001CAP 8 TRIGONOMETRIA

download 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

of 26

  • date post

    30-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    290
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

naunidad de medidapara ngulos es elgrado sexagesimalosi m-pemente grado.Elngulo obtenido por una revolucin completa en sentido opuesto alas agujas delrelojmide 360 grados;por lotanto, ., grado es3 ~de unacircunferencia. Otraunidad demedidade ngulos es elradin. un radin es lamedida del ngulo centralde una circunferencia que s..htiende unarco de lamismalongitud que suradio. Relacin entre ambos sistemas: 1= (1:0) rad 1 rad=c:or Nota:Engeneralse omite la palabrarad;as,unngulo puede medir231t(en vez de 2Itrad). J Trigonometra353 www.Matematica1.com Seao:unnguloagudo eneltri ngulorectnguloABe,decatetos aybY dehipotenusaC.lasrazonestrigonomtricasson:seno, coseno,tangente,cosecant e,secante y cotangente y se definen: B sen(l ===cateto opuesto chipotenusa cosee Cl==hipotenusa acatelo opuesto b cosa = -= , cateto adyacente hipotenusa e a sec o.=b'cateto adyacente Ia. ==cateto opuesto gbcaleto adya(ente cot a. =caleto adyacente acateto opuesto a e b A Definicin.Unaidentidadesunaigualdadqueseverifica paralodos losvaloresposibles de laSonidentidades bsicas: 1. 1 ctg Cl= cos (lcosee Cl=--5. ""a se,a 2. 1 sec o.=-- 6.sen2 a.+ cos2 a=1 (OSa 3. ctg o.=_,- 7.1 +lg2a. = sec2a Iga 4. tsen (l ga=--e," a 8.1 + ctg2 a= cosec2 a Sudemostracin es consecuencia directa de ladefinicin de razones trigonomtricasen8.2(ver ejercicioresuelto nO10). www.Matematica1.com Seaaunngulo cualquieraenunsistemade coordenadasrectangulares yseaP(x,y) unpunto cualquierade sulado terminal. Sir = !l/x2+ yl,definimos: sena=L 11 , cosa--r , y tg (l l , iy . esea= y o ~ 111 , IV , sec (l-, ctg (l , y Losvaloresdelasfunciones trigonomtricasdelosngulos de 30", 4Su,60" y delos ngu-...!....0300 1 .fi .,13 2'./3 ..rJ los cuadrangulares (sulado ter-""2T 2 3 minal coincide con unlado de 62 uncuadrantedelsistemacar-....!..04So 42 vi V2"f2 tesianolsonusadosfrecuente-4 ""22mente,ysepresentanenla O O"OOinr;Jef.1 tablaadjunta:(verejercicios resueltosnos12y 13) " Imllll + ~~ 9 " ., lb 1O n'(Jef. 1ndet. 1tb180"O- 1O ndet.- 1 361tO2 7 ~ -1OndeL-1i ndeLO liplOrldU 1> www.Matematica1.com UnafuncinfesperidicasiexisteunnmerorealpositivoPtalque f(x+ P)=f(x) paratodo valor de x en eldominio de f. Elnmero realP sell ama perodo de lafuncin f. lasfuncionessenoycoseno,secanteycosecantesonperidicasde perodo 21t(360"). las fu nciones tangente y cotangente sonperidicasde periodo 1t(180). Ejemplos: a)sen(l = sen(a+ 21t)b) tg a =tg(a + 18(0) rr7rr~ sen -=sen-=--332 Ig30" = Ig 21 O" =":? Una fu ncin f es par sif(- xl= f(x)para todo valor de x enel dominio de f. Una funcinf es impar sife-x)= - f(x),para todo va lor de x en el dominio de f. las funciones coseno y secante sonfuncionespares. lasfuncionesseno,cosecante,tangenteycotangentesonfunciones impares. Ejemplos: al cos (l = cos(- a)b)sena==- sen(- 0:) cos...!... = cos(- -"- )=43 2 sen 3Cf=- sen (-3cn=-(-+ )= + Definicin.U naecuacin trigonomtricaes ~ q u e l l aque con-tienelavariabledentrode unaexpresintrigonomtrica.l as solucionesdeestasecuacionessonngulosexpresadosen grados o radianes. Ejemplos: a)senx=J.-2 b)4tgx-2cosx - 4+.v2 = 0 c)tg (2x+ rr) = 1 Ver ejercicios resueltosnos1 7 al 22. www.Matematica1.com ck Sellama "resolver un tri ngulo" a detenninar lamedida de sus treslados y desustresngulosinteriores.lossiguientesteoremasseverificanen todo tipo de tringulos. Seana, y'Y105ngulosinteriores deuntringulo ABecualquiera y seana,b y elos respectivoslados.Secumple: e sena '( a- b- e B.9.ZIGI'"G-Milck./ (ock. b a A;'"-'---c-J..IL"" B Seana,y y los ngulosinteriores deuntringulo ABe cualquieray seana,b y elosrespectivoslados.Se cumple: e a2 = b2+ e2 -2bc cos a b2 = e2 + a2 - 2ac cos e2 = a2 + b2 -2abcosy Sellamangulodeelevacinalngulo formadoporlahorizontalylarectaque une alobservador con elobjeto cuando el objeto est sobre elobservador. Sellamangulodedepresinalngulo formadoporlahori zontalylarectaque une alobservador con el objeto cuando el objeto estbajo elobservador. Ver ejerciciosresueltos14 al16, 23Y 24 OBJETO Ctesngulo de elevacin OBSERVADOR OBSERVADOR"'-.",------p esngulo de depresin. OBJETO TrigonomelrJJ 57 www.Matematica1.com 1.Exprese enradianeslamedida de losngulos: al120" = 1200( 1;" )rad = 2+ radb)54 = 54( 1:{)" )rad = 3 toJad 2.Expreseengradoslamedidade los ngulos siguientes: alb) 337t661t 3.Seaaunngulo agudo y tgex=j . B 2 Determinemos lasdems funciones . . _cateto opuesto SoIUClOn:Como sabemos, tg a=d a cateto ayacente Dibujamos untringulo ABe y aesuno de sus ngulos agudos.Asignamosel valordelatan-gente,comoenlafigura,yluegodetermina-moslahipotenusa,aplicandoelTeoremade Pitgoras. e3 A senn= _2_ese a="/13 2 As tenemos: ,fn cosa= _3-vn seco:='/13 3 4.Determine lasfuncionestrigonomtricas del ngulosabiendo que 2+b Solucin: Sabemos que sec \3= hipotenusa catoadyacente A 2+b AplicamosTeoremadePitgo-raspara determinar cateto AC e D--"b- -'--"-" B AC2 = 4 + 4b + b2 _b2 AC="4+4b = 24, + b Porlotanto: sen=2V1+b 2+b b = - -2+ b cosec=2+ b 2V1+b 2+b sec=--, b 2Vi7bb tg=-"-'-c'-"- ctg A-be -2V1+b www.Matematica1.com 4 5.Determi ne lasfundones trigonomtricasdelngulo a sisen (l =3 Solucin: Como sen a= opuesto lpotenusa Vemosquenoesposibleasignardi chosvaloresalosladosdeun tringulo rectngulo, pues uncateto nopuede ser mayor (niigual) ala hipotenusa.Porlo tanto,no existeningnngulo cuyo seno sea. Desafo:Averigequsonfuncionesacotadasyentrequvalores estnacotadaslasfunciones trigonomtricas. &.Demuestre que sena ctg o:= cos ce Analizamos ellado izquierdo de laigualdad y aplicamoslas identida-des que seannecesarias hasta obtenerlaexpresindellado derecho. sen a. ctg a=cosa jeR11 = cos a 7.Demuestre que sena(eseCt- senIX) = (052 a Procediendo como en elcaso anterior,tenemos que: sena(ese (X- sen(X)= sena( _ ,_ - sena) seno. =)ienii _ sen1 a = 1 -sen1a :o cos2 a 8.Demuestre que tg a=tg a- 1 1ctg o. (idenUdad 6 pg.354) Enestecasoanalizaremoselladoderechodelaigualdad(esms sencillosimpl ificarunaexpresintrigonomtricaqueampli ficarla). Apli caremoslasidentidadesqueseannecesariashastaobtenerla expresindel lado izquierdo. Iga -l=tga-l 1clga1 -1 tga =tgCt-1 Iga-1 tg a tgo.=tg a . .- -www.Matematica1.com TrigonomelTia 9.Demuestre que cos"13+ sen2 13=- cos2 13+ sen" Procediendo como enloscasosanteriores,analizamos elprimer miem-bro delaigualdad y aplicamoslasidentidades correspondientes: ;:1 - 2sen213+ sen"13+ sen213 10. Demuestreque sen2 a. + cos2 0.;:1 B e a e b a A ConsideremoselII rec-tngulo ABCy a.unodesus ngulos agudos. PorTeoremadePitgorasse cumple: a2 + b2 ;:c2 l :c2 (f)' + (%)' =1 Aplicando lasdefiniciones de razonestrigonomtricas,tenemos: 11.Seaa.unngulo enposicinestndar enun sistemade ejes coordena-dos,esto es,elladoinicialde a.coincide conlapartepositivadeleje x,elvrtice del ngulo eselorigendelsistema,y seaP(-4,3)elpunto dellado terminalde l.Determine todaslasfunciones trigonomtricas de 0.. Solucin:Primerodeter-minemos del segmentoQP=- r.

1'--- -- -- J a -4 4 www.Matematica1.com yahoraaplicamoslasdefinicionesdelasfunciones trigonomtri-casde a: (x=-4; y = 3; r = 5) yJ sena =-= -r5 x4 cosa =-= - -r5 r5 coseca= -= -yJ r5 seca=-=- -x4 x4 cota =-= - -yJ 12.Encuentrelasfunciones trigonomtricaspara a=600 ( o a= f ) e Solucin:Consideremos el/:::,ABCequilterode lado 2 y seaCDsualtura. En/:::,rectnguloADCse tienequeh2+1= 4. Entonces: {3 sen600=2 cos600=I Ig 60" = {3 2 2 cosec 600 = ...1....- = l....l.... {3J sec 60" ::;;2 l{3 col 60" =-- = T {3 B Desarrolle el mismo ejerci cio pero para un tringulo equiltero de lado 3,5, a. 13. Encuentrelasfunciones trigonomtricas para ex= 900 (o;) Solucin. Elpunto (0,1) pertenece al lado terminalde a. As:x =O;Y =1;r =1 sen90"=J.... =1 r cos90" = ~=0 r tg 90" =f =indefinida (O,1) " cosec 90" =..!..=1 Y sec 900 =~=indefinida cot90"=~ = O y Trigonometra361 www.Matematica1.com 14.Desde unpunto P situado a nivelelsuelo, elngulo de ele-vacindelacimadeunatorreesde 300.Siladistancia entreel puntoP ylabasedelatorrees12metros,deter-minelaaltura de sta. 30 ... 12m Lafigurailustralasituacinplanteada. Eltringulodeterminadoesrectngulo;uncateto esinforma-cindadayelotrocatetoeslaincgnita.Unafuncinque relacionalosdoscatetoseslatangente(laotraeslacotan-gente) As tg300 =Perotg 300 =_,_entonces ;/3 despejando nos queda:h = --11. ,,(3 y racionalizando:h = 4'1/3 12;/3 Solucin:latorremide4V3metros,aproximadamente6,9 metros. 15.DesdeunpuntoPsituadoaniveldelsueloseobserva lapuntadeunachimeneabajounngulodeelevacin de3D"yacercndose20metrosdesdeotropuntoQel ngulode elevacinesde60.Determinelaalturadela chimeneayladistanciadesdestahastaelprimerpunto de observacin(P). -- ---_.- - -" ------www.Matematica1.com Lafiguramuestralasituacin planteada. Debemos determinar h y d=x + 20. h Tenemostg60" =x h

20m h yIg30"=x+20 Como Ig60" =V3y tg 30" ""JJsetiene hh1 III-=v3 yI2)--=-xx+20V3 de 11)h = x V3reemplazando en(2) x43 x + 20 1 V3 Porlotanto,h = 1011/3 As3x=x + 20 2x =20 x= 10 Soluci n.Lachimeneamide1043 metros(17,3m)yladistancia desde ellaalprimer punto de observacin es 30 metros. 16.Unnioelevaunvolantncon unacuerdatensaque formaun ngulode elevacinde60" con lahorizontal.Aqual turase encuentraelvolantndelsuelo silalongitud de lacuerda es de 18metrosyelniomide1.50 metros (o el nio tiene la cuerda a1.50 m delsuelo)? l afigurarepresentala situacin planteada.Enestecaso,una informacinesellargodela cuerda,loque corresponde ala hipotenusa del tringulo.Enton-ces aplicamoslafuncinseno. x sen600=18 la distancia desde elvolantnalsuelo es: 18 m x 1.5m do;:o x+ l ,5 d=9V3 +1,5 d""17 m. Desafo: Averige y construyalos grficos de las funciones trigonomtricas. - -""------- d TrigonomeMalb] www.Matematica1.com liplomu:' 17.Resuelvalaecuacin: senx = f 18. Solucin: Sabemos que sen 30" =+; por lotanto,una soludn particular esxl= 3(1'. Peroademsenlacircunferenciageomtrica(deradio1)lafuncin senoquedadefinidaporelejey,y tambinespositivaenel2cua-drante;porlotanto,ah hay otrasolucinparticular. Observandolacircunferencia unitaria(deradio1),vemos que: Xl= 150"tambinessolucin de laecuacin Ntese que 150" = 180" - 30" 1 --- - ~ O" As,lassolucionesparticular