Vectores en dos dimensiones

Habilidades1. Define el concepto de vector y describe las diferentes

notaciones2. Determina la longitud de un vector3. Define las operaciones de suma entre vectores y la

multiplicación de un vector por un escalar. 4. Define el vector unitario y determina un vector unitario en la

dirección de un vector dado.5. Describe un vector como combinación lineal de los vectores

unitarios canónicos.6. Determina las componentes de un vector a partir de su

ángulo director. 7. Define el producto escalar.8. Determina el ángulo entre dos vectores y establece cuando son perpendiculares.9. Determina la proyección de un vector sobre otro vector. 10. Descompone un vector en sus componentes perpendiculares.

INTRODUCCIÓN¿ Como podemos determinar la fuerza F con la cual se desliza el niño por el plano inclinado, si el peso combinado del niño y del trineo es de 140 kilos fuerza?

¿Qué fuerza T debe realizar una persona si desea jalar el trineo para que este no se deslice ?

T

F

W

N

300

T

Es cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.

Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección.Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc.El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector .

MAGNITUDESMagnitud Escalar

Magnitud Vectorial

Definición.- Un vector bidimensional v es un par ordenado de números reales (a; b), donde a y b se llaman componentes del vector.

v= (a; b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0; 0)

VECTORES BIDIMENSIONALES

(a;b)

y

x

Magnitud de v : Se denota por ov v

Dirección de v: Dirección es el ángulo que forma la flecha conEl semieje positivo.

MAGNITUD DE UN VECTOR

22 bav Si v= (a; b), entonces

Si el vector v se representa mediante la flecha de (x1; y1) a (x2; y2), se tiene:

(x1;y1)

(x2; y2)v

V=(x2-x1; y2-y1) (TMI)

212

212 )()( yyxxv Donde:

SUMA DE VECTORES Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Sean u=(u1; u2) y v =(v1; v2) vectores y sea k un número real, se tiene:

u+v =(u1+v1; u2+v2)ku=k(u1; u2)= (ku1; ku2)

u

v

SUMA DE VECTORES Y MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Sean u=(u1; u2) y v =(v1; v2) vectores y sea k un número real, se tiene:

u+v =(u1+v1; u2+v2)ku=k(u1; u2)= (ku1; ku2)

u

u+v

v

x

y

u

v

u+v

x

y

Método del triangulo Método del paralelogramo

Un vector u con longitud es un vector unitario

1u

VECTOR UNITARIO

Vector unitario en la dirección de v: vv1

vvu

)1;0(,)0;1( ji

Vectores unitarios canónicos:

Cualquier otro vector se puede expresar como una combinación lineal de ellos, en efecto:V= (a; b)=(a; 0)+(0; b) = a(1; 0)+b(0; 1)= = ai + bj

Ángulos de dirección

v

y

x

Una forma sencilla de establecer la dirección de un vector en el plano, es establecer su ángulo dedirección.

V=( ; ) cosv senv

)sen;cos(vvu

cosv

senv

PRODUCTO ESCALAR

u

v

2211 vuvu vu

Si se tiene los vectores u=(u1; u2) y v=(v1; v2) el producto escalar de ellos es:

Donde: ºº 1800 o rad0º

cosvuvu

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO

vvvu

2Proy uv

Si u y v son vectores no nulos, la proyección de u sobre v es: