 con la mitad de la muestra

1.- Mezclar la muestra y formar una pila en forma de cono sobre una superficie limpia, dura y plana.

2.- Tomar paladas sucesivas desde la base de la pila, trabajando alrededor de la base.

3.-Seleccionar la pila a ser retenida.

MÉTODO DE PALEOS ALTERNADOS (SEGÚN ISO 12743 : 1998)

MÉTODO DE DIVISIÓN POR RIFLES (SEGÚN JIS 8100 : 1992)

DIVISOR DE RIFLES

DIVISOR DE RIFLES

Tamaño de partícula y clasificación de muestreadores tipo rifle

Reductores de Muestra (Divisores)

DIVISOR DE RIFLES

DIVISOR ROTATORIO

REDUCTOR TIPO CORREA - RANURA

REDUCTOR TIPO CORTADOR ROTATORIO

REDUCTOR TIPO CONTENEDOR ROTATORIO

REDUCTOR TIPO CONO ROTATORIO

REDUCTOR TIPO PLATO ROTATORIO

REDUCTOR TIPO SNYDER

REDUCTOR TIPO TABLA SEPARADORA

REDUCTOR TIPO TOLVA ROTATORIA

Tipos de cortadores

CORTADOR EN LÍNEA TIPO CHUTE (LINEAL)

CORTADOR EN LÍNEA TIPO CHUTE (RADIAL)

CORTADOR TIPO CAJA

CORTADOR TIPO ALIMENTADOR Y TIPO RASPADOR

CORTADOR TIPO DIVISOR

Introducción a la Teoría del Muestreo de Pierre Gy

Distribución Heterogénea

a1 a2≠


Constitución Heterogéneaa1 a2≠

Distribución Heterogénea



a1 a2=


Mientras menor sea el tamaño de las partículas, mayor probabilidad habrá de que la muestra que se extraiga después de homogenizar sea representativa del lote.

Conclusión

Generalmente se debe reducir el tamaño de las partículas antes de extraer una muestra o dividir lal muestra.

La regla básica para un método de muestreo correcto es que todos los posibles incrementos que provienen del material tengan la misma probabilidad de ser seleccionado y aparecer en la muestra.

Cualquier desviación a esta regla básica puede resultar en un sesgo.

Por lo tanto, un esquema de muestreo incorrecto no puede proporcionar muestras que sean representativas.


Tipos de Errores

1.- Error Fundamental

TIPOS DE ERRORES

El error total de muestreo está conformado por los siguientes errores:

2.- Error de segregación y agrupamiento

3.- Error de variación de largo plazo

4.- Error de variación periódica

5.- Error de pesada

6. -Error de delimitación

7.- Error de extracción

8.- Error de preparación

Error Fundamental

La constitución heterogénea se debe a las diferencias que se observan dentro de un fragmento o partícula respecto de otra, en cuanto a:

FormaTamañoDensidadOtras propiedades físicasComposición mineralógicaComposición química

El mezclado y la homogenización no tienen influencia sobre la heterogeneidad de constitución

La C. Heterogénea es la responsable del Error Fundamental

Error Fundamental

El Error Fundamental es el error mínimo de muestreo que estaría involucrado si pudiéramos seleccionar cada fragmento al azar.

Para un peso dado de muestra, el FE es el error mínimo de muestreo que estaría involucrado en el protocolo de muestreo, si ese protocolo fuera implementado en forma correcta.

Por lo tanto, para un estado de conminución dado, y un peso dado, es el error de muestreo más pequeño posible.

El FE puede ser pequeño para constituyentes mayores y materiales finos, pero puede llegar a ser muy importante para constituyentes menores.

Por lo tanto, el mezclado y la homogenización no pueden reducir el FE

Error Fundamental

Error de segregación y agrupamiento

¿Qué es la segregación?

Es la separación de las partículas de material debido a sus diferentes pesos.

Las partículas más pesadas tienden a depositarse en el fondo por efecto de la fuerza de gravedad.


Segregación debido a la distinta densidad de los fragmentos


Suponiendo que las partículas tienen la misma densidad

Segregación debido a la diferencia de tamaño de los fragmentos


Segregación debido a partículas con diferentes ángulos de reposo


En pequeña escala, la distribución heterogénea es la responsable del error de segregación y agrupamiento

Tres precauciones son necesarias para minimizar el error GE:

3. Homogenizar el material antes de tomar los incrementos

1. Optimizar el peso de muestra

2. Incrementar el número de incrementos por muestra


Para minimizar los errores generados por la CH

Incrementar el número de fragmentos por muestras

Para minimizar los errores generados por el factor de segregación

Homogenizar el lote antes de muestrear

Para minimizar los errores generados por el factor de agrupamiento

Recoger tantos incrementos como sea posible

Error de Materialización

Corresponde al:

Error de Extracción

Error de Delimitación

Probablemente no hay otra fuente responsable como muchas para generar sesgo en el muestreo que los errores generados por la materialización de los incrementos que conforman la muestra.

Error de Materialización

El proceso de muestreo mediante incrementos puede descomponerse en una secuencia de 4 pasos elementales e independientes

1.- El punto de selección.- Un cierto número de puntos se seleccionan a través del lote a muestrear, de acuerdo a un cierto modo de selección

2.- La delimitación del incremento.- en su movimiento relativo a través del lote, la herramienta de muestreo delimita los límites geométricos del incremento

3.- La extracción del incremento.- En su penetración material a través del lote, la herramienta de muestreo extrae una cierta cantidad de fragmentos, líquido o gas.

4.- La reunión del incremento.- La combinación y mezcla de todos los incrementos que conforman la muestra.


La delimitación de sus límites debe ser tal que todos los fragmentos del lote tengan la misma probabilidad de ser seleccionado mediante un dispositivo de muestreo.

El error de delimitación genera sesgo.


Un incremento no puede ser extraído correctamente si el dispositivo de muestreo no preserva la integridad del incremento delimitado correctamente.

El error de extracción genera sesgo.

Delimitación del Incremento

Para un lote de 3 dimensiones

P3

P1P2

P = P1 = P2 = P3

Extracción del Incremento

Idealmente en un lote 3D deberíamos considerar una esfera.

Cualquier fragmento cuyo centro de gravedad está afuera de la esfera imaginaria deberá quedar afuera y viceversa


Para un lote de 2 dimensiones

P3

P1P2

P = P2 = P3

P1 = 100 %


Para un lote de 1 dimensión

P3

P1P2

P = P3

P1 = P2 = 100 %

Extracción del Incremento

Regla del centro de gravedad o efecto del rebote

Esta regla señala que el fragmento tiene la misma chance de ser muestreado que ser dejado fuera del incremento si golpea en el borde del dispositivo de muestreo

Esta regla no se cumple si:

-- La abertura del cortador (W) es muy pequeña

-- El cortador es muy rápido

Regla del centro de gravedad o efecto del rebote

Por lo tanto, el diseño del cortador debe considerar los choques de las partículas

Extracción de la Muestra

Tubo para captar detritus


Riffle mirado desde arriba


Palas para toma de incrementos

Incorrecto Correcto

Delimitación de la Muestra

La muestra debe representar el banco


Muestreo de Pozos de Tronadura

El captador debe ser radial


Muestreo sobre una correa transportadora

La geometría de la muestra debe ser un rectángulo o un paralelogramo


Toma de submuestra en un laboratorio

Una submuestra no se debe tomar en forma superficial, sobre todo si el material está segregado

Taller N° 1

¿Es correcta esta maniobra de muestreo?


bandeja

¿Qué tipo de errores identifica si se utiliza este divisor de muestras?

INCORRECTOCORRECTO

DIVISOR DE RIFLES

Diseño de pala incorrecto y diseño de pala correcto

Pala ISO para muestreo

Pala ISO para división por incrementos

Error de Preparación

Para evitar el error de preparación se tiene que:

1.- Prevenir la contaminación

2.- Prevenir las pérdidas, principalmente de finos

3.- Prevenir la alteración de los constituyentes (degradación, oxidación o segregación)

4.- Prevenir los errores humanos

Resumen: Tipos de Errores

El Error de Muestreo (TSE) se puede descomponer en un número de componentes que corresponde a cada etapa del muestreo 1, 2,…, i, …, u.

TSE = TSE1 + … + TSEi + … + TSEu.

Donde:

TSE1 : Error del Muestreo en la etapa 1.

TSEi : Error del Muestreo en la etapa i.

TSEu : Error del Muestreo en la etapa u.

Esta descomposición es posible, a causa de que cada componente del error de muestreo es independiente.

Componentes del Error de Muestreo

Cada etapa del muestreo consiste de dos operaciones:

1. Selección (Muestreo)

2. Preparación

Dentro de este contexto, la etapa de preparación no es una operación selectiva, ya que involucra operaciones tales como:

• Chancado• Secado• División• Pulverizado


Por lo tanto:

Donde:

SE : Error de selección

PE : Error de Preparación

Algunos errores típicos de preparación incluyen:

Contaminación de la muestra, pérdidas, alteración de la composición física o química y errores propios del operador.


TSE = SE + PE

El error de selección (SE) puede descomponerse además en

Error de Integración y Error de Materialización

Donde:

CE : Error de Integración

ME : Error de Materialización

El error de Integración tiene que ver con la manera como se seleccionan los puntos de muestreo en el tiempo o en la masa.

El error de Materialización tiene que ver con la manera física en que se toman los incrementos, y pueden eliminarse mediante una correcta operación y un correcto diseño del dispositivo de muestreo


SE = CE + ME

El error de Integración también está compuesta de dos componentes causados por las variaciones en la calidad y la tasa de flujo.

Donde:

QE : Error de la variación de la calidad

WE : Error de Pesada


CE = QE + WE

Los errores de variación de la calidad son de tres tipos: de corto plazo, de largo plazo y periódico:

Donde:

QE1 : Error de variación de la calidad de corto plazo

QE2 : Error de variación de la calidad de largo plazo

QE3 : Error de variación de la calidad periódico

Las variaciones de corto plazo son el resultado de dos propiedades que se relacionan con la naturaleza del material. Estas son la composición de las partículas (Error Fundamental) y la manera como las partículas están agrupadas (Error de segregación y agrupamiento).


QE = QE1 + QE2 + QE3

Por lo tanto, el Error de variación de corto plazo está dado por:


Donde:

FE : Error Fundamental

GE : Error de segregación y agrupamiento

QE1 = FE + GE

El Error de Materialización puede descomponerse en Error de delimitación y error de extracción:


Donde:

DE : Error de delimitación

EE : Error de Extracción

El error de delimitación se elimina si todas las partes del flujo de material son interceptados por el cortador de muestra para la misma longitud de tiempo.

El error de extracción se elimina si se extraen completamente los incrementos del flujo sin que ningún material se escape del cortador

ME = DE + EE

En resumen, El Error total del Muestreo consiste en:


QE1

QE

CE ME

SE

TSE = FE + GE + QE2 + QE3 + WE + DE + EE + PE

SE + PE

Repasar



Error Sistemático

Produce SESGO

A pequeña escala, sólo la heterogeneidad de constitución es la responsable del Error Fundamental

A pequeña escala, sólo la heterogeneidad de distribución es la responsable del Error de Segregación y agrupamiento



Si el Muestreo es correcto

0

Error Fundamental


Error de variación de largo plazo

Error de variación periódica

Error de pesada

Error de delimitación

Error de extracción

Error de preparación

TIPOS DE ERRORES

Variabilidad en Pequeña Escala Variabilidad en Gran Escala

Optimizar un Protocolo de Muestreo

Error Fundamental

Error de Agrupamiento y segregación

Implementar un Protocolo de Muestreo



Errores de Preparación

Por pérdida

Por alteración

Error Humano

Por contaminación

Fraude y sabotaje

ERROR SELECTIVO ERROR NO SELECTIVO

ERROR TOTAL DE MUESTREO

ERROR DE ESTIMACIÓN TOTAL

Error Analítico

Seleccionar un Intervalo y modo de Muestreo

Error de Interpolación

Error Periódico

Error de Pesada

Según la escala de observación

En pequeña escala, si estamos interesado en la heterogeneidad entre fragmentos, en ese caso debemos considerar el lote como un conjunto discreto y continuo.

En gran escala, si estamos interesado en las variaciones de la heterogeneidad periódica y de largo plazo, se debe considerar el lote como un conjunto continuo.

Según la escala de observación

En pequeña escala, para estudiar la variabilidad (FE, GE, DE, PE, EE, AE), se debe considerar el lote como una población estadística. En este caso, el orden de los constituyentes no interesa

En gran escala, para estudiar la variabilidad (tendencias, ciclos), se debe considerar el lote como series de tiempo o espacio. En este caso, el orden de los constituyentes es relevante.

.

Estimación del Error Fundamental


32 11Cd

MMS

LSFE

Donde:

2FES Varianza del Error Fundamental

SM

LM

Masa de la Muestra

Masa del Lote

C Constante de Muestreo

d Tamaño máximo de la partícula

La fórmula para determinar el Error fundamental es:


La ecuación de Pierre Gy también se puede expresar como:

32 11fgcld

MMS

LSFE

Factor de forma

Factor dependiente del rango de tamaños

Factor mineralógico

Factor de liberación


Se utiliza una fracción de tamaño calibrada entre dos tamices.

32

22 11

CdMMx

sS

LSi

iFE

Calculado en el Test de Heterogeneidad


Si el peso del lote ML es 10 veces más grande que el peso de la muestra, MS, entonces la expresión anterior se simplifica a:

32

22 d

M

C

x

sS

Si

iFE

Calculado en el Test de Heterogeneidad

Todos los parámetros los conocemos, excepto la constante C


Factor de forma

Tiene que ve con la forma de las partículas.

Se considera f = 0,5 para partículas perfectamente esféricas.


Factor de Composición mineralógico

Este factor se puede calcular de la siguiente ecuación:

a

aaac

])1)[(1( 21

Donde:

a = ley de la especie mineralógica en tanto por uno

1 : la densidad de las partículas del componente crítico, en gamos por centímetro cúbico

2 : la densidad de las partículas de la ganga, en gamos por centímetro cúbico


Factor rango de tamaño

Se estima a partir de la relación d/ d´ . Tamaño máximo nominal d respecto al tamaño mínimo d´:

Rango de tamaño grande (d/d´) > 4 g = 0,25

Rango de tamaño medio (2 ≤ d/d´) ≤ 4 g = 0,50

Rango de tamaño pequeño (d/d´) < 2 g = 0,75

Tamaño Uniforme (d/d´ = 1) g = 1,00


Factor de liberación: (toma los valores entre 0 y 1)

Es la relación que existe entre el tamaño de liberación de las partículas del elemento de interés dl y el tamaño máximo de partículas para una determinada etapa de muestreo, d.

d

dl l

Nota.- En recientes trabajos del Dr. Bongarcon, recomienda utilizar la expresión

b

l

d

dl

Donde b ≈ 1,5 para el oro

b ≈ 0,5 para el cobre

Diseño de un Diagrama de Muestreo (Nomograma)

La idea es construir un gráfico logarítmico que muestra la relación entre el Error Fundamental S2

FE y el peso de la muestra, MS

log S2FE = log C + 3 log d – log MS

De la fórmula del Error Fundamental, tenemos:


10-5

10-4

10-1

10-2

10-3


100 101 102 103 104 105 106E10-5

10-4

10-1

10-2

10-3


100 101 102 103 104 105 106

10-5

10-4

10-1

10-2

10-3

Taller N° 2

Test de Heterogeneidad

Fr Au (g/T) Masa (g)1 0,08 58,02 0,12 51,73 0,29 69,04 0,41 57,85 0,11 61,96 0,73 58,87 0,24 71,98 0,25 61,99 0,10 58,3

10 0,08 54,011 0,36 60,112 1,82 57,913 0,17 54,214 0,50 54,015 0,04 54,916 0,06 61,817 0,13 57,318 0,06 46,019 0,37 55,420 0,04 45,221 0,04 59,622 0,68 51,323 1,01 55,824 0,81 58,225 0,98 57,6

Fr Au (g/T) Masa (g)26 0,51 59,327 0,27 51,028 4,26 53,029 3,12 55,930 0,08 59,831 0,60 57,632 0,18 57,033 0,14 49,834 0,06 54,235 0,13 52,536 0,09 58,037 2,44 50,638 0,13 56,639 0,14 50,640 0,06 56,641 0,05 56,042 0,08 54,543 0,08 47,544 0,25 50,545 0,22 48,646 3,02 49,247 0,11 53,048 20,48 45,949 0,03 47,750 0,22 43,4

Fr Au (g/T) Masa (g)51 0,16 53,752 0,40 60,453 0,35 57,954 1,15 57,855 0,13 53,456 0,05 61,257 0,89 53,858 0,04 60,759 0,10 58,460 0,27 54,561 0,16 53,462 0,03 56,363 0,25 53,564 0,08 47,965 0,14 49,366 0,07 51,767 0,26 45,768 0,18 44,469 1,44 46,670 0,09 46,871 0,20 38,472 0,14 45,273 0,29 40,974 16,02 43,275 0,09 39,4

Fr Au (g/T) Masa (g)76 1,31 45,277 0,16 41,478 0,13 48,079 4,49 45,180 5,88 40,881 0,35 51,382 0,24 42,583 8,19 51,884 0,32 45,785 40,39 46,886 0,08 41,087 0,25 45,188 0,11 45,489 1,23 39,590 0,46 44,591 0,21 46,792 0,17 48,793 0,20 45,594 0,13 47,795 0,81 52,296 0,06 42,397 0,07 47,698 0,04 45,699 0,19 51,0

100 0,14 55,5

Contenido de oro en 100 muestras de 35 fragmentos cada uno


N 100

1,348

pond. 1,245

S 4,829

S2 23,324

l (densidad) 2,85

F (Fragmentos) 35

f (factor de forma) 0,5

d (diam particula) 1,05

dsup (cm) 1,27

dinf (cm) 0,635

3

3inf

3sup

2

ddd

2

22

x

ssFE 035,15

)245,1(

324,232

2 FEs

FsC FE 2exp

3585,2035,15exp C

72,1499exp C

fCCreal exp

5,072,1499 realC

86,749realC

XX

1/2”

1/4”


Pero para varios estados de conminución, los términos f, g, c y dl no cambian.

Por lo tanto, podemos agruparlos bajo un factor común K que llamaremos constante de muestreo común para todos los estados de conminución.

d

dfgcC l

real

d

KCreal

Con esto podemos calcular distintos valores de K para los diferentes tamaños de partícula

Recordemos además que:

dCK real 05,186,749 K 78,767K

l (densidad) 2,85

F (Fragmentos) 35


d (diam particula) 1,05


d

KC

d (pulg o malla) d (cm) C

2" 5 343

1" 2,54 4821/2" 1,27 681Test 1,05 7491/4" 0,635 963

6# 0,335 1327

10# 0,17 186216# 0,1 242824# 0,071 288135# 0,043 372448# 0,03 443365# 0,021 5273

100# 0,015 6269150# 0,011 7457

Diseño de un diagrama de Muestreo

sFE M

dCs

32 *

l (densidad) 2,85

F (Fragmentos) 35


d (diam particula) 1,05Peso Muestra MS

d (pulg o malla) d (cm) C 10 100 1000 10000 100000 1000000

2" 5 343 4292,02 429,2023 42,920229 4,2920229 0,429202 0,04292

1" 2,54 482 789,444 78,9444 7,8944397 0,789444 0,078944 0,0078941/2" 1,27 681 139,555 13,95553 1,395553 0,1395553 0,013956 0,001396Test 1,05 749 86,7382 8,673817 0,8673817 0,0867382 0,008674 0,0008671/4" 0,635 963 24,6701 2,467012 0,2467012 0,0246701 0,002467 0,000247

6# 0,335 1327 4,98711 0,498711 0,0498711 0,0049871 0,000499 4,99E-05

10# 0,17 1862 0,91487 0,091487 0,0091487 0,0009149 9,15E-05 9,15E-0616# 0,1 2428 0,24279 0,024279 0,0024279 0,0002428 2,43E-05 2,43E-0624# 0,071 2881 0,10313 0,010313 0,0010313 0,0001031 1,03E-05 1,03E-0635# 0,043 3724 0,02859 0,002859 0,0002859 2,859E-05 2,86E-06 2,86E-0748# 0,03 4433 0,01197 0,001197 0,0001197 1,197E-05 1,2E-06 1,2E-0765# 0,021 5273 0,00502 0,000502 5,024E-05 5,024E-06 5,02E-07 5,02E-08

100# 0,015 6269 0,00212 0,000212 2,116E-05 2,116E-06 2,12E-07 2,12E-08150# 0,011 7457 0,00089 8,88E-05 8,882E-06 8,882E-07 8,88E-08 8,88E-09

Test de Heterogeneidad Nomograma

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

10 100 1000 10000 100000 1000000Masa (g)

S2

FE


½”

1/4”

10 # Ty

150 # Ty

Línea de Seguridad


Ejercicio.- Revisar el Siguiente Protocolo de Muestreo

A: 200 Kg, ½”

B: 40 Kg, ½”

C: 20 Kg, ½”

D: 20 Kg, 10 # Ty

E: 1 Kg, 10 # Ty

F: 1 Kg, 150 # Ty

G: 0,3 K, 150 # Ty

¿Cuáles serían sus recomendaciones?


Test de Heterogeneidad Nomograma 1 b = 0.5

0,00000

0,00001

0,00010

0,00100

0,01000

0,10000

10 100 1000 10000 100000 1000000

Masa (g)

S2 F

E

½”

1/4”

10 # Ty

150 # Ty

6 #Ty

16 # Ty

24 # Ty

35 # Ty48 # Ty

65 # Ty

100 # Ty

2”

1”

Diagrama de Muestreo

Ejercicios

Ejemplo: Si 80 g de muestra son analizados por cantidades trazas de mercurio y las partículas mayores son del orden de 0,8 cm. La constante de muestreo del Hg es C = 2000.

Calcular el 2FES

8,1280

)8,0(2000 32

xSFE

Determinación del Sesgo del Muestreo

Los Sistemas de muestreo mecánico o métodos manuales de muestreo se prueban mediante comparación de los resultados o muestras recogidas manualmente (Método B) con los resultados para incrementos de referencia recogidos de una correa transportadora en detención (Método A)

Determinación de sesgo de Muestreo sobre correas transportadoras

Distintos parámetros, preferentemente los de más interés deberán ser examinados en el estudio de sesgo. Por ejemplo, cobre, contenido de humedad, etc., esto debido a que no siempre el sesgo está presente en un solo parámetro

Para determinar el número de datos requeridos

Para la prueba, se debe realizar un análisis estadístico posterior al experimento, que consiste en:

a) Especificar la magnitud de deltab) determinar el límite de detección de sesgo para el error tipo I y II

combinado de acuerdo a la siguiente ecuacióndonde t0,05; k-1 y t0,10; k-1 son los valores t-student tabulados para k -1 grados de

libertad correspondientes a alfa = 0,05 y beta = 0,10LDS : límite de detección de sesgo, es el sesgo mínimo que puede

ser detectado utilizando los datos disponibles.c) Si LDS delta , el número de datos es suficiente y el test

estadístico t-student puede ser aplicado.

Para determinar el número de datos requeridos

d) Si LDS > delta, se debe calcular la diferencia estandarizada, D, y el número de datos requeridos, n correspondiente a este valor de D utilizando las siguientes ecuaciones

D = delta / sd

e) Se recogen un conjunto adicional de datos (n – k) y se repiten los pasos b a d hasta que el número de datos exceda n.

2

21;10,01;05,0 )(

D

ttn kk

Taller N° 3

Ejercicio.- Determinar si existe sesgo en el muestreo de una correa transportadora

N° B A (REF)

1 49,50 49,00

2 50,05 49,67

3 52,10 51,74

4 53,32 53,16

5 53,26 53,06

6 50,32 49,92

7 53,47 53,11

8 53,91 53,57

9 50,28 50,02

10 51,51 51,13

11 51,56 51,30

12 49,28 49,02

13 48,95 48,75

14 51,97 51,59

15 49,36 48,88

16 54,04 53,75

17 53,04 52,80

18 50,77 50,42

19 52,85 52,62

20 53,80 53,53

Para saber si existe sesgo, se realiza una prueba de contraste. Se utiliza la prueba t-student para datos pareados de dos colas.

Determinación de la Precisión del Muestreo

Métodos para determinar la Precisión en Flujos de muestras

Rechazo 1°

Rechazo 2°

Metro patrón de muestreo

Rechazo 2°

Toma de incremento

Estudio Precisión

Punto Muestreo N° 1




A B

Ejemplo de Estudio de Sesgo y Precisión

Taller N° 4

Ejercicio.- Determinación de la precisión del muestreo

LOTE

A B

A1 A2 B1 B2

A11 A12 A21 A22B11 B12 B21 B22

Precisión del Muestreo

Precisión de la Preparación de Muestras

Precisión del Análisis Químico

XA11 XA12 R1 XA21 XA22 R1 R2 XB11 XB12 R1 XB21 XB22 R1 R2

1 23,10 23,05 23,08 0,05 23,06 23,09 23,08 0,03 23,08 0,00 23,07 23,06 23,07 0,01 23,06 23,04 23,05 0,02 23,06 0,02 23,07 0,022 23,09 23,06 23,08 0,03 23,09 23,09 23,09 0,00 23,08 0,02 23,12 23,12 23,12 0,00 23,14 23,14 23,14 0,00 23,13 0,02 23,11 0,053 23,12 23,14 23,13 0,02 23,10 23,12 23,11 0,02 23,12 0,02 23,16 23,10 23,13 0,06 23,12 23,12 23,12 0,00 23,13 0,01 23,12 0,004 23,07 23,04 23,06 0,03 23,04 23,03 23,04 0,01 23,05 0,02 23,10 23,10 23,10 0,00 23,12 23,09 23,11 0,03 23,10 0,00 23,07 0,065 22,97 23,00 22,99 0,03 22,99 22,98 22,99 0,01 22,99 0,00 23,05 22,98 23,02 0,07 23,02 23,08 23,05 0,06 23,03 0,03 23,01 0,056 23,00 22,99 23,00 0,01 22,95 23,00 22,98 0,05 22,99 0,02 22,88 22,95 22,92 0,07 22,94 22,94 22,94 0,00 22,93 0,03 22,96 0,067 22,94 22,89 22,92 0,05 22,84 22,87 22,86 0,03 22,89 0,06 22,92 22,91 22,92 0,01 22,86 22,90 22,88 0,04 22,90 0,04 22,89 0,018 23,02 23,05 23,04 0,03 23,10 23,07 23,09 0,03 23,06 0,05 23,00 23,02 23,01 0,02 23,05 22,99 23,02 0,06 23,02 0,01 23,04 0,059 22,99 22,99 22,99 0,00 23,02 22,99 23,01 0,03 23,00 0,02 23,06 23,03 23,05 0,03 23,01 23,05 23,03 0,04 23,04 0,02 23,02 0,0410 23,08 23,05 23,07 0,03 23,04 23,04 23,04 0,00 23,05 0,02 23,09 23,08 23,09 0,01 23,10 23,08 23,09 0,02 23,09 0,00 23,07 0,0411 23,17 23,14 23,16 0,03 23,12 23,13 23,13 0,01 23,14 0,03 23,00 23,00 23,00 0,00 23,03 23,04 23,04 0,01 23,02 0,04 23,08 0,1212 23,04 23,05 23,05 0,01 23,06 23,05 23,06 0,01 23,05 0,01 23,06 23,05 23,06 0,01 23,07 23,09 23,08 0,02 23,07 0,02 23,06 0,0213 23,20 23,20 23,20 0,00 23,11 23,08 23,10 0,03 23,15 0,11 23,03 23,00 23,02 0,03 23,07 23,05 23,06 0,02 23,04 0,05 23,09 0,1114 22,81 22,82 22,82 0,01 22,87 22,90 22,89 0,03 22,85 0,07 22,92 22,93 22,93 0,01 22,92 22,88 22,90 0,04 22,91 0,03 22,88 0,0615 23,08 23,07 23,08 0,01 23,05 23,02 23,04 0,03 23,06 0,04 23,04 22,99 23,02 0,05 22,92 22,96 22,94 0,04 22,98 0,07 23,02 0,0816 22,96 22,96 22,96 0,00 22,88 22,92 22,90 0,04 22,93 0,06 22,75 22,72 22,74 0,03 22,73 22,75 22,74 0,02 22,74 0,01 22,83 0,1917 22,98 22,99 22,99 0,01 22,95 22,96 22,96 0,01 22,97 0,03 22,96 22,97 22,97 0,01 22,99 23,01 23,00 0,02 22,98 0,04 22,98 0,0118 22,85 22,85 22,85 0,00 22,90 22,87 22,89 0,03 22,87 0,03 22,89 22,90 22,90 0,01 22,91 22,89 22,90 0,02 22,90 0,00 22,88 0,0319 22,99 22,96 22,98 0,03 22,98 22,98 22,98 0,00 22,98 0,00 23,05 23,04 23,05 0,01 23,00 22,98 22,99 0,02 23,02 0,05 23,00 0,0420 23,01 22,98 23,00 0,03 22,97 22,96 22,97 0,01 22,98 0,03 22,82 22,82 22,82 0,00 22,85 22,87 22,86 0,02 22,84 0,04 22,91 0,14

Media 23,02 23,01 23,02 0,0205 23,01 23,01 23,01 0,0205 23,01 0,0320 23,00 22,99 22,99 0,0220 23,00 23,00 23,00 0,0250 23,00 0,0260 23,00 0,0585

Lote

BR3

A1 A2 B1 B2A

2AX AX1AX 1BX 2BX BX ABX

0290,02 R

0585,03 R

22

22 4

RS

23

23 4

RS

21

21 4

RS

00038,0221 ASS

00047,0222 PSS

00236,0223 MSS

222MPAT SSSS %057,0TS

%019,0AS

%022,0PS

%049,0MS

Nota.- /4 es un factor estadístico que relaciona el rango con la varianza para un par de mediciones

Control de Calidad en Preparación de Muestras

Herramientas de Control de Calidad

Proceso Muestra Final

Rechazo

Muestra Bruta

Se obtienen dos productos:

1.- Una muestra para análisis químico y

2.- Una muestra de rechazo

Proceso

Húmeda 100 % seca

20 Kg aprox.

Tamaño ¼” a ½ “ Tamaño bajo 150 # Ty

Heterogénea Homogénea

Representativa Representativa

Sin contaminación Sin contaminación

200 – 250 g

Entrada Salida

La salida es el objetivo de calidad del proceso.

Por lo tanto, el control de calidad consiste en asegurar que esos objetivos se cumplan

(Objetivos de Calidad)

Secado

Muestra Final

Rechazo

Muestra Bruta

Chancado

División

Pulverizado

Control Malla 10

Control Malla 150

Control Peso Inicial (Representatividad)

Control Peso Final

Control Secado

Control Ollas de Pulverizado

Control Contaminación

Control Capachos

Control Homogeneidad (Repreparados)

1. 100 % seca

Objetivos de Calidad

2. 200 – 250 g

3. Bajo 150 # Ty

4. Homogénea

6. Representativa

5. Sin contaminación

Respaldo

a Metalurgia

Control de Calidad en la Preparación de Muestras de Minerales

NORMA DE SEGURIDAD DE PIERRE GY

Cualquier reducción en la cantidad de muestra deberá considerar la relación entre el peso y el tamaño de partícula

700 g

10 # Ty = 1,65 mm

Chancado

Div

isió

nPulverizado

200 g

½” = 12,7 mm

20 Kg

150 # Ty

Secado

Muestra Final

Rechazo

Muestra Bruta

Chancado

División

Pulverizado

Control Malla 10

Control Peso Inicial (Representatividad)

Control Capachos

1. 100 % seca

Objetivos de Calidad

2. 200 – 250 g

3. Bajo 150 # Ty

4. Homogénea

6. Representativa

5. Sin contaminación

Respaldo

a Metalurgia

Control de Calidad en la Preparación de Muestras de Minerales

Dispositivos de Preparación de Muestras

Chancador de Mandíbulas

Divisor rotatorio

Pulverizador

Divisor de rifles

Dispositivos para determinación de granulometría

Harnero vibratorio

Ciclosyser

Direcciones Internet para consulta y compra de normas internacionales

BSI

http://www.bsonline.bsi-global.com/server/expandedsearch

ASTM http://64.233.179.104/translate_c?hl=en&langpair=en%7Ces&u=http://www.astm.org/cgi-bin/SoftCart.exe/STORE/standardsearch.shtml%3FL%2Bmystore%2Bqzcd2060%2B1095294578&prev=/language_tools

ISO

http://www.iso.org/iso/en/StandardsQueryFormHandler.StandardsQueryFormHandler?keyword=&isoNumber=&scope=CATALOGUE&sortOrder=ISO&title=true&search_type=TEXT&search_term=

JIS

http://www.webstore.jsa.or.jp/webstore/JIS/SearchEn.jsp?lang=en

JIS M 8100:1992 Particulate materials -- General rules for methods of sampling

ISO 3085:2002 Iron ores -- Experimental methods for checking the precision of sampling, sample preparation and mesasurement. Ed. 4

ISO 3082:2000 Iron ores -- Sampling and sample preparation procedures

ISO 3086:1998 Iron ores -- Experimental methods for checking the bias of sampling

ISO 11648-1:2003 Statistical aspects of sampling from bulk materials -- Part 1: General principles

ISO 11648-2:2001 Statistical aspects of sampling from bulk materials -- Part 2: Sampling of particulate materials

Referencias

ISO 12743:1998 Copper, lead and zinc sulfide concentrates -- Sampling procedures for determination of metal and moisture content

ISO 12744:1997 Copper, lead and zinc sulfide concentrates -- Experimental methods for checking the precision of sampling

ISO 13292:2006 Copper, lead, zinc and nickel concentrates -- Experimental methods for checking the bias of sampling

Pierre Gy. “Sampling of Particulate Materials”. Ed. 1982

Francis Pitard. “Pierre Gy´s Sampling theory and Sampling Practice”. CRC. Ed. 1989.

Fin de Presentación

01-Muestreo1

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