5/17/2018 00. Contenido

1/15

, .

MATEM AT1CAS AVANZADAS PARA lNGEN1ER iA , VOL . 1ECUAC10NES -D1FEREN-C1ALES

DENN1S G . ZlLLM1C ,HAEL R . CULLBN

Te rc era ed ic ionI,.,

5/17/2018 00. Contenido

2/15

_ M cG raw -H ili_ In teram ericana Th e McGraw H i I I Companler~;

Este vo lumen de Matem6ticas avanzadas para ingenierfa,' Vol. I,trata de las E cuaciones d iferencia les -desde su in troducc i6nhasta la resoluci6n de prob lemas con va lores en la fron tera en

y las ecuaciones en derivadas parcia les-, que constituyen laco lum na vertebra l de las m aternaticas relacionadas con

la cienc ia y la ingen ieria .

Ademas de los temas tradicionales que se cubren en los planes de estudio, eltexto incluye: E I estud io de m atrices , que es una de las herram ien tas principales para la reso luci6nde sistem as de ecuaciones d iferencia les lineales .

Secciones sobre crip tografia , c6digos para la correcci6n de errores y metoda delos m inim os cuadrados, entre o tros, que se presen tan com o ap licaciones del a lgebramatricial.

Un rnetodo distin to para la reso luci6n de prob lemas de valores en la fron teran o h omo qe ne os ,

G rupos de eje rc ic ios organ izados de ta l m anera que Ie dan con tinu idad a l textopresentado en la secc i6n correspondien te y hacen m as sencilla la asignaci6nde tareas,

Una serie de proyec tos de ingenie ria y ciencia re lacionados con los temas de l texto ,a po rta do s p or im po rt< ). l1 te s m ate m atic os .

ISBN-13: 978-970-,10-6514-3ISBN-10: 970-10-6514-X

Visite nuestra pagina WEBwww.mcgraw-hill-educacion.com

I ': 1

r-tz

http://www.mcgraw-hill-educacion.com/http://www.mcgraw-hill-educacion.com/

5/17/2018 00. Contenido

3/15

M A T E M A T I C A S A V A N Z A D A S P A R A I N G E N I E R I A , VOL . 1 :E C U A C I O N E S

. D I F E R E N ' C , I A L , E S

I' ..

I: :

,.I,,..,

5/17/2018 00. Contenido

4/15

M ic h a e l R . C uL oy ola M ary m ou nt U n iv ers ity

Revis ion tecnica:Na te lla An ton yanDepartamen to de Ma temat icasI ns ti tu to Tec nol6 g ic o y d e E s tu d ios S u peri oresd e M o nterreY t c ampu s Ciu dad d e M ex ic o

.', G ab rie l C ervantes Bello ' , ,: 'E s cu ela d e I ng enieria y A rq uitec tu ra, "I ns ti tu to Tec nol6 g ic o y d e E s tu d ios S u pet ioresde M onterrey , campu s Tolu ca 'A ndres B as ilio R am irez y V illaFacu ltad de Ingenier ia , Un i vers i dad Nac iona lA u t6 noma d e M ex ic o y E s cu ela d e Cienc ias Q u imic as ,Un iv er si dad La Sa lle

Jo se A brah am B ald eras L op ezDepartamen to de M a tema ti cas , IUPIB I , Ins t it u to Po li te cnk Nac ional

MEXICO BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LlSBOAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND

LONDRES MILAN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO sA o PAULOSINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO ",

II, .."

5/17/2018 00. Contenido

5/15

Prohibida la reproducci6n total 0 parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizaci6n escrita del editor.

Director Higher Education: Miguel Angel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque Alay6nEditor sponsor: Pablo E. Roig VazquezEditora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccion: Zeferino Garcia GarciaTraduccion: Erika Jasso Hernan D'Borneville

Carlos Roberto Cordero Pedraza

MATEMA.TICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA, VOL. 1:ECUACIONES DIFERENCIALESTercera edicion

_ McG raw -H ili ._ In teram ericanaDERECHOS RESERVADOS 2008 respecto a la primera edici6n en espafiol porMcGRAW-HILLIINTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE c.v.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa FeProlongacion Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegaci6n Alvaro Obreg6nc.P. 01376, Mexico, D. F .Miernbro de la Camara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Num, 736

ISBN-I0: 970-10-6514-XISBN-13: 978-970-10-6514-3Traducido de la tercera edici6n en ingles de la obra: ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zilland Michael R. Cullen. Copyright 2006 by Jones and Bartlett Publishers, Inc., prigs i-xxii, xxv-xxxiii, 1-298,347-450,567-794, App-l-App-S, Ans-l-Ans-41 e I-I-1-23. Se reservan todos los derechos.ISBN-lO: 0-7637-459l-XISBN-l3: 978-0-7637-4591-23456789012 09765432108Impreso en ChinaImpreso por CTPS .

Printed in ChinaPrinted by CTPS

T he McGrawH i I I C om pon ie s . c :" ;,:.~;ti;~r~~'ilIijJ~!,;m~"~~1h1l1.~ ... .. s ."~......,,'1i ~~~~~~~~~~,~, .;"l. t

5/17/2018 00. Contenido

6/15

P refac io a la terceraed ic ion en ing lesA diferencia de un curso de "calculo" 0 de "ecuaciones diferenciales", donde el conte-nido del curso esta muy estandarizado, el contenido de un curso titulado "rnatematicaspara ingenierfa" algunas veces varia de forma considerable entre dos instituciones aca-demicas distintas, Por 10 tanto, un texto sobre maternat icas avanzadas para ingenierfaes un compendio de muchos temas matematicos, todos los cuales estan relacionados enterrninos generales por la conveniencia de su necesidad 0 utilidad en cursos y carrerassubsiguientes de ciencia e ingeniena. En realidad, no hay un limite para la cantidad detemas que se pueden incluir en un texto como el que ahora nosocupa. En consecuencia,este libro representa la opinion de los autores, en este momento, acerca de 10 que consti-tuyen "las rnatematicas para ingeniena''.

I I C o n te nid o d e L te xtoLos seis primeros capftulos constituyen un curso cornpleto sobre ecuaciones diferencia-les ordinarias. El capitulo sobre Matrices constituye una introduccion a los sistemas deecuaciones algebraicas, losdeterminantes y el algebra matricial con enfasis especial enaquellos tipos de matrices utiles en la resolucion de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales.

Las secciones sobre criptograffa, codigos para la correccion de errores, el metoda delos minimos cuadrados y los modelos compartimentales discretos se. presentan comoaplicaciones del algebra matricial.Posteriormente se abordan los Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en el

capftulo 8 y el capitulo 9, los Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. Ambosernpatan fuertemente con el material sobre matrices que se presenta en el capftulo". Enel capitulo 8, los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden se resuelven aplicandolos conceptos de valo res propios, vectores propios, diagonalizacion y funcion exponen-cial por medio de una matriz. En el capftulo 9 se explican los conceptos de estabilidadmediante dos aplicaciones: flujo de fluido en un plano y movimienro de una cuenta sobreun cable.

En el capitulo 10, Funciones ortogonales y series de Fourier, se presentan los ternasfundamentales de conjuntos de funciones ortogonales y expansiones de funciones enterrninos de una serie infinita de funciones ortogonales. Estos temas se utilizan posterior-mente en los capitulos II y 12, donde los problemas de valor en la frontera en coordena-das rectangulares, polares, cilindricas y esfericas se resuelven mediante la aplicacion del

)

v,I,T

5/17/2018 00. Contenido

7/15

metodo de separacion de variables. E n el capftulo 1 3, 'Metodo de La transformada integral, los problemas de valo r en la frontera se resuelven par m edio de las transformadasintegra les de L apla ce y F ourier.

P rin cipa Les ca ra cte r is tic a s d e M a t e ma t i c a sav an za d a s pa ra in ge nie rfa , V ol. 1: E c u a c i o n e sd i ferenc i a les

T odo el tex to se modernize a fondo para preparar a los ingenieros y cientfficos con lahabilidades m atem aticas requeridas para estar a la altura de los desaftos tecnologicosactuales.

S e han agregado nuevos proyectos de ciencia e ingenierfa aportados por importantesm aternaticos. E stos proyectos estan relacionados con los tem as del texto.

S e han afiadido rnuchos problemas nuevos al libro. A dernas, fueron reorganizadosmuchos grupos de ejercicios y, en algunos casos, se han reescrito por completo parseguir e l flujo del desarrollo presentado en la seccion y facili tar mas la asignacion dtareas. L os grupo s de ejercicios tarnbien ponen un gran enfasis en la elaboracion dconceptos. H ay un gran enfasis tanto en las ecuaciones diferencia les como en los model os rnatematicos. La nocion de un modelo maternatico esta entretejida a 10 largo de todo etexto, y se analiza la construccion y las desventajas de d iferentes m odelos ..

E n la seccion 5.3 , Funciones especiales, se ha ampliado el analisis de las ecuacionesdiferencia les que se pueden resolver en term inos de las funciones de B essel. T am bienpor prirnera vez se presentan las funciones de B essel m odificadas l . ,ex) y KI'(x).

E n Ja seccion 8.4 , Sistemas lineales no homogeneos, se cubre el metodo de los coefic ie n te s inde t erm inado s.

O tro metoda para resolver problemas no homogeneos de valor en la frontera fue agregada a la seccion I 1 .6.

S e enfatiza mas el problema de N eumann en los capftu los I I y 12. A 10 largo de los capnulos 1 0 , I I Y 12, la confusa mezcla de simbolos como A 2-v=A en la solucion de problemas de valor en la F rontera de dos puntos se ha reern

plazado por el uso consistente de A . Los tres casos A =0'2, A =0 y A =-0'2 senfa tizan m ed ian te el analisis,

Disefio d el te xtoC omo resultara evidente, el tex to tiene un form ato m as arnplio y un diseiio interior adostintas, con el fin de que la lectura y el aprendizaje de este libro sean mas amenos y didacticos. T odas las figuras tienen textos explicativos. S e han agregado m as com entariosy anotaciones a) m argen en todo el libro, C ada capitulo tiene una pagina de preseutacionque incluye una tabla de contenido y una breve introduccion al m ateria l que se estudiara,A l final de cada capitulo se incluyen ejercic ios de revision. D espues de los apend ices sproporciona n resp uesta s a los problem as im pa res selecciona dos.

Ag radec im i en t o sD eseo agradecer a las siguientes personas que generosam ente destinaron tiem po de suocupadas agendas para proporcionar los proyectos inclu idos en el texto :

A nton M . Jopko, D epartam ento de F isica y A stronom ia, M cM a ster U niversity.W arren S . W right, D epartam ento de M a tem aticas, Loyola Maryrnount University.

vi P R E F A C I O A L A T E R C E R A E D IC IO N E N IN G L E S

5/17/2018 00. Contenido

8/15

P R E F A C I O A L A T E R C E R A E D I C I 6 N E N I N G L E S v ii

Gareth Williams, Departamento de Maternaticas y Ciencias Computacionales,Stetson University.

Jeff Dodd, Departamento de Computaci6n y Ciencias de la Informaci6n,Jacksonville State Uniyersity.

Matheus Grasselli, Departamento de Maternaticas y Estadfstica, McMasterUniversity.

Dmitry Pelinovsky, Departamento de Maternaticas y Estadistica, McMasterUniversity.

Tambien es un gusto poder agradecer a las siguientes personas pOI' sus comentarios ysugerencias de mej~ra:

Sonia Henckel, Loyola Technological University.Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo.Jeff Dodd, Jacksonville State University.Victor Elias, University of Western Ontario.Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology.William Criminale, University of Washington.Stan Freidlander, Bronx Community College.Herman Gollwitzer, Drexel University.Robert Hunt, Humboldt State University.Ronald Guenther, Oregon State University.Noel Harbertson, California State University.Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania.

La tarea de compilar un texto de esta magnitud fue, en pocas palabras, larga y diffcil.A 10 largo del proceso de pasar cientos de paginas manuscritas pOI' muchas manos, sinlugar a dudas se nos pudieron babel' escapado algunos errores. POI' e sto me disculpo deantemano, y desde luego, apreciarfa saber acerca de cualquier error con el fin de corre-girlo a la mayor bre:,edad.

Dennis G. ZillLos Angeles i:": :

d '. ' 1 '

5/17/2018 00. Contenido

9/15

P ro logo a la ed ic ion en espa iio lPara que la seleccion de ternas pudiera ser flexible, el texto original en ingles fue dividi-do en cuatro partes 0 subdivisiones principales. Para la edicion en espaiiol, se opto pordividir el texto en dos volumenes que se pueden manejar de manera independiente. EIprimero, que tiene el lector en sus manos, trata de las ecuaciones diferenciales ordi.nariasy parciales, adem as de contener el capftulo sobre matrices. EI panorama general de sucontenido se puede vel' en el prologo a la edicion en ingles.

Agradecemos el apoyo de los siguientes profesores para el desarrollo de este proyecto:Angel Varela, ITECArturo Patron, ITECAureliano Castro; UAS, Escu~la de IngenieriaClaudio de Jesus Pita Ruiz v. , Universidad PanamericanaDaniel Hadad Canas, UAEMDavid Juarez Luna, lTESM CCMEduardo Soberanes, ITESM CuliacanEliseo A. Sosa Altamirano, ESIME CulhuacanErnesto Filio, lTESM CCMFernando Elizalde, U de G (CUCEl)Jesus' Palacios, Universidad MaristaJose Calderon Lamas, lTECJose Carlos Aragon Hernandez, fTECJose Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de Ciencias Quimico BiolpgicasJuan Castaneda, UAS, Faculfad de Ciencias Quimico Biol6gicasJuana Murillo Castro, UAS, Escuela de lngenieriaLeopoldo Cendejas, fTESM CCMLudmilla Gumen, UPAEPLuis Felipe Flores, fTLMManuel Ramon Apodaca Sanchez, fTLMMarcial Arrambi Dfaz, fTCMarco Antonio Rodrfguez Rodriguez, fTLMMarfa Gonzalez Cerezo, ITESM CuernavacaMartfn Perez, fTE,SM CSFOscar Esperanza, fTESM CCMOscar Guerrero, fTESM CuliacanRamon Duarte, UAS, Escuela de IngenieriaRaul Soto Lopez,UDO Culiacan

5/17/2018 00. Contenido

10/15

ContenidoP refacio a la tercera edlcion en inqles vP ro logo a la edicion en espafiol ixP royecto para la seccion 3.7 Ilusiones opticas en el cam ino xviiA nton M . Jopko, Ph.D .P ro yecto para la seccion 3.10 E l pendulo balistico xviiiWarren S. WrightP royecto para la seccion 7.1 R ed de dos puertos en circuitosG areth W illiam s, P h.D . electricos xi xP royecto para la seccion 7.2 F lujo de trafico xx iG areth W illiam s, P h.D .P royecto para la seccion 7.15 D ependencia de Ia resistividad enA nton M . Jopko, Ph.D . la temperatura xxiiiP royecto para la seccion 12.3 E l atorno de hidroqeno xxivM a theus G rasselli, P h.D .P royecto para la seccion 13.4 L a desigualdad d e incertid um breJeff D odd, Ph.D . en el procesam ientode senates xxviiP royecto para la secclon 13.4 Difraccion de F raunhofer a travesAnton M . Jopko, Ph.D . de una abertura circular xxixProyecto para la seccion 14.2 Inestabilidades en metodosDm itry P elin ovsky, P h.D . numericos . xxxi

Parte 1 Ecuac ion es d iferen c ia les o rd in ar ia s ] .Cap itu lo 1 In tr od u cc io n a la s e cu ac io n es d ife re nd a le s 4

1.1 D e fin ic io ne s y t erm in olo gia 51.2 P roblemas de valor inicial 141.3 E cuaciones diferenciales com o m odelos matematicos 21

E jercicios de repaso del capitulo 1 33

xi

5/17/2018 00. Contenido

11/15

Cap itu lo 2 E cu ad o nes d ife ren dales d e p rim er o rd en 352;1 C urvas so luc i6n sin soluci6n 36

2.1 .1 , C ampos de direcciones 362.1 .2 E cuaciones diferenciales au t6nomas de primerorden 38

2.2 V ariables separables 452.3 E cuaciones lineales 522.4 E cuaciones exactas 602.5 S oluciones por susti tuci6n 672.6 U n metodo nurnerico 712.7 M odelos lineales 752.8 M odelos no lineales 852.9 M odelaci6n con sistemas de ecuaciones d iferenciales deprim er orden 94

E jercicios de repaso del capitu lo 2 10 0Cap i tu l o 3 E~uadonesd ife ren d ale s d e o rd en s up erio r 104

3.1 Teoria prelim inar: ecuaciones lineales 1 0 53.1 .1 P roblemas de valor in ic ial y de valo res enla frontera 1 0 53.1 .2 E cuaciones homoqeneas 10 73.1 .3 ' E cuaciones no homoqeneas 112

3.2 R educd6n de orden 1 163.3 E c ua cio ne s l in ea le s hornoqeneas c on coe fi ci en te sconstantes 1 193.4 C oeficientes indeterm inados 1 263.5 V ariaci6n de parametres 1353.6 E cuaci6n de C auchy-E uler 1403.7 E cuaciones no lineales 1 453.8 ~odelos linea les: p roblemas de valor in icial 1 503.8.1 S istemas resorte-masa: movim iento libre noamortiguado 150

3.8.2 S istemas resorte-masa: movim iento libreamortiguado 1533.8.3 S istem as reso rte-m asa: m ovim iento forzado 1563.8.4 C ircu ito en serie analoqo 159

3.9 M odelos lineales: p roblemas de valores en lafrontera 1 663.1 0 M odelos no lineales 1743.1 1 R esoluci6n de sistemas de ecuac iones lineales 183

E jercic 'ios de repaso del capitulo 3 190Cap i tu l o 4 L a tra ns fo rm ad a d e L ap lace 193

4.1 D efin ici6n de la transfo rmada de Lapla~e 1944.2 La transformada inversa y transfo rmadas dederivadas 199

4.2.1 T ransformadas inversas 1 994.2.2 T ransformadas de derivadas 20 1

4.3 T eoremas de traslaci6n 20 74.3.1 T raslaci6n en el e je s 20 74.3.2 T raslaci6n en el e je t 21 0

xii C O N T E N I D O

5/17/2018 00. Contenido

12/15

4.4 Propiedades operacionales adicionales 2184.4.1 Derivadas de transformadas 2184.4.2 Transformadas de integrales 2204.4.3 Transforrnada de una funci6n peri6dicaLa funci6n delta de Dirac 228Sistemas de ecuaciones diferenciales linealesEjercicios de repaso del capitulo 4 236

2234.54.6 231

.Capitulo 5 So lu do ne s en ser ie p ara ecu ad on es d ife r en da le sl inea le s 2395.1 Soluciones en torno a puntos ordinarios 240

5.1.1 Repaso de las series de potencies 2405.1.2 Soluciones en series de potencias 242

5.2 Soluciones en torno a puntos singulares 2515.3 Funciones especiales 260

5.3.1 Funciones de Bessel 2605.3.2 Funciones de Legendre 267Ejercicios de repaso del capitulo 5 273

Capitulo 6 S olu do ne s n um er ic as a e cu ad on es d ife re nd a le so rd inar ia s 2756.1 Metodos de Euler y analisis de errores 2766.2 Metodos de Runge-Kutta 2806.3 Metodos de varios pasos 2866.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior 2886.5 Problemas de valores en la frontera de segundo

orden 293Ejercicios de repaso del capitulo 6 297

Parte 2 Matrices 299Capitulo 7 Matr i c e s 300

7.17.27.37.4

Algebra matricial 301Sistemas de ecuaciones algebraicas linealesRango de una matriz 321Determinantes 326

310

7.5 Propiedades de los determinantes 3317.6 Inversa de una matriz 338

7.6.1 Calculo de la inversa 3387.6.2 Utilizaci6n de la inversa para resolver

sistemas 3447.7 RegIa de Cramer 3487.8 E l problema del valor propio 3517.9 Potencias de las matrices 3577.10 Matrices ortogonales 3617.11 Aproximaci6n de valores propios 3687.12 Diagonalizaci6n 3757.13 Criptografia 384

C O N T E N I D O xiii

5/17/2018 00. Contenido

13/15

7.14 C 6digo correcto r de errores 3877.15 .M etodo de los m inim os cuadrados 3937.16 Mo d elo s d isc re to s d e .c om pa rtim ie nto 396

E jercicios de repaso del cap itulo 7 400P a r t e 3 S i s te m a s d e e c u a c : io n e s d i f e re n c : i a le s 405Capitulo 8 Sis te ma s d e e cu ac io ne s d ife re nd ale s lin ea le s 406

8.1 Teo ri a p re lim in ar 4078.2 S istem as lineales hom oq eneos 414

8.2.1 V alores p ro pios reales dist in to s 4158.2.2 V a lo re s p ro pio s re pe tid os 4188.2.3 V a lo re s p ro pio s c om ple jo s 422

8.3 S olu ci6 n m ed ia nte d ia go na liza ci6 n 4278.4 S istem as lineales no homoqeneos 430

8.4.1 Co e fi ci en te s i nd e te rm i na do s 430.8.4.2 V a ria ci6 n d e p arame tre s 4338.4.3 Diagonal izaci6n 435

8.5 M a tr iz e xpo nenc ia l 438E jercicios de repaso del cap itulo 8 442

Capitulo 9 Sis te m as d e e cu ad on es d ife re nd ale sn o lin ea le s 4449.1 S istema s a ut6 nomo s 4459.2 E stab ilidad de los sistem as lineales 4519.3 Lineal izaci6n y estabilida d local 4609.4 S istem as aut6nom os com o m odelos m atem aticos 4699.5 S oluciones peri6 dicas, cic lo s lim ite y estabi l idad

global 477E jercicios de repaso del cap itulo 9 486

P a r t e 4 . S e r ie s d e F o u r ie r y e c u a c : io n e s d i f e r e n c : i a l e sp a r c : i a l . e s 489Capitulo 10 Fun do n es o r to g on a le s y se r ie s d e Four ie r 490

10.1 Fun ci on es o rt ogo na le s 49110.2 S eries de F ourier 49610.3 S eries de F ourier de ~osenos y senos 50110.4 ,S eries com plejas de F ourier 50810.5 P ro blema d e S tu rm -L io uv ille 51210.6 S eries de B essel y d e. L egen dr e 519

, 10.6.1 S erie d e F o urie r- B esse l 52010.6.2 S erie d e F o urie r- Le ge nd re 523E jercicios de repaso del cap itulo 10 526

xiv C O N T E N I D O

Capitulo 11 P rob lem as d e va lo re s e n la fro nte ra en ' co or den ad aredangu la re s 52711.1 E c ua cio ne s d ife re nc ia le s p arc ia le s se pa ra ble s 528

5/17/2018 00. Contenido

14/15

11.2 Ecuaciones dasicas y problemas de valores en lafrontera 532

11.3 La ecuacion de calor 53711.4 La ecuacion de onda 54011.5 La ecuacion de Laplace 54511.6 Problemas de valores en la frontera no hornoqeneos 55011. 7 Desarrollos ,en series ortogonales 55711.8 Serie de Fourier con dos variables 561

Ejercicios de repaso del capitulo 11 564Capitulo 12 P rob lem as d e va lo r e s en la fron te ra en o tro ss is tem a s c o or d en a d os 566

12.1 Problemas en coordenadas polares 56712.2 Problemas en coordenadas polares y cilindricas: funcionesde Bessel 57212.3 Problemas en coordenadas esfericas: polinomios deLegendre 578

Ejercicios de repaso del capitulo 12 581

Capitulo 13 M eto do d e la tra ns fo rm ad a in teg ra l 58313.1 Funcion de error 58413.2 Aplicacionesde la transformada de Laplace 58513.3 Integral de Fourier 59313.4 Transformadas de Fourier 59813.5 Transformada rapida de Fourier 604

Ejercicios de repaso del capitulo 13 613Capitulo 14 So ludone s numerkas d e e cu ad on es d ife re nd ale sparda l e s 615

14.1 La ecuacion de Laplace 61614.2 La ecuacion de calor 62114.3 La ecuacion de onda 627

Ejercicios de repaso del capitulo 14

l,I"

630Apend ic e s AP -I

Algunas formulas de derivadas e integrales AP-2II Funcion gamma AP-4III Tabla de transformadas de Laplace AP-6

I

:: '

R espu e s ta s a lo s p ro blem as se le cd on ad os d en um ero im par ,R ESP -Iin d ic e I-I

C O N T E N I D O x vI,I'

5/17/2018 00. Contenido

15/15

M A T E M A T I C A S A V A N Z A D A S P A R A I N G E N I E R fA , VOL . , 1 :ECUAC IONES

DIFERENCIALES

I"I '