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5.6 Ejes sólidos no circulares

En las sección 5.1 se demostró que al aplicar un par de torsión sobre un eje

con sección transversal circular, es decir sobre un eje con simétria axial las

deformaciones cortantes varían linealmente desde cero en su centro hasta un

mximo en su superficie externa

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5.6 Ejes sólidos no circulares

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Ejemplo 5.10El eje de aluminio 6!61"#6 mostrado tiene una sección transversal con forma de

trian$ulo equiltero. %etermine el ma&or par de torsión # que puede aplicarse sobre el

extremo del eje si el esfuer'o cortante permisible es (perm)*+si & el n$ulo de $iro en

su extremo esta restrin$ido a perm)!.!-rad %e que tama/o puede ser el par de torsión

aplicado a un eje con sección transversal circular hecho con la misma cantidad dematerial0

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5. #ubos de pared del$ada con secciones transversales

cerradas2os tubos de pared del$ada con sección transversal no circular se utili'an a

menudo para construir estructuras li$eras como las empleadas en aviones

En las fi$uras se muestran un peque/o elemento del tubo, con una una

lon$itud finita 3s3 & un ancho diferencial 3dx 3

4lujo cortante

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Esfuer'o cortante promedio

El esfuer'o cortante promedio se puede relacionar con el par de torsión # al

considerar el par de torsión producido por este esfuer'o cortante alrededor de

un punto seleccionado dentro de los limites del tubo

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n$ulo de $iro

El n$ulo de $iro de un tubo con pared del$ada & lon$itud 2 puede

determinarse mediante métodos de ener$ía . 7i el material se comporta de una

manera elstico"lineal & 8 es el modulo cortante, entonces este n$ulo dadoen radianes puede expresarse como

2a inte$ral debe reali'arse alrededor del limite del rea de la seccióntransversal del tubo.

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Ejemplo 5.11

9alcule el esfuer'o cortante promedio en un tubo de pared del$ada con un sección

transversal circular de radio medio r m

 & $rosor t, el cual esta sometido a un par de torsión #

fi$ura:a;. dems 9ul es el n$ulo de $iro relativo si el tubo tiene una lon$itud 20

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Ejemplo 5.12El tubo fabricado de bronce 9*61!! & tiene una sección transversal rectan$ular como se

muestra en la fi$ura se somete a los dos pares de torsión mostrados en la fi$ura, determine el

esfuer'o cortante promedio en el tubo en los puntos & <. dems , 9ul es el n$ulo de

$iro del extremo 90 el tubo se encuentra fijo en E

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Ejemplo 5.12El tubo fabricado de bronce 9*61!! & tiene una sección transversal rectan$ular como se

muestra en la fi$ura se somete a los dos pares de torsión mostrados en la fi$ura, determine el

esfuer'o cortante promedio en el tubo en los puntos & <. dems , 9ul es el n$ulo de

$iro del extremo 90 el tubo se encuentra fijo en E

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Problema 5.95

9ompare los valores del esfuer'o cortante elstico mximo & el n$ulo de $iro

desarrollados en ejes de acero inoxidable =!> con secciones transversales circular &

cuadrada. 9ada eje tiene la misma rea de ? pul$- & se somete a un para de torsión de

>!!!lb"pul$.

@ximo esfuer'o cortante

Aara eje circular 

Aara eje rectan$ular 

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Problema 5.95

9ompare los valores del esfuer'o cortante elstico mximo & el n$ulo de $iro

desarrollados en ejes de acero inoxidable =!> con secciones transversales circular &

cuadrada. 9ada eje tiene la misma rea de ? pul$- & se somete a un para de torsión de

>!!!lb"pul$.

n$ulo de torsión

Aara eje circular 

Aara eje rectan$ular 

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Problema 5.98

El eje esta hecho de latón rojo 9*=>!! & tiene una sección transversal elíptica. 7i se

somete a las car$as de torsión mostradas determine el esfuer'o cortante mximo dentro de

las re$iones 9 & <9, también encuentre el n$ulo de $iro del extremo < con respecto

al extremo

@ximo esfuer'o cortante

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Problema 5.98

El eje esta hecho de latón rojo 9*=>!! & tiene una sección transversal elíptica. 7i se

somete a las car$as de torsión mostradas determine el esfuer'o cortante mximo dentro de

las re$iones 9 & <9, también encuentre el n$ulo de $iro del extremo < con respecto

al extremo

n$ulo de torsión

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Problema 5.100

2os se$mentos < & <9 del eje tienen secciones transversales circular & cuadrada,

respectivamente. 7i el extremo se somete a un par de torsión #) -+B"m, determine el

esfuer'o cortante mximo absoluto desarrollado en el eje & el n$ulo de $iro del extremo

. el eje esta fabricado de acero "=6 & se encuentra fijo en 9.

@ximo esfuer'o cortanteC en los se$mentos <

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Problema 5.100

2os se$mentos < & <9 del eje tienen secciones transversales circular & cuadrada,

respectivamente. 7i el extremo se somete a un par de torsión #) -+B"m, determine el

esfuer'o cortante mximo absoluto desarrollado en el eje & el n$ulo de $iro del extremo

. el eje esta fabricado de acero "=6 & se encuentra fijo en 9.

se$mentos <9

n$ulo de torsión

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Problema 5.106

El eje de acero tiene 1- pul$ de lar$o & se atornilla a la pared mediante una llave.

%etermine el esfuer'o cortante mximo en el eje & cuanto se despla'a cada fuer'a de par

si estas tienen una ma$nitud de 4)=!lb, 8ac)1!.*:1!;=+si

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Problema 5.115El tubo esta sometido a un par de torsión de 5!B"m. %etermine el esfuer'o cortante

 promedio en los puntos & < del tubo.

Defiriéndose ala $eometría se muestra en la fi$ura

P bl 5 119

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Problema 5.119El tubo simétrico esta fabricado de un acero de alta resistencia, con las dimensiones medias

mostradas en la fi$ura & un $rosor de 5 mm. 7i se somete a un par de torsión de #)>! Bm

determine el esfuer'o cortante promedio desarrollado en los puntos & <. Fndique el

esfuer'o cortante sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos

P bl 5 117

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Problema 5.1172as dimensiones medias de la sección transversal del borde delantero & la caja de torsión del

ala de un avión pueden aproximarse como se muestra en la fi$ura. 7i el ala esta fabricada de

una aleación de aluminio -!1>"t6 con un esfuer'o cortante permisible de ( )1-5 @pa & el

$rosor de su pared es de 1! mm, determine el par de torsión mximo permisible & el n$ulo

de $iro correspondiente por metro de lon$itud del ala.

P bl 5 118

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Problema 5.1182as dimensiones medias de la sección transversal del borde delantero & la caja de torsión del

ala de un avión pueden aproximarse como se muestra en la fi$ura. 7i el ala se somete a un

 par de torsión de >.5 @B.m & el $rosor de su pared es de 1! mm, determine el esfuer'o

cortante promedio desarrollado en el ala & su n$ulo de $iro por metro de lon$itud. El ala

esta fabricada de aluminio -!1>"t6.

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5.* 9oncentración del esfuer'o

2a formula de la torsión no puede aplicarse a las re$iones de un eje que

tienen un cambio repentino en su sección transversal. quí las distribución deesfuer'o cortante & deformación cortante en el eje se vuelven complejas por lo

que solo se pueden obtener mediante el uso de métodos experimentales o

 posiblemente por medio de un anlisis matemtica basada en la teoría de la

elasticidad fi$ura:a; coples , fi$ura:b; cu/eros & fi$ura:c; filetes

Ejemplo 5 13

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Ejemplo 5.13El eje escalonado que se muestra en la fi$ura:a;, esta apo&ado sobre cojines en & <.

determine el esfuer'o mximo en el eje debido a los pares de torsión aplicados. El filete

ubicado en la unión de cada eje tiene un radio r)6mm

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5.? #orsión inelstica

7i las car$as de torsión aplicadas sobre el eje son excesivas, entonces el

material puede presentar cedencia &, en consecuencia debe usarse unGanlisis plsticoH para determinar la distribución del esfuer'o cortante & el

n$ulo de $iro elstico"lineal

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9onsidere que el material de un eje exhibe un comportamiento elstico perfectamente

 plstico, como se muestra en la fi$ura, este se caracteri'a por un dia$rama de

esfuer'o" deformación cortante creciente cuando el esfuer'o cortante alcan'a el punto

de cedencia

Aar de torsión elstoplastico

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Aar de torsión elstoplastico

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2os aumentos adicionales en # tienden a reducir el radio del nIcleo elstico hasta que

todo el material cede. El material del eje estar sometido a un comportamiento

 perfectamente plstico & la distribución del esfuer'o cortante se vuelve uniforme

Aar de torsión plstico

En comparación con el par de torsión elstico #J

El par de torsión plstico es == por ciento ma&or que

el par de torsión elstico mximo.

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5.1! Esfuer'o residual9uando un eje se somete a deformaciones cortantes plsticas causadas por torsión, el

retiro del par de torsión har que al$unos esfuer'os cortantes permane'can en el eje.

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5.1! Esfuer'o residual

9omo se produce una recuperación elstica, es posible superponer en la distribución del

esfuer'o de torsión plstica de la fi$ura :a;, una distribución lineal del esfuer'o causada

 por la aplicación del par de torsión plstico #p en dirección opuesta :b;, ac el esfuer'o

cortante mximo se llama modulo de ruptura para la torsión.

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En $eneral la ma&oría de los materiales de in$eniería tendrn un dia$rama de esfuer'o "

deformación cortante como el mostrado a continuación

Aar de torsión ultimo

Ejemplo 5 14

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Ejemplo 5.14El eje tubular de la fi$ura esta fabricado de una aleación de aluminio la cual se supone tiene

un dia$rama ("K elastoplstico como se muestra. %etermine el par de torsión mximo que

 puede aplicarse al eje sin causar que el material ceda, & el par de torsión mximo o el par de

torsión plstico que se puede aplicar al eje. dems 9ul debe ser la deformación cortante

mínima en la pared exterior para que se desarrolle un par de torsión totalmente plstico0

Aar de torsión elstico

Ejemplo 5.14

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Ejemplo 5.14El eje tubular de la fi$ura esta fabricado de una aleación de aluminio la cual se supone tiene

un dia$rama ("K elastoplstico como se muestra. %etermine el par de torsión mximo que

 puede aplicarse al eje sin causar que el material ceda, & el par de torsión mximo o el par de

torsión plstico que se puede aplicar al eje. dems 9ul debe ser la deformación cortante

mínima en la pared exterior para que se desarrolle un par de torsión totalmente plstico0

Aar de torsión plstico

%eformación cortante del radio

exterior 

Ejemplo 5.15

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Ejemplo 5.15Ln eje circular solido tiene un radio de -! mm & una lon$itud de 1.5 m. El material tiene un

dia$rama ("K elastoplastico como se muestra en la fi$ura:a;. %etermine el par de torsión

necesario para $irar el eje un n$ulo de )!.6rad

Ejemplo 5.16

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Ejemplo 5.16El tubo de la fi$ura 5.>1a tiene una lon$itud de 5 pies & su dia$rama ("K elastoplastico como

se muestra en la fi$ura:a;. %etermine el par de torsión #p plstico. 9ual es la distribución

del esfuer'o cortante residual si #p se retira justo después de que el tubo se vuelve totalmente

 plstico0

Ejemplo 5.16

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Ejemplo 5.16El tubo de la fi$ura 5.>1a tiene una lon$itud de 5 pies & su dia$rama ("K elastoplastico como

se muestra en la fi$ura:a;. %etermine el par de torsión #p plstico. 9ual es la distribución

del esfuer'o cortante residual si #p se retira justo después de que el tubo se vuelve totalmente

 plstico0

Problema 5.122

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Problema 5.122El eje compuesto esta dise/ado para $irar a 5>! rpm. 7i el radio de la soldadura de filete que

conecta a los ejes es r ).-! mm & el esfuer'o cortante permisible para el material es

(perm)55 @pa, determine la potencia mxima que puede transmitir el eje

Problema 5.124

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ob e a 5El acero utili'ado para fabricar el eje tiene un esfuer'o cortante permisible (perm)* @pa. 7i

los elementos se conectan entre si mediante una soldadura de filete con un radio r )-.-5 mm,

determine el mximo par de torsión # que puede aplicarse

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P bl 5 134

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Problema 5.134

El eje hueco esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico con un modulo

cortante 8 & un esfuer'o cortante de cedencia (&. %etermine el par de torsión #p aplicado

cuando el material de la superficie interior esta a punto de ceder :par de torsión plstico;.

dems encuentre el n$ulo de $iro correspondiente & la deformación cortante mxima.

El eje tiene una lon$itud de 2

n$ulo de torsión

P bl 5 134

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Problema 5.134

El eje hueco esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico con un modulo

cortante 8 & un esfuer'o cortante de cedencia (&. %etermine el par de torsión #p aplicado

cuando el material de la superficie interior esta a punto de ceder :par de torsión plstico;.

dems encuentre el n$ulo de $iro correspondiente & la deformación cortante mxima.

El eje tiene una lon$itud de 2

P bl 5 135

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Problema 5.135

El eje hueco tiene dimetros interno & externo de 6! mm & *! mm respectivamente. 7i

esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico & tiene el dia$rama ("K que

se muestra en la fi$ura, determine las reacciones en los soportes fijos & 9.

P bl 5 135

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Problema 5.135

El eje hueco tiene dimetros interno & externo de 6! mm & *! mm respectivamente. 7i

esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico & tiene el dia$rama ("K que

se muestra en la fi$ura, determine las reacciones en los soportes fijos & 9.

Ecuación de equilibrio

nlisis elstico

P bl 5 135

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Problema 5.135

El eje hueco tiene dimetros interno & externo de 6! mm & *! mm respectivamente. 7i

esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico & tiene el dia$rama ("K que

se muestra en la fi$ura, determine las reacciones en los soportes fijos & 9.

Desolviendo ecuación 1 & -

Problema 5 135

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Problema 5.135

El eje hueco tiene dimetros interno & externo de 6! mm & *! mm respectivamente. 7i

esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico & tiene el dia$rama ("K que

se muestra en la fi$ura, determine las reacciones en los soportes fijos & 9.

nlisis plstico

Deempla'ando en ecuación 1

#c M #& .El resultado obtenido en la 'ona elstica no es valida. sumiendo que la

'ona <9 es plstica podemos decir.

Problema 5 135

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Problema 5.135

El eje hueco tiene dimetros interno & externo de 6! mm & *! mm respectivamente. 7i

esta fabricado de un material elstico perfectamente plstico & tiene el dia$rama ("K que

se muestra en la fi$ura, determine las reacciones en los soportes fijos & 9.

Problema 5 136

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Problema 5.136

El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que

tiene dia$rama ("K como el mostrado en la fi$ura. %etermine el par de torsión # que debe

aplicarse al eje para que la deformación cortante mxima sea de !.!1 rad

Problema 5 136

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Problema 5.136

El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que

tiene dia$rama ("K como el mostrado en la fi$ura. %etermine el par de torsión # que debe

aplicarse al eje para que la deformación cortante mxima sea de !.!1 rad

Problema 5 136

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Problema 5.136

El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que

tiene dia$rama ("K como el mostrado en la fi$ura. %etermine el par de torsión # que debe

aplicarse al eje para que la deformación cortante mxima sea de !.!1 rad

ns

Problema 5 136

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Problema 5.136

El eje tubular esta fabricado de un material con endurecimiento por deformación que

tiene dia$rama ("K como el mostrado en la fi$ura. %etermine el par de torsión # que debe

aplicarse al eje para que la deformación cortante mxima sea de !.!1 rad

%esde el dia$rama esfuer'o cortante

Problema 5 138

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Problema 5.138

Ln tubo esta fabricado de material elstico perfectamente plstico & tiene el dia$rama ("K

como el mostrado en la fi$ura. 7i el radio del nIcleo elstico es N& ) -.-5 pul$, determine

el par de torsión # aplicado. dems, encuentre la distribución del esfuer'o cortante

residual en el eje & el n$ulo de $iro permanente de uno de los extremos en relación con

el otro al retirarse el par de torsión.