7/25/2019 003 Solemne 1 Math Cot 1 2014

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Primera Solemne.

Matemtica de lo Cotidiano I.

Nombre:

Indicaciones:

No est permitido el uso de libros ni apuntes.

Duracin 100 minutos.

Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente sern evaluadas con menor puntaje.

Debe resolver los ejercicios utilizando los contenidos vistos en clases.

El uso de cualquier aparato tecnolgico durante el desarrollo de la evaluacin ser sancionado con la nota mnima.

a. Demuestre, sin usar tablas de verdad, que la siguiente proposicin es una Tautologa. (10 puntos)

[(p q) (s r)] [p r (q s)]

b. SeanA y Xconjuntos. Determine si [(A X) (AX)] [(A X) A] =X (10 puntos)

Pregunta 1(Lgica y Teora de Conjuntos).

Si a, b, c R+ {0}. Demuestre que a+b

c +

a +c

b +

c+b

a >6. (10 puntos)

Pregunta 2(Axiomas de Orden).

Encuentre el conjunto solucin de la inecuacin (20 puntos)

|x2 + 3x| +x|x+ 3| +x2 7 + |1 +x2|

Pregunta 3(Inecuaciones).

El 40 % de los alumnos de Ingeniera a reprobado Algebra, 45 % Clculo I y el 33 % Clculo II. El 15 % reprob

Algebra y Clculo I, el 10 % Algebra y Clculo II, el 12 % Clculo I y II. Y slo el 7 % las tres asignaturas. Quporcentaje de los alumnos de Ingeniera reprob slo dos asignatura? Qu porcentaje de los alumnos reprobsolo clculo II? (10 puntos)

Pregunta 4(Conjuntos).

Profesor : Miguel ngel Muoz Jara.email : miguel.munoz@usach.cl

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PAUTA

Observacin.

La solucin de los siguientes problemas puede no ser nica. Si encuentra algn Herror favor comuniquelo va em

a. Demuestre, sin usar tablas de verdad, que la siguiente proposicin es una Tautologa.

[(p q) (s r)] [p r (q s)]

Solucin.Supongamos que la proposicin dada no es tautologa, es decir supongamos que existen valoresdep, q,r, spara los cuales:[(p q) (s r)] [p r (q s)] = 0. Pero lo anterior es factiblesolo si:

(p q) (s r) = 1 (p q) = 1 (r s) = 1

p r (q s) = 0 p = r = 1 (q s) = 0

De lo anterior podemos deducir [p= q=r= s = 1 (q s) = 0] | . As por la ley de reduccin alabsurdo se tiene que la proposicin dada es una tautologa.

b. SeanA y Xconjuntos. Determine si [(A X) (AX)] [(A X) A] =X

Solucin. Observe:

[(A X) (AX)] [(A X) A] = [(A X) ([A X] [X A])] [(A X) Ac]

= [(A X) ([A X] [X A])c] [X Ac]

= [(A X) ([A Xc]c [X Ac]c)] [X Ac]

= [(A X) (Ac X) (Xc A)] [X Ac]

= [[(A Ac) X] (Xc A)] [X Ac]

= [X (Xc A)] [X Ac]

= [X A] [X Ac] =X (A Ac) =X

Solucin Pregunta 1(Lgica y Teora de Conjuntos).

Si a, b, c R+ {0}. Demuestre que a+b

c

+a +c

b

+c+b

a

6.

Demostracin. Observe que

A = a+b

c +

a+c

b +

c+b

a =

a

c+

c

a+

a

b+

b

a+

b

c+

c

b2 + 2 + 2 = 6()

Donde la desigualdad (*) se obtiene aplicando el hecho de que si x = y son reales distintos de cero entoncesx

y+

y

x2.

Solucin Pregunta 2 (Axiomas de Orden).

Profesor : Miguel ngel Muoz Jara.email : miguel.munoz@usach.cl

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7/25/2019 003 Solemne 1 Math Cot 1 2014

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Encuentre el conjunto solucin de la inecuacin

|x2

+ 3x| +x|x+ 3| +x2

7 + |1 +x2

|Solucin. Observe que:

|x2 + 3x| +x|x+ 3| +x2 7 + |1 +x2| |x2 + 3x| +x|x+ 3| +x2 7 + 1 +x2

|x2 + 3x| +x|x+ 3| 8

|x+ 3|[x+ |x|] 8

Para resolver la inecuacin analizaremos dos casos:Caso 1. x 0. En este caso se tiene:

|x+ 3|[x+ |x|] 8 |x+ 3|[x x] 8 0 8 |

Por lo tanto Sol1= .Caso 2. x >0. En este caso se tiene:

|x+ 3|[x+ |x|] 8 (x+ 3)[x+x] 8 x2 + 3x 4 0

(x 1)(x+ 4) 0 x R] 4, 1[

Por lo tanto Sol2= R] 4, 1[]0, [= [1, [.

As de los casos 1 y 2 se tiene que la solucin de la inecuacin |x2 + 3x| +x|x+ 3| +x2 7 + |1 +x2| es:

S= Sol1 Sol2= [1, [

Solucin Pregunta 3(Inecuaciones).

El 40 % de los alumnos de Ingeniera a reprobado Algebra, 45 % Clculo I y el 33 % Clculo II. El 15 % reprobAlgebra y Clculo I, el 10 % Algebra y Clculo II, el 12 % Clculo I y II. Y slo el 7 % las tres asignaturas. Quporcentaje de los alumnos de Ingeniera reprob slo dos asignatura? Qu porcentaje de los alumnos reprobsolo clculo II?

Solucin. Observe que del enunciado es posibleconstruir el diagrama que se ilustra en la figuraadjunta, del cual es posible deducir que 16% delos estudiantes reprob solo dos de las asignatu-ras mientras que el 18 % reprob solo Clculo II.

Solucin Pregunta 4 (Conjuntos).

Profesor : Miguel ngel Muoz Jara.email : miguel.munoz@usach.cl

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