01 Comunicación FM Por La Red Eléctrica

COMUNICACIN FM POR LA RED ELCTRICA

SAYRA MAGNOLIA CRISTANCHO SOLANO JOHN EDWARD LEAL RUIZ

Trabajo de grado para optar al ttulo de Ingenieros Electrnicos

DIRECTOR: Ing. Ral Restrepo Agudelo

Universidad Pontificia Bolivariana Bucaramanga Colombia

1998

viii

TABLA DE CONTENIDO

Pag.

INTRODUCCION xvi

1. COMUNICACIN, MENSAJE Y SEAL 1

1.1 LOS ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIN 2

1.1.1 Elementos funcionales 3

1.1.1.1 Transmisor 3

1.1.1.2 Canal de transmisin 3

1.1.1.3 Receptor 3

1.1.2 Contaminaciones 4

1.1.2.1 Distorsin 4

1.1.2.2 Interferencia 5

1.1.2.3 Ruido 5

1.2 MODULACION 5

1.2.1 Tipos de modulacin 6

1.3 LIMITACIONES FUNDAMENTALES EN LA

COMUNICACIN ELECTRICA 7

1.3.1 La limitacin del ancho de banda 8

1.3.2 La limitacin ruido 9

2. REPRESENTACION Y ANALISIS DE SEALES 12

2.1 DOMINIO DEL TIEMPO 13

viii

2.1.1 Ejemplos de seales en el dominio del tiempo 15

2.2 DOMINIO DE LA FRECUENCIA 18

2.3 ANALISIS DE SERIES DE FOURIER 25

2.4 REPRESENTACION DE SEALES DE FORMA DE ONDA

ARBITRARIA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 27

2.5 DISTRIBUCION DE AMPLITUD DE SEALES 29

2.5.1 Potencia de seal 33

2.6 PROCESOS DE RUIDO 35

2.6.1 Ejemplo desarrollado 37

3. EL SISTEMA FM 40

3.1 MODULACION 40

3.2 MODULACION DE FRECUENCIA 42

4. MODULACION EXPONENCIAL 44

4.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 44

4.2 ANALISIS ESPECTRAL DE FM 47

4.2.1 Modulacin de tono 49

4.2.1.1 Interpretacin fasorial 55

4.2.2 Modulacin de tono mltiple 57

4.2.3 Modulacin de pulsos 59

4.3 ANCHOS DE BANDA EN FM 61

4.3.1 Lneas de banda lateral significativas 62

4.3.2 Ancho de banda de transmisin 65

4.3.3 FM de banda angosta (NBFM) 67

4.3.4 FM de banda ancha (WBFM) 68

ix

5. EL RUIDO EN SISTEMAS FM 70

5.1 PRE-ENFASIS Y DE-ENFASIS 79

6. CIRCUITOS INTEGRADOS LINEALES EN APLICACIONES FM 82

6.1 CONVERSOR VOLTAJE A FRECUENCIA 82

6.2 LAZO CERRADO DE FASE (PLL) 88

6.2.1 Rangos de captura y enganche del PLL 90

6.3 DECODIFICADOR DE TONOS 100

7. RESUMEN 105

8. METODOLOGIA 106

9. RESULTADOS OBTENIDOS 107

9.1 ATENUACION DE LAS SEALES DE SALIDA CON RESPECTO A

LA DISTANCIA Y A LA FRECUENCIA DE LA SEAL MODULANTE 107

9.2 FORMAS DE ONDA DE SALIDA DEL DEMODULADOR PARA

DIFERENTES FRECUENCIAS DE LA SEAL DE ENTRADA

DEL MODULADOR 123

9.3 MEDICION DE PARAMETROS DE LA LINEA DE TRANSMISION 125

9.4 FUNCIONAMIENTO DE LOS CIRCUITOS IMPLEMENTADOS 126

9.4.1 Emisor 127

9.4.2 Receptor 129

9.5 ANCHO DE BANDA DE CADA CANAL 133

10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 134

BIBLIOGRAFIA 137

ANEXOS 138

x

LISTA DE FIGURAS

Pag.

Figura 1. Los Elementos de un Sistema de Comunicacin. 2

Figura 2. Seal senoidal en el dominio del tiempo. 14

Figura 3. Seales con formas de pulsos rectangulares. 14

Figura 4A. Seal de datos binarios sin retorno a cero (NRZ). 16

Figura 4B. Elemento de sealizacin con forma de pulso suavizado. 16

Figura 4C. Seal de datos suavizada basada en el elemento

de sealizacin de B. 17

Figura 5. Seal senoidal en el dominio de la frecuencia. 19

Figura 6. Seal peridica no senoidal, vista en el dominio

de la frecuencia. 20

Figura 7. Representacin de dos lados (bilateral)

en el dominio de la frecuencia. 23

Figura 8. Onda cosenoidal representada por dos vectores que giran

en sentidos opuestos en un diagrama de Argand. 24

Figura 9. Representacin bilateral en el dominio de la frecuencia

de una onda cosenoidal. 25

Figura 10A. Forma de onda de una seal continua. 30

Figura 10B. Distribucin de amplitud. 30

Figura 11A. Forma de onda de una seal discreta. 32

Figura 11B. Distribucin de amplitud. 32

11

Figura 12. Formas de onda con sus respectivas distribuciones

de amplitud. 33

Figura 13. Filtro pasabajos no ideal. 38

Figura 14. Propagacin del Sonido. 40

Figura 15. Modulacin del Sonido. 41

Figura 16. Caractersticas de una Portadora. 41

Figura 17. Mtodos de Modulacin. 42

Figura 18. El proceso FM. 43

Figura 19. Espectro de lneas de FM, Modulacin de Tono. 51

Figura 20. Funciones de bessel de orden fijo graficadas

contra el argumento . 51

Figura 21. Funciones de Bessel de argumento fijo graficadas contra n/. 52

Figura 22. Espectro de lneas de tono de FM de tono modulado

(a) fm fija,Amf creciente; (b) Amf fija, fm decreciente. 54

Figura 23. Espectro de lneas de AM. Modulacin de Tono. 55

Figura 24. Diagrama fasorial de FM para

12

Figura 27. Espectro de FM de pulso modulado. 60

Figura 28. El nmero de partes de bandas laterales

significativas como una funcion de (o ). 63

Figura 29A. Diagrama de bloques para un receptor FM. 70

Figura 29B. Seal y Ruido en el detector. 70

Figura 30A. Diagrama fasorial para Ec max >> An. 77

Figura 30B. Diagrama fasorial para Ec max < An. 77

Figura 30C. Cambio de fase y su derivada para Ec max = 10A. 77

Figura 30D. Cambio de fase y su derivada para Ec max = 9A. 77

Figura 31. Relacin seal a ruido de salida contra relacin

portadora a ruido de entrada para W = 5. 79

Figura 32A. Red de pre-nfasis estndar con una frecuencia

de esquina de 2.12KHz. 81

Figura 32B. Red de de-nfasis tpica. 81

Figura 32C. Curvas de pre-nfasis y de-nfasis y

respuesta combinada. 81

Figura 32D. Ruido antes y despus de de-nfasis. 81

Figura 33. Oscilador Controlado por Voltaje. (Diagrama de Bloques). 82

Figura 34. Circuito Basico del VCO. 84

Figura 35. Formas de onda de entrada y salida de voltaje

13

de un VCO Bsico. 86

Figura 36. Lazo Cerrado de Enganche (PLL). Diagrama de Bloques. 89

Figura 37. Voltaje de error Vs Tiempo que dura el PLL en capturarse. 91

Figura 38. Rangos de Enganche y de Captura del PLL. 93

Figura 39. Circuito Bsico del PLL. 96

Figura 40. Circuito de ejemplo de un PLL. 99

Figura 41. Diagrama de bloques del Decodificador de Tonos (TDC). 101

Figura 42. Circuito TDC bsico. 102

Figura 43. Voltaje de salida Vs Frecuencia transmitida (10 metros). 110













Figura 56. Formas de onda de V0 para diferentes frecuencias de la

14

seal de entrada. 124

Figura 57. Resistencia Vs Distancia de la lnea de transmisin. 125

Figura 58. Emisor. 131

Figura 59. Receptor. 132

15

LISTA DE TABLAS

Pag.

Tabla 1. Valores seleccionados de Jn (). 53

Tabla 2. Atenuacion con respecto a la distancia y a la frecuencia

de la seal modulante. 108

Tabla 3. Voltaje de salida para cada frecuencia de la seal de entrada. 123

Tabla 4. Resistencia de la lnea de transmisin segn la distancia. 125

Tabla 5. Ancho de banda de cada canal. 133

16

LISTA DE ANEXOS

Pag.

Anexo A. El espectro electromagntico. 139

Anexo B. Especificaciones circuito integrado LM567. 140

Anexo C. Especificaciones circuito integrado LM386. 148

17

INTRODUCCION

En el mercado existen desde hace varios aos, sistemas de comunicacin de

audio, que aunque son ofrecidos como inalmbricos, en realidad utilizan los hilos

de la red elctrica como medio de transmisin. Dicha comunicacin se efecta

aplicando a los conductores de baja tensin, a travs del cable de alimentacin del

aparato, una seal portadora del orden de los kilohertz, la cual es modulada en

frecuencia por la seal de audio que se desea transmitir y, posteriormente,

captada y demodulada en otro sitio de la misma red.

La idea de explorar el campo de la comunicacin a travs de la lnea de baja

tensin dentro de la Universidad Pontificia Bolivariana Seccional Bucaramanga,

surgi como una propuesta del director de este proyecto Ing. Ral Restrepo

Agudelo, quien atendiendo a su experiencia en el campo de la citofona, observ

una gran ventaja en la implementacin de citfonos en los conjuntos residenciales

sin hacer uso de cableado adicional y la posibilidad de trasladar este dispositivo a

cualquier lugar de la vivienda. Fue as como en el ao 1996 se inici un proyecto

de grado titulado CENTRAL DE CITOFONIA INALAMBRICA CONTROLADA

POR MICROCONTROLADOR, en el cual se desarroll, como parte del trabajo, un

sistema de comunicacin FM a travs de la red elctrica. Lamentablemente, el

proyecto de grado contena unos objetivos muy ambiciosos que hicieron que los

18

autores lo abandonaran antes de concluirlo, sin dejar la documentacin

relacionada con el trabajo desarrollado.

Nuevamente en 1998 se retom la idea de empezar este estudio, solo que esta

vez, se decidi dividirlo en varias fases iniciando con el presente trabajo de grado,

el cual pretende realizar una apropiacin de conocimiento acerca de las

caractersticas de la comunicacin utilizando como medio de transmisin la red

elctrica de baja tensin, as como la construccin de un prototipo bsico de

enlace por voz.

Se espera que este documento sirva como base de las futuras investigaciones que

se realizarn dentro de la universidad, en el campo de la comunicacin usando la

red elctrica como medio de transmisin.

19

1. COMUNICACIN, MENSAJES Y SEALES

Para empezar, se define a la comunicacin como el proceso por medio del

cual la informacin se transfiere de un punto llamado la fuente, en espacio y

tiempo, a otro punto que es el destino o usuario. Un sistema de

comunicacin es la totalidad de mecanismos que proporcionan el enlace

para la informacin entre fuente y destino. Un sistema de comunicacin

elctrica es aquel que ejecuta esta funcin principal, pero no

exclusivamente, por medio de dispositivos y fenmenos elctricos.

Hay muchas clases de fuentes de informacin, incluso hombres y mquinas;

por eso, los mensajes aparecen en muchas formas: una secuencia de

smbolos o letras discretas; una magnitud sencilla variando con el tiempo;

varias funciones del tiempo y otras variables. Pero, sea cual fuere el

mensaje, el objeto de un sistema de comunicacin es proporcionar una

rplica aceptable de l en su destino.

1.1 LOS ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIN La figura 1 muestra los elementos funcionales de un sistema completo de

comunicacin.

20

TRANSDUCTOR

DE ENTRADA TRANSMISOR

CANAL DE

TRANSMISION

RECEPTOR TRANSDUCTOR

DE SALIDA

RUIDO, INTERFERENCIA

Y DISTORSION

FUENTE

MENSAJE DE ENTRADA

SEAL DE ENTRADA

SEAL TRANSMITIDA

SEAL

RECIBIDA

SEAL DE

SALIDA

MENSAJE DE

SALIDA

DESTINO

FIGURA 1. Los Elementos de un Sistema de Comunicacin

21

1.1.1 Elementos Funcionales. Omitiendo los transductores, hay tres partes

esenciales en un sistema de comunicacin elctrica, el transmisor, el canal de

transmisin y el receptor. Cada uno tiene su funcin caracterstica.

1.1.1.1 Transmisor. El transmisor pasa el mensaje al canal en forma de seal.

Para lograr una transmisin eficiente y efectiva, se deben desarrollar varias

operaciones de procesamiento de la seal. La ms comn e importante de

estas operaciones es la modulacin, un proceso que se distingue por el

acoplamiento de la seal transmitida a las propiedades del canal, por medio

de una onda portadora.

1.1.1.2 Canal de transmisin. El canal de transmisin o medio de enlace

elctrico entre el transmisor y el receptor, siendo el puente de unin entre la

fuente y el destino. Puede ser un par de alambres, un cable coaxial, una

onda de radio o un rayo laser. Pero sin importar el tipo, todos los medios de

transmisin elctricos se caracterizan por la atenuacin, la disminucin

progresiva de la potencia de la seal conforme aumenta la distancia.

1.1.1.3 Receptor. La funcin del receptor es extraer del canal la seal

deseada u entregarla al transductor de salida. Como las seales son

frecuentemente muy dbiles, como resultado de la atenuacin, el receptor

debe tener varias etapas de amplificacin. En todo caso, la operacin clave

22

que ejecuta el receptor es la demodulacin, el caso inverso del proceso de

modulacin del transmisor, con lo cual vuelve la seal a su forma original.

1.1.2 Contaminaciones. Durante la transmisin de la seal ocurren ciertos

efectos no deseados. Uno de ellos es la atenuacin, la cual reduce la

intensidad de la seal; sin embargo, son ms serios la distorsin, la

interferencia y el ruido, los cuales se manifiestan como alteraciones de la

forma de la seal. Al introducirse estas contaminaciones al sistema, es una

prctica comn y conveniente imputrsela al canal, pues el transmisor y el

receptor son considerados ideales.

En trminos generales, cualquier perturbacin no intencional de la seal se

puede clasificar como ruido, y algunas veces es difcil distinguir las

diferentes causas que originan una seal contaminada. Existen buenas

razones y bases para separar estos tres efectos, de la siguiente manera:

1.1.2.1 Distorsin. Es la alteracin de la seal debida a la respuesta

imperfecta del sistema a ella misma. A diferencia del ruido y la inteferencia,

la distorsin desaparece cuando la seal deja de aplicarse. El diseo de

sistemas perfeccionados o redes de compensacin reduce la distorsin. En

teora es posible lograr una compensacin perfecta. En la prctica debe

permitirse cierta distorsin, aunque su magnitud debe estar dentro de lmites

tolerables.

23

1.1.2.2 Interferencia. Es la contaminacin por seales extraas,

generalmente artificiales y de forma similar a las de la seal. El problema es

particularmente comn en emisiones de radio, donde pueden ser captadas

dos o ms seales simultneamente por el receptor. La solucin al

problema de interferencia es obvia; eliminar en una u otra forma la seal

interferente o su fuente.

1.1.2.3 Ruido. Por ruido se debe entender las seales aleatorias e

impredecibles de tipo elctrico originadas en forma natural dentro o fuera

del sistema. Cuando estas variaciones se agregan a la seal portadora de la

informacin, sta puede quedar en gran parte oculta o eliminada totalmente.

El ruido no eliminable es uno de los problemas bsicos de la comunicacin

elctrica.

1.2 MODULACION

Muchas seales de entrada no pueden ser enviadas directamente hacia el canal,

como vienen del transductor. Para eso se modifica una onda portadora, cuyas

propiedades se adaptan mejor al medio de transmisin en cuestin, para

representar el mensaje. La modulacin es la alteracin sistemtica de una onda

portadora de acuerdo con el mensaje (seal moduladora) y puede ser tambin una

codificacin.

24

1.2.1 Tipos de modulacin. El xito de un sistema de comunicacin en una

misin determinada, depende en gran parte de la modulacin, tan es as que

el tipo de modulacin es una decisin alrededor de la cual gravita el diseo

del sistema y por esa razn muchas tcnicas de modulacin han

evolucionado y cubierto diversas tareas y requisitos de muchos sistemas. Y

conforme aparezcan nuevas exigencias, se desarrollar nuevas tcnicas.

A pesar de la multitud de variedades, es posible identificar dos tipos bsicos

de modulacin en relacin a la clase de onda portadora: la modulacin de

onda continua (CW), en la cual la portadora es simplemente una forma de

onda senoidal, y la modulacin de pulsos, en la cual la portadora es un tren

peridico de pulsos.

Puesto que la modulacin de onda continua es un proceso continuo, es

posible adaptarla a seales que estn variando constantemente con el

tiempo. Por lo general, la portadora senoidal es de mayor frecuencia que

cualquiera de las componentes de frecuencia contenidas en la seal

moduladora. El proceso de modulacin se caracteriza por una traslacin de

frecuencia, es decir, el espectro del mensaje ( su contenido de frecuencia ) se

corre hacia arriba a otra banda de mayor frecuencia.

25

La modulacin de pulsos es un proceso discontinuo o discreto, en el sentido

de que los pulsos aparecen slo en ciertos intervalos de tiempo. Por eso la

modulacin de pulsos se adapta mejor a los mensajes que son discretos por

naturaleza.

1.3 LIMITACIONES FUNDAMENTALES EN LA COMUNICACIN ELECTRICA

En el diseo de un sistema de comunicacin o de cualquier sistema para esta

materia, el ingeniero se coloca frente a dos clases generales de restricciones; por

un lado, los factores tecnolgicos, es decir, los factores vitales de la ingeniera y

por otra parte, las limitaciones fsicas fundamentales impuestas por el propio

sistema, o sea, las leyes de la naturaleza en relacin con el objetivo propuesto.

Puesto que la ingeniera es, o debe ser, el arte de lo posible, ambas clases de

restricciones deben ser analizadas al disear el sistema. Hay ms de un

diferencia, pues los problemas tecnolgicos son problemas de practicabilidad que

incluyen consideraciones tan diversas como disponibilidad del equipo, interaccin

con sistemas existentes, factores econmicos, etc., problemas que pueden ser

resueltos en teora, aunque no siempre de una manera prtica. Pero las

limitaciones fsicas fundamentales son justamente eso; cuando aparecen en

primer plano, no existen recursos, incluso en teora. No obstante, los problemas

tecnolgicos son las limitaciones que en ltima instancia sealan si pueden o no

26

ser salvadas. Las limitaciones fundamentales en la transmisin de la informacin

por medio elctricos son el ancho de banda y el ruido.

1.3.1 La limitacin del ancho de banda. Aunque no en forma explcita, la figura

1 muestra el elemento tiempo como una parte integrante de los sistemas de

comunicacin. La utilizacin de sistemas eficientes conduce a una reduccin del

tiempo de transmisin, es decir, que se transmite una mayor informacin en el

menor tiempo. Una transmisin de informacin rpida se logra empleando

seales que varan rpidamente con el tiempo. Pero se trata de un sistema

elctrico, el cual cuenta con energa almacenada; y hay una ley fsica bien

conocida que expresa que en todos los sistemas, excepto en los que no hay

prdidas, un cambio en la energa almacenada requiere una cantidad definida de

tiempo. As, no es posible incrementar la velocidad de la sealizacin en forma

arbitraria, ya que en consecuencia el sistema dejar de responder a los cambios

de la seal.

Una medida conveniente de la velocidad de la seal es su ancho de banda, o sea,

el ancho del espectro de la seal. En forma similar, el rgimen al cual puede un

sistema cambiar energa almacenada, se refleja en su respuesta de frecuencia til,

medida en trminos del ancho de banda del sistema. La transmisin de una

gran cantidad de informacin en una pequea cantidad de tiempo, requiere

seales de banda ancha para representar la informacin y sistemas de banda

27

ancha para acomodar las seales. Por lo tanto, dicho ancho de banda surge

como una limitacin fundamental. Cuando se requiere de una transmisin en

tiempo real, el diseo debe asegurar un adecuado ancho de banda del sistema. Si

el ancho de banda es insuficiente, puede ser necesario disminuir la velocidad de

transmisin de sealizacin, incrementndose as el tiempo de transmisin. (VER

ANEXO A).

1.3.2 La limitacin ruido. Un instrumento de medicin que posee un 1% de

resolucin da lugar a una mayor informacin que un instrumento con un 10%; la

diferencia es 1 de exactitud. En forma similar, el xito en la comunicacin

elctrica depende de la exactitud con que el receptor pueda determinar cul seal

es la que fue realmente transmitida, diferencindola de las seales que podran

haber sido transmitidas. Una identificacin perfecta de la seal sera posible slo

en ausencia de ruido y otras contaminaciones, pero el ruido existe siempre en los

sistemas elctricos y sus perturbaciones sobrepuestas limitan la habilidad para

identificar correctamente la seal que interesa y as, la transmisin de la

informacin.

Por qu es inevitable el ruido? La respuesta proviene de la teora cintica.

Cualquier partcula a una temperatura diferente de cero absoluto, posee una

energa trmica que se manifiesta como movimiento aleatorio o agitacin trmica.

Si la partcula es un electrn, su movimiento aleatorio origina una corriente

28

aleatoria. Luego, si esta corriente aleatoria ocurre en un medio conductor, se

produce un voltaje aleatorio conocido como ruido trmico o ruido de resistencia.

Mientras el ruido de resistencia es slo una de las posibles fuentes en un sistema,

mucho otros estn relacionados, en una u otra forma, al movimiento electrnico

aleatorio. Ms an, como era de esperarse de la dualidad onda-partcula, existe

ruido trmico asociado con la radiacin electromagntica. En consecuencia, como

se puede tener comunicacin elctrica sin electrones u ondas electromagnticas,

tampoco se puede tener comunicacin elctrica sin ruido.

Las variaciones de ruido tpicas son muy pequeas, del orden de los microvoltios.

Si las variaciones de la seal son sustancialmente mayores, varios voltios pico a

pico, el ruido puede ser ignorado. En realidad en sistemas ordinarios, bajo

condiciones ordinarias, la relacin seal a ruido es bastante grande para que el

ruido no sea perceptible. Pero en sistemas de amplio rgimen o de potencia

mnima, la seal recibida puede ser tan pequea como el ruido o ms. Cuando

esto suceda, la limitacin por ruido resulta muy real.

Es importante sealar que si la intensidad de la seal es insuficiente, aadir ms

pasos de amplificacin en el receptor no resuelve nada; el ruido ser amplificado

junto con la seal, lo cual no mejora la relacin seal a ruido. Aumentar la

potencia transmitida ayuda, pero la potencia no se puede incrementar en forma

indefinida por razn de problemas tecnolgicos. En forma alterna, se puede

permutar el ancho de banda por la relacin seal a ruido por medio de tcnicas de

29

modulacin y codificacin. No es de sorprender que la ms efectiva de estas

tcnicas generalmente sea la ms costosa y difcil de instrumentar. Ntese

tambin que el trueque del ancho de banda por la relacin seal a ruido puede

llevar de una limitacin a otra.

Dado un sistema con ancho de banda y relacin seal a ruido fijos, existe un lmite

superior definido, al cual puede ser transmitida la informacin por el sistema. Este

lmite superior se conoce con el nombre de capacidad de informacin y es uno de

los conceptos centrales de la teora de la informacin. Como la capacidad es

finita, se puede decir con apego a la verdad, que el diseo del sistema de

comunicacin es un asunto de compromiso; un compromiso entre tiempo de

transmisin, potencia transmitida, ancho de banda y relacin seal a ruido;

compromiso de lo ms restringido por los problemas tecnolgicos.

31

2. REPRESENTACION Y ANALISIS DE SEALES

Como se dijo anteriormente, los enlaces de comunicacin consisten en la

transmisin de la forma de onda de una seal, que representa un mensaje, de una

fuente a un destino. En el destino la forma de onda recibida se procesa y el

mensaje se recupera de la manera ms aproximada posible. Se dice de la

manera ms aproximada posible porque, en general, la forma de onda recibida

contiene dos componentes: una versin atenuada y retardada de la seal original

a partir de la cual podra recuperarse exactamente el mensaje, y un componente

no deseado, ajeno a la seal, que hace interferencia con la parte deseada y que

puede provocar un error en el mensaje recuperado. Como ya se mencion, los

componentes no deseados pueden deberse a la distorsin que produce el canal

en la seal, a interferencia de equipo elctrico cercano, o puede ser simplemente

ruido elctrico: variaciones de la seal aparentemente aleatorias de origen

termodinmico o cuntico, para los cuales es necesario evaluar sus efectos en el

funcionamiento de los sistemas de comunicacin. Para hacer esto, tanto el

mensaje o forma de onda de la seal como los componentes no deseados de

ruido/interferencia deben representarse en trminos matemticos. En este

apartado se estudiarn las diversas formas en las que pueden representarse las

32

seales. Pero antes de pasar a esto conviene hacer notar que no es necesario ni

prctico evaluar el desempeo de un sistema examinando la manera en que

33

procesar todas las formas de onda posibles de mensajes. Para la comunicacin

de voz esto implicara considerar todas las voces posibles (incluyendo,

supuestamente, la de algunas personas que an no han nacido) y todas las frases

posibles. En vez de ello, se usan seales prototpicas con caractersticas

similares a las de las seales que de hecho se van a transmitir. Por ejemplo, para

la telefona de voz un anlisis que resulta muy til se basa en la manera en que un

sistema responde a las seales senoidales de frecuencias y amplitudes diferentes,

mientras que para la comunicacin de datos la respuesta de un sistema a un solo

pulso puede dar una idea de cmo responde el sistema a un forma de onda de

mensaje correspondiente a una secuencia de pulsos. Por esta razn el estudio de

las seales comienza por considerar la representacin y el anlisis de estas

seales idealizadas.

2.1 DOMINIO DEL TIEMPO

La forma de onda de una seal puede verse como la variacin con el tiempo de

una cantidad, por ejemplo, de voltaje o corriente. Para ser ms precisos se

estudiarn las formas de onda de voltaje. Como primer ejemplo, considrese la

seal de voltaje senoidal dada por

v(t) = V cos (2Ft + ) (1)

34

Aqu V es el voltaje pico, F es la frecuencia y es la fase relativa. Estos

parmetros se indican en el diagrama de la figura 2.

La forma de onda es peridica con un perodo T=1/F ya que

v(t) = v(t+T) (2)

Esta descripcin se denomina representacin de la seal en el dominio del tiempo:

la seal se ve como una funcin del tiempo. Esta es con mucho la forma ms

comn de representar seales y de observarlas en el laboratorio. Es necesario

poder describir las seales analticamente en el dominio del tiempo; a continuacin

se dan algunos ejemplos.

2.1.1 Ejemplos de seales en el dominio del tiempo. Considrese una seal

con forma de pulso rectangular, como se muestra en la figura 3a.

- 0

V(t)

V Vcos(2ft + ) t

Figura 2. Seal senoidal en el dominio del tiempo

T=1/F

- 0 0 to - to to + -T/2 0 T/2

t t t

1 1 1

X1(t)=rect(t) X2(t)=rect(t - to) X3(t)=rect(t/T)

35

La forma de onda de la seal es cero hasta el tiempo t = -, en donde se eleva al

valor 1. El valor de la forma de onda es 1 en el intervalo ( -, ), y en el extremo

de este intervalo disminuye a cero. El valor de la forma de onda es cero para todo

t > . Expresando esto analticamente

puntos dems los todos en0

2;1t1rect(t)(t)x1 (3)

Aqu rect(t) es simplemente una manera abreviada de describir un pulso

rectangular con altura unitaria y ancho unitario centrado en el origen del eje del

tiempo. Un pulso rectangular similar que ocurre en algn otro tiempo, por decir,

centrado en t = t0 como se muestra en la figura 3b, puede expresarse en trminos

de la funcin rect( ) de la siguiente manera:

x2(t) = rect(t t0) (4)

Para confirmar esto, se observa que el centro del pulso rectangular corresponde al

valor cero del argumento de la funcin rect(u).

En este caso

u = t t0

36

y

u = 0 t t0 = 0 t = t0

El pulso est centrado en t = t0. Esto se conoce como traslacin o desplazamiento

de la seal en el eje del tiempo. Hay que observar que restar una constante, t0, a t

en el argumento de la funcin tiene el efecto de desplazar la funcin a la derecha;

es decir, corresponde a un retardo de t0.

Ahora se considerar un pulso de anchura diferente de uno, por decir de duracin

T, como se aprecia en la figura 3c. Esto puede expresarse analticamente como

T

trect (t)x3 (5)

Para verificar la validez de esta formulacin se observa que rect(u) pasa de 0 a 1

en u = - y de 1 a 0 en u = . Es decir, las transiciones ocurren en u = .

Haciendo u = t / T se concluye que las transiciones tienen lugar en u=t/T=

t = T/2. Las transiciones ocurren en t = T/2, y el pulso tiene una anchura T.

Esto se denomina escala de la seal en el eje del tiempo, o simplemente como

escala en el tiempo.

La escala de la seal en amplitud no presenta ninguna dificultad. Un pulso

rectangular de altura A simplemente es A rect(t).

37

A continuacin se estudiar la forma en que puede representarse una seal digital

binaria, como la secuencia de pulsos de la figura 4a.

En este ejemplo, la seal est compuesta por pulsos de anchura T localizados en

t = 0, 2T, 3T y 5T. As:

-T 0 T T 2T 3T 4T 5T t

1 0 1 1 0 1

X(t)

FIGURA 4A. Seal de datos binarios sin retorno a cero (NRZ)

P(t)

-T 0 T

FIGURA 4B. Elemento de sealizacin con forma de pulso suavizado

FIGURA 4C. Seal de datos suavizada basada en el elemento de sealizacin de b.

-T 0 T T 2T 3T 4T 5T t

1 0 1 1 0 1

38

T

5T - trect

T

3T - trect

T

2T - trect

T

trect x(t)

(6)

donde cada trmino describe al pulso correspondiente. En forma ms general:

...T

nT - trect a ...

T

2T - trect a

T

T - trect a

T

trecta x(t) n21 0

T

nT - trect a x(t)

n

n

(7)

donde an representa los datos tomando los valores de 1 o 0, dependiendo si est

presente o no un pulso en el intervalo de tiempo correspondiente de duracin T

centrado en t = nT. La suma se realiza para todos los valores (enteros)

pertinentes de n. Casi siempre se supone que la seal existe para todo tiempo, y

puede escribirse

n

n

T

nTtrectaAx(t) (8)

con an {0, 1} para una seal de informacin binaria unipolar de amplitud A. Para

una seal bipolar an {-1, 1}, mientras que para una seal unipolar de pulsos de

mltiples niveles se tiene que an {0, 1, ..., (N - 1)} si la seal puede tomar uno de

N valores separados uniformemente en cada intervalo de tiempo.

Se puede usar un procedimiento similar para describir secuencias de pulsos en las

que la forma de onda del elemento de pulso bsico, es decir del elemento de

39

sealizacin, no es rectangular. Si se representa la forma de onda del pulso

elemental como p(t), se tiene

n

n nT) - p(tax(t) (9)

Un segmento ilustrativo de este tipo de seal se muestra en la figura 4b y c, que

se basa en una forma de onda de pulso p(t) tipo coseno elevado:

puntos dems los todos en 0

Tt2

T

t cos1

p(t) (10)

2.2 DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Se considera una vez ms la forma de onda de voltaje senoidal de la ecuacin 1.

La palabra senoidal indica el aspecto de la forma de onda. Dada una seal

senoidal, una especificacin completa de la seal consta de la amplitud V, la

frecuencia F y la fase . Estos tres parmetros, junto con el conocimiento de que

la seal es senoidal, son suficientes para poder dibujar la forma de onda de

voltaje; el trio (V, F, ) especifica por completo la seal. Por ahora se restringir la

atencin a seales de forma estrictamente cosenoidal, es decir, = 0, y solo se

usar la amplitud V y la frecuencia F: ahora el par (V, F) especifica por completo

40

la seal. En esta representacin F y V pueden tomar cualquier valor positivo, y la

seal se puede representar grficamente como se muestra en la figura 5.

Esta es una representacin en el dominio de la frecuencia. Desde este punto de

vista, una seal cosenoidal se representa por medio de un flecha vertical

localizada en algn punto F del eje de la frecuencia, y la altura de la flecha

corresponde a V, es decir la amplitud de la seal. Se observa que si F = 0

entonces de trata de una seal cd con amplitud V. Esto tambin se puede

representar en el dominio de la frecuencia por medio de una flecha de altura V

localizada en el origen.

La representacin en el dominio de la frecuencia es muy til porque se pueden

considerar seales ms complejas como una superposicin (es decir, una suma)

de componentes senoidales con amplitudes, fases y frecuencias diferentes. Para

seales peridicas las frecuencias estn relacionadas por nmeros enteros. Si T

es el periodo, entonces se dice que la forma de onda tiene una frecuencia

fundamental de 1/T. La siguiente frecuencia ms baja contenida en la forma de

onda es 2/T, que se llama segunda armnica, y despus sigue la tercera

0 f=1/T t

V

FIGURA 5. Seal senoidal en el dominio de la frecuencia.

41

armnica, con frecuencia 3/T, etc. En general, los diversos componentes

armnicos tienen amplitudes y fases distintas (algunas pueden tener amplitud

igual a cero). Para lograr una apreciacin general del contenido de armnicas de

una forma de onda compleja, conviene representar la seal grficamente en el

dominio de la frecuencia, como se ilustra en la figura 6 (una vez ms, no se

considera la fase).

Las alturas de la flechas representan las intensidades de los diversos

componentes armnicos, es decir, las amplitudes de los distintos componentes

cosenoidales que constituyen la forma de onda peridica compleja. A esta

representacin en el dominio de la frecuencia a menudo se le denomina espectro

de la seal: los diversos componentes de frecuencia son los componentes

espectrales o lneas espectrales.

La representacin del dominio de la frecuencia que se ha ofrecido hasta este

momento es incompleta, en el sentido de que slo contiene informacin de

amplitud y no hace mencin de las fases relativas de los diversos componentes.

Esto se puede remediar de varias maneras. Una solucin sera poner a un lado

0 1/T 2/T 3/T 4/T f

FIGURA 6. Seal peridica no senoidal, vista en el dominio de la frecuencia.

42

de cada flecha la fase de ese componente. Es decir, cada componente

corresponde a un contribucin en el dominio del tiempo de la forma

An cos(2Fnt + n)

donde An es la amplitud, Fn = n/T es la frecuencia y n es la fase. Una seal

compuesta puede ser la suma de muchos trminos de esta forma y tambin puede

contener un componente de cd. Una seal peridica x(t) con periodo T puede

representarse como sigue:

...(nt/T)2cosA

...(2t/T)2cosA

(t/T)2cosAA

nn

22

110

(11)

o, en forma ms concisa, como

1n

n0

T

nt2cosAA)t(x (12)

Llmese a sta la representacin de serie de Fourier de x(t). Hay que

observar su estrecha relacin con la representacin en el dominio de la

frecuencia: las amplitudes An corresponden a las alturas de las diversas

lneas espectrales.

Se puede obtener una representacin alternativa de la serie de Fourier

tomando en cuenta la siguiente identidad trigonomtrica

cos(A+B) = cos(A) cos(B) sen(A) sen(B) (13)

para escribir

An cos[2(nt/T)+n] = An [cos(2nt/T)cos(n) sen(2nt/T)sen(n)]

x(t) =

43

= [An cos(n)] cos(2nt/T) + [-An sen(n)] sen(2nt/T)

= an cos(2nt/T) + bn sen(2nt/T)

(14)

donde

an = An cos(n)

bn = -An sen(n)

Por lo que x(t) se puede representar en la forma

1n 1n

nn0 )T/nt2sen(b)T/nt2cos(aA)t(x (15)

Es decir una seal peridica puede considerarse como una suma de:

Un trmino cd de amplitud A0.

Un conjunto de seales cosenoidales con relacin armnica y amplitud

an.

Un conjunto de seales senoidales con relacin armnica y amplitud bn.

Hay an otra representacin que se basa en la observacin de que

2

)jAexp()jAexp(Acos

(16)

de donde

An cos[(2nt/T) + n] =

nnn

nnn

jexpT

nt2jexpjexp

T

nt2jexp

2

A

T

nt2jexp

T

nt2jexp

2

A

T

nt2jexpc

T

nt2jexpc nn (17)

44

donde

)jexp(2

Ac n

nn

y

real es Aque suponiendo c)jexp(2

Ac n*nn

n

n

As, x(t) puede expresarse como

1n

nn0 )T/nt2jexp(c)T/nt2jexp(cA)t(x (18)

Tomando en cuenta que

exp(j2nt/T)n=0 = e0 = 1, para n = 0

y definiendo c0 = A0, x(t) puede expresarse en trminos de un sola serie que

abarque todos los enteros:

n

n )T/nt2jexp(c)t(x (19)

Esta que es la forma exponencial de la serie de Fourier, es particularmente

til en el anlisis de seales. Los valores de cn son nmeros complejos: cn

corresponden a las magnitudes y arg(cn) a las fases de los componentes

espectrales. No obstante, en esta representacin n toma valores positivos y

negativos y es conveniente considerar un espectros de dos lados, como en

la figura 7.

-4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T f

FIGURA 7. Representacin de dos lados (bilateral) en el dominio de la frecuencia

45

Por analoga con la exposicin anterior de la representacin grfica del

espectro de una seal, cada flecha corresponde a una lnea espectral; el n-

simo trmino es un componente de frecuencia n/T. Como n toma valores

positivos y negativos se hace necesario dar algn significado a frecuencia

negativa. No se quiere decir que una seal real tenga una frecuencia

negativa (ni tampoco que tenga una frecuencia positiva). Una seal real

tiene una frecuencia, como F Hz. Pero una seal real puede considerarse,

para propsitos de anlisis, como la suma de componentes de frecuencia

positiva y negativa, del mismo modo en que una onda coseno puede

considerarse como la suma de dos factores exponenciales complejos.

Desde esta perspectiva

Cos(2Ft) = seal cosenoidal con frecuencia F

= 2

)Ft2jexp()Ft2jexp(

= Ft)j2exp(2

1 Ft)j2exp(

2

1 (20)

La seal puede representarse en un diagrama de Argand con dos vectores

que giran en sentido opuesto, como se muestra en la figura 8.

Trmino de frecuencia positiva

Trmino de frecuencia negativa

2F

2Ft

-2Ft

Imaginario

Real

46

El vector que gira en sentido positivo (en sentido contrario a las manecillas del

reloj) tiene una velocidad angular de +2F, y se dice que corresponde a un trmino

de frecuencia positiva. El vector que gira en sentido negativo (en el sentido de las

manecillas del reloj) tiene una velocidad angular de -2F, y se dice que

corresponde a un trmino de frecuencia negativa. La suma de las dos

componentes correspondientes a la seal x(t) siempre es real. Por consiguiente,

la seal V cos(2Ft) puede representarse en el dominio de la frencuencia por

medio de un diagrama como el de la figura 9.

Con esta representacin de dos lados, una onda coseno tiene dos componentes

de frecuencia de igual intensidad localizados en f = F. Esto no significa ms que

-F 0 +F f

FIGURA 9. Representacin bilateral en el dominio de

la frecuencia de una onda cosenoidal

47

se trata de una onda coseno de frecuencia F, pero utilizando un modelo en el que

sta se ve como una suma de dos vectores que giran en sentidos opuestos.

2.3 ANALISIS DE SERIES DE FOURIER

Anteriormente se indic que una seal peridica x(t) = x(t + T) podra expresarse

en trminos de una serie exponencial de Fourier de la forma

n

n )T/nt2jexp(c)t(x (21)

donde cn son los coeficientes de Fourier correspondientes a las amplitudes y

fases de los componentes de frecuencia individuales. Estos coeficientes se

relacionan con la seal en el dominio del tiempo con

2/T

2/Tn dt)T/nt2jexp()t(x

T

1c (22)

No se realizar una demostracin formal de esta asecin, pero los siguientes

argumentos darn una prueba lo suficientemente convincente de que es

razonable.

En primer lugar hay que sealar que la seleccin del entero de indizacin en

la ecuacin 21 es arbitraria; por consiguiente se puede escribir lo siguiente:

k

k )T/kt2jexp(c)t(x (23)

Ahora se sustituye x(t) de la ecuacin 23 en la ecuacin 22:

2/T

2/Tk

kn dt)T/nt2jexp()T/kt2jexp(cT

1c (24)

48

donde el cambio de n a k para el entero de indizacin de la ecuacin 23 evit

un conflicto con el uso de n como ndice en la ecuacin 22. La estrategia

ahora ser demostrar la consistencia de la ecuacin 24, es decir, mostrar

que el lado derecho se reduce a cn. Intercambiando las operaciones de

integracin y de suma se obtiene:

k

2/T

2/Tkn

k

2/T

2/Tkn

dt)T/t)nk(2jexp(cT

1c

dt)T/nt2jexp()T/kt2jexp(cT

1c

(25)

Considrese ahora la integral de la ecuacin 25 con m = k n;

entero)(m 0m0

0mT)m(I

T/m

)msen(

T/m2j

)mjexp()mjexp()m(I

T/m2j

)T/mt2jexp()m(I

dt)T/mt2jexp()m(I

2/T

2/T

2/T

2/T

(26)

Es decir , la integral vale cero a menos que m = k n = 0. Por lo que en la

ecuacin 25 slo el trmino k = n de la suma es diferente de cero y

nkk

nkn cTcT

1c (27)

Por consiguiente, se puede concluir que las ecuaciones 21 y 22 son

consistentes; si una seal peridica x(t) se puede expandir de acuerdo con

la ecuacin 21, entonces los coeficientes cn estn dados por la ecuacin 22.

49

2.4 REPRESENTACION DE SEALES DE FORMA DE ONDA ARBITRARIA

EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

La serie y la integral de Fourier son herramientas poderosas en el anlisis de

seales aunque, en general, se requieren representaciones de seales

arbitrarias en el dominio de la frecuencia. Por lo anterior debe parecer

razonable que una seal relativamente arbitraria pueda tener una

representacin significativa en el dominio de la frecuencia. En particular,

muchas seales tienen un espectro pasabajas, concentrado a frecuencias

bajas, f

50

de informacin arbitraria, como la seal de voz? Si se conociera el espectro

sera posible reconstruir la seal en el tiempo para todos los valores de t. El

tipo de seales que se estn considerando tienen asociado cierto grado de

aleatoriedad, pues su comportamiento futuro preciso no se conoce. No

obstante, pueden conocerse ciertas caractersticas de la seal, como su

potencia media. Para esta seal x(t) la caracterizacin espectral apropiada

es el espectro de potencia o funcin de densidad espectral de potencia, Sx(f), que

indica la concentracin de potencia de la seal como una funcin de la

frecuencia. La potencia es una cantidad no negativa, por lo que Sx(f) es una

funcin no negativa; su integral tomada para todas las frecuencias es la

potencia media total de la seal:

Sx(f) > 0 para toda f

df)f(SP x (28)

Es importante conocer la influencia del filtrado en las seales descritas por

su espectro de potencia. Observando que la funcin de transferencia del

filtro corresponde a una razn de amplitudes de seales, y que la potencia es

proporcional a la (amplitud)2, se concluye que el espectro de potencia a la

salida de un filtro con funcin de transferencia H(f) est dado por

S0(f) = SiH(f)2

y la potencia total es, entonces,

df)f(H)f(Sdf)f(SP

2

i00 (29)

51

2.5 DISTRIBUCION DE AMPLITUD DE SEALES

Para una seal determinista, una onda cosenoidal por ejemplo, la

descripcin en el dominio del tiempo es una caracterizacin precisa de la

variacin instantnea de la amplitud de la seal; ella indica la amplitud de la

seal para cada valor de la variable de tiempo t. Para una seal que vara

aleatoriamente, como la voz, no es posible esta descripcin precisa y

completa. No obstante, por lo general es til ( y a menudo necesario) tener

algn tipo de caracterizacin de la seal relacionada con los valores

posibles de amplitud. La distribucin de amplitud, que es una medida de la

frecuencia relativa de ocurrencia de los diversos valores instantneos de la

seal, la proporciona. La distribucin de amplitud de una seal x(t) se

denota con

dx

dx en dotranscurri tiempo de fraccinlmp(x)

0dx (30)

donde dx es un intervalo elemental centrado en x. En la figura 10 se muestra

una forma de onda de seal ilustrativa y su correspondiente distribucin de

amplitud.

X2 X1

dx=(X2 - X1) t

X(t)

FIGURA 10A. Forma de onda de una seal continua

52

Dada la distribucin de amplitud p(x), la fraccin de tiempo en que la

amplitud de una seal x(t) se encuentra en el intervalo (x1, x2) puede

calcularse como

2

1

x

x21 dx)x(p)xxx(F (31)

Hay que observar que la fraccin de tiempo en que una seal se encuentra

en un intervalo nunca puede ser negativa y que la seal siempre tiene una

amplitud finita, por lo que:

p(x) 0 para toda x

1dx)x(p (32)

Una interpretacin alternativa de F(x1 < x < x2) es que mide la probabilidad de

que una muestra seleccionada aleatoriamente de la seal x(t) se encuentre

dentro del intervalo (x1, x2). Esta probabilidad se puede obtener integrando

p(x) en dicho intervalo, y por esta razn a p(x) se le suele llamar funcin de

densidad de probabilidad.

P(x)

X1 X2 X

dx

FIGURA 10B. Distribucin de amplitud

53

La descripcin anterior se refiere a las seales continuas. Es necesario

hacer algunas modificaciones para las seales discontinuas que slo toman

ciertos valores discretos. La distribucin de amplitudes est compuesta por

lneas discretas con ponderaciones correspondientes a la fraccin de tiempo

en que la seal se encuentra en el valor de amplitud correspondiente. En la

figura 11 se da un ejemplo. Para el caso discreto, P(yi) = fraccin de tiempo

en que la seal se encuentra en yi y

i

i 1)y(P (33)

Y(t)

t

FIGURA 11A. Forma de onda de una seal discreta

P(Yi)

Yi

FIGURA 11B. Distribucin de amplitud

54

En este caso la interpretacin probabilista alternativa es que P(yi) denota la

probabilidad de que la amplitud de una muestra aleatoria de la forma de

onda que tenga la seal sea precisamente yi.

La exposicin anterior sobre distribuciones de amplitud se hizo en trminos

de seales aleatorias, aunque tambin se pueden aplicar a seales

deterministas. Por ejemplo, las distribuciones de amplitud para las ondas

cuadradas, diente de sierra y senoidal se ilustran en la figura 12.

t

X(t)

X(t)

X(t)

t

t

P(x)

P(x)

P(x)

0

-1 0 1

x

x

x

0

FIGURA 12. Formas de onda con sus respectivas distribuciones de amplitud

A

B

C

55

La onda cuadrada slo puede tomar dos valores posibles y, en

consecuencia, tiene una distribucin discreta, mientras que las ondas

triangular y senoidal toman un continuo de valores entre A y +A, y, por

consiguiente, tienen distribuciones continuas de amplitud.

2.5.1 Potencia de seal. Previamente se mostr que la potencia media de una

seal se puede obtener integrando la funcin de densidad espectral de

potencia para todas las frecuencias; ahora se ver cmo se puede obtener a

partir de la funcin de densidad de probabilidad. Supngase por

conveniencia que x(t) es una forma de onda de voltaje en una resistencia de

1. La potencia instantnea disipada en la resistencia es x2(t), y la potencia

media se obtiene promediando para todos los tiempos:

dt)t(xT/1lmxP2/T

2/T

2

T

2

(34)

La potencia media se puede calcular, de manera alternativa, como

dx)x(pxP 2 (35)

A la ecuacin 34 se le llama promedio en el tiempo, y a la ecuacin 35,

promedio estadstico. La equivalencia de estas dos expresiones no es

evidente a primera vista, pero se puede apreciar de la siguiente manera: la

ecuacin 34 indica que la potencia es el promedio del cuadrado de la

amplitud de la seal; en este caso interviene un promedio en el tiempo. Por

otra parte, la distribucin de amplitud mide la frecuencia relativa con la que

la seal adopta valores posibles de amplitud y esto se basa en el

56

comportamiento medio en intervalos de tiempo largos. Por ello, si se

consideran los cuadrados de todos los valores de amplitud posibles y se

suman ponderados por su frecuencia de ocurrencia relativa, el resultado es

equivalente a calcular el promedio en el tiempo del cuadrado de la seal. Un

ejemplo especfico puede servir en este punto: considrese la forma de

onda de diente de sierra que se observa en la figura 12b. La seal tiene un

periodo bien definido, por lo que la potencia se puede calcular con base en

un promedio en el tiempo, sin tener que recurrir a la operacin de lmite, de

la siguiente manera:

2/T

2/T

32

2/T

2/T

2

2/T

2/T

2

3

t

T

V

T

1P

dtT

Vt

T

1P

dt)t(xT

1P

12

V

12

t

T

V

T

1P

232

(36)

Se analizar ahora con el mtodo estadstico: la amplitud de la seal est

distruibuida uniformemente en (-V/2, V/2), por lo que la funcin de densidad

de probabilidad es

V

xrect

V

1)x(P (37)

La ecuacin 35 da la potencia de la seal como sigue

57

antes como ,12

VP

3

x

V

1P

dxxP

dxV

xrect

V

1xP

dx)x(pxP

2

2/V

2/V

3

2/V

2/V

2

2

2

2.6 PROCESOS DE RUIDO

Las seales de comunicacin a menudo se contaminan con seales externas no

deseadas que son llamadas ruido, distorsin o interferencia. De hecho, el ruido

elctrico es inherente a las comunicaciones elctricas pues est asociado al

movimiento aleatorio debido a la agitacin trmica de los electrones portadores de

carga.

Aqu slo se ocupar de la caracterizacin espectral del ruido. Un modelo muy

comn considera que la potencia de ruido se distribuye uniformemente en todas

las frecuencias de inters. El ruido se caracteriza entonces por su densidad

espectral de potencia (W/Hz), de modo que la potencia en una banda de

frecuencias de F1 a F2 est dada por

2

1

F

FN BdfP (38)

donde B es el ancho de banda de inters: B = F2 F1. A ste se le conoce como

ruido blanco porque la potencia est distribuda uniformemente con la frecuencia.

58

Alternativamente, se puede considerar una representacin de dos lados (bilateral),

en la que las frecuencias positivas y negativas se tratan por separado, en cuyo

caso la densidad espectral de potencia del ruido es /2. Si sta se aplica a un

filtro con funcin de transferencia H(f), entonces la densidad espectral de potencia

del ruido de salida est dada por

2

n )f(H2

)f(s0

(39)

Una vez ms, lo que interesa es la funcin de transferencia de potencia H(f)2.

Si se considera un voltaje de ruido vN(t) presente en una resistencia de 1,

entonces el valor medio del cuadrado del voltaje de ruido es numricamente igual

a la potencia de ruido. Por lo que si un proceso de ruido tiene una funcin de

densidad de probabilidad pN(v) y una funcin de densidad espectral de

potencia SN(f), entonces la potencia de ruido puede obtenerse como

dv)v(PvP N

2

N (40)

con la ecuacin 35, o como

df)f(SP NN (41)

con la ecuacin 28. Es decir, la potencia media de ruido se puede calcular con

base en la distribucin de amplitud o con base en la manera en que la potencia de

ruido est distribuida en el dominio de la frecuencia. Esta ltima es

particularmente til cuando se estudia la influencia del filtrado sobre el ruido.

59

2.6.1 Ejemplo desarrollado: Se tiene una seal pasabajas m(t) con espectro

M(f) desarrollado que ocupa el intervalo de frecuencias f< W y que tiene una

potencia de seal PS 2m . Est contaminada con ruido blanco aditivo. Tanto la

seal como el ruido han de ser procesados por un filtro pasabajas con las

caractersticas que se muestran en le figura 13. Determinar la razn de la

potencia de la seal a la potencia de ruido (la razn de seal a ruido, SNR, por

signal to noise ratio) a la salida del filtro y compararla con el resultado que se

obtendra usando un filtro pasabajas ideal con ancho de banda W.

Solucin:

Potencia de la seal a la salida: PS = 2m .

Potencia de ruido a la salida para el filtro de la figura 13:

H(f)2

-2W -W 0 W 2W

FIGURA 13. Filtro pasabajas no ideal

60

PN = W22

1 + W2

2

+ W

22

1

PN = W4

1 + W + W

4

1

PN = 1.5W

Por lo tanto,

W5.1

mSNR

2

(42)

Con un filtro pasabajas ideal slo estara presente en la salida el ruido que se

encuentre en la banda de W a W, con una potencia total W, obtenindose

W

mSNR

2

ideal

(43)

de donde

dB77.1)5.1(Log105.1

1

SNR

SNR10

ideal

(44)

Por consiguiente, el uso del filtro de la figura 13 da lugar a una reduccin de la

razn de seal a ruido de 1.77dB, en comparacin con el uso de un filtro

pasabajas ideal con ancho de banda W.

Para el ruido que ocupa -2W < f < -W

Para el ruido que ocupa -W < f < W

Para el ruido que ocupa -W < f < 2W

62

3. EL SISTEMA DE FM

3.1 MODULACION

La modulacin de frecuencia o FM, es uno de los mtodos de transmisin de

informacin ms populares de este tiempo. La principal razn de esta popularidad

es la recepcin prcticamente libre de ruido que este sistema provee,

especialmente si se compara con la modulacin de amplitud, su competidor ms

prximo. La propagacin del sonido por el espacio tiene un alcance restringido.

Por ejemplo, el sonido emitido por la voz humana no puede ir ms all de ciertos

lmites, incluso si se tiene una voz potente o se utiliza un amplificador de audio.

FIGURA 14. Propagacion del sonido

PROPAGACION DEL SONIDO

ONDAS SONORAS

?

64

Para transmitir sonido y, en general, cualquier informacin inteligente (voz,

msica, etc.) a lugares distantes, esta ltima debe convertirse en una seal

elctrica equivalente y luego enviarse modulada sobre una portadora de alta

frecuencia. La seal resultante puede as ser irradiada fcilmente al espacio en

forma de una onda electromagntica.

Mediante el proceso de modulacin se modifica cualquier caracterstica de la

portadora de acuerdo a la informacin de audio que se desea transmitir. Las

caractersticas de una portadora susceptibles de modular son su amplitud, su

frecuencia y su fase.

TRANSMISOR

Tx

RECEPTOR Rx

FIGURA 15. Modulacin del sonido

Periodo (T) Portadora

Voltaje(v) Corriente(i)

Seal de Referencia

Fase ()

FIGURA 16. Caractersticas de una Portadora

TIEMPO (t)

65

Cuando la seal de modulacin vara la amplitud de la portadora se obtiene

modulacin de amplitud (AM), cuando vara su frecuencia se obtiene

modulacin de frecuencia (FM) y cuando vara su fase el resultado es

modulacin de fase (PM). En la figura 17 se compara las seales obtenidas por

los tres mtodos.

3.2 MODULACION DE FRECUENCIA

En la figura 18 se describe grficamente el proceso de modulacin de

frecuencia de una portadora de RF mediante una seal de audio. La

SEAL DE

MODULACION

PORTADORA MODULADA

EN FRECUENCIA

PORTADORA

MODULADA EN FASE

(PM)

PORTADORA MODULADA EN AMPLITUD (AM)

FIGURA 17. Mtodos de Modulacin

66

combinacin de estas dos seales la realiza en el transmisor un circuito

especializado llamado modulador.

En condiciones normales sin seal de entrada, la amplitud y frecuencia de la

portadora permanecen constantes. Cuando se aplican la seal de

modulacin, la frecuencia de la portadora varia por encima y por debajo de

su valor central de acuerdo a la amplitud y polaridad de la seal de

modulacin o de audio aplicada.

Especficamente, la frecuencia de la portadora se incrementa durante los

semiciclos positivos de la seal de modulacin y se reduce durante los

negativos. La frecuencia de la portadora es mxima o mnima cuando la

seal de modulacin alcanza su valor pico positivo o negativo,

respectivamente.

FIGURA 18. El proceso FM

PORTADORA SIN MODULAR

SEAL DE MODULACION

PORTADORA MODULADA EN FRECUENCIA

67

Lo anterior se puede ver en la figura 18 si se notan que existen mas ciclos de

RF (ms alta frecuencia) cuando la seal de modulacin es positiva y menos

ciclos (ms baja frecuencia) cuando la seal de modulacin es negativa.

4. MODULACION EXPONENCIAL

4.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En la modulacin exponencial, la onda modulada en forma fasorial es una funcin

exponencial del mensaje, o sea,

)t(cosAeARe)t(x cc)t(jcc c

donde c(t) es una funcin lineal de x(t) y Ac es una constante. Puesto que c es la

posicin angular del fasor, el nombre de modulacin angular resulta igualmente

apropiado.

Mientras que existen muchas formas posibles de modulacin exponencial, slo

dos han demostrado ser prcticas, a saber, modulacin de frecuencia (FM) y la

modulacin de fase (PM). Estas designaciones sugieren frecuencia y fase

variables en el tiempo, conceptos que requieren una interpretacin especial. Esto

68

es cierto en forma particular tratndose de la frecuencia variando en el tiempo, ya

que la frecuencia implica periodicidad y la periodicidad variando en el tiempo es

algo sin sentido.

Para aclarar el tema, se empieza por expresar a c como

c(t) 2fct + (t) (45)

de manera que la frecuencia portadora fc se especifica en forma unvoca. El

segundo trmino de la ecuacin (45) se puede interpretar como ngulo de fase

relativo, en el sentido de que el fasor cj

e

difiere en posicin angular de tjwce en

(t). Recalcando ms estas nociones, se debe recordar que la frecuencia angular

(en radianes por segundo) es la derivada de la posicin angular respecto al

tiempo. Por lo que, se llega a la definicin de desviacin de frecuencia

instantnea F(t) (en revoluciones o ciclos por segundo) por

dt

)t(d

2

1)t(

F (46)

la cual se puede interpretar como la velocidad de cj

e

con comparacin con tjwce .

As, c(t) est relacionada con F(t) por integracin en la forma

t

cc d)(2tf2)t( F (47)

el lmite inferior de integracin representa un trmino de fase constante del que se

puede prescindir sin prdida de la generalidad si se desea. Con estos

preliminares en mente, se define la modulacin de fase como el proceso en el que

la fase es proporcional al mensaje, mientras que en la modulacin en frecuencia

quien es proporcional al mensaje, es la desviacin de frecuencia instantnea F(t).

69

De manera especfica, la fase relativa de una onda de modulacin de fase es

)t(x)t( (48)

donde es la constante de desviacin de fase, es decir, el mximo corrimiento de

fase producido por x(t) puesto que an se est empleando la convencin de

mensaje x(y) 1. La onda modulada es entonces

xc(t) = Ac cos [ct + x(t)] (49)

En forma similar, la desviacin de frecuencia instantnea de una onda de

modulacin de frecuencia es

F(t) fx(t) (50)

donde f es la constante de desviacin de frecuencia. Sustituyendo la ecuacin

(50) en la ecuacin (47) se tiene

c(t) = 2fct + 2f t

d)(x (51a)

y en consecuencia

t

ccc d)(xf2tcosA)t(x (51b)

es la forma de onda modulada.

En lo anterior se supone que el mensaje no tiene componente de cd; o sea, x = 0.

De otra manera la integral de la ecuacin (51) divergira conforme t. En forma

fsica, un trmino de cd en x(t) produce un corrimiento de fase constante x en

modulacin de fase a un corrimiento de frecuencia portadora f x en modulacin

de frecuencia. Prcticamente, cualquier componente de cd del mensaje por lo

general se bloquea en los circuitos del modulador.

70

Comparando la ecuacin (49) con la ecuacin (51), se aprecia una leve diferencia

entre la modulacin de fase y la de frecuencia, siendo la diferencia esencial la

integracin del mensaje en FM.

Por otra parte la comparacin de la modulacin exponencial con la modulacin

lineal revela algunas diferencias pronunciadas. Por un lado, la amplitud de una

onda de modulacin de frecuencia o de fase es siempre constante; por lo que sin

tomar en cuenta el mensaje x(t), la potencia transmitida en promedio es

ST = Ac2 (52)

Por otro, los cruzamientos 0 de una onda modulada en forma exponencial no son

peridicos, pero lo son siempre en la modulacin lineal. Adems, por la propiedad

de amplitud constante de las modulaciones de frecuencia y de fase, se puede

decir que el mensaje recibe slo en los cruzamientos 0, siempre y cuando la

frecuencia portadora sea grande. Por ltimo, puesto que la modulacin

exponencial es un proceso no lineal, la onda modulada no se parece en nada a la

forma de onda del mensaje.

4.2 ANALISIS ESPECTRAL DE FM

La ecuacin (51), da la descripcin del dominio del tiempo de una onda de FM con

mensaje arbitrario x(t). En consecuencia, se comienza este estudio con la

71

descripcin del dominio de la frecuencia o anlisis espectral de FM. Antes de

hacerlo es necesario observar que f(t) no es lo mismo que la frecuencia espectral

f. La primera es un cantidad dependiente del tiempo que describe a xc (t) en el

domino del tiempo; la ltima es la variable independiente del anlisis espectral en

donde XC(f) describe a xc(t) en el dominio de la frecuencia en trminos de las

componentes senoidales de frecuencia fija. Por lo que no se puede esperar una

correspondencia simple uno a uno entre f(t) y el espectro de FM.

Como implican estas consideraciones, es difcil una descripcin exacta de los

espectros de FM salvo para ciertas seales moduladoras sencillas. (Esto, por

supuesto, simplemente refleja el hecho de que lo modulacin exponencial es un

proceso no lineal). Por tanto, en vez de intentar el anlisis con una x(t) arbitraria,

se examinarn varios casos especficos como una tctica alterna.

4.2.1 Modulacin de tono. Con la modulacin de tono, la frecuencia instantnea

de una seal de FM varia en forma senoidal en relacin con la frecuencia

portadora, de manera especfica, si x(t)=AmCoswmt, entonces, omitiendo el lmite

inferior de integracin,

t

mmcc dcosAf2tf2)t(

y

72

tsen

Af2tcosA)t(x m

m

mccc

Para simplificar la notacin, sea

m

m

m

m

f

fAAf2

(53)

tal que

xc(t) = Ac cos(ct + senmt) (54)

El parmetro que se introdujo antes se conoce como ndice de modulacin de

FM, y presenta dos propiedades extraordinarias. Est definido slo para

modulacin de tono, y depende tanto de la amplitud como de la frecuencia del

tono modulante. En forma fsica es la desviacin de fase mxima (en

radianes ) producida por el tono en cuestin. Esta conclusin se desprende de la

inspeccin de la ecuacin (54), la cual muestra que la fase relativa de xc(t) es

tsenf

fAtsen)t( m

m

mm

(55)

As, diferentes tonos con la misma relacin amplitud a frecuencia ocasionan la

misma desviacin de fase, pero a diferentes regmenes. Sin embargo, puesto que

f(t)=fAmCoswmt, la desviacin de frecuencia depende slo de la amplitud del tono

y f, viene a ser la ltima propiedad del modulador.

Para el anlisis esprectral de xc(t), no se intentar una transformacin de Fourier

directa de la ecuacin (54). Pero es posible expresar xc(t) como una suma de

sinusoides, lo cual da entonces el espectro de lineas de frecuencia positiva. Para

este propsito se escribe primero la ecuacin (54) en la forma

73

xc(t) = Ac[cosct cos(senmt) - senct sen(senmt)] (56)

y obsrvese que , an cuando xc(t) en s misma no es necesariamente peridica

cos(senwmt) y sen(sen wmt) son peridicas en 1/fm, pudindose as desarrollar

por medio de serie de Fourier. En particular, es bien conocido en matemticas

aplicadas que

par n

mn0m tncos)(J2)(Jtsencos (57)

donde n es positiva y

de2

1)(J )nsen(jn (58)

Los coeficientes Jn() son funciones de Bessel de primera clase, de orden n y

argumento . Con la ayuda de la ecuacin (58), se puede reducir dificultades al

efectuar los desarrollos trigonomtricos de la ecuacin (57). Sustituyendo la

ecuacin (57) en la ecuacin (56) y desarrollando los productos de senos y

cosenos se tiene por ltimo

xc(t) = AcJ0()cosct

impar n

mcmcnc tncostncos)(JA

par n

mcmcnc tncostncos)(JA (59a)

En forma alterna, aprovechando la ventaja de la propiedad de que Jn()=(-1)n

jn() se obtiene la ms compacta pero menos informativa expresin

n

mcncc t)ncos()(JA)t(x (59b)

74

En una u otra forma, la ecuacin (59) es la representacin matemtica de una

onda de amplitud constante cuya frecuencia est variando en forma sinusoidal.

En breve se dar una interpretacin fasorial, que arrojar ms luz sobre el tema.

Examinando la ecuacin (59), se ve que al espectro de FM lo forman una lnea

correspondiente a la frecuencia portadora, ms un nmero infinito de lneas

correspondientes a las bandas laterales a frecuencias fc nfm. Como se ilustra en

el espectro tpico de la figura 19, todas las lneas estn igualmente espaciadas en

un valor igual al de la frecuencia moduladora y las de banda lateral inferior de

orden impar, estn invertidas en fase (es decir, tienen amplitudes negativas) en

comparacin con la portadora no modulada. En general, la amplitud relativa de

una lnea en fc + nfm est dada por Jn(), pero antes de que se pueda decir algo

ms acerca del espectro, se debe examinar el comportamiento de las funciones de

Bessel.

La figura 20 muestra unas cuantas funciones de Bessel de diferentes rdenes

cuyas grficas estn en funcin del argumento . Es esta grfica se pueden

advertir varias propiedades importantes.

- J1()

J0()

J1()

J2() J3() J2()

- J3() fC fC+fM fC+2fM

f

FIGURA 19. ESPECTRO DE LNEAS DE FM, MODULACION DE TONO

Jn()

1.0

n=1 n=2 n=10 n= 3

J0()

J1()

J2() J3()

- J1()

J2()

- J3() fC fC+fM fC+2fM

f

FIGURA 19. Espectro de lneas de FM, modulacin de tono.

75

1. La amplitud relativa de la lnea portadora J0() vara con el ndice de

modulacin y, en consecuencia, depende de la seal moduladora. As, en

contraste con la modulacin lineal, la componente de frecuencia portadora

de una onda de FM contiene parte de la informacin del mensaje. No

obstante, habr espectros en los cuales la lnea de portadora tenga

amplitud cero, puesto que J0() = 0 cuando = 2.4, 5.5, etc.

2. El nmero de lneas de banda lateral que tienen amplitud relativa

apreciable, tambin es una funcin de . Con >>1 slo J0 o J1 son

significativas, por lo que el espectro consistir de lneas portadoras y de dos

bandas laterales, muy parecido al de AM, salvo por la inversin de fase de

lnea de la banda lateral inferior. Por otra parte, si >>1, habr muchas

lneas de banda lateral, dando al espectro bastante diferencia respecto de

la modulacin lineal.

3. Un ndice de modulacin grande implica un ancho de banda grande para

acomodar la vasta estructura de bandas laterales en concordancia con la

interpretacin fsica de gran desviacin de frecuencia.

=1

=2

=5

0.8

0.4

76

Algunos de los puntos anteriores se ilustran mejor en la figura 21, la cual da a Jn()

como una funcin de n/ para diferentes valores fijos de . Puesto que en la FM

con modulacin de tono se tienen a constante, estas curvas representan la

envolvente de las lneas de banda lateral si se multiplica el eje horizontal por fm

para obtener la posicin de la lnea nfm relativa a fc. Obsrve en particular que

todas las Jn() decaen en forma montona para n/>1 y que Jn()1.

En forma similar a la figura 21, la tabla 1 lista valores seleccionados de Jn(),

aproximados a los decimales. Los espacios en blanco en la tabla

corresponden a Jn()

77

En la figura 22 se muestran espectros de lneas tpicos, en los cuales, para

claridad, se han omitido las inversiones de las lneas de banda lateral inferior

de orden impar. Estos espectros deben ser examinados en forma cuidadosa

dada la influencia relativa de la amplitud y frecuencia modulantes. Ntese

tambin la concentracin del espectro dentro de fcfm cuando es grande.

78

Ac

2fm

fc

Ac

2fm

fc

=0.2

=1

=5

=10

FIGURA 22. Espectro de lineas de tono de FM de tono modulado.(a) fm fija,Amf creciente; (b) Amf fija, fm decreciente

4.2.1.1 Interpretacin fasorial. Dado que la forma de expresar a xc(t) en la

ecuacin (59) es bastante engorrosa, se recurre al diagrama fasorial de la FM

como ayuda en la interpretacin fsica. Como punto de partida, supngase que

108

que colineal. Esta relacin de cuadratura es precisamente lo que se necesita

para producir modulacin de fase o de frecuencia en vez de modulacin de

amplitud.

En forma anlitica, la envolvente y fase de xc(t) con pequea son

t2cos

441AtsenA

22A)t(R m

22

c

2

mc

2

c

tsenA

tsenA)2(2arctan)t( m

c

mc

(60)

As, la variacin de fase es en forma aproximada como se desea, pero existe

una variacin de amplitud adicional al doble de la frede tono. Para cancelar

esto ltimo, se debe incluir el par de lneas de banda lateral de segundo

orden que giran a 2fm en relacin con la portadora y cuya resultante es

colineal con ella. Dado que el par de segundo orden en forma virtual cancela

la modulacin de amplitud no deseada, tambin distorsiona a (t). La

distorsin se corrige entonces agregando el par de tercer orden, lo cual

introduce de nuevo la modulacin en amplitud, y as hasta el infinito.

Cuando se incluyen todas las lneas espectrales, los pares de orden no

tienen una resultante en cuadratura con la portadora que provee la

109

modulacin en frecuencia deseada ms una modulacin en amplitud no

deseada. La resultante de los pares de orden par, que son colineales con la

portadora, corrigen las variaciones de amplitud. El efecto neto es entonces

como el que se muestra en la figura 25. El extremo de los barridos

resultantes en un arco circular, refleja la amplitud constante Ac .

4.2.2 Modulacin de tono mltiple. La tcnica de serie de Fourier que se us

para llegar a la ecuacin (59) se puede aplicar tambin al caso de la

modulacin de tono mltiple. Por ejemplo, supngase que

x(t)A1cosw1t+A2cos w2t, donde f1 y f2 no estn relacionadas en forma

armnica. La onda modulada se escribe primero como

Ac

Bandas laterales

de orden impar

Bandas laterales de orden par

FIGURA 25. Diagrama fasorial de FM para arbitrario

110

xc(t) = Ac[cosct(cos1 cos2 - sen1 sen2)

- senct(sen1 cos2 + cos1 sen2)

donde 11senw1t, B1A1f/f1, etc. Los trminos de la forma cos1, sen1,

etc., se desarrollan luego conforme a la ecuacin (57), y despus de algunas

manipulaciones rutinarias, se llega al resultado simplificado.

n m

21c2m1ncc t)mncos()(J)(JA)t(x (61)

Interpretando esta expresin en el dominio de la frecuencia, las lneas

espectrales se pueden dividir en cuatro categoras : (1) la lnea portadora de

amplitud AcJ0(1)J0(2); (2) las lneas de banda lateral en fc nf1 debidas a un

tono solo; (3) las lneas de banda lateral en fc mf2 debidas al otro tono solo;

y (4) las lneas de banda lateral en fcnf1mf2 las cuales aparecen como

modulacin de frecuencia debatido en las frecuencias suma y diferencia de

los tonos modulares y sus armnicas. Esta ltima categora puede caer de

sopresa, porque no viene paralela a la modulacin lineal donde la norma es

la simple superposicin de las lneas de banda lateral. Pero entonces se

debe recordar que la FM es una modulacin no lineal, donde no se espera la

superposicin. En la figura 26, se muestra un espectro de FM de doble tono

en el que se ven diferentes tipos de lneas espectrales para f1

111

lateral en fc mf2 se ve como otra portadora de FM con modulacin de tono

de frecuencia en f1.

Si es necesario en forma absoluta, la tcnica anterior se puede hacer

extensiva a la modulacin con ms de dos tonos no armnicos; el

procedimiento es directo pero desordenado.

Cuando las frecuencias de tono se relacionan en forma armnica, es decir,

que x(t) es una forma de onda peridica, entonces (t) es peridica y, por lo

tanto, es ej(t). Lo ltimo se puede desarrollar en serie exponencial de

Fourier con coeficientes

0T

0

0

n dttn)t(jexpT

1c (62a)

por lo que

112

n

t)n(j

ncc0cecARe)t(x (62b)

4.2.3 Modulacin de pulsos. No obstante las complejidades de los espectros

de FM, hay una cuantas seales moduladoras para las cuales xc(t) se puede

tratar por medio de transformaciones de Fourier directas. Una de tales

seales es el pulso rectangular x(t) = (t/). Por inspeccin o integracin de

f(t) se tiene

2ttcosA

2tt)cos(A

)t(x

cc

cc

c

Pero es ms apropiada para lo que se persigue, la forma

t)cos(

ttcos

ttcosA)t(x ccccc (63)

la cual dice que la seal modulada es una onda sinusoidal de frecuencia fc

menos un pulso de RF de frecuencia fc ms un pulso de RF de frecuencia

fc+f.

Aunque la ecuacin (63) puede parecer indebidamente formal, se presta por s

misma con facilidad al anlisis de Fourier, adems, se puede transformar a x(t)

trmino a trmino para dar

113

)ff(csen)ff(csen2

A)ff()ff(

2

A)f(X cc

ccc

cc

)fff(csen)fff(csen2

Acc

c (64)

La porcin de frecuencia positiva de Xc(f) se bosqueja en la figura 27 para

f=2/. Se ve que el espectro no es simtrico en relacin con la frecuencia

portadora y tiene ms contenido encima de fc que por debajo; un hecho que

se podra haber anticipado porque fc+f(t) nunca es menor que fc. Ms an,

no obstante que estn presentes otras frecuencias, el espectro se concentra

en los dos valores discretos fc y fc+f.

4.3 ANCHOS DE BANDA EN FM

Se ha visto que, en general, un espectro de FM tiene extensin infinita. En

consecuencia, la generacin y transmisin de FM pura necesita sistemas de

fc 1/ fc fc+2/ f

FIGURA 27. Espectro de FM de pulso modulado

114

ancho de banda infinito, sea el mensaje o no de banda limitada. Pero los

sistemas prcticos de FM con ancho de banda finito s existen y se

desempean bastante bien. Su xito depende de que, suficientemente lejos

de la frecuencia portadora, las componentes espectrales son muy pequeas

y se pueden descartar. Cierto, omitiendo cualquier porcin del espectro se

dar lugar a la distorsin de la seal demodulada; pero la distorsin se puede

reducir al mnimo conservando todas las componentes espectrales

significativas.

La determinacin del ancho de banda de transmisin en FM se reduce a la

pregunta: Qu tanto del espectro de la seal modulada es significativo?

Por supuesto que las normas de significacin no son absolutas, siendo

contingentes con la cantidad de distorsin que se puede tolerar en una

aplicacin especfica. Sin embargo, con los criterios de las reglas de uso

inmediato basadas en el estudio de la modulacin de tono, se ha logrado un

xito considerable y se ha llegado a relaciones aproximadas tiles. El

anlisis de los requisitos de ancho de banda de FM empieza, por lo tanto,

con las lneas de banda lateral significativas para modulacin de tono.

4.3.1 Lneas de banda lateral significativas. La figura 21 indica que Jn() decae

en forma rpida para n/>1, particularmente si >>1. Suponiendo que el

115

ndice de modulacin es grande, se puede decir que Jn() es

significativo slo para n = Amf/fm. Por lo que, todas las lneas de banda

lateral significativas estn contenidas en el intervalo de frecuencia fcfm =

fcAmf; una conclusin en concordancia con el razonamiento intuitivo. Por

otra parte, supngase que el ndice de modulacin es pequeo; entonces

todas las lneas de banda lateral son pequeas comparadas con la portadora,

puesto que J0()>>Jn0() cuando y JM+1()

116

La figura 28 muesta a M como una funcin continua de para =0.01 y 0.1.

Estudios experimentales indican que la primera es a menudo bastante

conservativa, mientras que la ltima puede dar por resultado distorsin pequea

pero perceptible. Son aceptables para muchos propsitos, los valores de M entre

estos dos lmites conforme se indica por medio de la lnea punteada-.

Pero el ancho de banda B no es el ancho de banda de transmisin BT; ms

bien es el ancho de banda mnimo necesario para modulacin por medio de

un tono de amplitud y frecuencias especficas. Como ilustracin, la mxima

desviacin de frecuencia f en la FM comercial est limitada por la FCC a

=0.01

=0.01

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10 20 50

50

20

10

5

2

1

FIGURA 28. El numero de partes de bandas laterales significativas como una funcion de (o ).

117

75KHz, y las frecuencias moduladoras cubren de 30Hz a 15KHz. Si un tono

de 15KHz tiene amplitud unitaria (Am=1), entonces = 75/15 = 5, M = 7, y B =

2x7x15 = 210KHz. Si la amplitud hubiera sido menor, no se hubiera

desarrollado la mxima desviacin de frecuencia, y el ancho de banda sera

ms pequeo. Ms an, un tono de baja frecuencia, digamos de 7.5KHz a

amplitud plena, resultara en un mayor ndice de modulacin (=10), o sea,

un nmero ms grande de pares de bandas laterales significativas (M=12),

pero un ancho de banda ms pequeo, a saber, B = 2 x 12 x 7.5 = 180KHz.

En pocas palabras, el ancho de banda se determina en una forma ms

compleja tanto por Amf como fm(o y fm), y no slo por .

Para conseguir este ltimo punto, se debe calcular el ancho de banda

mximo que se requiere cuando los parmetros de tono estn limitados por

Am1 y fmW. Para este propsito, la lnea punteada de la figura 28 se puede

aproximar por

M() + (66)

donde es en forma esencial constante con un valor entre 1 y 2 (el valor

exacto carece de importancia por el momento). Insertando la ecuacin (66)

en la (65) se tiene

mmmm

mm ffA2f

f

fA2f)(2B

118

Ahora, teniendo en cuenta que f es una propiedad del modulador, qu tono

produce el ancho de banda mximo? Es claro que es el tono de mxima

amplitud y mxima frec

01 Comunicación FM Por La Red Eléctrica

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