Didáctica de la Geometría

El modelo de enseñanza y

aprendizaje de Van Hiele

Godino, JD (2002) Geometría y su Didáctica para maestros.

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Corberán, R.M., et al (1989) Didáctica de la geometría: modelo Van Hiele.

La Geometría

Los Van Hiele parten de la consideración

de las matemáticas como actividad

(=acción) llegan a formular su teoría

caracterizando la E-A a través de una

jerarquía de niveles, de manera que ir

pasando ordenadamente por ellos facilita

la didáctica.

Proponen 5 niveles. Cada nivel describe

procesos de pensamiento (los cuales se

evidencian mediante las tareas)

El modelo. Niveles de

conocimiento en Geometría

• Reconocen las formas y las nombran (apariencia global) atributos irrelevantes.

Nivel 0. Visualización

• Consideran todas las formas de una “clase” se puede hablar de los rectángulos

Nivel 1. Análisis • Clasifican

usando sólo un mínimo de características. “Si…entonces…”

Nivel 2. Deducción

informal

• Necesidad sistema lógico: con un mínimo de supuestos

Nivel 3. Deducción

• Nivel máximo.

• Contraste entre diferentes sistemas

Nivel 4. Rigor

Objetos de pensamiento:

Formas (según apariencia)

Productos de pensamiento:

Clases de formas

(“similares”)

Propiedades de las

formas

Relaciones entre propiedades

de los objetos geométricos

Sistemas axiomáticos deductivos

para la geometría

Comparaciones entre

diferentes sistemas

axiomáticos de geometría

Nivel 0. Visualización

: Formas (según su apariencia global)

Reconocen y nombran formas, pero basándose en sus

características visuales globales “pongo estas

formas juntas porque se parecen”, “un rectángulo es un

rectángulo porque se parece a una puerta”

Hacen mediciones

Hablan de propiedades, pero no razonan sobre ellas

Se basan en la apariencia y por ello pueden asignarles

atributos irrelevantes, como la posición, etc.

: clases o agrupaciones de formas que parecen ser

“similares”

Nivel 1. Análisis

: clases de formas (en vez de formas individuales)

Ya es posible hablar, por ej. sobre todos los rectángulos

Qué hace que un rectángulo sea un rectángulo (4 lados,

lados opuestos paralelos, lados opuestos congruentes,

cuatro ángulos rectos, diagonales congruentes, ..etc.)

Eliminan los atributos irrelevantes (como la posición, …)

Se dan cuenta de que una colección de formas

pertenece a una clase debido a sus propiedades.

Son capaces de listar todas las propiedades, pero NO

ven las relaciones de inclusión (un cuadrado es un

rectángulo).

Al definir una forman dan “muchas” propiedades

: propiedades de las formas

Nivel 2. Deducción Informal

: propiedades de las formas

Como ya no piensan en una forma particular, pueden

relacionar las propiedades CONJETURAS

“si los 4 ángulos son rectos, la figura es rectángulo. Un

cuadrado tiene los 4 ángulos rectos, por lo que un cuadrado es

un rectángulo”

Usan argumentos “Si… entonces…”

Se dan cuenta de que se puede definir usando un conjunto

mínimo de propiedades

Ej: 4 lados congruentes y al menos un ángulo recto ¿?

Demostraciones “intuitivas”, no realmente formales

(deductivas)

: relaciones entre propiedades

Nivel 3. Deducción

: relaciones entre propiedades

¿son verdaderas las conjeturas anteriores?

Necesidad de probar.

Necesidad de un sistema lógico basado en un conjunto

mínimo de supuestos y a partir del cual se deriven

todas las proposiciones

Pueden trabajar con enunciados abstractos

No solo ve que las diagonales de un rectángulo se cortan

en su punto medio (tb. lo ve el de nivel 2), necesita

demostrarlo.

Bachillerato

: sistemas axiomáticos deductivos (para la

geometría)

Nivel 4. Rigor

: Sistemas axiomáticos para la Geometría

Nivel máximo

Nivel requerido en estudios universitarios de matemáticas,

(rama Geometría)

Aprecian distinciones y relaciones entre diferentes sistemas

axiomáticos.

: contrastes entre diferentes sistemas axiomáticos

Aplicación del modelo

Como ejemplo, la actividad sobre

polígonos (generalidades) que realizamos

durante 4 sesiones.

Nivel 0: Actividades 1, 2 y 3

Nivel 1: Actividades 4, 5, …9

Nivel 2: Actividades 10 y 11

Propiedades del modelo

Es un modelo secuencial no se puede

saltar ningún nivel.

Los niveles no dependen de la edad. El

tránsito de un nivel a otro depende más

de los contenidos y métodos de

enseñanza que de la edad.

Aunque la edad sí que aporta

experiencias y vivencias…

• Infantil hasta 2º Primaria nivel 0

• 3º , 5º Nivel 1

Propiedades del modelo

La experiencia geométrica es

fundamental para progresar explorar,

manipular, hablar, interactuar…

El estudio de un concepto no se agota en

un nivel aprendizaje cíclico

Lenguaje adecuado en cada nivel: Si el lenguaje está a un nivel superior fallo en la

comunicación

Las expresiones serán válidas o no dependiendo del

nivel . Ej: N0, un cuadrado tiene cuatro lados rectos

Características de las actividades

adecuadas a cada nivel

Nivel 0

• Clasificación, identificación y descripción de formas variadas.

• Manipulación de de modelos físicos

• Variedad de ejemplos (muchos) ayuda a eliminar atributos irrelevantes

• Dibujar, componer, descomponer, construir

Nivel 1

• Definir, medir, observar y cambiar propiedades de modelos concretos (físicos)

• Resolver problemas en los que las propiedades sean fundamentales

• Modelos concretos que permitan explorar propiedades

• clasificar

Nivel 2

• Hacer listas de propiedades debatir cuáles son necesarias y cuales suficientes.

• Comenzar a usar lenguaje deductivo “Si… entonces…”

• Investigar la inversión de relaciones (Ej: Si cuadrado, entonces 4 ángulos rectos. Si 4 áng. Rectos, entonces cuadrado ?

• Etc.

Indicadores de nivel

A tener en cuenta:

Un alumno puede subir y también bajar de

nivel constantemente

El nivel del alumno depende del objeto de

estudio

Veamos indicadores que nos permitan

saber en qué nivel se encuentran nuestros

alumnos

Indicadores de nivel. Nivel 0

Utiliza cualidades y no propiedades.

Caracteriza formas mediante prototipos

visuales

No es capaz de percibir una variedad infinita de

formas de la misma clase

Realiza clasificaciones inconsistentes,

utilizando propiedades que no pertenecen a las

formas clasificadas

No es capaz de usar propiedades como

condiciones necesarias para determinar una

figura

Indicadores de nivel. Nivel 1

Compara formas geométricas mediante sus

propiedades

Clasifica según atributos simples (ej: longitud de lados,

pero no ángulos, diagonales, simetría, etc.)

Veta la inclusión de una clase de formas en otra Ej:

Niega que un cuadrado sea un rectángulo

Para describir o identificar usa una lista “larga” de

propiedades suficientes

Prefieren las caracterizaciones personales a las

definiciones formales

Para probar la validez de una conjetura, se “fían” de

una variedad de dibujos (casos particulares)

No comprenden la demostración formal

Indicadores de nivel. Nivel 2

Son capaces de construir definiciones completas

Hacen referencias explícitas a definiciones

Son capaces de aceptar definiciones equivalentes

dar diversas definiciones diferentes para un mismo

concepto

Ya sí aceptan la clasificación por inclusión (ordenación

parcial), i.e., los cuadrados son rectángulos

Usan explícitamente el “Si…entonces…”

Construyen argumentos deductivos (lógico), del tipo:

si p implica q, y q implica r, entonces p implica r (ley

modus ponens)

Confunden axioma y teorema.

¿Cómo aplicar el modelo?

El progreso a través de los niveles

depende más de la instrucción recibida que

de la edad o madurez

Por tanto El método, la organización del

aprendizaje y los materiales son

elementos fundamentales de interés

pedagógico.

Los Van Hiele proponen 5 fases de

aprendizaje

Fases de aprendizaje

• Mediante el diálogo se determina:

• Las ideas previas sobre el concepto

• Se introduce vocabulario Fase 1. Encuesta

• Los estudiantes exploran el concepto a través de materiales

• Depende del nivel anterior

• El profesor secuencia las actividades (los materiales)

• El profesor plantea preguntas concisas

Fase 2. Orientación dirigida

• Los estudiantes expresan e intercambian opiniones acerca de lo observado

• El papel del profesor debe ser mínimo, aunque debe cuidar que el lenguaje del alumnado sea apropiado al nivel

Fase 3. Explicitación

• Las actividades son más complejas

• Se busca consolidar de los conocimientos adquiridos

• Se busca que sean capaces de aplicarlos a situaciones nuevas

Fase 4. Orientación libre

• El estudiante revisa, resume y unifica todo lo aprendido.

• Es una síntesis Fase 5. Integración